三角形全等证明题60题(有答案)

全等三角形证明题专项练习60题(有答案）1．已知如图，△ABC≌△ADE,∠B＝3０°,∠Ｅ=20°，∠ＢＡE＝105°，求∠ＢAC的度数.∠BＡC=_________ ．2.已知:如图,四边形ABCD中,ＡB∥CD,AＤ∥BC.求证:△ABD≌△ＣDＢ．3．如图,点E在△AＢC外部，点D在边BＣ上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3,AＣ=AE，请说明△ABC≌△AＤE的道理．４.如图,△ABC的两条高AＤ,BE相交于H，且ＡＤ=BD．试说明下列结论成立的理由．（1）∠DＢH=∠DAC；（2)△ＢDH≌△ＡDC.5.如图，在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，且DＥ＝DF,则AB＝AC，并说明理由．７．如图所示，Ａ、Ｄ、F、Ｂ在同一直线上,AF=ＢＤ，ＡＥ=BC，且AE∥BC.求证:△AEF≌△ＢCD.8.如图，已知ＡB=AＣ,AD=AＥ,BE与ＣD相交于O，△AＢＥ与△ＡCD全等吗？说明你的理由.9．如图,在△AＢC中，ＡB=AC,D是BC的中点,点E在ＡD上，找出图中全等的三角形,并说明它们为什么是全等的．10.如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC.11.已知ＡC=ＦE,BＣ＝DE，点A、D、B、F在一条直线上,要使△ABＣ≌△FDＥ，应增加什么条件？并根据你所增加的条件证明：△ＡBC≌△FＤＥ.１２.如图，已知ＡB=AC,ＢD＝CE,请说明△AＢＥ≌△AＣＤ.13．如图,△ABC中,∠AＣB＝90°,AC=ＢC，将△AＢC绕点Ｃ逆时针旋转角α（０°＜α<90°）得到△Ａ1Ｂ１Ｃ,连接BB1.设CB１交AＢ于D，A1B1分别交AB，AＣ于E，F,在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明.（△ＡBC与△A1B１C１全等除外)14．如图,ＡＢ∥DE,AC∥DF,ＢE=CF．求证:△ＡＢＣ≌△ＤEＦ.15．如图,ＡB=AＣ,AD＝AE,AB，DＣ相交于点M，AC,BＥ相交于点N，∠DAB=∠EAC.求证:△ＡDＭ≌△AＥN．16.将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），Ｂ、C、E三点在同一条直线上,连接DC．求证：△ABE≌△ACD.1７．如图,已知△ABC是等边三角形,Ｄ、Ｅ分别在边BC、ＡＣ上，且ＣD＝ＣE，连接ＤE并延长至点F,使EＦ=ＡE，连接ＡF、ＢＥ和CF.请在图中找出所有全等的三角形，用符号“≌”表示,并选择一对加以证明.18.如图,已知∠1=∠２，∠3=∠4,EC＝AＤ.(1）求证:△ABＤ≌△EBC．(2)你可以从中得出哪些结论？请写出两个．１9．等边△ABC边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BＣ于点E,过点E作EＦ⊥ＡC于点Ｆ．(１)若AＤ=2,求ＡF的长；（2)求当AD取何值时，ＤE=EＦ.２０．巳知：如图，AB=AＣ，D、E分别是AB、AC上的点,AD=AＥ,BE与CD相交于G．（Ⅰ）问图中有多少对全等三角形?并将它们写出来.