2015年全国高中数学联赛福建预赛(高一)

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专题34不等式第三缉(原卷版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题34不等式第三缉1．【2017年浙江预赛】设在中有两个实数根,则的取值范围为.f (x )=x 2+ax +b [0,1]a 2‒2b 2．【2017年江苏预赛】设是实数,则的最大值是.x 、y 2x +2y2x 4+4y 4+93．【2016年陕西预赛】设m 、n 均为正整数，且满足24m =n 4.则m 的最小值为________.4．【2016年陕西预赛】设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且f (x )+g (x )=2x .若对x ∈[1，2]，不等式af (x )+g (2x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是_______.5．【2016年陕西预赛】设a ∈R .则函数f (x )=|2x -1|+|3x -2|+|4x -3|+|5x -4|的最小值为_______.6．【2016年福建预赛】设f (x )为定义在R 上的函数，若f (0)=1008，且对任意的x ∈R ，满足f (x +4)-f (x )≤2(x +1)，f (x +12)-f (x )≥6(x +5).则 _________.f(2016)2016=7．【2016年福建预赛】当x 、y 、z 为正数时，的最大值为________.4xz +yz x 2+y 2+z 28．【2016年新疆预赛】已知,且.则的最小值为______.x 、y >0x +2y =2x 22y +4y 2x 9．【2016年山西预赛】设n 为正整数，使介于之间．则n ＝__________.3n +3n 与n +4n +110．【2016年全国】设实数a 满足.则a 的取值范围是________.a <9a 3‒11a <|a |11．【2016年吉林预赛】设实数x 、y 满足则2x-y 的最大值为________.{x ‒y +1≥0,y +1≥0,x +y +1≤0.12．【2016年吉林预赛】设实数x 、y 满足则2x-y 的最大值为________.{x ‒y +1≥0,y +1≥0,x +y +1≤0.13．【2016年浙江预赛】已知为互不相等的整数。

福建省科学技术协会、福建省教育厅关于举办2017年全国高中数学联

福建省科学技术协会、福建省教育厅关于举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知【法规类别】教育综合规定【发文字号】闽科协发[2017]30号【发布部门】福建省科学技术协会福建省教育厅【发布日期】2017.03.23【实施日期】2017.03.23【时效性】现行有效【效力级别】XP10福建省科学技术协会、福建省教育厅关于举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知（闽科协发〔2017〕30号）各设区市、平潭综合实验区科协、教育局：为进一步普及数学基础知识，培养高中学生学习数学的兴趣爱好、创新意识和创新思维，经研究，决定联合举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛。

现将有关事项通知如下：一、参赛对象2016～2017学年高一、高二在校生。

二、竞赛形式、时间和地点1.预赛：竞赛形式为笔试。

2017年5月21日（星期日）上午9：00～11：30，在各设区市设立考场同时进行。

2.复赛：竞赛形式为笔试。

2017年9月10日（星期日）上午8：00～12：10（其中8：00～9：20为联赛，9：40～12：10为联赛加试），在福州第一中学高中部（福州市闽侯上街镇福州大学城）举行。

三、报名方法学生自愿参加，其所在学校统一向各设区市组织单位报名。

报名时需提交学生一寸彩色近照2张，用于准考证制作。

四、赛事组织福建省数学学会为福建赛区承办单位，组成福建省中学生数学竞赛委员会，统筹负责福建赛区竞赛工作。

预赛考务工作由各设区市科协、教育局确定组织单位负责组织实施，复赛由省中学生数学竞赛委员会负责组织实施。

1.预赛：预赛由省中学生数学竞赛委员会命题制卷，各设区市组织单位须于2017年4月21日前向省中学生数学竞赛委员会报送预赛报名名单，以便提供试卷，福州一中、福建师大附中纳入福州市统一管理；5月14日左右，省中学生数学竞赛委员会将把试卷寄达各设区市组织单位；6月4日前各设区市应将本设区市预赛总体情况、所有预赛参赛选手的成绩花名册（加盖设区市教育局公章）以及参加复赛选手的答卷、2张一寸彩色近照、复赛报名表（含姓名、学校、年级、身份证号、指导教师及其联系方式等），上报省中学生数学竞赛委员会。

解析版-2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷

2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛暨2024年福建省高中数学竞赛试卷(考试时间:2024年6月22日上午9:00-11:30, 满分160分)一、填空题(共10小题, 每小题6分, 满分60分. 请直接将答案写在题中的横线上)1在△ABC 中,已知AB =4,BC =2,AC =23,若动点P 满足CP =1,则AP ⋅BP的最大值为.【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⋅BP =PA ⋅PB =14PA +PB 2-PA -PB 2 =142PO 2-BA 2 =PO 2-14×42=PO 2-4由 AB =4,BC =2,AC =23,知 AB 2=CA 2+CB 2,于是 CA ⊥CB .所以 CO =12AB =2 .又 CP =1,所以 PO的最大值为 CO +1=3 .所以 AP ⋅BP的最大值为 32-4=5 .2已知z 1,z 2,z 3为方程z 3=-i 的三个不同的复数根,则z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=.【答案】 0【解答】设 z =x +yi x ,y ∈R 为方程 z 3=-i 的复数根,则 z 3=x +yi 3=x 3+3x 2yi +3x yi 2+yi 3=-i .即 x 3+3x 2yi -3xy 2-y 3i =-i ,x 3-3xy 2+3x 2y -y 3 i =-i .由 x ,y ∈R ,得 x 3-3xy 2=03x 2y -y 3=-1,解得 x 1=0y 1=1 , x 2=32y 2=-12,x 3=-32y 3=-12.于是 z 1=i , z 2=32-12i , z 3=-32-12i .所以 z 2+z 3=32-12i+-32-12i =-i ,z 2z 3=32-12i-32-12i =-12i 2-322=-14-34=-1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1z 2+z 3 +z 2z 3=i ×-i -1=0 .3设a =66⋯6⏟10个6,b =33⋯3⏟6个3,则a ,b 的最大公约数为.【答案】 33【解答】用 x ,y 表示正整数 x ,y 的最大公约数.则 a ,b =66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3=33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3=311⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1.设 m =11⋯1⏟10个1, n =11⋯1⏟6个1,则由 m =11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111,可知 m ,n =1111,11⋯1⏟6个1.同理可得, m ,n =1111,11⋯1⏟6↑1=11,1111 =11,11 =11 .所以 a ,b =3m ,n =33 .4某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派4名选手参加比赛. 组委会随机将这12名选手分成6组, 每组2人, 则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为.【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有:C 212C 210C 28C 26C 24C 22A 66=11×9×7×5×3×1 种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有 C 24×C 24×A 44=36×24 种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有 2×1 种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有 36×24×2 种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5如图,在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E ,F分别为AB ,BC 的中点,点G 在棱CC 1上. 若平面EFG 与底面ABCD 所成角的余弦值为31717,则平面EFG 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得截面多边形的周长为.【答案】 613+32【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA ,DC ,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图)z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E 6,3,0 ,F 3,6,0 . 设 G 0,6,t ,则 EF =-3,3,0 , EG=-6,3,t .设 m=x ,y ,z 为平面 EFG 的一个法向量,则m ⋅EF=-3x +3y +0=0m⋅EG =-6x +3y +tz =0,于是 m=t ,t ,3 为平面 EFG 的一个法向量.又 n =0,0,1 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为31717,所以 cos ⟨m ,n⟩ =m ⋅nm ⋅n=32t 2+9⋅1=31717 .结合 t >0,解得 t =2 . 所以 G 0,6,2 ,CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E ,F 分别为 AB ,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 .由CG DD 1=26=39=MCMD知, M ,G ,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由 AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形.易知 EF =32+32=32,FG =32+22=13,GD 1=42+62=213 ,D 1P =62+42=213, PE =22+32=13.所以截面五边形的周长为 613+32 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF ,∠GHC 为二面角 G -EF -D 的平面角,于是 tan ∠GHC =CG CH=CG 322=223,因此 CG =2 。

