高中数学人教A版必修5第二章2.5等比数列的前n项和教案
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和教案
2.5.1 等比数列的前n项和一、教学内容分析1.教材的地位和作用《等比数列的前n项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体2．教学的重点等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用．二、学情分析1.学情分析知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1其是在后面使用的过程中容易出错．任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够较好的理解教材上的内容，能较好地在教师的引导下独立、合作地解决一些问题．2.教学难点基于上述分析，确定本节课教学难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．三、教学目标的确定课程标准要求“了解几何概型的意义”“注重概念的生成过程”“数学思想和方法蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中”，结合本课教材的特点、学生的认知水平，我从三个方面确定教学目标：①知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．②过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．③情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.四、教法和学法课程标准明确指出“要注重提高学生的数学思维能力”，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。
人教A版高中数学必修5《二章数列2.5等比数列的前n项和》优质课教案
等比数列前n项和（第2课时）等比数列前n项和（第2课时）一、教材分析等比数列的前n 项和（第2 课时）是普通高中课程标准实验教科书《数学（必修5）》（人教A 版）第二章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差、等比数列及其前n 项和”内容的延续，另一方面又是对本章内容的一个初步综合，与前面学习的知识有着密切的联系.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用.等比数列的前n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神, 是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第二课时，重在学习了等差、等比数列后利用等差、等比数列的前n 项和公式进行一些简单非等差、等比数列的求和，初步学会分组求和和错位相减法求和。
二、教学目标知识与技能目标：掌握等差、等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题．过程与方法目标：通过体会分组求和、错位相减求和在数列求和中的应用，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．情感态度与价值观目标：通过对公式应用的探索与体会，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受形式的简洁美、数学的严谨美．三、教学重点和难点重点：等差、等比数列的前n项和公式在数列求和中的简单应用．难点：比较熟练的利用分组求和法、错位相减法进行数列求和。
四、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究- 建构教学相结合的教学模式.五、教学过程（一） 复习导入上一节课我们学习了等比数列前 n 项和公式，至此，我们本章内容学习了数 列的概念和简单表示法，等差数列，等差数列前 n 项和，等比数列，等比数列前 n 项和，并布置了预习任务，下面，同学们翻开新教材新学案。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 等比数列的前n项和》优质课教案_2
2.5《等比数列的前n项和》教学设计一、教学理念依照数学课程标准的“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质．”即我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值，我们数学教师应该创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变．二、教材内容分析从高中数学的整体内容来看，《数列》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着决定性的作用.首先：数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等. 其次：数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础. 再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高.本节之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和打下基础.本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点.三、学生学情分析我校在吉林市学生层次较好，我所授课的班级是我校的实验班，学生数学能力较强，基础知识较为扎实。
通过前几节的学习，探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼且奠定了必要的知识和经验基础。
四、教学目标在对教材和教学目标及学情分析后，我确定出本节课的教学目标：知识目标：理解等比数列的前n项和公式及简单应用,掌握等比数列前n项和公式的推导方法。
能力目标：培养学生观察、思考和解决问题的能力；加强特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想的培养。
情感目标：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点；培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神.教学重点：公式的推导和公式的运用．教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和教案(1)
数列求和方法3——错位相减一.教学内容分析本节内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第二章中，学生在学习了等差数列和等比数列的通项公式以及前n项和公式的基础上，学习了求和方法：公式法、分组求和法之后的第3种求和方法，主要体现数学中的转化思想。
