运筹学 中国邮递员问题

§4.中国邮递员问题

（Chinese Postman Problem）

1．问题的提出

例5. 一个邮递员从邮局出发投递信件, 然后再返回邮局, 如果他必须至少一次地走过他负责投递范围内的每条街道, 街道路线如下图所示, 问选择怎样的路线才能使所走

的路为最短?

5 6 78

问题的图论表述：在赋权G=[V, E]上找一条经每条边至少一次的权最小的圈。

1960年山东师范学院管梅谷教授首先提出此问题，并设计了一个“奇偶点表上作业法”，后来发现此法不是多项式算法，1973年，Edmonds和Johnson给出一个多项式算法。

2．哥尼斯堡七桥问题

18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如下图所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

3．Euler圈

Euler圈：经图G的每条边的简单圈

Euler图：具有Euler圈的图

Euler图非Euler图下面讨论的图G允许有重边，且重边被认为是有区别的边。

伪Euler 圈：经图G 的每条边至少一次的圈

点v 的次：与点V 关联的边的数目

奇(偶)点：该点的次为奇(偶)数

命题1：G 的奇点个数为偶数

命题2：G 中有伪Euler 圈 ⇔ G 无奇点

中国邮递员问题可表述为：在图G 中找一条权最小的伪Euler 圈。

对于邮递员来说，有些街道可能会重复走，原问题便转化为尽可能少走重复的 街道。我们将这些重复的边组成的集合称可行集，即找最小的可行集。

命题3：E *是最小可行集 ⇔

ωωμμμ()()()()*()*()e e e E E E e E E ≤∑∑∀μ∈∩∈∩\初等圈

重复的边 非重复的边

4．算法思路

由命题1，简单图G 的奇点个数为偶数，可设为v 1 , v 2 , …, v 2k , 对每个1≤ i ≤k, 找v 2i − 1 至v 2i 的链p i ，将p i 的边重复一次。对于每一个p i 而且除两端点外，其它点

保持原奇偶性，即此时图中无奇点。再将添加边多于1条的边, 成对删去, 仍保持点 的奇偶性。由命题2，存在伪Euler 圈。将添加的边组成一个可行集，由命题3检验 是否为最优，如果非最优的，则存在一圈不满足命题3, 将该圈中非重复边重复一次， 重复边删去一次，图的各点奇偶性不变。

5．管氏算法

计算步骤：

c 如果G 中没有奇点，则存在Euler 圈，停止计算。否则，设G 的奇点为v 1 , v 2 , …, v 2k , 转

d 。

d 对每一个1≤ i ≤k , 将v 2i − 1 至v 2i 的链p i 上的边重复一次，转

e 。

e 除原边外，将添加的重边成对删去，转

f 。

f 对每一个圈，计算有重边的权之和ω1以及无重边的权之和ω2。若前者均不大于后者， 则停止计算，获最优伪Euler 圈。否则，在出现重边权之和大于无重边权之和的所 有圈上，删去重边同时在无重边上添加一重边，转e 。

对于例5，我们有

(找奇点、消奇点)

v3 ,v6 , v2 ,v7

v8

(去重边、检查)

圈v2 v3 v7 v6 v2

v8

(调整)

v8