解析版-2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷

2024 年全国高中数学联赛福建赛区预赛暨 2024 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间: 2024 年 6 月 22 日上午 9:00-11:30, 满分 160 分)一、填空题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 满分 60 分. 请直接将答案写在题中的横线上) 1. 在 △ABC 中,已知 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,若动点 P 满足 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=14[(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2]=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14×42=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4由 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,知 AB 2=CA 2+CB 2 ,于是 CA ⊥CB . 所以 CO =12AB =2 .又 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,所以 |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最大值为 CO +1=3 . 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 32−4=5 . 2. 已知 z 1,z 2,z 3 为方程 z 3=−i 的三个不同的复数根,则 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1= . 【答案】 0【解答】设 z =x +yi (x,y ∈R ) 为方程 z 3=−i 的复数根, 则 z 3=(x +yi )3=x 3+3x 2(yi )+3x (yi )2+(yi )3=−i . 即 x 3+3x 2yi −3xy 2−y 3i =−i,x 3−3xy 2+(3x 2y −y 3)i =−i . 由 x,y ∈R ,得 {x 3−3xy 2=03x 2y −y 3=−1,解得 {x 1=0y 1=1 , {x 2=√32y 2=−12,{x 3=−√32y 3=−12.于是 z 1=i, z 2=√32−12i, z 3=−√32−12i . 所以 z 2+z 3=(√32−12i)+(−√32−12i)=−i ,z 2z 3=(√32−12i)(−√32−12i)=(−12i)2−(√32)2=−14−34=−1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1(z 2+z 3)+z 2z 3=i ×(−i )−1=0 .3. 设a=66⋯6⏟10个6,b=33⋯3⏟6个3,则a,b的最大公约数为 .【答案】 33【解答】用(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.则(a,b)=(66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3)=(33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3)=3(11⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1) .设m=11⋯1⏟10个1, n=11⋯1⏟6个1,则由m=11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111 ,可知(m,n)=(1111,11⋯1⏟6个1) .同理可得, (m,n)=(1111,11⋯1⏟6↑1)=(11,1111)=(11,11)=11 .所以(a,b)=3(m,n)=33 .4. 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率为 .【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有: C122C102C82C62C42C22A66=11×9×7×5×3×1种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有C42×C42×A44=36×24种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有2×1种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有36×24×2种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5. 如图,在棱长为 6 的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC 1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717,则平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得截面多边形的周长为 . 【答案】 6√13+3√2【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图) z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E (6,3,0),F (3,6,0) . 设 G (0,6,t ) ,则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3,0) , EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3,t ) . 设 m ⃗⃗ =(x,y,z ) 为平面 EFG 的一个法向量,则{m ⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +3y +0=0m ⃗⃗ ⋅EG⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3y +tz =0 ,于是 m ⃗⃗ =(t,t,3) 为平面 EFG 的一个法向量.又 n ⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717, 所以 |cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ ||=√2t 2+9⋅1=3√1717. 结合 t >0 ,解得 t =2 . 所以 G (0,6,2),CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 . 由 CG DD 1=26=39=MCMD 知, M,G,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形. 易知 EF =√32+32=3√2,FG =√32+22=√13,GD 1=√42+62=2√13 ,D 1P =√62+42=2√13, PE =√22+32=√13.所以截面五边形的周长为 6√13+3√2 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF,∠GHC 为二面角 G −EF −D 的平面角,于是 tan∠GHC =CGCH =3√22=2√23,因此 CG =2 。

2015年福建省高中数学竞赛暨数学联赛福建赛区预赛

2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷(考试时间：2015年5月24日上午9: 00— 11: 30,满分160分)、填空题(共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上)1设集合A = {x l3>® }，从集合A 中随机抽取一个元素变量的数学期望E 二 _____________________2. 已知f(x) = x • g(x)，其中g(x)是定义在R 上，最小正周期为2的函数。

若f (x)在区间 2,4上的最大值为1,则f (x)在区间10 ,12上的最大值为 _____________________________ 。

2 23. F 1、F 2为椭圆C :笃•与"(a b 0 )的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使a b得PR _ PF 2，则椭圆离心率e 的取值范围为 _____________ 。

【答案】I —，〔2丿【解答】设A 为椭圆C 的上顶点，依题意有.F 1AF 2 - 90cF 2AO _45，1。

b4. ________________________________________________________________________ 已知实数x ， y ， z 满足x 2 2y 2 3z^ 24，则x 2y 3z 的最小值为 ________________________________5.已知函数 f(x)=x 2cos‘ ，数列｛ a * ｝中，a n = f( n) + f( n+1)( N )，则数列｛ a * ｝2的前100项之和S.00二 ______________6. 如图，在四面体 ABCD 中，DA =DB =DC =2，DA _ DB ，DA _ DC ，且 DA 与平面 ABC 所成角的余弦值为 —。

则该四面体外接球半径R = ________________________________ 。

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosα•sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosα•cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinα•sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V球=πR3（R为球的半径）。

一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy平面上，0<y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为。

则集合M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2|的交集M∩N所表示的图形面积为A． B． C．1 D．2．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。

则四面体ABCD的体积等于A． B． C． D．3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。

若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A．90 B．100 C．110 D．1204．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A．8 B．9 C．10 D．116．设0<x<1, a,b为正常数。

