九上反比例函数专题复习

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湘教版九年级数学上册知识点归纳总结

九年级数学上册第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20ax bx c++=（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

北师大版数学九年级上册第六章反比例函数复习教案

突破方法：引导学生通过观察坐标点，分步骤绘制图像，并强调曲线在第二、四象限的单调递增特点。
（2）反比例函数在实际问题中的应用：学生在将反比例函数应用于实际问题中时，往往难以正确设定变量和建立模型。
突破方法：通过典型例题的讲解和练习，引导学生如何从问题中抽象出反比例关系，并建立数学模型。
（3）反比例函数与其他函数的区分：学生容易混淆反比例函数与其他函数的性质和图像。
同学们，今天我们将要复习的是《反比例函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过路程不变，速度与时间成反比的情况？”（如：固定距离，速度越快，所需时间越短）这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索反比例函数的奥秘。
另外，学生在将反比例函数应用于实际问题中时，有时会感到困惑，不知道如何从问题中抽象出反比例关系。针对这个问题，我计划在接下来的教学中，设计更多具有实际背景的问题，引导学生逐步学会如何从问题中提炼出反比例函数模型，提高他们解决实际问题的能力。
在小组讨论环节，我发现学生们积极参与，讨论氛围浓厚，但部分小组在分享成果时，表达不够清晰。为了提高学生的表达能力，我打算在今后的教学中，多给予他们展示和表达的机会，并适时给予指导和鼓励，帮助他们更好地展示比例函数复习教案
一、教学内容
本节课为北师大版数学九年级上册第六章“反比例函数”的复习教案。教学内容主要包括以下几部分：
1.反比例函数的定义与性质：回顾反比例函数的定义，即y=k/x（k为常数，k≠0），以及其性质，如图像关于原点对称、在每个象限内的符号等。
2.反比例函数的图像：复习反比例函数图像的特点，如曲线在第一、三象限单调递减，在第二、四象限单调递增，以及图像与坐标轴无交点等。

北师大版数学九年级上册期末复习压轴专题：反比例函数综合(四)

北师大版数学九年级上期末复习压轴专题：反比例函数综合（四）1．如图，点A 是反比例图数y ＝（x ＜0）图象上一点，AC ⊥x 轴于点C ，与反比例函数y ＝（x ＜0）图象交于点B ，AB ＝2BC ，连接OA 、OB ，若△OAB 的面积为2，则m +n ＝（）A ．﹣3B ．﹣4C ．﹣6D ．﹣82．如图，点A ，B 在反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上，连结OA ，AB ，以OA ，AB 为边作▱OABC ，若点C 恰好落在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，此时▱OABC 的面积是（）A ．3B ．C ．2D ．6 3．如图，是反比例函数y 1＝和y 2＝（k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲于A 、B 两点，若S △AOB ＝3，则k 2﹣k 1的值是（）A．8 B．6 C．4 D．24．如图，曲线C2是双曲线C1：y＝（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积等于（）A．B．6 C．3 D．125．如图，A、B是双曲线y＝（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、3a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝3．则k的值为（）A．2 B．1.5 C．4 D．66．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）经过▱ABCD的顶点B、D，点A 的坐标为（0，﹣1），AB∥x轴，CD经过点（0，2），▱ABCD的面积是18，则点D的坐标是（）A．（﹣2，2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（﹣6，1）7．已知：如图四边形OACB是菱形，OB在X轴的正半轴上，sin∠AOB＝．反比例函数y＝，则k＝（）＝在第一象限图象经过点A，与BC交于点F．S△AOFA．15 B．13 C．12 D．58．正方形ABCD的顶点A（2，2），B（﹣2，2），C（﹣2，﹣2），反比例函数y＝与y ＝﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，如图，则图中的阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．69．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在线段AB 上，点D在AB的右侧，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∠OAB＝∠BCD＝90°，若函数y＝（x＞0）的图象经过点D，则△OAB与△BCD的面积之差为（）A．12 B．6 C．3 D．210．双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC 相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．如图，梯形AOBC的顶点A，C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y＝x 上，下底边BC交x轴于E（2，0），则四边形AOEC的面积为（）A．3 B．C．﹣1 D．+113．如图所示，正方形ABCD的边长为2，AB∥x轴，AD∥y轴，顶点A在双曲线y＝上，边CD，BC分别交双曲线于E，F，线段AB，CD分别交y轴于G，H，且线段AE恰好经过原点，下列结论：＝，其中①E是CD中点：②点F坐标为（，）；③△AEF是直角三角形；④S△AEF 正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，且点P在反比例函数y＝的图象上．PA，PB的延长线分别交x轴、y轴于点C，D，连结CD．则△OCD的面积是（）A．8 B．8C．16 D．1615．如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y＝（k＞0）经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为12，则k的值是（）A．2 B．4 C．6 D．816．如图，△AOB的内心在x轴上，顶点A在函数y＝（k1＞0，x＞0）的图象上，顶点B在函数y＝（k2＜0，x＞0）的图象上，若△AOB的面积为4，则k1•k2的值为（）A．﹣8 B．﹣12 C．﹣14 D．﹣1617．如图，已知三角形的顶点C在反比例函数y＝位于第一象限的图象上，顶点A在x的负半轴上，顶点B在反比例函数y＝（k≠0）位于第四象限的图象上，BC边与x轴交于点D，CD＝2BD，AC边与y轴交于点E，AE＝CE，若△ABD面积为，则k＝（）A．﹣4 B．﹣C．﹣2D．318．如图：A，B是函数y＝的图象上关于原点O点对称的任意两点，AC垂直于x轴于点C，BD垂直于x轴于点D，设四边形ADBC的面积为S，则（）A．S＝2 B．2＜S＜4 C．S＝4 D．S＞419．如图，已知点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上的两点，连接AB．将直线AB向下平移3个单位得到直线l，在直线l上任取一点C，则△ABC的面积为（）A．B．6 C．D．920．如图，四边形OABC为平行四边形，A在x轴上，且∠AOC＝60°，反比例函数y＝（k ＞0）在第一象限内过点C，且与AB交于点E．若E为AB的中点，且S＝8，则OC△OCE 的长为（）A．8 B．4 C．D．参考答案1．解：设B（a，），A（a，）∵AB＝2BC，∴＝，∴m＝3n，∵△OAB的面积为2，∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOC的面积为﹣，△BOC的面积为﹣，∴△AOB的面积为﹣+＝2，∴n﹣m＝4，∴n﹣3n＝4，∴n＝﹣2，∴m＝﹣6，∴m+n＝﹣8故选：D．2．解：如图，连接AC，BO交于点E，作AG⊥x轴，CF⊥x轴，设点A（a，﹣），点C（m，）（a＜0，m＞0）∵四边形ABCO是平行四边形∴AC与BO互相平分∴点E（）∵点O坐标（0，0）∴点B[（a+m），（﹣）]∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，∴﹣+＝﹣∴a＝﹣2m，a＝m（不合题意舍去）∴点A（﹣2m，）∴S△AOC＝（）（m+2m）﹣﹣1＝∴▱OABC的面积＝2×S△AOC＝3故选：A．3．解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，S△BOC＝S△AOC＝∵S△BOC ﹣S△AOC＝S△AOB＝3∴﹣＝3∴k2﹣k1＝6故选：B．4．解：如图，将C2及直线y＝x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．双曲线C3，的解析式为y＝﹣过点P作PB⊥y轴于点B∵PA＝PO∴B为OA中点．∴S△PAB ＝S△POB由反比例函数比例系数k的性质，S△POB＝3∴△POA的面积是6故选：B．5．解：如图，分别过点A、B作AF⊥y轴于点F，AD⊥x轴于点D，BG⊥y轴于点G，BE⊥x 轴于点E，∵k＞0，点A是反比例函数图象上的点，∴S△AOD ＝S△AOF＝|k|，∵A、B两点的横坐标分别是a、3a，∴AD＝3BE，∴点B是AC的三等分点，∴DE＝2a，CE＝a，∴S△AOC ＝S梯形ACOF﹣S△AOF＝（OE+CE+AF）×OF﹣|k|＝×5a×﹣|k|＝3，解得k＝1.5．故选：B．6．解：如图，∵点A的坐标为（0，﹣1），AB∥x轴，反比例函数y＝（k≠0）经过▱ABCD 的顶点B，∴点B的坐标为（﹣k，﹣1），即AB＝﹣k，又∵点E（0，2），∴AE＝2+1＝3，又∵平行四边形ABCD的面积是18，∴AB×AE＝18，∴﹣k×3＝18，∴k＝﹣6，∴y＝﹣，∵CD经过点（0，2），∴令y＝2，可得x＝﹣3，∴点D的坐标为（﹣3，2），故选：C．7．解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．设OA＝a＝OB，则在Rt△OAM中，∠AMO＝90°，OA＝a，sin∠AOB＝，∴AM＝OA•sin∠AOB＝a，OM＝a，∴点A的坐标为（a，a）．＝，∵四边形OACB是菱形，S△AOF∴OB×AM＝，即×a×a＝39，解得a＝±，而a＞0，∴a＝，即A（，6），∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝×6＝15．故选：A．8．解：根据对称性可知，阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积的＝×4×4＝8，故选：C．9．解：∵△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∴OA＝AB，CD＝BC．设OA＝a，CD＝b，则点D的坐标为（a+b，a﹣b），∵反比例函数y＝在第一象限的图象经过点D，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝6，∴△OAB与△BCD的面积之差＝a2﹣b2＝×6＝3．故选：C．10．解：设直线AB与x轴交于点C．∵AB∥y轴，∴AC⊥x轴，BC⊥x轴．∵点A在双曲线y＝的图象上，∴△AOC的面积＝×5＝．点B在双曲线y＝的图象上，∴△COB的面积＝×3＝．∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积＝﹣＝1．故选：A．11．解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE ＝，S△OAD＝，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG＝|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO＝4S□ONMG＝4|k|，由于函数图象在第一象限，k＞0，则++6＝4k，k＝2．故选：B．12．解：因为AO∥BC，上底边OA在直线y＝x上，则可设BE的解析式为y＝x+b，将E（2，0）代入上式得，b＝﹣2，BE的解析式为y＝x﹣2．把y＝1代入y＝x﹣2，得x＝3，C点坐标为（3，1），则反比例函数解析式为y＝，将它与y＝x组成方程组得：，解得x＝，x＝﹣（负值舍去）．代入y＝x得，y＝．A点坐标为（，），OA＝＝，BC＝＝3，∵B（0，﹣2），E（2，0），∴BE＝2，∴BE边上的高为，∴梯形AOBC高为：，梯形AOBC面积为：×（3+）×＝3+，△OBE的面积为：×2×2＝2，则四边形AOEC的面积为3+﹣2＝1+．故选：D．13．解：①∵线段AE过原点，且点A、E均在双曲线y＝上，∴点A、E关于原点对称，∵正方形ABCD边长为2，∴点A的坐标为（﹣，﹣1），点E的坐标为（，1），∴AG＝DH＝EH＝，∵CD＝2，∴CE＝DE＝1，∴E是CD中点；故①正确；②∵CH＝，∴F（，），故②正确；③∵点A的坐标为（﹣，﹣1），点E的坐标为（，1），F（，），∴AE2＝＝5，AF2＝＝，EF2＝＝1，∴AE2+EF2≠AF2，∴△AEF不是直角三角形；故③不正确；＝2×2﹣﹣﹣＝，④∵S△AEF故④正确；故选：C．14．解：如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．∴∠PMA＝∠PHA＝90°，∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，∴△PAM≌△PAH（AAS），∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，同理可证：△BPN≌△BPH，∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，∴四边形PMON是矩形，∵PM＝PN，∴可以假设P（m，m），∵P（m，m）在y＝上，∴m2＝16，∵m＞0，∴m＝4，∴P（4，4）．设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝4﹣a，BN＝BH＝4﹣b，∴AB＝AH+BH＝8﹣a﹣b，∵AB2＝OA2+OB2，∴a2+b2＝（8﹣a﹣b）2，可得ab＝8a+8b﹣32，∴4a+4b﹣16＝ab，∵PM∥OC，∴，∴，∴OC＝，同法可得OD＝，＝•OC•DO＝•＝•＝•＝16．∴S△COD故选：C．15．解：过A作AD⊥OB于D，过E作EF⊥OB于F，如图，设A（x，y＝），B（a，0），∵四边形AOBC为平行四边形，∴AE＝BE，∴EF为△BAD的中位线，∴EF＝AD＝，∴DF＝（a﹣x），OF＝OD+DF＝，∴E（，），∵E点在双曲线上，∴•＝k，∴a＝3x，∵平行四边形的面积是12，∴AD•OB＝12，即•a＝12，∴•3x＝12，∴k＝4．故选：B．16．解：∵△AOB的内心在x轴上，∴∠AOE＝∠BOE，∴∠AOC＝∠BOD，过作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，∴△ACO∽△BDO，∴＝，设A（a，b），B（c，d），∴AC＝a，OC＝b，BD＝c，OD＝﹣d，∴＝，∴bc＝﹣ad，∴S△AOB ＝S梯形ACDB﹣S△AOC﹣S△BDO＝（BD+AC）（OC+OD）﹣AC•OC﹣BD•OD＝（a+c）（b﹣d）﹣ab+cd＝4，∴bc﹣ad＝8，∴bc＝4，∴c＝，d＝，∴点B（，），∴•＝k2，∴k2•ab＝﹣16又∵ab＝k1，∴k2•k1＝﹣16．故选：D．17．解：如图，过点C，点B分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，则EO∥CM，∴△AEO∽△ACM，∴，设AO＝OM＝a，OE＝b，CM＝2b，∴点C的坐标为（a，2b），∵顶点C 在反比例函数y ＝位于第一象限的图象上，∴2ab ＝4，即ab ＝2，∵CM ∥BN ，∴△CMD ∽△BND ，∴，设DN ＝m ，则MD ＝2m ，BN ＝b ，∴点B 的坐标为（a +3m ，﹣b ），∵顶点B 在反比例函数y ＝（k ≠0）位于第四象限的图象上，∴﹣b （a +3m ）＝k ，∵△ABD 面积为，∴，即ab +mb ＝，∴mb ＝0.5，∴k ＝﹣b （a +3m ）＝﹣ab ﹣3mb ＝﹣2﹣1.5＝﹣3.5，故选：B ．18．解：∵A ，B 是函数y ＝的图象上关于原点O 对称的任意两点，且AC 垂直于x 轴于点C ，BD 垂直于x 轴于点D ，∴S △AOC ＝S △BOD ＝×2＝1，假设A 点坐标为（x ，y ），则B 点坐标为（﹣x ，﹣y ），则OC ＝OD ＝x ，∴S △AOD ＝S △AOC ＝1，S △BOC ＝S △BOD ＝1，∴四边形ADBC 面积＝S △AOD +S △AOC +S △BOC +S △BOD ＝4．故选：C ．19．解：∵点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）在反比例函数y＝（k＞0）第一象限的图象上，∴k＝m（m+3）＝n（n﹣3），即：（m+n）（m﹣n+3）＝0，∵m+n＞0，∴m﹣n+3＝0，即：m﹣n＝﹣3，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线相交于点D，∴BD＝x B﹣x A＝n﹣m＝3，AD＝y A﹣y B＝m+3﹣（n﹣3）＝m﹣n+6＝3，又∵直线l是由直线AB向下平移3个单位得到的，∴平移后点A与点D重合，因此，点D在直线l上，∴S△ACB ＝S△ADB＝AD•BD＝，故选：A．20．解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点E作EF⊥x轴于点F，如图：∵四边形OABC为平行四边形，∴OC＝AB，OC∥AB，∴∠EAF＝∠AOC＝60°，在Rt△COD中，∵∠DOC＝60°，∴∠DOC＝30°，设OD＝t，则CD＝t，OC＝AB＝2t，在Rt △EAF 中，∵∠EAF ＝60°，AE ＝AB ＝t ， ∴AF ＝，EF ＝AF ＝t ，∵点C 与点E 都在反比例函数y ＝的图象上， ∴OD ×CD ＝OF ×EF ，∴OF ＝＝2t ，∴OA ＝2t ﹣＝t ，∴S 四边形OABC ＝2S △OCE ，∴t ×t ＝2×8，∴解得：t ＝（舍负）， ∴OC ＝．故选：D ．。

