八年级下册数学《勾股定理与旋转》专题

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八年级数学下册《勾股定理》知识点总结

八年级数学下册《勾股定理》知识点总结八年级数学下册《勾股定理》知识点总结1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下：BC=AB∠C=90°（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°可表示如下：CD=AB=BD=ADD为AB的中点5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90°CD⊥AB6、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

8、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

勾股定理与旋转问题专题

202X
勾股定理与旋转问题专题
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C
一．在△ABC中，∠ACB=90°，
P
AC=BC，P是△ABC内一点，
A
B
PB=1，PC=2,PA=3.
求∠BPC
P' C
P
A
B
A P
B
D
二．P是正方形ABCD内一点， PA=1,PB=2,PC=3,以B为旋转中心，将△ABP按顺时针方向旋转，使得点A与C重合，点P旋转到点G.
E
A
D FC
C NP
BM
练习7、如图，在△ABC中，∠B=90°， M为AB上一点，AM=BC，N为BC上一点，CN=BM，连接AN、CM交于点P。求∠APM的大小。
A
求证：MN2=AM2+BN2 B
练习5、在等腰
C
Rt△ABC中，
∠CAB=90°,P是三角形
内一点，且
PA=1,PB=3,PC2=7
求：∠CPA的大小？
P
A
B
B
练习6.如图所示， △ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边 BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12， CF=5．求线段EF的长。
求∠APB
C
A
练习2.P是正三角
P
形ABC内一点，且
PA=3a,PB=4a,PC
=5a.
B
C
求∠APB
A
练习3.在四边形
ABCD中，
B ∠ABC=30°，
∠ADC=60°，
AD=CD.
求证： BD2=AB2+BC 2

与勾股定理相关的旋转问题

例3 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC 边上的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F。求证：AE2+CF2=DE2+DF2.
即学即练已知凸四边形ABCD中，∠ABC =∠ADC = 45°，AC＝AD，
求证：BD2=2AB2+BC2.
小结
1.这节课你学到了哪些解题的思想和方法? 2.本节课你还有什么困惑?
与勾股定理相关的旋转问题
学习目标
1.掌握与勾股定理相关的旋转问题模型； 2.会用旋转法做辅助线，构造直角三角形使用勾股定理； 3.掌握与勾股定理相关的旋转问题的解题方法和技巧。
方法指导：对于条件较分散而题中又含公共顶点相等的边（一般是相邻的边）时，常采用旋转法，将分散条件集中到一个三角形中去。
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E在BC 上，且∠DAE=45°，求证：CD2+BE2=DE2.
即学即练如图，等腰直角三角形ABC中，点D在斜边BC上，求证：
BD2+CD2=2AD2.

例2 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是 △ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数。
即学即练如图，P是等边三角形ABC内一点。
（1）若PA=4，PC=3，PB=5，求∠APC；（2）若∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，则以PA、PB、PC 为边的三角形的三个角分别是多少？
即学即练如图，P是正方形ABCD内一点，且 PA 1, PB 2, PC 3 ，
求∠APB的度数。

期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练—2023-2024学年八年级数学下学期(人教版)(解析版)

