中国邮递员问题各种算法的对比分析报告
邮递员问题最短路径的解法
邮递员问题最短路径的解法邮递员问题，又称旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），是一个著名的组合优化问题。
它要求找到一条路径，使得邮递员从出发点出发，经过所有的城市且仅经过一次，最后回到出发点，同时路径长度最短。
由于邮递员问题是NP-hard问题，没有多项式时间的解法。
然而，存在一些启发式和近似算法可以在可接受的时间内找到较好的解决方案：1. 蛮力法：尝试所有可能的路径组合，计算每条路径的长度，最终选择最短路径作为解。
这种方法的时间复杂度为O(n!)，适用于较小规模的问题。
2. 最近邻算法：从一个起始点开始，每次选择离当前点最近的未访问过的城市作为下一个访问点，直到所有城市都被访问过，然后回到起始点。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，虽然不能保证找到最优解，但是可以在较短的时间内找到较好的解。
3. 2-opt算法：先使用最近邻算法得到一个初始解，然后对路径进行优化。
2-opt算法通过不断交换路径中的两个边来减小路径的长度，直到没有可改进的交换。
该算法可以较快地优化路径，但无法保证找到全局最优解。
4. 遗传算法：使用进化计算的思想来解决TSP问题。
通过生成初始种群，交叉、变异等操作进行迭代优化，逐渐找到更好的路径。
遗传算法可以在较短时间内找到较好的解，但是无法保证找到最优解。
上述算法只是解决TSP问题的一部分方法，具体使用哪种方法取决于问题规模和时间要求。
对于较小规模的问题，可以使用蛮力法或者最近邻算法得到较好的解。
对于更大规模的问题，可以考虑使用启发式算法，如遗传算法等。
此外，还存在其他算法和优化技术用于处理TSP问题，根据具体情况选择合适的方法。
邮差问题算法
邮差问题算法【实用版】目录1.邮差问题的定义与背景2.邮差问题的数学模型3.邮差问题的算法解决方案4.邮差问题算法的应用案例5.总结正文1.邮差问题的定义与背景邮差问题，又称为邮递员问题，是图论中的基本问题之一。
这个问题可以追溯到 1960 年，当时我国数学家管梅谷首次对其进行了研究。
邮差问题的背景是这样的：假设有一个邮递员从邮局出发，他需要将信件送到辖区内的每条街道，并且每条街道至少要经过一次，最后再返回邮局。
那么，在这个条件下，如何选择一条最短的路线呢？这个问题就是邮差问题。
2.邮差问题的数学模型为了更好地理解邮差问题，我们可以将其抽象为一个图论模型。
在这个模型中，邮局作为图的一个顶点，每条街道作为图的一条边，而邮递员需要经过的街道就是图中的路径。
目标是找到一条从邮局出发，经过所有街道一次后返回邮局的最短路径。
3.邮差问题的算法解决方案针对邮差问题，有多种算法可以求解。
这里我们介绍两种常用的算法：欧拉回路算法和 Hamilton 回路算法。
欧拉回路算法：欧拉回路是指在一个图中，经过每条边一次且回到起点的路径。
欧拉回路算法可以解决邮差问题，其基本思想是：从任意一个顶点出发，尝试遍历所有顶点，如果遇到已经访问过的顶点，则尝试回溯，直至找到一条欧拉回路。
Hamilton 回路算法：Hamilton 回路是指在一个图中，经过每条边恰好一次且回到起点的路径。
与欧拉回路算法类似，Hamilton 回路算法也是从任意一个顶点出发，尝试遍历所有顶点。
不同之处在于，当遇到已经访问过的顶点时，算法会尝试通过一个尚未访问的顶点回到起点，以形成一个 Hamilton 回路。
4.邮差问题算法的应用案例邮差问题算法在实际生活中有很多应用，例如物流配送、DNA 测序、无线通信等。
以物流配送为例，假设有一个物流公司需要在若干个仓库之间运送货物，每个仓库至少要经过一次，那么如何规划路线才能使得总路程最短呢？这时，邮差问题算法就可以派上用场。
运筹学课件4.8 中国邮递员问题
哥尼斯堡七桥问题与欧拉图 中国邮递员问题 求解中国邮递员问题的奇偶点图作业法 奇偶点图作业法的改进方法
一、哥尼斯堡七桥问题与欧拉图
哥尼斯堡七桥问题 欧拉图与一笔画问题
A
A C B 哥尼斯堡七桥问题 C D
D
B
二、中国邮递员问题
1962年，管梅谷先生提出 中国邮递员问题 若图中无奇点，欧拉圈即为所求 若图中有奇点，则奇点必为偶数，在奇点间加边 （重复走），使其变为偶数而成欧拉图。 中国邮递员问题是要求所加边的权之和最小。
三、求解中国邮递员问题的奇偶点图作业法
在奇点间加边，构造初始可行方案。 寻找改进可行方案：在两奇点间检查所有链，若 某链的长度小于已加重复边的长度，则在该链的 每边加上重复边，去掉原重复边。 重复以上步骤，直到任意两奇点间加重复边的链 是最短的为止。
求解中国邮递员问题：例子
v2
1 2 3 6
v3
4 2
5 1 2 2
v1
v6
v4
3
v5
例子的初始可行解
v2
1 2 3 6
v3
v4
4 2 3
5 1 2 2
5
v1
v6
2
v5
例子的修正解
v2
1 1 2 3 6
v3
v4
4 2 3
5 1 2 2 2
v1
v6
v5Leabharlann 四、奇偶点作业法的改进方法
奇偶点作业法的瓶颈是需检查太多的链 可以首先求出任意一对奇点之间的最短路， 从中选出总路长最小的组合方案。 也可以由奇点构成偶图，求最小匹配得到 最优解。
第六节 中国邮递员问题
e4
3
4
e3
e4
e1
V4 V2
3
4
e3
2
V2
e2
2
e5
V3
1
e2
2
e5
