初中数学竞赛——正方形和梯形

【例28】（2）若 ， ，求 的面积．
！
【例29】如图， 是正方形 边 边上任意一点，过 作 的垂线交正方形的外角 的平分线于 ，求证： ．
:
【例30】 是正方形 的边 的中点，作 ， 在 上．求证： ．
.
【例31】如图，在梯形 中， ，两条对角线相交于 ， ，且 ， ，求证： ．
:
【例32】如图所示， 是正方形， 为 上的一点，四边形 恰好是一个菱形，则求 ．
；
【例24】 如图，梯形 中， ，对角线 ，且 ，求梯形的中位线的长度。
…
四.综合提高
【例25】如图，等腰直角 中， ， 是 的中点， 于 交 于 ，求证： ．
^
【例26】如图所示，等腰梯形 中， ，对角线 、 相交于 ， ，点 、 、 分别是 、 、 的中点．
【例27】（1）求证： 是等边三角形；
;
典型例题
一.正方形
【例1】如图，正方形ABCD中， 是正三角形，求∠EAD的度数．
~
【例2】 如图，在正方形 中， 为对角线 上的一点， 于 ， 于 ，求证： ．
【例3】^
【例4】如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，BF⊥CE于G交AD于F，求证：CE=BF．
【例5】…
【例6】如图，正方形 中， 是 的中点， 与 相交于 ，求证： ．
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作业
1.判断下列说法正确的是（ ）
A．四条边相等的四边形是正方形
B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
·
C．两条对角线分别平分一组对角的四形
2.下列哪个图形不是轴对称图形（ ）
A．等腰梯形
B．等腰三角形
C．矩形
D．平行四边形
3.等腰梯形四个内角之比可能是（ ）
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
，
（2）梯形的腰：梯形中不平行的两边叫梯形的腰．
（3）梯形的高：梯形两底间的距离角梯形的高．
（4）等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形,
（5）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫等腰梯形．
五.等腰梯形的性质：
（1）等腰梯形是轴对称图形，上下底中点所在的直线是对称轴．
【例16】如图，在梯形 中， ， ， ， ，延长 至 ，使 ，作 交 的延长线于点 ，求 的长度．
、
}
【例17】（
【例18】 如图，梯形 中， ，求对角线 之长。
;
【例19】如图，在直角梯形 中， ， 的中垂线 交 边于 ，交 延长线于 ，求证： 。
"
三.梯形的中位线
【例20】如图，等腰梯形 中，对角线 ，垂足为 ， 于 ， 是梯形的中位线，求证： ．
（2）等腰梯形同一底边上的两个角相等．
（3）等腰梯形的两条对角线相等．
六.?
七.等腰梯形的判定：
（1）同一底边上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（2）对角线相等的梯形是等腰梯形．
八.梯形的中位线：
（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做三角形的中位线．
（2）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于梯形的上下底，且等于上下底之和的一半．
【例43】
}
【例44】~
【例45】正方形 对角线交于 ， 的平分线交 于 ，交 于 ，求证： ．
？
【例46】 如图，在直角梯形 中， ， ． 为 边上一点，且 ．求证： ．
。
【例47】在正方形 中，已知 、 分别是边 、 上的点，满足 ， 、 分别与对角线 交于 、 ．求证：
（1） ；
{
（2） ．
—
【例48】已知 ，向外作正方形 和 ，直线 垂直 于 ，反向延长交 于 ，求证： 是 的中点．
￥
【例49】如图（1），在 中， ，点 、 是线段 上两动点，且 ，
，垂足为 ， 的延长线交 于点 ，直线 与直线 相交于点 ．
（1）试判断 的形状，并加以证明．
》
（2）若点 、 是直线 上两动点，其他条件不变，试判断 的形状，并说明理由．
（4）对称性：正方形是轴对称图形，有 条对称轴．
（5）特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的的夹角是 ；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
三.正方形的判定：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形．
（2）有一个角是直角的菱形是正方形．
四.梯形的相关定义：
(
【例21】如图，梯形 的中位线 与对角线 、 分别交于点 、 ，设梯形 的周长为 ，四边形 的周长为 ．若 ，试求 的值．
，
【例22】 如图， 外一条直线 ， 、 、 分别是各边中点 、 、 、 都垂直 于 、 、 、 ，求证： ．
、
【例23】如图，直角梯形 中， ， ， ， 是 的中点．若 ， ，求 的面积．
<
【例33】 如图， 是 的中线，分别以 、 为边向外作正方形 、 ．
【例34】求证： ．
》
~
【例35】如图，直角梯形 中， ， ． 为 边上一点，且 ．求证： ．
…
【例36】 四边形 是正方形，四边形 是菱形， 、 、 在一直线上．求证： 、 三等分 ．
?
~
【例37】如图，在梯形 中， ， ．求证： ．
-
\
【例38】 如图，梯形 中， ， ， 为 上一点，且 ， ，求 ．
、
|
【例39】 是正方形 的边 的中点，点 分对角线 的比为 ，证明： ．
\
【例40】如图，在正方形 中， 、 分别是 、 的中点，求证： ．
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【例41】如图，直角梯形 中， ， ， ， 是 上一点， ， ，求 ．
·
【例42】 正方形 中， 为 的中点， 为 上的点，且 ．求证： ．
第3讲正方形和梯形
知识总结归纳
一.正方形的定义：
定义：邻边相等的矩形叫正方形，或者有一个角为直角的菱形叫正方形．正方形既是矩形又是菱形．
二.正方形的性质：
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
（1）边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行．
（2）角：四个角都是直角．
|
（3）对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
（
A．
B．
C．
D．
4.如图，在四边形 中， ， ， ， 于 ．
求证： ．
…
5.如图所示，正方形 对角线 与 相交于 ， ∥ ，且分别与 交于 ．试探讨 与 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．
6.如图，在正方形 中, 是 的中点， 与 交于 点，求证： ．
【
7.如图，梯形 中， ，点 是 的中点，且 ，求证：四边形 是等腰梯形．
13.如图，在梯形 中， ， ， ， 是 上一点，且 ， ．求 的长．
8.如图，设 正方形 的对角线 ，在 延长线上取一点 ，使 ， 与 交于 ，求证： 正方形的边长．
9.如图，在梯形 中， ， ，求证： ．
10. 如图，在梯形 中， ， ， 是 的中点，且 ．求证： 到 的距离等于 ．
11. 在梯形 中， （ ）， ， ， 在 上， ，若 ，求 的长．
12.如图， ，在 的内部有一个正方形 ，点 、 分别在射线 、 上，点 是 上任意一点，在 的内部做正方形 ．连结 ，猜一猜 的度数是多少并证明你的结论；
！
【例12】如图，已知直角梯形 ， ，腰 的长为 ， ，则该梯形另一腰 的长是多少
【例13】等腰梯形的一角为 ，上底为 ，下底为 ，则它的腰长是多少
（
【例14】如图，在梯形 中， ，对角线 、 交于 ， ，求证： ．
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【例15】如图，在等腰梯形 中，已知 ，对角线 与 互相垂直，且 ， ，求等腰梯形的面积．
【例7】\
【例8】如图，在正方形 中， 为 上一点， 的延长线交 的延长线于 ，交 于 ， 为 的中点，求证： 。
【例9】：
【例10】如图，在正方形 中，点 在 上， ， ，点 在 上，求 与 和的最小值．
%
二.梯形
【例11】已知，等腰梯形 中， ， 平分 ．
（1）求证： ．
~
（2）若 ， ，求梯形的周长．