二次函数实践与探究PPT课件
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《二次函数》PPT精品课件
在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一
年到期后,银行将本金和利息自动按一年定
期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你
写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑
利息税).
y=100(x+1)²
=100x²+200x+100.
典例精析
例1 已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？可能是75cm2吗？还可能是多
1
B. y x 2
6
D. y ( x 1)( x 2)
2
2.函数 y (m n) x mx n 是二次函数的条件是（ B ）
A．m、n为常数，且m≠0
B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0
D．m、n可以为任何常数
自主学习检测
3.如果函数y=
x
k 2 3k 2
2.1 二次函数
九年级下册
- .
学习目标
1
2
3
经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数
表示变量之间关系的体验.
能够表示简单变量之间的二次函数关系.
能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
自主学习检测
1.下列函数中，不是二次函数的是（ C ）
A. y 6 x 2 1
C. y x 2 1
解：
y x
k 2 3 k 2
0或3
+kx+1 是二次函数,则k的值是______
kx 1是二次函数
k 2 3k 2 2
解得：k1 0, k 2 3
4.如果函数y=(k-3) x
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一
年到期后,银行将本金和利息自动按一年定
期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你
写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑
利息税).
y=100(x+1)²
=100x²+200x+100.
典例精析
例1 已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？可能是75cm2吗？还可能是多
1
B. y x 2
6
D. y ( x 1)( x 2)
2
2.函数 y (m n) x mx n 是二次函数的条件是（ B ）
A．m、n为常数，且m≠0
B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0
D．m、n可以为任何常数
自主学习检测
3.如果函数y=
x
k 2 3k 2
2.1 二次函数
九年级下册
- .
学习目标
1
2
3
经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数
表示变量之间关系的体验.
能够表示简单变量之间的二次函数关系.
能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
自主学习检测
1.下列函数中，不是二次函数的是（ C ）
A. y 6 x 2 1
C. y x 2 1
解：
y x
k 2 3 k 2
0或3
+kx+1 是二次函数,则k的值是______
kx 1是二次函数
k 2 3k 2 2
解得：k1 0, k 2 3
4.如果函数y=(k-3) x
二次函数的实践与探索ppt课件
2
2.
探索二
根据题目选择哪一种坐标系建法
O
课本P27页第二题
（4）又一个边长为1.6米的正方体木箱，能否通过此 涵洞，说明理由（木箱底面与水面同一平面） 若箱子从涵洞正中通 过，当通过的底为1.6 时，能通过的最大高 度为NF=1.5,小于正 方体的高1.6，
所以不能通过
N
c
o F
1.6 当通过的底为1.6时，能通过的最大高度为 NF, 比较NF与正方体的高
顶点D（1，3） 开口向下 与X轴交点为（0，0）， （2，0） 我们可以设二次 函数解析式为y=a （x-h）2+k
y 3( x 1)2 3
h=1，k=3
0
2
求出抛物线的函数解析式_______________
一个涵洞成抛物线形，
y O x
探索一 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得， 当水面宽AB＝2米，涵洞顶点O与水面的距离为3米， 以O为原点，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系， 1.直接写出A,B,O的坐标 2.求出抛物线的函数解析式 A(-1,-3) B(1,-3) O(0,0) 3
找点坐标 设定实际问题中的变量
建立变量与变量之间的函数关系式
确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义,解决问题
把实际问题转化为点坐标
课后作业 1.一个运动员推铅球，铅球在 1 2 A点处出手，铅球的 飞行线路为抛物线 y x x 1
铅球落地点为B,则这个运动员的成绩为__________米
§27．3二次函数的实践与探索
复习
待定系数法求二次函数关系式几种方法
设一般式： 设顶点式：
y ax bx c (a 0)
《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)
抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
26.3.2 实践与探索 课件ppt（24张PPT）
函数y=ax2+bx+c与直线y=kx+d的交点,所以在画图像的时候,先 画出函数y=ax2+bx+c,再画出直线图像,而直线与曲线的交点,便是方 程的根。
