广度优先搜索
信息学竞赛中的广度优先搜索算法
信息学竞赛中的广度优先搜索算法广度优先搜索（Breadth-First Search，BFS）是一种常用的图搜索算法，广泛应用于信息学竞赛中。
本文将介绍广度优先搜索算法的原理、应用场景以及实现方法。
一、算法原理广度优先搜索算法是一种基于队列的搜索算法，通过逐层扩展搜索的方式，从起始节点开始，依次遍历其邻接节点，然后依次遍历邻接节点的邻接节点，直到找到目标节点或遍历完所有节点为止。
该算法的基本过程如下：1. 创建一个队列，并将起始节点加入队列；2. 从队列中取出首个节点，并标记为已访问；3. 遍历该节点的邻接节点，若未被标记为已访问，则将其加入队列；4. 重复步骤2和步骤3，直到队列为空或找到目标节点。
广度优先搜索算法可以用来解决一些与图相关的问题，比如最短路径问题、连通性问题等。
二、应用场景广度优先搜索算法在信息学竞赛中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景。
1. 连通性问题：判断图中两个节点是否连通。
通过广度优先搜索，可以从起始节点开始遍历图，找到目标节点即可判断其连通性。
2. 最短路径问题：找到两个节点之间的最短路径。
广度优先搜索每一层的遍历都是从起始节点到目标节点的可能最短路径，因此可以通过记录路径长度和路径信息，找到最短路径。
3. 迷宫问题：求解迷宫中的最短路径。
迷宫可以看作是一个图，起始位置为起始节点，终点位置为目标节点，通过广度优先搜索可以找到迷宫中的最短路径。
4. 可达性问题：判断一个节点是否可达其他节点。
通过广度优先搜索，可以从起始节点开始遍历图，标记所有可达节点，然后判断目标节点是否被标记。
三、实现方法广度优先搜索算法的实现可以使用队列来辅助完成。
以下是一个基于队列的广度优先搜索算法的伪代码示例：```BFS(start, target):queue = [start] // 创建一个队列，并将起始节点加入队列visited = set() // 创建一个集合，用于标记已访问的节点while queue is not emptynode = queue.pop(0) // 从队列中取出首个节点visited.add(node) // 标记节点为已访问if node == targetreturn True // 找到目标节点，搜索结束for neighbor in node.neighbors // 遍历节点的邻接节点if neighbor not in visitedqueue.append(neighbor) // 将邻接节点加入队列return False // 队列为空，未找到目标节点```四、总结广度优先搜索算法在信息学竞赛中是一种常用的算法，它通过逐层遍历的方式，能够快速的找到目标节点或解决与图相关的问题。
广度优先搜索的原理及应用是什么
广度优先搜索的原理及应用是什么1. 原理广度优先搜索（Breadth-First Search, BFS）是一种图的遍历算法，它从图的起始顶点开始，逐层地向外探索，直到找到目标顶点或者遍历完整个图。
通过利用队列的数据结构，广度优先搜索保证了顶点的访问顺序是按照其距离起始顶点的距离递增的。
广度优先搜索的基本原理如下：1.选择一个起始顶点，将其加入一个待访问的队列（可以使用数组或链表实现）。
2.将起始顶点标记为已访问。
3.从队列中取出一个顶点，访问该顶点，并将其未访问过的邻居顶点加入队列。
4.标记访问过的邻居顶点为已访问。
5.重复步骤3和步骤4，直到队列为空。
广度优先搜索保证了先访问距离起始点近的顶点，然后才访问距离起始点远的顶点，因此可以用来解决一些问题，例如最短路径问题、连通性问题等。
2. 应用广度优先搜索在计算机科学和图论中有着广泛的应用，下面是一些常见的应用场景：2.1 最短路径问题广度优先搜索可以用来找出两个顶点之间的最短路径。
在无权图中，每条边的权值都为1，那么从起始顶点到目标顶点的最短路径就是通过广度优先搜索找到的路径。
2.2 连通性问题广度优先搜索可以用来判断两个顶点之间是否存在路径。
通过从起始顶点开始进行广度优先搜索，如果能够找到目标顶点，就说明两个顶点是连通的；如果搜索完成后仍然未找到目标顶点，那么两个顶点之间就是不连通的。
2.3 图的遍历广度优先搜索可以用来遍历整个图的顶点。
通过从起始顶点开始进行广度优先搜索，并在访问每个顶点时记录下访问的顺序，就可以完成对整个图的遍历。
2.4 社交网络分析广度优先搜索可以用来分析社交网络中的关系。
例如，在一个社交网络中，可以以某个人为起始节点，通过广度优先搜索找出与该人直接或间接连接的人，从而分析人际关系的密切程度、社区结构等。
2.5 网络爬虫广度优先搜索可以用来实现网络爬虫对网页的抓取。
通过从初始网页开始，一层层地向外发现新的链接，并将新的链接加入待抓取的队列中，从而实现对整个网站的全面抓取。
广度优先搜索
一:交通图问题
表示的是从城市A到城市H 表示的是从城市A到城市H的交通图。从图中可以 看出，从城市A到城市H 看出，从城市A到城市H要经过若干个城市。现要 找出一条经过城市最少的一条路线。
分析该题
分析：看到这图很容易想到用邻接距阵来表示，0 分析：看到这图很容易想到用邻接距阵来表示，0表示能 走，1表示不能走。如图5 走，1表示不能走。如图5。
用数组合表示 8个城市的相互 关系
procedure doit; begin h:=0; d:=1; a.city[1]:='A'; a.pre[1]:=0; s:=['A']; repeat {步骤2} {步骤 步骤2} inc(h); {队首加一，出队} {队首加一 出队} 队首加一， for i:=1 to 8 do {搜索可直通的城市} {搜索可直通的城市 搜索可直通的城市} if （ju[ord(a.city[h])-64,i]=0）and ju[ord(a.city[h])-64,i]=0） not（chr（i+64） s）） ））then {判断城市是否走 （not（chr（i+64） in s））then {判断城市是否走 过} begin inc(d); {队尾加一，入队} {队尾加一 入队} 队尾加一， a.city[d]:=chr(64+i); a.pre[d]:=h; s:=s+[a.city[d]]; if a.city[d]='H' then out; end; until h=d; end; begin {主程序} {主程序 主程序} doit; end. 输出： 输出： H-F--A --A
