高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》技巧及练习题附答案解析
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新数学高考《不等式》专题解析
一、选择题
1.已知集合{}
2
230A x x x =-->,(){}
lg 11B x x =+≤,则()
R A B =I ð( )
A .{}13x x -≤<
B .{}19x x -≤≤
C .{}13x x -<≤
D .{}19x x -<<
【答案】C 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ,再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð. 【详解】
解不等式2230x x -->,得1x <-或3x >;
解不等式()lg 11x +≤,得0110x <+≤,解得19x -<≤.
{}
13A x x x ∴=-或,{}19B x x =-<≤,则{}13R A x x =-≤≤ð,
因此,(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð,故选:C. 【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算,同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解,考查运算求解能力,属于中等题.
2.已知点(2,0)M ,点P 在曲线2
4y x =上运动,点F 为抛物线的焦点,则2
||||1
PM PF -的最
小值为( )
A B .1)
C .
D .4
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示:过点P 作PN 垂直准线于N ,交y 轴于Q ,则11PF PN PQ -=-=,设
(),P x y ,0x >,则2||4
||1PM x PF x
=+-,利用均值不等式得到答案.
【详解】
如图所示:过点P 作PN 垂直准线于N ,交y 轴于Q ,则11PF PN PQ -=-=,
设(),P x y ,0x >,则()()2
2
2
22224||||44||1x y
x x PM P P M x F x Q P x x
-+-+====+≥-,
当
4
x x =
,即2x =时等号成立. 故选:D .
【点睛】
本题考查了抛物线中距离的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.
3.变量,x y 满足约束条件1
{2
314
y x y x y ≥--≥+≤,若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一,则
实数a 的取值集合是( ) A .{3,0}- B .{3,1}-
C .{0,1}
D .{3,0,1}-
【答案】B 【解析】
若0a =,结合图形可知不合题设,故排除答案A ,C ,D ,应选答案B .
4.某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )
甲 乙 每天原料的可用总量 A(吨) 3 2 12 B(吨)
1
2
8
A .12万元
B .16万元
C .17万元
D .18万元
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件列可行域与目标函数,结合图象确定最大值取法,即得结果. 【详解】
设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩
目标函数34z x y =+,作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,
可得目标函数在点P 处取得最大值,由28,
3212,x y x y +=⎧⎨
+=⎩
得()2,3P ,则
max 324318z =⨯+⨯=(万元).选D.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
5.若实数,,a b c ,满足222a b a b ++=,2222a b c a b c ++++=,,则c 的最大值是( ) A .
4
3
B .2log 3
C .
25
D .2
4log 3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用基本不等式求出2a b
+的最小值后可得221
a b
a b ++-的最大值,从而可得2c 的最大值,故可
得c 的最大值. 【详解】
因为222a b a b ++=,故222222a b a b a b a b +++=≥⨯=
整理得到24a b +≥,当且仅当1a b ==时等号成立. 又因为2222
a
b
c
a b c
++++=,故2114
211212133
a b c
a b a b +++==+≤+=--,
当且仅当1a b ==时等号成立,故max 24
log 3
c =. 故选:D. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解,应用基本不等式求最值时,需遵循“一正二定三相等”,如果多变量等式中有和式和积式的关系,则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式,通过解不等式来求最值,求最值时要关注取等条件的验证.
6.已知点P ,Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点,点(0,4)A ,则
2
||||
PA PQ 的最小值为( ) A .10 B .4
C
.2 D
.1
【答案】B 【解析】 【分析】
设出点P 的坐标()00,x y ,用0y 表示出PA ;根据圆上一点到定点距离的范围,求得PQ 的最大值,再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】
设点()00,P x y ,因为点P 在抛物线上,所以()2
00080x y y =≥,
因为点(0,4)A ,则()()2
2
222
00000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.
又知点Q 在圆22
(2)1x y +-=上,圆心为抛物线的焦点(0,2)F ,
要使2||||
PA PQ 的值最小,则||PQ 的值应最大,即0max 13PQ PF y =+=+.
所以()()2
2
2000
003632516||||33
y y y PA PQ y y +-+++==
++ ()
0025
36643
y y =++
-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.
所以2
||||
PA PQ 的最小值为4.
故选:B. 【点睛】