三角函数对称轴与对称中心
第60课--求三角函数的对称轴或对称中心
第60课求三角函数的对称轴或对称中心基本方法：将问题转化为单一名称的三角函数，再求三角函数的对称轴或对称中心(1)函数sin y x =的对称性对称轴：ππ()2x k k =+∈Z ，对称中心：(π,0)()k k ∈Z (2)函数cos y x =的对称性对称轴：π()x k k =∈Z ，对称中心：π(π,0)()2k k +∈Z (3)函数tan y x =的对称性对称中心：π(,0)()2k k ∈Z 一、典型例题1.将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，求所得新函数的对称轴方程和对称中心的坐标.答案：对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z ，对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z 解析：将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，得到ππcos[4(]66y x =-+，即πcos(4)sin 42y x x =-=图像.sin 4y x =的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到sin 2y x =的图像.令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以sin 2y x =的对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z .令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z .2.已知函数()()πsin 2(0,)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期为π，它的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭,求函数()y f x =图象的对称轴方程.答案：2π512πk x k =+∈Z ，解析：由题得()2=22πππππ6k k Z ωωϕϕ⎧⎪⎪⎪⋅+=∈⎨⎪⎪<⎪⎩，π1,3ωϕ∴==-，所以()sin(2)3f x x π=-．令()232x k k ππ-=π+∈Z ，得()5122k x k =π+π∈Z ，即()y f x =的对称轴方程为()5122k x k =π+π∈Z .二、课堂练习1.已知函数())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.求函数()f x 图象的对称轴方程.答案：() 848k x k Z π5π=+∈.解析：())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭12sin8cos4cos422x x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭)cos8sin4cos4x xx x +))sin8cos4cos4cos8sin4cos4x x x x x x x x =+-+)()+cos4sin8cos4cos8sin4x x x x x x =-)()cos4sin 84x x x x =+-)cos4sin4x x x =+24sin4cos4x x x =+1cos81sin822x x -=+1sin82x x =-+sin 83x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令()8+32x k k ππ-=π∈Z ，得()848k x k Z π5π=+∈.所以函数()f x 图象的对称轴方程为()848k x k Z π5π=+∈.2.函数()()sin 04,4f x x x ωωπ⎛⎫=-<<∈ ⎪⎝⎭R 的一条对称轴为38x π=，求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：22解析：由题意()sin 4f x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴为38x π=，得()3842k k ωπππ⨯-=π+∈Z ，解得2ω=，()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2sin 2sin 44442f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.三、课后作业1.求函数π2tan(26y x =-的对称中心坐标.答案：ππ(,0)()124k k +∈Z 解析：令ππ2()62k x k -=∈Z ，解得ππ()124k x k =+∈Z ，故π2tan(26y x =-的对称中心坐标为ππ(,0)()124k k +∈Z .2.已知函数()2sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R .求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称中心.答案：最小正周期为π，对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 解析：()2sin sin 2sin sin 63626f x x x x x πππ⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin cos 66x x ππ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为22π=π.令π2π()3x k k -=∈Z ，解得()62k k x ππ+=∈Z ，所以对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .3.将函数2()cos 2cos ()f x x x x x =+∈R 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 的对称轴方程和对称中心坐标.答案：对称轴为直线π,()2k x k =∈Z ，对称中心为ππ(,0)()42k k +∈Z解析：2()cos 2cos f x x x x =+2cos21x x =++π2sin(216x =++，将函数()f x 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的解析式为ππ()2sin[2()]112cos 266g x x x =+++-=.令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以()g x 的对称轴方程为π()2k x k =∈Z .令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以对称中心坐标为ππ(,0)()42k k +∈Z .。
三角函数的对称性、中心对称
4.已知函数
π
x＝6对称，则 φ＝(
C
)
π
A．－6
π
B.6
π
C．－3
π
D.3
π
π
f(x)＝cos(2x＋φ)－2＜φ＜2的图象关于直线
解析：函数
π
π
f(x)＝cos(2x＋φ)－2＜φ＜2的图象关于直线
π
x＝6对称，则
法一：由2
（x ） k，k Z
法二 : f (0) sin 2 0
k
对称中心( ,0)
2
2 k，k Z
k
由 0，
0
2
2
2
[变式]若函数y sin(2 x )( 0 )是R上的偶函数, 则 ___ .
3 4
2------------
3
2w
3
得w .
2
2w
...........-2
2w
融会贯通：
函数f ( x) 2 cos wx( w 0)在[0, ]上单调, 求w的范围.
3
7 1
k＝1 时，m＝14＝2，
13
k＝2 时，m＝14.
求三角函数对称轴和对称中心的方法
对于函数 y＝sin(ωx＋φ)(或 y＝cos(ωx＋φ))的图象的对称性，应将 ωx＋φ
看成一个整体，利用整体代入思想，令 ωx＋φ 等于
π
tan的对称轴和中心对称
tan的对称轴和中心对称
tan的对称轴和中心对称在数学中，tan函数是一个常见的三角函数，它代表了一个角的正切值。
然而，很少有人注意到tan函数具有一些有趣的对称性质。
tan函数具有对称轴对称性。
对于一个给定的角度x，tan(-x)等于-tan(x)。
这意味着，如果我们将一个角度x的正切值绘制在坐标系中，然后将整个图形关于y轴对称，我们将得到角度-x的正切值。
这个性质可以帮助我们在计算中简化问题。
tan函数还具有中心对称性。
对于一个给定的角度x，tan(π-x)等于-tan(x)。
这意味着，如果我们将一个角度x的正切值绘制在坐标系中，然后将整个图形关于x轴翻转，我们将得到角度π-x的正切值。
这个性质也可以帮助我们在计算中简化问题。
这些对称性质对于解决三角函数相关的问题非常有用。
通过利用tan函数的对称轴和中心对称性，我们可以简化计算，减少错误的可能性，并更好地理解三角函数的性质。
tan函数具有对称轴对称性和中心对称性，这些性质在解决三角函数问题时非常有用。
通过充分利用这些对称性质，我们可以更好地理解和应用tan函数。
三角函数对称轴和对称中心
三角函数对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z)y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z)y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan(2α)=2tanα/(1-tan²α)cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))辅助角公式Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos(α-arctan(A/B))万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan²(a/2))cos(a)= (1-tan²(a/2))/(1+tan²(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan²(a/2))降幂公式sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t角的三角函数值幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……实用幂级数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
三角函数的对称轴
y=sinx 对称轴为x=k∏+ ∏/2 （k 为整数），对称中心为（k∏，0）（k 为整数）。
y=cosx 对称轴为x=k∏（k 为整数），对称中心为（k∏+ ∏/2，0）（k 为整数）。
y=tanx 对称中心为（k∏，0）（k 为整数），无对称轴。
这是要记忆的。
对于正弦型函数y=Asin(ωx+Φ），令ωx+Φ = k∏+ ∏/2 解出x 即可求出对称轴，令ωx+Φ = k∏ 解出的x 就是对称中心的横坐标，纵坐标为0。
（若函数是y=Asin(ωx+Φ）+ k 的形式，那此处的纵坐标为k ）余弦型，正切型函数类似。
以f （x ）＝sin （2x －π／6）为例令2x-π/6=Kπ 解得x=kπ/2+π/12那么函数的对称中心就是（k π/2+π/12,0)三角函数y=Asin （ωx+φ）中的对称轴正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π（k ∈Z ），它的对称轴总是经过它图象的最高点或者最低点。
由于三角函数y=)sin(ϕω+⋅x A 是由正弦函数y=sinx 复合而成的，所以令ϕω+x =k π+2π，就能得到y=)sin(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+2k （k ∈Z ）。
通过类比可以得到三角函数y=)cos(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+k （k ∈Z ）。
下面通过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。
1．解析式问题例1．设函数)(x f = )2sin(ϕ+x （0<<-ϕπ），)(x f 图像的一条对称轴是直线8π=x ，求ϕ的值。
分析：正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π，令2x+ϕ=k π+2π，结合条件0<<-ϕπ求解。
解析：∵8π=x 是函数y=)(x f 的图像的对称轴，∴1)82sin(±=+⨯ϕπ，∴24ππππ+=+k ，k ∈Z ，而0<<-ϕπ，则43πϕ-=。
三角函数 对称轴 关系
三角函数对称轴关系三角函数是数学中研究角度与三角量之间关系的函数，其在各个领域都有着广泛的应用。