则的最小值是A．4ab B．(a+b)2 C．(a-b)2 D．2(a2+b2)7．设a,b>0，且a2008+b2008=a2006+b2006。

则a2+b2的最大值是A．1 B．2 C．2006 D．20088．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=AB+AC。

2015全国高中数学联赛河南预赛试题及答案高一

2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题（5月10日8:30至11:00）一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1．若集合{}*54,A a a x x ==+∈N ，{}*76,B b b y y ==+∈N ，将A B 中的元素从小到大排列，则排在第20个的那个元素是．2．已知实数x ，y 满足：33(3)2015(3)(23)2015(23)0x x y y -+-+-+-=，则()22min 44x y x ++= ．3．设线段BC α⊂，AB α⊥，CD BC ⊥，且CD 与平面α成30︒角，且2AB BC CD cm ===，则线段AD 的长度为．4．若直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，若MN 的中点为(0,1)P ，则直线l 的方程是．5．设k ，m ，n 都是整数，过圆222(31)x y k +=+外一点33(,)P m m n n --向该圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有个．6．若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则a b += ．7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）（必修3）执行如图所示的算法，则输出的结果是．（必修4）已知函数sin ()x f x x =在区间π(0,)2上是减函数，若01x <≤，2sin ()x a x =，sin x b x=，22sin x c x =，则a ，b ，c 的大小关系是．8．如果实数a ，b 使得21x x --是2015201521211ax bx ++++的因式，则a 的个位数字为．二（本题满足16分）求2232x y -=的整数解．三（本题满足20分）如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上且满足AC BC <，在线段BC 上取一点D ，使BD AC =，在AD 上取一点E 使45BED ∠=︒，延长BE 交CA 于F ，求证：CD AF =．四（本题满足20分）对于任意的ABC △，若其三边长为a ，b ，c ，则x a ，x b ，x c 依然可以构成某三角形的三边长，求实数x 的取值范围．五（本题满足20分）已知全集{}1,2,,U n =，集合A 满足：(i)A U ⊆；(ii)若x A ∈，则kx A ∉；(iii)若U x A ∈ð，U kx A ∉ð（其中k ，*n ∈N ，2k ≥），用()k f n 表示满足条件的集合A 的个数．（1）求2(4)f ，2(5)f ；（2）记集合A 中所有元素的和记为集合A 的“和”，当n pk q =+（p ，q ∈N ，01q k -≤≤）时，求所有集合A 的“和”的和（结果用含p ，q ，k 的代数式表示）．。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)一试参考答案与评分标准(A卷)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为．答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是．答案：1,0(0,2)4．解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q．由条件知211211a a q q，化简得11a q ．当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为．答案：34．解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为．答案：421．解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ．事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ．事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ．于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ．由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆的焦点，在上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则的离心率的最小值为．答案解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ．记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ．由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以的离心率d e u v ．当::u v d 时，的离心率e 8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论．情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组．综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分）在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾．所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值．解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ．当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ．计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x ≤−,则2()24f x x x =−,在这一区间上的最小值为(116f −=+；2.若(13x ∈−−，则()88f x x =−+，在这一区间上的最小值为(316f =−+…………15分3.若31x ∈− ，则2()24f x x x =−+，在这一区间上的最小值为((3116f f =−+=−+；4.若13x ∈− ，则()88f x x =−，在这一区间上的最小值为(116f −+=−+；5.若3x ≥+，则2()24f x x x =−，在这一区间上的最小值为(316f =+.综上所述，所求最小值为((3116f f =−+=−.…………20分。

2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及参考标准答案

２015年福建省高中数学竞赛暨２０15年全国高中数学联赛(福建省赛区）预赛试卷（考试时间:2０15年５月２4日上午9:0０-11：3０，满分16０分）一、填空题(共10小题,每小题6分，满分6０分。

请直接将答案写在题中的横线上）1.设集合403x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，,从集合A 中随机抽取一个元素x ,记2x ξ=,则随机变量ξ的数学期望E ξ= 。

2．已知()()f x x g x =+,其中()g x 是定义在R 上，最小正周期为2的函数。

若()f x 在区间[)24，上的最大值为1，则()f x 在区间[)1012，上的最大值为。

3.1F 、2F 为椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点,若椭圆C 上存在一点P ,使得12PF PF ⊥,则椭圆离心率e 的取值范围为。

4.已知实数x ,y ,z 满足2222324x y z ++=，则23x y z ++的最小值为。

5.已知函数2()cos 2xf x x π=,数列{}n a 中，()(1)n a f n f n =++(*n N ∈），则数列{}n a 的前１0０项之和100S = 。

6．如图,在四面体ABCD 中,2DA DB DC ===,DA DB ⊥，DA DC ⊥,且DA 与平面ABC 所成角的余弦值为63R = 。

７.在复平面内,复数1z 、2z 、3z 的对应点分别为1Z 、2Z 、3Z 。

若122z z ==120OZ OZ ⋅=，1231z z z +-=,则3z 的取值范围是。

８.已知函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点1x ，2x (12x x <），则a 的取值范围为。

