备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析：立体几何与空间向量(解析版)

A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体， 四分之一圆锥的底面半径为 1，高为 1，
故体积为：
，
三棱柱的底面是两直角边分别为 1 和 2 的直角三角形，高为 1，
故体积为：
，
故组合体的体积
，故选 D．
3．【浙江省三校 2019 年 5 月份第二次联考】已知平面 ，直线 ，若 ，
AB AC2 BC2 ( 2)2 ( 2)2 2 ，同理可求出： AD ( 2)2 22 6 ，
AE AC2 CE2 AC2 CD2 DE2 ( 2)2 22 12 7 ，
设四棱锥的底面 BCDE 的面积为 S ，所以 S 11 1 11 3 ，因此四棱锥的体积
2
与矩形 DA 的面积和为 2
=2 ，所以表面积为
6+2+4+2 =12+2 ，
故答案为 3，
.
13．【浙江省三校 2019 年 5 月份第二次联考】若某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则该几何体最
长的棱长是__________ ，体积等于__________ ．
【答案】
20
【解析】由三视图可得该几何体是截长方体得到的四棱锥
，二面角
，二面角
的大小分别为 ， ， ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设 在底面 内的射影为 O，过 O 分别作 AB,BC,CA 垂线，垂足分别为 D,E,F,则
，
，
，从而
，
，
，
因为
，所以
,
,即
,
即
，选 C.
9．【浙江省金华十校 2019 届高三上期末】如图所示，在底面为正三角形的棱台
该三棱柱的高 ，所以，该三棱柱的体积为
．
由正弦定理可知，该正三棱柱底面的外接圆直径为
，
则其外接球的直径为
，则 ，
因此，此棱柱的外接球的表面积为
．
故答案为： ； ． 16．【浙江省金华十校 2019 届下学期高考模拟】某几何体的三视图如图所示，正视图为腰长为 1 的等腰直 角三角形，侧视图、俯视图均为边长为 1 的正方形，则该几何体的表面积是_____，体积是_____．
最长的棱长为________，体积为________.
【答案】 7 (cm)
2 (cm3 ) 2
【解析】由通过三视图可以知道该几何是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，底面是直角梯形，如图所示：
四棱锥 A BCDE ， AC 2, DC 2BE 2, AC 底面 BCDE ，
在直角梯形 BCDE 中，可求出 BC 2 ，在 RtABC 中，
一．选择题 1．【浙江省台州市 2019 届高三 4 月调研】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体为放倒的三棱柱，且底面为侧视图中等腰直角三角形，
所以体积
＝
故选：B.
2．【浙江省宁波市 2019 届高三上期末】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
PA AB BC 1 AD 1， BC / / AD ，已知 Q 是四边形 ABCD 内部一点，且二面角 Q PD A 的平 2
面角大小为
4
，若动点 Q 的轨迹将
ABCD 分成面积为
S1, S2 (S1
S2 )
的两部分，则
S1
:
S2
________.
【答案】 3 5 4 4
【解析】以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设 Q 的轨迹与 y 轴的交点坐标为 Q（0，b，0）（b＞0）．
V 1 1 2 2 2 1 2 2 2 8 ，应选答案 C.
32
2
3
7．【浙江省金丽衢十二校 2019 届高三第一次联考】如图，二面角
的大小为 ，
，
，
且
，
，
，则 与 所成角的大小为（ ）
A．
B．
【答案】C
【解析】∵
C．
D．
为等边三角形，又
，
，
由余弦
定理得
故 为等腰直角三角形，取 BC 中点 E,连接 DE，AE,则 AE⊥BC,DE⊥BC,∴∠DEA 为二面角
的平面角，BC⊥面 ADE,
DE=
中由余弦定理得 AD=1,过 A 作 AO⊥DE, BC⊥AO，故 AO⊥ ，故∠ADE 为 与 所成角，
∠ADE=
故答案为
8．【浙江省湖州三校 2019 年普通高等学校招生全国统一考试】已知三棱锥
中， 为正三角形，
，且 在底面 内的射影在 的内部（不包括边界），二面角
，
，
则“
”是“ 中至少有一条与 垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】C
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】先判断充分性，当
时，假设 都不与 垂直.