即将不能直接求和的问题通过错位相减，转化为能用等比求和的问题。
重点：会用错位相减法求通项为等差数列与等比数列对应项乘积的数列前n 项和。
难点：错位相减后的项数、符号问题，以及对转化数学思想的理解。
二.教学目标分析1.知识与技能:会用错位相减求通项为等差数列与等比数列对应项乘积的数列前n项和。
2.过程与方法：通过两等式错位相减，将不能求和的问题转化成能用等比数列求和的问题，在探究的过程中让学生体会数学的转化思想。
3.情感、态度与价值观：在问题导练的过程中，培养学生的探究能力、化归能力、运算能力。
三.学情分析本节课之前学生已经学习了等差和等比数列前n项和公式，数列求和方法：公式法、分组求和法，在推导等比数列前n项和公式时，错位相减法已经使用过，本节课需要再次阅读课本，探究方法，通过学生自己的努力学会错位相减的流程，但是错位相减的目的、错位相减后的项数及符号需要在学生尝试练习、巩固练习之后通过老师的引导、点评才能理解掌握。
同时转化的数学思想更需要在老师的启发中得以理解。
四.教学策略分析数列求和方法---错位相减，需要学生在不断的尝试练习、巩固练习中得到掌握，此方法在等比数列前n项和公式推导过程中已经运用过，按照知识的发生、发展过程和学生的思维规律，本节课首先给出用公式法和分组求和法能够解决的两道练习题，对前一节内容进行复习，然后对第一道练习题目进行变式，设置障碍，创设情境，把学生的注意力引到再读课本，探究方法，引出课题，再次尝试，提炼方法，限时训练，互命试题，让学生在层层练习中掌握方法，整个设计过程中学生是学习的主体，老师仅仅是帮助者、服务者，这样设计重视了新旧知识实质性联系，让重点知识和重要数学思想方法得到螺旋式巩固和提高。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 2.5 等比数列的前n项和(通用)》优质课教案_5
数列求和【学习目标】1．掌握等差、等比数列求和．2．掌握错位相减，裂项相消法求和．3．掌握一些特殊数列通过转化，化成等差(比)求和，掌握转化技巧，提升化归能力．【学习重点】重点掌握错位相减，裂项相消法求和．【学习难点】会用各种方法求数列的前n 项的和。
【学习用时】一课时【教学过程】【知识要点回顾】1．求数列前n 项和的基本方法(1)直接求和法(公式求和)①数列{a n }为等差或等比数列时直接运用其前n 项和公式求和．若{a n }为等差数列，则S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝_________________． 若{a n }为等比数列，其公比为q ，则当q ＝1时，S n ＝_______________({a n }为常数列)； 当q ≠1时，S n ＝________________．②一些常见的前n 项和公式a ．1＋2＋3＋4＋…＋n ＝_____________．b ．1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝___________．c ．2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝_____________．d ．12＋22＋32＋42＋…＋n 2＝________________________．e ．13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝_____________________________．(2)并项求和法数列{a n }满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时，运用_____________求其前n 项和．(3)裂项相消数列{a n }满足通项能分裂为两式之差，且分裂后相邻的项出现正负抵消的规律时，运用_______________求和．(4)拆项求和数列{a n }满足其通项能分拆为若干个特殊数列(等差数列、等比数列、常数列)的通项的代数和时，运用_________________求和．(5)错位相减数列{a n}满足a n＝b n·c n，其中b n是等差数列，c n为等比数列，则{a n}前n项求和可用“错位相减法”．(6)倒序相加数列{a n}满足与首末距离相等的项的和为常数或等差、等比数列时，运用_________________求和(如等差数列前n项和公式的推理方法)．2．求和的思想等差(比)数列直接用公式求和，非等差(比)数列的转化为等差(比)数列求和．【例题讲解】1．若数列{a n}的通项公式是a n＝2n＋2n－1，则数列{a n}的前n项和为( C )A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2【解析】∵a n＝2n＋2n－1，∴S n＝2（1－2n）1－2＋n（1＋2n－1）2＝2n＋1＋n2－2，拆项后直接用等差、等比求和．2．若数列{a n}的通项公式是a n＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )A．15 B．12C．－12 D．－15【解析】并项求和a1＋a2＝a3＋a4＝…＝a9＋a10＝3，故a1＋a2＋…＋a10＝3×5＝15.故选A.3．S＝11＋3＋13＋5＋…＋12 013＋ 2 015＝．一、裂项相消求和例1已知数列{}a n的前n项和为Sn，满足a n＋1＝S n＋2n，n ∈N*，且a1＝0，记b n＝a n＋2.(1)求a2，a3;(2)求证：数列{}b n是等比数列；(3)若c n ＝1log 2b n ＋1log 2b n, 求数列{}c n 的前n 项和T n .【解析】(1)a 2＝2，a 3＝6；(2)证明：由a n ＋1＝S n ＋2n ，n ∈N *，得：n ≥2时，a n ＝S n －1＋2(n －1)，n ∈N *；以上两式相减得：a n ＋1－a n ＝a n ＋2，整理得：a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即b n ＋1＝2b n (n ≥2)；又b 2b 1＝a 2＋2a 1＋2＝2， 所以，数列{}b n 是以2为首项，2为公比的等比数列．(3)由(2)得，b n ＝2n ，则c n ＝1log 2b n ＋1log 2b n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1∴T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 【点评】使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．二、拆项、并项求和例2数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，n ∈N *.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n .