在三角函数中，对称轴是一个非常重要的概念。
对于一般的三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，它们都是具有对称轴的。
三角函数的对称轴是其函数图像的垂直平分线。
对于正弦函数y=sinx，其对称轴是直线x=k π+π/2 (k∈Z)；对于余弦函数y=cosx，其对称轴是直线x=kπ(k∈Z)；对于正切函数y=tanx，其对称轴是直线x=kπ+π/2 (k∈Z)。
这些对称轴是三角函数图像的重要特征，可以帮助我们更好地理解和分析三角函数的性质。
三角函数的对称轴与其周期性有着密切的关系。
正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的图像以对称轴为中心左右对称，表现出非常明显的对称性。
这种对称性在解决一些数学问题时可以发挥重要的作用。
例如，在求解一些关于三角函数的方程时，可以利用对称轴的性质来简化计算过程。
此外，三角函数的对称轴还与其定义域有关。
对于正弦函数和余弦函数，它们的定义域是无限的，因此它们的对称轴也是无限的。
而对于正切函数，其定义域是除去整数倍的π/2的实数集，因此其对称轴是有限的。
这种定义域的限制也使得正切函数的图像呈现出独特的形状。
在实际应用中，三角函数的对称轴可以帮助我们更好地理解和分析三角函数的性质，从而更好地应用于各个领域。
例如，在物理学中，三角函数可以用来描述周期性变化的物理量，如振动、波动等；在工程学中，三角函数可以用来设计各种机械、电子设备等；在金融学中，三角函数可以用来描述金融数据的波动等。
因此，深入理解三角函数的对称轴性质对于各个领域的科学研究和实践应用都具有重要的意义。
三角函数诱导公式和函数的对称性
三角函数诱导公式和函数的对称性秭归二中 邮编:443600杜海柱三角函数的诱导公式我们比较熟悉,但对一些公式所反映的对称性并不熟悉.下面我们来看看函数的对称轴和对称中心吧.一. 轴对称定理一 如果函数y ()f x =满足()()f x a f x a +=-或()(2)f x f a x =-,函数y ()f x =的图像关于直线x=a 对称。
证明：设函数y ()f x =的图像上的任意一点为P （x,y ），点P 关于直线x=a 的对称点'(2,)p a x y -，显然有y ()f x =。
()(2),f x f a x =-由则y=f(2a-x)说明点'(2,)p a x y -也在函数的图像上。
由点P 的任意性，说明函数y ()f x =图像关于直线 x=a 对称。
例如 三角函数诱导公式()cos 2cos ,,k x x k z π-=∈函数cos y x =的图像对称轴为,x k k z π=∈；sin(2)sin ,k x x k z ππ+-=∈，函数sin y x =的图像对称轴为,2x k k z ππ=+∈。
二 . 中心对称 定理二 如果函数y ()f x =满足()2()()()f a x f x f a x f a x -=--=-+或 函数y ()f x =的图像关于点（a,0）成中心对称。
证明：设函数y ()f x =的图像上的任意一点为P （x,y ），点P 关于点（a,0）的对称点'(2,)p a x y --由(2)(),f a x f x -=-则-y=f(2a-x)说明点'(2,)p a x y --也在函数y ()f x =的图像上。
点P 的任意性，说明函数y ()f x =图像关于点（a,0）成中心对称。
例如：三角函数诱导公式sin(2)sin ,k x x k z π-=-∈，就说明函数sin y x = 的图像关于点（a,0） 成中心对称；由cos(2)cos ,k x x k z ππ+-=-∈，说明函数cos y x = 图像关于点(,0)2k ππ+ 成中心对称。
如何求三角函数的对称中心及对称轴
令 ＋ ＝ ＋ ＿ 得 Ｔ ，
Ａ ｉ （） ｓ Ｏ ｎ Ｘ
从而 函数 Ｙ ：
按 量 平 后 函 ｙｓ２ —）— ＋的 像 向 移 得 数 ＝ ［ ｍ＋ 】ｎ ． ｉ（ ｎ
函 ｙｓ ２ 号 的 像 向 移 所 的 数 ＝ （ 十 ）罔 按 量 平 后 得 图 ｉ ｎ 像 于 （—，中 对 ， 关 点一 ｏ 心 称 ） － ， ｆ
） Ａ ＞０ ｃ （ ， ｕ＞０， ＞０ ）图 像 的 埘 称 轴 为 ＝ （ ｚ） ．
例 ４ （ ０ ８年 湖 北 卷 理 ５ 将 函 数 Ｙ＝ ｎ 一日 的 图 ２０ ） ３ｉ（ ｓ ）
由（ ， ｍ＋ ： ，ｍ １ （ ） 一 ～ 了 ｋ得 ＝ 一 ｚ 向 ）， － Ｉ ｆ ｒ ＇ｋ Ｔ Ｉ＇ ， Ｔｆ ２
＋ ＝ｋｒ， ， 得 ： ｒ
叫
， 而 函 数 ｙ＝ （ （ 从
＋ ）（４＞ ，
０ ∞ ＞ ， ＞ｏ 图 像 的对 称 轴 为 ： ， ｏ ）
（
ｚ）
由 函 ｙＣ 罔 的 称 心 （ ＋ ， 于 数 －Ｓ 像 对 中 为 １—０ ￣Ｘ Ｏ ） Ｔ （
ｚ ， ＋ Ｔ ÷， ： ） 令 ： １＋ 得 生
二 ｏ ｆ
例 函 ３ｓ ，图 的 称 方 ５ 数ｙ ｃ（＋ ）像 对 轴 程 。２ ｉ － Ｔ
为 ．
， 从而函数
Ｙ ｃｓ Ｏ ＝Ａ ｏ（） Ｘ
）（ ＞０ ０ ＞０ ＞０ 网 像 的 对 称 中 心 为 Ａ ，９ ， ）
量 坐 可 为 ０故 ． 的 标 能 （ ） 选ｃ ，．
２ 数 Ｙ＝ ｔ （ ．函 Ａａ ｎ
称 中 心
像 按 量詈，平 得 图 Ｆ若 一 对 轴 Ｆ 向 （ ３ 移 到 像 的 条 称 是 ） ，
三角函数对称轴与对称中心
三角函数对称轴与对称中心
一、三角函数的对称轴
1、正弦函数的对称轴：正弦函数的图像关于y轴对称，所以y轴就是正弦函数的对称轴。
2、余弦函数的对称轴：余弦函数的图像关于x轴对称，所以x轴就是余弦函数的对称轴。
3、正切函数的对称轴：正切函数的图像关于坐标系的45°斜线对称，即2y=x，这条45°斜线就是正切函数的对称轴。
4、反正切函数的对称轴：反正切函数的图像关于坐标系的135°斜线对称，即2y=-x，这条135°斜线就是反正切函数的对称轴。
二、三角函数的对称中心
1、正弦函数的对称中心：正弦函数的图像关于y轴对称，所以所有x 坐标点的y坐标都是一样的，也就是x轴的任意一点都是正弦函数的对称中心。
2、余弦函数的对称中心：余弦函数的图像关于x轴对称，所以所有y 坐标点的x坐标都是一样的，也就是y轴的任意一点都是余弦函数的对称中心。
3、正切函数的对称中心：正切函数的图像关于坐标系的45°斜线对称，即2y=x，所以所有xy都满足这个方程的点都是正切函数的对称中心，也就是x=2、y=2。
4、反正切函数的对称中心：反正切函数的图像关于坐标系的135°斜线
对称，即2y=-x，所以所有xy都满足这个方程的点都是反正切函数的
对称中心，也就是x=-2、y=-2。
三角函数对称轴和对称中心是重要的概念，他们之间存在一定的关系，也就是说每个三角函数的对称轴上的所有点都是该函数的对称中心。
三角函数的对称轴和对称中心是为我们理解和掌握函数，绘制函数图
像提供重要的参考。
三角函数对称中心与对称轴公式
三角函数对称中心与对称轴公式英文回答：Symmetrical Center and Axis Equations for Trigonometric Functions.In mathematics, a function is said to be symmetrical if it remains unchanged after applying certain transformations, such as reflection or rotation. Trigonometric functions, including sine, cosine, and tangent, exhibit symmetry with respect to certain points and lines known as thesymmetrical center and symmetrical axis, respectively.Symmetrical Center.The symmetrical center of a function is a point around which the function is symmetrical. For trigonometric functions, the symmetrical center is typically the origin (0, 0). This means that if we reflect a trigonometric function across the origin, the resulting graph will beidentical to the original graph.Symmetrical Axis.The symmetrical axis of a function is a line about which the function is symmetrical. For trigonometric functions, the symmetrical axis depends on the specific function being considered.Sine Function (y = sin x): The sine function is symmetrical about the y-axis (x = 0). This means that if we reflect the sine graph across the y-axis, the resulting graph will be identical to the original graph.Cosine Function (y = cos x): The cosine function is symmetrical about the x-axis (y = 0). This means that if we reflect the cosine graph across the x-axis, the resulting graph will be identical to the original graph.Tangent Function (y = tan x): The tangent function is not symmetrical about any point or line.Equations for Symmetrical Center and Axis.Symmetrical Center: (0, 0)。
sin函数对称轴对称中心
sin函数对称轴对称中心一、sin函数的定义与性质1.1 定义sin函数是三角函数中的一种，通常用y=sin(x)来表示。
在数学上，它是以弧度为单位的周期函数，其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
1.2 周期性sin函数是一个周期函数，其周期为2π，即当x的值增加2π时，y的值会重复。
这意味着sin函数的图像在区间[0, 2π]内是完整的，之后会重复出现。
二、sin函数的图像与对称轴2.1 图像特点sin函数的图像具有一些明显的特点，其中一个重要的特点是它的周期性。
正弦函数的图像在每个周期内都呈现出类似波浪的形状，即在区间[0, 2π]内，图像先上升到最大值，然后下降到最小值，再从最小值上升到最大值。
2.2 对称轴sin函数的对称轴是x轴，即在图像上沿x轴对称。
这意味着对于任意一个点(x, y)，在对称轴上的对称点是(x, -y)。
三、sin函数的对称中心3.1 定义sin函数的对称中心是指在图像上具有对称性质的点，通过这个点可以将图像分成两部分，每一部分关于对称中心对称。
而sin函数的对称中心就是坐标原点(0, 0)。
3.2 对称性通过对称中心(0, 0)，我们可以看到sin函数的左半部分与右半部分完全对称。
具体而言，对于任意一个点(x, y)(x > 0)，对称中心的对称点是(-x, -y)。
这意味着sin(x) = -sin(-x)。
3.3 图像分析通过对称中心(0, 0)，我们可以将sin函数的图像分成两部分。
在对称中心左侧，即x < 0的区域，sin函数的值是负数，并且随着x的减小而逐渐减小。
而在对称中心右侧，即x > 0的区域，sin函数的值是正数，并且随着x的增大而逐渐增大。
这种对称性可以直观地从sin函数的图像中观察到。
四、sin函数对称轴对称中心的应用sin函数对称轴对称中心的特性在数学和物理中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：4.1 图像处理在图像处理中，对称性是一项重要的特性。
三角函数的对称性问题