深度优先搜索: 深度优先搜索:状态树
深度优先搜索和广度优先搜索
深度优先搜索和⼴度优先搜索 深度优先搜索和⼴度优先搜索都是图的遍历算法。
⼀、深度优先搜索（Depth First Search） 1、介绍 深度优先搜索（DFS），顾名思义，在进⾏遍历或者说搜索的时候，选择⼀个没有被搜过的结点（⼀般选择顶点），按照深度优先，⼀直往该结点的后续路径结点进⾏访问，直到该路径的最后⼀个结点，然后再从未被访问的邻结点进⾏深度优先搜索，重复以上过程，直⾄所有点都被访问，遍历结束。
⼀般步骤：（1）访问顶点v；（2）依次从v的未被访问的邻接点出发，对图进⾏深度优先遍历；直⾄图中和v有路径相通的顶点都被访问；（3）若此时图中尚有顶点未被访问，则从⼀个未被访问的顶点出发，重新进⾏深度优先遍历，直到图中所有顶点均被访问过为⽌。
可以看出，深度优先算法使⽤递归即可实现。
2、⽆向图的深度优先搜索 下⾯以⽆向图为例，进⾏深度优先搜索遍历： 遍历过程： 所以遍历结果是：A→C→B→D→F→G→E。
3、有向图的深度优先搜索 下⾯以有向图为例，进⾏深度优先遍历： 遍历过程： 所以遍历结果为：A→B→C→E→D→F→G。
⼆、⼴度优先搜索（Breadth First Search） 1、介绍 ⼴度优先搜索（BFS）是图的另⼀种遍历⽅式，与DFS相对，是以⼴度优先进⾏搜索。
简⾔之就是先访问图的顶点，然后⼴度优先访问其邻接点，然后再依次进⾏被访问点的邻接点，⼀层⼀层访问，直⾄访问完所有点，遍历结束。
2、⽆向图的⼴度优先搜索 下⾯是⽆向图的⼴度优先搜索过程： 所以遍历结果为：A→C→D→F→B→G→E。
3、有向图的⼴度优先搜索 下⾯是有向图的⼴度优先搜索过程： 所以遍历结果为：A→B→C→E→F→D→G。
三、两者实现⽅式对⽐ 深度优先搜索⽤栈（stack）来实现，整个过程可以想象成⼀个倒⽴的树形：把根节点压⼊栈中。
每次从栈中弹出⼀个元素，搜索所有在它下⼀级的元素，把这些元素压⼊栈中。
并把这个元素记为它下⼀级元素的前驱。
广度优先和深度优先的例子
广度优先和深度优先的例子广度优先搜索(BFS)和深度优先搜索(DFS)是图遍历中常用的两种算法。
它们在解决许多问题时都能提供有效的解决方案。
本文将分别介绍广度优先搜索和深度优先搜索，并给出各自的应用例子。
一、广度优先搜索(BFS)广度优先搜索是一种遍历或搜索图的算法，它从起始节点开始，逐层扩展，先访问起始节点的所有邻居节点，再依次访问其邻居节点的邻居节点，直到遍历完所有节点或找到目标节点。
例子1：迷宫问题假设有一个迷宫，迷宫中有多个房间，每个房间有四个相邻的房间：上、下、左、右。
现在我们需要找到从起始房间到目标房间的最短路径。
可以使用广度优先搜索算法来解决这个问题。
例子2：社交网络中的好友推荐在社交网络中，我们希望给用户推荐可能认识的新朋友。
可以使用广度优先搜索算法从用户的好友列表开始，逐层扩展，找到可能认识的新朋友。
例子3：网页爬虫网页爬虫是搜索引擎抓取网页的重要工具。
爬虫可以使用广度优先搜索算法从一个网页开始，逐层扩展，找到所有相关的网页并进行抓取。
例子4：图的最短路径在图中，我们希望找到两个节点之间的最短路径。
可以使用广度优先搜索算法从起始节点开始，逐层扩展，直到找到目标节点。
例子5：推荐系统在推荐系统中，我们希望给用户推荐可能感兴趣的物品。
可以使用广度优先搜索算法从用户喜欢的物品开始，逐层扩展，找到可能感兴趣的其他物品。
二、深度优先搜索(DFS)深度优先搜索是一种遍历或搜索图的算法，它从起始节点开始，沿着一条路径一直走到底，直到不能再继续下去为止，然后回溯到上一个节点，继续探索其他路径。
例子1：二叉树的遍历在二叉树中，深度优先搜索算法可以用来实现前序遍历、中序遍历和后序遍历。
通过深度优先搜索算法，我们可以按照不同的遍历顺序找到二叉树中所有节点。
例子2：回溯算法回溯算法是一种通过深度优先搜索的方式，在问题的解空间中搜索所有可能的解的算法。
回溯算法常用于解决组合问题、排列问题和子集问题。
例子3：拓扑排序拓扑排序是一种对有向无环图(DAG)进行排序的算法。
广度优先搜索和深度优先搜索有何区别
广度优先搜索和深度优先搜索有何区别在计算机科学和算法领域中，广度优先搜索（BreadthFirst Search，简称 BFS）和深度优先搜索（DepthFirst Search，简称 DFS）是两种常见且重要的图或树的遍历算法。
它们在解决各种问题时都有着广泛的应用，但在搜索策略和特点上存在着显著的差异。
让我们先来了解一下广度优先搜索。
想象一下你正在一个迷宫中，你从入口开始，先探索与入口相邻的所有房间，然后再依次探索这些相邻房间相邻的房间，以此类推。
这就是广度优先搜索的基本思路。
广度优先搜索是以逐层的方式进行的。
它首先访问起始节点，然后依次访问起始节点的所有邻接节点，接着再访问这些邻接节点的邻接节点，就像在平静的湖面上泛起的层层涟漪。
这种搜索方式确保在访问更深层次的节点之前，先访问同一层次的所有节点。
在实现广度优先搜索时，通常会使用一个队列（Queue）数据结构。
将起始节点入队，然后循环取出队列头部的节点，并将其未访问过的邻接节点入队，直到队列为空。
这种方式保证了搜索的顺序是按照层次进行的。
广度优先搜索的一个重要应用是在寻找最短路径问题上。
因为它先访问距离起始节点近的节点，所以如果存在最短路径，它往往能够更快地找到。
例如，在地图导航中，要找到从一个地点到另一个地点的最短路线，广度优先搜索就可能是一个不错的选择。
接下来，我们看看深度优先搜索。
如果说广度优先搜索是逐层展开，那么深度优先搜索就像是一个勇敢的探险家，沿着一条路径一直走下去，直到走到尽头或者无法继续，然后才回溯并尝试其他路径。
深度优先搜索通过递归或者使用栈（Stack）来实现。
从起始节点开始，不断深入访问未访问过的邻接节点，直到无法继续，然后回溯到上一个未完全探索的节点，继续探索其他分支。
深度优先搜索在探索复杂的树形结构或者处理递归问题时非常有用。
比如在检查一个表达式是否合法、遍历一个复杂的文件目录结构等方面，深度优先搜索能够发挥其优势。
