221___向量加法运算及其几何意义

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向量的加减法教案

向量的加减法教案------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx向量加法运算及其几何意义教案一、教学目标（1）学生能够运用向量加法三角形法则和平行四边形法则求任意两个向量的和向量，并初步学会用向量方法解决几何问题。

（2）通过类比数的运算及运算规律，归纳向量的加法运算及其运算律，体验数学知识发生、发展的过程，培养数学类比、迁移、分类、归纳等能力。

（3）学生体验数学源于生活,又用于生活的道理。

体验探索的乐趣。

二、教学重点学生掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则及其运算律。

三、教学难点学生对向量运算律的理解。

四、教学过程【环节一复习回顾】问题1：向量的概念、表示法.什么是平行向量,相等向量？【环节二引入】问题2：坐飞机从上海到香港，再从香港到台北，这俩次飞行的位移是多少？【环节二向量加法定义的探究】上海香港台北A OB问题3：让学生讨论,怎么定义任意二个向量的和？学生讨论以后可能会出现以下定义方式：已知向量a,b,在平面内任取一点A,作==,则向量AC叫做向量,a b的和．记AB a BC b,+=+=。

作：a b+,即a b AB BC AC对于零向量与任一向量我们规定： + = + =【环节三向量加法的二个运算法则】问题4：我们已经定义了向量的加法，那么已知俩个向量a→、b→,如何求作和向量a b+呢？向量加法的法则:1°向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”。

2°向量加法的平行四边形法则平移两个向量至同一起点，和向量为同起点的对角线。

注意：1.三角形法则要求是首尾连接；而平行四边形法则要求是起点相同2.三角形法则适合多个向量的求和；而平行四边形法则只适合两个向量的求和【环节四例题讲解】例1. 已知向量a 、b ，求作向量a +b （用三角形法则与平行四边形法则）a 、b ，求作向量a +b 和b +a 。

向量的运算与几何意义解析

向量的运算与几何意义解析向量是数学中重要的概念，它可以用来表示方向和大小。

在实际应用中，我们经常需要对向量进行运算，并通过运算来解析向量的几何意义。

本文将探讨向量的四则运算（加法、减法、数量乘法和点乘）以及各种运算在几何上的意义。

1. 向量的加法（Vector Addition）向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

具体而言，给定两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A = A + A。

在几何上，这个运算可以理解为将向量A放在向量A的尾部，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图1：向量的加法示意图通过向量的加法，我们可以将多个向量连接起来，从而形成更长的向量。

2. 向量的减法（Vector Subtraction）向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。

具体而言，给定两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A = A - A。

在几何上，这个运算可以理解为从向量A的尾部指向向量A 的尾部，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图2：向量的减法示意图通过向量的减法，我们可以计算出两点之间的距离，或者确定一个向量相对于另一个向量的位置关系。

3. 向量的数量乘法（Scalar Multiplication）向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个标量，得到一个新的向量。

具体而言，给定一个向量A和一个标量A，它们的数量乘法可以表示为：A = AA。

在几何上，这个运算可以理解为将向量A的大小进行缩放或扩大A倍，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图3：向量的数量乘法示意图通过向量的数量乘法，我们可以改变向量的大小，同时保持其方向不变。

4. 向量的点乘（Dot Product）向量的点乘是指将两个向量进行运算得到一个标量。

具体而言，给定两个向量A和A，它们的点乘可以表示为：A = A·A。

计算方法是将两个向量对应位置的元素相乘，然后将相乘的结果相加。

在几何上，点乘的结果是两个向量之间的夹角的余弦值乘以向量的模长乘积，如下图所示：图4：向量的点乘示意图通过向量的点乘，我们可以计算出两个向量之间的夹角，以及一个向量在另一个向量方向上的投影长度。

