高中数学随机变量及其分布2_3离散型随机变量的均值与方差2_3_1离散型随机变量的均值导学案

2.3.1离散型随机变量的均值
【学习目标】
1.通过实例，理解取有限个值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义。

2.能计算简单离散型随机变量的均值（数学期望），并能解决一些实际问题。

3.会求两点分布和二项分布的均值。

重点难点
重点：会求两点分布和二项分布的均值
难点：理解取有限个值的离散型随机变量均值的概念和意义
【使用说明与学法指导】
1.课前用10分钟预习课本P60~P63内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.
【问题导学】
1.离散型随机变量的均值或数学期望
（1）定义：若离散型随机变量X的分布列为：
则称E（X）= 为随机变量X的均值或数学期望。

（2）意义：它反映了离散型随机变量取值的。

（3）性质：如果X为离散型随机变量，则Y=aX+b（其中a,b为常量）也是随机变量，且 =P x），i =1,2,3，……………,n,
（X=
i
E(Y)= =
2.两点分布和二项分布的均值
【合作探究】
【问题1】：甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：
试对这两名工人的技术水平进行比较。

【问题1】：解： 工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：7.010
3210111060=⨯+⨯+⨯=εE ， 891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯
-=εD ；
工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：
7.010
2210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ， 664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD
由E ε=E η知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D ε>D η，可见乙的技术比较稳定。

【问题2】：某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。

（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件树，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这些产品被用户拒绝购买的概率。

【问题2】：解：（1）ξ的取值为0，1，2，3
22342255189(0)10050
C C P C C ξ==⋅== 21112332442222555512(1)25
C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=
11122324422222555515(2)50
C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅= 124222551(3)25
C C P C C ξ==⋅= 所以ξ的分布列为：
E ξ=0×950+1×1225+2×1550+3×125
=1.2 （2）(2)(2)(3)P P P P ξξξ=≥==+==
1550+ 125=1750
【问题3】：在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较，在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用，根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验，用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。

（1）求出ξ的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
（2）求ξ的数学期望E ξ。

（要求写出计算过程或说明道理）
【问题3】：解：（1）
E ξ=1×115+2×115+3×215+4×215+5×315+6×215+7×215+8×115+9×115
=5。

【深化提高】
（2008年湖南卷）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12
，且面试是否合格互不影响.求： （1）至少有1人面试合格的概率;
（2）签约人数ξ的分布列和数学期望.
解： 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立， 且P （A ）＝P （B ）＝P （C ）＝12
. （1）至少有1人面试合格的概率是
3171()1()()()1().28
P P P P -=-=-= （2）ξ的可能取值为0，1，2，3.
(0)()()()P P ABC P AB C P ABC ξ==++ ＝()()()()()()()()()P P B P P P P C P P P ++ ＝3231113()()().2228
++= (1)()()()P P ABC P ABC P ABC ξ==++ =()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ =3331113()()().2228
++= 1(2)()()()().8
P P ABC P A P B P C ξ==== 1(3)()()()().8
P P ABC P A P B P C ξ==== 所以， ξ的分布列是：
ξ的期望：33110123 1.8888E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
【学习评价】 ●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
●当堂检测（3选2填或2选2填1解答）
A 组（你一定行）：
1．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为X ，则E （5X+1）=3。

2．设随机变量X 的分布列如下：
则EX=10。

B 组（你坚信你能行）：
3．随机变量X 的分布列为1()()3 k P X k a ==⋅（k=1，2，3），则EX=1813。

4．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内事件E 发生的概率为P ，为使公司收益的期望值等于a 的10%，公司应要求投保人交多少保险金？
解：设保险公司要求投保人交x 元保险金，以保险公司的收益额ξ作为随机变量，则得出ξ的分布列为：
E ξ=x （1-P ）+（x-a ）P=x-aP ，由题意知：x-aP=0.1a ，得：x=（0.1+P ）a ，即投保人交（0.1+P ）a 元保证金时，可使保险公司期望获益为a 的10%
C 组（我对你很有吸引力哟）：
5．一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望。

解：22(0)0.50.60.09P ξ==⨯=
12212
22(1)0.50.60.50.40.60.3P C C ξ==⨯⨯+⨯⨯⨯=2221122222222(2)0.50.60.50.40.60.50.40.37 P C C C C ξ==⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=11212222222(3)0.50.40.60.50.40.2P C C C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯=22(4)0.50.40.04P ξ==⨯=
于是得到ξ的概率分布列为：
所以E ξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8
6.设随机变量的概率分布为：
则ξ的数学期望的最小值是
2【小结与反思】。