广度优先搜索算法利用广度优先搜索解决的最短路径问题
广度优先搜索算法利用广度优先搜索解决的最短路径问题广度优先搜索算法（BFS）是一种图算法，用于解决最短路径问题。
其主要思想是从起始节点开始，不断扩展和访问其邻居节点，直到找到目标节点或者遍历完所有节点。
BFS算法可以用于解决许多问题，其中包括最短路径问题。
下面将介绍广度优先搜索算法的基本原理及其应用于最短路径问题的具体步骤。
同时，通过示例来进一步说明算法的执行过程和实际应用。
一、广度优先搜索算法原理广度优先搜索算法是一种层次遍历的算法，它从起始节点开始，按照距离递增的顺序，依次遍历节点。
在遍历的过程中，任意两个节点之间的距离不超过2，因此，BFS算法可以用于求解最短路径问题。
二、广度优先搜索算法的具体步骤1. 创建一个队列，用于存储待访问的节点。
2. 将起始节点放入队列中，并将其标记为已访问。
3. 当队列不为空时，执行以下步骤：a. 从队列中取出一个节点。
b. 访问该节点，并根据需求进行相应操作。
c. 将该节点的所有未访问过的邻居节点放入队列中，并将它们标记为已访问。
d. 重复步骤a~c，直到队列为空。
4. 完成以上步骤后，如果找到目标节点，则算法终止；否则，表示目标节点不可达。
三、广度优先搜索算法在最短路径问题中的应用最短路径问题是指从一个节点到另一个节点的最短路径，其长度可以通过广度优先搜索算法得到。
考虑以下示例：假设有一个迷宫，迷宫由多个格子组成，其中一些格子是墙壁，不可通过，而其他格子可以自由通行。
任务是找到从起始格子到达目标格子的最短路径。
利用广度优先搜索算法解决最短路径问题的具体步骤如下：1. 创建一个队列，并将起始格子放入队列中。
2. 将起始格子标记为已访问。
3. 当队列不为空时，执行以下步骤：a. 从队列中取出一个格子。
b. 如果该格子是目标格子，则算法终止。
c. 否则，获取该格子的邻居格子，并将未访问过的邻居格子放入队列中。
d. 将该格子的邻居格子标记为已访问。
e. 重复步骤a~d，直到队列为空。
广度优先搜索优化方法
广度优先搜索优化方法广度优先搜索（BFS）是一种常用的图搜索算法，它从起始节点开始，逐层地遍历图中的节点，直到找到目标节点或者遍历完所有可达节点为止。
然而，在面对大规模图数据时，BFS可能会面临内存占用较大、计算效率较低的问题。
因此，为了提高BFS的性能，我们可以采用一些优化方法。
一、使用位图数据结构在BFS中，我们需要标记节点是否已经被访问过，以防止重复遍历和死循环。
传统的做法是使用一个数组或者哈希表来记录节点的访问状态，但是这样会消耗大量的内存空间。
为了减少内存开销，可以使用位图数据结构来代替数组或者哈希表。
位图只需要1比特的空间来表示一个节点的访问状态，相比之下，数组和哈希表需要更多的内存空间。
通过位图数据结构，可以大大降低内存占用量，从而提高BFS 算法的效率。
二、使用双端队列在BFS中，我们需要使用队列来保存待遍历的节点。
传统的做法是使用一个普通的队列数据结构，但是在一些场景下，普通队列的性能可能不够高。
为了提高性能，可以使用双端队列（deque）来代替普通队列。
双端队列支持在队列的两端进行插入和删除操作，相比之下，普通队列只支持在队尾插入和在队头删除。
通过使用双端队列，可以在需要的时候从队列的头部或者尾部插入和删除节点，从而提高BFS 算法的效率。
三、剪枝策略在BFS中，我们可能会遍历大量的节点，其中很多节点并不是我们要找的目标节点。
为了减少不必要的遍历，可以采用一些剪枝策略。
常见的剪枝策略包括：1. 判断节点是否满足某个条件，如果不满足，则不继续遍历下去；2. 判断节点是否已经被访问过，如果已经被访问过，则不继续遍历下去；3. 判断节点是否在禁止访问的列表中，如果在列表中，则不继续遍历下去。
通过采用合理的剪枝策略，可以减少无效的遍历，从而提高BFS算法的效率。
四、并行计算在面对大规模图数据时，BFS的计算过程可能非常耗时。
为了缩短计算时间，可以考虑采用并行计算的方式来进行BFS。
并行计算可以将大规模的计算任务划分成多个小任务，并行地进行计算。
广度优先搜索详解及应用场景
广度优先搜索详解及应用场景广度优先搜索（BFS）是一种图遍历算法，用于在图或树中遍历节点。
它从根节点开始，并按照离根节点的距离逐层访问节点，直到找到目标节点或遍历完整个图。
BFS算法采用队列数据结构来实现，它按照先进先出（FIFO）的原则遍历节点。
下面我们将详细介绍BFS的执行步骤，并探讨其应用场景。
1. 步骤：a. 创建一个空队列，并将根节点入队。
b. 从队列中取出第一个节点，并访问该节点。
c. 将该节点的所有未访问过的邻居节点入队。
d. 标记当前节点为已访问。
e. 重复步骤b-d，直到队列为空或者找到目标节点。
2. 应用场景：a. 最短路径：BFS可以用于寻找两个节点之间的最短路径。
在无权图中，BFS会按照距离逐层遍历，当找到目标节点时，路径的层数即为最短路径长度。
b. 连通性检测：BFS可以判断图中两个节点是否连通。
通过遍历所有节点，如果能够访问到目标节点，则说明两个节点是连通的。
c. 图的遍历：BFS可以用于遍历整个图的节点。
通过BFS算法，可以按照节点的层次顺序进行遍历，并获取图的结构信息。
d. 二叉树的层次遍历：BFS可用于二叉树的层次遍历，从上到下逐层访问二叉树的节点。
总结：广度优先搜索是一种有效的图遍历算法，通过队列实现节点的层次遍历。
它可以在图中寻找最短路径，判断节点的连通性，以及进行图的遍历和二叉树的层次遍历。
对于涉及层次关系和连通性的问题，BFS 是一种重要的算法工具。
通过掌握BFS算法的原理和应用场景，我们可以更好地应用它来解决实际问题。
在实际开发中，我们可以将BFS应用于推荐系统、社交网络分析、路径规划等领域，进一步提升算法的效率和准确性。
总之，广度优先搜索作为一种重要的图遍历算法，具有广泛的应用前景。
在日常的学习和实践中，我们应该深入理解BFS的原理，并善于运用它解决各种实际问题。
搜索算法二分查找深度优先搜索和广度优先搜索
搜索算法二分查找深度优先搜索和广度优先搜索搜索算法：二分查找、深度优先搜索和广度优先搜索引言：搜索算法是计算机科学中重要的算法之一，它用来在给定的数据集中查找特定的元素或解决某个问题。