期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练【例题精讲】例1．（三角形翻折问题）如图，在Rt ABC △中，9086ABC AB BC ∠=︒==，，，分别在AB AC ，边上取点E F ，，将AEF △沿直线EF 翻折得到A EF '△，使得点A 的对应点A '恰好落在CB 延长线上，当60EA B '∠=︒时，AE 的长为，当A F AC '⊥时，AF 的长为．【答案】 32− 407【分析】由折叠的性质可得AE A E '=，先求出30A EB '∠=︒，从而可得1122A B A E AE ''==，再由勾股定理可得BE AE =，最后由AE BE AB +=，进行计算即可；令A F '交AB 于G ，连接CG ，由折叠的性质可得：A EA F '∠=∠，AFE A FE '∠=∠，AEF A EF '∠=∠，AF A F '=，由A F AC '⊥得出90A FA A FC ''∠=∠=︒，45AFE A FE '∠=∠=︒，证明()ASA A FC AFG '≌得到CF FG =，设CF FG x ==，则10AF x =−，AG ，根据1122ACG S AC FG AG BC =⋅=⋅建立方程，解方程即可得出CF 的长，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：AE A E '=，90ABC ∠=︒，18090A BE ABC '∴∠=︒−∠=︒，60EA B '∠=︒，9030A EB EA B ''∴∠=︒−∠=︒，1122A B A E AE ''∴==，BE AE∴==，AE BE AB+=，8AE AE∴=，32AE∴=−如图，令A F'交AB于G，连接CG，A F AC'⊥，90A FA A FC''∴∠=∠=︒，由折叠的性质可得：A EA F'∠=∠，AFE A FE'∠=∠，AEF A EF'∠=∠，AF A F'=，90AFE A FE'∠+∠=︒，45AFE A FE'∴∠=∠=︒，设A EA Fα'∠=∠=，则45FEB AFEα∠=∠=+︒，180135AEF FEB A EFα'∴∠=︒−∠=︒−=∠，()13545902A EB A EF BEFααα''∴∠=∠−∠=︒−−︒+=︒−，902EA B A EBα''∴∠=︒−∠=，FA C EA B EA F Aα'''∴∠=∠−∠==∠，在A FC'和AFG中，CA F AA F AFA FC AFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''⎩'，()ASAA FC AFG'∴≌，CF FG∴=，在Rt ABC△中，9086ABC AB BC∠=︒==，，，10AC∴，设CF FG x==，则10AF x=−，AG∴==1122ACGS AC FG AG BC=⋅=⋅，106x∴⋅=，整理得：271809000x x+−=，即29014400749x⎛⎫+=⎪⎝⎭，9012077x∴+=±，解得：307x=或30x=−（不符合题意，舍去），307CF∴=，30401077AF AC CF∴=−=−=，故答案为：32−407．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．例2．（坐标系中折叠问题）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC OA、分别在x轴、y轴上，6AB=，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F 恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是．【答案】⎛−⎝⎭或(−【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得6AF AB==，BE EF=，90AFE B∠=∠=︒，再分当点F靠近点C时，24CF OF==，，当点F靠近点O 时，则42CF OF==，，两种情况利用勾股定理先求出OA的长，进而得到BC的长，设出CE 的长，进而得到EF的长，在Rt EFC△中，由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：在长方形ABCO 中，6CO AB ==，90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，由折叠的性质可得6AF AB ==，BE EF =，90AFE B ∠=∠=︒，F 恰好是边OC 的三等分点，∴当点F 靠近点C 时，24CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA =，∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222EF CF CE =+，∴()2222xx =+，解得x =，∴点E的坐标是⎛− ⎝⎭；当点F 靠近点O 时，则42CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA ==∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222CF CE =+，∴()2224x x =+，解得x =∴点E的坐标是(−；综上所述，点E的坐标是⎛− ⎝⎭或(−，故答案为：⎛− ⎝⎭或(−．例3．（四边形折叠问题）如图，已知矩形ABCD ，4AB =，5BC =，点P 是射线BC 上的动点，连接AP ，AQP △是由ABP 沿AP 翻折所得到的图形．(1)当点Q 落在边AD 上时，QC = ；(2)当直线PQ 经过点D 时，求BP 的长；(3)如图2，点M 是DC 的中点，连接MP 、MQ ．①MQ 的最小值为；②当PMQ 是以PM 为腰的等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】(2)2BP =或8BP =(3) 2.9BP =或4BP =或10BP =【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；（2）分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，两种情况，进行讨论求解；（3）①连接AM ，勾股定理求出AM 的长，折叠求出AQ 的长，根据MQ AM AQ ≥−，求出最小值即可；②分PM MQ =和PM PQ =两种情况，再分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当点Q 落在边AD 上时，如图所示，∵矩形ABCD ，4AB =，5BC =，∴4,5CD AB AD BC ====，90BAD B BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，∵翻折，∴4,90AQ AB AQP B ==∠=∠=︒，∴1DQ AD AQ =−=，在Rt CDQ △中，CQ ==（2）当直线PQ 经过点D 时，分两种情况：当点P 在线段BC 上时，如图：∵翻折，∴4AQ AB ==，90AQP B ∠=∠=︒，BP PQ =，∴90AQD ∠=︒，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BC BP x =−=−，3DP DQ PQ x =+=+，在Rt PCD △中，222DP CP CD=+，即：()()222345x x +=+−，∴2x =；∴2BP =；②当P 在线段BC 的延长线上时：∵翻折，∴4,90AQ AB Q B ==∠=∠=︒，BP PQ =，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BP BC x =−=−，3DP PQ DQ x =−=−，在Rt PCD △中，222DP CP CD =+，即：()()222345x x −=+−，∴8x =；∴8BP =；综上：2BP =或8BP =；（3）①连接AM ，∵M 是CD 的中点， ∴122DM CM CD ===，∴AM =∵翻折，∴4AQ AB ==，∵MQ AM AQ ≥−，∴当,,A Q M 三点共线时，MQ 的值最小，即：4MQ AM AQ =−=4；②当PM PQ =时，如图：∵翻折，∴BP PQ PM ==，设BP x =，则：,5PM x CP BC BP x ==−=−，在Rt PCM 中，222PM CM PC =+，即：()22225x x =+−，解得： 2.9x =，即： 2.9BP =；当PM QM =，点P 在线段BC 上时，如图：∵,QM PM DM CM ==，90D C ∠=∠=︒，∴()HL MDQ MCP ≌，∴CP DQ =，点Q 在AD 上，由（1）知：1DQ =，∴1CP DQ ==，∴4BP BC CP =−=；当点P 在BC 的延长线上时：如图：此时点M 在AP 上，连接BM ，∵翻折，∴BM MQ PM ==，∵MC BP ⊥，∴210BP BC ==；综上： 2.9BP =或4BP =或10BP =．质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【模拟训练】1．如图，在长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF DC 、相交于点G ，若8DG =，10BC =，则DC = ．【答案】258【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接EG ，根据点E 是AD 的中点得DE AE EF ==，根据四边形ABCD 是长方形得90D A ∠=∠=︒，根据将ABE 沿BE 翻折得到FBE 得90BFE D A ∠=∠=∠=︒，利用HL 证明Rt Rt EFG EDG △≌△，得8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG V △中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，进行计算即可得．【详解】解：如图所示，连接EG ，∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFG EDG V V ≌，∴8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG 中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，∴222(8)10(8)x x −+=+，解得258x =，故答案为：258．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，点D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，将BCD △沿CD 折叠，得到CDE ，当DE 与ABC 的直角边垂直时，AD 的长是．【答案】154或54【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分DE BC ⊥和DE AB ⊥两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：如图，当DE BC ⊥时，延长ED 交BC 于点F ，CE 与AB 相交于点M ，∵EF BC ⊥，∴90EFC EFB ∠=∠=︒，∴90E ECF ∠+∠=︒，由折叠得，B E ∠=∠，CE CB =，MCD FCD ∠=∠，∴90B ECF ∠+∠=︒，∴90CMB ∠=︒，即C M A B ⊥，∵90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，∴5BC ==， ∵1122ABC S AC BC AB CM ==△，∴11512552424CM ⨯⨯=⨯⨯，解得3CM =，∴4BM =，∵90CFD CMD FCD MCD CD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS CFD CMD ≌，∴3CF CM ==，DF DM =，∴532BF BC CF =−=−=，设DF DM x ==，则4BD x =−，在Rt BFD 中，222DF BF BD +=，∴()22224x x +=−，解得32x =， ∴35422BD =−=， ∴25515424AD AB BD =−=−=；当DE AB ⊥时，如图，设DE 与AC 相交于点M ，由折叠可得，BCD ECD ∠=∠，DE DB =，ED BD =，5EC BC ==，∵DE AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴DE BC ∥，∴EDC BCD ∠=∠，∴EDC ECD ∠=∠，∴5ED EC ==，∴5BD ED ==， ∴255544AD AB BD =−=−=；综上，AD 的长是154或54，故答案为：154或54．3．如图，等边三角形ABC 中，16AB BD AC =⊥，于点D ，点E F 、分别是BC DC 、上的动点，沿EF 所在直线折叠CEF △，使点C 落在BD 上的点C '处，当BEC '△是直角三角形时，BE 的值为．【答案】24−或323【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由等边三角形的性质可得30DBC ∠=︒，分9090BEC BC E ''∠=︒∠=︒，两种情况讨论，由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：ABC 是等边三角形，BD AC ⊥，30,DBC ∴∠=︒ 由折叠的性质可得：,CE C E '=若90,BEC ∠'=︒且30,C BE ∠'=︒,2,BE E B E C C ∴='''=16,BE CE BC +==16,CE +=8,E E C C ∴'==24BE ∴=−若90,30,E C B E C B ∠'=︒='∠︒2,,BE E B C E C ∴'''=16,BE CE BC +==16,3CE E C =='∴ 32.3BE ∴=故答案为∶ 24−323．4．如图，在ABC 中，120ACB ∠=︒，8AC =，4BC =，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，使点A 落在CD 的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段FA '的长为．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于H ，由直角三角形的性质可求142HC AC ==，AH =AB 的长，由面积法可求CE 的长，由折叠的性质可求90BEC DEC ∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，然后再求解即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥，交BC 的延长线于H ，120ACB ∠=︒，ACB H HAC ∠=∠+∠，30HAC ∴∠=︒，142HC AC ∴==，AH ==，448BH ∴=+=，AB ∴1122ACB S BC AH AB CE =⨯⨯=⨯⨯，4CE ∴=，CE ∴，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，90BEC DEC ∴∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，1602ECF ACB ∴∠=∠=︒，30CFE ∴∠=︒，EF ∴，在Rt BCE中，BE ===，AF AB EF BE ∴=−−==FA AF '∴==故答案为：5．如图，点D 是ABC 的边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折能与ECD 重合，若4AB =，2CD =，1AE =，则点C 到直线AB 的距离为．【答案】【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得AEB △为直角三角形，且G 为BE 中点，从而CG BE ⊥，由勾股定理可得BE的长，再根据2ABC BDC S S =△△，即11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，从而可求得CH 的长．【详解】解：连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质可得：BD ED =，CB CE =，∴CG 为BE 的中垂线， ∴12BG BE =，∵点D 是AB 的中点，4AB =，2CD =，1AE =， ∴122BD AD AB ===，CBD CAD S S =，AD DE =，∴DBE DEB ∠=∠，DEA DAE ∠=∠，∵180EDA DEA DAE ∠+∠+∠=︒，即22180DEB DEA ∠+∠=︒，∴90DEB DEA ∠+∠=︒，即90BEA ∠=︒，∴BE∴12BG BE ==， ∵2ABC BDCS S =△△， ∴11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，∴422CH =⨯，∴CH ，∴点C 到直线AB 的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出CG 为BE 的中垂线，2ABC BDC S S =△△．