板书设计
26.3.2 实践与探索 1、二次函数的应用 2、用二次函数解一元二次方程
作业布置
必做题： 课本P30练习第1和2题 跟踪练习册 选做题： 课本P30练习第3题
26.3.2 实践与探索 华师版 九年级下
新知导入
亲爱的同学们，上节课我们学习了二 次函数的实践与探索，请同学们回忆 一下怎样用二次函数的求解析式，基 本步骤是什么？
新知导入
建立直角坐标系找（找点坐标） 求解析式 解决问题
新知讲解
我们常会遇到与二次函数及其 图象与一元二次方程有关的问 题，请与同伴共同研究，尝试 解决下面的问题。
新知讲解
问题3
画出函数
y x2 x 3 4
的图象，根据图象回答下列问题：
（1）图象与x轴交点的坐标是什么？
新知讲解
y 10
8
6 4
y x2 x 3 4
2
-3 -2 -1 0
1
23
x
-2
新知讲解
(1)由图象可知，它与x轴的交点坐标为
( 3 ,0)和（- 1 ，0）
2
2
新知讲解
（2）当x取何值时y=0?这里x的取值与方程有什么关系？ （3）你能从中得到什么启发？
为
2
x2 1 x 3 0，画出函数
2
y x2 1 x 3 2
的图象，观察它与x轴的交点,得出方程的根.唯独小刘没
有将方程移项,而是分别画出了函数 y x2和y 1 3
《二次函数》PPT课件【优秀课件推荐】共27页
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
《二次函数》PPT课件【优秀课件推荐】
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
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•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
二次函数-PPT-课件资料
人民教育出版社 九年级 | 上册
知识点详解
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的 关系： (1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月 利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y
=-2x2+20x(0<x<10) (2)y=-2×32+20×3=42m
x
人民教育出版社 九年级 | 上册
课堂总结
1.定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠ 0)的函数 叫做x的二次函数。 2.定义的实质是：ax2+bx+c是整式，自变量x的最高次是二次，自变 量x的取值范围是全体实数。 3.二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数，a≠0) a是二次项系数,b是一次项系数, C是常数项
4＋2p＋q=－5,即：2p＋q=－9 (2)
解(1)、(2),得：
p=－12、q=15
则：y=x²－12x＋15
人民教育出版社 九年级 | 上册
例题详解
2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三
角形 (图中阴影部分 ) ，设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形 EFGH
人民教育出版社 九年级 | 上册
第二十二章 ·二次函数
二次函数
精品模版-助您成长
温故知新
1、一元二次方程的一般形式是什么？
人民教育出版社 九年级 | 上册
2、函数定义是什么？ 设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的 值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。 3、一次函数，正比例函数的一般形式是什么？ 一次函数：y=kx+b（k,b是常数，k≠0） 正比例函数：y=kx（k是常数，k≠0）
二次函数ppt课件
过程与方法目标
在教师的引导下，学生经历观察、
类比、讨论、归纳的过程，通过小
组交流讨论的学习方式，共同探索
出二次函数的概念和解析式特征。
3.说教材
的重难点
教学重点:经历探索、分
析、类比讨论、归纳二次
函数概念的过程。
教学难点:根据二次函数
的定义特征辨别二次函数。
三、说教法
在教学过程中，不仅要使学生“知其然”，还要
解：由题可知,
− = ,
。
m=3
解得
+ ≠ ,
− = ,
+ ≠ ,
− − =
+≠
六、教学反思
1.本节课通过学生的探究性活动，学生之间的合作
与交流来分析实际问题，进而引出二次函数的概念，
使学生感受二次函数与现实生活的联系。
2.在课堂中，要结合课堂的实际效果和学生的情况
二次函数
一、学情分析
二、教材分析
三、教法与学法分析
四、教学过程分析
五、板书设计
六பைடு நூலகம்教学反思
据心理学研究结果，这个时期的青少年和
成年人思维接近，但他们理解抽象的词语仍有
困难，他们的判断力和逻辑推断力还没有很好
地发展，大多数青少年已经相当熟练地操作具
体对象，并喜欢通过具体手段学习，需要把抽
象的概念和他们的经验联系起来。
培养学生能力，促进学生个性发展。
1、学生特点分析
生理上，青少年好动，注意力易分散，
爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在
教学中应抓住学生这一生理特点，一方面要
运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使
他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面
二次函数 26.3 实践与探索 课件(54张)(1)
2. B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发， A船以每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船以每 小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？ 最近距离是多少？