【解析】(1)∵点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，∴a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1(n >1)，a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，∴a n ＋1＝4a n ，n >1，a 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1＝3t ＋1.∴当t ＝1时，a 2＝4a 1，数列{a n }是等比数列．(2)在(1)的结论下，a n ＋1＝4a n ，a n ＋1＝4n ，b n ＝log 4a n ＋1＝n ，c n ＝a n ＋b n ＝4n －1＋n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋（1＋n ）n 2. 【点评】(1)对于不能由等差数列、等比数列的前n 项求和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分成若干等差数列或等比数列或可求和的数列，求和时，可用“分组求和”法，分别求和后再相加减．(2)一个数列的前n 项和可两两结合求解，则称之为“并项求和”法，形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．三、错位相减法求和例3.已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，【解析】(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32，又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2n . (2)依题意，b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， ①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1， ②∴①－②得，S n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ·2n ＋1 S n ＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2，【点评】数列{a n }满足a n ＝b n ·c n ，其中b n 是等差数列，c n 为等比数列，则{a n }前n 项求和可用“错位相减法”．课后小结：课后作业：复习资料《金太阳》p178数列求和专题练习。
新课标人教A版高中数学必修五第二章第五节《等比数列的前n项和》教案
2.5 等比数列的前n 项和【教学目标】1.知识与技能：探索并掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题。
2.过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式。
3.情感态度与价值观：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养学生的化简能力，在本节课的学习过程中培养合作交流、解决问题能力。
【教学重难点】教学重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题。
教学难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式。
【教学过程】（一）新课导入给出数列：n 2,,2,2,232提问学生此数列是否为等比数列，如果是，那它的首项和公比分别是什么？那它的前n 项和又为多少呢？所以这节课就来探究此问题，引出本节课的课题。
（二）新知探究一般地，对于等比数列n a a a ,,21，它的前n 项和可以写n n a a a S +++= 21，由等比数列的通项公式，上式可以替换成1111-+++=n n q a q a a S ①小组合作探究，观察此式子的特征，让学生探讨如何化解此计算式从而得到n S .学生合作探究得出：将①式左右同时乘以q ，得到n n q a q a q a qS 1211+++= ②，①式和②式有1-n 个相同的项，所以通过两式相减就可以得到n n q a a S q 11)1(-=-，进而得 到qq a S n n --=1)1(1，这时1≠q ，当1=q 时，1na S n =. 师：这种两个式子错开一项的方法叫做错位相减法问：得到的两个前n 项和的公式是数学符号的形式，可不可以用文字语言刻画这两个式子呢？生：当公比不等于1时，等比数列的前n 项和为1减公比分之首项乘以1减公比的项数次方，当公比等于1时，等比数列的前n 项和为项数乘以首项通过对等比数列前n 项和公式和通项公式的观察，发现qq a S n n --=1)1(1可以替换为q q a a S n n --=11.由此学生得到等比数列前n 项和的另一个式子qq a a S n n --=11. （三）课堂练习师：通过刚才对等比数列的前n 项和公式的学习，可以解决开头所提到的问题，师生共同解答。
人教A版高中数学必修五第二章2.5等比数列的前n项和(一)教案
课 题： 等比数列的前n 项和（一）教学目的：1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 教学重点：等比数列的前n 项和公式推导教学难点：灵活应用公式解决有关问题授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：本节是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法教学过程：一，情景引入话说唐僧师徒四人西天取得真经，修成正果之后，猪八戒回到他朝思暮想的高老庄，大力发展畜牧养殖业，从给高老爷做工的农民工，逐步发展成为一个规模不小的养殖场的老板。
可是上网和同门师兄一沟通，各个资产过亿，于是他也想扩大生产规模，办一个集养殖、加工为一体的高科技生产企业-----高老庄集团，可是资金不够，于是他想到了在海南搞房地产的大师兄。
猪八戒：猴哥,能不能帮帮我…… 孙悟空：No problem ！我每天给你投资100万元， 连续一个月(30天)，但有一个条件：第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天的2倍．30天之后互不相欠。