９．已知2()2x f x m x nx =⋅++,若{}{}()0(())0x f x x f f x φ===≠,则m n +的取值范围为。

专题39排列组合与图论第二缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题39排列组合与图论第二缉1．【2017年新疆预赛】在某次交友活动中,原计划每两个人都要恰好握1次手,但有4个人各握了两次手之后就离开了.这样,整个活动共握了60次手,那么最开始参加活动的人数是.【答案】15【解析】提示:设参加活动的人数为,其中中途退出的4个人之间的握手次数为.n +4x (0≤x ≤C 24=6)从而由题意得,即.C 2n +4⋅2=60+x n (n ‒1)=104+2x 由且为整数,可得.0≤x ≤6x x =3,n =11故最开始参加活动的人数为.n +4=152．【2016年福建预赛】将16本相同的书全部分给四个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同.则不同的分配方法种数为________(用数字作答).【答案】216.【解析】将16分解成四个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7，16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7，16=2+3+5+6.故符合条件的不同分配方法数为9=216.A 443．【2016年山东预赛】在的展开式中，x 的整数次幂项的系数和为_____.(x +x +1)2n +1(n ∈Z +)【答案】12(32n +1+1)【解析】令，P =(x +x +1)2n +1.Q =(x ‒x +1)2n +1由二项式定理，知P 、Q 中的x 的整数次幂项之和相同，记作S （x ），非整数次幂项之和互为相反数.故2S (x )=P +Q=(x +x +1)2n +1+(x ‒x +1)2n +1令.则所求的系数和为.12(32n +1+1)4．【2016年山东预赛】设为（1，2，…，20）的一个排列，且满足(x 1,x 2,⋯,x 20)∑20i =1(|x i ‒i |+|x i +i |).则这样的排列有________个.=620【答案】(10!)2【解析】因为，所以，x i >0∑20i =1(|x i ‒i |+|x i +i |)=20∑i =1(|x i ‒i |+(x i +i ))=20∑i =1|x i ‒i |+20∑i =1(x i +i ).=∑20i =1|x i ‒i |+∑20i =12i =620原式化简得.∑20i =1|x i ‒i |=200注意到，，且为（1，2，…，20）的一个排列.|a ‒b |=max {a,b}‒min {a,b}(x 1,x 2,⋯,x 20)于是，在中，每个数作为最大值或最小值最多只能两次.max{x i ,i}、min{x i ,i}(1,2,⋯,20)20∑i =1max{x i ‒i}‒20∑i =1min{x i ‒i}.≤2∑20i =11i ‒220i =1i 故200=∑20i =1|x i ‒i |20∑i =1(max{x i ‒i}‒min{x i ‒i})=20∑i =1max{x i ,i}‒20∑i =1min{x i ,i}.≤2∑20i =1i ‒220i =1i =200从而，，{x 1,x 2,⋯,x 10}={11,12,⋯,20}.{x 11,x 12,⋯,x 20}={1,2,⋯,10}由分布计数原理，排列的个数为.{x 1,x 2,⋯,x 20}(10!)25．【2016年新疆预赛】平面上个圆两两相交,最多有______个交点.n 【答案】n (n ‒1)【解析】2两个圆相交时,最多有个交点;2+4=6三个圆相交时,最多有个交点;2+4+6=12四个圆相交时,最多有个交点;n2+4+…+2(n‒1)=n(n‒1)个圆相交时,最多有个交点.6．【2016年天津预赛】甲、乙两名学生在五门课程中进行选修,他们共同选修的课程恰为一门且甲选修课程的数量多于乙.则甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为______.【答案】155【解析】C15(a,b)甲、乙共同选修的课程有种选法,其余的每一门课程甲、乙两人至多只有一人选修.用表示其余四门a b课程中甲选门、乙选门的情形.a>b(4,0),(3,0),(3,1),(2,0),(2,1),(1,0)则由,知共有六种情形.于是,甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为C15(C44+C34+C34+C24+C24C12+C14)=155.7．【2016年吉林预赛】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有_______种.【答案】42【解析】分两类：C24=6（1）甲、乙同一天值班，则只能排在1日，有种排法.C14C13×3=36（2）甲、乙不在同一天值班，有种排法.故共有42种方法.8．【2016年吉林预赛】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有_______种.【答案】42【解析】分两类：C24=6（1）甲、乙同一天值班，则只能排在1日，有种排法.（2）甲、乙不在同一天值班，有种排法.C 14C 13×3=36故共有42种方法.9．【2016年上海预赛】将90 000个五位数10 000,10 001,···,99 999打印在卡片上，每张卡片上打印一个五位数，有些卡片上所打印的数(如19 806倒过来看是90861 )有两种不同的读法，会引起混淆。

各省高中数学竞赛预赛试题汇编[]

2012各省数学竞赛汇集目录1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页2. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页3. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页4. 2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页5. 2012年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页6. 2012年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页7. 2012年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页8. 2012年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页9. 2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页10. 2012年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页11. 2012年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页12. 2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页13. 2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页14. 2012年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页15. 2012年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____22___.5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为83，则直线的斜率为___12____. 6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为_____53_______.8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n-+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：（1）cos cos b C c B a +=（2）22sin cos cos 2CA B a b c+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