在平面 内作 的垂线 ，由 可得
，则
.
由
， 不垂直于 可得 与 相交.
由
，
可得 .所以 ，矛盾.
所以当
时，可以推出 中至少有一条与 垂直，即充分性成立.
由题意可知 A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），
【答案】D 【解析】如图：取 BC、BD、AC、AD 的中点为 G、H、K、L，因为 P、Q 是定点，所以 PQ 的中点 O 为定点，由 对称性可知，PQ、EF 的中点在中截面 GHLK 上运动，
∵
+
=+
,∴
，
又在正四面体中，对棱垂直，∴PE QF，
∴
，
∴4 =
若点 M 的轨迹是以 O 为圆心的圆，则 只有 D 符合题意，故选 D.
因为 ⊥平面
，所以 ⊥平面
，
所以 ⊥ ， ⊥ ，所以 为二面角
的平面角，即
，
问题转化为在 上找一点 ，使 最大，
设正方体的边长为 ，
，则
，
，
当
，即 为 中点时，
最小， 最大
此时，
，
18．【浙江省 2019 届高三高考全真模拟（二)】四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ， BAD 90 ，
3
23
故答案为：
23 2
3 ，1 ． 23
17．【浙江省台州市 2019 届高三 4 月调研】已知正方体
中， 为 的中点，在平面
内，直线
，设二面角
的平面角为 ，当 取最大值时，
______.
【答案】
【解析】设直线 交
于
，
因为直线
， 为 的是中点，所以 为 的中点，
过 作 ∥ 交 于 ，则 ∥ ，
连结 交 于 H，则 为 的中点，过 作 ∥ 交 于点 ，则 为 中点，
【答案】3 【解析】根据几何体的三视图，得该几何体为以等腰梯形 ABCD 与等腰梯形 棱柱，如图：
为底面，高为 1 的直四
由柱体体积公式得：V
．
又等腰梯形 ABCD 与等腰梯形
全等，面积和为
6，
矩形 DC 的面积为 2 1=2，矩形
的面积为 4 1=4，矩形
与矩形 DA 的面积相等，又由
正视图可得 BC= ，所以矩形
设 C(x, y) ，则 CA (x a)2 y2 ， CD (x a)2 y2 ， CB (x a)2 y2 h2 ，
∴
(x a)2 y2 h2 2
(x
a)2
y2
，化简可得
x
5 3
a
2
y2
16a2 9
h2 3
.
∴ C 的轨迹是圆．
故选：B．
二.填空题
11．【浙江省 2019 届高三高考全真模拟（二)】某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该几何体的
为定值，
6．【浙江省金丽衢十二校 2019 届高三第一次联考】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为（ ）
A． 32 3
B． 16 3
【答案】C
C． 8 3
D． 4 3
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【解析】由题设中三视图提供的图形信息与数据信息可知该几何体是一个三棱柱与一个等高三棱锥的组合
体，其中三棱柱与三棱锥的底面都是直角边长为 2 的等腰直角三角形，所以其体积
第九章 立体几何与空间向量
从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是:(1)有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式 出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质;(2)有关线线、线面和面面的平行与垂直的 证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力;(3) 线线角、线面角和二面角是高考的热点,五年五考,选择题、填空题皆有，解答题中第二问必考,一般为中档 题,在全卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力. 前几年浙江 卷较为注重几何法的考查，对空间向量方法考题较少，近三年则倾向于空间向量方法，且大题中考查线面 角的计算较多.（4）三视图问题，五年五考，往往与几何体的面积或体积相结合.
