高中数学选修1-2《2.1.1合情推理》课件
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课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
第1课时 归纳推理
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】 1．了解合情推理的含义，能利用归纳法进行简单的推理． 2．体会并认识合情推理在数学发现中的作用． 【核心扫描】 1．对归纳推理的理解．(重点) 2．能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)
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(2)由 a1＝S1＝12a1＋a11得，a1＝a11， 又 a1＞0，所以 a1＝1. 当 n≥2 时，将 Sn＝12an＋a1n， Sn－1＝12an－1＋an1－1的左右两边分别相减得 an＝12an＋a1n－12an－1＋an1－1， 整理得 an－a1n＝－an－1＋an1－1，
【变式2】 平面内有n(n≥1)条直线，任意两条直线不平行，任意三 条直线不过同一点，用f(n)表示这n条直线把平面分成的区域 的个数，试猜想f(n)的表达式(用n表示)，给出证明． 解 如图所示，f(1)＝2， f(2)＝4＝f(1)＋2， f(3)＝7＝f(2)＋3， f(4)＝11＝f(3)＋4， f(5)＝16＝f(4)＋5， 由此猜想f(n)＝f(n－1)＋n.
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2．归纳推理的一般步骤 (1)通过对有限资料进行观察、分析，发现某些相同性质．一般 地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一 般性命题就越可能为真． (2)猜想：在以上基础上提出带有规律性的结论． (3)检验：检验猜想．
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将 f(2)－f(1)＝2， f(3)－f(2)＝3， f(4)－f(3)＝4， f(5)－f(4)＝5，… f(n)－f(n－1)＝n 相加， 得 f(n)＝f(1)＋2＋3＋…＋n＝n2＋2n＋2.
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题型三 归纳推理的应用
2．归纳推理的前提条件是什么？归纳所得的结论有什么要求？ 提示 有几个已知的特殊现象，结论是未知的一般现象，该结 论应该超越前提所包含的范围．
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名师点睛 归纳推理 1．归纳推理的特点 (1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该 结论超越了前提所包含的范围． (2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实 践检验，即结论不一定可靠． (3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜 想可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问 题．
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活页规范训练
规律方法 虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所 具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学的发 现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作出归纳整理，提 出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一．
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【变式 1】 (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝22＋anan，n∈N*，猜想 这个数列的通项公式． (2)已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn，满足 Sn＝12an＋a1n(n∈ N*)，求出 a1，a2，a3，并推测 an 的表达式． 解 (1)在{an}中，a1＝1，a2＝22＋a1a1＝23， a3＝2＋2aa2 2＝24，a4＝22＋a3a3＝25，…， 所以猜想{an}的通项公式 an＝n＋2 1.
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方法技巧 归纳推理在数式中的应用
【示例】 (2012·汕头模拟)观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4
＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一
般结论是
( )．
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
【例3】 观察如图所示的“三角数阵”
1
…………第1行
22
…………第2行
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…………第3行
4774
…………第4行
5 11 14 11 5
…………第5行
…………
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记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵” 的特征，完成下列各题： (1) 第 6 行 的 6 个 数 依 次 为 ________ 、 ________ 、 ________ 、 ________、________、________； (2)依次写出a2、a3、a4、a5； (3)归纳出an＋1与an的关系式．
上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．
(1)6,16,25,25,16,6
(4分)
(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11 (3)∵a3＝a2＋2， a4＝a3＋3，a5＝a4＋4 由此归纳：an＋1＝an＋n.
(8分) (12分)
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【题后反思】 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数 的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规 律，问题即可迎刃而解．
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(3)∵2 Sn＝an＋1， ∴2 S1＝a1＋1， 即 2 a1＝a1＋1，∴a1＝1. 又 2 S2＝a2＋1， ∴2 a1＋a2＝a2＋1， ∴a22－2a2－3＝0. ∵对一切的 n∈N*，an>0，∴a2＝3. 同理可求得 a3＝5，a4＝7， 猜想出 an＝2n－1(n∈N*)．
题型一 归纳推理在数列中的应用 【例 1】 根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归纳猜想它的
通项公式． (1)a1＝3，an＋1＝2an＋1； (2)a1＝a，an＋1＝2－1 an； (3)对一切的 n∈N*，an>0，且 2 Sn＝an＋1.
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[思路探索] 根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然
后总结归纳其中的规律，写出其通项． 解 (1)由已知可得a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想an＝2n＋1－1，n∈N*.