V3
1
e1
V4
(b)
8 30(a )
V1
V1
2
e4
3
4
e3
e4
e1
V4 V2
3
4
e3
2
V2
e2
2
e5
V3
1
e2
2
e5
V3
1
e1
V4
(d )
(c )
②
赋权图G的每个闭链上，
重复边权之和不超过该闭链总权数的一半
或该闭链中非重复边权之和． 设重复边权之和为a，非重复边权之和为b：
赋权图g的每个闭链上重复边权之和不超过该闭链总权数的一半或该闭链中非重复边权之和例例8888设有图830a所示的赋权图构造总权数最小的闭的欧拉链214321v2v3v4v1e2e3e4e5e214321v2v3v4v1e2e3e4e5e214321v2v3v4v1e2e3e4e5e2v214321v3v4v1e2e3e4e5ea830bcd赋权图g的每个闭链上重复边权之和不超过该闭链总权数的一半或该闭链中非重复边权之和设重复边权之和为a非重复边权之和为b
定理 8.6
加边法化欧拉图的原则和方法是：
在赋权图G的一些边上，加且仅加一条重 复边，使图G的每个顶点成为偶次顶点 ；
①
赋权图G的每个闭链上，重复边权之和不 超过该闭链总权数的一半或该闭链中非重复 边权之和．
②
例8.8 设有图 8-30（a）所示的赋权图，构造 总权数最小的闭的欧拉链．
(六)中国邮递员问题
v•1 e 1 v•2
e4
e5
e2
v•3 e 3 v•4
该图不存在欧拉回路
存在奇点
定理 无向连通图G为欧拉图的 充要条件是G中无奇点
证明：必要性
已知G=（V,E)为欧拉图，即存在一条欧拉回路C， C经过G的每一条边，由于G为连通图， 所以G中的每个点至少在C中出现一次
v•35
• • 9
v
4
4
4
4 v9
G1
步骤1、若图中某条边有两条或多于两条的重复边
同时去掉偶数条，使图中每一条边最多有一条重复边
可得到重复边权和较小的欧拉图 G2 G2的重复边权和= 21
v•1 2 •v 6 4 •v 7
• • • v
5
2
6
v
3
5
4
3
v8
v•3 5
4
4
9 v•4 4 •v 9
G2
G2是欧拉图， 重复边权和=21
记 G G C 1 （ V ， E ） E ， EE1， V是 E中边的端 在 G 中， G 与 C 以 1的公v共 2为顶 起点 点取C 一 2
简单 C 2 ： { v 2 ,回 e 1,0 v 5 ,e 5 路 ,v 6 ,e 6 ,v 1 ,e 1 ,v 2 }
记 G G C 2 （ V ， E ） E ， EE1， V是 E中边的
必要性G： 有设 一条 vi为以起,v点 j为终点的欧 L 拉 在 G上增加一 e(v条 i,vj)边 ,得连通 G， 图 把e边 加L 到 中G 得 的一条欧 C，拉 即 G为 回 欧路 拉图 d(v)为偶 ,v G 数 在 G 中，,d(vi ),d(vj )为奇数
中国邮递员问题
中国邮递员问题第一篇：中国邮递员问题运筹学第六组运筹学个人心得之中国邮递员问题我们第六组做的第二次案例就是中国邮递员问题，这个问题是运筹学中的经典命题。
这个案例讲的是：在中国的六个县城，每个县城都有一个县局，县局下面设立若干个邮政所，每天邮递员的任务就是从县局出发，依次到每一个邮政所送邮件，要求每个邮政所都必须去，而且只能去一次。
这就涉及到一个路线的规划问题，怎么走才能使得邮递员走的路最少，而且能够完成任务。
在做题之前考虑了很久，真不知道从何着手，国为以前确实没有接触过这个类型的题，没有一个能够行得通的办法。
后来，我们选定了一个代表性的区域，来尝试求解，国为第六个区域的变量最多，所以就选择这个区域作为突破口。
只要第六个区域求解成功，其它五个区域便迎刃而解了。
首先，我们画了一个由第六区域的十七个点所组成的17*17矩阵，一一对应设定变量，在去除对角线的17个变量之后，我们得到272个变量。
这是一个非常庞大的变量群体，若按传统的线性规划方法求解，求解过程将会变得异常艰辛，而且以前的模板，求解工具都不能求解这么多变量。
所以我们一度陷入混乱，求解工作停滞不前。
后来老师在对这价目案例作初步的讲解的时候，提出了用运输模型来对这个问题进行求解，此话一出，真是如醍醐灌顶，酣畅极了，眼前简直豁然一亮，真想“拍案而起”。
若用运输模型求解，这个问题将会变得非常简单。
一方面由于每行的出发点只能有一个，而每列的终点也只能有一个，这样看来，邮运筹学第六组递员总是变成了一个产销平衡的运输问题，产量和销量都有是1。
这样我们就完成了求解工作，在第一次求解得出结论后，我们画了一个路线图，发现有几个两点循环，没有形成一条大通路，于是我们重新加入了两点循环约束，进行二次求解；在第二次求解完成后，我们又重新画了路线图，结果发现有四点循环于是我们又加入四点循环约束，进行第三次求解，在得到第三次求解的结果后，我们又画出了路线图，这次刚好形成了一个完整的通路，保证了邮递员每点都走到且行走的路线最合理。
邮递员问题
邮递员问题简介邮递员问题是一个经典的图论问题，它主要考察如何找到一条最优路径，使得邮递员能够在最短的时间内将信件送到指定的目的地。
在现实生活中，邮递员需要考虑许多因素，如道路条件、交通情况等。
本文将介绍邮递员问题的基本定义和常用解法。
定义假设有一张地图，其中有许多点代表邮局、家庭等位置，点之间通过道路连接。
给定一个起始点，邮递员需要找到一条路径，从起始点出发，经过每个点恰好一次，最后回到起始点。
路径的长度即为邮递员送信的总时间。
解法邮递员问题可以通过穷举法或者图论中的最短路径算法来求解。