（Ⅱ）请你选出一对三角形,说明它们全等的理由(根椐所选三角形说理难易不同给分,即难的说对给分高,易的说对给分低）2１.已知：如图，AＢ=DC，AC＝BD，AC、BD相交于点E,过E点作ＥF∥BC,交CＤ于Ｆ，(1）根据给出的条件,可以直接证明哪两个三角形全等?并加以证明.（2）EF平分∠DEC吗？为什么?22.如图，己知∠1＝∠２,∠ABC=∠DCB,那么△ABC与△DCB全等吗？为什么？２３．如图,B，F,Ｅ，D在一条直线上,ＡB=CＤ，∠Ｂ=∠D，ＢF=ＤE．试证明：（１）△DＦC≌△BEA;(2)△AFE≌△CEF.2４.如图,AＣ＝ＡE,∠BAF=∠BＧＤ=∠EAＣ，图中是否存在与△ＡＢE全等的三角形？并证明．25．如图,D是△ABC的边BC的中点,CＥ∥AB,Ｅ在AD的延长线上．试证明：△ABD≌△ECD．２６．如图，已知AB=CD，∠B＝∠Ｃ，AＣ和BD相交于点O，E是AＤ的中点，连接OE．（1)求证:△AOＢ≌△DOC;(２）求∠ＡEＯ的度数．27.如图,已知AB∥DE,ＡＢ＝DE，AＦ=DＣ．（1）求证：△ＡBF≌△DＥＣ;（2)请你找出图中还有的其他几对全等三角形.(只要直接写出结果，不要证明)２８．如图：在△AＢC中,ＢＥ、ＣF分别是ＡC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC，在CＦ的延长线上截取CG=AB，连接ＡD、ＡG.（1)求证:△ＡＢD≌△ＧCA;(2）请你确定△ADＧ的形状，并证明你的结论．29．如图，点Ｄ、Ｆ、E分别在△ABC的三边上，∠1=∠２＝∠3,DＥ=ＤF,请你说明△ADE≌△ＣＦD的理由．30．如图，在△AＢC中,∠ABＣ＝90°，BE⊥ＡC于点E，点Ｆ在线段ＢE上,∠1=∠2,点D在线段EＣ上，给出两31．如图，在△ABC中,点D在AB上,点Ｅ在BC上，ＡB=BＣ,BD=BE,EA=ＤC,求证：△BEA≌△BDC．３2．阅读并填空:如图,在△ABC中,∠ACB＝９0°，AC=BC,BE⊥ＣE于点E，AD⊥CE于点Ｄ.请说明△ADC≌△CＥＢ的理由．解:∵BE⊥CE于点E(已知)，∴∠E=90°＿________，同理∠AＤＣ=90°，∴∠E=∠ＡDC（等量代换).在△ADＣ中,∵∠1＋∠2+∠ADC=1８0°_＿____＿__，∴∠１+∠２=９0°____＿__＿＿.∵∠ＡCＢ=9０°(已知)，∴∠3＋∠2＝9０°，∴____＿＿＿＿_ ．在△ＡDC和△CEB中，.∴△AＤＣ≌△CEB (Ａ.A．S）3３．已知:如图所示，ＡＢ∥DE，AB=DE,AF=DC．（1)写出图中你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（2)选择你在（１)中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．３４．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DＥ交AC于点F,若∠1＝∠２=∠3，AC＝ＡE.试说明下列结论正确的理由:(１)∠C=∠E;(2)△ABＣ≌△ADE.35．如图,在Rt△ＡBC中，∠ＡＣB=9０°,ＡＣ=BC,D是斜边AB上的一点,AE⊥CD于E,BＦ⊥CD交CＤ的延长线于F．求证:△ＡCＥ≌△CBF.36.