∴
故选：B．
10．【浙江省金华十校 2019 届高考模拟】如图， AB 是平面 的斜线段， A 为斜足，点 C 满足 sin CAB sin CBA( 0) ，且在平面 内运动，则（ ）
A．当 1时，点 C 的轨迹是抛物线 B．当 1时，点 C 的轨迹是一条直线 C．当 2 时，点 C 的轨迹是椭圆 D．当 2 时，点 C 的轨迹是双曲线抛物线
2
V 1 S AC 1 3 2 2 ，所以该几何体的最长侧棱长为 7 (cm) ，体积为 2 (cm3) .
3
32
2
2
12．【浙江省温州市 2019 届高三 2 月高考适应性测试】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几
何体的体积（单位：cm3）等于_____，表面积（单位：cm2） 等于____．
5．【浙江省温州市 2019 届高三 2 月高考适应性测试】在正四面体 ABCD 中，P，Q 分别是棱 AB，CD 的中点，
E，F 分别是直线 AB，CD 上的动点，M 是 EF 的中点，则能使点 M 的轨迹是圆的条件是（ ）
A．PE＋QF＝2
B．PE•QF＝2
C．PE＝2QF
D．PE2＋QF2＝2
【答案】 2 3 3 22
1 3
【解析】由三视图还原原几何体如图所示，该几何体为四棱锥 P ABCD ，
该几何体的表面积 S SPAB SPAD SPCD SPBC S四边形ABCD
3 1 11 1 2 6 2 2 3 3 ；
2
2
2
22
体积V 1 2 1 2 1 .
再判断必要性，当 中至少有一条与 垂直时，不妨设 ，
由 可得
，所以
，即必要性成立.
综上所述，“
”是“ 中至少有一条与 垂直”的充要条件.故选 C.
4．【浙江省三校 2019 年 5 月份第二次联考】已知正三棱锥
（底面是正三角形，顶点在底面的射影
是正三角形的中心），直线 平面 ， 分别是棱
上一点（除端点），将正三棱锥
绕
直线 旋转一周，则能与平面 所成的角取遍区间
一切值的直线可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】假设 满足题意，当 与平面 所成的角为 时，
中的任意一条
，由
可得
.
在正三棱锥中，可得
，当
时可得
，
显然这是不可能成立的，所以 不满足题意.
同理， 与 不可能垂直，则 与平面 所成的角不可能为 .
综上所述，可以排除 A,C,D，故选 B.
【答案】B
【解析】在 ABC 中，∵ sin CAB sin CBA( 0) ，由正弦定理可得： BC ， AC
当 1时， BC AC ，过 AB 的中点作线段 AB 的垂面 ，
则点 C 在 与 的交线上，即点 C 的轨迹是一条直线，
当 2 时， BC 2AC ， 设 B 在平面 内的射影为 D ，连接 BD ， CD ，设 BD h ， AD 2a ，则 BC CD2 h2 ， 在平面 内，以 AD 所在直线为 x 轴，以 AD 的中点为 y 轴建立平面直角坐标系，
面），因此几何体的体积为
，表面积为
15．【浙江省金华十校 2019 届高三上期末】一个棱柱的底面是边长为 6 的正三角形，侧棱与底面垂直，其 三视图 如图 所示，则这个棱柱的体积为______，此棱柱的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】由题意可知，该三棱柱是一个直三棱柱，且底面是边长为 6 的正方形，底面积为 ，
中，记锐二面
角
的大小为 ，锐二面角
的大小为 ，锐二面角
的大小为 ，若
，
则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】棱台
的侧棱延长交于点 P
过点 P 在平面 ABC 上的射影为 H，
设Ｈ到ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的距离分别为
，
∵
，
∴
，
则 故Ｈ所在区域如图所示
比较
即比较ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，
即比较ＨＡ，ＨＢ，ＨＣ 由图可知：ＨＣ＞ＨＡ＞HB
其中，最长的棱长是
，
体积
, .
14．【浙江省湖州三校 2019 年普通高等学校招生全国统一考试】某几何体的三视图如图所示（单位： ）， 则该几何体的体积（单位： ）等于_______，表面积（单位： ）等于__________．
【答案】
【解析】几何体一个边长为 2 的正方体挖去一个正四棱锥（顶点在正方体下底面中心，底面为正方体上底