猪八戒：第一天出１元入100万；第二天出2元入100万;第三天出4元入100万元；……哇，发了……（想：这猴子是不是又在耍我） 我们现在再来算一下八戒需还的钱数 282964124822S =+++++即求以1为首项，2为公比的等比数列的前29项的和，可表示为： 282964124822S =+++++ ①22930642481622S =+++++ ② 由②—①可得：306421S =-这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”，是研究数二，新课讲解：1. 公式推导：一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n nn n q a a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n qa q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴ ∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，2.公式辨析 判断正误：1. 2.反思总结:用公式前，先弄清楚数列的首项 ,公比 ,项数n3.例题讲解例1 求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.解：由2 2,121===q a a 得1521)21(144=--⨯=∴S ， 102321)21(11010=--⨯=S 从第5项到第10项的和为10S -4S =1008例2 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？11(12)1248(2)12n n -⨯--+-++-=-231(12)1222212n n ⨯-+++++=-解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列 则：一天内获知此信息的人数为：12212124244-=--=S q=1时，n S =n 1a ；当1≠q 时，qq a a S n n --=11 或q q a S n n --=1)1(1 （含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略q=1情况，要引起足够重视，以培养学生思维的严密性）4.练习：{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，数列k k k kk S S S S S 232,,--（+∈N k ）是否仍成等比数列？ 解：设{},n a 首项是1a ，公比为q,①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列.∵此时，k k k k k S S S S S 232-=-= =0.例如：数列1,－1,1,－1,…是公比为－1的等比数列，46242S S S S S -=-=S 2=0,②当q ≠－1或k 为奇数时，k S ＝k a a a a +++3210≠k k S S -2＝)(321k k a a a a q +++0≠k k S S 23-＝)(3212k k a a a a q +++0≠⇒k k k k k S S S S S 232,,--（+∈N k ）成等比数列评述：应注意等比数列中的公比q 的各种取值情况的讨论，还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件.5、小结1. 等比数列求和公式：当q=1时，1na S n =当1≠q 时，qq a a S n n --=11 或q q a S n n --=1)1(1 ； 2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n 项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．6.课后作业：已知数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，求证7S ,14S －7S ,21S －14S 成等比数列.7.板书设计。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 2.5 等比数列的前n项和(通用)》优质课教案_30
数列通项公式的方法教学设计一、教学内容的地位和作用在高考中数列部分是必考内容，近几年的高考中，有的在17题的位置考查了数列的解答题，2012、2013年均考查了2—3道数列的小题，数列部分在高考中所占分值均在10—15分之间，可以说高考对于数列的考查是重点且难度不大，是高考中容易得分的部分。
而不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是解答题中与数列知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。
二教学目标：知识与技能：1、要求理解数列通项公式的意义,掌握等差、等比数列的通项公式的求法；2、掌握并能熟练应用数列通项公式的常用求法:公式法、累加法、累乘法、由已知前n项和求通项的方法。
过程与方法：通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法。
情感态度与价值观：感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点。
三、教学重难点：重点：数列通项公式的常见求法难点：累加法、累乘法、由已知前n项和求通项以的方法的归纳和应用，以及针对形式的不同恰当选择通项公式的求法。
四、教学手段与方法教学采用导学案教学模式，启发、引导、归纳的方法。
突出学生的主体地位，充分发挥学生的学习自主性，教师引导学生分析例题及变式，并由学生归纳得到相应方法适用的形式特点，从而形成解决该类问题的通法，多媒体辅助教学，规范学生的答题过程。
五、教学过程（一）考情分析高考中对于数列的考查是重点且难度不大，是高考中容易得分的部分。
而不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是解答题中与数列知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。
设计意图：使学生明确本节教学的重要性，并为本章的复习打下良好的思想基础。
（二）基础知识梳理1、等差数列的通项公式：。
等比数列的通项公式：。
2、递推公式所谓递推公式即项与项间的关系，多为相邻两项差或商间的关系（或为常数或为与含项数的表达式形式）。
人教A版 必修5 第二章 数 列 2.5 等比数列的前项和(第1课时)教学设计
人教A版必修5第二章数列2.5 等比数列的前n项和（第1课时）一、教材分析《等比数列的前n项和》是普通高中课程标准试验教科书《数学》必修5第二章《数列》的第5节，内容设置了2个课时。
本节课是等比数列的前n项和教学的第1课时，是继对等比数列的定义与通项公式的学习之后，进一步研究等比数列的重要课程，即本节学习的等比数列的前n项和公式。
通过实例让学生直观认识到在我们的生活中，有大量成等比数列的数列求和问题很难使用现有知识解决，我们需要寻求更简便的公式。
它在教材中起着承前启后的作用，一方面，是对学生已有的数列知识的完善；另一方面，也是对数列求和问题中“错位相减法”的学习应用，这是对数列知识递进地学习过程。
通过本节内容的学习，能够培养学生以多种数学思想解决问题，锻炼学生的数学思维，应用意识等能力。
等比数列求和公式和错位相减法也是高考考查的热点之一。
二、教学目标（一）知识与技能1.探究并初步掌握等比数列的前n项和公式；2.初步了解数列问题中使用错位相减法求和的类型和方法。
（二）过程与方法1.通过学习，体验等比数列的前n项和公式的推导过程，进一步体会学习公式的必要性，并会初步使用求和公式；2.通过错位相减法的学习，体会方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想在数列中的应用。