如图,在△ABC中,D是BＣ的中点,DＥ∥CA交AB于E，点Ｐ是线段AC上的一动点,连接PＥ.探究：当动点Ｐ运动到ＡＣ边上什么位置时,△AＰE≌△EDＢ?请你画出图形并证明△APE≌△EDＢ．37.已知:如图，AD∥ＢC，AD=BC,Ｅ为ＢC上一点,且AE=AB.求证：（1)∠DＡＥ=∠B；（2)△ＡＢＣ≌△EAD．38．如图，D为ＡＢ边上一点，△ABＣ和△EＣD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ＤCE＝90°,ＣＡ＝ＣB,ＣＤ=CＥ,图中有全等三角形吗？指出来并说明理由.３９．如图，AB=AC,ＡD=ＡE,∠BＡC=∠DAE．求证:△AＢＤ≌△ACE.40．如图,已知D是△ABＣ的边BC的中点，过Ｄ作两条互相垂直的射线,分别交AB于Ｅ,交ＡC于F,求证:BE+CF>ＥＦ.4１.如图所示，在△MNP中,H是高MQ与NE的交点,且QN=QM，猜想ＰＭ与ＨＮ有什么关系?试说明理由．４2.如图,在△AＢC中，Ｄ是BC的中点,过D点的直线GF交AＣ于Ｆ,交AC的平行线BG于G点,DE⊥GF，交ＡB于点Ｅ,连接ＥG.(１）求证：ＢG＝CF;（2)请你判断BE＋ＣＦ与EF的大小关系，并证明你的结论．43.如图，在△ＡBＣ中,∠ACB＝90°，ＡＣ＝BC,ＢE⊥CE于E,AD⊥ＣE于D,ＡＤ=2.５cｍ,DE=1.7cm,求BE的长.44.如图,小明在完成数学作业时,遇到了这样一个问题,AB＝CD,ＢＣ=AD，请说明：∠A=∠C的道理,小明动手测量4５.如图，AＤ是△ＡBC的中线,CE⊥AD于E，BF⊥AＤ,交AD的延长线于F．求证:CE=ＢF．４6.如图,已知AB∥CD，ＡＤ∥BC,Ｆ在DC的延长线上，AM=CＦ，FM交DA的延长线上于E.交BC于N，试说明：AＥ=CN.47．已知:如图，△AＢC中,∠C＝9０°,ＣM⊥AＢ于M,AＴ平分∠BAC交CＭ于D,交ＢC于Ｔ，过D作ＤE∥ＡB 交BC于E,求证：CT=BE.４8．如图，已知AB＝AD,AC＝ＡＥ，∠ＢAＥ＝∠DAＣ.∠B与∠D相等吗?请你说明理由．49.Ｄ是AB上一点,DF交AC于点Ｅ，DE=EＦ,ＡE＝CＥ，求证:ＡＢ∥CF．5１.如图,在△ABC中,AＣ⊥BC,AC=BＣ,Ｄ为AＢ上一点,AF⊥ＣD交于CＤ的延长线于点F，BE⊥ＣD于点E，求证：EF=CF﹣AF．52．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AＢ=ＡC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于Ｄ,ＥC⊥MN于E. （1)求证：BD=AE;（２）若将MＮ绕点A旋转，使MＮ与ＢC相交于点O,其他条件都不变，BD与ＡE边相等吗？为什么?(3）BD、CE与ＤＥ有何关系?５３.已知:如图,△ABＣ中,AＢ=AC，ＢD和CＥ为△ABC的高,ＢD和CＥ相交于点O.求证：OB=OC.54.在△ＡBC中，∠ACＢ=９０°，D是ＡB边的中点，点F在AＣ边上,DE与CF平行且相等．试说明AE=DF的理由．55．如图,在△ABC中,D是边ＢC上一点，ＡD平分∠ＢAＣ，在AB上截取AE＝ＡC,连接DE,已知DE＝2cｍ,BD=3ｃm,求线段ＢC的长．5６．如图:已知∠B=∠C,AＤ=AE,则AB=AＣ,请说明理由．57．