6．如图，在ABC 中，90,A AB AC ∠=︒==D 为AC 边上一动点，将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 的对应点C '落在射线CA 上，连接BC '，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为．【答案】或【分析】由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==时，分别根据勾股定理求出AC '的长，再求出CC '的长即可【详解】解：由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，90,A AB AC ∠=︒==∴由勾股定理得，222BC AC AB ''−=，即222(2)AC AC ''−=，AC '∴=CC '∴CD ∴；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，同理得AC 'CC '∴CD ∴；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==由勾股定理得，222AC BC AB ''=−，即22218AC '=−=，AC '∴=CC '∴CD ∴=，0>，CD AB ∴>，此时点D 不在边AC 上，不符合题意，舍去，综上，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP '，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为．【答案】【分析】当A P AB '⊥时，过点C 作CD AB ⊥于D ，可知125CD =，95AD =，得出PDC △为等腰直角三角形，得到PD CD =，求出PA '和BP 的长，利用勾股定理即可求出BA '的长．【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，∴5AB = ∵1122AC BC AB CD ⨯=⨯，125CD ∴=，在Rt ADC 中，3AC =∴95AD ==，当A P AB '⊥时，如图由折叠性质可知12∠=∠，PA PA '=，又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒，345∴∠=︒，23∴∠=∠，125PD CD ∴==，又PA PD AD =+，12921555PA ∴=+=，又PA PA '=，215PA '∴=，又BP AB PA =−，214555BP ∴=−=，在Rt BPA '△中，90BPA ∠='︒，222BP PA BA ∴='+，2224214575525BA ⎛⎫⎛⎫'∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BA '∴=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连接DC ，将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，连接AE ，若AE CE =，4BC =，则D 到CE 的距离是．【答案】2【分析】本题考查等腰直角三角形中的折叠问题，涉及等边三角形判定与性质，勾股定理应用、面积法等知识．设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，根据将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，AC BC =，AE CE =，可得ACE △是等边三角形，即知60ACE ∠=︒，而90ACB ∠=︒，故150BCE ∠=︒，30ECF ∠=︒，可得75BCD ECD ∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =BE =15CBE ∠=︒，可得90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥，从而12BG BE GE ===，由勾股定理得CG ，在Rt BDG △中，DG ，即得CD DG CG =+，由面积法可得D 到CE 的距离是2．【详解】解：设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，如图：将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，4BC CE ∴==，BCD ECD ∠=∠，AC BC =，AE CE =，AC BC CE AE ∴===，ACE ∴是等边三角形，60ACE ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，150BCE ∴∠=︒，30ECF ∠=︒，75BCD ECD ∴∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =在Rt BEF △中，BE ==BCE 中，BC CE =，150BCE ∠=︒，15CBE ∴∠=︒，18090BGC BGC BCD ∴∠=︒−∠−∠=︒，即CG BE ⊥，12BG BE GE ∴==，CG ∴===，45ABC ∠=︒，15CBE ∠=︒，30DBG ∴∠=︒，在Rt BDG△中，DG =，CD DG CG ∴=+=，设D 到CE 的距离是h ，2DCE S CE h DC GE ∆=⋅=⋅，324DC GE h CE ⋅∴===，故答案为：2．9．在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．【纸片规格】三角形纸片ABC ，120ACB ∠=︒，CA CB =，点D是底边AB 上一点．【换作探究】(1)如图1，若6AC =，AD =CD ，求CD 的长度；(2)如图2，若6AC =，连接CD ，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，点A 的对应点为点.E 若DE 所在的直线与ABC 的一边垂直，求AD 的长；(3)如图3，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，边CE 与边AB 交于点F ，且DE BC ∥，再将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，点E 的对应点为点G ，DG 与CE 、BC 分别交于H ，K ，若1KH =，请直接写出AC 边的长．【答案】(1)(2)3或(3)3【分析】（1）作CE AB ⊥于E ，求得30A B ==︒∠∠，从而得出132CE AC ==，AE AC =进而得出DE AE AD =−=（2）当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，依次得出45DAE DEA ∠=∠=︒，304575CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∠=∠=︒，30ACE ∠=︒，15ACD DCE ∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∠=∠+∠=︒，从而DG CG =，进一步得出结果；当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，可推出90AVC ∠=︒，60ACE ∠=︒，从而30ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；当DE BC ⊥时，可推出180ACB BCE ∠+∠=︒，从而90ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；（3）可推出CKH 和CDH △及CHK 是直角三角形，且30HCK ∠=︒，30HDF ∠=︒，45DCH ∠=︒，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图1，作CE AB ⊥于E ，90AEC ∴∠=︒，CA CB =，120ACB ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，132CE AC ∴==，AE =，DE AE AD ∴=−==CD ∴=；（2）解：如图2，当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，由翻折得：AD DE =，CAD CED =∠∠，AC CE =，45DAE DEA ∠∠∴==︒，304575CAE CAD DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∴∠=∠=︒，30ACE ∴∠=︒，15ACD DCE ∴∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∴∠=∠+∠=︒，DG CG ∴=，由（1）知：3CG =，AG =3AD AG DG ∴=−=；如图3，当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，90E ACE ∴∠+∠=︒，E A ∠=∠，90A ACE ∴∠+∠=︒，90AVC ∴∠=︒，60ACE∴∠=︒，30ACD DCE∴∠=∠=︒，ACD A∴∠=∠，AD CD∴=，3CV =，CD∴=，AD CD∴==如图4，当DE BC⊥时，30E A∠=∠=︒，60BCE∴∠=︒，180ACB BCE∴∠+∠=︒，90ACD DCE∴∠=∠=︒，AD∴=，综上所述：3AD=或（3）解：如图5，∵DE BC ∥，30B C ∠=∠=︒，30BCF E ∴∠=∠=︒，30EDF B ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，90ACE ∴∠=︒，1452ECD ACD ACE ∴∠=∠=∠=︒，将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，30GDF EDF ∴∠=∠=︒，60EDG ∴∠=︒，90CHK EHD ∴∠=∠=︒，DH CH ∴=1FH ∴==，1CF CH FH ∴=+，3AC ∴==．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．10．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF ∠=︒，连接CF ．(1)请判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)若8BC =，4CD BC =，求线段AD 的长；(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF △沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE ，求线段CE 的长．【答案】(1)CF BC ⊥，理由见解析(2)(3)【分析】（1）证明()SAS ABD ACF △≌△，则ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，根据180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，可得90FAO DCO ∠=∠=︒，进而可得CF BC ⊥；（2）如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，则142BH CH AH BC ====，6DH =，由勾股定理得，AD =（3）由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，证明()AAS ADM DEN ≌，则46DN AM EN DM ====，，6CN =，由勾股定理得，CE =计算求解即可．【详解】（1）解：CF BC ⊥，理由如下：∵等腰直角DAF △，90DAF ∠=︒，∴AD AF =，又∵90BAC ∠=︒，∴BAC CAD DAF CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAF ∠=∠，∵AB AC =，BAD CAF ∠=∠，AD AF =，∴()SAS ABD ACF △≌△，∴ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，∵180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，∴90FAO DCO ∠=∠=︒，∴CF BC ⊥；（2）解：∵8BC =，4CD BC =，∴2CD =，如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，∵ABC 是等腰直角三角形， ∴142BH CH AH BC ====，∴6DH =，由勾股定理得，AD =∴线段AD 的长为（3）解：由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，∴90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，∴90AMD DNE ∠=︒=∠，同理（2）可知，4AM =，6MD =，∵90ADM EDN EDN DEN ∠+∠=︒=∠+∠，∴ADM DEN ∠=∠，∵90AMD DNE ∠=︒=∠，ADM DEN ∠=∠，AD DE =，∴()AAS ADM DEN ≌，∴46DN AM EN DM ====，，∴6CN =，由勾股定理得，CE =，∴线段CE 的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．11．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，点D 为BC 边上一动点，将ACD 沿直线AD 折叠，得到AFD △，请解决下列问题．(1)AB =______；当点F 恰好落在斜边AB 上时，CD =______；(2)连接CF ，当CBF V 是以CF 为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F 到直线AC 的距离；(3)如图3，E 为边BC 上一点，且4，连接EF ，当DEF 为直角三角形时，CD = ．（请写出所有满足条件的CD 长）【答案】(1)13，103(2)画图见解析，600169(3)52或或5或10【分析】（1）根据勾股定理可得AB 的长，再利用等积法求出CD 即可；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，首先由等积法求出CH 的长，再根据勾股定理求出AH 的长，再次利用等积法可得FG 的长；（3）分90DEF ∠=︒或90EDF ∠=︒或90EFD ∠=︒分别画出图形，从而解决问题．【详解】（1）解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，13AB ，当点F 落在AB 上时，由折叠知，CD DF =， ∴111222AC CD AB DF AC BC ⋅+⋅=⋅，51360CD CD ∴+=，103CD ∴=，故答案为：13，103；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，BC BF =，AC AF =，AB ∴垂直平分CF ，由等积法得6013AC BC CH AB ⋅==，在Rt ACH 中，由勾股定理得，2513AH ===， 1122ACF S AC FG CF AH =⋅=⋅△，6025260013135169CF AH FG AC ⨯⨯⋅∴===；（3）当90DEF ∠=︒时，当点D 在CE 上时，作FH AC ⊥于H ，则4HF CE ==，5AF AC ==，3AH ∴=，2CH EF AC AH ∴==−=，设CD x =，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)2x x =−+，解得52x =，52CD ∴=，当点D 在EB 上时，同理可得538CH AC AH =+=+=，设CD DF x ==，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)8x x −+=，解得10x =，10CD ∴=，当90DFE ∠=︒时，由勾股定理得AE设CD DF x ==，则520x +=，x ∴，CD ∴=；当90FDE ∠=︒时，则45ADC ADF ∠=∠=︒，5CD AC ∴==，综上：52CD =或或5或10，故答案为：52或或5或10．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用等积法求垂线段的长是解题的关键．。