思考问题：
（1）两船的距离随着什么的变化而变化？ (2)经过t小时后，两船的行程是多少？ 两船 的距离如何用t来表示？
当
90 b r 0.0045 22.5 4 2a 0.0045
mm
用一段长为30m的篱笆围成一个一边 靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个 矩形的长，宽各为多少时？菜园的面 积最大，面积是多少？
例1 如图，有长为24米的篱笆， 围成中间隔有一道篱笆的长方形 的花圃，且花圃的长可借用一段 墙体（墙体的最大可用长度a=10 米）： （1）如果所围成的花圃的面积 为45平方米，试求宽AB的值； （2）按题目的设计要求，能围 成面积比45平方米更大吗？ a
课后思考
某超市经销一种销售成本为每件 40 元的商 品．据市场调查分析，如果按每件50元销售， 一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每 周 销 量 就 减 少 10 件 ． 设 销 售 单 价 为 x 元 (x≥50)，一周的销售量为y件． (1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围) (2) 设一周的销售利润为 S，写出 S与 x的函数关 系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利 润随着单价的增大而增大？ (3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情 况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单 价应定为多少？
26.3 实践与探索 (第1课时)
基础扫描
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线，它的对 称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) . 2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
二次函数PPT课件
典题精讲
3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中 发现：这种商品的销售量m（件）与每件商品的销 售价x（元）满足一次函数关系m=162-3x，试写出 商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商 品的销售价x（元）之间的函数关系式，y是x的二 次函数吗？
解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元。 则依题意可得： y=（162-3x ）（x-30），即y=-3x²+252x-4860 由此可知y是x的二次函数
典题精讲
4.如图，用同样规格的正方形白色瓷砖铺设矩形地面， 请视察下列图形并解答有关问题：
n=1
n=2
n=3
（1）在第n个图形中，每一横行共有（n+3）块瓷砖，每一竖
列共有（n+2）块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中 的n的函数关系式 y=（n+3）（n+2），即y=n²+5n+6 .
y是x的函数吗？
举例讲授
问题2
n个球队参加比赛，每两对之间进行一场比赛。
比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个
队要与其他 n个-1球队各比赛一场，整个比赛场次
为
，这里m是n的函数吗？
举例讲授
问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年
增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那 么两年后这种产品的年产量y将随计划所定的x值而 确定，y与x之间的关系应怎样表示？
22.1.1 二次函数
学习目标
1.结合具体情境体会二次函数的意义，理 解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
复习导入
二次函数的实践与探索PPT教学课件
问题(2)离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超 过1m？
点题 分析
y=-３.75x²+2.Ｅ4 (-0.8,0) Ａ
y (0,2.4)
Ｄ (?,1.5)
Ｂ(0.8,0)
x O
标识题意（难点）
求对应解
问题（３）小船宽为１m，高为
y
1.5m，能否通过？
Ｅ
Ｄ
Ａ
Ｂ
０
x
学生讨论
问题（３）小船宽为１m，高为
教学重点——建立并合理解释数学模型 教学难点——实际问题数学化过程
突破点：利用丰富的素材，充分感知，实
现数学化过程。
教材分析
（四）、教法及学法分析
《基础教育课程改革纲要（试行）》明确要求： “教师在教学过程中应与学生积极互动、共同
发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，关注个 体差异，满足不同学生的学习需要。”
教学方法——情景探究，师生互动 学习方法——自主探索，合作交流 教学手段——使用多媒体辅助教学
设计思路
实际问题的提出， 说明引入二次函数模
型的必要性。
树立用二次函数构 建数学模型解决实际
问题的思想
合理解释相应的数 学模型
通过丰富的问题情 景，形成用二次函数 解决实际问题的一般
性策略和方法。
教学过程分析
流转照离人 ，离人辗转思亲人。
不应有恨，
第五个意象；感慨月
何时偏向别时圆？ 缘情写景， 别有滋味。
人有悲欢离合，
第六个意象：领悟圆
月有阴晴圆缺，
自古皆然， 万物一理。
此事古难全。
但愿人长久，
第七个意象：祝愿康
千里共婵娟。
亲人平安，千里共享。
《二次函数》参考PPT课件
y=kx(k≠0),
反比x2+bx+c(a≠0).