穷举法穷举法是一种朴素的解法，它尝试列举所有可能的路径，并计算每条路径的长度，最后选择长度最短的路径作为最优解。
然而，随着点的数量增加，穷举法的运行时间会呈指数级增长，因此对于较大的问题规模来说，穷举法并不适用。
最短路径算法较为高效的解决邮递员问题的方法是使用最短路径算法。
最短路径算法主要有两种：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法（Dijkstra’s algorithm）是一种广泛应用的单源最短路径算法。
它通过逐步计算从起始点到其他所有点的最短路径长度，并记录下每个点的前驱节点，最后得到起始点到目的地的最短路径。
迪杰斯特拉算法的基本思想是维护两个集合：一个集合包含已经确定了最短路径的点，另一个集合包含尚未确定最短路径的点。
通过动态调整这两个集合，逐步计算出路径长度。
弗洛伊德算法弗洛伊德算法（Floyd-Warshall algorithm）是一种多源最短路径算法，它可以计算任意两点之间的最短路径长度及路径。
算法通过动态规划的方式，逐步更新路径长度，直到得到最短路径。
由于弗洛伊德算法需要计算任意两点之间的路径，所以对于较大的问题规模，其运行时间要比迪杰斯特拉算法更长。
然而，弗洛伊德算法的优点在于可以一次性解决所有的最短路径问题，适用于需要频繁查询不同点之间最短路径的场景。
应用邮递员问题广泛应用于物流、快递等行业。
中国邮路问题及解决方案
中国邮路问题及解决方案中国邮递员问题一个邮递员送信，要走完他负责投递的全部街道（所有街道都是双向通行的且每条街道可以经过不止一次），完成任务后回到邮局，应按怎样的路线走，他所走的路程才会最短呢？解决方案1、图论建模由于街道是双向通行的，我们可以把它看成是赋权无向连通图，将路口模型为点，街道模型为边，街道的长度就是每条边的权值，问题转化为在图中求一条回路，使得回路的总权值最小。
1.1 最理想的情况若图中有欧拉回路，因为欧拉回路通过所有的边，因此任何一个欧拉回路即为此问题的解。
1.2 若G只有两个奇点Vi,Vj则有从Vi 到Vj 的欧拉迹，从Vj 回到Vi 则必须重复一些边，使重复边的总长度最小，转化为求从Vi 到Vj 的最短路径。
算法：1) 找出奇点Vi,Vj 之间的最短路径P；2) 令G' = G + P ；3) G'为欧拉图，G'的欧拉回路即为最优邮路。
1.3 一般情况，奇点数大于2 的时，邮路必须重复更多的边。
Edmonds算法(匈牙利算法)思想：步骤：1) 求出G所有奇点之间的最短路径和距离；2) 以G的所有奇点为结点(必为偶数)，以他们之间的最短距离为节点之间边的权值，得到一个完全图G1；3) 将M中的匹配边( Vi ，Vj )写成Vi 与Vj 之间的最短路径经过的所有边集合Eij ；4) 令G' = G U { Eij | (Vi,Vj) 属于M}，则G'是欧拉图，求出最优邮路。
2、具体模块实现2.1 最短路径用Dijkstra 算法计算Dijkstra 算法是一种最短路径算法，用于计算一个节点到其它所有节点的最短路径。
2.1.1 算法思想：按路径长度递增次序产生最短路径算法：把V 分成两组：1) S：已求出最短路径的顶点的集合2) V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合将T 中顶点按最短路径递增的次序加入到S 中，保证：1) 从源点V0到S 中各顶点的最短路径长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度2) 每个顶点对应一个距离值S 中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度2.1.2 求最短路径步骤1)初始时令S={V0},T={ 其余顶点}，T 中顶点对应的距离值若存在<V0,Vi> ，d(V0,Vi) 为<V0,Vi>弧上的权值；若不存在<V0,Vi> ，d(V0,Vi) 为∝2)从T 中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S3) 对S 中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi 的距离值缩短，则修改此距离值；重复上述步骤2、3，直到S 中包含所有顶点，即W=Vi为2.2 图的连通性测试检测用户输入的图是否是连通图，不是的话没办法求解，提醒用户重新输入。
中国邮递员问题小论文
中国邮递员问题摘要：一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过他管辖范围内的每一条街道，如何选择投递路线，使邮递员走尽可能少的路程．这个问题是由我国数学家管梅谷先生（山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在国际上称之为中国邮递员问题本文主要介绍了中国邮递员问题的基本分析、求解中国邮递员问题的方法以及有关欧拉回路的算法实现。
关键词：中国邮递员欧拉图欧拉回路一、中国邮递员问题的分析中国投递员问题是1960年我们从生产实际中提出的一个数学问题，它是从下述实际问题中抽象出来的：“一个投递员应该怎么选择一条线路，才能既把所有由他负责的信件都送到，而所走的路程又最短”。
在我们开始研究中国投递员问题以前，国外有人研究过所谓旅行售货员的问题，即：“一个售货员要到n个城市去售货，问他应该选择怎样的一条线路，才能既走遍所有城市，并且走的路程最短”。
