221___向量加法运算及其几何意义

量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫
做向量的加法.上述求两个向量和的方法，称为向量加法
的三角形法则.对于下列两个向量 a与b ，如何用三角形 法则求其和向量？
a
a＋b
b
b
a
思考5：图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方 向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
１.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平 行四边形法则作两个向量的和向量； ２.掌握向量的加法的交换律和结合律，并会用它们进行向 量计算； ３.通过对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习， 增强学生的识图能力，为今后培养用数形结合的方法解题 奠定基础．
A
2.力的合成
F1 F2 F
B F1
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看，AC 可以认为 是 AB与BC的和，F可以认为是 F1与F2 的和，即位移、力 的合成可以看作向量的加法.
向量加法的几何运算法则 思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C， 则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
a
B
C
b a＋b
O
b
a
A
思考8：用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和 向量，其作图特点分别如何？ 三角形法则：首尾相接连端点； 平行四边形法则：起点相同连对角.
例1.已知向量, a、b，求作向量 a b.
作法1：在平面内取一点O，作OA a, AB b.则OB a b.
作法2：在平面内取一点O，作 OA a, OB以 Ob.A、
回忆巩固
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反 映的？什么叫零向量和单位向量？
由于大陆和台湾没有直航，因此王先生春节回老家探 亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机 的位移是多少?
上海 台北 香港
上海
c
b
香港
台北
a
C 1.位移 AB BC AC
同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2
之间的关系如何？
图1
F1
M
C
EO
F2
F1 F
F2
图2 M
EO
F F F1 F2
思考6：人在河中游泳，人的游速为 OA 水流速为 OB ， 那么人在水中的实际速度 OC 与 OA 、OB 之间的关系如
何？
O
B
A
C
OC OA OB
思考7：上述求两个向量和的方法，称为向量加法的平 行四边形法则.对于下列两个向量 a与b ，如何用平行四 边形法则求其和向量？
| a＋b ||| a |－| b ||， 当且仅当 a与b 反向时取等号.
思考5：实数的加法运算满足交换律，即对任意 a, b∈R， 都有 a b b a, 那么向量的加法也满足交换律吗？如何检
验？
B
a
C
b
a＋b
ｂ
O
A
a
a＋b OA AC OC
b＋a OB BC OC
思考6：实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，
A
d
cC
a
b
B
(1)a b c
(2)c d f (3)a b d f
(4)c d e g
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律
向量加法的运算
A
B
答:船实际行驶速度的大小为5.4km/h,方向与水流速度 间的夹角约为68°.
１.化简
(1)AB CD BC ___A_D____
(2) MA BN AC CB ___M_N____
(百度文库)AB BD CA DC ____0____
2.根据图示填空
E eD
gf
AB BC AC
A
BC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C， 则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
CA
B
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C， 则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
C
AB BC AC
A
B
思考4：上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向
c∈R，都有（a＋b）＋c=a＋（b＋c）.那么向量的加法也
满足结合律吗？如何检验？
C
abc
（a＋b）＋c
a＋b
(OA AB) BC OB BC OC O
a＋（b＋c）
a
A
OA (AB BC) OA AC OC
c
B
b
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速 度向垂直对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 （保留两个有效数字）; （2）求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到度）.
A
解：（1）如图所示, A表D 示船速, 表AB示水速，以AD、AB 为邻边做平行四边形ABCD，则 A表C 示船实际航行的速度.
（2）在RtABC中，AB 2, BC 5.
所以 AC
2
2
AB BC
22 52
29 5.4
D
C
因为tan CAB 5 , 2
由计算器得CAB 68 .
OB为邻边做平行四边形OACB,连接OC,则 OC OA OB
ab
O
A
O
A
b
a
B
B
C
思考4：考察下列各图， | a＋b | 与| a |＋| b | 的大小关系如何？
| a＋b | 与| a |－| b | 的大小关系如何？
C
a
a
a＋b
b
b
b
A
a
B
a＋b
a＋b
| a＋b || a |＋| b |， 当且仅当 a与b 同向时取等号；