九年级上反比例函数知识点

九年级上反比例函数知识点在九年级的数学课程中，反比例函数是一个重要的知识点。

它是一种特殊的函数形式，与我们之前学过的比例函数相对应。

在本文中，我们将深入探讨反比例函数的概念、性质和应用。

一、概念反比例函数，也称为反比函数，是指函数的自变量和因变量之间存在着一种特殊的关系，当自变量的取值增大时，因变量的取值相应地减小；反之，当自变量的取值减小时，因变量的取值增大。

这种关系可以用公式 y = k/x 来表示，其中 k 是常数，称为反比例常数。

二、性质1. 定义域：反比例函数的定义域不能包括 x = 0，因为在函数中，自变量不能为 0。

这是因为当 x = 0 时，分母为 0，导致函数无意义。

2. 值域：由于自变量不能取 0，因此反比例函数的值域也不能包括 y = 0。

当 x 的取值趋近于无穷大或无穷小时，因变量趋近于 0。

3. 图像特征：反比例函数的图像为一个平行于 x 轴和 y 轴的曲线。

当 k > 0 时，函数的图像与 y 轴交于正半轴；当 k < 0 时，函数的图像与 y轴交于负半轴。

4. 变化规律：反比例函数的变化规律是非常特殊的。

当自变量的取值增大时，因变量的取值相应地减小；反之，当自变量的取值减小时，因变量的取值增大。

这种反向变化的规律使得反比例函数有许多独特的应用。

三、应用反比例函数在我们的日常生活中有很多应用，下面我们将介绍其中两个常见的应用场景。

1. 速度和时间的关系：假设一辆车以恒定的速度行驶，我们知道车辆的速度和所用的时间是反比例关系。

当车辆的速度提高时，所用的时间相应地减少；反之，当车辆的速度减慢时，所用的时间增加。

这种反比例的关系可以用反比例函数来建模。

在实际应用中，我们可以基于这个关系来计算车辆行驶一定距离所需要的时间。

通过反比例函数的公式 y = k/x，我们可以得到speed = distance/time。

这样，当我们已知车辆行驶的距离和速度时，就可以求得所需要的时间。

专题反比例函数(10个考点)-九年级数学上学期期中期末考点大串讲(人教版)(原卷版)