这是一个著名的难题.当n较大时，即使使用大型电子计算机，也很难解决。
投递员面临的问题显然可以归纳为旅行售货员问题，事实上，只要把投递员必须送的每一个地点看成是一个城市就行了.但是一般来说，投递员每次要到约二、三百个地点送信，如果归纳为旅行售货员问题来解决，将是一个规模很大的问题，是无法解决的.但是，在仔细分析了投递员面临的问题后，我们发现这个问题具有一定的特点，即需要送信的地点一般都是比较密集的排列在街道上的，因此，实际上，我们称这个问题为“最短投递线路问题”，1965年后国外称之为“中国投递员问题”(这个问题是我国数学家管梅谷先生在20世纪60年代提出来的)用图论的语言来描述就是在一个带权图G中，能否找到一条回路C，使C包含G的每条边至少一次且C的长度最短？如若他所管辖的街道构成一欧拉回路，则这欧拉回路便是所求路径。
如若不然，即存在度数为奇数的顶点，必然有些街道需要多走至少一遍，这时用中国邮路问题算法可求出最短路径。
中国邮递员数学问题
中国邮递员数学问题
中国邮递员数学问题是一个著名的数学问题，也称为"中国邮递员问题"。
这个问题源于邮递员在担任邮递员工作时，需要沿着不同的街道进行投递。
邮递员必须走遍每一条街道至少一次，然后回到出发地点。
问题的目标是寻找一条最短的路径，使得邮递员能够满足投递的要求。
具体问题描述如下：给定一个城市的街道网络图，每条街道上都有一个正整数表示街道的长度。
邮递员需要从一个特定地点出发，沿着街道网络进行投递，然后回到出发地点。
要求邮递员经过的路径总长度最短。
这个问题属于旅行商问题的变种，是一个NP-完全问题。
因为问题规模较大，难以找到一个最优解。
因此，通常采用近似算法进行求解，如TSP（Traveling Salesman Problem）等。
邮递员问题在实际中有很多应用，比如快递员的路线规划、物流配送等。
解决这个问题可以提高物流效率，减少成本。
最新中国邮递员问题
现在的问题是第一个可行方案如何确定？
在确定一个可行方案后，怎么判断这个 方案是否为最优方案？
若不是最优方案，如何调整这个方案？
习题
v1
车辆从某配送中心 （v1）出发，给街道 5 边上的超市 （v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8, v2 v9）送货，如图所示。
5
v3
2
v8
4 v7
3
3
第二步：调整可行方案
在书P280图10-34中， 圈（v2,v3,v4,v9,v2）的总长度为24，但圈 上重复边总权为14，大于该圈总长度的 一半，因此可以做一次调整，以[v2,v9]， [v9,v4]上的重复边代[v2,v3]，[v3,v4]上的 重复边，使重复边总长度下降为17。见 图4
v1
v6
5
4
4
v3
9
v4
4
v5
图5
检查图5，均满足条件（1）和（2），于 是得到最优方案。图5中的任一欧拉圈都 是汽车的最优配送路线。
如：v1-v2-v9-v8-v1-v8-v7-v6-v5-v4-v9v6-v9-v4-v3-v2-v1是汽车的一条最优配送 路线。
注意：
奇偶点图上作业方法的主要困难在于检 查条件（2）（即在最优方案中，图中每 个圈上重复的重复边的总权不大于该圈 总权的一半），它要求检查每一个圈。 当图中点、边数较多时，圈的个数将会 很多。
推论：连通多重图G有欧拉链，当且仅当 G恰有两个基点。
如图P277 图10-30 所示 ，现在的问题是：
如果我们已经知道图G是可以一笔画的，
首先引入割边概念，设e是连通图G的一个 边，如果从G中丢去e，图就不连通了， 则称e是图G的割边。
奇偶点图上作业法
中国邮递员问题解法
中国邮递员问题解法中国邮递员问题是一个著名的组合优化问题，实际上是一个旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）的变种。
问题描述：给定一个城市集合和城市之间的距离矩阵，求解一个最短的邮递员路径，使邮递员能够从出发城市出发，经过每个城市恰好一次，最后回到出发城市。
解法：1.暴力搜索暴力搜索是最简单直观的解法。
遍历所有可能的路径，计算每个路径的总距离，最后选择最短的路径。
这种解法的时间复杂度为O(n!)，随着城市数量的增加而急剧增加，效率非常低，只适用于小规模问题。
2.动态规划动态规划是一个更高效的解法。
使用一个二维数组dp[i][j]表示从城市i出发经过城市集合j的最短路径长度，其中j是一个二进制数，表示哪些城市已经访问过。
动态规划的转移方程为：dp[i][j] = min{dp[k][j XOR (1 << k)] + distance[i][k]}，其中k表示已经访问的最后一个城市。
利用这个递推关系，可以逐步计算出dp[0][1<<n-1]，即从城市0出发经过所有城市的最短路径。
最后，将此路径与每个城市的距离相加，得到最终的最短路径长度。
3.贪心算法贪心算法是一种更简单的解法。
首先选择一个起始城市，然后每次选择距离最近且未被访问过的城市，将其加入路径中。
重复此过程，直到访问完所有城市，然后回到起始城市。
这种解法的时间复杂度为O(n^2)，但由于贪心策略的局限性（可能会出现回头或死胡同），所以得到的解并不一定是最优解。
以上是三种常用的解决中国邮递员问题的方法，具体可以根据实际情况选择合适的算法进行求解。
中国邮递员问题各种算法的对比分析