向量的加法运算及其几何意义

向量加法的性质
结合律
向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，表明向量的加法不依赖于其组合的顺序。
交换律
向量加法满足交换律，即a+b=b+a，表明向量加法的结果与元素的组合顺序无关。
分配律
向量加法不满足分配律，即a×(b+c)不等于 a×b+a×c。
02
向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本加法规则之一，它表示将两个向量首尾相接，并连接它们的起点和终点，所形成的平行四边形的对角线向量即为这两个向量的和。
详细描述
根据平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，即不论向量的顺序如何，也不论如何分组，向量加法的结果都相同。
向量加法的三角形法则
分配律
总结词
向量加法的分配律是指向量加法满足分配性，即向量加法可以分配到括号内的各个向量上。
详细描述
分配律是向量加法的另一个重要运算律。根据分配律，对于任意两个向量$vec{a}$和任
意标量$k$，有$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。这意味着标量可以与括
总结词
向量加法的三角形法则是向量的另一种加法规则，它表示将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，所形成的向量即为这两个向量的和。
详细描述
三角形法则在几何中常用于表示力的合成或速度的合成等物理现象。通过三角形法则，可以直观地理解向量加法的几何意义，并用于解决实际问题。
向量加法的向量场意义
总结词
向量加法的向量场意义是指向量加法可以看作是向量场中点的运动变化。在向量场中，任意两点之间的连线可以表示为向量，而这个向量的加法运算则反映了这两点之间的相对运动关系。

向量加法运算及其几何意义

向量加法运算及其几何意义向量加法是指将两个或多个向量相加的运算。

在数学中，向量加法遵循以下规则：1.向量加法是可交换的。

即，对于任意向量a和b，a+b=b+a。

2.向量加法是可结合的。

即，对于任意向量a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。

3.零向量是向量加法的单位元素。

即，对于任意向量a，a+0=0+a=a。

几何意义方面，向量加法可以用于描述物体的位移、力的合成以及速度的合成等。

下面以位移和力的合成为例进行解释：1.位移的合成：假设有一辆汽车沿东西方向行驶了100米，然后又沿南北方向行驶了50米。

我们可以将汽车的东西方向的位移表示为向量a=100i，南北方向的位移表示为向量b=50j。

那么，汽车的总位移可以表示为向量c=a+b，即c=100i+50j。

这个向量c表示汽车最终的位置相对于起始位置的位移。

2.力的合成：假设有两个力F1和F2作用在一个物体上，F1的大小为10牛顿，方向为东，F2的大小为5牛顿，方向为北。

我们可以将力F1表示为向量a=10i，力F2表示为向量b=5j。

那么，两个力的合力可以表示为向量c=a+b，即c=10i+5j。

这个向量c表示两个力的合力的大小和方向。

在几何上，向量加法的结果可以通过平行四边形法则进行图示。

以位移为例，我们可以将向量a和向量b的起点放在同一位置，然后将向量a按照其方向和大小绘制出来，再将向量b按照其方向和大小绘制出来。

通过平行四边形法则，我们可以找到一个平行四边形，其两条对角线的交点即为向量a和向量b的和向量c的终点。

总结起来，向量加法是一种将多个向量相加的运算，它遵循可交换和可结合的规则，并且零向量是其单位元素。

在几何上，向量加法可以用于描述位移和力的合成等。

通过平行四边形法则，我们可以找到向量加法的结果的几何意义。

向量的加法运算及其几何意义

向量的加法运算及其几何意义引言向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。

向量的加法运算是向量计算中的基本操作之一，具有重要的几何意义。

本文将介绍向量的加法运算的定义、性质以及其在几何上的意义。

向量的加法定义向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对表示。

向量的加法定义如下：设有两个向量a和a，表示为a = (a₁, a₂, …, aa)和a = (a₁, a₂, …, aa)，则两个向量的和记为a + a，它的每个分量等于对应分量之和，即(a₁ + a₁, a₂ + a₂, …, aa + aa)。