专题06反比例函数（10个考点）【知识梳理+解题方法】一．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．二．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．三．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．五．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．六．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．七．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．八．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．九．根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．十．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．【专题过关】一．反比例函数的定义（共3小题）1．（2021秋•遵化市期末）下列函数关系式中属于反比例函数的是（）A．y＝4x B．2x+y＝4C．y＝x2+3D．2．（2022•东营模拟）函数y＝（m﹣2）是反比例函数，则m＝．3．（2022•西宁一模）函数的自变量x的取值范围是．二．反比例函数的图象（共4小题）4．（2021秋•大城县期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可以是（）A．﹣2B．C．1D．35．（2021秋•大城县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．6．（2021秋•襄州区期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……探索思考：我我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．（1）画出函数图象．①列表：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣201234…y…﹣1﹣2﹣4421…②描点并连线．（2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①，②；（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向平移个单位，其对称中心的坐标为．（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足时，y≥3．7．（2022•市南区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝，点A的坐标为（1，0），AB垂直于x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是（）A．如图①，四边形ABCO是矩形B．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象大致如图②所示C．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x（ax+b）+c与反比例函数y＝的图象大致如图③所示D．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣ac与反比例函数y＝在的图象大致如图④所示三．反比例函数图象的对称性（共3小题）8．（2022•高要区一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）9．（2022春•洪泽区月考）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是．10．（2022•自贡模拟）如图，半径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与x轴相切于点O，反比例函数（k＞0）的图象与两圆分别交于点A，B，C，D，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）四．反比例函数的性质（共6小题）11．（2021秋•政和县期末）反比例函数中，反比例常数k的值为．12．（2022秋•青浦区期中）已知正比例函数y＝中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（）A．B．C．D．13．（2021秋•丰宁县期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一、第三象限B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小14．（2022•威县校级模拟）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），点C（0，6），双曲线L1：y＝﹣（x＜0）和双曲线L2：y＝（x＜0）．[把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“优点”]（1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有个“优点”；（2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，那么k的取值范围为．15．（2022•杞县模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：x…﹣3﹣2﹣10123…y…m12101n…其中，m＝，n＝．（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点，在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值时y＝1，求自变量x的值．16．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y＝的图象与性质．列表：x…﹣1﹣012…y…210121…描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：（1）点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1 x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为；（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；（4）当方程x+b＝有三个不同的解时，则b的取值范围为．五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）17．（2022•茂南区二模）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是l1和l2，设点P 在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B，则四边形P AOB的面积为（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1k2D．k2﹣k118．（2022•河池）如图，点P（x，y）在双曲线y＝的图象上，P A⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为．19．（2022•开远市二模）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（）A．B．C．D．20．（2022•靖江市二模）反比例函数，（n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y1、y2交于A、B两点．（1）当n＝﹣10时，求S△OAB；（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．21．（2022•德城区模拟）如图，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝1（1）若k＝2，则AO的长为，△BOD的面积为；（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共9小题）22．（2022秋•合浦县期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．D．（﹣2，1）23．（2021秋•碧江区期末）如图，△OAB、△BA1B1、△B1A2B2、…、△B n﹣1A n B n都是等边三角形，顶点A、A1、A2、…、A n在反比例函数（x＞0）的图象上，则B2020的坐标是．24．（2022秋•杜集区校级月考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是（填序号）；①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A （x A，y A）、B（x B，y B）两点，A在B的左边，x B﹣x A＝5，则m＝．25．（2022•思明区校级二模）阅读理解：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．（1）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值；（2）若实数a，b，c是“和谐三数组”，且满足a＞b＞c＞0，求点与原点O的距离OP的取值范围．26．（2022•牧野区校级三模）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线AC，BD的交点，点A，C 的坐标分别为A（﹣3，3），C（﹣1，0）．（1）反比例函数y1＝在第三象限的图象经过D点，求这个函数的解析式；（2）点E是否在函数y1＝的图象上？说明理由；（3）一次函数y2＝k2+b的图象经过点B，点D，根据图象直接写出不等式k2x+b＜的解集．27．（2022•荷塘区校级二模）如图，点A（a，a），B（b，b）是直线y＝x上在第一象限的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于C，D两点．（1）当b＝2，BD＝1时，求k的值；（2）当k＝1时：①若AC＝BD，求a与b的数量关系；②若AC＝2BD，求4OD2﹣OC2的值．28．（2021秋•梧州期末）在函数y＝（其中a≠0，a为常数）经过点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x3＜0＜x1＜x2，则把y1、y2、y3按从小到大排列为．29．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求△OAC的周长．30．（2022秋•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在y 轴上，顶点C在x轴上，反比例函数y＝k的图象过AB边上一点E，与BC边交于点D，BE＝2，OE＝10．（1）求k的值；（2）直线y＝ax+b过点D及线段AB的中点F，点P是直线OF上一动点，当PD+PC的值最小时，直接写出这个最小值．七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）31．（2021秋•平泉市期末）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数的图象经过点E，与AB交于点F．（1）若点B的坐标为（﹣6，0），求m的值．（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的解析式．32．（2022•蓬江区一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，OA＝2，OB＝4．（1）求反比例函数的解析式；（2）若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A'B'C'D'，当点D'在反比例函数的图象上时，请求出点B'的坐标，并判断点B'是否在该反比例函数的图象上，说明理由．33．（2022•睢阳区二模）如图，平行四边形ABCD的面积为12，AB∥y轴，AB，CD与x轴分别交于点M，N，对角线AC，BD的交点为坐标原点，点A的坐标为（﹣2，1），反比例函数的图象经过点B，D．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P为y轴上的点，连接AP，若△AOP为等腰三角形，求满足条件的点P的坐标．34．（2021秋•孟村县期末）已知y与x成反比例，当x＝﹣1时，y＝﹣6．（1）y与x的函数解析式为；（2）若点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在该反比例函数的图象上，则a，b的大小关系是．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）35．（2022•市南区校级一模）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y＝交于点A、D，过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB：S△ODE＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点C的坐标；（3）直接写出关于x不等式：＞kx﹣3的解为．36．（2022•宝安区校级模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m ≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx＞﹣b的解集是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞237．（2022•仁怀市模拟）如图，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点D，过点A作AC⊥x轴与反比例函数的图象相交于点C，若AC＝AD，则k的值为（）A．3B．4C．D．38．（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y1＝在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的表达式为y2＝k2x+b，回答下列问题：（1）求双曲线y1＝和直线AB的y2＝k2x+b表达式；（2）当y1＞y2时，求x的取值范围；（3）求△AOB的面积．39．（2022•吉阳区模拟）如图，函数y＝与函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于（）A．24B．18C．12D．6九．根据实际问题列反比例函数关系式（共3小题）40．（2022秋•滁州期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．41．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t 小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．（1）写出v关于t的函数表达式；（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．42．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）一十．反比例函数的应用（共4小题）43．（2022秋•涟源市期中）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（）A．当I＜0.25时，R＜880B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）C．当R＞1000时，I＞0.22D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.2544．（2022•南阳二模）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是（）A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m45．（2022•邓州市二模）给定一个函数：y＝x++1（x＞0），为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：（1）图象初探①列表如下x…1234…y…m3n…请直接写出m，n的值；②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．（2）性质再探请结合函数的图象，写出当x＝，y有最小值为；（3）学以致用某农户要建造一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：y＝x++3．根据以上信息，请回答以下问题：①水池总造价的最低费用为千元；②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？．46．（2021秋•丰南区期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？（3）工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调配几台挖掘机？。

九年级数学反比例函数复习题

反比例函数复习题一、填空1、反比例函数y=kx（0≠k ）的图象经过点（1，-3），则k 的值为。

2、若函数是反比例函数，则m 的值是______。

3、写出一个图象分布在第二、四象限内的反比例函数解析式是 .4、已知反比例函数y= a-2x的图象在第一、三象限，则a 的取值范围是（）（A ）a ≤2 （B ） a ≥2 （C ） a ＜2 （D ） a ＞2 5、若函数是反比例函数，则y=x 2n +2m 是_______函数6、反比例函数y= kx图象在第二、四象限，则一次函数y=kx —5的图象不经过______象限。

7、如果反比例函数y=-1x的图象上有一点A ，过A 分别作x 轴和y 轴的垂线与x 轴和y 轴围成一矩形，则这个矩形的面积是8．我们学习过的反比例函数，例如：当矩形面积s 一定时，长a 是宽b 的反比例函数，其函数关系式可以写成a= sb(s 为常数，s ≠0）请你仿照上例，另写一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式。

实例_____________________函数关系式是_________________ 9、如图p 是反比例函数ky x=图像上的一点，由p 分别向x 轴，y 轴引垂线阴影部分面积为6，则这个反比例函数的解析式是10、一个反比例函数在第三象限的图象如图所示，若A 是图象上任一点，AM ⊥X 轴于M ，O 是原点，如果△AOM 的面积是3.那这个反比例函数的解析式是_________。

11、如图已知A 、B 是函数y=1x的图象上关于原点O 的任意一对对称点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，△ABC 的面积为S ，则S=______________12、如图，直线y=-2x-2与双曲线ky x=交于点A ，与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，AD ⊥x 轴于点D ，如果S △ADB =S △CDB ，那么k=13、某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与可变电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示，当用电器的电流为10A 时，用电器的可变电阻为 Ω．14、正比例函数y=kx （k ＞o ）和反比例函数y= 1x的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴垂线交x 轴于B ，连接BC ，若△ABC 面积为S ，则S=_________。

反比例函数复习

（4）试着在坐标轴上找点D, 使△AOD≌△BOC。
C D n （4，0）
x
取OD=OC即可，即在x轴正半轴上取 OD=4，D(4，0)，连结AD。有△AOD≌△BOC。
2、已知正方形OABC的面积为4，点O是坐标原点，点A在x轴 k 上，点C在y轴上，点B在函数 y = x (x>0，k>0) 的图象上，点 P（m, n）是函数的图象上任意一点。过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F。若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S。 (1)求B点的坐标和k的值；K=4，B(2，2) 8 (2)当 s= 时，求点P的坐标； 3 (2)由P（m，n)得：mn=4 而AE=m-2，PE=n P （m，n） 8 F 有：S=(m-2)n= S 3 得：n= 2 , m=6，P(6， 2 ) E 3 3 (3)写出S关于m的函数关系式。 4 =4- 8 (3)由解析式得：n= 4 所以： S=(m-2) m m m
y
x
k<0
二四象限
o
二四象限
o
x
y随x的增大而减小
每个象限内， y随 x的增大而增大
k 反比例函数 y k 0 中“k ”的几何意义： x
如图： S
△POQ=
1 k 2
y
S矩形AOBC =
k
P B Q O A x
C
4 y 如图，点A和点B是反比例函数图象上 x 的点,AC⊥x 轴于C，BD⊥x 轴于D，BE⊥y 轴
湘教版SHUXUE九年级上
本节内容
宜章九中陈剑峰
1．什么是反比例函数？ k 形如 y = x ( k是常数, k ≠0 ) 的函数叫做反比例函数． 2．反比例函数的定义中需要注意什么？（1）k是非零常数；自变量x的取值范围是x≠0 （2）其它表达形式：xy=k；y=kx-1(k≠0) 3. 反比例函数的图像形状怎样？反比例函数的图象是由两支曲线组成的; 因此称反比例函数的图象为双曲线. 4.反比例函数图像位置及函数值的变化：（性质）当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内; 函数值随自变量取值的增大而减小；当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内. 函数值随自变量取值的增大而增大；

北师大版九年级上册数学第六章反比例函数复习课课件

变式训练

函数y＝的图象经过点(－4，6)，则下列各点中

在y＝图象上的是(

B )
A.(3，8)
B.(3，－8)
C.(－8，－3)
D.(－4，－6)
合作探究
反比例函数与一次函数的综合

6.若在同一直角坐标系中，直线y＝k1x与双曲线y＝无交点，

则有(
D
)
A.k1＋k2＞0
B.k1＋k2＜0
第六章反比例函数
第六章复习课
复习目标
1.经历抽象反比例函数概念的过程，知道反比例函数的意义.
2.能利用反比例函数的性质及图象解决实际问题，发展数学
应用能力.
3.综合探究一次函数与反比例函数的关系，以解决相关的实
际问题.
◎重点:反比例函数的主要性质、应用.
预习导学
复习导入
定义:形如
(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，
3.反比例函数的图象不经过原点.(填“经过”或者“不
经过”)
预习导学
4.反比例函数的图象是轴对称图形，它有两
条对称轴，
对称轴直线的关系式为 y＝x，y＝－x ；图象也是关于原
点
对称的中心对称图形.
5.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，分别过P，Q作x
轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1
C.k1k2＞0
D.k1k2＜0
合作探究

7.如图，函数y1＝与y2＝k2x的图象相交于点A(1，2)和点B，

当y1＜y2时，自变量x的取值范围是( C
A.x＞1
B.－1＜x＜0
C.－1＜x＜0或x＞1

北师大版九年级数学第六章《反比例函数》单元复习练习题(含答案)