（三）情感态度与价值观通过师生的教与学的互动活动，让学生再次体会多种数学思想。
通过构造数列，增加解决问题的条件将难以解决的问题简单化。
通过把问题交给学生解决，让学生自主发现问题与解决问题，养成独立思考、合作探究的学习习惯，培养学生科学严谨的学习习惯。
三、教学重难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用。
难点：构造方程组，使用错位相减法消去同类项。
四、学情分析高二学生已经初步形成了自己的学习习惯，好奇心强，有一定的自主探究能力和思考辨别能力。
通过日常与学生的交流可以看出，学生对学习数列兴趣浓厚，但解题方法和能力比较欠缺，使学生学习数列难度较大。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 2.5 等比数列的前n项和(通用)》优质课教案_15
《等比数列的前n项和》教案一．教学目标知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生构造数列的意识及探究、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。
情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。
二．重点难点教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用；教学难点：公式的推导方法及公式应用的条件。
三．教学方法利用多媒体辅助教学，采用启发---探讨---建构教学相结合。
四．教具准备教学课件，多媒体五．教学过程（一）创设情境，提出问题故事回放：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我在棋盘的64个方格上，第1个格子里放1千吨小麦，第2个格子里放2千吨，第3个格子里放3千吨，如此下去，第64个格子放64千吨小麦，请给我这些小麦？（二）.师生互动，探究问题问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少小麦吗？引导学生写出小麦总数，带着这样的问题，学生会动手算起来，通过计算需要1+2+3+…+64=2080(千吨) 结果出来后，国王认为西萨胃口太大，而国库空虚，还是提个简单的要求吧！西萨说：国王，我希望在第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子里放2颗，第3个格子里放4颗，如此下去，每个格子放的麦粒数是前一格麦粒数的2倍,请给我这么多的麦粒数？问题2：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数236312222++++⋅⋅⋅+，同时告诉学生一个抽象的答案，如果按西萨的要求，这是一个多么巨大的数字啊！它相当于全世界两千多年小麦产量的总和．问题3： 1，2，22，…，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？探究一：236312222++++⋅⋅⋅+，记为23636412222S =++++⋅⋅⋅+……①式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）探究二： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，①式两边同乘以2则有23646422222S =+++⋅⋅⋅+……②式．比较①、②两式，你有什么发现？经过比较、研究，学生发现：①、②两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：646421S =- ，老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 2.5 等比数列的前n项和(通用)》优质课教案_12
《数列的前n 项和》教案教学目标：1、学生能够掌握求数列前n 项和的四种方法；2、学生能够根据数列特征准确使用恰当的求和方法。
教学重难点：重点：使用恰当的方法求数列前n 项和。
难点：在裂项相消法中如何“裂项”，裂项相消法的应用。
教学过程一、 温故而知新1、等差数列通项公式;)1(1d n a a n -+=前n 项和公式.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -⋅+=+= 2、等比数列通项公式)0(11≠⋅=-q q a a n n 前n 项和公式二、例题讲解1、公式法 ：利用等差、等比数列前n 项和公式直接求和。
.项和的前}{求数列,log 若数列)2(的通项公式；}{求数列)1(.81,3中，}{已知等比数列、1例352n n n n n n S n b a b a a a a ===小结：当题目所给数列是一个等差、等比数列时，求前n 项和直接用公式。
2、分组求和法：利用转化思想，对某种数列可采用分拆，合并、重新组合的方法转化为等差、等比数列或常数列求和。
.}{,)2(}{)1(.,,9,3}{}{201624141132项和的前求数列设的通项公式；求是等比数列，且是等差数列，已知年北京卷文）、（例n c b a c a b a b a b b b a n n n n n n n +=====小结：当题目所给数列是一个等差加减等比的形式时，采用分组求和的方法，即是等差的放在一组，是等比的放在一组，分别求和。
3、裂项相消法：如果一个数列的每一项都能拆成两项之差，在求和中，一般除首末两项或附近几项外，其余各项先后抵消。
.}{)1(1)2(}{)1(.0)1)(2}{20133n n n n n n n n T n b a n b a a n a a 项和的前，求数列令的通项公式；求数列满足（正项数列年江西卷文改编）、（例+==+-练习：.)2(1531421311)2(;)12()12(1531311)1(+⨯++⨯+⨯+⨯=+⨯-++⨯+⨯=n n S n n S n n小结：当题目所给数列是一个分式，且分母是两个系数相同的一次函数相同相乘时，可以用裂项相消法求和，裂项抓住第n 项，消项抓住对称。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 等比数列的前n项和》优质课教案_17
在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
教学重难点
关键
教学重点：等比数列的前n项和公式推导过程及错位相抵法的应用。
教学难点：公式的推导和应用解决有关问题
教学方法
新授课、故事引入
运用的
信息技术工具
硬件：黑板，白板，计算机
软件：PPT播放
归纳总结
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。由 可得
=
= 。
这个数很大，超过了 。国王不能实现他的诺言。
交流成果，提高能力
综合知识和提升能力的结合
例题讲解、练习
课本P63-64的例1、例2例3
合作学习，综合应用，提升能力
教师引导，提升能力