如图△AＢC中,点D在AC上，E在AB上，且AＢ=AＣ,BC=ＣD，AD=DＥ=BＥ.（1)求证△ＢＣE≌△DＣE；(2)求∠EDC的度数．5８．已知:∠Ａ=9０°，AB=ＡＣ，BD平分∠ABC，CE⊥ＢD，垂足为E．求证:BD=２CＥ.59．如图,已知:AB=CＤ，AD=BC,过BD上一点O的直线分别交DA、BＣ的延长线于E、F．(1）求证:∠E=∠F;(2）OE与ＯF相等吗？若相等请证明,若不相等，需添加什么条件就能证得它们相等?请写出并证明你的想法.60.如下图，AD是∠BAC的平分线，ＤE垂直AＢ于点Ｅ，ＤF垂直AＣ于点Ｆ,且BＤ=DC.求证：BＥ＝CF．ﻬ全等三角形证明题专项练习60题参考答案:1.∵△ABC≌△AＤE 且∠B≠∠Ｅ，∴∠C=∠Ｅ,∠Ｂ=∠D;∴∠BＡC=1８０°﹣∠Ｂ﹣∠C=１80°﹣３0°﹣20°＝13０°.2.∵AB∥ＣD,AD∥BＣ，∴∠ABD=∠CDＢ、∠ＡDB=∠CＢD.又ＢD=DB,∴△ABＤ≌△ＣＤB（ASＡ）．3.△ＡDF与△ＡEF中，∵∠2=∠３，∠AFE＝∠CＦD，∴∠E=∠Ｃ.∵∠1＝∠2,∴∠BAＣ=∠DAE．∵ＡC＝AE,∴△ABＣ≌△ADE.4.（１）∵∠ＢＨD=∠AHE,∠BDH=∠AＥH=9０°∴∠DBH+∠BHD＝∠HＡE+∠ＡHE=９0°∴∠DBH=∠HAE∵∠ＨAE=∠ＤAC∴∠ＤBH=∠DAC;(2)∵ＡＤ⊥BＣ∴∠ADB=∠ＡDC在△BDH与△AＤC中，∴△ＢDH≌△AＤC.5．∵DE⊥AB,DＦ⊥ＡC，∴△DBE与△DCＦ是直角三角形，∵BＤ=ＣD,DＥ=DF,∴Rt△DBＥ≌Rt△DCF（ＨＬ），∴∠B=∠C,∴AB=ＡC.6．∵ＡE是∠BＡC的平分线,∴180°﹣∠ＢAE=1８0°﹣∠CＡＥ,即∠DAB=∠DAC;又∵AB=AＣ，AD=AD，∴在△ＡBＤ和△ACＤ中，∴△ABＤ≌△ACD(SＡＳ)7．∵AE∥BC,∴∠Ｂ=∠C.∵AＦ=ＢD，AE=ＢC，∴△AEＦ≌△BCD(SAS）．8．△ABE与△ACＤ全等．理由:∵AB=AC，∠Ａ=∠A(公共角）,ＡＥ=AD,∴△ABＥ≌△ACＤ.9．图中的全等三角形有:△ＡBD≌△ACD,△AＢＥ≌△ＡＣE,△ＢDE≌△CDE.理由：∵Ｄ是ＢC的中点,∴BD=ＤＣ,ＡB=AC,AＤ=AD∴△ＡＢＤ≌△ACD（ＳＳS);∵AＥ=AE,∠BAE=∠ＣＡE,ＡＢ＝ＡC,∴△ABE≌△ACＥ(SAＳ);∵BE=CE,BD=DC,DＥ=DE，∴△BDＥ≌△CDE（SSS).10.：∵∠1=∠2,∴∠ＡCB=∠ＤCE，在△ABC和△ＤＥC中,，∴△AＢC≌△DＥC(SＡＳ）11．增加AB=DF.在△ABC和△ＦDE 中，∴△ＡBC≌△FDE(SSＳ)．1２.∵AB=AＣ，BD＝CE,∴AD=AE．又∵∠Ａ=∠A,∴△ABＥ≌△ＡCD（SAS). １3．△CBＤ≌△ＣA1F证明如下:∵AC＝BC，∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°<α＜9０°）得到△A1B1Ｃ1, ∴∠A1=∠Ａ，A１C=AC,∠ACA1=∠BCB1=α．∴∠A１=∠AＢC（1分),A1C=BC.∴△ＣBＤ≌△ＣA1F(ＡSA）14．∵ＡB∥ＤE,ＡＣ∥ＤＦ,∴∠Ｂ=∠DEＦ，∠Ｆ=∠ACB．∵BE=ＣF，∴BE＋ＣE=CＦ+EC.∴BC＝ＥF.∴△ABC≌△DEＦ(AＳＡ).１5.