向量的加法性质向量的加法满足以下性质：1.交换律：a + a = a + a，即向量的加法是可交换的。

2.结合律：(a + a) + a = a + (a + a)，即向量的加法满足结合律。

3.零向量：对于任意向量a，存在一个称为零向量的特殊向量a，满足a + a = a。

4.相反向量：对于任意向量a，存在一个称为相反向量的特殊向量−a，满足a + (−a) = a。

这些性质使得向量的加法成为一个群运算，为后续的研究提供了基础。

向量加法与向量几何意义向量的加法在几何上有很重要的意义。

几何向量可以通过箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

向量的加法运算可以通过将两个向量的箭头连接起来得到。

当两个向量的方向相同且大小相等时，它们的加法运算结果是一个与它们方向相同且大小等于它们之和的向量。

这可以用以下图形表示：--------- --------------- --------- ----------------------------------当两个向量的方向相反且大小相等时，它们的加法运算结果是一个大小为零的向量。

这可以用以下图形表示：---------------------------------- --------- --------------- ---------当两个向量的方向不同且大小不等时，它们的加法运算结果是一个向量。

向量的加法运算及其几何意义一

结合律
向量加法满足结合律
向量加法的代数性质
VS
将两个向量首尾相连，得到的平行四边形的对角线向量就是这两个向量的和。
三角形法则
将一个向量的起点与另一个向量的终点重合，则这两个向量的和就是以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量。
平行四边形法则
向量加法的几何意义
VS
平面向量的加减运算可以应用于物理学中的很多方面，如力学、运动学等。
在磁场中，若有两个分磁感应强度 $B_1$ 和 $B_2$，它们的合磁感应强度 $B$ 可以表示为 $B = B_1 + B_2$。
向量加法在电磁学中的应用
向量加法在数学中的运用
06
在平面直角坐标系中，向量表示为有序数对 (x,y)。
向量的加法运算可以表示为：向量(x₁,y₁) + 向量(x₂,y₂) = (x₁+x₂,y₁+y₂)。
向量在函数中的运用
向量的加法可以表示为：点(x₁,y₁) + 点(x₂,y₂) = 点(x₁+x₂,y₁+y₂)。
向量的加法满足交换律和结合律，即点(x₁,y₁) + 点(x₂,y₂) = 点(x₂,y₂) + 点(x₁,y₁)，并且点(x₁,y₁) + 点(x₂,y₂) + 点(x₃,y₃) = 点(x₁,y₁) + 点(x₂,y₂) + 点(x₃,y₃)。
01
02
03
在代数学中，向量可以表示为二维数组：(a,b)。
向量在代数学中的运用
向量的加法可以表示为：向量(a₁,b₁) + 向量(a₂,b₂) = (a₁+a₂,b₁+b₂)。
向量的加法满足交换律和结合律，即向量(a₁,b₁) + 向量(a₂,b₂) = 向量(a₂,b₂) + 向量(a₁,b₁)，并且(向量(a₁,b₁) + 向量(a₂,b₂)) + 向量(a₃,b₃) = 向量(a₁,b₁) + (向量(a₂,b₂) + 向量(a₃,b₃))。

向量加法运算及其几何意义

向量加法运算及其几何意义向量加法是指将两个或多个向量相加的运算。

在向量加法中，将两个向量的对应分量相加，得到的结果向量被称为它们的和向量。

下面将从数学和几何的角度分别探讨向量加法的运算及其几何意义。

一、数学角度：1.向量的表示：向量通常用一个有向线段或箭头表示，箭头所指的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小或模。

一个向量通常用字母加上一个箭头上的向量符号表示，例如向量a可以表示为→a。

2.向量的分量表示：向量在坐标系中的表示通常采用分量表示法。

例如，向量a的表示可以表示为(a₁,a₂,a₃)。

这表示向量a在x、y、z轴上的分量分别为a₁、a₂、a₃。

3.向量的加法：给定两个向量a和b，其分量表示分别为(a₁,a₂,a₃)和(b₁,b₂,b₃)，那么它们的和向量c可以表示为(c₁,c₂,c₃)，其中c₁=a₁+b₁，c₂=a₂+b₂，c₃=a₃+b₃。