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(2)由已知可得 a1＝a， a2＝2－1a1＝2－1 a， a3＝2－1 a2＝32－－2aa， a4＝2－1 a3＝34－ －23aa. 猜想 an＝n－n－1－n－n1－a2a(n∈N*)．
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
[思路分析] 观察数式的结构特点，提炼出数式的变化规律，
运用归纳推理写出一般结论．
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解析 通过观察可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式 子的第一个数是2，…故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中 有1个数，第二个式子中有3个数相加，…故第n个式子中有2n－1 个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3 的平方，…第n个式子的结果应该是2n－1的平方，故可以得到n＋ (n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 答案 B
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(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于 它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果． (2)由数阵可直接写出答案． (3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．
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[规范解答] 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它
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自学导引 归纳推理的概念 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的 全部对象 都 具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出 一般结论的推理．
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想一想：1.归纳推理的结论一定正确吗？ 提示 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结 论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正 确．
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所以 a2－a12＝－2，即 a22＋2a2＋1＝2， 又 a2＞0，所以 a2＝ 2－1. 同理 a3－a13＝－2 2， 即 a23＋2 2a3＋2＝3， 又 a3＞0，所以 a3＝ 3－ 2. 可推测 an＝ n－ n－1.
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归纳推理从个别到一般的推理，通过归纳猜想出结 论．一般来说，归纳推理发现真理的过程是以观察和实验作为基 础的，从具体问题→实验观察→经验归纳(归纳推理)→形成一般命 题→结论猜想→证明．
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题型二 归纳推理在几何中的应用 【例2】 在平面内观察，凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对
角线，凸六边形有9条对角线……由此猜想凸n边形有几条对 角线，并给出证明． [思路探索] 通过前几项的对角线的条数之间的联系，猜想凸n 边形的对角线条数．
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解 凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，比凸四边 形多 3 条，凸六边形有 9 条对角线，比凸五边形多 4 条，…… 于是猜想凸 n 边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条对角 线，由此凸 n 边形的对角线条数为 2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝12n(n －3)(n≥4，n∈N*)． 证明如下：设凸 n 边形有 f(n)条对角线，则由条件可得 f(n)＝f(n－1)＋(n－2)(n≥4)，且 f(4)＝2， 所以 f(n)＝(f(n)－f(n－1))＋(f(n－1)－f(n－2))＋…＋(f(5)－f(4)＋ f(4))＝(n－2)＋(n－3)＋…＋3＋2＝12n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
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【变式3】 将全体正整数排成一个三角形数阵，根据以下规律，数 阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是________．
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解析 第 2 行最右边的数为 3＝2×2 3； 第 3 行最右边的数为 6＝3×2 4； 第 4 行最右边的数为 10＝4×2 5； …… 故猜想第 n－1 行最右边的数为n－21n，∴第 n 行从左到右的第 3 个数是n－21n＋3＝12(n2－n＋6)． 答案 12(n2－n＋6)
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规律方法 归纳推理的一般步骤： 首先，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然 后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般性命题(猜想)；最后， 对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否 进行严格的证明．
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2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
第1课时 归纳推理
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【课标要求】 1．了解合情推理的含义，能利用归纳法进行简单的推理． 2．体会并认识合情推理在数学发现中的作用． 【核心扫描】 1．对归纳推理的理解．(重点) 2．能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)
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(2)由 a1＝S1＝12a1＋a11得，a1＝a11， 又 a1＞0，所以 a1＝1. 当 n≥2 时，将 Sn＝12an＋a1n， Sn－1＝12an－1＋an1－1的左右两边分别相减得 an＝12an＋a1n－12an－1＋an1－1， 整理得 an－a1n＝－an－1＋an1－1，
【变式2】 平面内有n(n≥1)条直线，任意两条直线不平行，任意三 条直线不过同一点，用f(n)表示这n条直线把平面分成的区域 的个数，试猜想f(n)的表达式(用n表示)，给出证明． 解 如图所示，f(1)＝2， f(2)＝4＝f(1)＋2， f(3)＝7＝f(2)＋3， f(4)＝11＝f(3)＋4， f(5)＝16＝f(4)＋5， 由此猜想f(n)＝f(n－1)＋n.
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2．归纳推理的一般步骤 (1)通过对有限资料进行观察、分析，发现某些相同性质．一般 地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一 般性命题就越可能为真． (2)猜想：在以上基础上提出带有规律性的结论． (3)检验：检验猜想．
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将 f(2)－f(1)＝2， f(3)－f(2)＝3， f(4)－f(3)＝4， f(5)－f(4)＝5，… f(n)－f(n－1)＝n 相加， 得 f(n)＝f(1)＋2＋3＋…＋n＝n2＋2n＋2.
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题型三 归纳推理的应用
2．归纳推理的前提条件是什么？归纳所得的结论有什么要求？ 提示 有几个已知的特殊现象，结论是未知的一般现象，该结 论应该超越前提所包含的范围．
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名师点睛 归纳推理 1．归纳推理的特点 (1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该 结论超越了前提所包含的范围． (2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实 践检验，即结论不一定可靠． (3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜 想可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问 题．
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规律方法 虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所 具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学的发 现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作出归纳整理，提 出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一．
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【变式 1】 (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝22＋anan，n∈N*，猜想 这个数列的通项公式． (2)已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn，满足 Sn＝12an＋a1n(n∈ N*)，求出 a1，a2，a3，并推测 an 的表达式． 解 (1)在{an}中，a1＝1，a2＝22＋a1a1＝23， a3＝2＋2aa2 2＝24，a4＝22＋a3a3＝25，…， 所以猜想{an}的通项公式 an＝n＋2 1.