∵AB=AＣ,AＤ=AE,∠DAB=∠EAＣ，∴∠DAC＝∠ＡEＢ，∴△ACＤ≌△ABＥ,∴∠D=∠E,又AD=ＡE,∠DＡB=∠ＥＡＣ,∴△ＡDM≌△ＡEN16.∵△AＢＣ和△ADE均为等腰直角三角形,∴AB=AC,AＤ＝AE,∠ＢAC=∠DAＥ＝９0，即∠ＢＡC＋∠CAＥ=∠DAE+∠CAE,∴∠BAE＝∠CAD，在△AＢE和△ACD中,,∴△ＡBE≌△ＡCＤ17.答:△ＢDE≌△FEC,△BCE≌△FＤＣ，△ABＥ≌△ACF；证明:（以△ＢDE≌△FEＣ为例)∵△ABC是等边三角形,∴BＣ＝AC，∠ACＢ＝６０°，∵CD=CE,∴△EDＣ是等边三角形,∴∠EＤC=∠DEC=60°,∴∠BDＥ=∠ＦＥC＝12０°，∵CD＝CE,∴BＣ﹣CD＝AC﹣CＥ,∴BD=ＡE，又∵EF＝AＥ,∴ＢＤ=ＦE，在△ＢDE与△FＥC中,∵，∴△BDＥ≌△FEC(ＳAS）.１8.(１)证明如下:∵∠ＡBＤ=∠１＋∠ＥBC,∠CBＥ=∠２+∠ＥBＣ,∠1＝∠2．∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＥ.在△ABD和△EBC中∴△AＢＤ≌△EBC(AAS)；(2)从中还可得到AB=BC,∠BAＤ=∠BEC19．（1）∵AB=8,AD＝2∴BＤ=ＡB﹣AD=6在Rｔ△ＢＤE中∠BDＥ=90°﹣∠Ｂ=30°∴BE=ＢＤ=3∴CE＝BＣ﹣BE=5在Rt△CFＥ中∠CEF=90°﹣∠C＝30°∴CF=CE＝∴ＡＦ＝AＣ﹣ＦC=;（2）在△BDE和△EFC中，∴△BDＥ≌△CＦE（AAS)∴BE＝CF∴BE=ＣF=EC∴BE=BＣ=∴BD=2BＥ＝∴AD=AＢ﹣ＢＤ=∴AD＝时,ＤE=ＥＦ2０．（1）图中全等的三角形有四对，分别为:①△DBG≌△EGC,②△AＤＧ≌△AEＧ，③△AＢＧ≌△ACG，④△ABＥ≌△ACD；（4分)（Ⅱ）∵ＡB=AC,AＤ=AE,∠A是公共角,∴△ABE≌△ACD(SAS)④；∵AB=AC,AD=AE，∴AB﹣AD＝ＡC﹣AE，即BD=CE;由④得∠B＝∠C,又∵∠DGB=∠EGC（对顶角相等），BＤ=CE（已证）,∴△DBG≌△ＥGC（AAS)①;由①得BG＝CG，由④得∠B=∠C,又∵AB＝AC,∴△ＡBＧ≌△ACG(SAS)③；由①得ＢG=CG,且ＡＤ=AE，AＧ为公共边,∴△ADG≌△AEG（SSS)②;21．（1）△ABC≌△ＤCＢ．证明：∵AＢ=CＤ，AC=BD,BＣ=CB，∴△ABC≌△DCＢ.(ＳＳS）(2）EＦ平分∠DＥＣ．理由：∵EF∥BC,∴∠DEF=∠ＥBC，∠ＦＥC=∠ＥＣB；由(1）知：∠EBＣ＝∠EＣB;∴∠DEF＝∠FEC；∴FE平分∠DEC22．△ABC≌△DCB.理由如下：∵∠ＡＢC＝∠DCB,∠1=∠2，∴∠DＢC＝∠ACＢ．∵BＣ=ＣB，∴△AＢC≌△DCB23．（1)∵BF=DＥ，∴BＦ＋ＥＦ=ＤE+EＦ．即BＥ=DF.在△DFC和△BEA中,∵，∴△DFC≌△ＢEA（SAＳ).(２)∵△DＦC≌△ＢＥA，∴CF＝ＡE，∠ＣＦD=∠AEB.∵在△AFE与△CEF中,∵，∴△AFE≌△CEF（SAS)２4．△ABＦ与△DFＧ中,∠BAF=∠BGD,∠ＢＦA=∠ＤFG, ∴∠Ｂ=∠Ｄ,∵∠ＢAF=∠EＡC,∴∠BAE=∠ＤＡＣ,∵AC=ＡＥ,∠BAE=∠ＤＡC，∠B=∠D，∴△BAE≌△DＡC.答案：有.△ＢAE≌△ＤAＣ25．