专题12导数与极限第一辑2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题12导数与极限第一辑1．【2021年福建预赛】若关于x 的不等式(x −2)e x <ax +1有且仅有三个不同的整数解，则整数a 的最小值为.【答案】3【解析】设f(x)=(x −2)e x , g(x)=ax +1.则f ′(x)=(x −1)e x ,x <1时,f ′(x)<0;x >1时,f ′(x)>0. 因此,f(x)在区间(−∞,1)上递减，在区间(1,+∞)上递增: 且x <2时，f(x)<0;x >2时,f(x)>0. 由此作出f(x)的草图如图所示.又g(x)的图像是过点(0,1)的直线，结合图像可知a >0.由于a >0时，f(0)=−2<g(0)=1;f(1)=−e <g(1)=a +1; f(2)=0<g(2)=2a +1,因此,0,1,2是不等式(x −2)e x <ax +1的三个整数解. 由于不等式(x −2)e x <ax +1有且仅有三个不同的整数解, 所以{f(−1)≥g(−1)f(3)≥g(3) ，即{−3e −1≥−a +1e 3≥3a +1,1+3e ≤a ≤e 3−13 .经检验，a=3符合要求，所以，符合条件的a 的最小值为3.2．【2019年贵州预赛】已知函数f(x)=(e x −e −x )⋅x 3,若m 满足f (log 2m )+f (log 0.5m )⩽2(e 2−1e).则实数m 的取值范围是 .【答案】[12,2]【解析】由f(x)=(e x −e −x )⋅x 3⇒f(−x)=f(x),且x ∈(0,+∞)时,f(x)是增函数.又由f(log2m)+f(log0,5m)≤2(e2−1e)⇒f(log2m)≤f(1).所以|log2m|≤1⇒−1≤log2m≤1⇒12≤m≤2.即m的取值范围是[12,2].3．【2018年广西预赛】若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)−2f(x)−4>0，f(0)=−1，则不等式f(x)> e2x−2的解为___________.【答案】x>0【解析】构造函数g(x)=e−2x[f(x)+2]，则g(0)=1.由g′(x)=e−2x[f′(x)−2f(x)−4]>0可知g(x)在（−∞,+∞）内单调递增，从而有g(x)>1⇔x>0.故f(x)>e2x−2⇔x>0.4．【2018年甘肃预赛】已知函数f(x)=x3+sinx（x∈R），函数g(x)满足g(x)+g(2−x)=0（x∈R），若函数ℎ(x)=f(x−1)−g(x)恰有2019个零点，则所有这些零点之和为______．【答案】2019【解析】易知函数f(x)=x3+sinx为奇函数，从而f(x−1)的图象关于(1,0)点对称．函数g(x)+g(2−x)=0，可知g(x)的图象也关于(1,0)点对称．由此ℎ(x)的图象关于(1,0)点对称，从而这2019个零点关于点（1,0）对称，由于ℎ(1)=f(0)−g(1)=0⇒x=1是ℎ(x)的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于(1,0)点对称，和为2018，故所有这些零点之和为2019．5．【2018年四川预赛】设直线y=kx+b与曲线y=x3−x有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=2，则k的值为______.【答案】1【解析】曲线关于点(0,0)对称，且|AB|=|BC|=2，所以直线y=kx+b必过原点，从而b=0.设A(x,y)，则{y=kx, y=x3−x,√x2+y2=2.由此得x=√k+1,y=k√k+1，代入得(k+1)+k2(k+1)=4,即(k−1)(k2+2k+3)=0,解得k=1.故答案为：16．【2017年广西预赛】设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x ),对任意的x ∈R 有f (x )+f (−x )=x 2,在(0,+∞)上f ′(x )>x .若f (1+a )−f (1−a )≥2a ,则实数a 的范围是 .【答案】a ≥0【解析】提示:由题意得f ′(x )>x ,构造函数g (x )=f (x )−12x 2,则g ′(x )=f ′(x )−x >0.从而g (x )在(0,+∞)上单调递增. 由条件f (x )+f (−x )=x 2得g (x )+g (−x )=0,则g (x )是奇函数.因为g (x )在R 上单调递增,由f (1+a )−f (1−a )≥2a 知g (1+a )−g (1−a )≥0,g (1+a )≥g (1−a )，所以1+a ≥1−a 解得a ≥0.7．【2017年湖南预赛】设函数f (x )是定义在(−∞,0)上的可导函数,其导函数为f ′(x ),且有2f (x )+xf ′(x )>x 2,则不等式(x +2017)2f (x +2017)−f (−1)>0的解集为 .【答案】(−∞,−2018)【解析】提示:将不等式(x +2017)2f (x +2017)−f (−1)>0 化为(x +2017)2f (x +2017)>(−1)2f (−1)，①构造F (x )=x 2f (x ),使得①式化为F (x +2017)>F (−1)，② 因为F ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x ),由已知条件2f (x )+xf ′(x )>x 2，两边同乘以x ,可得F ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x )<x 3<0(因x ∈(−∞,0)). 所以,F (x )在(−∞,0)上是减函数,不等式②化为x +2017<−1,即x <−2018，所以,不等式的解集为(−∞,−2018).8．【2016年福建预赛】函数f (x ) =x 2lnx +x 2-2零点的个数为________. 【答案】1 【解析】由条件知f ′(x)=2x ln x +x +2x =x(2lnx +3). 当0<x <e −32时，f ′(x)<0；当x >e −32时，f ′(x)>0.于是，f (x )在区间(0，−32)上为减函数，在区间(−32，+∞)上为增函数.又0<x <e −32时，lnx +1<−32+1=−12<0f (x )=x 2(lnx +1)-2<0，注意到，f(e −32)=e −3(−32+1)−2<0，f(e)=2e 2−2>0 故函数f (x )零点的个数为1.9．【2015年山东预赛】设a >1.若关于x 的方程a x =x 无实根,则实数a 的取值范围是______. 【答案】a >e 1e【解析】由函数y =a x 与y =x 的图像,知若a >1,且a x =x 无实根,则a x >x 恒成立，设f (x )=a x −x .则：f′(x )=a x (lna )−1>0⇒x >−log a (lna ).故f (x )=a x −x 在区间(−∞,−log a (lna ))上递减,在区间(−log a (lna ),+∞)上递增. 从而, f (x )在x =−log a (lna )时取得最小值,即：f (x )min =f(−log a (lna ))=a −log a (ln a )−(−log a (lna ))>0， ⇒1lna −(−log a (lna ))>0.又1lna =log a e,−log a (lna )=log a 1lna ， ⇒log a e >log a1lna⇒lna >1e⇒a >e 1e .10．【2015年福建预赛】函数f (x )=e x (x −ae x )恰有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2)，则a 的取值范围是__________．【答案】(0,12) 【解析】∵函数f (x )=e x (x −ae x )，∴f′(x )=(x +1−2a ⋅e x )e x ，由于函数f (x )两个极值点为x 1,x 2，即x 1,x 2是方程f′(x )=0的两个不等实数根，即方程x +1−2ae x =0，且a ≠0，∴x+12a=e x ；设y 1=x+12a(a ≠0),y 2=e x ，在同一坐标系内画出两个函数图象，如图所示,要使这两个函数有2个不同的交点，应满足{12a >01 2a >1，解得0<a<12，所以a的取值范围为(0,12)，故选A.【方法点睛】本题主要考查函数的极值、函数与方程以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解11．【2018年湖南预赛】函数f(x)=ln(x2+1)的图像大致是（）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.12．【2018年湖南预赛】设函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x+x−3，则f(x)的零点个数是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点;当x＞0时，令f（x）=e x+x-3=0，则e x=-x+3，分别画出函数y=e x，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f （x ）有一个零点，又根据对称性知，当x ＜0时函数f （x ）也有一个零点．综上所述，f （x ）的零点个数为3个，故选：C ．13．【2017年四川预赛】已知函数f (x )=a ln x +x 2在x =1处有极值,则实数a 的值是()(A)−2(B)−1(C)1(D)2【答案】A【解析】提示：因为f ′(x )=ax+2x =a+2x 2x由条件知f ′(1)=0,解得a =−2.14．【2016年陕西预赛】设函数f (x )=x 3+ax 2+6x +c (a 、b 、c 均为非零整数).若f (a )=a 3，f (b )=b 3，则c 的值为（）. A ．-16 B ．-4 C ．4 D ．16 【答案】D 【解析】设g (x )=f (x )-x 3=ax 2+bx +c . 由f (a )=a 3，f (b )=b 3⇒g (a )=g (b )=0.则a 、b 为方程g (x )=0的两个根⇒a +b =−ba，ab =ca⇒c =−a 4a+1=−(a 2+1)(a −1)−1a+1.因为c 为整数，所以，a +1=±1⇒a =0(舍去)或-2. 故c =16. 选D.15．【2015年黑龙江预赛】设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8280128(1)kx a a x a x a x -=++++，则128a a a +++=（）A.-1B.0C.1D.256 【答案】B 【解析】试题分析：000(sin cos )sin cos cos sin 2k x x dx xdx xdx x x πππππ=-=-=--=⎰⎰⎰,所以88280128(1)(12)kx x a a x a x a x -=-=++++，令1x =得80128(12)1a a a a ++++=-=，,令0x =得01a =，所以12801280()110a a a a a a a a +++=++++-=-=，故选B.考点：1.积分运算；2.二项式定理.16．【2015年黑龙江预赛】设函数f (x )=sin 5x +1.则∫f (x )π2−π2dx 值为（）。

。2015福建高一数学预赛题及答案(WORD)