三角函数的对称性问题一、知识要点：正弦函数、余弦函数、正切函数的对称性问题如下图：（1）由基本三角函数的图象可以看出，正弦曲线、余弦曲线既是轴对称曲线又是中心对称曲线；正切曲线只是中心对称曲线.（2）正弦曲线、余弦曲线的对称轴恰经过相应曲线的最高点或最低点，相邻两对称轴之间函数的单调性相同并且相邻两对称轴之间的距离恰等于函数的半个周期；正弦曲线、余弦曲线的对称中心分别是正弦函数和余弦函数的零点(与x 轴的交点），相邻两对称中心之间的距离也恰好是函数的半个周期，并且对称轴、对称中心间隔排列着. 正切曲线的对称中心除去零点外还有使正切函数值不存在的点，用平行于x 轴的直线去截正切曲线，相邻两交点之间的距离都相等并且都等于正切函数的周期.(3) 函数sin()y A x ωϕ=+和函数cos()y A x ωϕ=+的单调区间以及对称轴，对称中心可利用整体代换法由正弦函数、余弦函数的单调区间、对称轴、对称中心求解.二、典型例题：例1：若函数()y f x =同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π；（2）图象关于直线3x π=对称；（3）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数．则()y f x =的解析式可以是A ．sin()26x y π=+B ．cos(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos(2)6y x π=-2222π22解析：由最小正周期为π,可排除A, 由图象关于直线3x π=对称,可排除B, 由在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数可得答案应为C.评述：本题考查了三角函数的性质及其解析式的探求.三角的复习应充分利用数形结合的思想方法，即借助于图象(或三角函数线)的直观性来获取三角函数的性质，同时利用三角函数的性质来描绘函数的图象，揭示图形的代数本质.例2：已知函数()f x 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0cos )(<x x f 的解集是 ( )A ．(3,(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃ B ．(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃C ．(3,1)(0,1)(1,3)--⋃⋃D ．(3,(0,1)(1,3)2π--⋃⋃解析: ∵y = cosx 是R 上的偶函数，∴()cos y f x x =是定义在)3,3(-上的奇函数，故只须考察()cos y f x x =在区间(0,3)上的函数值的取正取负的情况，根据函数(),cos y f x y x ==在区间(0,3)上的零点，列表如下：函数()cos y f x x =的图象如上所示，不等式0cos )(<x x f 的解集是三个分离的开区间的并集，即(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃.故应选B.评述：考纲要求“理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ϕ)的简图”.命题时将函数图象的叠加作为命题点,这也是近年来高考的一个热点.三、举一反三：1. 函数1cos y x =+的图象 ( )A. 关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x =2π对称答案： B解析:由于函数cos 1y x =+为偶函数，故其图象关于y 轴对称.故应选B.2.将函数y =sin x －3cos x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a >0)，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（ ）A ．76π B ．2π C ．6π D ．3π答案：C解析:由)3sincos 3cos(sin 2cos 3sin ππ⋅-⋅=-=x x x x y 2sin(),3x π=-2sin(),3y x π=-即 函数图象的周期,2π=T 且图象上一个对称中心)0,3(π,结合图象分析知,图象再向右平移6π 后，图象关于y 轴对称,所以a 的最小值为,6π故选C.3. 若函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a ＝ .答案： a ＝－1解析:∵x 1＝0，x 2＝－π4 是定义域中关于x ＝－π8对称的两点∴f (0)＝f (－π4 ),即0＋a ＝sin(－π2 )＋a cos(－π2), ∴a ＝－1.4.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，R x ∈.(Ⅰ)求函数()f x 图象的对称中心坐标；(Ⅱ)若11()25x f =，且π<<x 0，求x x sin cos -的值.解析:)2cos 1(232sin 22cos 1)(x x x x f +++-=22cos 2sin ++=x x 2)42sin(2++=πx .令ππk x =+42 知 82ππ-=k x ， Z k ∈.故函数)(x f 的图象的对称中心的坐标为)2,82(ππ-k（Z k ∈）.（II ）由11()25xf =, 得1sin cos 5x +=, 平方得 242sin cos 25x x =- .又).,0(π∈x 故 0s i n>x ， 0cos <x∴7cos sin 5x x -===-即7cos sin 5x x -=-.。
三角函数的对称轴公式
三角函数的对称轴公式
三角函数的对称轴是指在三角函数中，每个函数图像具有不同的对称性，这种对称性都具有一个共同的特点，即它以对称轴为对称中心，同时，函数取值在特定的点附近构成两个完全相同的图形。
三角函数中有三条不同的对称轴，主要分别是余弦、正弦和正切对称轴，它们的函数表达式可以表达为x=±C，其中C是常数。
余弦(cos)函数的对称轴可表示为x=ω,其中ω表示比例参数的正弦的频率，取值范围为(0,π]。
此函数的对称轴就是距离y轴一个角度ω，正弦(sin)函数的对称轴取决于距离y轴一个角度ω，并且x=ω。
而正切(tan)函数的对称轴就是y轴本身，因此，它的公式可以表示为x=0。
以上就是三角函数的对称轴公式，它们的数学表示分别为余弦函数的对称轴的数学表示为x=ω取值范围为(0,π]，正弦函数的对称轴的数学表示为x=ω取值范围为(0,2π]，而正切函数的对称轴的数学表示为x=0。
三角函数的对称轴具有重要的数学意义，它是三角函数概念学习的重要基础，也是数学分析中重要的工具。
三角函数的对称轴公式学习可以有助于练习者更好地理解三角函数，进而更有效地学习数学知识。
三角函数图像的对称轴与对称中心
三角函数图像的对称轴与对称中心Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。
三角函数图像的对称轴与对称中心特级教师 王新敞对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和tan()y A x ωφ=+的简图容易画错，一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心．1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心： 对称轴为2x k ππ=+、对称中心为(,0) k k Z π∈． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) k k Z πφω-∈． 2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心：对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2k ππ+ k Z ∈． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z ππφω+-∈． 3.正切函数tan y x =图像的渐近线与对称中心： 渐近线为2x k ππ=+、对称中心为(,0)2k π k Z ∈，也就是曲线与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点两类点组成．正切曲线无对称轴．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线方程．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2k x πωφ+=()k Z ∈，由此解出1()2k x πφω=- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z πφω-∈． 例 函数y =sin(2x +3π)的图象：⑴关于点（3π，0）对称；⑵关于直线x =4π对称；⑶关于点（4π，0）对称；⑷关于直线x =12π对称．正确的序号为________． 解法一：由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈），当k=1时为（3π，0），⑴正确、⑶不正确；由2x +3π2k ππ=+得x=1212k ππ+（z k ∈），当k=0时为12x π=，⑷正确、⑵不正确．综上，正确的序号为⑴⑷．解法二：根据对称中心的横坐标就是函数的零点，对称轴必经过图象最值点的结论，可以采用代入验证法．易求()3f π=sin(2×3π+3π)=0、()4f π=sin(2×4π+3π)=2、()12f π=sin(2×12π+3π)=1，所以⑴正确、⑵不正确、⑶不正确、⑷正确．综上，正确的序号为⑴⑷．。
三角函数的图像与性质(学生版)
一部分，则 f(π2)＝________.
15．(精选考题·江苏)设定义在区间0，π2 上的函数 y＝6cosx 的图象与 y＝5tanx 的图象交于点 P，过点
P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1 与函数 y＝sinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2 的长为________．
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时，求 x0 的值．
17．求当函数 y＝sin2x＋acosx－12a－32的最大值为 1 时 a 的值． 分析：先通过变形化为关于 cosx 的二次函数，配方后，根据函数式的特点，对 a 进行分类讨论．
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题型九：三角函数的图像变换
三角函数的图像与性质(学生版）
例 9：试述如何由 y= 1 sin（2x+ π ）的图象得到 y=sinx 的图象
3
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变试题：（1）指出将 y sin x 的图象变换为 y 1 cos(2x ) 1的图象的变换过程；
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（2）指出将 y sin x 的图象变换为 y 3sin(2x ) 1的图象的变换过程． 6
三角函数的图像与性质(学生版）
三、解答题 15．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 6 千元的基础上，按月呈 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的模型波 动(x 为月份)，已知 3 月份达到最高价 8 千元，7 月份价格最低为 4 千元，该商品每件的售价为 g(x)(x 为月 份)，且满足 g(x)＝f(x－2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数 f(x)、售价函数 g(x)的解析式；(2)问哪 几个月能盈利？
2
2
图；
法二：图像变换法
先将 y＝sinx 的图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(ω＞0)，最后将图
方法6： 代入验证法判断三角函数的对称轴和对称中心
