菱形性质与判定

班级________姓名________

一.学习目标：

1．理解菱形的定义，掌握菱形的性质和判定；

2．能运用菱形的性质和判定进行简单的计算与证明．二．学习重点：菱形的性质、判定的理解和掌握；

学习难点：菱形的性质、判定的综合应用．

三．教学过程

知识梳理1：菱形的定义：

菱形的性质：（边）

（角）

（对角线）

（对称性）

菱形的面积等于．

边讲边练：

Ⅰ.菱形两条对角线、边长之间的关系：

1. 如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则：

①此菱形的边长为．(10 盐城)周长为．(10 北京)

②此菱形的面积为．(10 株洲)

③此菱形对角线的交点O到AB的距离为．(11 昆明)

④菱形内部(包括边界)任取一点P，使△ACP的面积大于6 cm2的概率为．(10 淮安)

2. 已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为___ ___cm．

3．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC:BD=4:3，那么对角线AC=_____cm，BD=_____cm．

4．(10 西安)若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为．

Ⅱ.有一个内角为60°的菱形：

1. 如图如图所示，在菱形ABCD中，若AB＝6，∠DAC＝60°则：

①BD＝．(10 南通)②AC＝．(11 中山)

③S菱形ABCD＝．

归纳：有一个内角为60°的菱形，短的对角线等

于；长的对角线等于．

2. 菱形的两邻角之比为1:2，边长为2，则菱形的面积为__________．

3. 己知：如图，菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 ．

4．(11 南京)如图，菱形ABCD 的边长是2㎝，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，则S 菱形ABCD = cm 2

．

5．(10 荷泽) 如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2㎝，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为 cm ． 、

知识梳理2：

(11 益阳)如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于1,2AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是．．． 形，你判定的理由是： ． 归纳：

第3题图 第4题图 第5题图

的平行四边形是菱形 的四边形是菱形

例题精讲

1．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AB，DF∥AC．

试判断四边形AFED的形状，并加以证明．

2．已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）(11 肇庆)求证：四边形OCED是菱形；

（2）(10 眉山)若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．（3）若∠ACB＝30 ，菱形OCED的面积为83，求AC的长．

3．两张等宽的矩形纸片如图所示叠放在一起，他们重合的图形是什么形状，并加以证明．

4．如图，□ABCD的对角线BD的垂直平分线与AD、BC分别交于点E、F．

求证：四边形BEDF是菱形．

变式．

(11兰州)已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD

（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF 和CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

课外延伸

1．(10 济南)如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在

点．

2．(11 无锡)菱形具有而矩形不一定具有的性质是

（）

A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补

3．(11武汉)如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论正确的是

（）

①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=

3

4

CG2；③若

AF=2DF，则BG=6GF．其中结论

A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③

4．(11湖州) 如图已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF ．

(1) 求证：四边形AECF 是平行四边形；

(2) 若BC ＝10，∠BAC ＝90°，且四边形AECF 是菱形，求

BE 的长 ．

5．(11 株洲)如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q . （1）求证： OP =OQ ；

（2）若AD =8厘米，AB =6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为

t

第1题图 第3题图 第4题图

秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD 是菱形．

一、选择题

1．下列命题正确的是（）

A．有两组邻角相等的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

2. 如图3所示，菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，AE=EB，则∠EDF等于（）

A．75° B．60° C．50° D．45°

A

C

D

E

F

第2题

A

B

C

D

E

F

P

第5题

D C

B

O

A

E

第3题