人教版八年级数学下册《勾股定理》（提高）知识点讲解及例题解析

勾股定理（提高）知识点讲解及例题解析【学习目标】1. 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．会运用方程思想解决问题．3. 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．用方程思想解决问题．【要点梳理】【勾股定理知识要点】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方..如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系的数量关系. .（（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的来，达到了解决问题的目的. .（（3）理解勾股定理的一些变式：）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+- 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（11）所示的正方形的正方形. .图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（22）所示的正方形的正方形. .图（图（22）中，所以.方法三：如图（方法三：如图（33）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形梯形. .，所以.要点三、勾股定理的作用 1.1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.2. 用于解决带有平方关系的证明问题；用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 3. 利用勾股定理，作出长为利用勾股定理，作出长为的线段的线段..【典型例题】类型一、勾股定理的应用1、如图所示，在多边形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝2，CD CD＝＝1，∠，∠A A ＝4545°，∠°，∠°，∠B B ＝∠＝∠D D ＝9090°，求多边形°，求多边形ABCD 的面积．的面积．【答案与解析】解：延长AD AD、、BC 相交于点E∵ ∠∠B ＝9090°，∠°，∠°，∠A A ＝4545°° ∴ ∠∠E ＝4545°，∴°，∴°，∴ AB AB AB＝＝BE BE＝＝2 ∵ ∠∠ADC ADC＝＝9090°，∴°，∴°，∴ ∠∠DCE DCE＝＝4545°，°，°， ∴ CD CD＝＝DE DE＝＝1∴ 12222ABE S=´´=△，111122DCE S =´´=△．∴ 13222ABE DCE ABCD S S S =-=-=△△四边形．【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题．决面积问题．举一反三：【变式】（20182018•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，BC=2BC=2BC=2，，S △ABC =3=3，∠ABC=135°，求，∠ABC=135°，求AC AC、、AB 的长．的长．【答案】解：如图，过点A 作AD⊥BC 交CB 的延长线于D ，在△ABC 中，∵S △ABC =3=3，，BC=2BC=2，， ∴AD===3=3，，∵∠ABC=135°，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°， ∴AB=AD=3， BD=AD=3BD=AD=3，，在Rt△ADC 中，中，CD=2+3=5CD=2+3=5CD=2+3=5，，由勾股定理得，由勾股定理得，AC=AC===．2、已知直角三角形斜边长为2，周长为26+，求此三角形的面积．形的面积．【思路点拨】欲求Rt Rt△的面积，只需求两直角边之积，而由△的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为6，结合勾股定理又得其平方和为4，于是可转化为用方程求解．【答案与解析】解：设这个直角三角形的两直角边长分别为a b 、，则，则2222262a b a b ì++=+ïí+=ïî 即即2264a b a b ì+=ïí+=ïî①②将①两边平方，得2226a ab b ++= ③③ ③－②，得22ab =，所以1122ab =因此这个直角三角形的面积为12．【总结升华】此题通过设间接未知数a b 、，通过变形直接得出12ab 的值，而不需要分别求出a b 、的值．本题运用了方程思想解决问题．思想解决问题．3、（2018春•黔南州期末）春•黔南州期末）长方形纸片长方形纸片ABCD 中，中，AD=4cm AD=4cm AD=4cm，，AB=10cm AB=10cm，按如图方式折叠，使点，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF EF，，求DE 的长．的长．【思路点拨】在折叠的过程中，在折叠的过程中，BE=DE BE=DE BE=DE．从而设．从而设BE 即可表示AE AE．在直角三角形．在直角三角形ADE 中，根据勾股定理列方程即可求解．中，根据勾股定理列方程即可求解．【答案与解析】解：设DE=xcm DE=xcm，则，则BE=DE=x BE=DE=x，，AE=AB AE=AB﹣﹣BE=10BE=10﹣﹣x ，△ADE 中，中，DE DE 22=AE 22+AD 22，即x 22=（1010﹣﹣x ）22+16+16．．∴x=（cm cm））．答：答：DEDE 的长为cm.思路点拨】其中一只猴子从另一只猴子从B→D→A于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：解：如图②所示，由题意可得： 12AA ¢=，12392A B p ¢=´´=在在Rt Rt△△AA AA′′B 中，根据勾股定理得：中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ¢¢=+=+=则则AB AB＝＝15cm ．所以需要爬行的最短路程是所以需要爬行的最短路程是15cm ．。

部编人教版八年级数学下册勾股定理专题

部编人教版八年级数学下册勾股定理专题（含解答）目录1.勾股定理与特殊角问题－－化斜为直2.勾股定理与半夹角模型3.勾股定理与面积问题4.勾股定理与2和3问题5.勾股定理与分类讨论6.折叠中勾股定理与方程7.勾股定理与旋转问题8.借助勾股定理求最值专题一勾股定理与特殊角问题－－作垂化斜为直【方法技巧】①含ο30角的直角三角形中，勾∶股∶弦＝2:3:1②含ο45角的直角三角形中，勾∶股∶弦＝2:1:1重点强化一 ο30 或ο45 或ο60→作垂线→ 构成特殊直角三角形1. （2019年盐城）如图，在△ABC 中， ,45,30,26οο=∠=∠+=C B BC 求AC 的长。

重点强化二 ο75 或ο105 →作垂线→ 转化为 ο30 或ο45直角三角形2. 如图，在△ABC 中，的长。

求AB AC A B ,32,75,45==∠=∠οο3. 如图，在△ABC 中，的长。

求BC AC BAC C ,2,105,45==∠=∠οο重点强化三， ο120 或ο135 →作垂线→ 转化为 ο30 或ο45直角三角形4. 如图，在△ABC 中，的长。

求AC AB B C ,32,30,120==∠=∠οοABC5. 如图，在，在△ABC 中，的长。

和求BC AC AB B C ,22,135,30==∠=∠οο重点强化四 ο15 或ο5.22 →加倍→ 转化为 ο30 或ο45直角三角形6.（1）【阅读材料】，如图1：在Rt △ABC 中的值。

求CDAC D C ,5.22,90οο=∠=∠图1 图2 解：在CD 上截取BD ＝AB ，则ο452=∠=∠D ABC12a)12(a ,a 12a2,a ,a -=+++==＝）＝（＝又＝则＝设CD AC CB BD CD BD AB BC AC Θ （2）【实际运用】如图2：在Rt △ABC 中的值。

求CDAC D C ,15,90οο=∠=∠参考答案1.解：如图：过点A 作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵,45,30οο=∠=∠C B21326213226,2133,3＝）（＝＝＝＝＝－－＝又+++∴+=+∴∴==BC AC BC DC AC BCDC DCDC BC DCBC BD DCAD AD BD ΘΘ ,45,30,26οο=∠=∠+=C B BC2. 解：过点A 作AD 垂直于BC 于DοοοΘ60,75,45=∠∴=∠=∠C A B在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，,60,45οο=∠=∠C B,2,23AD AB AC AD ==∴ ,32=AC Θ又2332232=••=∴AB3.解：过点A 作AD 垂直于BC 于D A B C D.30,105,45οοοΘ=∠∴=∠=∠B BAC C在Rt △ABD 和Rt △ADC 中AC DC AD BD 22,3==∴ 2,=AC DC AD ＝又Θ1222,32223=•==••∴DC BD ＝ ,DC BD BC +＝又Θ13+∴＝BC4.解：过点C 作CD 垂直于AB 于D在△ABC 中,30,120οοΘ=∠=∠B C ,30ο=∠∴A DB AD =∴ ,32=AB Θ又,3=∴AD在Rt △ADC 中，632332=•=•=∴AD AC5.解：过点A 作CB 延长线的垂线于D,45,135οοΘ=∠∴=∠BDA B在Rt △ADB 中AB BD AD 22==∴ 22222,22=•==∴=BD AD AB Θ 在Rt △ADC 中,30οΘ=∠C AD CD AD AC 3,2==∴32,4==∴CD AC232-=-=∴DB CD BC6. 解：如图，过点A 作AB 交DC 于B ，使ο30=∠ABC在△ADC 中，,15,90οοΘ=∠=∠D C ,75ο=∠∴DBCοΘ30=∠ABCBA BD BAD =∴=∠,15οΘAC BC BD BA AC 3,2121===∴ 3232132-=+=+=+=∴AC AC AC BC BD AC CD AC专题二勾股定理与夹半角模型【方法技巧】夹半角，巧旋转，线集中，勾股解。

新人教版(湖北)八年级数学下册课件：专题9 勾股定理与旋转

第十七章
专题9
勾股定理
勾股定理与旋转
武汉专版· 八年级下册
1．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，∠EAF＝45°， ∠B＋∠D＝180°.求证：EF＝BE＋DF.
【解析】∵AB＝AD，∴把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，可使 AB 与 AD 重合， ∴∠BAE＝∠DAG.∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°. ∴∠EAF＝∠FAG.∵∠ADC＋∠B＝180°，∴∠FDG＝180°，即点 F，D，G 共线． AE＝AG，在△AFE 和△AFG 中， ∠FAE＝∠FAG，∴△AFE≌△AFG(SAS)． AF＝AF， ∴EF＝FG，即 EF＝DG＋DF.又∵DG＝BE，∴EF＝BE＋DF.
2．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D，E 均在边 BC 上，且∠DAE＝45°，若 BD】∵AB＝AC，∴把△ABD 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ACG，可使 AB 与 AC 重合， ∠B＝∠ACG，BD＝CG，AD＝AG.在△ABC 中，∠BAC＝90°，∴∠ACB＋∠ACG＝∠ACB ＋∠B＝90°，即∠ECG＝90°.连接 EG，则易得 EC ＋CG ＝EG .在△AEG 和△AED 中， ∠EAG＝∠EAC＋∠CAG＝∠EAC＋∠BAD＝90°－∠EAD＝45°＝∠EAD.又∵AG＝AD，AE ＝AE，∴△AEG≌△AED(SAS)．∴DE＝GE.又∵CG＝BD，∴BD2＋EC2＝DE2.∵BD＝1，EC ＝2，∴DE＝ 5.
2 2 2
4．在凸四边形 ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：BD ＝AB ＋BC .