课时小结
回忆归纳总结本课教学设计思路
首先:学生已经掌握了数列的基本定义和等差数列的知识，有一定的基础和好奇。
其次:在等差数列的基础上，加上国王游戏的引入，有利于激发学生的求知欲。
总的思路：引入问题——学习知识——解决问题——例题讲解——巩固新知——课堂练习——课堂小结——课后作业
教学过程
教学阶段及时间安排
教师活动
学生活动
设计意图及资源准备
师生互动，探究问题
激发学生的学习兴趣，
课堂探究
引入新课
如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。如何求？
小组交流，探究新知
享受推导过程带来的成功和喜悦，激发学生学习兴趣和提高推理能力
巩固知识
作业布置
课本P67习题1、4
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 等比数列的前n项和》优质课教案_7
2.5 等比数列前n项和教学设计1、教材分析从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到.就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.2、学情分析学生的数学计算能力和接受能力都不是很理想，而错位相减法是学生第一次接触，再加上等差数列前n 项和的方法不能直接类比过来求等比数列求和，因此如何突破等比数列求和，让学生接受错位相减法，理解并会应用公式是本节课需要突破的关键环节。
3、教学目标依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：【知识与技能】（1）理解等比数列的前n项和公式的推导方法；（2）掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题．【过程与方法】通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．【情感与态度】通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．4、教学重难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．难点：等比数列的前n项和公式的推导．5、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.6、教学过程一、复习回顾①等比数列定义：等比数列是指如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 等比数列的前n项和》优质课教案_29
等比数列前n项和的探究—教学设一、设计思想：1、设计理念本课的教学设计基于在新课程背景下强调以学生为主体的高效课堂教学模式，激发学生学习的热情。
体现让每一个学生都能获得知识和能力的平等性原则。
坚持面向全体学生，努力设计适合全体学生的数学教育的教学理念。
教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重要性，注重引导学生主动地进行探索，从而帮助学生树立正确的数学观，但又与教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调“活动”的内化，即在头脑中实现必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数学思维，提高思维的效益。
2、设计背景传统的数学教学单调枯燥，脱离生活和学生实际，不利于学生个性和能力的发展。
在新课程标准的理念下，要突破传统，改变现状，创新教学方式，激发学生学习的兴趣，发展学生数学素质，既注重基础知识的巩固，更要注重学生思维和能力的发展，既要创新又要保证其科学有效，使学生在做学习的过程中体验快乐、形成能力、学会合作、体验自主。
3、教材的地位与作用本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上，学习等比数列n前项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关求和问题。
探索公式的推导、体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。
本节内容基础知识和基本技能非常重要，涉及的数学思想、方法较为丰富，因此是重点内容之一。
本设计是第一课时的教学内容。
二、学习目标：⑴知识与技能掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
⑵过程与方法通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。
⑶情感、态度与价值观通过对等比数列前n项和的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。
三、教学重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
四、教学难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
五、教学设想：本节课采用合作探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作讨论交流为前提，以探究“等比数列前n 项和”公式为活动内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对“等比数列前n 项和”的深入探讨。
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等比数列的前n项和
一、教学目标
1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。
3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。
二、教学重点与难点
重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
三、教学设想
本节课采用问题导学式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。
让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探
四、教学过程
（一）创设问题情景
课前给出复习：等比数列的定义及性质
课首给出引例：某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖房,可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个月（30天）内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,为了还本付息,建筑队第一天要向厂方返还1块砖,第二天返还2块砖,第三天返还4块砖,即每天返还的砖数是前一天的2倍,请问,假如你是建筑队队长,你会接受这个条件吗？请在座的同学思考讨论一下,建筑队长能否向砖厂借砖?