北师大版九年级数学第六章《反比例函数》单元复习练习题（含答案）一、单选题 1．反比例函数()30y x x=-<的图象如图所示，则△ABC 的面积为（）A ．12B ．32C ．3D ．62．反比例函数6y x=-的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．3．列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间()h t 与行驶的平均速度()km/h v 之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h 内到达，则速度至少需要提高到（）km/h ．A ．180B ．240C ．280D ．3004．如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数8y x =和ky x=的图象交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣225．关于函数2y x=-，下列说法中正确的是（）A ．图像位于第一、三象限B ．图像与坐标轴没有交点C ．图像是一条直线D ．y 的值随x 的值增大而减小6．某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为（） A ．50y x =+B ．50y x =C ．50y x=D ．50=x y 7．如图，一次函数(y kx b k =+、b 为常数，0)k ≠与反比例函数4y x=的图象交于A （1，m ），B （n ，2）两点，与坐标轴分别交于M ，N 两点．则△AOB 的面积为( )A ．3B ．6C ．8D ．128．已知反比例函数y =kx（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（） A ．（2，3）B ．（-2，3）C ．（3，0）D ．（-3，0）9．对于反比例函数y ＝﹣5x，下列说法错误的是（）A ．图象经过点（1，﹣5）B ．图象位于第二、第四象限C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 10．若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，则它的图象也一定经过的点是（） A ．(2,3)--B ．(3,2)--C ．(1,6)-D ．(6,1)11．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y 与该校参加竞赛人数x 的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x 与反比例函数y ＝4x （x ＞0）的图象交于点A ，将直线y ＝x 沿y 轴向上平移b 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图象于点C ．若OA ＝2BC ，则b 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．若1(1,)M y -、21(,)2N y -两点都在函数ky x=的图像上，且1y <2y ，则k 的取值范围是______．14．已知点(),A m n 在双曲线k y x =上，点(),B m n -在直线23y x k =-上，则21n m+的值为______．15．如图所示，矩形ABCD 顶点A 、D 在y 轴上，顶点C 在第一象限，x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6．若反比例函数ky x=的图象经过点C ，则k 的值为_________．16．如图，点A 是反比例函数3y x=图象上任意一点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为B ，C ，则四边形OBAC 的面积为____．17．如图，边长为4的正方形ABCD 的对称中心是坐标原点O ，//AB x 轴，//BC y 轴，反比例函数2y x =与2y x=-的图像均与正方形ABCD 的边相交，则图中阴影部分的面积之和是________．18．如图，若反比例函数1ky x=与一次函数2y ax b =+交于A 、B 两点，当12y y <时，则x 的取值范围是_________．19．如图，点A 在反比例函数y ＝xk（x ＞0）的图象上，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，若△OAB的面积为3，则k ＝_______．20．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，对角线交于点E ，反比例函数(0,0)ky x k x=>>的图像经过点C ，E ．若点(3,0)A ，则k 的值是_________．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y kx=（x ＞0）的图象经过点A （2，6），将点A 向右平移2个单位，再向下平移a 个单位得到点B ，点B 恰好落在反比例函数y kx=（x ＞0）的图象上，过A ，B 两点的直线与y 轴交于点C ．（1）求k的值及点C的坐标；（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，4），斜边OA的中点D在反比例函数ykx=（x＞0）的图象上，AB交该图象于点C，连接OC．(1)求k的值；(2)求△OAC的面积．23．如图是反比例函数y＝52mx-的图象的一支．根据图象解决下列问题：(1)求m的取值范围；(2)若点A（m-3，b1）和点B（m-4，b2）是该反比例函数图象上的两点，请你判断b1与b2的大小关系，并说明理由．24．教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：(1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；(2)求出图中a的值；(3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？25．如图，A（4，3）是反比例函数y=kx在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=kx的图象于点P．（1）求反比例函数y=kx的表达式；（2）求点B的坐标；（3）求△OAP的面积．26．如图，一次函数1y k x b =+与反比例函数2(0)k y x x=>的图象交于(1,6)A ，(3,)B n 两点．（1）求反比例函数的解析式和n 的值；（2）根据图象直接写出不等式21k k x b x+<的x 的取值范围；（3）求AOB 的面积．27．如图，已知一次函数1y kx b =+与反比例函数2my x=的图象在第一、三象限分别交于(6,1)A ，(,3)B a -两点，连接OA ，OB ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）AOB 的面积为______；（3）直接写出12y y >时x 的取值范围．28．如图，一次函数5y x =+的图象与反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）的图象相交于(1,)A m -，B 两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数5y x =+的图象沿y 轴向下平移b 个单位(0)b >，使平移后的图象与反比例函数ky x=的图象有且只有一个交点，求b 的值．29．如图，一次函数1522y x =-+的图像与反比例函数k y x=(k ＞0)的图像交于A ，B 两点，过点A 做x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）在y 轴上求一点P,使PA+PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标.参考答案1．B2．C3．B4．D5．B6．C7．A8．B9．C10．C11．C12．C 13．k <0 14．-3 15．3 16．3 17．818．10,2x x <<>－19．6 20．421．解：（1）把点(2,6)A 代入ky x =，2612k =⨯=，∴反比例函数的解析式为12y x=，将点A 向右平移2个单位，4x ∴=，当4x =时，1234y ==， (4,3)B ∴，设直线AB 的解析式为y mx n =+，由题意可得6234m nm n =+⎧⎨=+⎩，解得329m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 392y x ∴=-+，当0x =时，9y =，(0,9)C ∴；（2）由（1）知954CD =-=，1111||||444242222ABD BCD ACD B A S S S CD x CD x ∆∆∆∴=-=⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=．22．（1）解：点A 的坐标为(6,4)，点D 为OA 的中点， ∴点D 的坐标为(3,2)，点D 在反比例函数ky x=的图象上， 326k ∴=⨯=；（2）解：由题意得，点C 的横坐标为6， ∴点C 的纵坐标为：616=， 413AC ∴=-=，OAC ∴∆的面积16392=⨯⨯=．23．（1）解：由图象可知，520k m =->，解得52m <，∴m 的取值范围为52m <．（2）解：12<b b ．理由如下：∵52m <，∴430m m -<-<，由反比例函数的图象与性质可知，当0x <时，y 随着x 的增大而减小，∴12<b b ．24．（1）当0≤x ≤8时，设y ＝k 1x +b ，将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y ＝k 1x +b 得，1208100b k b =⎧⎨+=⎩ 解得k 1＝10，b ＝20．∴当0≤x ≤8时，y ＝10x +20．当8＜x ≤a 时，设y ＝2k x，将（8，100）的坐标代入y ＝2k x ，得k 2＝800∴当8＜x ≤a 时，y ＝800x．综上，当0≤x ≤8时，y ＝10x +20；当8＜x ≤a 时，y ＝800x．（2）将y ＝20代入y ＝800x ，解得x ＝40，即a ＝40；（3）当y ＝40时，x ＝80040＝20． ∴要想喝到不低于40℃的开水，x 需满足8≤x ≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．25．（1）将点A （4，3）代入y =k x，得：k =12，则反比例函数解析式为y =12x；（2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，则OC =4、AC =3，∴OA 2243+，∵AB ∥x 轴，且AB =OA =5， ∴点B 的坐标为（9，3）；（3）∵点B 坐标为（9，3），∴OB 所在直线解析式为y =13x ，由1312y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得点P 坐标为（6，2），（负值舍去），过点P 作PD ⊥x 轴，延长DP 交AB 于点E ，则点E 坐标为（6，3），∴AE =2、PE =1、PD =2，则△OAP 的面积=12×（2+6）×3﹣12×6×2﹣12×2×1=5．26．解：（1）(1,6)A 在2k y x=的图象上， 26k ∴=， ∴反比例函数的解析式是6y x=．又∵(3,)B n 在2k y x=的图象上，623n ∴==；（2）由图像可知：当01x <<或3x >时，21k k x b x +<；（3）(1,6)A ，(3,2)B 在函数1y k x b =+的图象上，∴11632k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：128k b =-⎧⎨=⎩，则一次函数的解析式是28y x =-+，设直线28y x =-+与x 轴相交于点C ，则C 的坐标是(4,0)．∴AOB AOC BOC S S S =-△△△1122A B OC y OC y =⋅-⋅ 11464222=⨯⨯-⨯⨯ 8=．27．解：（1）把(6,1)A 代入反比例函数2m y x =得： m=6，∴反比例函数的解析式为26y x=， ∵(,3)B a -点在反比例函数2m y x =图像上， ∴-3a=6，解得a=-2，∴B （-2，-3），∵一次函数y 1=kx+b 的图象经过A 和B ，∴1632k b k b =+⎧⎨-=-+⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴一次函数的解析式为1122y x =-；（2）∵(6,1)A ，(2,3)B --，一次函数的解析式为1122y x =-，令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x 轴交点为（4，0），∴S △AOB =()141382⨯⨯+=，故答案为：8；（3）由图象可知：12y y >时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，x 的取值范围是：-2＜x ＜0或x ＞6.28．（1）由题意，将点(1,)A m -代入一次函数5y x =+得：154m =-+=(1,4)A -∴将点(1,4)A -代入k y x=得：41k =-，解得4k =- 则反比例函数的表达式为4y x=-；（2）将一次函数5y x =+的图象沿y 轴向下平移b 个单位得到的一次函数的解析式为5y x b =+- 联立54y x b y x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩整理得：2(5)40x b x +-+=一次函数5y x b =+-的图象与反比例函数4y x=-的图象有且只有一个交点 ∴关于x 的一元二次方程2(5)40x b x +-+=只有一个实数根∴此方程的根的判别式2(5)440b ∆=--⨯=解得121,9b b ==则b 的值为1或9．29．（1）反比例函数(0)k y k x=>的图象过点A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，AOM ∆面积为1，∴11 2k=，k >，2k∴=，故反比例函数的解析式为：2yx =；（2）作点A关于y轴的对称点'A，连接'A B，交y轴于点P，则PA PB+最小．由15222y xyx⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12xy=⎧⎨=⎩，或412xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，()1,2A∴，14,2B⎛⎫ ⎪⎝⎭，()'1,2A∴-，最小值'A B=设直线'A B的解析式为y mx n=+，则2142m nm n-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3101710mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线'A B的解析式为3171010y x=-+，x∴=时，1710y=，P∴点坐标为17 0,10⎛⎫ ⎪⎝⎭．。

微专题4 反比例函数的综合应用++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)

+=+
①当AC,BO为对角线时,AC,BO的中点重合,∴
,
+4=0+0

=
解得
,
= −
经检验,t=4,k=-16符合题意,
此时点C的坐标为(4,-4);
25
②当CB,AO为对角线时,CB,AO的中点重合,
+=+
∴
,
+0=4+0

= −
解得
,
= −
经检验,t=-4,k=-16符合题意,

所以S△AOB=S△AOM+S△BOM= ×2×3+ ×2×1=4.

因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形,且坐标原点是对称中
心,
所以点B和点C关于点O成中心对称,所以BO=CO,所以S△ABC=2S△AOB=8.
17
类型2
求特殊三角形或特殊四边形
【思维切入】
1.动点三角形的形状问题:
∵点A(m,4)在y=2x+2上,
∴2m+2=4,∴m=1,
∴点A的坐标为(1,4),

∵点A(1,4)在y= 上,∴4= ,∴k2=4,∴y= .

8
(2)如图,连接DE,过点B作BF垂直于y轴,垂足为F,
联立
= +
=

= 1 = −2
,解得
,
,
= 4 = −2
3.动点四边形的问题转化为动点三角形问题:
动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题;
动点矩形问题转化为动点直角三角形问题.