可以发现,这些函数的名称都反映了函数 表达式与自变量的关系.
布置作业
• 预习下一章节
x
即： y =-2x2+40x (0<x<20) m
y m2
x m
当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m
y =-2x2+40x＝-2×122+40×12
＝192（m2）
在实践中感悟
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函 数，求m、n的值。
这种产品的原产量是20 t, 一年后的产量是 20(1+x) t,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 t,即两年
后的产量为 y 201 x2
即 y 20 x2 40x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产 的倍数x之间的关系,对于x的每一个值 , y都有一个对应值,即y是x的函数.
观察
场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛
是同一场比赛，所以比赛的场次数
m 1 n(n 1) 2
即
m1n21n 22
②
②式表示比赛的场次
数m与球队数n的关系,对
于n的每一个值,m都有一
个对应值,即m是n的函数
.
问题：
问题2 某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量
.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
《二次函数》PPT优秀课件
说一说以上二次函数解析式的各项系数.
链接中考
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ C ）
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
链接中考
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ C ）
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
《二次函数》PPT课件
一次函数 y＝kx＋b(k≠0)
正比例函数
y＝kx (k≠0)
一条直线
反比例函数 y k (k 0).
双曲线
x
课时导入
导入新知 正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正 方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x的 每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数， 它们的具体关系可以表示为 y＝6x2.
课堂小结
二次函数
(2)确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函 数关系式化为一般形式．
(3)二次项系数不为0.
感悟新知
知2－练
方法点拨：在实际问题中建立二次函数模型时，关键 要找出两个变量之间的数量关系，用类似建立一元二 次方程模型的方法，借助方程思想求出二次函数的关 系式.
解：(1) y=300+30 ( 60-x ) =-30x+2 100 ( 40 ≤ x ≤ 60 ). ( 2 ) W= ( x-40 ) ( -30x+2 100 ) =-30x2+3 300x-84 000.
课时导入
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变 量x的最高次数是2.
这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学 习的二次函数．
感悟新知
知识点 1 二次函数的定义
问题1
知1－讲
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，
比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
比赛的场次数
m＝ 1 n(n－1)，
即m＝
1
2 n2－
感悟新知
总结
知2－讲
1. 建立二次函数模型的一般步骤： (1)审清题意：找出问题中的已知量（常量）和
未知量（变量），把问题中的文字或图形语言转化 成数学语言.
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3