[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入
到研究者的角色中来！]
（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
学生直觉认为队长可以向砖厂借砖，教师引导学生自主探求，得出：
队长30天借到的砖：4652
30)301(3021'30=⨯+=+++= S （万） 队长需要还的砖：=++++=292302221 S ?
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]
教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探
究，
292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到
302923022222++++= S ②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
1073741823123030=-=S (分) ≈1073(万) ＞ 465（万）
答案:穷人不能向富人借钱
（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。
提出问题:如何推导等比数列前n 项和公式？（学生很自然地模仿
以上方法推导）
)1(11212111--+++++=n n n q a q a q a q a a S
)2(111211n n n q a q a q a q a qS ++++=-
（1）-（2）有n n q a a S q 11)1(-=-
推导等比数列前n 项和n S 的公式，教师引导讲完课本上的推导方法
后，
教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发
言）
⎪⎩
⎪⎨⎧≠--=--==1,11)1(1,111q q q a a q q a q na S n n n
学生A ： q a a a a a a n n ====-12312 q a a a a a a n n =++++++∴-1
2132 即 q a s a s n n n =--1)1(11≠--=∴q q q a a s n n 。
学生B ：
1
12111--++++=n n n q a q a q a a s
()()q
a qs a a s q a qs a q a q a a q a n n n n n n -+=-+=+=++++=--111
121111 q a a qs s n n n -=-∴1)1(11≠--=∴q q
q a a s n n [“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！
教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！ ]
【基础知识形成性练习】
1、求下列等比数列的各项和：
(1)1，3，9，…，2187 （2）512
1,,81,41,21,1--- 2、根据下列条件求等比数列{}n a 的前n 项和n S
①8,2,21===n q a ②2
1,2,81=
==n a q a (四)数学应用
例1 求等比数列1/2，1/4，1/8……的
(1)前8项的和;
(2)第四项到第八项的和
解 ：（1） 8,21,211===n q a
2562552
11)211(2
18=--=∴n S （2）5,16
1314===n q a a 256312
11)211(16
15'=--=∴S 例2：在等比数列{}n a 中，
（1）已知 ,2,41=-=q a 求n S
（2）已知 2,243,11===q a a k 求k S
[例1教师板演示范，强调解题的规范。
例2、例3学生分析解法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。
]
【演练反馈巩固性练习】
1、在等比数列{}n a 中，
①已知96,5.171-=-=a a ，求q 和n S
②已知,12,433==S a 求q 和1a
2、求数列)0(1132≠+++++-a a a a a n 的前n 项和。
[允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。
然后老师给出评价]
（六）布置作业
1、根据下列条件，求等比数列{}n a 的前n 项和n S
①: 6,2,31===n q a ②:
21,21,81==
=n a q a ③：4,00096.0,12.052===n a a ④:
,45,106431=
+=+a a a a 2、在等比数列{}n a 中，
①:已知26,231==S a ，求q 和n S
②:已知115,3032==S S ，求n S
3、在等比数列{}n a 中，已知60,482==n n S S ，求n S 3
[作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。
]
五、板书设计
六、教学后记
本节课授课对象为二（1）的学生，学习基础较好。
同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。
教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明（1）创设问题情景、布疑激趣（2）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型（3）探寻特例、提出猜想（4）数学应用（5）知识评估。
学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了公式并推导了公式，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。