4.向量加法的性质：向量加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。

这意味着可以按照任意顺序加法运算，并且可以同时对多个向量进行加法运算。

二、几何角度：1.平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为平行向量。

对于平行向量a和b，它们的和向量c的方向与它们相同，并且大小是它们的大小之和。

2.共线向量：如果两个向量的方向相同或者它们的起点和终点相同，那么它们是共线向量。

对于共线向量a和b，它们的和向量c的起点和终点分别是a和b的起点和终点。

3.零向量：零向量是一个大小为0的向量，在坐标系中表示为(0,0,0)。

任何向量与零向量相加的结果都等于该向量本身。

4.平行四边形法则：根据平行四边形法则，可以通过将两个向量的起点放在一起，然后将它们的终点连接起来得到一个平行四边形。

两个向量的和向量等于对角线的向量。

5.三角形法则：根据三角形法则，如果两个向量的起点相同，那么可以通过将它们的终点连接起来得到一个三角形。

两个向量的和向量等于这个三角形的第三条边的向量。

2.2.1___向量加法运算及其几何意义

课后探究
作业
（一）必做题
（二）选做题
课时作业（十二）
向量加法结合律用平行四边形法则
的证明
法则求其和向量？
a b
a
+b
a
b
思考5：
F1 G
E
O
C
它们之间有什么关系
F为F1与 F2的合力
G
E
O F1
A
F2 F
G
E
O
F F2
B
C
思考6：人在河中游泳，人的游速为那么人在水中的实际速度 OC 与何？
OA 水流速为 OB ，
OA 、OB 之间的关系如
B
O
A
C
OC=OA+OB
思考7：上述求两个向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.对于下列两个向量a ，b，如何用平行四
C
B
5 因为 tan CAB , 2 由计算器得CAB 68.
A
答:船实际行驶速度的大小为5.4km/h,方向与水流速度间的夹角约为68°.
当堂检测
１.化简
(1) AB CD BC ________ AD
MN (2) MA BN AC CB ________
b
a + b 当且仅当a , b同向时取等号； a - b 当且仅当 a , b 反向时取等号.
思考5：实数的加法运算满足交换律，即对任意 a,b∈R，都有 a b b a, 那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？
B
b O a+b
a
C b
a
A
思考6：实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，

向量加减运算及几何意义

向量加减运算及几何意义一、向量加法的定义和运算规则向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设有两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A=A+A其中，A表示两个向量相加得到的新向量。

向量加法的运算规则如下：1.交换律：A+A=A+A2.结合律：(A+A)+A=A+(A+A)3.零向量：对于任意向量A，都有A+A=A，其中A表示零向量。

二、向量减法的定义和运算规则向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设有两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A=A-A其中，A表示将向量A从向量A中减去得到的新向量。

向量减法的运算规则如下：1.减法的定义：A-A=A+(-A)，其中-A表示向量A的负向量。

2.减法与加法的关系：A-A=A+(-A)=-(A-A)三、向量加减运算的几何意义1.位移：设有两个向量A和A，A表示物体的起始位置，A表示物体的终止位置。

向量加法A=A+A表示物体从起始位置到终止位置的位移向量。

2.速度：速度是位移随时间的变化率，可以用向量表示。

设有两个位移向量A和A，A表示物体在起始时刻的位置，A表示物体在终止时刻的位置。

则速度向量A=A-A表示物体在起始时刻到终止时刻的平均速度向量。

3.加速度：加速度是速度随时间的变化率，也可以用向量表示。

设有三个速度向量A、A和A，A表示物体在起始时刻的速度，A表示物体在中间时刻的速度，A表示物体在终止时刻的速度。

则加速度向量A=(A-A)/t表示物体在起始时刻到终止时刻的平均加速度向量，其中t表示时间间隔。

4.平行四边形法则：设有两个向量A和A，它们的和向量A=A+A可以用平行四边形法则来表示。

将向量A和A的起点放在一起，将它们的终点连接起来，得到一个平行四边形，那么向量A就是该平行四边形的对角线向量。

总结：向量加减运算的几何意义主要体现在描述物体的位移、速度和加速度等几何特征上。

它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动规律，并且可以通过向量的加减运算得到物体的位移、速度和加速度等重要信息。

