盈亏问题的理解

盈亏问题的理解

解题思路：

1、通过假设，变成可比的变量；

2、找出两种不同的分配方式导致的结果差异；

3、通过将一种情况假设成另外一种情况，发现差异的原因。

4、利用除法的原理：总差/每组的差=组数的方法求解。

两个容易出错的地方：

1）盈亏问题中有两个地方需要比较，第一个：结果差异比较。两者之间一定是可比的。

2）第二个比较是分配方式的比较。不同的分配方式下，分配的东西不仅仅要有可比性，而且数量也必须是一样的，只有这样才能用除法。

例题1、学生春游，每船坐15人，有10人没船坐；每船坐20人，还可以坐30人。问多少个同学，几条船？

解：首先，这道题里，在两种不同的分配方式下，隐含的条件是：1）人数不变；2）船数不

变。（在数学的学习过程中，要善于发现题目中没有明说，但是隐含的条件，这往往是解题的关

键）

其次，假设第一种情况下，每条船正好坐了15人，全部坐满，人不多不少（注意：假

设的时候要不多不少正好），那么就要减少10人；假设第二种情况下，每条船正好坐了20

人，全部坐满，人不多不少，那么还需要增加30人。（解释给孩子听，为什么要假设两种情

况下都坐满呢，不多不少呢？因为只有这种，才能变成可比，才可以用除法）

第三，我们现在就要通过比较，发现两种不同情况下出现的结果差异。现在命令第二种

情况下，每船坐20个人的，每条船都下来5个人，变成每条船15人。需要下来几个人呢？30+10=40人。这个怎么理解呢？可以通过画线段的方式来理

第一种情况

第二种情况

（画图的要点：线段的单位是人数呢，还是船数好呢？如果结果差异里是人数，那么线段的单位也要用人数）。

看上图，我们发现：线段AB表示的第一种情况正好全部都是每船15人，把多余的人

扔掉了。线段AD表示，每船正好都是20人，把不够的人补齐了。线段AC表示原来的人数。通过比较之后，我们发现，每船从20人变成每船15人，减少的总数人就是线段BC H B段

CD=10+30=40人。这40人是怎么来的，是所有的船，每船减少5人汇总加起来的。两种情

况下，船的数量一样，这样题目就变得非常简单了。总的差是40,每条船的差是5,那么船

的数量就可以用除法：40/5=8条船。后面算人数就很简单了。

这里是一个多了，一个少了，方向相反，结果的差异是盈+亏。如果都是人数都是多了

呢？想一想怎么画，为什么结果的差异变成了盈-盈O

总结一下：盈亏问题的核心就是通过假设，把第一种情况变成第二种情况，或者相反，

把第二种情况变成第一种情况，都可以。然后再找出这样变过以后，差是多少。这个差是个总差，是变的时候，每一个的差汇总起来的，最后就可以用除法了。

例题2、学生春游，每船坐15人，有10人没船坐；每船坐20人，正好多了一条船问多少个同学，几条船？解：我们发现第一种情况是人多了，第二种情况是船多了。这样就没法比较了。这个时候，

就需要转化成可以比较的。因为前面都是人数，所以把第二种情况中的多了一条船，转化成

“还可以再坐20人”。

通过这么一转换，题目就很简单了，变成了“学生春游，每船坐15人，有10人没船坐；每船坐20人，还可以坐20人。问多少个同学，几条船？”

结论：当发现分配后剩余的东西不可以比较的时候，就要想办法，把它们变成可以直接比较的。

例题3、学生春游，每船坐15人，有10人没船坐；每船坐20人，有一条船还可以坐10人，还有一条船空着。问多少个同学，几条船？

想一下，可不可以用（10+10） /5=4条船的方法来做。答案是不可以的，因为这样比较的话，两种情况下，船的数量不一样了，就不能用除法了。

例题4、学生春游，公园里有大船和小船，如果大船每船坐15人，小船每船坐5人，有10 人没船坐；如果大船每船坐20人，小船每船坐5人，还可以坐20人。问几条大船？用上面同样的思路做：假设第一种情况全部坐满，正好，多了10人。第二种全部坐满，还