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方法技巧 归纳推理在数式中的应用
【示例】 (2012·汕头模拟)观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4
＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一
般结论是
( )．
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
【例3】 观察如图所示的“三角数阵”
1
…………第1行
22
…………第2行
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4774
…………第4行
5 11 14 11 5
…………第5行
…………
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记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵” 的特征，完成下列各题： (1) 第 6 行 的 6 个 数 依 次 为 ________ 、 ________ 、 ________ 、 ________、________、________； (2)依次写出a2、a3、a4、a5； (3)归纳出an＋1与an的关系式．
上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．
(1)6,16,25,25,16,6
(4分)
(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11 (3)∵a3＝a2＋2， a4＝a3＋3，a5＝a4＋4 由此归纳：an＋1＝an＋n.
(8分) (12分)
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【题后反思】 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数 的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规 律，问题即可迎刃而解．
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(3)∵2 Sn＝an＋1， ∴2 S1＝a1＋1， 即 2 a1＝a1＋1，∴a1＝1. 又 2 S2＝a2＋1， ∴2 a1＋a2＝a2＋1， ∴a22－2a2－3＝0. ∵对一切的 n∈N*，an>0，∴a2＝3. 同理可求得 a3＝5，a4＝7， 猜想出 an＝2n－1(n∈N*)．
题型一 归纳推理在数列中的应用 【例 1】 根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归纳猜想它的
通项公式． (1)a1＝3，an＋1＝2an＋1； (2)a1＝a，an＋1＝2－1 an； (3)对一切的 n∈N*，an>0，且 2 Sn＝an＋1.
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[思路探索] 根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然
后总结归纳其中的规律，写出其通项． 解 (1)由已知可得a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想an＝2n＋1－1，n∈N*.
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(2)由已知可得 a1＝a， a2＝2－1a1＝2－1 a， a3＝2－1 a2＝32－－2aa， a4＝2－1 a3＝34－ －23aa. 猜想 an＝n－n－1－n－n1－a2a(n∈N*)．
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
[思路分析] 观察数式的结构特点，提炼出数式的变化规律，
运用归纳推理写出一般结论．
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解析 通过观察可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式 子的第一个数是2，…故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中 有1个数，第二个式子中有3个数相加，…故第n个式子中有2n－1 个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3 的平方，…第n个式子的结果应该是2n－1的平方，故可以得到n＋ (n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 答案 B
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(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于 它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果． (2)由数阵可直接写出答案． (3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．
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想一想：1.归纳推理的结论一定正确吗？ 提示 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结 论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正 确．
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所以 a2－a12＝－2，即 a22＋2a2＋1＝2， 又 a2＞0，所以 a2＝ 2－1. 同理 a3－a13＝－2 2， 即 a23＋2 2a3＋2＝3， 又 a3＞0，所以 a3＝ 3－ 2. 可推测 an＝ n－ n－1.
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归纳推理从个别到一般的推理，通过归纳猜想出结 论．一般来说，归纳推理发现真理的过程是以观察和实验作为基 础的，从具体问题→实验观察→经验归纳(归纳推理)→形成一般命 题→结论猜想→证明．
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角线，凸六边形有9条对角线……由此猜想凸n边形有几条对 角线，并给出证明． [思路探索] 通过前几项的对角线的条数之间的联系，猜想凸n 边形的对角线条数．
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解 凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，比凸四边 形多 3 条，凸六边形有 9 条对角线，比凸五边形多 4 条，…… 于是猜想凸 n 边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条对角 线，由此凸 n 边形的对角线条数为 2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝12n(n －3)(n≥4，n∈N*)． 证明如下：设凸 n 边形有 f(n)条对角线，则由条件可得 f(n)＝f(n－1)＋(n－2)(n≥4)，且 f(4)＝2， 所以 f(n)＝(f(n)－f(n－1))＋(f(n－1)－f(n－2))＋…＋(f(5)－f(4)＋ f(4))＝(n－2)＋(n－3)＋…＋3＋2＝12n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
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解析 第 2 行最右边的数为 3＝2×2 3； 第 3 行最右边的数为 6＝3×2 4； 第 4 行最右边的数为 10＝4×2 5； …… 故猜想第 n－1 行最右边的数为n－21n，∴第 n 行从左到右的第 3 个数是n－21n＋3＝12(n2－n＋6)． 答案 12(n2－n＋6)
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规律方法 归纳推理的一般步骤： 首先，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然 后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般性命题(猜想)；最后， 对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否 进行严格的证明．
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