lhh221向量加法运算及其几何意义

角来表示）。
解：(2)在Rt ABC中，| AB | 2,| BC | 2 3
D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3)2
4 tan CAB 2 3 3
2
CAB 60 .
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。
1.化简 : AB DA CD BC
值
和
最小值各是什么
14，2
向量加法的运算律 :
(1)a b b a; (2)(a b) c a (b c).
D
D
a
C
abc
c
b ab b
bc
A
C
ab
A
a
B
a
b
B
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
向对量于的零加法向：量与任一向量a, 我们规定
a00a a
B
C
起
b
ab
点相
同
O
a
A
以同一点O为起点的两个已知向量 a、b为邻边作 OACB,
则以O为起点的对角线OC就是a与b的和a b,即
a b OA OB OC 这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。
0 2.已知|
a
|
6,|
b
|
14,|
c
|
3,
则
|
a
b
c
|

221向量加法运算及其几何意义shalom (1)PPT课件

[例3] 轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B 处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．
[解] 如图所示，设 AB 、 BC 分别是轮船的两次位移，则 AC 表示最终位移，且 AC ＝ AB＋BC .
在Rt△ABD中，| DB |＝20 km， | AD |＝20 3 km，在Rt△ACD中，| AC |＝ | AD|2＋| DC |2＝40 3 km，∠CAD＝60°，即此时轮船位于 A港东偏北60°，且距离A港40 3 km处．
的实际速度．
在Rt△OAC中，|OA|＝4，| AC |＝433，
∴|OC |＝ |OA|2＋| AC |2＝
42＋4
3
32＝8
3
3，
43
∴tan∠AOC＝| AC |＝ |OA|
3 4
＝ 33，∴∠AOC＝30°.
C
AB BC AC
A
B
从运算的角度看,A C 可以认为是 A B 与 B C 的和。
向量加法的三角形法则
已知向量 a ,b , 求作向量 ab
b a
o
作法（1）在平面内任取一点O
( 2 ) 作 O Aa ,A Bb
(3 )作 O B a b
A
位移的合成可以看
这作种向作量法加叫法三做角向形量
作出来 ? (1) 同向
(2)反向
a
b
a
b
A
B
C
B
CA
AC a b
AC a b
规定：a00aa
判断 |a b|与 |a| |b|的大
小
1、不共线
b
o· a

221向量的加法运算及其几何意义

答：船实际航行速度的大小为 29km/h，方向为东偏北68.
练习题
1.若a表示“向南走10km”， b表示“向西走10 3km”，则a b表示向__南_偏__西__60_.走 20km.
2.若a，b满足 a 3，b 5，求 a b 的
最大值，并指出a，b满足什么条件时? a b 取到最大值.
(2)求船实际航行的速度的大小和方向.
向量加法
求船实际航行的速度的大小和方向
？解：如图，设 AB表示水流的速度，AD表示渡船的速度， AC表示渡船实际过江的速度.(由平行四边形
D
C
5
法则可以得到)
A B 船从由南AB岸的AD码得R头tAABC点, 出发到达对
2
岸码的头得t码aCnA头点 CCA能 CB 2点否252,，回查52计照到算这码 2器9 可种头得走AC法点 AB，？ 6从8.
作图是验证的有效途径，
而问题验3证：结请合探律究的向关量键加是法构的作交图换形律是否成立？问题4：类比向量加法的交换律，请验证结合律.你认为验证结合律的关键是什么呢？
向量加法
D
a
C
b
b a+b
B
D
cA
C
a D
c
C
(a + b) + c
a b b a a + (b + c)
a0 0a a
问题探究
运算律可以帮助我们有效地简化运算
探问题究1：途你径能说：出实数运算有哪些运算律吗？利对于用不向同运量算加它们法的法运则算律作都图相同研吗究？
验问证题2方：法定的义获了得一：种可新同运桌算或,自前然后要交研流究合其作运算律问题.请类比数的加法的运算律,思考向选量取的加优法秀是验否证也思有路运展算示律？有哪些运算律？