附录2《图论》课程专题论文论文题目： 中国邮递员问题各种算法的对比分析班 级： 2008级数学与应用数学组 长： 马利巍2011年 12 月 27 日论文评价指标与鉴定意见摘要本文基于无向图的传统中国邮递员问题,给出了相应的显式整数规划模型,进一步讨论了一类基于有向图的广义中国邮递员问题,给出了相应的显式整数规划模型；并研究了随机中国邮递员问题,建立了相应的确定型等价模型。
并可以利用奇度数结点的配对来进行求解。
根据此思想给出了一种新的求解思路——通过去掉原始图中的偶度数结点并利用最小生成树来确定奇度数结点的配对。
提出了“虚拟权值”和“虚拟节点”的概念[]5,给出了中国邮递员问题的一种基于DNA 计算的求解算法。
新算法首先利用多聚酶链式反应技术来排除非解,从而得到中国邮递员问题的所有可行解；然后,结合基于表面的DNA 计算方法与荧光标记等技术,最终从所有可行解中析出最优解。
通过各种算法分析比较表明,新算法具有易于解读、编码简单等特点。
关键字：中国邮递员问题整数规划最优化模型奇度数结点最小生成树DNA计算多聚酶链式反应AbstractBased on the traditional Chinese to figure without the postman problem,The corresponding display integer programming model，further discussed based on adirected graph of the generalized China the postman problem，the corresponding display integer programming model；And the traditional China the postman problem，established the corresponding equivalent model that can and can use odd degree of nodes to solving matching。
中国邮递员问题
6
5
3 4
v5 4
v9
3 v8 4
v1
9
v4
4
v7
v3 5 v2 5
v1
2
v6 4
3
6
4
v5
4
v9
3 v8
4
9
v4
4
v7
运筹学
判定标准1: 在最优邮递路线上，图中的每一条 边至多有一条重复边。
判定标准2 : 在最优邮递路线上，图中每一个 圈的重复边总权小于或等于该圈总权的一半。
例8.12 求解下图所示网络的中国邮路问题，图中数 字为该边的长。
v3 2 v6 4 v9
5
3
v2
6 v5
5
4
3
4
v8
4
v1
9
v4
4
v7
v3 2 v6 4 v9
A
C
D
B
二、 奇偶点图上作业法 （1）找出图G中的所有的奇顶点，把它们两两配 成对，而每对奇点之间必有一条通路，把这条通路 上的所有边作为重复边追加到图中去，这样得到的 新连通图必无奇点。 （2）如果边e=（u,v）上的重复边多于一条，则 可从重复边中去掉偶数条，使得其重复边至多为一 条，图中的顶点仍全部都是偶顶点。 （3）检查图中的每一个圈，如果每一个圈的重 复边的总长不大于该圈总长的一半，则已经求得最 优方案。如果存在一个圈，重复边的总长大于该圈 总长的一半时，则将这个圈中的重复边去掉，再将 该圈中原来没有重复边的各边加上重复边，其它各 圈的边不变，返回步骤（2）。
运筹学
中国邮递员问题
一、 欧拉回路与道路 定义8.18 连通图G中，若存在一条道路，经过每 边一次且仅一次，则称这条路为欧拉道路。若存 在一条回路，经过每边一次且仅一次，则称这条 回路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图。 定理8.7 一个多重连通图G是欧拉图的充分必要 条件是G中无奇点。 推论 一个多重连通图G有欧拉道路的充分必要 条件是G有且仅有两个奇点。
中国邮递员问题
3, 一般情况下的邮路问题
当 G ( V , E )不是欧拉图也无欧拉 道路,即奇次 顶点数大于 2时,邮路必须重复更多 的边. Edmonds 算法
思想:利用奇次结点之 间的完美匹配来确定重 复边, 使欧拉图具有最优邮路 . 步骤: 1,求出 G 的所有奇次结点之间的 最短路径和距离. 2,以 G 的所有奇次结点为结点 (必为偶数),以他们 之间 最短距离为结点之间边 的权,得到一次完全图 G1 ; 3,将 M 中的匹配边( v i , v j)写成 v i 与 v j 之间最短路径 所经过的边集合 E ij ; 4,令 G = G U { E ij ( v i , v j ) ∈ M }, 则G是欧拉图,找到最优解 .
定理: 连通无向图 G (V , E )是欧拉图 每个顶点 的度数均为偶数.
推论1:连通无向图 G为欧拉图 G的边集可划分 为若干简单回路.
二,中国邮路问题
给定一个连通赋权图 G,要求一条回路经过 每边至少一次,且此回 路的权和最小.
1,最理想的情况 若G是一个连通的欧拉图, 则有欧拉回路.这时 每边只需经过一次,回 路长度(权和)为 L(c ) = ∑ w ij
第五节 中国邮递员问题
一,欧拉回路
在连通图中,经过图中 的每边一次且仅一次的 1, 道路为欧拉道路.经过 图中每边一次且仅一次 的 回路称为欧拉回路.
2, 具有欧拉回路的图称为 欧拉图.(简称 E图)
3, 边不重复的道称为简单 道路; 边不重复的回路称为简 单回路.
4, 区别:简单回路不必经 过图的每条边,欧拉回 路 必须经过图的每条边 .
