高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》技巧及练习题附答案解析

新数学高考《不等式》专题解析

一、选择题

1．已知集合{}

2

230A x x x =-->，(){}

lg 11B x x =+≤，则()

R A B =I ð（ ）

A ．{}13x x -≤<

B ．{}19x x -≤≤

C ．{}13x x -<≤

D ．{}19x x -<<

【答案】C 【解析】 【分析】

解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()

R A B ⋂ð. 【详解】

解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；

解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.

{}

13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，

因此，(){}

13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】

本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

2．已知点(2,0)M ，点P 在曲线2

4y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2

||||1

PM PF -的最

小值为（ ）

A B ．1)

C ．

D ．4

【答案】D 【解析】 【分析】

如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设

(),P x y ，0x >，则2||4

||1PM x PF x

=+-，利用均值不等式得到答案.

【详解】

如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，

设(),P x y ，0x >，则()()2

2

2

22224||||44||1x y

x x PM P P M x F x Q P x x

-+-+====+≥-，

当

4

x x =

，即2x =时等号成立. 故选：D .

【点睛】

本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

3．变量,x y 满足约束条件1

{2

314

y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则

实数a 的取值集合是（ ） A ．{3,0}- B ．{3,1}-

C ．{0,1}

D ．{3,0,1}-

【答案】B 【解析】

若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．

4．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )

甲 乙 每天原料的可用总量 A(吨) 3 2 12 B(吨)

1

2

8

A ．12万元

B ．16万元

C ．17万元

D ．18万元

【答案】D 【解析】 【分析】

根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】

设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,

x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪

⎨≥⎪⎪≥⎩

目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，

可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,

3212,x y x y +=⎧⎨

+=⎩

得()2,3P ，则

max 324318z =⨯+⨯=（万元）.选D.

【点睛】

线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

5．若实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，，则c 的最大值是（ ） A ．

4

3

B ．2log 3

C ．

25

D ．2

4log 3

【答案】D 【解析】 【分析】

利用基本不等式求出2a b

+的最小值后可得221

a b

a b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可

得c 的最大值. 【详解】

因为222a b a b ++=，故222222a b a b a b a b +++=≥⨯=

整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立. 又因为2222

a

b

c

a b c

++++=，故2114

211212133

a b c

a b a b +++==+≤+=--，

当且仅当1a b ==时等号成立，故max 24

log 3

c =. 故选：D. 【点睛】

本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.

6．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则

2

||||

PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4

C

．2 D

．1

【答案】B 【解析】 【分析】

设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】

设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()2

00080x y y =≥，

因为点(0,4)A ，则()()2

2

222

00000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.

又知点Q 在圆22

(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，

要使2||||

PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.

所以()()2

2

2000

003632516||||33

y y y PA PQ y y +-+++==

++ ()

0025

36643

y y =++

-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.

所以2

||||

PA PQ 的最小值为4.

故选：B. 【点睛】