专题复习-实数和二次根式
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专题复习 二次根式
知识点归纳：
一．实数：
1. 数的分类：
⎪⎩⎪⎨⎧⎩
⎨⎧无理数分数整数有理数实数（定义分） ⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨
⎧负无理数负有理数负实数负无理数正有理数正实数实数（大小分）0 2. 平方根的性质：
（1） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （2） 算术平方根a 具有双重非负性，即：0,0≥≥a a .
（3）
⎩⎨
⎧<-≥==)
0()0(2
a a a a a a )0()(2
≥=a a a 3. 立方根的性质：
（1） ,
（2）
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
（3）
a a =3
3 a a =33)(
二．二次根式：
1.二次根式的概念：式子a ),0(≥a 叫做二次根式，具有双重非负性。
2.最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不含开的尽方的整数和整式。
3.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同。
4.分母有理化：把分母化为有理数的过程，即去分母中的根号的过程。
5.二次根式运算法则： 加减法：合并同类二次根式； 乘法：)0,0(≥≥=
⋅b a ab b a
…
除法：
)0,0(>≥=
b a b
a
b
a
6.常见化简：⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=)
0()
0(2
2a b a a b
a b a
)0(1>=
=
a a
a
a
a
a a 或
典型例题讲解及变式练习：
例1 若一个数的平方根是2a-1和-a+2，求这个正数的平方。
练习：
1. 已知某数有两个平方根，分别为a+3和2a-15，求这个数平方的倒数。
^
2. 已知13-+=m n m A 为m+3n 的算术平方根，121+-=n m B 为2
1m -的立方根，求A+B
的值。
3．已知12-a 的平方根是3±，3a+b-1的立方根是4，求a+2b 的值。
）
练习：
1.0)2(132
=-++++c b a ，求12
-+c
b a 的算术平方根。
]
2.若12-++-b a b a 与互为相反数，求3222b a +的值。
3.已知55)12(22
--=
-++-+x x b a b a ，求a a x b -的值。
]
4. _________0|
4|)2(7162
2==+++-n m m m n m ，则。
5. 已知x x x y 62112+-+-=，求132-+y x 的平方根。
例3 已知103+的小数部分是a ，103-的小数部分为b ，求b a +和b a -的值。
（
练习：已知137+的小数部分是a ，13-7的小数部分为b ，求b a +和2
)(b a -的值。
|
练习：
1.化简=+-+-a
a a 1112
2 。
2. 已知)10(1<<-=a a a
x ，则x x 42+= 。
3. 已知21< 1 24 4222 -+-+ +--x x x x x x =_________。 % 例5 最简二次根式a 21+与22+a 是同类二次根式，则a 的值是_______. 练习： 1. 若a+b 5b 与3a+2b 已化成最简二次根式，且被开方数相同，则a= ，b= 。 / 2．若62312与-+n n m 是同类最简二次根式，则n=_______,m=_______。 例6 已知实数a 满足a a a =-+-2010|2009|，则2 2009-a =_________。 例7 计算： 1 33261 236+++ ++ [ 练习： 1. 1-222-4-1-33-36 53225+ ++ 2.1 23 622++++ 例8 较下列每组数里两个数的大小: ; 的大小 ` 例9 化简求值：已知12,12+=-=y x ，求 xy x y x y y x 33++++的值。 练习： 1. ( )x x y y x y x y x y x ++++-÷-+211 ，其中x =+23，y =-23 % 2. 设xy x y x +⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛--+=+-=2 2 22y ,2321,2321求的值。 3．已知：24 20-=x ，求221x x +的值． 4．已知)( 1 31,1 31a b b a ab b a ++= -=求的值。 & 巩固训练： 一．选择题： 1．下列式子中最简二次根式的个数有 （ ） ⑴ 31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸23 1 )(-；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．下列计算正确的有 （ ） ①69494=-⋅-=--))((；②69494=⋅=--))((； ③345454522=-⋅+=-；④145452222=-=-； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．把 ab a 123分母有理化后得 （ ） 》