教材分析
（一）、地位和作用 （二）、学情分析 （三）、教学目标分析 （四）、教法及学法分析
4
教材分析
（一）、地位和作用
本节通过有关二次函数实际应用问题 的探索和研究，让学生体验数学“建模” 思想。并学会合理解释模型，重在培养 学生探索精神和创新意识。
5
教材分析
（二）、学情分析
学生已经学习过了二次函数的图像 及其性质，同时已有用数学知识解决实 际问题的经验，另外学生个性活泼,思维 活跃,积极性高，已初步具有对数学问题 进行合作探究的意识与能力。
1）题目中的问
1）建立适当的平面直角坐标系， 题是不可分割的，
求出抛物线的函数解析式；2)离 暗示学生，建系
开水面1.5m处，涵洞宽ED是多 要有利于解题；
少？是否会超过1m？
2）传递纵观全
３）一只宽为１m，高为１.5m 局的思维方式
的小船能否通过？为什么？
18
问题(1)：建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的 函数解析式；
教学重点——建立并合理解释数学模型 教学难点——实际问题数学化过程
突破点：利用丰富的素材，充分感知，实
现数学化过程。
8
教材分析
（四）、教法及学法分析
《基础教育课程改革纲要（试行）》明确要求： “教师在教学过程中应与学生积极互动、共同
发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，关注个 体差异，满足不同学生的学习需要。”
教学方法——情景探究，师生互动 学习方法——自主探索，合作交流 教学手段——使用多媒体辅助教学
9
设计思路
实际问题的提出， 说明引入二次函数模
型的必要性。
树立用二次函数构 建数学模型解决实际
问题的思想
合理解释相应的数 学模型
通过丰富的问题情 景，形成用二次函数 解决实际问题的一般
性策略和方法。
10
教学过程分析
华东师大版实验教材九年级下册第二十六章第三节
1
前言
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》
要求：
“数学教育不仅要使学生获得数学知 识，用数学知识去解决实际问题，而且更 重要的是：使学生认识到，数学原来就来 自我们身边，是认识和解决我们生活中问 题的有力武器。”
2
一、教材分析 二、设计思路 三、教学过程 四、几点思考
分析题意：
A
Ｂ
O
x
水池为圆形，O点在中央， 喷水的落点离开圆心的距离相等。
16
水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ y
最小半径
A
舍去Ｃ
Ｂ
O
x
线段ＯＢ的长度
(Ｂ点的横坐标)
令y＝０,即－(x-1)²+1.8 =0 则x的值为 x1≈2.34 x2≈– 0.34 (不合题意,舍去)
∴最小半径为２.３４m
富有创意的题目上台演示，由出题者 分析讲演。
设计思路
树立用二次函 数构建数学模型 解决实际问题的 思想
14
喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
y A
A
y=-x²+2x+0.8
O
最大高度
O
x
顶点纵坐标
由y=-x²+2x+0.8配方得 y= －(x-1)²+1.8
∴最大高度为1.8m
函数对应法则的 应用
实际问题与函数 知识的对应
15
水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ y
自变量的取值范围 的实际意义 17
教学环 节
三、 拓 展 转 化 ， 加 深 理 解
例2 E
D
设计思路
AＡ
ＢB
第三个问是为 了解释和应用模
型而设,目的是为
一个涵洞的截面边缘成抛物线形， 了更完整的体现
如图，当水面宽AB＝1.6m时， 数学建模的过程。
测得涵洞顶点与水面的距离为 读题的意图有：
2.4m，
12
学生作品：
y
O
x
y x
y
x
13
教学 环节
二、 自 主 探 索 ， 实 践 新 知
例１
某公园要建造一个圆形的喷 水池，在水池中央垂直于水面竖 一根柱子，上面的A处安装一个 喷头向外喷水。连喷头在内，柱 高为0.8m。水流在各个方向上 沿形状相同的抛物线路径落下，
1）喷出的水流距水平面的最大 高度是多少？ 2)如果不计其他因素，那么水池 的半径至少为多少时，才能使喷 出的水流都落在水池内？
抛自 拓 砖主 展 引探 转 玉， 索， 化， 点实 加 明践 深 主新 理 旨知 解
合 作 探 索， 学 以 致 用
反 思 小 结， 形 成 新 知
布 置 作 业， 巩 固 新 知
11
教学 环节
一、 抛 砖 引 玉 ， 点 明 主 旨
教学内容
学生作品演示,引出问题.
