浙江省桐乡市高级中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题(普通班)

桐乡市高级中学2015学年第一学期高二年级期中考试试卷

数学试题（普通班）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．直线0333=--y x 的倾斜角是（ ）

（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°

2．设n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）

（A ） 若αα//,//n m ，则n m // （B ） 若βαα⊥⊥,m ，则β//m

（C ） 若βαα⊥,//m ，则β⊥m （D ） 若βα//,m m ⊥，则βα⊥

3．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线（ ）

（A ）有无数条 （B ）有2条 （C ）有1条 （D ）不存在

4．直线013:1=+-y ax l ，01)1(2:2=+++y a x l ，若21l l ⊥，则=a （ ）

（A ）3 （B ）﹣3 （C ）﹣3或2 （D ）3或﹣2

5．正四棱锥S ﹣ABCD 中，SA =AB ，则直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）

（A ）66 （B ）33 （C ）63 （D ）3

6 6．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ）

（A ）21)2()3(22=-++y x （B ）2

1)2()3(22=++-y x （C ）2)2()3(22=-++y x （D ）2)2()3(22=++-y x

7．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2

8．已知点A (﹣2,0)，B (2,0)，C (0,2)，直线y =ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）

（A ）)22,0(-

（B ）)1,22(- （C ）]32,22(- （D ）)1,3

2[

二、填空题（本大题共7小题，第9至12题，每小题6分，第13至15题，每小题4分，共

36分，请将答案写在答题卷上）

9．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体

积为 ▲ ，表面积为 ▲ ．

10．已知圆O ：x 2+y 2

=1和点A (﹣2,0)，若定点B (b ,0)（b ≠﹣2）和常数λ满足：对圆O 上

任意一点M ，都有|MB |=λ|MA |，则：（Ⅰ）b = ▲ ；（Ⅱ）λ= ▲ ．

11．如图，已知圆C 与x 轴相切于点T （1，0），与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），

且|AB |=2，则：（1）圆C 的标准方程为 ▲ ．（2）圆C 在点B 处切线在x 轴上的截距为 ▲ ．

12．已知圆16)1()1(22=++-y x 的一条直径恰好经过直线032=+-y x 被圆所截弦的中点，

则中点坐标为 ▲ ，该直径所在直线的方程为 ▲ ．

13．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1=∠CAA 1=60°，则异面直线AB 1

与BC 1所成角的余弦值为 ▲ ．

14．在四棱柱ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AA ′⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC 且AD =AA ′=2BC ．过A ′，C ，D 三点的平面与BB ′交于

点E ，F ，G 分别为

CC ′，A ′D ′的中点（如图所示）给出以下判断：

①E 为BB ′的中点；

②直线A ′E 和直线FG 是异面直线；

③直线FG ∥平面A ′CD ；

④若AD ⊥CD ，则平面ABF ⊥平面A ′CD ；

⑤几何体EBC ﹣A ′AD 是棱台．

其中正确的结论是 ▲ ．（将正确的结论的序号全填上）

15．定义一个对应法则f ：P (m ，n )→P ′),(n m ，（m ≥0，n ≥0）．现有点A (3,9)与点B (9,3)，

点M 是线段AB 上一动点，按定义的对应法则f ：M →M ′．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M ′所经过的路线长度为 ▲ ．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本题满分15分）已知曲线方程C ：04222=+--+m y x y x ．

（1）当6-=m 时，求圆心和半径；

（2）若曲线C 表示的圆与直线:l 042=-+y x 相交于N M ,，且54=

MN ,求m 的值．

17．（本题满分15分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线

4x +3y ﹣29=0相切．求：

（1）求圆的方程；

（2）设直线ax ﹣y +5=0与圆相交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P (﹣2, 4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．

18．（本题满分15分）如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，

AE =EB =BC =2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．

（1）求证：AE ⊥平面BCE ；

（2）求证；AE ∥平面BFD ；

（3）求三棱锥C ﹣BGF 的体积．

19．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60°，

PA =AB =BC ，E 是PC 的中点．

（1）证明：CD ⊥AE ；

（2）证明：PD ⊥平面ABE ；

（3）求二面角A ﹣PD ﹣C 的正切值．

20．（本题满分14分）设函数f (x )=a 2x 2

（a ＞0），2)(9)(b x x g --=． （1）若函数y =f (x )图象上的点到直线x ﹣y ﹣3=0距离的最小值为2，求a 的值；

（2）关于x 的不等式(x ﹣1)2＞f (x )的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围；

（3）对于函数f (x )与g (x )定义域上的任意实数x ，若存在常数k ，m ，使得f (x )≥kx +m 和g (x )≤kx +m 都成立，则称直线y =kx +m 为函数f (x )与g (x )的“分界线”．设22=

a ，2

35=b ，试探究f (x )与g (x )是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；