本文将重点介绍三种常用的搜索算法：二分查找、深度优先搜索和广度优先搜索。
通过对这些算法的介绍，读者将了解它们的原理、特点以及应用场景，从而更好地理解搜索算法的工作原理及其在实际开发中的应用。
一、二分查找二分查找（Binary Search）是一种高效的查找算法，它适用于有序数组。
算法的基本思路是从数组的中间元素开始比较，如果要查找的元素小于中间元素，则去数组的左半部分继续查找，否则去数组的右半部分继续查找。
通过不断缩小查找范围，最终可以找到目标元素或确定目标元素不存在于数组中。
二、深度优先搜索深度优先搜索（Depth First Search，DFS）是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
它从起始节点开始，尽可能深地访问每个节点的未访问邻居，直到遇到无法继续前进的节点，然后回溯到上一个节点，继续深入访问其他未访问的节点，直到所有节点都被访问完毕。
DFS通常采用递归或栈的方式实现。
三、广度优先搜索广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）也是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
与深度优先搜索不同，BFS先访问起始节点的所有邻居节点，然后再访问邻居节点的邻居节点，依次向外拓展。
BFS通常采用队列的方式实现。
四、二分查找的应用场景1. 在有序数组中查找指定元素。
由于二分查找的时间复杂度为O(logN)，因此它在处理大规模数据集时非常高效。
例如，在一个包含百万个元素的数组中，通过二分查找可以迅速确定某个元素是否存在。
五、深度优先搜索的应用场景1. 图的遍历。
深度优先搜索可以用来遍历图的所有节点，查找特定节点或判断两个节点之间是否存在路径。
例如，可以使用DFS查找一个社交网络中与某个人关系最近的所有人。
六、广度优先搜索的应用场景1. 最短路径问题。
深度优先搜索和广度优先搜索
深度优先搜索和广度优先搜索深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是图论中常用的两种搜索算法。
它们是解决许多与图相关的问题的重要工具。
本文将着重介绍深度优先搜索和广度优先搜索的原理、应用场景以及优缺点。
一、深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种先序遍历二叉树的思想。
从图的一个顶点出发，递归地访问与该顶点相邻的顶点，直到无法再继续前进为止，然后回溯到前一个顶点，继续访问其未被访问的邻接顶点，直到遍历完整个图。
深度优先搜索的基本思想可用以下步骤总结：1. 选择一个初始顶点；2. 访问该顶点，并标记为已访问；3. 递归访问该顶点的邻接顶点，直到所有邻接顶点均被访问过。
深度优先搜索的应用场景较为广泛。
在寻找连通分量、解决迷宫问题、查找拓扑排序等问题中，深度优先搜索都能够发挥重要作用。
它的主要优点是容易实现，缺点是可能进入无限循环。
二、广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种逐层访问的思想。
从图的一个顶点出发，先访问该顶点，然后依次访问与该顶点邻接且未被访问的顶点，直到遍历完整个图。
广度优先搜索的基本思想可用以下步骤总结：1. 选择一个初始顶点；2. 访问该顶点，并标记为已访问；3. 将该顶点的所有邻接顶点加入一个队列；4. 从队列中依次取出一个顶点，并访问该顶点的邻接顶点，标记为已访问；5. 重复步骤4，直到队列为空。
广度优先搜索的应用场景也非常广泛。
在求最短路径、社交网络分析、网络爬虫等方面都可以使用广度优先搜索算法。
它的主要优点是可以找到最短路径，缺点是需要使用队列数据结构。
三、DFS与BFS的比较深度优先搜索和广度优先搜索各自有着不同的优缺点，适用于不同的场景。
深度优先搜索的优点是在空间复杂度较低的情况下找到解，但可能陷入无限循环，搜索路径不一定是最短的。
广度优先搜索能找到最短路径，但需要保存所有搜索过的节点，空间复杂度较高。
需要根据实际问题选择合适的搜索算法，例如在求最短路径问题中，广度优先搜索更加合适；而在解决连通分量问题时，深度优先搜索更为适用。
广度优先搜索的原理及应用
广度优先搜索的原理及应用一、原理介绍广度优先搜索（Breadth-First Search, BFS）是一种图搜索算法，也是图的遍历算法之一。
该算法从图的起始顶点开始，依次访问其邻接顶点，再依次访问邻接顶点的邻接顶点，直到访问完所有可以访问到的顶点为止。
通过使用队列（Queue）来辅助实现，可确保访问顺序符合广度优先的原则。
广度优先搜索的核心思想是先访问距离起始顶点最近的顶点，在逐渐扩展距离起点更远的顶点。
在实际应用中，广度优先搜索常用于解决以下问题：1.寻找最短路径，即在图中寻找从起点到终点的最短路径。
2.检测图中是否存在环，即判断图是否为无环图。
3.求解迷宫问题，即通过搜索寻找从起点到终点的路径。
二、应用场景广度优先搜索在许多领域都有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 搜索引擎搜索引擎使用广度优先搜索算法来遍历网页的链接，以便建立网页的链接图。
通过这个链接图，搜索引擎可以更快地找到与特定关键词相关的网页。
2. 社交网络社交网络中的好友关系可以被看作是一个图，通过广度优先搜索可以找到与某个人距离为2的好友，即朋友的朋友。
这种应用可以用于推荐朋友、推荐加入群组等场景。
3. 迷宫求解广度优先搜索算法也可以用于解决迷宫问题。
迷宫可以看作是一个二维的网格图，每个格子可以表示一个状态。
通过广度优先搜索，可以找到从迷宫的起点到终点的最短路径，从而解决迷宫问题。
4. 规划问题在规划问题中，广度优先搜索可以用于找到最优解。
比如，在旅行销售员问题中，我们可以使用广度优先搜索算法来找到销售员需要走的最短路径。
三、算法步骤广度优先搜索的算法步骤如下：1.初始化队列，并将起始顶点入队。
2.将起始顶点标记为已访问。
3.取出队首顶点，访问该顶点，并将其未访问的邻接顶点入队。
4.如果队列不为空，重复步骤3；否则搜索结束。
四、实例演示下面通过一个实例来演示广度优先搜索的过程。