旋转与勾股定理的三种题型ppt课件

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变式3：如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。变式4：正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC= 1：2：3，求∠APB的度数。
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下课了!
诲 •悟性的高低取决于有无悟“心人 ”,其实,人与人的差别就在于你不是否去思考, 去发现，去总结。倦
由勾股定理的逆定理知∠APPl=90o
∠APB=∠APPl+∠BPPl=900+600=1500
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变式1：如图，P是正三角形ABC内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。
变式2：如图1，P是正三角形ABC内的一点，且 PA=3a，PB=4a，PC=5a，求∠APB的度数。
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（一）正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。
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例3
如图，点P是等边△ABC内一点，且PA=3， PB=4，PC=5，求∠APB的度数。
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解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110．故选C．
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(2011·温州中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2 由弦图记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1， S2,S3,若S1+S2+S3=10，则S2的值是_____.

初二数学下册知识点《勾股定理》150题及解析

初二数学下册知识点《勾股定理》经典例题及解析一、选择题（本大题共50小题，共150.0分）1.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A.B.C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形=是解此题的关键．ABCD根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，∵S菱形ABCD=，∴，∴DH=，故选A．2.在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A. 10B. 8C. 6或10D. 8或10【答案】C【解析】解：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB=10，AC=2，AD=6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD==8，CD==2，此时BC=BD+CD=8+2=10；如图2所示，AB=10，AC=2，AD=6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD==8，CD==2，此时BC=BD-CD=8-2=6，则BC的长为6或10．故选：C．分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．3.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A.B. 2C.D. 10-5【答案】B【解析】解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），AG2+BG2=AB2，∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE-BG=8-6=2，同理可得HE=2，在RT△GHE中，GH===2，故选：B．延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=2、HE=CH-CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．4.如图，矩形纸片ABCD中，，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若，则AB的长为（）A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm【答案】C【解析】【分析】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等.根据折叠前后角相等可证AO=CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可.【解答】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠EAC=∠ACD，∴AO=CO=5cm，在直角三角形ADO中，DO==3cm，AB=CD=DO+CO=3+5=8cm.故选C.5.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）A. （，1）B. （2，1）C. （1，）D. （2，）【答案】D【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．由已知条件得到AD'=AD=2，AO=AB=1，根据勾股定理得到OD'==，于是得到结论．【解答】解：∵AD'=AD=2，AO=AB=1，∴OD'==，∵C'D'=2，C'D'∥AB，∴C'（2，），故选D．6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A. 0.7米B. 1.5米C. 2.2米D. 2.4米【答案】C【解析】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选：C．先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为( )．A. 5cmB. 10cmC. 14cmD. 20cm【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，根据勾股定理得，AB===5cm，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．故选D．8.如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：（1）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（2）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（3）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．综上可得，面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．故选D．根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2=c2．（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握9.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴BC==5，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=，∵•BC•AH=•AB•AC，∴AH=，∵AE=AB，∴点A在BE的垂直平分线上．∵DE=DB=DC，∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，∴AD垂直平分线段BE，∵•AD•BO=•BD•AH，∴OB=，∴BE=2OB=，在Rt△BCE中，EC===，故选：D．如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．10.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC=AC1，∠CAC1=60°，∵AB=8，AC=6，∠BAC=30°，∴∠BAC1=90°，AB=8，AC1=6，∴在Rt△BAC1中，BC1的长=，故选：C．根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°，进而利用勾股定理解答即可．此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°．11.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A. B. 3 C. 6 D. 9【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了根与系数的关系有关知识，根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算.【解答】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，∴a+b=4，ab=3.5；根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，∴c=3，故选B.12.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△GAO≌△EBO，得到OG=OE=1，证明△BFG∽△BOE，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，∴∠AOB=90°，AO=BO=CO=3，∵AF⊥BE，∴∠EBO=∠GAO，在△GAO和△EBO中，，∴△GAO≌△EBO，∴OG=OE=1，∴BG=2，在Rt△BOE中，BE==，∵∠BFG=∠BOE=90°，∠GBF=∠EBO，∴△BFG∽△BOE，∴=，即=，解得，BF=.故选A．13.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角形．解题的难点是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底边AD以及该边上的高线DF的长度，如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．构建矩形AEFD和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．设AB=AD=x．又∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形，∴AD=EF=x．在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，∴BE=AB=x，∴DF=AE==x，在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°=x．又∵BC=6，∴BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，解得x =2∴△ACD的面积是：AD•DF=x×x=×22=，故选：A．14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（）A. 20cmB. 18cmC. 2cmD. 3cm【答案】C【解析】解：设运动时间为ts，∵AP=CQ=t，∴CP=6-t，∴PQ===，∵0≤t≤2，∴当t=2时，PQ的值最小，∴线段PQ的最小值是2，故选：C．根据已知条件得到CP=6-t，得到PQ===，于是得到结论．本题考查了二次函数的最值，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．15.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A. x2-6=（10-x）2B. x2-62=（10-x）2C. x2+6=（10-x）2D. x2+62=（10-x）2【答案】D【解析】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10-x，BC=6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10-x）2．故选：D．根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．16.如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD＝1，则AC的长是（）A.B. 2C.D. 4【答案】A【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°，∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠DCB=60°-30°=30°，在Rt△DBC中，∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1，∴CD=2BD=2，由勾股定理得：BC==，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=，∴AC=2BC=2，故选A．求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质求出AD=CD，推出∠ACD=∠A=30°，求出∠DCB，即可求出BD、BC，根据含30°角的直角三角形性质求出AC即可．本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出BC的长，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．17.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别叫BD,CD于G,F两点。

新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题1 (2)

新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为22()2S a b a a b b =+=++ 所以22a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长cbaHG F ED CBAbacbac ca bcab a bc cbaED CB A边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：AB C30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

人教版八年级下学期《勾股定理》解答题专项练习(含答案)