方法6 代入验证法判断三角函数的对称轴和对称中心一、单选题1．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ）A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减【答案】ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【解析】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭， 对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误；对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k=时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确；对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误. 故选：ABD. 【小结】本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间. 2．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ），函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 ，函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 ，该图象向右平移3π个单位可得2sin 2y x =的图象 A ．，， B ．，，C ．，，，D ．，，，【答案】A 【分析】根据()f x 的图象及三角函数图像和性质，解得函数()f x 的解析式，得到()2sin(2)3f x x π=+，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可. 【解析】由函数的图象可得2A =，周期4312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭所以222T ππωπ===， 当12x π=时函数取得最大值，即2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以22()122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，则23k πϕπ=+，又||2ϕπ<，得 3πϕ=，故函数()2sin(2)3f x x π=+，对于，，当6x π=-时，()2sin(2())0663f πππ-=⨯-+=，正确； 对于，，当512x π=-时，()2sin 551212(2())23f πππ=⨯+-=--，正确； 对于，，令3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，27,,()361212k k k Z ππππππ⎡⎤⎡⎤--⊄++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以不正确； 对于，，向右平移3π个单位，()2sin(2())2sin(2)3333f x x x ππππ-=-+=-，所以不正确；故选：A. 【小结】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间. 3．将函数1()sin 223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度得到()g x 的图象，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 图象关于直线4x π=对称C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【分析】首先利用平移变换规律得到1()sin 22g x x =-，再通过整体代入法判断函数性质，得到选项. 【解析】由题易得1()sin 22g x x =-， A.函数的周期22T ππ==，故A 不正确； B.当4x π=时， ()g x 取得最小值12-.故B 正确； C.,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当2,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，此时,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 当22,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增，故C 不正确；D.当3x π=时，()02f x =-≠，所以D 不正确. 故选：B 【小结】思路小结：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间.4．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【分析】对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断； 对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断. 【解析】 对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确； 对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【小结】判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法： （1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心.5．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，且直线12x π=是其中一条对称轴，则下列结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．3182f π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．点7,024π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 【答案】B 【分析】利用对称轴之间距离和函数对称轴可求得()f x 图像；利用余弦型函数最小正周期求解可知A 正确；根据解析式求得38f π⎛⎫⎪⎝⎭可知B 错误；利用代入检验法可知C ，D 正确. 【解析】()f x 相邻两条对称轴之间的距离为4π，()f x ∴的最小正周期2242T πππω==⨯=，解得：4ω=，12x π=是()f x 的一条对称轴，()412k k Z πϕπ∴⨯+=∈，解得：()3k k ϕπ=π-∈Z ， 又2πϕ<，3ϕπ∴=-，()cos 43f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭. 对于A ，由上述求解可知，A 正确；对于B ，33cos sin 8233f ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 错误； 对于C ，当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]4,03x ππ-∈-，()f x ∴在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 正确；对于D ，当724x π=-时，3432x ππ-=-，且73cos 0242f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7,024π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心. 故选：B. 【小结】对于判断正弦型或余弦型函数的对称轴、对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，即判断x ωϕ+整体是否对应正弦函数或余弦函数所对应的对称轴、对称中心和单调性. 6．下列函数中最小正周期是π且图象关于直线6x π=对称的是（ ）A ．2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【分析】确定函数的周期，再判断对称性．可得结论． 【解析】由三角函数周期性知，C 中函数最小正周期是2412ππ=，其他三个函数的最小正周期都是22ππ=， 把6x π=代入A 有2sin 2266y ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭是最大值，因此6x π=是函数图象的对称轴； 代入B中有2cos 266y ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭不是最值，因此6x π=不是函数图象的对称轴； 代入D 中有2sin 2063y ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，不是最值，6x π=是函数图象的对称轴；． 故选：A ． 【小结】本题考查函数的周期性与对称性．对于三角函数()sin()f x A x ωϕ=+，可以结合正弦函数的性质求出对称轴和对称中心，如利用,2x k k Z πωϕπ+=+∈求得对称轴，利用,x k k Z ωϕπ+=∈求得对称中心坐标，再判断，也可用代入法，即若0()f x 是函数的最值（最大值或最小值），则0x x =是对称轴，若0()0f x =，则0(,0)x 是对称中心． 7．关于()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭有以下命题：①若()()120f x f x ==，则12()x x k k Z π-=∈；②()f x 图象与()3cos 24g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象相同；③()f x 在区间73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是减函数；④()f x 图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.其中正确的命题序号是（ ） A ．②③④ B ．①④C ．①②③D ．②③【答案】A 【分析】结合三角函数的图象与性质，逐个验证即可得解. 【解析】对于①，因为函数()f x 的最小正周期22T ππ==，且()()120f x f x ==， 所以12π()2k x x k Z -=∈，故①错误； 对于②，ππππcos 2sin 2sin 24424x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()()f x g x =， 所以()f x 图象与()g x 图象相同，故②正确；对于③，当7π3π,88x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，π3ππ2,422x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间7π3π,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，故③正确；对于④，当π8x =-时，π204x +=，所以π08f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故④正确. 故选：A.8．将函数()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断：①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③该函数在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④该函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中，正确判断的序号是（ ） A ．②③ B ．①②C ．②④D ．③④【答案】A 【分析】根据函数平移变换得sin 2y x =，再根据正弦函数的性质依次讨论即可得答案. 【解析】解：由函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知： 将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后解析式为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，选项①错误； 令2x k =π，k Z ∈，求得2k x =π，k Z ∈， 故函数的图象关于点,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π对称， 令1k =，故函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项②正确； 则函数的单调递增区间满足：222()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项③正确，④错误. 故选:A. 【小结】本题考查三角函数平移变换，正弦型函数的单调区间，对称中心等，考查运算求解能力，解题的易错点在于平移变换时，当1ω≠时，须将ω提出，平移只针对x 进行平移，具体的在本题中，sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后得sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而不是sin 2sin 251010y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是中档题.9．设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象C 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 向右平移2π个单位后关于原点对称D ．