设计思路
实际问题的 提出，说明引入 二次函数模型的 必要性。
阶段小结：
实际问题
数学问题
确立坐标系
求出解析式
函数性质
设计思路
通过丰富的 问题情景，形成 用二次函数解决 实际问题的一般 性策略和方法。
25
教学 环节
五、 合 作 探 索 ， 学 以 致 用
教学内容
设计思路
学生以四人小组为单位，在三份 作品中任选一份，模仿问题1，问题2
的形式，设计一道实践应用的 函数练习题。教师选择设计合理，
Ｅ
Ｄ
Ａ
Ｂ
０
x
学生讨论
23
问题（３）小船宽为１m，高为
y
1.5m，能否通过？
Ｅ
Ｄ
Ａ
Ｂ
０
x
F(0.5,0)
当x＝0.5时 得 y=1.46
∵1.46<1.5
∴不能通过
难点： 这里的y值表示 的是涵洞的高
探索实际问题的数学模型，实践对应
关系的实际应用。
24
教学
教学内容
环节
四、 快 速 反 应 ， 知 识 反 馈
6
教材分析
（三）、教学目标分析
知识目标 ——经历和体验用二次函数解决实际问题 的过程，进一步体会函数是刻画现实世界 的有效数学模型。
能力目标 ——培养学生的数学应用能力。
情感目标 ——了解数学理论的实用价值，提高学 生对数学的好奇心和求知欲；增强学数 学的自信心，体现发展性教学评价。
7
教材分析
（三）、教学目标分析
引导建系 标识题意 求出解析式
21
问题(2)离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超 过1m？
点题 分析
y=-３.75x²+2.Ｅ4 (-0.8,0) Ａ
y (0,2.4)
Ｄ (?,1.5)
Ｂ(0.8,0)
x O
标识题意（难点）
求对应解
22
问题（３）小船宽为１m，高为
y
1.5m，能否通过？
点题 分析
19
问题(1)：建立适当的平ห้องสมุดไป่ตู้直角坐标系，求出抛物线的 函数解析式；
y
y
O
点题 分析
x
O
方法1
x y
方法2
O
方法3
x
20
问题(1)：建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的 函数解析式；
点题 分析
y=-３.75x²+2.Ｅ4 (-0.8,0) Ａ
y (0,2.4)
Ｄ
Ｂ(0.8,0)
x O
教材分析
（一）、地位和作用 （二）、学情分析 （三）、教学目标分析 （四）、教法及学法分析
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教材分析
（一）、地位和作用
本节通过有关二次函数实际应用问题 的探索和研究，让学生体验数学“建模” 思想。并学会合理解释模型，重在培养 学生探索精神和创新意识。
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教材分析
（二）、学情分析
学生已经学习过了二次函数的图像 及其性质，同时已有用数学知识解决实 际问题的经验，另外学生个性活泼,思维 活跃,积极性高，已初步具有对数学问题 进行合作探究的意识与能力。
1）题目中的问
1）建立适当的平面直角坐标系， 题是不可分割的，
求出抛物线的函数解析式；2)离 暗示学生，建系
开水面1.5m处，涵洞宽ED是多 要有利于解题；
少？是否会超过1m？
2）传递纵观全
３）一只宽为１m，高为１.5m 局的思维方式
的小船能否通过？为什么？
18
问题(1)：建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的 函数解析式；
教学重点——建立并合理解释数学模型 教学难点——实际问题数学化过程
突破点：利用丰富的素材，充分感知，实
现数学化过程。
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教材分析
（四）、教法及学法分析
《基础教育课程改革纲要（试行）》明确要求： “教师在教学过程中应与学生积极互动、共同
发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，关注个 体差异，满足不同学生的学习需要。”
教学方法——情景探究，师生互动 学习方法——自主探索，合作交流 教学手段——使用多媒体辅助教学
9
设计思路
实际问题的提出， 说明引入二次函数模
型的必要性。
树立用二次函数构 建数学模型解决实际
问题的思想
合理解释相应的数 学模型
通过丰富的问题情 景，形成用二次函数 解决实际问题的一般
性策略和方法。
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教学过程分析
华东师大版实验教材九年级下册第二十六章第三节
1
前言
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》
要求：
“数学教育不仅要使学生获得数学知 识，用数学知识去解决实际问题，而且更 重要的是：使学生认识到，数学原来就来 自我们身边，是认识和解决我们生活中问 题的有力武器。”
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一、教材分析 二、设计思路 三、教学过程 四、几点思考