九年级上《反比例函数复习》课件

3 关系式是 y . x
y
p
N
o x
M
课后练习
如图，已知反比例函数 y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标是6.
12 y x
的图象与一次函数
（1）求这个一次函数的解析式
（2）求三角形POQ的面积 C Q D
y P
o
x
y P (x,y)
y P (x,y) o
B
o
A
x
A
x
S矩形=|xy|=|k|
1 1 S三角形= |xy|= 2 |k| 2
例题
8 如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=－x
的图象相交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积．
解：（1）设点A（－2，y），点B（x，－2），且点A，B在双曲
线y=－
8 x
上，即可得点A（－2，4），• B（4，－2）．
设一次函数的解析式为y=kx+b, 分别代入解析式，解得：k=-1,b=2 ∴一次函数的解析式为：y=－x+2．
把
y 4 和 y 2
x 2
x4
（2）设直线y=－x+2与x轴交于点M，点M坐标为（2，0）， 1 1 则S△AOB =S△AOM +S△BOM = ×2×4+ ×2×│－• 2│=6 2 2
练习1
下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数? 1 y = 3x 2 y = 2x y = 3x ① ② ③
④ y = 3x-1 ⑤
2x y= 3 ⑥ y=
1 x
练习2

九年级数学上册第6章反比例函数

乙地，则汽车行驶时间t(h)关于行驶速度v(km/h)的函数关系式是( B )
A．t＝20v
B．t＝2v0
C．t＝2v0
D．t＝1v0
数学知识要点9 反比例函数的跨学科应用【例10】在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改
变．密度ρ(kg/m3)与体积V(m3)满足函数关系式ρ＝Vk (k为常数，k≠0)，其图象如图所示，则k的值为( A )
B．第一、三象限
C．第三、四象限
D．第二、四象限
数学
6.如图的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A在此曲线上，则该反比例函数的表达式为 y＝3x .
数学
7.已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在函数y＝5x的图象上，当x1
＞x2＞0时，下列结论正确的是( A )
A．0＜y1＜y2
B．0＜y2＜y1
数学
10.水平地面上重1500 N的物体，与地面的接触面积为x m2，
那么该物体对地面的压强y(单位：N/m2)与地面的接触面积
x(m2)之间的函数关系可以表示为
y＝1
500 x.
数学 11.反比例函数y＝xk(k≠0)与一次函数y＝k(x＋1)在同一坐标系
中的图象可能是( B )
数学
综合训练
数学
知识要点3 建立反比例函数模型
【例4】小华以每分钟x个字的速度书写，y分钟写完300个
字，则y与x的函数关系式为( B )
A．y＝30x0
B．y＝3x00
C．y＝300－x
D．y＝300x－x
数学知识要点4 反比例函数的图象【例5】反比例函数y＝kx(k>0)的大致图象是( A )

(完整版)九年级数学反比例函数复习专题教案

灵活运用反比例函数和一次函数的性质
在解题过程中，需要灵活运用反比例函数和一次函数的性质，如单调性、对称性、周期性等。
注意细节处理，避免失误
在解题过程中，需要注意细节处理，如符号问题、计算问题等，避免因为细节失误导致整个题目错误。
06
CATALOGUE
课程总结与拓展延伸
课程重点回顾与总结
01 02
解题能力评估
评估自己的解题能力，包括审题、分析、计算等方面，找出自己的不足之处。
拓展延伸：反比例函数在其他学科中的应用
物理中的应用
在物理中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，如电阻、电容、电感等。通过实例让学生了解反比例函数在物理中
的应用。
化学中的应用
在化学中，反比例函数可以描述一些化学反应的速率与浓度的关系。通过实例让学生了解反比例
反比例函数的复合与分解
复合运算
将一个反比例函数作为另一个函数的自变量进行复合，其结果可能仍为反比例函数，也可能为其他类型的函数。
分解运算
将一个复杂的反比例函数分解为几个简单的反比例函数之和或之积，以便进行进一步的运算或分析。
反比例函数的图像变换
平移变换
将反比例函数的图像沿x轴或y 轴平移，不改变函数的形状和
01
联立两个函数的解析式，解方程组得到交点坐标。
判断交点个数及位置
02
通过比较函数值或观察图象，判断交点个数及在坐标系中的位
置。
利用交点解决问题
03
根据交点坐标，可以进一步求解与交点相关的其他问题，如面
积、长度等。
反比例函数与一次函数的综合题型
函数图象的绘制与分析
根据函数解析式，绘制反比例函数和一次函数的图象，并分析其性质。

浙教版九年级上册第一章反比例函数复习

y随x的增大而减小
二四象限
y随x的增大而增大
1、判断下列函数是不是反比例函数, 并说出比例系数 k: 3 （1）y= （2）y=-0.5x （3）y= x （4）y= （5）y=-4/x2 （6）y=
x
2 x3 1 3x
(1),(4),(6)
1 比例系数 k分别是3，， 3
2、已知， y (2 m) x m4 是反比例函数，则m =3 ，此函数图象在第二，四象限。
3、已知点（1，-2）在反比例函数
k y x
的图象上，则k=
-2
.
4 4、反比例函数 y 的图象大致是（ D ） x
5、如果反比例函数 y 1 4m 的图象位于
1 第二、四象限，那么m的范围为 m＞ 4
由1－4m＜0 得－4m＜－ 1 ∴ m＞
x
.
1 4
练一练
6、所受压力为F (F为常数且F≠ 0) 的物体，所受压强P与所受面积S的图象大致为（ B ）
P （A） P （B） O P （C） O S O （D） S S
O
S P
变:受力面积为S （S为常数并且不为0）的物体所受压强P与所受压力F的图象大致为（ A ）
P （A） P （B） O P （C） O F O （D） F F
O
F P
k 7、函数y=kx+k与y= x 致图象为( )
(k≠0)在同一坐标中的大
B
D
A
C
D
思考题：
8、已知y-1与x+2成反比例，当x=2时,y=9。请写出y的x函数关系。 9、若y= y 1- y 2,其中y1 与 x2 成反比例,其中y2 与 x 成反比例,且当 x = 1时, y = 3;当 x =- 1 时, y=7。求当x = 2时, y 的值为多少?

北师大版数学九年级上期末复习压轴专题：反比例函数综合(三)