函数()f x 在区间,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 【答案】B 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误；利用代入检验法可判断B 选项的正误；求出平移后的函数解析式，结合正弦型函数的基本性质可判断C 选项的正误；由,122x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭可求出23x π-的取值范围，可判断D 选项的正误. 【解析】对于A 选项，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==，A 选项错误； 对于B 选项，2sin 006f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，图象C 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 选项正确；对于C 选项，将图象C 向右平移2π个单位后所得函数的解析式为()2sin 22sin 2233g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()02sin 2sin 033g ππ⎛⎫=--==≠ ⎪⎝⎭，函数()g x 不是奇函数，C 选项错误；对于D 选项，当,122x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，22,323x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以，函数()f x 在区间,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，D 选项错误. 故选：B. 【小结】对于正弦型函数()sin y A x k ωϕ=++在区间(),a b 上单调性的判断，一般先由(),x a b ∈计算出x ωϕ+的取值范围，再结合正弦函数的单调性来进行判断.二、多选题10．已知函数()2cos 1f x x =+，下列结论正确的为（ ） A ．函数()f x 的值域为[1,3]-B ．函数的一条对称轴为x π=C ．函数的一个对称中心为,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．函数2y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数 【答案】ABC 【分析】求出函数的值域可知A 正确；代入检验可知B C 正确；根据特值法可知D 不正确. 【解析】对于A ，因为cos [1,1]x ∈-，所以()[1,3]f x ∈-，故A 正确；对于B ，因为()2cos 11f ππ=+=-，所以函数的一条对称轴为x π=，故B 正确；对于C ，因为()2cos1122f ππ=+=，所以函数的一个对称中心为,12π⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确； 对于D ，因为()()2cos()12sin 122g x f x x x ππ=+=++=-+，()2sin()1322g ππ-=--+=，()2sin 1122g ππ=-+=-，()()22g g ππ-≠-， 所以()g x 不是奇函数，即函数2y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不为奇函数，故D 不正确. 故选：ABC 【小结】熟练掌握三角函数的值域、对称轴、对称中心、奇偶性是解题关键. 11．函数()()sin 23f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴可以是（ ） A ．2x π=B ．12x π=C ．512x π=D ．12x π=-【答案】CD 【分析】利用正弦型函数图象性质求解. 【解析】()()sin 23f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭对称轴：2,32x k k Z πππ-=+∈， 解得5,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，512x π=，故C 选项正确；当1k =-时，12x π=-，故D 选项正确；故选：CD.12．已知函数()sin(cos )f x x =，则下列关于该函数性质说法正确的有（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 的值域是[1,1]-C ．()f x 的图象关于点(,0)π对称D ．()f x 在区间(0,)π上单调递减【答案】AD 【分析】根据正弦型函数的性质，结合余弦函数的性质逐一判断即可.A ：因为(2)sin[cos(2)]sin(cos )()f x x x f x ππ+=+==， 所以2π是函数()f x 的周期，故本选项说法正确；B ：因为1cos 1x -≤≤，[1,1][,]22ππ-⊆-， 所以sin(1)sin(cos )sin1()[sin1,sin1]x f x -≤≤⇒∈-， 故本选项说法不正确；C ：因为()sin[cos()]sin(1)sin10f ππ==-=-≠， 所以()f x 的图象不关于点(,0)π对称， 故本选项说法不正确；D ：因为(0,)x π∈，所以函数cos y x =是单调递减函数， 因此有1cos 1x -≤≤，而[1,1][,]22ππ-⊆-，所以()f x 在区间(0,)π上单调递减， 故本选项说法正确. 故选：AD13．已知函数()sincos 22x xf x =+，则下列四个结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的值域为⎡⎣D ．设函数()()sin 0,0g x x πϕωϕπω⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭的奇偶性与函数()f x 相同，且函数()g x 在()0,3上单调递减，则ω的最小值为2 【答案】BC 【分析】首先利用函数的奇偶性的应用判定A 的结论，利用函数的关系式的变换求出函数的最小正周期，进一步判断B 的结论，利用函数的定义域求出函数的值域，进一步判定C 的结论，利用函数的性质求出ω的范围，进一步判定D 的结论.解：对于A ：由于函数()sincos 22x xf x =+，则根据函数的性质， 所以()sin cos ()22x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数为偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，故A 错误； 对于B ：由于()sincos sin cos ()2222x x x xf x f x πππ+++=+=+=， 则函数的最小正周期为π，故B 正确；对于C ：当[]0,x π∈时，函数()sincos 2224x x x f x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于3,2444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦24x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故C 正确； 对于D ：函数()f x 为偶函数，所以()sin g x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数， 所以sin 1ϕ=±，故()2k k Z πϕπ=+∈，由于0ϕπ≤≤，所以2ϕπ=，所以()sin 2g x x ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()cos g x x πω⎛⎫=⎪⎝⎭， 由于0>ω，03x <<， 所以30x ππωω<<，函数在()0,3上单调递减，故3ππω≤，解得3ω≥，故D 错误. 故选：BC .14．若函数22()23sin cos f x x x x =++在[,]a a -上为增函数，则（ ）A ．实数a 的取值范围为0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．实数a 的取值范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．点,212π⎛⎫⎪⎝⎭为曲线()y f x =的对称中心 D ．直线3x π=为曲线()y f x =的对称轴【答案】ACD 【分析】化简函数()2sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【解析】由题意，函数222()23sin cos 22sin 1f x x x x x x =++=++2cos 222sin 226x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，令2262x πππ-≤-≤，可得263x ππ-≤≤，所以06a π<≤，所以A 正确，B 不正确； 令12x π=，可得()2sin 22212126f πππ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭， 所以点,212π⎛⎫⎪⎝⎭为曲线()y f x =的对称中心，所以C 正确； 令3x π=，可得()2sin 224336f πππ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以3x π=为曲线()y f x =的对称轴，所以D 正确. 故选：ACD 【小结】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.15．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称 C ．函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 D ．该图象向右平移π6个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】BD 【分析】由图象求出函数解析式，然后结合正弦函数性质判断各选项． 【解析】由函数的图象可得2A =，周期ππ4π312T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2π2π2πT ω===， 当π12x =时，函数取得最大值，即ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()ππ22π122⨯+=+∈k k ϕZ ，则π2π3k ϕ=+，又π2ϕ<，得π3ϕ=， 故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A ，2sin 033f ππ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 不正确；对于B ，当5π12x =-时，5π5πππ2sin 22sin 2121232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f ，即直线5π12x =-是函数()f x 的一条对称轴，故B 正确； 对于C ，当236x ππ-≤≤-时，203x ππ-≤+≤， 所以，函数()f x 在区间2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦不单调，故C 错误； 对于D ，将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到ππ2sin 222sin 263⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭y x x 的图象，即D 正确. 故选：BD ． 【小结】思路小结：本题考查由图象求三角函数的解析式，考查正弦型函数的性质．解题思路是图象中最高点或最低点求得A ，由零点或最值点求出周期从而得ω，再由点的坐标求得ϕ，得函数解析式，然后利用正弦函数性质求解．16．设函数()()sin f x x ωϕ=+(0>ω，2πϕ<)，5012f π⎛⎫=⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 在,312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列结论正确的是（ ） A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 B ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 在区间,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎣⎦D ．