《勾股定理》解答题专项练习1．已知：如图，有一块凹四边形土地ABCD，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC ＝12m，求这块四边形土地的面积．2．（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C 的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝．（2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，CD＝3．（1）求∠DAB的度数．（2）求四边形ABCD的面积．4．把15只空油桶（每只油桶底面直径均为50cm）如图所示堆在一起，求这堆油桶的最高点距地面的高度．5．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿BC方向移动．已知AD⊥BC且AD＝AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．7．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，求BD的长．9．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10．（1）求BC 的长；（2）有一动点P 从点C 开始沿C →B →A 方向以1cm /s 的速度运动到点A 后停止运动，设运动时间为t 秒；求：①当t 为几秒时，AP 平分∠CAB ；②当t 为几秒时，△ACP 是等腰三角形（直接写答案）．10．先阅读下列一段文字，再回答问题：已知平面内两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），这两点间的距离P 1P 2＝．同时当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x 2﹣x 1|或|y 2﹣y 1|．（1）已知点A （2，3）、B （4，2），试求A 、B 两点间的距离；（2）已知点A 、B 在平行于x 轴的直线上，点A 的横坐标为7，点B 的横坐标为5，试求A 、B 两点间的距离；（3）已知一个三角形的各顶点坐标为A （﹣2，1）、B （1，4）、C （1﹣a ，5），试用含a 的式子表示△ABC 的面积．11．如图，AM 是△ABC 的中线，∠C ＝90°，MN ⊥AB 于N ，求证：AN 2﹣BN 2＝AC 212．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，M为EF中点，求AM的最小值．13．以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；（2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．14．如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．15．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，点E是AD的中点，求CE的长．16．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连结BE、DE，DE的延长线交AB 于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．17．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C 港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？18．（1）如图1，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5．D为AB边上一点，且△ACD与△BCD 的周长相等，则AD＝．（2）如图2，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB2＝BC2+AC2．E为BC边上一点，且△ABE与△ACE的周长相等；F为AC边上一点，且△ABF与△BCF的周长相等，求CE•CF（用含a，b的式子表示）．参考答案1．解：连接AC ，∵∠ADC ＝90°，AD ＝4m ，CD ＝3m ，∴AC ＝＝5m ．∵BC ＝12，AB ＝13，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 为直角三角形且∠ACB ＝90°，S△ABC ＝×5×12＝30（m 2），S △ACD ＝×3×4＝6（m 2）∴这块四边形土地的面积30﹣6＝24 （m 2）．2．解：（1）如图1所示，连接BB ′，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转90°，∴AB ＝AB ′，∠B ′AB ＝90°，∴∠AB ′B ＝45°，故答案为：45°；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°得出△ABP ′，如图2，∴AP ′＝CP ＝1，BP ′＝BP ＝，∠PBC ＝∠P ′BA ，∠AP ′B ＝∠BPC ，∵∠PBC +∠ABP ＝∠ABC ＝60°，∴∠ABP ′+∠ABP ＝∠ABC ＝60°，∴△BPP ′是等边三角形，∴PP ′＝，∠BP ′P ＝60°，∵AP ′＝1，AP ＝2，∴AP′2+PP′2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，则△PP′A是直角三角形；∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B＝30°，BM＝，由勾股定理得：P′M＝，∴AM＝1+＝，由勾股定理得：AB＝＝．（3）如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，由勾股定理得：EP＝2，∵AE＝1，AP＝，EP＝2，∴AE2+PE2＝AP2，∴∠AEP＝90°，∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；3．解：（1）连结AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴，∠BAC＝45°，∵AD＝1，CD＝3，∴，CD2＝9，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ADC是直角三角形，∴∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝135°．（2）在 Rt△ABC中，，在 Rt△ADC中，．∴．4．解：取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×50＝200cm，这个等边三角形的高是cm，这堆油桶的最高点距地面的高度是：（100+50）cm．5．解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，在Rt△ABD中，∵AD＝AB∴∠ABD＝30°，AB＝240千米，∴AD＝AB＝120千米，∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）＝200千米．∵120＜200，∴该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．则AE＝AF＝200．∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2＝320．∴台风影响该市的持续时间t＝320÷20＝16（小时）．（3）∵AD距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）＝7.2（级）．6．解：（1）设存在点P，使得P A＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，PA＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，CP＝2t，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，P在△ABC的角平分线上．7．解：设AB＝AB′＝x，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），则AE＝AB﹣0.8，在Rt△A EB中，∵AE2+BE2＝AB2，∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2解得：x＝4，答：秋千AB的长为4m．8．解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∵CD＝10，AD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，∴△ABC∽△CMD，∴＝，∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，∴BM＝BC+CM＝10，∴BD＝＝＝2，9．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝＝8；（2）①如图1所示，过点P作PD⊥AB于点D，∵AP平分∠CAB，∴PD＝PC．在Rt△APD与Rt△APC中，，∴Rt△APD≌Rt△APC（HL），∴AD＝AC＝6，∴BD＝10﹣6＝4．设PC＝x，则PB＝8﹣x，在Rt△BPD中，PD2+BD2＝PB2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴当t＝3秒时，AP平分∠CAB；②如图2所示，当点P 在BC 上时，∵AC ＝P 1C ＝6，∴t ＝6秒；当点P 在AB 上，AC ＝AP 2时，∵AC ＝AP 2＝6，∴BC +BP 2＝8+4＝12，∴t ＝12秒；当AC ＝P 3C 时，如图3所示，过点D 作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝DP 3，∴＝，即＝，解得AD ＝3.6，∴AP 3＝7.2，∴BC +BP 3＝8+（10﹣7.2）＝10.8，∴t ＝10.8秒；当CP 4＝AP 4时，如图4所示，过点P 4作P 4E ⊥AC 于点E ，∵CP 4＝AP 4，AC ＝6，∴AE ＝AC ＝3，∴＝，即＝，解得AP 4＝5，∴BC +BP 4＝8+（10﹣5）＝13，∴t ＝13秒．综上所述，t ＝6或t ＝10.8或t ＝12或t ＝13秒时，△ACP 是等腰三角形．10．解：（1）AB＝＝．（2）∵已知点A、B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为7，点B的横坐标为5，∴AB＝7﹣5＝2．（3）由题意，直线AB的解析式为y＝x+3，延长AB交直线y＝5于N（2，5）．①当1﹣a＜2，即a＞﹣1时，作CM∥y轴交AB于M．则M（1﹣a，4﹣a），∴CM＝5﹣（4﹣a）＝a+1，＝•CM•（B x﹣A x）＝•（a+1）•3＝a+．∴S△ABC＝﹣a﹣．②当1﹣a＞2，即a＜﹣1时，同法可得S△ABC11．证明：∵MN⊥AB，∴在Rt△AMN和Rt△BMN中，AN2＝AM2﹣MN2，NB2＝BM2﹣MN2，∴AN2﹣BN2＝AM2﹣BM2，在Rt△ACM中，AM2﹣CM2＝AC2，∵AM是△ABC的中线，∴CM＝BM，∴AN2﹣BN2＝AM2﹣BM2＝AM2﹣CM2＝AC2．12．解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP．∵M是EF的中点，∴AM＝EF＝AP．当AP⊥BC时，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，∴AM的最小值是．13．解：（1）上述四组勾股数组的规律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，102+242＝262，即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，所以第六组勾股数为14，48，50．（2）勾股数为n2﹣1，2n，n2+1，证明如下：（n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2．14．解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C，则在Rt△ABC中，AC＝40+40＝80（米），BC＝70﹣20+10＝60（米），故终止点与原出发点的距离AB＝＝100（米），答：终止点B与原出发点A的距离AB为100m．15．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，∴，∵CD＝12，AD＝13，∵AC2+CD2＝52+122＝169，AD2＝169，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠C＝90°，∴△ACD是直角三角形，∵点E是AD的中点，∴CE＝．16．解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC与Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE +S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2，∴a2+b2＝c2．17．解：（1）过点B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD＝，BC＝2x 在Rt△ABD中，∠BAD＝45°则AD＝BD＝，AB＝BD＝由AC+CD＝AD得20+x＝x解得：x＝10+10故AB＝30+10答：港口A到海岛B的距离为海里．（2）甲船看见灯塔所用时间：小时乙船看见灯塔所用时间：小时所以乙船先看见灯塔．18．解：（1）∵△ACD与△BCD的周长相等，∴AC+AD＝BC+BD，即4+AD＝3+BD，又AD+DB＝5，解得：AD＝2．（2）设AB＝c，则c2＝a2+b2，∵△ABE与△ACE的周长相等，∴CE+AC＝BE+AB＝（AB+BC+AC），设CE＝x，∴x+b＝（a+b+c），∴x＝（a﹣b+c），设CF＝y，同理可得y+a＝（a+b+c），∴CE•CF＝（a﹣b+c）•（b+c﹣a）＝ [c2﹣（a﹣b）2]，∵c2＝a2+b2，∴CE•CF＝ab．。

专题2：利用旋转作辅助线(全等构造)解决勾股定理及逆定理问题

17.17专题2：利用旋转作辅助线（全等构造）解决勾股定理及逆定理问题一．【知识要点】
1.利用旋转作辅助线（全等构造）解决勾股定理及逆定理问题
二．【经典例题】
1.如图，在△ACD中，AD=9，CD=32，△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，若∠CAB=60°，∠ADC=30°，在△ACD外作等边△ADD′．
①求证：BD=CD′；②求BD的长．
（2）如图2，若∠CAB=90°，∠ADC=45°，求BD的长．
2.阅读下列材料:
等边三角形ABC的边长.
李明同学的思路是:将△BPC绕点B顺时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2).连接PP´,可得△P´PB是等边三角形(可证),而△PP´A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证).所
题得到解决.
请你参考李明同学旋转的思路,探究并解决下列问题:
形ABCD的边长.
三．【题库】
【A】
【B】
【C】
边△ABC的边长.
【D】。