假设有以下一个图：图：A -- B| |C -- D| \\ |E -- F现在以A为起点，来进行广度优先搜索。
广度优先搜索详解
广度优先搜索详解广度优先搜索（Breadth First Search，简称BFS）是一种重要的图遍历算法，常用于解决图中的可达性问题或路径搜索问题。
本文将详细介绍广度优先搜索算法的原理、应用场景和实现步骤，并结合示例来帮助读者更好地理解和掌握这一算法。
一、算法原理广度优先搜索算法是一种基于图的搜索策略，采用了“先搜遍历起始节点的所有相邻节点，再搜索遍历这些节点的相邻节点，依此类推”的方式，以广度优先的方式逐层遍历整个图结构。
具体来说，广度优先搜索算法通过使用队列（Queue）这种数据结构来实现，将起始节点放入队列中，然后从队列中依次取出节点，并将其所有相邻节点加入队列中。
这样，一层一层地遍历直到队列为空。
二、应用场景广度优先搜索算法在很多领域都有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 最短路径问题：广度优先搜索算法可以用来确定两个节点之间的最短路径。
通过在遍历过程中记录路径信息，可以找到从起始节点到目标节点的最短路径。
2. 连通性问题：广度优先搜索算法可以用来判断两个节点之间是否存在路径。
如果两个节点可以通过广度优先搜索遍历到的路径相连，则它们之间存在路径。
3. 图的遍历：广度优先搜索算法可以用来遍历整个图结构，查找图中的特定节点或执行某种操作。
三、算法实现步骤下面是广度优先搜索算法的实现步骤：1. 创建一个队列，并将起始节点放入队列中。
2. 创建一个集合，用于记录已访问过的节点。
3. 循环执行以下操作，直到队列为空：a) 从队列中取出一个节点。
b) 如果该节点已经被访问过，则跳过该节点。
c) 将该节点标记为已访问，并将其所有相邻未访问过的节点加入队列中。
4. 遍历结束后，已访问过的节点集合即为广度优先搜索的结果。
四、示例说明为了更好地理解广度优先搜索算法的实现过程，下面以一个简单的图结构为例进行说明。
假设有如下图所示的图结构：（这里省略了图的具体形状，用文字描述）A——B——C——D——E| |F G根据广度优先搜索算法的步骤，我们可以按照以下流程进行遍历：1. 将起始节点A放入队列中。
bfs和dfs算法
bfs和dfs算法BFS（Breadth-First Search，广度优先搜索）和DFS （Depth-First Search，深度优先搜索）是两种常用的图搜索算法。
它们的主要区别在于访问节点的顺序不同。
BFS（广度优先搜索）BFS从图的某一节点（源节点）出发，首先访问该节点的所有未访问过的邻居节点，然后对每个邻居节点，再访问它们各自的未访问过的邻居节点，如此类推，直到所有的节点都被访问过。
BFS使用队列来保存待访问的节点，队列的先进先出（FIFO）特性保证了先访问的节点先被处理，后访问的节点后被处理，即按照广度优先的顺序进行搜索。
DFS（深度优先搜索）DFS也从图的某一节点（源节点）出发，但它首先访问该节点的任意一个未访问过的邻居节点，然后对这个邻居节点进行同样的操作，即再访问它的任意一个未访问过的邻居节点，如此类推，直到当前节点没有未访问过的邻居节点为止。
此时，DFS返回上一级节点，再尝试访问它的其他未访问过的邻居节点，直到所有节点都被访问过。
DFS使用栈来保存待访问的节点，栈的后进先出（LIFO）特性保证了先访问的节点后被处理，后访问的节点先被处理，即按照深度优先的顺序进行搜索。
应用BFS和DFS都有各自的应用场景。
例如，在解决图的连通性问题时，BFS和DFS都可以用来判断图是否是连通的。
在寻找最短路径时，BFS可以用来解决无权图的单源最短路径问题（例如，广度优先搜索算法可以用来实现图的Floyd-Warshall算法）。
DFS则可以用来解决树的深度、图的直径等问题。
此外，DFS还可以用于图的遍历、拓扑排序等任务。
总结BFS和DFS的主要区别在于访问节点的顺序不同，这导致它们在处理某些问题时具有不同的优势和劣势。
因此，在选择使用哪种算法时，需要根据具体问题的特点进行决策。
深度优先搜索和广度优先搜索的比较和应用场景
深度优先搜索和广度优先搜索的比较和应用场景在计算机科学中，深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种常用的图搜索算法。
它们在解决许多问题时都能够发挥重要作用，但在不同的情况下具有不同的优势和适用性。
本文将对深度优先搜索和广度优先搜索进行比较和分析，并讨论它们在不同应用场景中的使用。
一、深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种通过遍历图的深度节点来查找目标节点的算法。
它的基本思想是从起始节点开始，依次遍历该节点的相邻节点，直到到达目标节点或者无法继续搜索为止。
如果当前节点有未被访问的相邻节点，则选择其中一个作为下一个节点继续进行深度搜索；如果当前节点没有未被访问的相邻节点，则回溯到上一个节点，并选择其未被访问的相邻节点进行搜索。
深度优先搜索的主要优势是其在搜索树的深度方向上进行，能够快速达到目标节点。
它通常使用递归或栈数据结构来实现，代码实现相对简单。
深度优先搜索适用于以下情况：1. 图中的路径问题：深度优先搜索能够在图中找到一条路径是否存在。
2. 拓扑排序问题：深度优先搜索能够对有向无环图进行拓扑排序，找到图中节点的一个线性排序。
3. 连通性问题：深度优先搜索能够判断图中的连通分量数量以及它们的具体节点组合。
二、广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种通过遍历图的广度节点来查找目标节点的算法。
它的基本思想是从起始节点开始，先遍历起始节点的所有相邻节点，然后再遍历相邻节点的相邻节点，以此类推，直到到达目标节点或者无法继续搜索为止。
广度优先搜索通常使用队列数据结构来实现。
广度优先搜索的主要优势是其在搜索树的广度方向上进行，能够逐层地搜索目标节点所在的路径。
它逐层扩展搜索，直到找到目标节点或者遍历完整个图。
广度优先搜索适用于以下情况：1. 最短路径问题：广度优先搜索能够在无权图中找到起始节点到目标节点的最短路径。
2. 网络分析问题：广度优先搜索能够在图中查找节点的邻居节点、度数或者群组。