∵CE∥ＡB,∴∠ＡBD=∠ＥＣＤ.在△AＢＤ和△ＥＣＤ中，, ∴△ABD≌△EＣD(ASＡ）26.（１)证明:在△AＯB和△COD中∵∴△AOＢ≌△COD(AAS）（２)解:∵△AOB≌△ＣOD,∴AＯ=DＯ∵E是AD的中点∴OE⊥AD∴∠ＡEO=90°27.1)证明：∵ＡＢ∥ＤE，∴∠A=∠D.∵AＢ=DE,ＡF=DC,∴△ＡBＦ≌△ＤEＣ．(2)解:全等三角形有:△ＡBC和△ＤEF；△ＣBＦ和△ＦＥC 28．证明：（１)∵ＢE、CF分别是AC、ＡＢ两边上的高,∴∠AFC=∠AEＢ＝９０°（垂直定义)，∴∠AＣG＝∠ＤBＡ（同角的余角相等),又∵BD＝CA，AB＝GC,∴△AＢD≌△GCA;(2)连接DG，则△ADG是等腰三角形．证明如下：∵△ABD≌△GCA，∴ＡG=ＡD，∴△ADＧ是等腰三角形．2９.解：∵∠4＋∠6＝１８０°﹣∠3,∠５＋∠6＝１８0°﹣∠2,∠3=∠２, ∴∠4+∠6=∠5+∠6,∴∠4=∠5，∵在△ADE和△ＣFD中，，∴△AＤＥ≌△ＣFD(ＡAＳ）.30．①DＦ∥ＢＣ．证明：∵BE⊥ＡC，∴∠BＥＣ=９0°,∴∠C+∠CBE＝9０°，∵∠AＢC=90°，∴∠ABＦ+∠CBE＝9０°,∴∠C=∠AＢF，∵DＦ∥ＢC，∴∠C=∠ADF,∴∠ＡBF=∠ＡＤF,在△AFD和△AFＢ中∴△ＡＦＤ≌△AFＢ（AAS）.31.在△BEA和△ＢＤC中：，故△BEA≌△BＤC(SSS).３2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥ＣＥ于点E，AＤ⊥ＣＥ于点D．请说明△ADC≌△CＥB的理由．解:∵BE⊥CE于点E（已知）,∴∠E=９0°（垂直的意义),同理∠ＡDC=9０°,∴∠E=∠ADC(等量代换）.在△AＤC中，∵∠1+∠２+∠ADC＝１8０°（三角形的内角和等于180°) ，∴∠1+∠2=90°(等式的性质）．∵∠ACＢ＝90°(已知）,∴∠３+∠2=90°，∴∠1=∠3（同角的余角相等) .在△AＤC和△CＥB中,.∴△ＡＤＣ≌△CEＢ（A．A.Ｓ)33．(１)△ABF≌△ＤEC，△ＡBＣ≌△DEF，△BＣF≌△EFC；（2分）（2)△ABF≌△DEC,证明:∵AB∥ＤＥ，∴∠Ａ=∠D，(3分)在△ＡＢF和△DＥＣ中,(4分）∴△ABF≌△DEC．(5分)34．(1)△ADF与△AEF中,∵∠2=∠3,∠AFE=∠CFD,∴∠C=∠Ｅ；(2)∵∠1＝∠2，∴∠ＢＡC＝∠ＤAE.∵AＣ＝AE，又∠C=∠E,∴△ＡBC≌△ADE．35.∵AE⊥ＣD,∴∠AEＣ＝90°,∴∠AＣE+∠CＡE=90°，（直角三角形两个锐角互余)∵∠ＡCE+∠ＢCF=９0°，∴∠ＣAＥ＝∠ＢＣF，(等角的余角相等)∵ＡE⊥CD,BＦ⊥CＤ，∴∠AＥC=∠ＢＦＣ＝90°,在△ＡCE与△CBF中,∠CAE=∠BCＦ,∠AＥC=∠BＦC，ＡC=BＣ, ∴△ACE≌△CBF(ＡAS）.36．当动点P运动到ＡC边上中点位置时，△ＡPE≌△EＤB，∵DE∥CA,∴△ＢED∽△ＢＡC，∴＝,∵Ｄ是BC的中点,∴＝,∴=，∴E是AB中点，∴ＤE=AＣ,BE=AE,∵ＤＥ∥AC,∴∠Ａ=∠ＢＥD，要使△ＡPE≌△ＥDB,还缺少一个条件DＥ＝AP,又有DE=AＣ，∴P必须是ＡC中点．37．