勾股定理旋转解题思路

勾股定理旋转解题思路在数学的世界里，勾股定理就像一颗璀璨的明珠，闪闪发光。

想象一下，咱们在一个阳光明媚的下午，坐在公园的长椅上，阳光洒在脸上，旁边有小鸟在唱歌，心情那叫一个好啊。

突然，有个小朋友在玩球，球滚到了一个斜坡上。

他们想知道，这个斜坡有多高。

我们心中立刻浮现出勾股定理，想要用它来解这个问题。

就像小朋友的球一样，直接往上滚，这样的思路真是让人眼前一亮。

说到勾股定理，很多人可能一开始就皱起了眉头，觉得这玩意儿太复杂了。

但是，亲爱的朋友们，听我说，这其实简单得不能再简单了。

勾股定理告诉我们，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这就好比你把两个小房间拼起来，最后形成一个大房间。

简单明了，不是吗？现在想象一下，如果我们把这个直角三角形旋转一圈，那会发生什么呢？就像是给你的房间换了个新样子，真是妙趣横生。

好啦，我们回到那个小朋友和球的故事。

小朋友想知道斜坡的高度，于是我们就可以运用勾股定理，把这个高度变成一个数学问题。

假设斜坡的底边是3米，高是4米，那么斜坡的长度就是5米。

这个过程就像是做一道简单的数学题，轻轻松松就解开了。

于是小朋友高兴得手舞足蹈，像小鸟一样在草地上跳来跳去，快乐得不得了。

如果我们更深入一点，想象一下，如果把这个直角三角形旋转成一个圆锥体，那这个形状又会有什么样的变化呢？这就像是把一个普通的冰淇淋球放在了一个美丽的华丽蛋糕上。

旋转的过程中，直角三角形的各个边就像是不断在舞蹈一样，优雅而又神秘。

咱们不仅可以用勾股定理来计算直角三角形的边长，还能用它来研究这些旋转后形状的特征。

这个过程就像是揭开了一个个秘密，让人忍不住想要一探究竟。

再说说实际生活中的例子吧。

咱们去爬山，路上有很多斜坡，这时候勾股定理就派上用场了。

比如，咱们站在山脚下，想知道到达山顶的最短路径。

通过测量山脚到山顶的水平距离和高度，我们就能用勾股定理来算出这条最短的路径，简单又实用，难怪大家都说它是数学界的“万金油”呢。

2022年最新人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项攻克试题(含答案解析)