北师大版数学九年级上期末复习压轴专题：反比例函数综合（三）1．如图，在平面直角坐标系中，A是第一象限内一点，过A作AC∥y轴交反比例函数y＝（x＞0）的图象于B点，E是y轴上一点，AE交反比例函数的图象于点D，若B是AC的中点，DE：AD＝3：2，且△BDE的面积为，则k的值为（）A．7 B．C．8 D．2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上有A、B两点，它们的横坐标分别为2和4，△ABO的面积为3，则k的值为（）A．2 B．4 C．6 D．83．如图，▱ABCD的顶点A的坐标为（﹣），顶点B在y轴上，顶点C、D在双曲线y ＝（x＞0）上，AD交y轴于点E（0，2），且四边形BCDE的面积是△ABE面积的3倍，则▱ABCD面积为（）A．8 B．10 C．12 D．164．如图，在平面直角坐标系中，△ABE的顶点E在y轴上，原点O在AB边上，反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过顶点A和B，并与BE边交于点C，若BC：CE＝3：1，△OBE 的面积为，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣75．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是（）A．6B．10 C．2D．26．如图，反比例函数y＝的图象与矩形ABCO的边AB，BC相交于E，F两点，点A，C在坐标轴上．若BE＝nAE．则四边形OEBF的面积为（）A．n+1 B．n C．D．7．如图，已知点A是一次函数y＝x（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l 上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y ＝（x＞0）的图象过点B、C，若△ABC的面积为1，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．68．如图，面积为1的矩形ABCD在第二象限，BC与x轴平行，反比例函数y＝﹣（k≠0）经过B、D两点，直线BD所在直线y＝kx+b与x轴、y轴交于E、F两点，且B、D为线段EF的三等分点，则b的值为（）A．2B．2C．3D．39．如图，矩形OABC的边OA＝2，OC＝4，点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y＝（x＞0）的图象与边BC交于点F．当四边形AOFE的面积最大时，FC的长度为（）A．0.8 B．1 C．1.6 D．1.810．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，∠B＝30°，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过OB边上的点C和AB的中点D，连接AC．已知S＝4，则实数k的值为（）△OACA．4B．6C．8D．1011．如图，等腰三角形ABC的底边BC在x轴正半轴上，点A在第一象限，延长AB交y轴负半轴于点D，延长CA到点E，使AE＝AC，双曲线y＝（x＞0）的图象过点E．若△BCD 的面积为2，则k的值为（）A．4B．4 C．2D．212．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为（）A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣1213．如图，点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，S＝2，则k的值为（）△BNCA．4 B．6 C．8 D．1214．如图，平行四边形OABC的顶点O，B在y轴上，顶点A在y＝（k1＜0）上，顶点C在y＝（k2＞0）上，则平行四边形OABC的面积是（）A．﹣2k1B．2k2C．k1+k2D．k2﹣k115．如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．12 B．C．D．16．如图，两个反比例函数y＝和y＝（其中k1＞0＞k2）在第一象限内的图象是C1，第二、四象限内的图象是C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点M，交C2于点C，PA⊥y轴于点N，交C2于点A，AB∥PC，CB∥AP相交于点B，则四边形ODBE的面积为（）A ．|k 1﹣k 2|B ．C ．|k 1•k 2|D ．17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在直线y ＝﹣2x +8上，且点P 的横坐标是2，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，交反比例函数y ＝的图象于点A 、点B ，则四边形OAPB 的面积是（）A ．4B ．C ．D ．518．如图，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过Rt △BOC 斜边上的中点A ，与边BC 交于点D ，连接AD ，则△ADB 的面积为（）A ．12B ．16C ．20D ．2419．如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数y＝的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则k的值是（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣20．如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上，与双曲线y＝恰好交于BC的中点E，若OB＝2OA，则S的值为（）△ABOA．6 B．8 C．12 D．16参考答案1．解：∵DE：AD＝3：2，∴S△BDE ：S△ADB＝3：2∵△BDE的面积为，∴△ABD的面积为，∴S△ABE＝+＝，设OC＝m，AB＝n＝BC，∴S△ABE＝+＝＝AB•OC＝mn，即：mn＝∵点B（m，n）在反比例函数y＝图象上，∴k＝mn＝，故选：B．2．解：∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上有A、B两点，它们的横坐标分别为2和4，∴A（2，），B（4，），作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，∵S△ABO ＝S△AOC+S梯形ACDB﹣S△BOD＝S梯形ACDB＝3，∴（+）（4﹣2）＝3，解得k＝4，故选：B．3．解：过点D作DF⊥x轴，垂足为F，过C、B作x、y轴的垂线相交于点G，连接BD，∵A（﹣），E（0，2），∴OA＝，OE＝2，AE＝＝，∵▱ABCD，∴S△ABD ＝S△BCD，又∵四边形BCDE的面积是△ABE面积的3倍，∴S△ABE ＝S△BDE，∴AE＝ED＝2.5，∵△AEO∽△ADF，∴，∴DF＝2•EO＝4，∴D（，4）∴反比例函数的关系式为：y＝，在Rt△ADF中，AF＝，易证△ADF≌△BCG，∴BG＝AF＝3，CG＝DF＝4，当x＝BG＝3时，y＝2，∴C（3，2）∴OB＝CG﹣CH＝4﹣2＝2，＝×4×＝3，∴S△ABE又∵四边形BCDE的面积是△ABE面积的3倍，＝4×3＝12，∴▱ABCD的面积＝4S△ABE故选：C．4．解：连接OC．作CK⊥x轴于K，BF⊥x轴于F．∵BC：CE＝3：1，△OBE的面积为，＝×＝，∴S△OBC设C（m，），则B（4m，），∵S△OBC ＝S四边形OCBF﹣S△OBF＝S四边形OCBF﹣S△OKC＝S梯形CKFB，∴＝•（﹣﹣）×3m，∴k＝﹣7，故选：D．5．解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M（6，），N（，6），∴BN＝6﹣，BM＝6﹣，∵△OMN的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣6×﹣×（6﹣）2＝10，∴k＝24或﹣24（舍去），∴M（6，4），N（4，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长＝PM+PN的最小值，∵AM＝AM′＝4，∴BM′＝10，BN＝2，∴NM′＝＝＝2，故选：C．6．解：如图，连接OB．∵BE＝nAE，∴S△OBE ＝n•S△OAE，∵E、F在y＝上，四边形AOCB是矩形，∴S△AEO ＝S△OCF＝，S△OBC＝S△OBA，∴S△OBE ＝S△OBF＝n，∴S四边形OFBE＝n．故选：B．7．如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，∵AB⊥x轴，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BE＝AE＝CE，设AB＝2a，则BE＝AE＝CE＝a，设A（x，x），则B（x，x+2a），C（x+a，x+a），∵B，C在反比例函数的图象上，∴x（x+2a）＝（x+a）（x+a），x＝2a，＝AB•CE＝•2a•a＝1，∵S△ABC∴a＝1，∴x＝2，∴B（2，3），∴k＝6故选：D．8．解：延长AB、DC交x轴于点Q、P，延长AD、BC交y轴于点M、N，∵B、D为线段EF的三等分点，∴BE ＝BD ＝DF ，∵AM ∥BC ∥EO ，∴OP ＝PQ ＝QE ，ON ＝MN ＝MF ，∵ABCD 的面积为1，∴S 矩形QBNO ＝S 矩形ABCD ＝2，∴|k |＝2，∴反比例函数的关系式为y ＝﹣，∴k ＝2，一次函数的关系式为y ＝2x +b ，即：F （0，b ），E （﹣，0），由题意得△EOF 的面积为， ∴×b ×＝，解得，b ＝3，b ＝﹣3（舍去），故选：C ．9．解：∵四边形OABC 为矩形，OA ＝2，OC ＝4，∴E （k ，2），F （4，k ），∴BE ＝4﹣k ，BF ＝2﹣k ，∴S △BEF ＝（4﹣k ）（2﹣k ）＝k 2﹣k +4，∵S △OAE ＝S △OCF ＝×4×k ＝k ，S 矩形OABC ＝2×4＝8，∴S 四边形AOFE ＝S 矩形OABC ﹣S △BEF ﹣S △OCF＝8﹣（k 2﹣k +4）﹣k ＝﹣k 2+k +4 ＝﹣（k ﹣4）2+5， ∵﹣＜0，∴当k ＝4时，四边形AOFE 的面积最大，∴CF ＝k ＝1．故选：B ．10．解：在Rt △OAB 中，∠B ＝30°，∴可设OA ＝a ，则AB ＝OA ＝a ， ∴点B 的坐标为（a ，a ）， ∴直线OB 的解析是为∵D 是AB 的中点∴点D 的坐标为（a ，）∴k ＝又∵S＝4，△OAC∴OA•y c＝4，即•a•y c＝4，∴y c＝∴C（，）∴k＝•＝∴＝∴a2＝16，∴k＝＝8．故选：C．11．解：如图，连接BE，∵等腰三角形ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AE＝AC，∴AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，又∵∠AEB+∠ABE+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABE+∠ABC＝90°，即BE⊥BC，∴∠CBE＝∠BOD＝90°，又∵∠ACB＝∠ABC＝∠OBD，∴△CBE∽△BOD，∴＝，即BC×OD＝OB×BE，又∵△BCD的面积为2，∴BC×OD＝4，∴OB×BE＝4，又∵双曲线y＝（x＞0）的图象过点E，∴k＝OB×BE＝4，故选：A．12．解：设D（a，b），则CO＝﹣a，CD＝AB＝b，∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，∴k＝ab，∵△BCE的面积是6，∴×BC×OE＝6，即BC×OE＝12，∵AB∥OE，∴＝，即BC•EO＝AB•CO，∴12＝b×（﹣a），即ab＝﹣12，∴k＝﹣12，故选：D．13．解：∵BN∥AM，MN＝NC，∴△CNB∽△CMA，∴S△CNB ：S△CMA＝（）2＝（）2＝，而S△BNC＝2，∴S△CMA＝8，∵OM＝MN＝NC，∴OM＝MC，∴S△AOM ＝S△AMC＝4，∵S△AOM＝|k|，∴|k|＝4，∴k＝8．故选：C．14．解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，根据∠AEB＝∠CD0＝90°，∠ABE＝∠COD，AB＝CO可得：△ABE≌△COD（AAS），∴△ABE与△COD的面积相等，又∵点C在y＝的图象上，∴△ABE的面积＝△COD的面积相等＝|k2|，同理可得：△AOE的面积＝△CBD的面积相等＝|k1|，∴平行四边形OABC的面积＝2（|k2|+|k1|）＝|k2|+|k1|＝k2﹣k1，故选：D．15．解：∵∠ACB＝90°，BC＝4，∴B点纵坐标为4，∵点B在反比例函数的图象上，∴当y＝4时，x＝3，即B点坐标为（3，4），∴OC＝3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，AC＝BC＝4，OA＝AC﹣OC＝4﹣3．设AB与y轴交于点D．∵OD∥BC，∴＝，即＝，解得OD＝4﹣，∴阴影部分的面积是：（OD+BC）•OC＝（4﹣+4）×3＝12﹣．故选：D．16．解：∵AB∥PC，CB∥AP，∠APC＝90°，∴四边形APCB是矩形．设P（x，），则A（，），C（x，），∴S矩形APCB＝AP•PC＝（x﹣）（﹣）＝，∴四边形ODBE的面积＝S矩形APCB ﹣S矩形PNOM﹣S矩形MCDO﹣S矩形AEON＝﹣k1﹣|k2|﹣|k2|＝．故选：D．17．解：如图，当x＝2时，y＝﹣2×2+8＝4，即点P（2，4），∴S矩形OCPD＝2×4＝8，又∵点A、点B在反比例函数y＝的图象上，∴S△AOC ＝S△BOD＝|k|＝×4＝2，∴S四边形OAPB＝8﹣2﹣2＝4，故选：A．18．解：过A作AE⊥OC于E，设A（a，b），∵当A是OB的中点，∴B（2a，2b），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，∴ab＝16，∴S△BCO＝2ab＝32，∵点D在反比例函数数y＝（x＞0）的图象上，∴S＝8，△OCD＝32﹣8＝24，∴S△BOD＝12，∴△ADB的面积＝S△BOD故选：A．19．解：作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，如图，∵点P为矩形AOBC对角线的交点，∴矩形OEPF的面积＝矩形AOBC的面积＝×4＝1，∴|k|＝1，而k＜0，∴k＝﹣1，故选：C．20．解：如图，过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ABM＝90°﹣∠CBN＝∠BCN，∵∠M＝∠N＝90°，∴△ABM≌△BCN（AAS），∵OB＝2OA，∴设OA＝a，OB＝2a，则BN＝AM＝2a，CN＝BM＝a，∴点C坐标为（2a，a），∵E为BC的中点，B（0，2a），∴E（a，1.5a），把点E代入双曲线y＝得1.5a2＝18，a2＝12，＝a•2a＝12，∴S△ABO故选：C．。

人教版九年级数学反比例函数知识点归纳

人教版九年级数学反比例函数知识点归纳一、知识结构二、研究目标1.理解和掌握反比例函数的概念，能根据实际问题确定反比例函数的解析式，以及判断一个函数是否为反比例函数。

2.能够描点画出反比例函数的图像，使用代入系数法求解反比例函数的解析式，并进一步理解函数的三种表示方法：列表法、解析式法和图像法的特点。

3.能够分析反比例函数的函数关系和性质，以及利用这些性质解决一些简单的实际问题。

4.能够在实际问题中找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，并解决实际问题，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。

5.进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，以及认识数形结合的思想方法。

三、重点难点1.重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图像及其性质的理解、掌握和运用。

2.难点是反比例函数及其图像的性质的理解和掌握。

二、基础知识一、反比例函数的概念1.y=k/x，其中k为常数，x≠0.2.xy=k，可以迅速求出反比例函数的解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。

3.反比例函数的图像与x轴、y轴无交点，因为x≠0.二、反比例函数的图像1.在使用描点法画反比例函数的图像时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。

2.自变量的取值范围为x≠0.3.反比例函数的图像为双曲线。

三、反比例函数及其图像的性质1.函数解析式为y=k/x。

2.反比例函数的图像的两支分别位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。

3.反比例函数的图像的两支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

4.反比例函数的图像关于原点对称。

5.反比例函数的图像与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。

6.k的几何意义为反比例函数的图像与y=kx的直线的交点的y坐标。

反比例函数知识点归纳和典型例题一、知识结构二、研究目标1.理解和掌握反比例函数的概念，能根据实际问题确定反比例函数的解析式，以及判断一个函数是否为反比例函数。

湘教版数学九年级上册第一章《反比例函数》复习说课稿

湘教版数学九年级上册第一章《反比例函数》复习说课稿一. 教材分析《反比例函数》是湘教版数学九年级上册第一章的内容。

本章主要介绍了反比例函数的定义、性质及其应用。

通过本章的学习，学生能够理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象和性质，并能运用反比例函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和性质，具备了一定的函数知识基础。

但是，对于反比例函数的理解和应用，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，通过引导和启发，帮助学生理解和掌握反比例函数的相关知识。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的图象和性质，能够运用反比例函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，学生能够发现反比例函数的性质，培养学生的逻辑思维能力和归纳能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，克服困难，自主学习，增强对数学学科的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的定义、性质及其应用。

2.教学难点：反比例函数图象的特点，反比例函数在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.教学手段：利用多媒体课件、反比例函数模型等教学辅助工具，直观展示反比例函数的图象和性质，增强学生的直观感受。