第 15 题图
∴
AF
CD 。
AC CP
……………… 4 分
∵ CF AB ， D 为 BC 中点，
∴
FD
1 BC DC
DB ， DFB
2
DBF 。
∴ AF FD 。于是， FA CA 。
AC CP
FD CP
又∵ AFD 180 DFB 180 ∴ △ AFD ∽△ ACP 。
ABC ACP 。 ……………… 8 分
f ( 1) g( 1) 1 1 3 。由 f (x) 为奇函数， g ( x) 为偶函数，得 f (1) g (1) 3 。… ②
2
2
2
① ②，得 2 f (1) 3 3 ， f (1) 3 。
2
4
8 ．已知直线 l ： x By 1 0 的倾斜角为
为
。
，若 45
120，则 B 的取值范围
∴ f ( x) 的最小值是 f ( 3) 与 f (3) 中较小者。 ∵ f ( 3) 2 3 ， f (3) 6 。 ∴ f ( x) 的最小值是 6 。
11．已知函数 y a2x 5a x 4 （ a 0 ，且 a 1 ）在区间 1，1 上的最小值为
y a2x 5a x 4 在区间【答案】 10
4
2
24
a 1 时， t
1 ，a ， y
(t
52 )
41 在 1 ，a 上为增函数。
a
24 a
5 ，则
4
4
∴
ymin
1 (
5 )2
41
a2 4
5 ，a
2 。 ymax
(2
5)2
41 10 。

专题01集合第一缉(解析版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题01集合第一缉1．【2021年江西预赛】集合M 是集合A={1，2，…，100}的子集，且M 中至少含有一个平方数或者立方数，则这种子集M 的个数是.【答案】288(212‒1).【解析】集合中的平方或者立方数构成集合 ,100},A ={1,2,⋯,100}B ={1,4,8,9,16,25,27,36,49,64,81其中有12个元素,从中挖去集合后剩下的元索构成集合 ,则中有88个元索,A B C C 由于的子集有个, 的非空子集有个,C 288B 212‒1集可表示为形式,其中是的任一非空子集, 是的任一子集,因此的个数为M M =B 0∪C 0B 0B C 0C M 288(212‒1).2．【2021年浙江预赛】给定实数集合A,B,定义运算 .设A ⊗B ={x∣x =ab +a +b,a ∈A,b ∈B} ,则中的所有元素之和为.A ={0,2,4,⋯,18},B ={98,99,100}A ⊗B 【答案】29970【解析】由 ,x =(a +1)(b +1)‒1则可知所有元素之和为 .(1+3+⋯+19)×300‒3×10=299703．【2021年广西预赛】集合的所有子集的元素的和等于 .M ={1,2,3,4,5,6}【答案】672【解析】所有子集的元素的和为 .25(1+2+3+4+5+6)=6724．【2021年新疆预赛】若实数集合的最大元素与最小元素之积等于该集合的所有元素之和，则{3,6,9,x}x 的值为 .【答案】94【解析】若是最大元素，则 ,解得 ,不合题意；x 3x =18+x x =9若是最小元素，则 ,解得；x 9x =18+x x =94若既不是最大元素也不是最小元素，则 ,解得 ,不合题意；x 27=18+x x =9所以 .x =945．【2021年全国高中数学联赛A 卷一试】设集合,其中为实数.令.若的A ={1,2,m }mB ={a 2∣a ∈A },C =A ∪B C 所有元素之和为6,则的所有元素之积为 .C【答案】‒8【解析】由条件知(允许有重复）为的全部元素.1,2,4,m ,m 2C 注意到,当为实数时,,故只可能是,且m 1+2+4+m +m 2>6,1+2+4+m 2>6C ={1,2,4,m }1+2+4+m =6.于是(经检验符合题意),此时的所有元素之积为.m =‒1C 1×2×4×(‒1)=‒86．【2020高中数学联赛B 卷（第01试）】设集合,A 是X 的子集,A 的元素个数至少是2,且A X ={1,2,⋯,20}的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A 的个数为 .【答案】190【解析】每个满足条件的集合A 可由其最小元素a 与最大元素b 唯一确定,其中a ,b ∈X ,a <b ,这样的的(a,b)取法共有种,所以这样的集合A 的个数为190.C 220=1907．【2020年福建预赛】已知[x]表示不超过实数的最大整数,集合,x A ={x∣x 2‒x ‒6<0}B =则.{x∣2x 2‒3[x]‒5=0}.A ∩B =【答案】{‒1,222}【解析】易知, .若 ,则A =(‒2,3)x ∈A [x]=‒2,‒1,0,1,2.当时,若 ,则 ,[x]=‒2x ∈B 2x 2+6‒5=0 不存在.x 当时,若 ,则[x]=‒1x ∈B 2x 2+3‒5=0⇒x =±1.经检验, 不符合要求, 符合要求.x =1x =‒1当时,若 ,则，[x]=0x ∈B 2x 2‒0‒5=0⇒x =±102均不符合要求.当时,若 ,则 ,[x]=1x ∈B 2x 2‒3‒5=0⇒x =±2均不符合要求.当时,若 ,则 .[x]=2x ∈B 2x 2‒6‒5=0⇒x =±222经检验, 符合要求, 不符合要求.故 .x =222x =‒222A ∩B ={‒1,222}8．【2020年甘肃预赛】设集合: , 若 ,则的取值范A ={(x,y)∣log a x +log a y >0}B =|(x,y)|x +y <a}.A ∩B =∅a 围是.【答案】(1,2]【解析】若 ,则 a >1A ={(x,y)∣xy >1}.而当与相切时，x +y =a xy =1.x +1x =a⇒x 2‒ax +1=0⇒a =2于是,当时, .若 ,则 ,此时， .a ∈(1,2]A ∩B =∅a <1A ={(x,y)∣xy <1}A ∩B ≠∅综上, .a ∈(1,2]9．【2020年广西预赛】已知集合 ,对的任意非空子集为集合中最大数与最小数的M ={1,2,⋯,2020}M A,λA A 和.则所有这样的的算术平均数为 .λA 【答案】2021【解析】考虑的子集若 ,则若 ,设中最大数为 ,最小M A '={2021‒x∣x ∈A}.A '=A λA'=λA =2021.A '≠A A a 数为 ,则 '中最大数为 ,最小数为2021- ，此时,b A 2021‒b a λA'+λA2=2021.故所求算术平均数为2021.10．【2020年广西预赛】设集合 ,且对集合中的任意元素则集合的元索M ={1,2,⋯,2020},A ⊆M A x,4x ∉A.A 个数的最大值为 .【答案】1616【解析】首先,构造404个集合 ,其中，{k,4k}k =1;8,9,⋯,31;127,128,⋯,505.其次,集合中的数除前述已提到的808个外,剩下的每个数单独构成一个集合 ,有1212个.M x {x}共个集合.404+1212=1616据抽臣原理,知若集合中有多于1616个数,则必有两个数取自上述同一集合.从而,存在 ,矛盾.A x,4x ∈A 故集合中至多有1616个数,满足条件的一个集合是A .A ={2,3,⋯,7,32;33,⋯,126,506,507,⋯,2020}11．【2020年吉林预赛】已知集合若 ,则的取值范围是 .A ={x∣log a (ax ‒1)>1}.2∈A a 【答案】(12,1)∪(1,+∞).【解析】由题意,得log 则或a (2a ‒1)>1.{0<a <1,0<2a ‒1<a {a >1,2a ‒1>a.解得或12<a <1a >1.12．【2020年浙江预赛】一个正整数若能写成形式,就称其为“好数".则集合20a +8b +27c (a ,b ,c ∈N) 中好数的个数为.{1,2,⋯,200}【答案】153【解析】先考虑 20a +8b =4(5a +2b). 可取5a +2b 2,4,5,6,⋯,50.则可取 .20a +8b 8,16,20,24,⋯,200故当时共有48个非零好数型）；c =0(4k 时共有42个好数型),此时好数为 ;c =1(4k +327,35,43,47,⋯,199 时共有35个好数型),此时好数为 c =2(4k +254,62,70,74,⋯,198; 时共有28个好数型),此时好数为c =3(4k +181,89,97,101,⋯,197.综上,共有个好数.48+42+35+28=15313．【2020年新疆预赛】已知集合 ,对于集合的每一个非空子集的所有元素，计算它们A ={1,2,3,⋯,2020}A 乘积的倒数.则所有这些倒数的和为 .【答案】2020【解析】集合的个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1，2，…，2020,1×2,1A 22020‒1 ,它们的倒数和为×3⋯,2019×2020,⋯,1×2×⋯×2020 1+12+…+12020+11×2+11×3+…+12019×2020+⋯+11×2×⋯×2020 .=(1+1)(1+12)⋯(1+12020)‒1=2×32×⋯×20212020‒1=202014．【2019年全国】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值{1,2,3,x }为.【答案】‒32【解析】由题意知，x 为负值，.∴3‒x =1+2+3+x⇒x =‒3215．【2019年江苏预赛】已知集合，，且，则实数A ={x|x 2‒3x +2≥0}B ={x|x ‒a ≥1}A ∩B ={x|x ≥3}a 的值是 .【答案】2【解析】，.又，故，解得.A ={x|x ≥2或x ≤1}B ={x|x ≥a +1}A ∩B ={x|x ≥3}a +1=3a =216．【2019年江西预赛】将集合中每两个互异的数作乘积,所有这种乘积的和为 .{1,2,⋯,19}【答案】16815【解析】所求的和为12[(1+2+⋯+19)2‒(12+22+⋯+192)]=12[36100‒2470]=1681517．【2019年新疆预赛】已知集合，，，则是集合的子集但U ={1,2,3,4,5,6,7,8}A ={1,2,3,4,5}B ={4,5,6,7,8}U 不是集合的子集，也不是集合B 的子集的集合个数为 .A B 【答案】196【解析】解法一:因为，且，所以满足题意的集合所含的元素至少在中取一个A ∪B =U A ∩B ={4,5}{1,2,3}且至少在中取一个，集合中的元素可取或不取，于是满足题意的集合共有{6,7,8}{4,5}(23‒1)(23‒1)×22个.=196解法二:集合的子集个数为，其中是集合或集合的子集个数为.所以满足条件的集合个数为U 28A B 25+25‒22个.28‒(25+25‒22)=19618．【2019年浙江预赛】已知集合为正整数，若集合中所有元素之和为，A ={k +1,k +2,⋯,k +n },k,n A 2019则当取最大值时，集合A =.n 【答案】A ={334,335,336,337,338,339}【解析】由已知.2k +n +12⋅n =3×673当时，得到;n =2m (2k +2m +1)m =3×673⇒m =3,n =6,k =333当时，得到.n =2m +1(k +m +1)(2m +1)=3×673⇒m =1,n =3所以的最大值为，此时集合.n 6A ={334,335,336,337,338,339}19．【2019年重庆预赛】设为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合，若A B ={x +y|x,y ∈A, x ≠y}，则集合________.B ={log 26, log 210, log 215}A =【答案】{1, log 23, log 25}【解析】设，其中A ={log 2a, log 2b, log 2c}0<a <b <c.则解得，从而。