三、深度优先搜索和广度优先搜索的比较深度优先搜索和广度优先搜索在以下方面有所不同：1. 搜索顺序：深度优先搜索按照深度优先的顺序进行搜索，而广度优先搜索按照广度优先的顺序进行搜索。
C++算法-8.广度优先搜索
【深搜参考程序】 #include <iostream> using namespace std; int n,m,desx,desy,soux,souy,totstep,a[51],b[51],map[51][51]; bool f; int move(int x, int y,int step) { map[x][y]=step; //走一步，作标记，把步数记下来 a[step]=x; b[step]=y; //记路径 if ((x==desx)&&(y==desy)) { f=1; totstep=step; } else { if ((y!=m)&&(map[x][y+1]==0)) move(x,y+1,step+1); //向右 if ((!f)&&(x!=n)&&(map[x+1][y]==0)) move(x+1,y,step+1); //往下 if ((!f)&&(y!=1)&&(map[x][y-1]==0)) move(x,y-1,step+1); //往左 if ((!f)&&(x!=1)&&(map[x-1][y]==0)) move(x-1,y,step+1); //往上 } }
【例4】迷宫问题 如下图所示，给出一个N*M的迷宫图和一个入口、一个出口。 编一个程序，打印一条从迷宫入口到出口的路径。这里黑色方块的单 元表示走不通（用-1表示），白色方块的单元表示可以走（用0表示）。只 能往上、下、左、右四个方向走。如果无路则输出“no way.”。 入口 → 0 -1 0 0 0 0 0 0 -1
广度优先搜索算法
广度优先搜索算法广度优先搜索算法一、引言算法是计算机科学中的重要概念之一。
算法就是一组完成特定任务的行动步骤，它是计算机科学中的一种数学思想和抽象方法。
算法的复杂度可以评估时间和空间的消耗成本。
在算法的基础上，搜索算法是一种常用的技术，它旨在找到给定目标的解决方案。
广度优先搜索算法是搜索算法中常用的一种方法，本文就介绍广度优先搜索算法的基本原理、算法实现等内容。
二、广度优先搜索算法的定义广度优先搜索算法（breadth first search algorithm）是一种图形搜索算法，通常用于图形或树数据结构中对所有可能的节点遍历和搜索。
在广度优先搜索算法中，所有的节点都会被遍历和搜索，遍历和搜索的先后顺序是一层一层向下遍历。
例如，给定一棵树，从根开始按照先左后右的顺序一层一层遍历该树，就是一种广度优先搜索算法。
三、广度优先搜索算法的实现广度优先搜索算法的实现主要由以下三个步骤组成：1.定义一个队列。
队列用来存储当前还没有被遍历和搜索的节点。
初始状态下，队列只有根节点。
2.取出队列的第一个元素，并检查它所有的未访问邻居（也就是它的子节点）。
将这些邻居添加到队列末尾。
3.重复第二步，直到队列为空。
这意味着搜索已经完成，所有的节点都被遍历和搜索了。
实现广度优先搜索算法的一个关键点是如何存储节点的邻居。
一个简单的解决方法是使用邻接矩阵和邻接表，这样可以快速访问节点的邻居。
在邻接表中，每个节点具有一个包含它邻居的链表或向量，并提供查询一个节点的邻居列表的方法。
四、广度优先搜索算法的应用广度优先搜索算法在计算机科学和工程中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1.迷宫问题。
广度优先搜索算法可以用于解决迷宫问题，在迷宫中按照固定的方向朝着出口前进。
2.游戏AI。
广度优先搜索算法可以用于设计游戏AI，让游戏人物根据任务需求进行移动。
3.图像处理。
广度优先搜索算法在图像处理中也有着广泛的应用，比如像素聚类、图像分割等。
广度优先搜索算法
广度优先搜索算法广度优先搜索算法是一种常用的图搜索算法，其核心思想是从给定的图中找出所有可达到的节点，且按照距离源节点的距离依次访问。
本文将简要介绍广度优先搜索算法的原理及其在实际应用中的使用。
一、算法原理广度优先搜索算法使用队列来辅助实现。
首先，将起始节点加入队列中，并将其标记为已访问。
然后，以队列为基础进行迭代，每次取出队列的头部元素，并访问其相邻节点。
若该节点未被访问过，则将其加入队列末尾，并标记为已访问。
如此反复，直到队列为空，即完成了对图中所有可达节点的搜索。
二、算法应用1. 图的遍历广度优先搜索算法可以应用于图的遍历问题。
通过遍历整个图，可以找到图中所有节点，并按照一定的顺序进行访问。
这在路径搜索、网络分析等领域具有重要的应用价值。
2. 最短路径问题广度优先搜索算法可以解决带权图中的最短路径问题。
通过记录距离源节点的距离，并在扩展节点时更新距离值，可以找到源节点到目标节点的最短路径。
这在地图导航、网络路由等领域得到广泛应用。
3. 连通性检测广度优先搜索算法可以用于检测图中的连通性。
通过从一个节点开始进行广度优先搜索，若最终访问到的节点数量等于图中的节点总数，则说明图是连通的；否则，图是不连通的。
这对于网络拓扑分析、社交网络分析等具有重要意义。
三、算法优势广度优先搜索算法具有以下几个优势：1. 算法的鲁棒性强：广度优先搜索算法不受图中路径的选择和权重的影响，能够找到图中的所有可达节点。
2. 算法的可预测性好：广度优先搜索算法访问节点的顺序是可预测的，从而有效地进行路径规划和决策。
3. 算法的时间复杂度低：在保证搜索所有节点的前提下，广度优先搜索算法具有较低的时间复杂度，能够高效地完成搜索任务。
四、算法实现步骤广度优先搜索算法的实现步骤如下：1. 创建一个队列，并将起始节点加入队列中。
2. 标记起始节点为已访问。
3. 当队列不为空时，执行以下步骤：- 取出队列的头部元素，并访问该节点。
- 遍历该节点的相邻节点，若某个相邻节点未被访问过，则将其加入队列末尾，并标记为已访问。
数据结构之的遍历深度优先搜索和广度优先搜索的实现和应用
数据结构之的遍历深度优先搜索和广度优先搜索的实现和应用深度优先搜索和广度优先搜索是数据结构中重要的遍历算法，它们在解决各种问题时起着关键作用。