六. 说教学过程1.导入：通过复习正比例函数的知识，引发学生对反比例函数的思考，激发学生的学习兴趣。

2.探究反比例函数的定义：学生通过观察反比例函数的图象，分析反比例函数的性质，引导学生自主得出反比例函数的定义。

3.讲解反比例函数的性质：教师通过讲解反比例函数的图象、单调性、奇偶性等性质，引导学生理解和掌握反比例函数的相关知识。

4.应用反比例函数解决实际问题：教师提出实际问题，引导学生运用反比例函数进行分析和解题，培养学生的应用能力。

九年级数学反比例函数知识点归纳总结

一、反比例函数的定义：
反比例函数是指其表达式可以表示为y=k/x（k≠0），其中k为常数，x≠0。

二、反比例函数的一般式：
1.y=k/x
2.k为比例系数，表示常数项。

三、反比例函数的图像特点：
1.垂直于y轴；
2.不过原点，但会经过x轴的正半轴和y轴的正半轴；
3.上升（k>0）或下降（k<0）。

四、反比例函数的性质：
1.定义域：x≠0，值域：y≠0
2.渐近线：x轴和y轴是反比例函数的渐近线。

3.对称性：关于y轴对称。

4.单调性：k>0时，单调递减；k<0时，单调递增。

五、反比例函数图像的平移：
1.y=k/(x-h)：左右平移h个单位；
2.y=k/(x)+v：上下平移v个单位。

六、反比例函数与直线的关系：
1. 反比例函数与直线y=kx的图像在一起；
2. 直线y=kx可以看做反比例函数的简化形式，即k=1
七、反比例函数的应用：
1.反比例函数在实际中常用于描述两个变量之间的比例关系，如一方
的量增大，另一方的量就会减小的规律。