2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷及参考答案

2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷及参考答案2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷（考试时间：2015年5月24日上午9：00—11: 30,满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）*JC +4I1 .设集合^ = J x∖—≤0,x∈Z ,从集合』中随机抽取一个元素，记W,则随机x-3 J '变量J的数学期望^ _____________________ 。

2 •已知∕fχ）= χ4g（jc）,其中g（x）是定义在R上，最小正周期为2的函数。

若/衣）在区间上的最大值为1 ,则幷）在区间［10,12）上的最大值为___________________ OJ L Z3 . ! ■、为椭圆：［∙I （—7 ）的左、右焦点，若椭圆「上存在一点/ ,使a b得门一宀；，则椭圆离心率J的取值范围为_______________ O4 •已知实数X, y, Z满足^ .,贝U - 2；- - 的最小值为_________________ o5•已知函数,数列-；•中，, ∙ n（―「「），则数列的前100项之和；O6 •如图，在四面体中二」，占畳1；L ］, "― L山—L∙L ,且川与平面二L所成角的余弦值为"。

则该四面体外接球半径H ______________________________________ O37•在复平面内，复数召、4、百的对应点分别为Z］、&&、。

若I=ISiM,OZ1［OZ^=0, I石4勺-® I二1,则I I的取值范围是 ________________________ o 8•已知函数恰有两个极值点［,［（H.）,则'.L的取值范围为__________________ O9•已知.;■!<- T ,若卜」Q —j — b I「「11 - + ij ,则：'■■；■ λ 的取值范围为_____________________ O亠兀2兀n兀 1 4兀 a ,亠10.若Sin Sin -∙ Sin tan ,则正整数lr:的最小值为。

极点极线--高考试题的命题背景(读者版)(2)(1)