先将sin y x =的图象的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移12π个单位得到()f x 的图象【答案】ABD 【分析】 先由()f x 在,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，判断5212T π>，再由5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可计算得,ωϕ，得到()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，再根据正弦函数的图象和性质逐项判断. 【解析】 因为()f x 在,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，所以5212312T πππ⎛⎫>--= ⎪⎝⎭，因为5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2543124T πππ=-=，所以2T ππω==，得2ω=，由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈，令1k =，得6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，令712x π=-，得26x ππ+=-，故A 项正确；令6x π=，得262x ππ+=，故B 项正确；当,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,643x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 26x π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故C 项错误； 先将sin y x =的图象的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移12π个单位得()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象，故D 项正确. 故选：ABD 【小结】对于函数()sin y A ωx φ=+的对称轴与对称中心的求解，可将x ωϕ+看成一个整体，利用正弦函数的对称轴和对称中心计算求得. 17．已知函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．()g x 的图象关于直线3x π=对称B ．()g x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()g x 在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()g x 在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点 【答案】CD 【分析】 求出2()sin 0333g πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， ()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，即可判定AB 错误，5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到C 正确，解方程即可得到D 选项正确.【解析】2()sin 0333g πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以A 选项错误；()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，所以B 选项错误； 5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是正弦函数的增区间的子区间，所以()g x 在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，所以C 选项正确； 令()sin 203g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2,3x k k Z ππ+=∈，,26k x k Z ππ=-∈， 所以在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，所以D 选项正确. 【小结】此题考查正弦型函数的单调性判断，求对称轴和对称中心以及零点问题，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.18．对于函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中0>ω），下列结论正确的是（ ） A ．若()12f x f π⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，则ω的最小值为2B ．当2ω=时，()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数 C ．当2ω=时，()f x 的图象可由()cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右移3π个单位长度得到 D ．当12ω=时，()f x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 【答案】AC 【分析】由题意可知函数()f x 的图象的一条对称轴为直线12x π=-，可得()1232k k Z πππωπ--=+∈，可判断A选项的正误；由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可计算得出22333x πππ-<-<，可判断B 选项的正误；利用三角函数图象变换可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断D 选项的正误.【解析】对于A 选项，由于()12f x f π⎛⎫<-⎪⎝⎭恒成立， 则函数()f x 的图象的一条对称轴为直线12x π=-，所以，()1232k k Z πππωπ--=+∈，解得()1012k k Z ω=--∈，当1k =-时，正数ω取最小值2，A 选项正确； 对于B 选项，当2ω=时，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22333x πππ-<-<，此时，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将函数()cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右移3π个单位长度可得到5cos 2cos 2cos 2sin 2366323y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 选项正确； 对于D 选项，当12ω=时，()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1sin sin 1032332f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，函数()f x 的图象不关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭成中心对称，D 选项错误. 故选：AC. 【小结】思路小结：求解正弦型函数的基本性质问题，一般将三角函数的解析式化为()sin y A x b ωϕ=++的形式，然后利用正弦函数的基本性质来进行求解. 19．设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的一个周期为2πB ．()y f x =的图象关于直线83x π=对称 C ．()f x 与x 轴的一个交点坐标为,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】ABC 【分析】由最小正周期公式可判断A ，由813f π⎛⎫=-⎪⎝⎭可判断B ，由06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断C ，由,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，进而可判断D. 【解析】对于A ，函数()f x 最小正周期2T π=，所以A 正确；对于B ，()min 88cos 1333f f x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()y f x =的图象关于直线83x π=对称，故B 正确； 对于C ，cos 0663f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误. 故选：ABC.20．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()y f x =在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 B ．直线38x π=是函数()y f x =图像的一条对称轴 C ．函数()y f x =的图像可由函数sin 2y x =的图像向右平移8π个单位得到 D ．函数()y f x =的图像关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】AB【分析】先将函数变形为sin ωφf x A x B 的形式，然后利用三角函数的性质逐一判断．【解析】解：()22sin cos 2cos sin 21cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，对于A 选项，当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,044x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，函数()y f x =为增函数，A 正确； 令242x k πππ-=+，k ∈Z ，得382k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，38x π=，所以直线38x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确；函数sin 2y x =的图象向右平移8π个单位得到函数sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，C 错误；211884y f πππ⎛⎫=⨯⎛⎫= ⎪⎝-- ⎪⎭⎭=-⎝，故函数()y f x =的图像关于,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，D 错误，故选：AB.21．已知函数()2sin sin 2f x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 是周期函数B ．函数()f x 在[π-，π]上有4个零点C ．函数()f x 的图象关于(π对称D ．函数()f x【答案】ACD 【分析】由选项的问题逐一计算，A 选项，代入周期的公式验证即可；B 选项，求导求函数的单调性以及极值和端点值，从而判断函数的零点个数；C 选项，代入2x π-，计算()()2f x f x π-+的值验证；D 选项，由B 选项可知结果. 【解析】A ：由于(2)()f x f x π+=，所以函数()f x 是周期函数，A 正确；B ：()2(cos 1)(2cos 1)f x x x '=-+，研究[π-，π]情况，发现()f x 在(π-，23π-)，(23π，π)单调递增，在(23π-，23π)单调递减，求得2()3f π-=，()f π=，2()3f π=，()f π-=，所以函数()f x在[π-，π]上有2个零点，故B 错误；C ：由于(2)2sin(2)sin[2(2)]()2sin sin 2f x x x f x x x πππ-=-+-==-，所以(2)()f x f x π-+=()f x 的图象关于(π)对称；D ：由B 选项的过程可知，()f x ，D 正确.故选：ACD . 【小结】本题考查含三角函数的复合型函数的周期性，零点个数以及对称性，属于中档题.（1）含三角函数的复合型函数求导时()'0f x >的解为增区间；()'0f x <的解为减区间；不考虑三角函数本身的增减性.（2）正弦型、余弦型复合函数的单调性要看内外层函数的单调性. 22．已知函数()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+（0>ω，02πϕ<<）的最小正周期为π，且图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ） A ．直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 的图象可由cos 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到 C ．