2.可以用反比例函数解决实际问题，如物品的价格与销量之间的关系、速度与时间之间的关系等。

北师大版九年级数学上学期期末单元复习第6章反比例函数含答案

第6章反比例函数一．选择题（共10小题）1．下列函数中，是反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝x﹣1D．y＝2．今年，某公司推出一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．3．函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（）A．函数图象位于第一、三象限B．函数值y随x的增大而减小C．若A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2D．P为图象上任意一点，过P作PQ⊥y轴于Q，则△OPQ的面积是定值5．如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（﹣2，2），∠ABC＝60°，则k的值是（）A．4 B．6 C．4D．126．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（0，3），点D在x轴的正半轴上．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，则k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．88．如图，在正方形ABCD中，点C（8，5），AB边不动，将正方形向左下方推动变形，使点D落在y轴的点D′处，点C落在点C′处，则经过点C′的反比例函数解析式是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝9．设双曲线y＝（k＞0）与直线y＝x交于A\B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P、Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径“，当双曲线y＝（k＞0）的眸径为6时，k的值为（）A．B．2 C．D．310．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝5米，进口AB∥OD，且AB＝2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米二．填空题（共7小题）11．已知反比例函数y＝（k﹣1）x，那么k的值是．12．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点B的坐标为（3，6），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边BC、AB于点D、F，连结DF，△DEF与△DBF关于直线DF对称，当点E正好落在边OC上时，则k的值为．13．如图，点A为函数y＝（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y＝（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为．14．若反比例函数y＝﹣，当y≤，且y≠0时自变量x的取值范围．15．如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＞k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝4，则k1﹣k2的值是．16．如图，△ABC在第一象限内，∠C＝90°，BC∥x轴，点C（2，2），AB所在直线的函数关系式是y＝x+6．当反比例函数y＝﹣的图象与△ABC有交点时，k的取值范围是．17．如图，Rt△AOB中，∠OAB＝90°，∠OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝图象上，若Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，则进过点B的反比例函数的解析式为．三．解答题（共5小题）18．如图，直线y＝2x﹣4分别交坐标轴于A、B两点，交双曲线y＝（x＞0）于C点，且sin∠COB＝；（1）求双曲线的解析式；（2）若过点B的直线y＝ax+b（a＞0）交y轴于D点，交双曲线于点E，且OD：AD＝1：2，求E点横坐标．19．如图，一次函数y＝x+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，且S△ABC＝5．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式x+b的解集；（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，且y1≥y2，求实数P的取值范围．20．如图，在所给的直角坐标系（O是坐标原点）中，每个小方格都是边长为1的正方形，直线y＝mx+n与反比例函数y＝的图象的交点A，B均在格点上．（1）请直接写出点A，B的坐标为：；当mx+n≥时，x的取值范围是；（2）将直线AB向右平移3个单位，再向上平移5个单位，在图中画出平移后的直线A′B′，并求出直线A′B′的解析式；（3）若点C在函数y＝的图象上，且△ABC是以AB为底的等腰三角形，请直接写出点C的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OB＝5，OA＝4，动点M 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O运动，同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿OB向终点B移动，当两个动点运动了x（0＜x＜2.5）秒时，解答下列问题：（1）若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出该函数的解析式；（2）在两个动点运动过程中，当x为何值时，使得以O，M，N为顶点的三角形与△OAB 相似？22．冬天即将到来，龙泉某中学的初三学生到某蔬菜生产基地作数学实验．在气温较低时，蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜，经收集数据，该班同学将大棚内温度和时间的关系拟合为一个分段函数，如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；（2）若大棚栽种某种蔬菜，温度低于10℃时会受到伤害．问若栽种这种蔬菜，恒温系统最多可以关闭多少小时就必须再次启动，才能使蔬菜避免受到伤害？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列函数中，是反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝x﹣1D．y＝【分析】根据反比例函数的一般形式即可作出判断．【解答】解：A、该函数是常函数，故本选项不符合题意．B、该函数是y与（1﹣x）成反比例函数关系，故本选项不符合题意．C、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．D、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意．故选：C．2．今年，某公司推出一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．【分析】直接利用后期每个月分别付相同的数额，进而得出y与x的函数关系式．【解答】解：由题意得y＝，即y＝，故选：D．3．函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．【解答】解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D 符合；故选：D．4．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（）A．函数图象位于第一、三象限B．函数值y随x的增大而减小C．若A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2D．P为图象上任意一点，过P作PQ⊥y轴于Q，则△OPQ的面积是定值【分析】先判断出k2+1的符号，再根据反比例函数的性质即可得出结论．【解答】解：A、∵k2+1＞0，∴它的图象分布在第一、三象限，故本选项正确；B、∵它的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误；C、∵它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，∵x1＝﹣1＜0，∴y1＜0，∵x2＝1＞0，x3＝2＞0，∴y2＞y3，∴y1＜y3＜y2故本选项正确；D、∵P为图象上任意一点，过P作PQ⊥y轴于Q，∴△OPQ的面积＝（k2+1）是定值，故本选项正确．故选：B．5．如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（﹣2，2），∠ABC＝60°，则k的值是（）A．4 B．6 C．4D．12【分析】根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵点A（﹣2，2），∴OA＝2，∴BO＝＝，∵直线AC的解析式为y＝﹣x，∴直线BD的解析式为y＝x，∴点B的坐标为（2，2），∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴，解得，k＝12，故选：D．6．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（0，3），点D在x轴的正半轴上．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，则k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】作BE⊥y轴于E，根据勾股定理求得OD＝4，然后证明△ABE≌△DAO，可得BE ＝AO＝3，AE＝OD＝4，所以点B坐标为（﹣3，﹣1），把点B代入双曲线y＝可得k的值．【解答】解：作BE⊥y轴于E，∵正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（0，3），∴AD＝5，OA＝3，∴OD＝＝＝4，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠BAE＝90°﹣∠DAO＝∠ADO，∵∠AEB＝∠AOD＝90°，∴△ABE≌△DAO（AAS），∴BE＝AO＝3，AE＝OD＝4，∴OE＝AE﹣OA＝1，∴B（﹣3，﹣1），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，∴k＝﹣3×（﹣1）＝3，故选：A．7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设C（x，2）．则D（x，4），由勾股定理得出AB2+BC2＝AC2，列出方程22+12+（x﹣1）2+22＝x2，求出x，得到D点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．【解答】解：∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，∴A（0，2），∴C、A两点纵坐标相同，都为2，∴可设C（x，2）．∵D为AC中点．∴D（x，2）．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2，∴12+22+（x﹣1）2+22＝x2，解得x＝5，∴D（，2）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，∴k＝×2＝5．故选：B．8．如图，在正方形ABCD中，点C（8，5），AB边不动，将正方形向左下方推动变形，使点D落在y轴的点D′处，点C落在点C′处，则经过点C′的反比例函数解析式是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【分析】由点C（8，5）可知A（3，0），OD'＝4，过点C'作C'M⊥OB，可证△AOD'≌△BMC'（HL），可求C'（5，4），即可求反比例函数解析式；【解答】解：∵正方形ABCD中，点C（8，5），∴A（3，0），AB＝5，∵AD'＝5，∴OD'＝4，过点C'作C'M⊥OB，∵BC'＝AD'，C'M＝OD'，∴△AOD'≌△BMC'（HL），∴MB＝OA＝3，∴C'（5，4），∴y＝；故选：A．9．设双曲线y＝（k＞0）与直线y＝x交于A\B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P、Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径“，当双曲线y＝（k＞0）的眸径为6时，k的值为（）A．B．2 C．D．3【分析】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y＝﹣x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，解得：，，∴点A的坐标为（﹣，﹣），点B的坐标为（，）．∵PQ＝6，∴OP＝3，点P的坐标为（﹣，）．根据图形的对称性可知：PP′＝AB＝QQ′，∴点P′的坐标为（﹣+2，+2）．又∵点P′在双曲线y＝上，∴（﹣+2）•（+2）＝k，解得：k＝．故选：A．10．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝5米，进口AB∥OD，且AB＝2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米【分析】根据矩形的性质得到BE＝OA＝5，AB＝2，求得B（2，5），设双曲线BC的解析式为y＝，得到k＝10，于是得到结论．【解答】解：∵四边形AOEB是矩形，∴BE＝OA＝5，AB＝2，∴B（2，5），设双曲线BC的解析式为y＝，∴k＝10，∴y＝，∵CD为1∴当y＝1时，x＝10，∴DE的长＝10﹣2＝8m，故选：D．二．填空题（共7小题）11．已知反比例函数y＝（k﹣1）x，那么k的值是±2 ．【分析】根据反比例函数的定义解答．【解答】解：依题意得：k2﹣5＝﹣1且k﹣1≠0．解得k＝±2．故答案是：±2．12．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点B的坐标为（3，6），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边BC、AB于点D、F，连结DF，△DEF与△DBF关于直线DF对称，当点E正好落在边OC上时，则k的值为．【分析】过点F作FG⊥OC，垂足为G．由于四边形OABC是矩形，△DEF与△DBF关于直线DF对称，当点E正好落在边OC上，可得△DGF∽△FAE，然后把D、F两点的坐标用含k的代数式表示出来，再由相似三角形对应边成比例求出CE的长，然后利用勾股定理求出k．【解答】解：过点F作FG⊥OC，垂足为G，如图所示．由题意知D（，6），F（3，），FG＝3．又∵△DEF与△DBF关于直线DF对称，点E在边OC上，∴DE＝DB，∠B＝∠DEF＝90°，∴∠DEC+∠GEF＝90°，∵∠EGF＝∠DCE＝90°，∠GEF+∠EFG＝90°，∴∠DEC＝∠EFG，∴△EGF∽△DCE，∴＝，即＝，解得：CE＝，∵DE2＝DC2+CE2，即（3﹣）2＝（）2+（）2，解得：k＝．故答案为：．13．如图，点A为函数y＝（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y＝（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为 6 ．【分析】根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO＝AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△ABC的面积．【解答】解：方法一：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），∵点C是x轴上一点，且AO＝AC，∴点C的坐标是（2a，0），设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y＝kx，∴，解得，k＝，又∵点B（b，）在y＝上，∴，解得，或（舍去），∴S△ABC＝S△AOC﹣S△OBC＝＝，故答案为：6．方法二：作BD⊥x轴于点D，作AE⊥x轴于点E，∵点A在为函数y＝（x＞0）图象上一点，AO＝AC，∴△AOC的面积是9，∵点A为函数y＝（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y＝（x＞0）的图象于点B，∴＝，∴，∴，∴S△ABC＝6，故答案为：6．14．若反比例函数y＝﹣，当y≤，且y≠0时自变量x的取值范围x≤﹣9或x＞0 ．【分析】首先画出图形，进而利用函数图象得出x的取值范围．【解答】解：如图所示：∵反比例函数y＝﹣，当y≤，∴y＝时，则x＝﹣9，故y≤时，x≤﹣9或x＞0．故答案为：x≤﹣9或x＞0．15．如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＞k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝4，则k1﹣k2的值是8 ．【分析】设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝cd，根据三角形的面积公式求出ab﹣cd＝8，即可得出答案．【解答】解：设A（a，b），B（c，d），代入得：k1＝ab，k2＝cd，∵S△AOB＝4，∴ab﹣cd＝4，∴ab﹣cd＝8，∴k1﹣k2＝8，故答案为：8．16．如图，△ABC在第一象限内，∠C＝90°，BC∥x轴，点C（2，2），AB所在直线的函数关系式是y＝x+6．当反比例函数y＝﹣的图象与△ABC有交点时，k的取值范围是4≤k≤．【分析】先求出点A、B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，当反比例函数图象与△ABC相交于点C时k的取值最小，当与线段AB相交时，k能取到最大值，根据直线y＝x+6，设交点为（x，﹣x+6）时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．【解答】解：∵△ABC在第一象限内，∠C＝90°，BC∥x轴，点C（2，2），∴把x＝2代入y＝x+6得，y＝﹣×2+6＝，把y＝2代入y＝x+6得，﹣x+6＝2，解得x＝6，∴点A、B的坐标分别为A（2，），B（6，2），根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝2×2＝4最小，设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大，则k＝x（﹣x+6）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣）2+，∵2≤x≤6，∴当x＝时，k值最大，此时交点坐标为（，3），因此，k的取值范围是4≤k≤．故答案为：4≤k≤．17．如图，Rt△AOB中，∠OAB＝90°，∠OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝图象上，若Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，则进过点B的反比例函数的解析式为10 ．【分析】分别过A、B作AE⊥x轴于E，BD⊥y轴交AE于F．设A（a，b），则ab＝﹣4．根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAE∽△ABF，由相似三角形的对应边成比例，则BD、OD都可用含a、b的代数式表示，从而求出B的坐标，进而得出结果．【解答】解：分别过A、B作AE⊥x轴于E，BD⊥y轴交AE于F．设A（a，b）．∵顶点A在反比例函数y＝图象上，∴ab＝﹣4．∵∠OAB＝90°，∠OAE＝90°﹣∠BAF＝∠ABF，∠OEA＝∠BFA＝90°，∴△OAE∽△ABF，∴OA：AB＝OE：AF＝AE：BF，在Rt△AOB中，∠AOAB＝90°，∠OBA＝30°，∴OA：AB＝1：，∴﹣a：AF＝b：BF＝1：，∴AF＝﹣，BF＝b，∵Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，∴AC＝BC，∴BD＝DF＝BF＝﹣a，OD＝AE+AF＝b﹣a，∴b＝﹣a，∴A（﹣b，b），B（b，b﹣）∴﹣b•b＝﹣4，∴b2＝，∴k＝b（b﹣）＝b2﹣ab＝10，故答案为：10．三．解答题（共5小题）18．如图，直线y＝2x﹣4分别交坐标轴于A、B两点，交双曲线y＝（x＞0）于C点，且sin∠COB＝；（1）求双曲线的解析式；（2）若过点B的直线y＝ax+b（a＞0）交y轴于D点，交双曲线于点E，且OD：AD＝1：2，求E点横坐标．【分析】（1）根据题意设出点C的坐标，由sin∠COB＝可以求得点C的坐标，进而可以求得双曲线的解析式；（2）根据y＝2x﹣4求得A、B的坐标，OD：AD＝1：2，可知D的坐标，根据待定系数法求得BD的解析式，联立解析式即可求出E横坐标．【解答】解：（1）设点C的坐标是（a，2a﹣4），∵sin∠COB＝，∴tan∠COB＝＝，解得，a＝6，∴点C为（6，8），∵点C在双曲线y＝（x＞0）上，∴k＝6×8＝48，即双曲线的解析式为：y＝；（2）∵直线y＝ax+b（a＞0）交y轴于D点，∴点D的坐标是（0，b），∵直线y＝2x﹣4分别交坐标轴于A、B两点，∴点A的坐标是（0，﹣4），B（2，0），∵OD：AD＝1：2，∴OD＝，∴D（0，﹣），把B（2，0），D（0，﹣）代入y＝ax+b得，解得，∴y＝x﹣，解x﹣＝得x＝1+，x＝1﹣（舍去），∴E的横坐标为1+．19．如图，一次函数y＝x+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，且S△ABC＝5．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式x+b的解集；（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，且y1≥y2，求实数P的取值范围．【分析】（1）把A、B的坐标代入反比例函数解析式求出m＝﹣n，即可得出A（m，3），B （﹣3，﹣m），根据三角形面积求得m、n的值，得到A、B的坐标，代入反比例函数和一次函数的解析式，即可求出答案；（2）根据A、B的横坐标，结合图象即可得出答案；（3）分为两种情况：当点P在第一象限时和当点P在第三象限时，根据坐标和图象即可得出答案．【解答】解：（1）把A（m，3），B（﹣3，n）代入反比例函数y＝得：k＝3m＝﹣3n，即m＝﹣n，则B（﹣3，﹣m），∵A（m，3），B（﹣3，﹣m），S△ABC＝•BC•（x A﹣x B）∴×m×（m+3）＝5，解得：m＝2或m＝﹣5（舍去），∴n＝﹣2，即A（2，3），B（﹣3，﹣2），把A（2，3）代入y＝得：k＝6，即反比例函数的解析式是y＝；把A（2，3）代入y＝x+b得：3＝2+b，解得：b＝1，即一次函数的解析式是y＝x+1；（2）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），∴不等式x+b的解集是x≤﹣3或0＜x≤2；（3）∵P（p，y1），Q（﹣2，y2）是反比例函数y＝图象上，则点Q（﹣2，y2）在第三象限，∴当点P在第一象限时，总有y1＞y2，此时p＞0；当点P在第三象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是P≤﹣2，即P的取值范围是p≤﹣2或p＞0．20．如图，在所给的直角坐标系（O是坐标原点）中，每个小方格都是边长为1的正方形，直线y＝mx+n与反比例函数y＝的图象的交点A，B均在格点上．（1）请直接写出点A，B的坐标为：点A（﹣1，﹣4），点B（﹣4，﹣1）；当mx+n ≥时，x的取值范围是x＞﹣4或﹣1＜x＜0 ；（2）将直线AB向右平移3个单位，再向上平移5个单位，在图中画出平移后的直线A′B′，并求出直线A′B′的解析式；（3）若点C在函数y＝的图象上，且△ABC是以AB为底的等腰三角形，请直接写出点C的坐标．【分析】（1）观察图象，可求解；（2）由题意画出图象，由待定系数法可求直线解析式；（3）由待定系数法可求反比例函数解析式，设点C（a，），由等腰三角形的性质和两点距离公式可求a的值，即可求点C坐标．【解答】解：（1）由图象可知：点A（﹣1，﹣4），点B（﹣4，﹣1），当mx+n≥时，x的取值范围是x＞﹣4或﹣1＜x＜0，故答案为：点A（﹣1，﹣4），点B（﹣4，﹣1），x＞﹣4或﹣1＜x＜0；（2）图象如图：∵点A（﹣1，﹣4），点B（﹣4，﹣1），且直线AB向右平移3个单位，再向上平移5个单位，∴点A'（2，1），点B'（﹣1，4）设直线A'B'解析式为：y＝kx+b，∴解得：∴直线A′B′的解析式为：y＝﹣x+3；（3）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣1，﹣4），∴k＝﹣1×（﹣4）＝4，∴反比例函数的解析式为：y＝，设点C（a，），∵△ABC是以AB为底的等腰三角形，∴CA＝CB，∴（a+1）2+（+4）2＝（a+4）2+（+1）2，∴a＝±2，∴点C（﹣2，﹣2）或（2，2）21．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OB＝5，OA＝4，动点M 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O运动，同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿OB向终点B移动，当两个动点运动了x（0＜x＜2.5）秒时，解答下列问题：（1）若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出该函数的解析式；（2）在两个动点运动过程中，当x为何值时，使得以O，M，N为顶点的三角形与△OAB 相似？【分析】（1）由勾股定理可求点B坐标（4，3），代入解析式可求k的值，即可求函数的解析式；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵△ABC是直角三角形，且BA⊥x轴于A，OA＝4，OB＝5，∴∴B（4，3），∴将B（4，3）代入得k＝12，∴函数的解析式为：；（2）在两个动点运动过程中，分两种情况：①若∠OMN＝90°，如图1所示，则MN∥AB，此时OM＝4﹣x，ON＝2x，∵∠OMN＝∠OAB，∠NOM＝∠BOA，∴△MON∽△AOB，∴，即：∴；②若∠ONM＝90°，如图2所示，则∠ONM＝∠OAB，此时OM＝4﹣x，ON＝2x，∵∠ONM＝∠OAB，∠MON＝∠BOA，∴△OMN～△OBA，∴即：，∴，综上所述，当或秒时，使得以O，M，N为顶点的三角形与△OAB相似．22．冬天即将到来，龙泉某中学的初三学生到某蔬菜生产基地作数学实验．在气温较低时，蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜，经收集数据，该班同学将大棚内温度和时间的关系拟合为一个分段函数，如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；（2）若大棚栽种某种蔬菜，温度低于10℃时会受到伤害．问若栽种这种蔬菜，恒温系统最多可以关闭多少小时就必须再次启动，才能使蔬菜避免受到伤害？【分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式；（2）代入临界值y＝10即可．【解答】解：（1）设线段AB解析式为y＝k1x+b（k≠0）∵线段AB过点（0，10），（2，14）代入得，得，AB解析式为：y＝2x+10（0≤x＜5）∵B在线段AB上当x＝5时，y＝20∴B坐标为（5，20）∴线段BC的解析式为：y＝20（5≤x＜10）设双曲线CD解析式为：y＝（k2≠0）∵C（10，20）∴k2＝200∴双曲线CD解析式为：y＝（10≤x≤24）∴y关于x的函数解析式为：y＝（2）把y＝10代入y＝中，解得，x＝20∴20﹣10＝10答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．。