本文将介绍深度优先搜索和广度优先搜索的实现方法以及它们的应用。
一、深度优先搜索的实现和应用深度优先搜索（Depth First Search，DFS）是一种用于图或树的遍历算法。
它的基本思想是从起始节点开始，一直沿着某一分支深入直到不能再深入为止，然后回溯到前一个节点，再沿另一分支深入，直到遍历完所有节点。
深度优先搜索可以通过递归或者栈来实现。
在实现深度优先搜索时，可以采用递归的方式。
具体的实现步骤如下：1. 创建一个访问数组，用于标记节点是否已经被访问过。
2. 从起始节点开始，将其标记为已访问。
3. 遍历当前节点的邻接节点，对于每个邻接节点，如果该节点未被访问过，则递归调用深度优先搜索函数。
4. 重复步骤3，直到所有节点都被访问过。
深度优先搜索的应用非常广泛，以下是几个常见的应用场景：1. 图的连通性判断：深度优先搜索可以用于判断图中的两个节点是否连通。
2. 拓扑排序：深度优先搜索可以用于对有向无环图进行拓扑排序，即按照一种特定的线性顺序对节点进行排序。
3. 岛屿数量计算：深度优先搜索可以用于计算给定矩阵中岛屿的数量，其中岛屿由相邻的陆地单元组成。
二、广度优先搜索的实现和应用广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）是一种用于图或树的遍历算法。
它的基本思想是从起始节点开始，逐层遍历，先访问当前节点的所有邻接节点，然后再依次访问下一层的节点，直到遍历完所有节点。
广度优先搜索可以通过队列来实现。
在实现广度优先搜索时，可以采用队列的方式。
具体的实现步骤如下：1. 创建一个访问数组，用于标记节点是否已经被访问过。
2. 创建一个空队列，并将起始节点入队。
3. 当队列不为空时，取出队首节点，并标记为已访问。
4. 遍历当前节点的邻接节点，对于每个邻接节点，如果该节点未被访问过，则将其入队。
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广度优先搜索（BFS）算法宽度优先搜索算法（又称广度优先搜索）是最简便的图的搜索算法之一，这一算法也是很多重要的图的算法的原型。
Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法都采用了和宽度优先搜索类似的思想。
已知图G=(V,E)和一个源顶点s，宽度优先搜索以一种系统的方式探寻G的边，从而“发现”s所能到达的所有顶点，并计算s到所有这些顶点的距离(最少边数)，该算法同时能生成一棵根为s且包括所有可达顶点的宽度优先树。
对从s可达的任意顶点v，宽度优先树中从s到v的路径对应于图G中从s到v的最短路径，即包含最小边数的路径。
该算法对有向图和无向图同样适用。
之所以称之为宽度优先算法，是因为算法自始至终一直通过已找到和未找到顶点之间的边界向外扩展，就是说，算法首先搜索和s距离为k的所有顶点，然后再去搜索和S距离为k+l的其他顶点。
为了保持搜索的轨迹，宽度优先搜索为每个顶点着色：白色、灰色或黑色。
算法开始前所有顶点都是白色，随着搜索的进行，各顶点会逐渐变成灰色，然后成为黑色。
在搜索中第一次碰到一顶点时，我们说该顶点被发现，此时该顶点变为非白色顶点。
因此，灰色和黑色顶点都已被发现，但是，宽度优先搜索算法对它们加以区分以保证搜索以宽度优先的方式执行。
若(u,v)∈E且顶点u为黑色，那么顶点v要么是灰色，要么是黑色，就是说，所有和黑色顶点邻接的顶点都已被发现。
灰色顶点可以与一些白色顶点相邻接，它们代表着已找到和未找到顶点之间的边界。
在宽度优先搜索过程中建立了一棵宽度优先树，起始时只包含根节点，即源顶点s.在扫描已发现顶点u的邻接表的过程中每发现一个白色顶点v，该顶点v及边(u,v)就被添加到树中。
在宽度优先树中，我们称结点u是结点v的先辈或父母结点。
因为一个结点至多只能被发现一次，因此它最多只能有--个父母结点。
相对根结点来说祖先和后裔关系的定义和通常一样：如果u处于树中从根s到结点v 的路径中，那么u称为v的祖先，v是u的后裔。
下面的宽度优先搜索过程BFS假定输入图G=(V,E)采用邻接表表示，对于图中的每个顶点还采用了几种附加的数据结构，对每个顶点u∈V，其色彩存储于变量color[u]中，结点u的父母存于变量π[u]中。
如果u没有父母(例如u=s或u 还没有被检索到)，则π[u]=NIL，由算法算出的源点s和顶点u之间的距离存于变量d[u]中，算法中使用了一个先进先出队列Q来存放灰色节点集合。
其中head[Q]表示队列Q的队头元素，Enqueue(Q,v)表示将元素v入队，Dequeue(Q)表示对头元素出队；Adj[u]表示图中和u相邻的节点集合。
procedure BFS(G,S);begin1. for 每个节点u∈V[G]-{s} dobegin2. color[u]←White;3. d[u]←∞;4. π[u]←NIL;end;5. color[s]←Gray;6. d[s]←0;7. π[s]←NIL;8. Q←{s}9. while Q≠φ dobegin10. u←head[Q];11. for 每个节点v∈Adj[u] do12. if color[v]=White thenbegin13. color[v]←Gray;14. d[v]←d[v]+1;15. π[v]←u;16. Enqueue(Q,v);end;17. Dequeue(Q);18. color[u]←Black;end;end;图1展示了用BFS在例图上的搜索过程。
黑色边是由BFS产生的树枝。
每个节点u内的值为d[u]，图中所示的队列Q是第9-18行while循环中每次迭代起始时的队列。
队列中每个结点下面是该结点与源结点的距离。
图1 BFS在一个无向图上的执行过程过程BFS按如下方式执行，第1-4行置每个结点为白色，置d[u]为无穷大，每个结点的父母置为NIL，第5行置源结点S为灰色，即意味着过程开始时源结点已被发现。
第6行初始化d[s]为0，第7行置源结点的父母结点为NIL，第8行初始化队列0，使其仅含源结点s，以后Q队列中仅包含灰色结点的集合。
程序的主循环在9-18行中，只要队列Q中还有灰色结点，即那些已被发现但还没有完全搜索其邻接表的结点，循环将一直进行下去。
第10行确定队列头的灰色结点为u。