2,若G只有两个奇次点 v i , v j , 则有从 v i 到v j的欧拉 道路,从 v j回到 v i 则必须重复一些边,使 重复边 的总长度最小,转化为 寻找 i 与v j 之间的最短路径 P ; 2, G = G + P ; 令 3, 为E图,的欧拉回路即为最优邮 路. G G
对“中国邮递员问题”的数理分析
一位邮递员从邮局出发投递邮件，经过他所管辖的每条街道至少一次，然后回到邮局。
请为他选择一条路线，使其所行路程尽可能短。
如何找到这条最短的路线，本文将逐步分析讨论这个问题。
与上述问题类似的是一个哥尼斯堡七桥问题。
在18世纪，东普鲁士有个城市叫哥尼斯堡，普瑞格尔河横贯其境，河中有两个美丽的小岛，全城有七座桥将河的两岸与河中两岛沟通，市民们喜欢四处散步，于是便产生这样的问题：是否可以设计一种方案，使得人们从自己家里出发，经过每座桥恰好一次，最后回到家里。
热衷于这个有趣问题的人们试图解决它，但没有人能给出答案，后来数学家欧拉证明了这样的散步是不可能的。
下面我们把上述七桥问题转化为图论问题：一个连通图G由有限结点与连接这些结点的若干条互不相交的边组成，能否做一条连续的曲线，使得这条曲线走过所有的边恰好一次。
定义经过图G的每条边恰好一次的迹称为图G 的欧拉迹。
图 G 的环游是指经过图 G 每条边至少一次的闭途径，欧拉环游是指经过图 G 每条边恰好一次的环游。
一个图若包含欧拉环游，则这个图称为欧拉图。
定理 1 一个非空连通图是欧拉图当且仅当它没有奇点。
证明必要性：设图 G 是一个欧拉图，C 是图 G 中一个欧拉环游，其起点(也是终点)为 u。
对于 Av∈V(G)，v 必在 C 上出现。
因 C 每经过 v 一次，就有两条与 v 关联的边被使用。
因为欧拉环游包含图 G 的每条边，所以对于所有的v≠u，d(v)都是偶数。
类似的，由于 C 开始终止于u，所以d(u)也是偶数。
所以，图 G 没有奇点。
充分性：无妨设ν(G)>1．因 G 连通且无奇点，故δ(G)≥2，因而必含有圈．当ν(G)=2 时，设仅有的两点为 u、v，则 u、v 间必有偶数条边，它们显然构成欧拉回路．假设ν(G)=k 时，结论成立．当ν(G)=k＋1 时，任取 v∈V(G)．令 S={v 的所有关联边}．记S 中的边为e1、e2、…、em，其中 m=d(v)为偶数．记 G'= G \ v。
中国邮递员模型研究
中国邮递员模型研究一、 中国邮递员问题概述著名图论问题之一。
邮递员从邮局出发送信，要求对辖区内每条街，都至少通过一次，再回邮局。
在此条件下，怎样选择一条最短路线?关于邮递员最优投递路线问题最早是由管梅谷首先提出并进行研究的, 国际上现在统称之为中国邮递员问题。
管梅谷给出了这一问题的奇偶点图上作业法。
Edmonds 等给出了中国邮递员问题的改进算法, 较前者的计算更为有效。
管梅谷对有关中国邮递员问题的研究情况进行了综述。
早期关于中国邮递员问题的讨论总是基于无向图展开的,事实上,由于单行线或上下行路线的坡度等原因, 这一问题有时必须借助于有向图来进行研究和解决。
到目前为止,对中国邮递员问题的研究主要是从图论角度展开的, 给出的多数都是各种启发式算法或递推算法。
本文从数学规划的角度进行研究。
数学规划建模具有借助软件包求解方便、 易于修改和推广等多方面的优点,即使对于大型问题也易于建模分析和解决的优点。
1、 传统中国邮递员问题的建模 一些基本概念:定义 经过G 的每条边的迹叫做G 的Euler 迹；闭的Euler 迹叫做Euler 回路或E 回路；含Euler 回路的图叫做Euler 图。
直观地讲，Euler 图就是从一顶点出发每边恰通过一次能回到出发点的那种图，即不重复地行遍所有的边再回到出发点。
定理（i ）G 是Euler 图的充分必要条件是G 连通且每顶点皆偶次。
（ii ）G 是Euler 图的充分必要条件是G 连通且 di i C G 1==，i C 是圈，)()()(j i C E C E j i ≠Φ= 。
（iii ）G 中有Euler 迹的充要条件是G 连通且至多有两个奇次点。
问题（管梅谷，1960） ：一位邮递员从邮局出发投递邮件，经过他所管辖的每条街道至少一次，然后回到邮局。
请为他选择一条路线，使其所行路程尽可能短。
图论模型：求赋权连通图中含有所有边的权最小的闭途径。
这样的闭途径称为最优回路。
中国邮递员问题——欧拉巡回
案例1：双车道公路扫雪模型
深度优先搜索法遍历求解
威廉王迷宫
c
f
b
d e
g
l
i
j
h
k
x
a
案例1：双车道公路扫雪模型
深度优先搜索法遍历求解
要求1）的解法2（续）
扫雪车行驶规则： 1. 从起点出发，优先选择未作业过的路段； 2. 到达交差路口时，若身后路面的两个车道都已 铲且前面还有未作业过的路段，或前方路段都 未作业过，则驶入最靠右边的路段继续作业； 否则，身后路面只铲了一个车道，应掉头铲另 一个车道。 3. 行驶到一头不通的道路尽头应掉头，在反向车 道上作业。
求添加的重复边权和近可能小； 2) 在G*中求一条欧拉巡回。
走两条重复边相当于原图的边走两遍。
结论：若连通图G正好有两个奇次顶点u,v，沿u到v 的一条最短路径添加重复边得到欧拉图G*, 则G*的 欧拉巡回便是G的最佳巡回。
求解中国邮递员问题的算法
最小权对集法（Edmonds) 设G是连通加权图。 1) 求G的所有奇次顶点之间的最短路径及其
迷宫任务：从迷宫入口处出发，每个走廊都要搜索，最后 再从入口出来．
案例1：双车道公路扫雪模型
深度优先搜索法遍历求解
要求1）的解法2（续）
迷宫法则： 1）沿着未走过的通道尽可能远地走下去，走到死胡 同或那里已无末走过的走廊可选时，沿原路返回； 2）到达路口，若有未走过的走廊时，沿这一走廊尽 可能远地走下去，…，最后即可按索退全部走廊 和厅室，再由入口处出迷宫．
法在有向图上求出有向欧拉巡回。
v1
10
v2
6
v3
6
8
v4 5
3 v5
v6
v7
物流配送优化问题及算法
物流配送优化问题及算法2006年12月17日星期日上午 10:351、旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）这个问题字面上的理解是：有一个推销员，要到n个城市推销商品，他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。
TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。
TSP由美国RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线性规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题。
2、中国邮递员问题（Chinese Postman Problem CPP）同样的问题，在中国还有另一个描述方法：一个邮递员从邮局出发，到所辖街道投递邮件，最后返回邮局，如果他必须走遍所辖的每条街道至少一次，那么他应如何选择投递路线，使所走的路程最短？这个描述之所以称为中国邮递员问题，因为是我国学者管梅古谷教授于1962年提出的这个问题并且给出了一个解法。
3、“一笔画”问题（Drawing by one line）还有一个用图论语言的描述方式：平面上有n个点，用最短的线将全部的点连起来。
称为“一笔画”问题。
4、配送路线问题（Route of Distribution）TSP问题在物流中的描述是对应一个物流配送公司，欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。
如何确定最短路线。
TSP问题最简单的求解方法是枚举法。
它的解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的集合，大小为（n-1）！。
可以形象地把解空间看成是一个无穷大的丘陵地带，各山峰或山谷的高度即是问题的极值。
求解TSP，则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到山顶或谷底的过程。
5、多回路运输问题（Vehicle Routing Problem, VRP）多回路运输问题在物流中的解释是对一系列客户的需求点设计适当的路线，使车辆有序地通过它们，在满足一定的约束条件下，如货物需求量、发送量、交发货时间、车辆载重量限制、行驶里程限制、时间限制等等，达到一定的优化目标，如里程最短、费用最少、时间最短，车队规模最少、车辆利用率高。
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附录2《图论》课程专题论文论文题目： 中国邮递员问题各种算法的对比分析 班 级： 2008级数学与应用数学组 长： 马利巍2011年 12 月 27 日论文评价指标与鉴定意见摘要本文基于无向图的传统中国邮递员问题,给出了相应的显式整数规划模型,进一步讨论了一类基于有向图的广义中国邮递员问题,给出了相应的显式整数规划模型；并研究了随机中国邮递员问题,建立了相应的确定型等价模型。
并可以利用奇度数结点的配对来进行求解。
根据此思想给出了一种新的求解思路——通过去掉原始图中的偶度数结点并利用最小生成树来确定奇度数结点的配对。
提出了“虚拟权值”和“虚拟节点”的概念[]5,给出了中国邮递员问题的一种基于DNA计算的求解算法。
新算法首先利用多聚酶链式反应技术来排除非解,从而得到中国邮递员问题的所有可行解；然后,结合基于表面的DNA计算方法与荧光标记等技术,最终从所有可行解中析出最优解。
通过各种算法分析比较表明,新算法具有易于解读、编码简单等特点。
关键字：中国邮递员问题整数规划最优化模型奇度数结点最小生成树 DNA计算多聚酶链式反应AbstractBased on the traditional Chinese to figure without the postman problem,The corresponding display integer programming model，further discussed based on adirected graph of the generalized China the postman problem，the corresponding display integer programming model；And the traditional China the postman problem，established the corresponding equivalent model that can and can use odd degree of nodes to solving matching。
According to this thought gives a new method for solving thinking—by removing the original graph of the degree and use the node accidentally minimum spanning tree to determine the degree of the node′s pairing。
Put forward the “virtual weights ”and “virtual node ”，given China a postman of DNA computing algorithm is based on。
First the new algorithm is more Meilian together to exclude the technology of reaction solution，and then got the postman all feasible solutions to problems；And then，based on the surface with DNAcalculation methods and fluorescent markers，and from all the feasible solution of eventually get the optimal solution。
Through the comparison of the algorithm analysis show that the new algorithm is easy to read，code simple features。
Key words ：The postman problem of China Integer programmingOptimization model Odd degree node Minimum spanningtree DNA calculation More Meiliantogether in response1.问题的综述中国邮递员问题（Chinese postman problem ）也称中国邮路问题，是我国数学家管梅谷于1960年首次提出来的，引起了世界不少数学家的关注。