（1）∵ＡE＝AＢ,∴∠B＝∠ＡEB,又∵ＡD∥BC，∴∠AEB＝∠DＡE，∴∠DＡE=∠B;（２)∵∠DAE＝∠B，AD＝BC,ＡE=AB,∴△ABＣ≌△EAD．38．△AＣE≌△BＣD.∵△ABＣ和△ＥCD都是等腰直角三角形,∴∠ECD=∠ACB=9０°,∴∠ＡCE=∠BCＤ(都是∠ACD的余角),在△AＣＥ和△BＣD中，∵，∴△AＣE≌△ＢCD．3９．∵∠BAC=∠DＡE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAＤ,即∠ＢAD=∠EAC，在△ABD和△AＣE中，∴△ABＤ≌△ＡCＥ.40.证明:延长FD到M使MD=DF，连接BＭ，EM. ∵D为BC中点,∴BD=ＤC.∵∠ＦDC=∠BＤM，∴△BDＭ≌△CＤF.∴BM=FC.∵ＥD⊥DF,∴ＥM=EF．∵BE+BＭ>EM，∴BE+FC>EＦ．4１.PM=ＨN．理由：∵在△ＭNP中，H是高MQ与ＮE的交点，∴∠ＭEH=∠NQH=90°，∠MQP=∠ＮQH=９０°∵∠MＨE＝∠NＨＱ（对顶角相等）,∴∠ＥＭH＝∠QNH（等角的余角相等）在△MPQ和△NHQ中，，∴△MPQ≌△NHQ(ＡSA）,∴MP=NH．４2．(1)∵ＢG∥ＡＣ,∴∠ＤBＧ=∠DCＦ．∵Ｄ为ＢC的中点，∴BD＝CD又∵∠BDG=∠CDＦ,在△ＢGD与△ＣFＤ中,∵∴△BGＤ≌△CFD（ASA).∴ＢG＝CF.(2）ＢE+ＣF＞EF.∵△BGD≌△ＣFD，∴ＧＤ＝ＦＤ,BG＝CＦ．又∵DE⊥FＧ,∴EＧ=ＥF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EＢＧ中,BE+BＧ>EG,即BＥ+CＦ＞EF.4３．∵BE⊥ＣE于E,AD⊥CE于D∴∠E=∠AＤC=9０°∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ＡCＥ=90°∴∠BCE＝∠ＤAC∵ＡC=BC∴△ACD≌△ＣBＥ∴CE=ＡD,ＢＥ=CＤ=2.5﹣1．7＝0.8(cm)４4.∵ＡB=ＣD,BC=AD,又∵BD=DB,在△ABＤ和△ＣDB中，∴△ABD≌△CDＢ，∴∠A＝∠C．45.∵AD是△ＡＢC中BC边上的中线，∴ＢD=ＣＤ．∵CE⊥AD于E，BF⊥AD，∴∠BFD=∠CED．在△ＢFD和△CEＤ中,∴△ＢＦD≌△CED（AＡS)．∴CＥ=BF4６．∵ＡD∥ＢC，∴∠E=∠ENＢ，∵∠ＥNＢ＝∠CNＦ,∴∠E=∠CNＦ，∵AB∥CD，∴∠A=∠B,∵∠C=∠Ｂ,∴∠ＥAB=∠DCＢ,∵ＡM=CF,∴△AME≌△CFＮ，∴AE＝CＮ．4７．证明:过T作TF⊥AＢ于F,∵AＴ平分∠BAC,∠ACＢ＝９0°，∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠ACB=９０°,CＭ⊥AＢ，∴∠ＡDＭ＋∠ＤＡＭ＝9０°,∠ＡTC+∠CAＴ=90°, ∵ＡＴ平分∠BＡC，∴∠DAM=∠CA T，∴∠ADM=∠AＴC，∴∠CDT=∠CＴＤ,∴CD=CT，又∵CＴ＝TF（已证)，∴CD＝ＴＦ,∵ＣＭ⊥AB,DE∥ＡB，∴∠CDE=９0°，∠B＝∠ＤEC，在△CDＥ和△ＴFＢ中，, ∴△CDE≌△TFＢ（AAS），∴CE=TＢ，∴ＣE﹣ＴE=TB﹣ＴE，即CT=BE．４8.∵∠BAE=∠DAC∴∠ＢＡE＋∠CＡE=∠DAC＋∠CAE即∠ＢAＣ=∠DＡE又∵AB＝AD，AC=AE，∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等)49.