少了20人。这个差异怎么来的？是每条大船多坐了5人。大船有：（20+10）/5=6条。

24.体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余10个羽毛球，如果人款增加到3倍，那么每人分2个羽毛球还缺少B个，问有羽毛球多少个？

解：在比较的时候必须是数量相同的才可以比较。数量相同的概念可以是一个组合的数量相

同，也可以个单个品种的数量相同。本题中，显然，单个品种的数量不一样，一个是另外一个的3倍。这里有倍数关系，所以，我们完全可以把第一种情况的一个人，跟第二种情况的

三个人进行比较。这个时候，第一种情况一个人看成一组，第二种情况的的三个人看成一组，

那么组数就相同。这时候我们发现第一种情况的每组需要5个羽毛球，第二种情况每组需要

6个羽毛球。那么题目就变成了“ 每组5个，多10个羽毛球；每组6个，少8个羽毛球”。题目就变得非常简单。

25.王老师给卜朋友分革呆和桔子，苹果数是特子数的2倍.桔子每人分3个，.多4个；苹果每人分了个，少弓个，问有名少个小朋友？多少个革果和桔子？

思考的步骤：如果苹果的数量和桔子的数量一样的话，就很容易解答。这里我们可以把两个

苹果看成一个桔子，或者把桔子的数量翻倍和苹果的数量一样多。哪一个更加方便呢？第一

种方法，要把两个苹果看成一个桔子，那么苹果的数量就要除以2, 7是单数，没法被2除。

放弃之。

现在我们假设，让桔子的数量翻倍，跟苹果的数量一样多，这样就具有可比性了。苹果变成

了桔子，题目就变成了“苹果每人6个，多8个；苹果每人7个，少5个”，这样题目就非常简单。就可以用（8+5） / （7-6） =13 （个小朋友）来计算了。苹果数量=13*7-5=86个。桔子数量=13*3+4=43个。注意假设以后桔子数量变了，最后算的时候要变回来。

如果学过小数以后，也可以这样。假设第二种分配方式中，苹果的数量减半，这样苹果的数量和梨的数量一样，就具有可比性了。减半以后题目就变成：“桔子和苹果数量一样，桔子

每人3个，多4个；苹果每人3.5个，少2.5个”。

例题：王老师给2个班的小朋友分苹果和桔子，1班的人数比2班的少1人。苹果数是桔子数的2倍，1班分到的是桔子，每人分3个，多4个；2班分到的是苹果，每人7个，少5 个。问有多少小朋友？多少个苹果和桔子？

解题：结果的差异不同，分配时的数量也不同（人数不一样）。那么第一步就是要把人数补

齐，假设两个班人数一样多，给1班增加一个人。1班每人分3个，变成了多1个。这样题目就变成了跟上面一样了。注意，两个班人数不同的时候就不能用除法。

例题：讲解奥数AB卷里最后一道题。

2&学而思学校买来一枇体育用品.羽毛球拍是乒乓球拍的2悟,分给同学们, 每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副,每组分羽毛球拍M副，则差3。副, 问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副?

解：把乒乓球的数量假设成跟羽毛球的数量一样多。把乒乓球数量翻倍，这样乒乓球就变成

了羽毛球。那么题目变成了每组分羽毛球10副，余羽毛球30副。

2&乐乐帛一个储昔筒,徉故的都是硬币，其中2分天比5 •分币多22个：按钱数算■ 5分币却比2分币多4角：另外，还有％个1分币,乐乐共存了多少钱？

解题：画图。第一步，把不同分配方式下的数量补齐，假设5分的跟2分的数量一样多，那么5分的比2

分的多40+22*5=150分（因为5分的还需要增加22个才能跟2分的数量一样。

一共是110分，原来已经比2分多40分了，再加上后来增加的，就变成了150分）。150/3=50 个（2分的数量）。

32.少先队员去植树，如果每人挖S个讨坑，任有3 •个杭坑没人挖；如果其中两人冬挖1个树坑，其余等人挖6个时虻，就恰好挖完所有的柱坑。请问,其牵多少名少先共员？共挖了多少树坑？

解题：先把两种分配方式中的人数补齐成一样。

36.军队分配宿舍，如果每间住3人.多出20人；如果每同生6人，余■ r 2人