第11-16行的循环考察u的邻接表中的每一个顶点v。
如果v是白色结点，那么该结点还没有被发现过，算法通过执行第13-16行发现该结点。
首先它被置为灰色，距离d[v]置为d[u]+1，而后u被记为该节点的父母，最后它被放在队列Q的队尾。
当结点u的邻接表中的所有结点都被检索后，第17-18行使u弹出队列并置成黑色。
分析在证明宽度优先搜索的各种性质之前，我们先做一些相对简单的工作——分析算法在图G=(V,E)之上的运行时间。
在初始化后，再没有任何结点又被置为白色。
因此第12行的测试保证每个结点至多只能迸人队列一次，因而至多只能弹出队列一次。
入队和出队操作需要O(1)的时间，因此队列操作所占用的全部时间为O(V)，因为只有当每个顶点将被弹出队列时才会查找其邻接表，因此每个顶点的邻接表至多被扫描一次。
因为所有邻接表的长度和为Q(E)，所以扫描所有邻接表所花费时间至多为O(E)。
初始化操作的开销为O(V)，因此过程BFS的全部运行时间为O(V+E)，由此可见，宽度优先搜索的运行时间是图的邻接表大小的一个线性函数。
最短路径在本部分的开始，我们讲过，对于一个图G=(V,E)，宽度优先搜索算法可以得到从已知源结点s∈V到每个可达结点的距离，我们定义最短路径长度δ(s,v)为从顶点s到顶点v的路径中具有最少边数的路径所包含的边数，若从s到v没有通路则为∞。
具有这一距离δ(s,v)的路径即为从s到v的最短路径（后文我们将把最短路径推广到赋权图，其中每边都有一个实型的权值，一条路径的权是组成该路径所有边的权值之和，目前讨论的图都不是赋权图）。
在证明宽度优先搜索计算出的就是最短路径长度之前，我们先看一下最短路径长度的一个重要性质。
引理1设G=(V,E)是一个有向图或无向图，s∈V为G的任意一个结点，则对任意边(u,v)∈E,δ(s,v)≤δ(s,u)+1证明:如果从顶点s可达顶点u，则从s也可达v。
在这种情况下从s到v的最短路径不可能比从s到u的最短路径加上边(u,v)更长，因此不等式成立；如果从s不可达顶点u，则δ(s,v)=∞，不等式仍然成立。
我们试图说明对每个顶点v∈V，BFS过程算出的d[v]=δ(s,v)，下面我们首先证明d[v]是δ(s,v)的上界。
引理2设G=(V,E)是一个有向或无向图，并假设算法BFS从G中一已知源结点s∈V 开始执行，在执行终止时，对每个顶点v∈V，变量d[v]的值满足：d[v]≥δ(s,v)。
证明:我们对一个顶点进入队列Q的次数进行归纳，我们归纳前假设在所有顶点v∈V，d[v]≥δ(s,v)成立。
归纳的基础是BFS过程第8行当结点s被放入队列Q后的情形，这时归纳假设成立，因为对于任意结点v∈V-{s},d[s]=0=δ(s,s)且d[v]=∞≥δ(s,v)。
然后进行归纳，考虑从顶点u开始的搜索中发现一白色顶点v，按归纳假设，d[u]≥δ(s,u)。
从过程第14行的赋值语句以及引理1可知d[v]=d[u]+1≥δ(s,u)+1≥δ(s,v)然后，结点v被插入队列Q中。
它不会再次被插入队列，因为它已被置为灰色，而第13-16行的then子句只对白色结点进行操作，这样d[v]的值就不会改变，所以归纳假设成立。
为了证明d[v]=δ(s,v)，首先我们必须更精确地展示在BFS执行过程中是如何对队列进行操作的，下面一个引理说明无论何时，队列中的结点至多有两个不同的d值。
引理3假设过程BFS在图G=(V,E)之上的执行过程中，队列Q包含如下结点<v1,v2,...,v r>，其中v1是队列Q的头，v r是队列的尾，则d[v i]≤d[v1]+1且d[v i]≤d[v i+1], i=1,2,..,r-1。
证明:证明过程是对队列操作的次数进行归纳。
初始时，队列仅包含顶点s，引理自然正确。
下面进行归纳，我们必须证明在压入和弹出一个顶点后引理仍然成立。
如果队列的头v1被弹出队列，新的队头为v2(如果此时队列为空，引理无疑成立)，所以有d[v r]≤d[v1]+1≤d[v2]+1，余下的不等式依然成立，因此v2为队头时引理成立。
要插入一个结点入队列需仔细分析过程BFS，在BFS的第16行，当顶点v加入队列成为v r+1时，队列头v1实际上就是正在扫描其邻接表的顶点u，因此有d[v r+1]=d[v]=d[u]+1=d[v1]+1，这时同样有d[v r]≤d[v1]+1=d[u]+1=d[v]=d[v r+1]，余下的不等式d[v r]≤d[v r+1]仍然成立，因此当结点v插入队列时引理同样正确。
现在我们可以证明宽度优先搜索算法能够正确地计算出最短路径长度。
定理1 宽度优先搜索的正确性设G=(V,E)是一个有向图或无向图，并假设过程BFS从G上某顶点s∈V开始执行，则在执行过程中，BFS可以发现源结点s可达的每一个结点v∈V，在运行终止时，对任意v∈V,d[v]=δ(s,v)。
此外，对任意从s可达的节点v≠s，从s到v的最短路径之一是从s到π[v]的最短路径再加上边(π[v],v)。
证明:我们先证明结点v是从s不可达的情形。
由引理2，d[v]≥δ(s,v)=∞，根据过程第14行，顶点v不可能有一个有限的d[v]值，由归纳可知，不可能有满足下列条件的第一个顶点存在：该顶点的d值被过程的第14行语句置为∞，因此仅对有有限d值的顶点，第14行语句才会被执行。
所以若v是不可达的话，它将不会在搜索中被发现。
证明主要是对由s可达的顶点来说的。
设V k表示和s距离为k的顶点集合，即V k={v∈V:δ(s,v)=k}。
证明过程为对k进行归纳。
作为归纳假设，我们假定对于每一个顶点v∈V k，在BFS的执行中只有某一特定时刻满足：▪结点v为灰色；▪d[v]被置为k；▪如果v≠s，则对于某个u∈V k-1，π[v]被置为u；▪v被插入队列Q中；正如我们先前所述，至多只有一个特定时刻满足上述条件。
归纳的初始情形为k=0，此时V0={s}，因为显然源结点s是唯一和s距离为0的结点，在初始化过程中，s被置为灰色，d[s]被置为0，且s被放人队列Q中，所以归纳假设成立。
下面进行归纳，我们须注意除非到算法终止，队列Q不为空，而且一旦某结点u 被插入队列，d[u]和π[u]都不再改变。
根据引理3可知如果在算法过程中结点按次序v1,v2,...,v r被插入队列，那么相应的距离序列是单调递增的：d[v i]≤d[v i+1]，i=1,2,...,r-1。