∵DE=EF，AＥ＝CE，∠AＥD＝∠FＥＣ，∴△AEＤ≌△ＦEC．∴∠ADE=∠CFE.∴AD∥ＦC.∵D是AB上一点,∴AB∥CF50．∵BE∥CF,∴∠CMF=∠ＢＭＥ，∠ＦＣM=∠EＢM．又∵BE＝ＣＦ，∴△CFM≌△ＢEＭ.∴CM=BM．即AＭ是△ＡＢC的中线5１．∵AC⊥BC，BＥ⊥CＤ，∴∠ACＦ＋∠ＦCB=∠FCB+∠ＣBE=９0°. ∴∠FCA=∠EＢＣ．∵∠BEC=∠CFA=９0°,ＡC=BC，∴△BEC≌△CFＡ.∴CE=AF.∴EF=CF﹣CE＝CF﹣AF52.解：（1）证明:由题意可知，BＤ⊥MN与D，ＥC⊥MN与E，∠BAC＝９0°, 则△ABD与△CEA是直角三角形，∠DAB=∠ＥＣA,在△ＡＢD与△ＣEA中,∵，∴△ABD≌△ＣＥＡ,∴ＢD=AE;(2）若将ＭN绕点A旋转，与BＣ相交于点Ｏ,则BD,CE与ＭN垂直，∴△ABD与△CＥA仍是直角三角形，两个三角形仍全等，∴BD与ＡE边仍相等；（3)∵△ABＤ≌△CEA,∴BD＝AＥ，AD＝EC，∴DＥ＝BD+EC或ＤE=ＣＥ﹣ＢD或DＥ＝BD﹣CE．５3．∵ＡB=AＣ，∴∠AＢC＝∠ACB，∵ＢＤ、CE分别为△ＡＢC的高,∴∠ＢEＣ＝∠BDC＝9０°，∴在△BEC和△CDB中,∴△BEC≌△ＣDＢ,∴∠1=∠2,∴OＢ=ＯC54．解:连接CＤ，∵∠ACB=90°，D是AB边的中点∴CD=AD，∠ＤＡC=∠DＣF∵DE与ＣF平行且相等∴∠ＥDA=∠DＡC∴∠EDA=∠DＣＦ在△ＡED和△CＦD中CD＝AD,∠ＥＤA=∠DCF，ＤE＝ＣＦ∴△AED≌△ＣFD∴AE=ＤF.55．∵ＡD平分∠BAC∴∠ＢAD＝∠ＣAD在△ＡDＥ和△ADC中∵∴△ADE≌△AＤC(SAS）∴ＤＥ=DＣ∴BＣ=BＤ＋DＣ=ＢD+DＥ=2＋３=5(cｍ）56．在△AEB与△AＤC中,. ∴△AＥＢ≌△ADＣ(AAS）.∴AＢ＝AC(全等三角形,对应边相等）57．（1）证明：在△BCE和△DCE中∴△BCＥ≌△DＣE（SSＳ）.(２）解:∵ＡD=ＤE，∴∠A＝∠AED;∴∠ＥDC=∠Ａ＋∠AED=２∠A,设∠A=x，根据题意得，５x＝18０°，解得ｘ=36°∴∠EDC=２∠A=72°58．证明:延长CE、BA交于点Ｆ.∵CE⊥BD于E，∠ＢAＣ＝9０°,∴∠AＢD=∠ＡCF．又AB=AＣ,∠BAD＝∠CAF=90°，∴△ABD≌△ACF,∴BD=CF.∵BＤ平分∠ABＣ，∴∠CBＥ=∠ＦBE.有ＢE=BE，∴△ＢＣE≌△BFE,∴CE=EＦ，∴CE=BＤ,∴BＤ=2CE.5９.（１）证明：在△ABＤ和△CDB中∵AＢ=ＣD,ＡD=BＣ,ＢD=ＤＢ,∴△ABD≌△CDＢ（SSS），∴∠ADＢ＝∠DＢC，∴DE∥BF．∴∠E=∠F．(2)答：当O是ＢD中点时,ＯE＝OF．证明如下：∵O是BＤ中点,∴OＢ=OＤ．又∵∠AＤB＝∠DＢC,∠Ｅ=∠F，∴△ODＥ≌△OＢF（AAS)．∴OE＝OF．（当ＡE=CＦ时也可证得60.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠E＝∠DFC＝90°.∵AD平分∠EＡＣ,∴DE＝DF.在Rt△DBE和Rt△DCＦ中，∴Rt△DＢE≌Ｒt△ＣDF(ＨＬ)．∴BE=CF.。