分析题意：
A
Ｂ
O
x
水池为圆形，O点在中央， 喷水的落点离开圆心的距离相等。
16
水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ y
最小半径
A
舍去Ｃ
Ｂ
O
x
线段ＯＢ的长度
(Ｂ点的横坐标)
令y＝０,即－(x-1)²+1.8 =0 则x的值为 x1≈2.34 x2≈– 0.34 (不合题意,舍去)
∴最小半径为２.３４m
富有创意的题目上台演示，由出题者 分析讲演。
设计思路
树立用二次函 数构建数学模型 解决实际问题的 思想
14
喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
y A
A
y=-x²+2x+0.8
O
最大高度
O
x
顶点纵坐标
由y=-x²+2x+0.8配方得 y= －(x-1)²+1.8
∴最大高度为1.8m
函数对应法则的 应用
实际问题与函数 知识的对应
15
水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ y
自变量的取值范围 的实际意义 17
教学环 节
三、 拓 展 转 化 ， 加 深 理 解
例2 E
D
设计思路
AＡ
ＢB
第三个问是为 了解释和应用模
型而设,目的是为
一个涵洞的截面边缘成抛物线形， 了更完整的体现
如图，当水面宽AB＝1.6m时， 数学建模的过程。
测得涵洞顶点与水面的距离为 读题的意图有：
2.4m，
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学生作品：
y
O
x
y x
y
x
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教学 环节
二、 自 主 探 索 ， 实 践 新 知
例１
某公园要建造一个圆形的喷 水池，在水池中央垂直于水面竖 一根柱子，上面的A处安装一个 喷头向外喷水。连喷头在内，柱 高为0.8m。水流在各个方向上 沿形状相同的抛物线路径落下，
1）喷出的水流距水平面的最大 高度是多少？ 2)如果不计其他因素，那么水池 的半径至少为多少时，才能使喷 出的水流都落在水池内？
抛自 拓 砖主 展 引探 转 玉， 索， 化， 点实 加 明践 深 主新 理 旨知 解
合 作 探 索， 学 以 致 用
反 思 小 结， 形 成 新 知
布 置 作 业， 巩 固 新 知
11
教学 环节
一、 抛 砖 引 玉 ， 点 明 主 旨
教学内容
学生作品演示,引出问题.
设计思路
实际问题的 提出，说明引入 二次函数模型的 必要性。
阶段小结：
实际问题
数学问题
确立坐标系
求出解析式
函数性质
设计思路
通过丰富的 问题情景，形成 用二次函数解决 实际问题的一般 性策略和方法。
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教学 环节
五、 合 作 探 索 ， 学 以 致 用
教学内容
设计思路
学生以四人小组为单位，在三份 作品中任选一份，模仿问题1，问题2
的形式，设计一道实践应用的 函数练习题。教师选择设计合理，
Ｅ
Ｄ
Ａ
Ｂ
０
x
学生讨论
23
问题（３）小船宽为１m，高为
y
1.5m，能否通过？
Ｅ
Ｄ
Ａ
Ｂ
０
x
F(0.5,0)
当x＝0.5时 得 y=1.46
∵1.46<1.5
∴不能通过
难点： 这里的y值表示 的是涵洞的高
探索实际问题的数学模型，实践对应
关系的实际应用。
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教学
教学内容
环节
四、 快 速 反 应 ， 知 识 反 馈
6
教材分析
（三）、教学目标分析
知识目标 ——经历和体验用二次函数解决实际问题 的过程，进一步体会函数是刻画现实世界 的有效数学模型。
能力目标 ——培养学生的数学应用能力。
情感目标 ——了解数学理论的实用价值，提高学 生对数学的好奇心和求知欲；增强学数 学的自信心，体现发展性教学评价。
7
教材分析
（三）、教学目标分析
引导建系 标识题意 求出解析式
21
问题(2)离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超 过1m？
点题 分析
y=-３.75x²+2.Ｅ4 (-0.8,0) Ａ
y (0,2.4)
Ｄ (?,1.5)
Ｂ(0.8,0)
x O
标识题意（难点）
求对应解
22
问题（３）小船宽为１m，高为
y
1.5m，能否通过？
点题 分析
19
问题(1)：建立适当的平ห้องสมุดไป่ตู้直角坐标系，求出抛物线的 函数解析式；
y
y
O
点题 分析
x
O
方法1
x y
方法2
O
方法3
x
20
问题(1)：建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的 函数解析式；
点题 分析
y=-３.75x²+2.Ｅ4 (-0.8,0) Ａ
y (0,2.4)
Ｄ
Ｂ(0.8,0)
x O