()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,1 D ．()f x 在区间3,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】AC 【分析】先利用两角和的正弦公式化简()f x ，利用已知条件求出,ωϕ，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的图象与性质逐一判断即可. 【解析】()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+，由2ππω=，解得2ω=，又函数()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以0sin 23πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 结合02πϕ<<，得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 当12x π=时，232x ππ+=， 故直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，选项A 正确；cos 2sin 22y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将其图象向左平移12π个单位长度后， 得到函数2sin 2sin 21223y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 该解析式不能化为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选项B 错误；当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 此时()[]0,1f x ∈，选项C 正确； 当3,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，222,2333x πππππ⎡⎤+∈---+⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图象可知，()f x 在该区间上有增有减，故选项D 错误.故选：AC. 【小结】关键小结：熟练掌握三角函数的图象与性质是解决本题的关键. 23．将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的最小正周期为π B ．()g x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．()g x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．若存在()0,a π∈，使()()3g x a g x a +=+成立，则π2a 【答案】ACD 【分析】根据三角函数图象的变换得到函数()g x 的解析式，然后利用函数的周期性、对称性、单调性等逐一分析各个选项，从而得解． 【解析】将sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数sin 2y x =的图象，再将所得图象向右平移12π个单位长度，得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ()g x 的最小正周期22T ππ==，所以A 正确；对于()sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令512x π=，得5()sin 2126g x ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭()g x 的图象不关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，B 错误； 当,63x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，此时函数()g x 是单调递增的，所以C 正确；()sin 226g x a x a π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，(3)sin 266g x a x a π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，由()(3)g x a g x a +=+，(0,)a π∈，得2222666x a k x a πππ+-+=+-，k ∈Z ，所以2k a π=，k ∈Z ，又(0,)a π∈，所以π2a ，D 正确． 故选：ACD ． 【小结】判断某个点是否为函数图象的对称中心或某条直线是否为函数图象的对称轴，只需把相应自变量的值代入函数解析式进行验证即可，对称轴对应函数的最值，对称中心对应函数的零点；单调性的判断可以利用正（余）弦函数的单调性进行判断．24．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数41sin[(21)]()21i i x f x i =-=-∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则（ ）A ．函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点(2π,0)对称C ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称 D ．函数()f x 的导函数()'f x 的最大值为4 【答案】BCD 【分析】利用周期的定义可判断A 选项的正误；根据()()40f x f x π++-= 可判断B 选项的正误；利用函数的对称性可判断C 选项的正误；求得函数()y f x =的导数，求出()y f x '=的最大值，可判断D 选项的正误. 【解析】()sin 3sin 5sin 7sin 357x x xf x x =+++， ()()()()()sin 3sin 5sin 7sin 357x x x f x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦+=++++()()sin 3sin 5sin 7sin 357x x x x f x f x =----=-≠， 所以，π不是函数()y f x =的最小正周期，A 选项错误；()()()()()sin 3sin 5sin 7sin 357x x x f x x ----=-+++sin 3sin 5sin 7sin 375x x xx =----， ()()()()()sin 34sin 54sin 74sin 43574x x x f x x πππππ+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++=sin 3sin 5sin 77sin 35x x xx =+++， 所以()()40f x f x π++-=，故函数()f x 的图象关于点(2π,0)对称，B 选项正确；()()()()()sin 3sin 5sin 7sin 375x x x f x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=-+++()sin 3sin 5sin 7sin 357x x xx f x =+++=， 所以，函数()y f x =的图象关于直线2x π=对称，C 选项正确；()cos cos3cos5cos7f x x x x x ++'=+，1cos 1x -≤≤，1cos31x -≤≤，1cos51x -≤≤，1cos71x -≤≤，则()cos cos3cos5cos74f x x x x x =+++≤'，又()04f '=， 所以函数()y f x '=的最大值为4，D 选项正确. 故选：BCD. 【小结】本题考查正弦、余弦型函数基本性质的判断，涉及正弦型函数的周期性、对称性以及余弦型函数最值的判断，考查计算能力，属于中等题.25．已知函数()sin(2)6f x x π=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 关于点(,0)12π对称B ．()f x 关于直线6x π=-对称C ．()f x 的图像向左平移6π个单位长度后可得到()sin 2f x x =的图像 D ．()sin 2f x x =的图像向右平移12π个单位长度后可得到()f x 的图像 【答案】ABD 【分析】代入求解即可判断AB ；求出平移后的解析式即可判断CD. 【解析】 对于A ，()sin(2)012126f πππ=⨯-=，∴()f x 关于点(,0)12π对称，故A 正确； 对于B ，()sin(2)1666f πππ-=-⨯-=-，∴()f x 关于直线6x π=-对称，故B 正确； 对于C ，()f x 的图像向左平移6π个单位长度后得sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误； 对于D ，()sin 2f x x =的图像向右平移12π个单位长度后得sin 2sin 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ABD.26．已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=则（ ） A ．()g x 的图象关于点(,0)6π对称B ．()g x 的图象的一条对称轴是6x π=C ．()g x 在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减 D ．()g x 在(,)33ππ-值域为(0,1) 【答案】BC 【分析】首先根据求导公式得到()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质依次判断选项即可.【解析】()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫'=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对选项A ，2sin 2062g ππ⎛⎫=-=-≠⎪⎝⎭，故A 错误； 对选项B ，2sin 262g ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以6x π=为()g x 图象的一条对称轴， 故B 正确.对选项C ，因为566x ππ-<<，所以232x πππ-<+<，所以函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭为增函数， 即()2sin 3g x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭在5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭为减函数，故C 正确. 对选项D ，33x ππ-<<，所以2033x ππ<+<，所以0sin 13x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，()20g x -≤<，故D 错误.故选：BC27．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称 B ．函数()f x 的图象关于点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间,212 ππ⎡--⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点 【答案】CD 【分析】先根据题意求解析式，然后用整体代入的思想求出函数的所有对称轴、对称中心、单调递减区间及零点，逐一判断各选项，即可得出结论. 【解析】函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π. ，2ππω=，解得2ω=.，()sin(2)f x x ϕ=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数， ，2()sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得2(0)sin 03g πϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭， ，23k πϕπ-+=，k Z ∈，取1k =-，可得3πϕ=-.，()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 验证：203f π⎛⎫=⎪⎝⎭，11112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此A ，B 不正确. 