0 0 0 极点极线---------高考试题中的命题背景MST 仙姐极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.一．定义已知圆锥曲线 C : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 , 则称点 P (x , y ) 和直线l : Ax 0 x + Cy 0 y + D (x + x 0 ) + E ( y + y 0 ) + F = 0是圆锥曲线С的一对极点和极线.在圆锥曲线方程中，以 x x 替换 x 2 ，以 x 0 + x 替换 x ，以 y y 替换 y 2，以 y 0 + y 0 2 02替换 y ，即可得到点 P (x 0 , y 0 ) 的极线方程.特别地：(1) 对于圆 (x - a )2 + ( y - b )2 = r 2, 与点 P （x 0 , y 0 ) 对应的极线方程为(x 0 - a （) x - a ) + ( y - b )( y - b ) = r 2；x 2 y 2 x x y y （2）对于椭圆 + = 1，与点 P (x 0 , y 0 ) 对应的极线方程为 0 + 0 = 1；a 2b 2 a 2 b 2x 2 y 2 x x y y （3）对于双曲线 - = 1，与点 P (x 0 , y 0 ) 对应的极线方程为 0 - 0 = 1；a 2b 2 a 2 b 2（4）对于抛物线 y 2 = 2 px ，与点 P (x 0 , y 0 ) 对应的极线方程为 y 0 y = p (x 0 + x )二、极点与极线的基本性质、定理一般地,有如下性质：①若极点 P 在曲线С上,则极线 L 是曲线С在 P 点的切线；②若极点 P 在曲线С外,则极线 L 是过极点 P 作曲线С的两条切线的切点连线（即切点弦所在直线）；③当P 在曲线С内时，其极线l 是曲线С过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.④特别地：圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线.定理1（配极原则）（1）点P 关于圆锥曲线C 的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于C 的极线q 经过点P ; （2）直线p 关于C 的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于C 的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.AQl如图，点 P 和直线 L 是关于曲线С的一对极点和极线,则 L 上任一点 Pn 对应的极线 Ln 必过点 P,反之亦然,任意过点 P 的直线 Ln 对应的极点 Pn 必在直线 L上定理 2.分割和调和分割如图 2，设点P 关于圆锥曲线C 的极线为l ，过点P 任作一割线交C 于A, B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ①；反之，若有①成立，则称点P,Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于C 调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线C 的调和共轭点为点Q (或点P )．点P 关于圆锥曲线C 的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线．PB图 2注意：极点与极线一般在小题中直接用很爽，但是在大题中，由于不在中学的课本范围内，解答题中我们只给出思路，很多书写过程还是参考之后提到的切线部分的阿基米德三角形写法，曲线系写法或者定比点差写法．1 应用 1．求切线和切点弦方程问题【例 1】（2013•山东）过点（3，1）作圆(x -1)2+ y 2= 1的两条切线，切点分别为 A 、B 则直线 AB 的方程为（）A ． 2x + y - 3 = 0B ． 2x - y - 3 = 0C ．4x - y - 3 = 0D ．4x + y - 3 = 0x 2 【例 2】(2011 江西）若椭圆 a 2 + y 2 b 2 = 1的焦点在x 轴上，过点（1，）作圆 x 2 2 +y 2 = 1的切线，切点分别为 A 、 B ,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【例 3】（2012 辽宁）已知 P , Q 抛物线 x 2= 2 y 上的两点，点 P , Q 的横坐标分别为 4，- 2 ，过P , Q 分别作抛物线的两条切线，两切线交于点 A ,则点 A 的纵坐标为（）A .1B .3C . - 4D . - 8【例 4】.（第二十二届希望杯全国数学邀请赛）从直线l : x + y= 1上的任意一点 P 作圆8 4O : x 2 + y 2 = 8 的两条切线，切点为 A 和 B ,则弦 AB 长度的最小值为.应用 2．讨论直线与圆锥曲线的位置关系理论依据：点 P 在曲线外⇔则点 P 对应的极线与曲线相交例 5.（2013 陕西）已知点 M (a , b ) 在圆O : x 2+ y 2= 1外，则直线 ax + by = 1与圆O 的位置关系是（）A. 相切B . 相交C . 相离D .不确定例 6. （ 2015 高中数学联赛福建预赛）已知过点 P (0,1) 斜率为 k 的直线 l 交双曲线2y 2 C : x -= 1 于 A , B 两点.3（1）求 k 得取值范围；（2）若 F 2 为双曲线C 右焦点，且|AF 2 | +|B F 2 |= 6 ,求 k 得值.应用 3 直线过定点或证明点在定直线上【例 7】（2019•武汉期末）设 P 是直线l : 2x + y + 9 = 0 上的任一点，过点 P 作圆 x 2 + y 2 = 9的两条切线 PA 、 PB ，切点分别为 A 、 B ，则直线 AB 恒过定点．x2 1【例8】（2019 全国三卷）已知曲线C : y =，D 为直线y =-上的动点，过D 作C 的2 2两条切线，切点分别为A 、B .(1)证明直线AB 过定点：（2）略.M x2 +y2 =P重要模型：如图点是椭圆a2 b21外的一点，过点作两条直线分别于椭圆交于A 、B 和C 、D 两点，N 是AD 与CD 的交点.证明：点N 在直线xxM +yyM = 1上.a2 b2（证明参看秒系列1 第四章专题定比点差法破极点极线）【例9】2010•x2+y2=（江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆9 5的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点T (t, m) 的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x1, y1) 、N (x2, y2) ，其中m > 0 ，y1 > 0 ，y2 < 0 ．（1）设动点P 满足PF 2 -PB2 = 4 ，求点P 的轨迹；（2）设x = 2 ，x =1 ，求点T 的坐标；1 2 3（3）设t = 9 ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．1【例 10 】（ 2009 福建）如图，已知椭圆的离心率 e =A 1 (-2,0), A 2 (2,0).(1) 求椭圆的方程；3 ，长轴的左右端点分别为2（2）设直线 x = my +1与椭圆C 交于 P , Q 两点， A 1P 与A 2Q 交于点 S .试问当 m 变化时，点 S 是否恒在一条定直线上?如是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【例 11】(2011 四川文)过点C (0，1) 的椭圆 x a 2y 2 + = 1(a > b > 0) 的离心率为 b 2 2 ，椭圆与x 轴交于两点 A (a ，0), B (0, b ) ,过点C 的直线l 与椭圆交于另一点 D ，并与 x 轴交于点 P ,直线 AC 与直线 BD 交于点Q .(1) 当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； (2) 当点 P 异于点 B 时，求证： OP ⋅OQ 为定值.3 2x2 y2【例12】（2008 安徽理）设椭圆C : +=1(a >b > 0) 过点M ,且左焦点为a2 b2(- 2,0) .(1)求椭圆C 的方程；（2）当过点P(4,1) 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的F1点A, B 时，在线段AB 上取点Q ,满足, | AP | ⋅ | QB |=| AQ | ⋅ | PB |，证明点Q 总在某定直线上.。