例如1973年匈牙利数学家Edmonds 和Johnson 对中国邮路问题提供了一种有效算法[]14。
这个问题的实际模型是：一位邮递员从邮局选好邮件去投递，然后返回邮局，他必须经过由他负责投递的每条街道至少一次，为这位邮递员设计一条投递线路，使其耗时最少。
2.图论中模型任给定一个图G ，对E(G)加权，即对每个)(G E e ∈，任意指定一个非负实数)(e ω，求G 的一个含有一切边回路W ，使得W 的总权[]20.min )(=∑∈W e e ω如果G 是Euler 图，则所求的中国邮路W 就是一条Euler 回路。
1921年，Fleury 给出求Euler 图G 中一个Euler 回路的算法。
值得指出的是，即使已知G 是Euler 图，如果没有一定的路线遵循，也不是漫不经心就可以找出它的一个Euler 回路的，例如图1是Euler 图，设从1v 开始，寻找一条Euler 回路，如果开始三步是1231v v v v 就失败了，因为回到1v 之后发现左侧的5K 上的边还没有用过，而1v 的关联边已全用过，不能从1v 再去通过左侧那些未用图 1过的边了（注意每边只能用一次）。
究其失败的原因，是因为用了31v v 边之后，在未用过的边们导出的子图上，23v v 是桥，提前过桥23v v 的后果是断了去左侧5K 的后路。
这里的教训是，非必要时，不要通过未用过的边的导出子图的桥，根据这一思路，Fleury 设计了如下求Euler 回路的有效算法，代号FE 算法[]8：（1）任取)(0G V v ∈，令00v W =.（2）设行迹i i v v v v W Λ210=已选定，则从)()(W E G E -中选一条边1+i e ，使得1+i e 与i v 相关联，且非必要时，1+i e 不要选)(W E G -的桥。
（3）反复执行（2），直至每边)(G E e ∈皆入选为止。
FE 算法是有效算法，其时间复杂度是|))((|G E O 。
用FE 算法在上图中可选得Euler 回路：12364753765431v v v v v v v v v v v v v v W =FE 算法的正确性证明如下： 令G 是Euler 图，n nv v v v W K 210=是FE 算法终止时得到的行迹，由算法知n v 在)(n W E G -中的次数为零，显然0v v n =，于是n W 是G 的一条闭行迹，下证n W 就是G 的Euler 回路，反证之，若n W 不是G 的Euler 回路，设1V 是)(n W E G -中次数非零的顶组成的顶子集。
容易看出∅≠1V ，且1V v n ∉。
令12)(V G V V -=，则2V v n ∈；设m 是1V v m ∈，而21V v m ∈+的v 的下标的最大值，见图2。
由于nW的终点在2V中，于是1+me是)(mWEG-的桥，设e是)(mWEG-中与mv关联的边。
且1+≠mee，由算法知e为)(mWEG-的桥，故e也是1V在)(mWEG-中导出的子图mG的桥。
设nG是1V在)(mWEG-中导出的子图，则nmGG=，于是mG每顶皆偶次，mG中无桥，与e是mG的桥矛盾。
图 2下面讨论加权图G中有奇次顶时中国邮路问题的解法。
这种情形有的边不得已要通过至少两次，哪些边要通过不止一次才能使得完成投递的时间最短呢？让我们通过一个实例来探讨这一问题[]5。
在图3中，边旁写的是权)(eω图 3（1）在图3中，奇次顶集为},,,{4321vvvvV=（2）在V中，每对顶的距离为（Dijkstra算法去求）：3),(,5),(,3),(2),(,5),(,4),(434232413121======vvdvvdvvdvvdvvdvvd（3）构造完全加权图4K，},,,{)(43214vvvvKV=，边权4,1,),,()(≤≤≠=j i j i v v d v v j i j i ω，见图4：图 4（4）求（3）中4K 的最佳（总权最小）的完备匹配M ， },{3241v v v v M =（5）在G 中求得1v 和4v 间最短轨41141),(v u v v v P =；2v 与3v 间最短轨34232),(v u v v v P =（6）在G 中沿),(41v v P 与),(32v v P 把边变成同权“倍边”，见图5[]3图 5（7）在Euler 图5上用FE 算法求得一条Euler 回路11625641435342321243411v u u u u u v u u v u u v v u u v v u v v u v W =， W 即为所求的中国邮路（不唯一）上述解法具有代表性，一般的中国邮路解法步骤总结如下：设G 是连通加权图（1）求G 中奇次顶集合)}2(m od 1)(),(|{0=∈=v d G V v v V .（2）对0V 中的每个顶对v u ,，用Dijkstra 算法求距离),(v u d .（3）够作加权完全图||0V K ,0||)(0V K V V =，||0V K 中边uv 之权为),(v u d .（4）求加权图||0V K 的总权最小的完备匹配M.（5）在G 中秋M 中同一边之端点间的最短轨.（6）把G 中在（5）求得的每条最短轨之边变成同权倍边，得Euler 图G'.（7）用FE 算法求G'的一条Euler 回路W'，W'即为中国邮路.2.1 中国邮递员问题的整数规划模型[]7关于邮递员最优投递路线问题最早是由管梅谷首先提出并进行研究的，国际上现在统称之为中国邮递员问题。
早期关于中国邮递员问题的讨论总是基于无向图展开的，事实上，由于单行线或上下行路线的坡度等原因，这一问题有时必须借助于有向图来进行研究和解决。
到目前为止，对中国邮递员问题的研究主要是从图论角度展开的，给出的多数都是各种启发式算法或递推算法。
本文从数学规划的角度进行研究。
数学规划建模具有借助软件包求解方便、易于修改和推广等多方面的优点，即使对于大型问题也易于建模分析和解决的优点。
2.1.1传统中国邮递员问题的建模传统的中国邮递员问题可以概述如下[]1：一个邮递员每次送信要从其所在的邮局出发，走遍所负责投递范围内的每条街道，完成送信任务后回到原来的邮局，应该选择怎样的路线行走，才能使得所走的总路程数最小。