若,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则42,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 因此函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.C 正确. 若3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因此函数()f x 在区间3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上只有两个零点，D 正确.故选：CD. 【小结】本题解题关键是熟练掌握正弦函数sin y x =的图像性质（单调性、对称性、零点等），x ωϕ+整理代入研究()sin y A ωx φ=+的图像性质，即突破难点. 28．函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点()0,2，若把函数()y f x =图像向右平移()0ϕϕ>个单位得到函数()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，则下列结论正确的是（ ）A ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴 B ．函数()y f x =的最小正周期是π C ．函数()y f x =的值域是[]0,2 D ．ϕ的最小值是6π 【答案】BCD【分析】将点(0,2)代入()f x 表达式中，可求出4πθ=，则()cos 21f x x =+，再根据余弦函数的性质对每一选项进行判断，得出答案. 【解析】由函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，可得2sin 22θ=， 即sin 21,02,2,24ππθθπθθ=<<∴=∴=，故2()2sin(2)cos 2cos cos 21f x x x x x θ=+⋅==+， 当4x π=时，()1f x =，故A 不正确；()f x 的最小正周期为22ππ=，故B 正确； ()cos 21[0,2]f x x =+∈，故C 正确；而()cos 21sin 212f x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭sin 21sin 21()6626f x x x g x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确故选：BCD 【小结】本题考查三角函数的图象性质，解答中利用最小正周期公式求函数的最小正周期时，公式2T ωπ=中的ω是函数()cos y A x ωϕ=+ 中x 的系数，在函数图象左、右平移时，遵循“左加，又减”，一定是在自变量x 上进行加减，这是很容易错的地方，属于中档题. 29．若函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．6π=ϕ B ．函数()f x 的图像关于6x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点5,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()f x 的值域为[]2,1- 【答案】ABD 【分析】根据三角函数的图像求出函数的解析式，再由三角函数的性质即可得出选项. 【解析】由图像可知2A =，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=， 因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ， 332sin 446f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()352,463k k Z πππωπ∴+=+∈， ()82,3k k Z ω∴=+∈，周期234T ππω=>，803ω∴<<，即2ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，对于A ，6π=ϕ，正确；对于B ，2sin 262f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，故图像关于6x π=对称，正确； 对于C ，532sin 262f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误； 对于D ，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()[]2,1f x ∈-，正确； 故选：ABD.30．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于2x π=直线对称B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增 D ．1y =与图象()231212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的所有交点的横坐标之和为83π 【答案】BCD 【分析】根据图象求出函数解析式，再判断各选项． 【解析】由题意2A =，254312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，∴22πωπ==，又22sin 223πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，。
高考数学复习点拨 三角函数图象的对称性
三角函数图象的对称性三角函数图象的对称性教材中并没有进行专门的讨论，但在以往的统考和高考中却经常出现有关对称性的题目，所以我们有必要把这个问题搞清楚． 一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称），sin y x =的对称中心是(π0)k ，，k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴． 2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，k ∈Z ．二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１ 函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（ ）Ａ．ππ212k x k =+∈Z ，Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ，Ｃ．ππ3x k k =+∈Z，Ｄ．π2π3x k k =-∈Z，解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，．故选（Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+，转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例2 由函数2sin 3y x =，π5π66x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭．说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３ 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ）Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z，Ｃ．πk k ∈Z，Ｄ．π2π2k k -∈Z ，解：∵函数图象关于原点中心对称，且x ∈R ，∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=，即ππ2k k ϕ=+∈Z ，．故选（Ｂ）．3．综合运用例４ 已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值．解：()f x 是偶函数，y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，(0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕ ≤≤，π2ϕ∴=．由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫⎪⎝⎭对称，3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭A ，又0ω>，3πππ01242k k ω∴=+=，，，…．2(21),0,1,2,3k k ω∴=+= 当0k =时，23ω=，2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当2k ≥时，103ω≥，π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数．综上所述，23ω=或π22ωϕ==，．说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。
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三角函数对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z)y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z)y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan(2α)=2tanα/(1-tan²α)cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))辅助角公式Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos(α-arctan(A/B))万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan²(a/2))cos(a)= (1-tan²(a/2))/(1+tan²(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan²(a/2))降幂公式sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t角的三角函数值幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……实用幂级数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
傅立叶级数傅里叶级数又称三角级数f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dxan=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dxbn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx三角函数的数值符号正弦第一，二象限为正，第三，四象限为负余弦第一，四象限为正第二，三象限为负正切第一，三象限为正第二，四象限为负编辑本段相关概念三角形与三角函数1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中R为外接圆的半径)2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2)5、三角形中的恒等式：对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明:已知(A+B)=(π-C)所以tan(A+B)=tan(π-C)则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ三角函数图像：定义域和值域sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为Rcot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为Ry=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域为[ c-√(a²+b²) , c+√(a²+b²）] 初等三角函数导数三角函数图像y=sinx---y'=cosxy=cosx---y'=-sinxy=tanx---y'=1/cos^2x =sec^2xy=cotx---y'= -1/sin^2x = - csc^2xy=secx---y'=secxtanxy=cscx---y'=-cscxcotxy=arcsinx---y'=1/√(1-x²)y=arccosx---y'= -1/√(1-x²)y=arctanx---y'=1/(1+x²)y=arccotx---y'= -1/(1+x²)倍半角规律如果角a的余弦值为1/2，那么a/2的余弦值为√3/2反三角函数三角函数的反函数，是多值函数。