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（）A．10﹣B． 5 C D．20﹣2、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，BD是△ABC的中线，过点C作CP⊥BD于点P，图中阴影部分的面积为（）A．43B．95C．2710D．1853、如图，在数轴上，点O对应数字O，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB=4，连接OB，绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间4、如图，在长方形ABCD中，分别按图中方式放入同样大小的直角三角形纸片．如果按图①方式摆放，刚好放下4个；如果按图②方式摆放，刚好放下3个．若BC＝4a，则按图③方式摆放时，剩余部分CF的长为（）A．23aB．32aC．53aD．35a5、如图，以Rt△ABC（AC⊥BC）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1﹑S2﹑S3，若S1＋S2＋S3＝12，则S1的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．76、如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中90ABC ∠=︒，13cm AC =，5cm AB =，则阴影部分的面积是（）2cmA ．169B ．25C ．49D ．647、如图，黑色部分长方形的面积为（）A ．24B ．30C ．40D ．488、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（）cm ．A．15 B．20 C．18 D．309、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值是（）A．20 B．27 C．25 D．4910、如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（）A．64 B．16 C．8 D．4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知跷跷板长为3.9米，小明和小红坐在两端玩跷跷板，在这个过程中，跷跷板的两端端点在水平方向的距离的最小值为3.6米，此时较高端点距离地面的高度等于 _____米．2、如图，一圆柱高8cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A沿侧面爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是_____cm．3、如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为 _____．4、如图，在ABC中，90ACB∠=︒，13AB=，12BC=，D为BC边上一点，将ABD△沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上的点E处，则DE的长为________．5、如图，在ABC中，90ACB∠=︒，CD AB⊥于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若10AB=，8BC=，则ACE的面积为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上（网格线的交点叫做格点），且它们的坐标分别是A（2，-4）、B（3，-1）．（1）点B关于y轴的对称点的坐标是；（2）若点C的坐标是(0，-2)，将△ABC先沿y轴向上平移4个单位长度后，再沿y轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，B1点的坐标是；（3）111A B C△的面积为___；（4）在现有的网格中，到点B1距离为10的格点的坐标是2、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC=1km，BD=3km，且CD=3km．（1）牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短请在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹），并说明理由．（2）求出（1）中的最短路程．3、如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求：（1）AB的长；（2）△CDF的面积．4、如图，在10×10的网格中建立如图的平面直角坐标系，线段AB两个端点的坐标分别是A（1，4），B（3，1）（1）画出线段AB关于y轴对称的线段CD，则点A的对应点C的坐标是；（2）将线段AB先向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的对应线段EF，观察线段EF 与DC是否关于某直线对称？若是，则对称轴是；E点坐标是；（3）△ABP是以AB为直角边的格点等腰直角三角形（A，B，P三点都是小正方形的顶点），则点P的坐标是5、如图，在边长为1的正方形网格中，等边三角形ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，0），B （4，0），C（m，n）且mn＞0，求：（1）写出边BC的长；（2）在如图所示的网格平面内建立适当的直角坐标系；（3）写出点C的坐标．---------参考答案-----------一、单选题1、A【分析】过点A作AF⊥BC于点F，由题意易得2==，再根据点D，E是边BC的两个黄金分割点，可得BF CF2BE CD ===，根据勾股定理可得AF =28DE DF ==，然后根据三角形的面积计算公式进行求解．【详解】解：过点A 作AF ⊥BC 于点F ，如图所示：∵3AB AC ==，4BC =，∴2BF CF ==，∴在Rt △AFB 中，AF∵点D ，E 是边BC 的两个黄金分割点，∴2BE CD ===，∵4EF BE BF =-=，4DF CD CF =-=，∴DF =EF ，∴28DE DF ==，∴()1181022ADE S DE AF ==-△故选：A【点睛】本题主要考查二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．2、C【分析】根据勾股定理求出AC=BD=1922BCD ABCS S∆∆==，从而求出PC的长，再运用勾股定理求出BP的长，得DP的长，进一步可求出图中阴影部分的面积．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，∴AC又1163922ABCS AB BC∆==⨯⨯=∵BD是△ABC的中线，∴BD1922 BCD ABCS S∆∆==∴19 22 BD PC=∴PC=在Rt△PBC中，PC=，BC＝3，∴BP==∴PD BD BP=-==∴11272210DCP S DP PC ∆==⨯故选：C【点睛】本题考查了勾股定理以及中线与三角形面积的关系，求出PC =3、C【分析】因为△OAB 是一个直角三角形，且有OC =OB ，所以可求得OB 的长度即得C 点所表示的数，可判断其大小．【详解】解：∵AB ⊥OA∴在直角三角形OAB 中有 OA 2+AB 2=OB 2∴.OB＜5又∵OC =OB∴点C 所表示的数介于4和5之间故选：C ．【点睛】此题考查勾股定理，无理数的估算，重点就是由垂直而组成的直角三角形的性质，从而解得答案．4、A【分析】由题意得出图①中，BE =a ，图②中，BE =43a ，由勾股定理求出小直角三角形的斜边长为53a ，进而得出【详解】解：∵BC=4a，∴图①中，BE=a，图②中，BE=43 a，5 3a=，∴图③中纸盒底部剩余部分CF的长为4a-2×53a=23a；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．5、C【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．【详解】解：∵由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，∴S3+S2=S1，∵S1+S2+S3=12，∴2S1=12，∴S1=6，故选：C．【点睛】题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．【分析】先利用勾股定理求出12BC =，再利用大正方形的面积减去四个全等直角三角形的面积即可得．【详解】解：90ABC ∠=︒，13cm AC =，5cm AB =，12(cm)BC ∴，则阴影部分的面积是211313451249(cm )2⨯-⨯⨯⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题关键．7、B【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，再利用长方形面积公式进行求解即可．【详解】解：在直角三角形中，两直角边为6和8，10=，∴长方形面积为：10330⨯=，故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，长方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理．8、A【分析】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，则BC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求得BC 的长．【详解】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示：则DB=AD=4cm，由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形，∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm，∴DE=DH－EH=12－4=8cm，∴BE=DE+DB=8+4=12cm，在Rt△BEC中，由勾股定理得：15===，BC cm即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm，故选;：A．【点睛】本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决，这是数学上一种重要的转化思想．9、B【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG ＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝3GF2，即可求解．【详解】解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2=GF2，∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，∴CG=KG=FN，CF=DG=KF，∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG•DG=CG2+CF2+2CG•DG=GF2+2CG•DG，S2=GF2，S3=（KF-NF）2，=KF2+NF2-2KF•NF=KF2+KG2-2DG•CG=FG2-2CG•DG，∵正方形EFGH的边长为3，∴GF2=9，∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+FG2-2CG•DG=3GF2=27，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质等知识，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=27是解题的关键．10、C【分析】根据勾股定理求出正方形A的面积，根据算术平方根的定义计算即可．【详解】解：由勾股定理得，正方形A的面积＝289－225＝64，8，∴字母A故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．二、填空题1、1.5##【分析】设较高端点距离地面的高度为h米，此时，跷跷板长即为直角三角形的斜边长，两端端点在水平方向的距离的最小值即为一条直角边长，利用勾股定理即可求出结果．【详解】解：设较高端点距离地面的高度为h米，根据勾股定理得：h2＝3.92﹣3.62＝2.25，∴h＝1.5（米），故答案为：1.5．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决问题的关键．2、10【分析】将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：∵一圆柱高8cm，底面半径为6πcm，∴底面周长为：2×π×6π＝12cm，则半圆弧长为6cm，展开得：BC＝8cm，AC＝6cm，由勾股定理得：10AB（cm）．故答案为：10cm．【点睛】本题考查了勾股定理的实际运用—求最短距离，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．3、10【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可得出AS 的长．【详解】解：如图所示，∵AB ＝12×16＝8，BS ＝12BC ＝6，∴AS 10．故答案为：10．【点睛】本题考查的是平面展开一最短路径问题,根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4、263 【分析】根据勾股定理求出5AC =，再根据折叠的性质得到13AE AB ==，BD DE =，再根据勾股定理计算即可；【详解】∵90ACB ∠=︒，13AB =，12BC =，∴5AC ，∵将ABD △沿AD 折叠，若点B 恰好落在线段AC 的延长线上的点E 处，∴13AE AB ==，BD DE =，∴8CE =，∵222CD E DE C =+，∴()22212DE DE CE =-+， ∴263DE =；故答案是263．【点睛】本题主要考查了折叠的性质和勾股定理，准确计算是解题的关键．5、725【分析】由勾股定理求得AC 的长，由面积关系可求得CD 的长，再由勾股定理可求得BD 的长；由折叠的性质可得8B C BC '==，EB C EBC SS '=，由此面积关系可求得DE 与BE 的关系，从而可求得BE 及AE 的长，进而可求得结果．【详解】∵90ACB ∠=︒，10AB =，8BC =∴由勾股定理得：6AC == ∵1122AB CD AC BC ⨯=⨯ ∴245AC BC CD AB ⨯==在Rt △BCD 中，由勾股定理得：325BD == 由折叠的性质可得8B C BC '==，EB C EBC SS '= ∴1122B C DE BE CD '⨯=⨯ ∴2485DE BE =∴35DE BE = ∵325BE DE BD +==即33255BE BE +=解得：BE =4∴AE =AB −BE =10−4=6 ∴11247262255ACE S AE CD =⨯=⨯⨯= 故答案为：725 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形面积的计算，利用EB C EBC SS '=得出DE 与BE 的关系是关键．三、解答题 1、（1）(3,1)--；（2）(-3，3) 图见解析；（3）4；（4）(5，-3)或 (3，-5)【分析】（1）直接根据轴对称的性质写出点B 关于y 轴的对称点的坐标即可；（2）根据题中方式平移并翻折，画出图形，写出坐标即可；（3）直接用111A B C △所在矩形的面积减去周围三角形的面积即可得到答案；（4）利用勾股定理可得点B 1距离为10的格点的坐标．【详解】解：（1）点B 关于y 轴的对称点的坐标是(3,1)--，故答案为：(3,1)--；（2）如图△A 1B 1C 1即为所作，B 1点的坐标是()3,3-，故答案为：()3,3-；（3）111113*********A B C S =⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=△，故答案为：4；（4）符合题意的点可以为：(5,3)-，(3,5)-，故答案为：(5，-3)或 (3，-5)．【点睛】本题考查了轴对称变换以及平移变换、勾股定理，正确得出对应点位置是解本题的关键．2、（1）见解析；（2）5km A B '=【分析】（1）作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '交CD 于点E ，点E 即为所求；（2）过A '作A F BD '⊥的延长线于F ，根据勾股定理求解即可．【详解】解：（1）作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '交CD 于点E ，点E 即为所求，如下图，理由：由题意可得，CD 垂直平分AA '∴AE A E '=，∴AE BE A E BE '+=+，根据两点之间，线段最短，可得A B E '、、共线时AE BE +最短；（2）由作图可得最短路程为A B '的距离，过A '作A F BD '⊥的延长线于F ，则1km DF ACAC ='==，3km A F CD '==，134km BF =+=，根据勾股定理可得，5km A B '==．【点睛】本题考查了线路最短的问题，涉及了轴对称变换的性质和勾股定理，确定动点为何位置并综合运用勾股定理的知识是解题的关键．3、（1）9；（2）54【分析】（1）由折叠的性质可知，EF =AE =5，然后再直角△BEF 中利用勾股定理求出BE 的长即可得到答案；（2）由四边形ABCD 是长方形，得到AD =BC ，CD =AB =9，∠C =90°，由折叠的性质可得AD =DF ，则BC =AD =DF ，设CF =x ，则BC =DF =x +3，由222DF CF CD =+，得到()22239x x +=+，解方程即可得到答案．【详解】解：（1）由折叠的性质可知，EF =AE =5，∵四边形ABCD 是长方形，∴∠B =90°，∴4BE =，∴AB =AE +BE =9；（2）∵四边形ABCD 是长方形，∴AD =BC ，CD =AB =9，∠C =90°，由折叠的性质可得AD =DF ，∴BC =AD =DF ，设CF =x ，则BC =DF =x +3，∵222DF CF CD =+，∴()22239x x +=+，解得12x =，∴CF =12， ∴1542CDF S CF CD =⋅=△【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4、（1）画图见解析，()1,4C -；（2）x 轴，3,1E ；（3）120,1,2,2.P P【分析】（1）先确定,A B 关于y 轴对称的对应点,,C D 再连接CD 即可；（2）先确定,A B 平移后的对应点,,E F 再连接,EF 由图形位置可得,CD EF 关于x 轴对称，再写出E 的坐标即可；（3）先求解13,AB作1126,13,AP BP 再证明190,ABP 1△ABP 是等腰直角三角形，同理：作2=13,AP AB 证明290BAP ，所以2△ABP 是等腰直角三角形，从而可得答案.【详解】解：（1）如图，线段CD 即为所求作的线段，1,4,C（2）如图，线段EF 为平移后的线段，线段CD 与线段EF 关于x 轴对称，所以对称轴是x 轴，则3,1,E（3）如图，12,ABP ABP 即为所求作的三角形，由勾股定理可得：222222112313,1526,2313,AB AP BP 222111,,AB BP AB PB P A190,ABP1ABP 是等腰直角三角形，同理：22,90,AP AB BAP 所以2△ABP 是等腰直角三角形.此时：120,1,2,2.P P【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平移的性质，轴对称的作图，平移的作图，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定，数形结合的运用是解本题的关键.5、（1）BC ＝6；（2）见解析；（3）C （1，【分析】（1）根据(2,0)A ，(4,0)B ，可得AB 的长，再根据等边三角形的性质可得答案；（2）将点(2,0)A -向右平移2个单位即可得出原点，从而建立坐标系；（3）过点C 作CD AB ⊥于D ，利用勾股定理求出CD 的长即可．【详解】解：（1）(2,0)A -，(4,0)B ，6AB ∴=，ABC ∆是等边三角形，6BC AB ∴==；（2）如图所示：（3）如图，过点C 作CD AB ⊥于D ，ABC ∆是等边三角形，CD AB ⊥，3AD BD ∴==，1OD ∴=，∴=CD(1∴，．C【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．。

初二数学下册勾股定理知识点及常考题型

初二数学下册勾股定理知识点及常考题型初二数学下册：勾股定理知识点及常考题型_三角形_关系_方法《勾股定理》知识点1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

即：a²+b²＝c²要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一。

其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边；（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。

2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。

运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c²＝a²+b²，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c²>a²+b²，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c²<a²+b²，则△ABC为锐角三角形）。

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

《勾股定理与旋转》专题

《勾股定理与旋转》专题例1、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。

练习：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则∠APB的度数是________.例2 . 如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。

求此正方形ABCD面积。

A BCDP练习1：正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数。

．2、如图、中，ABC∆090ACB=∠，AC=BC，PA=6,PB=2,PC=4,求∠CPB的度数。

例3、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，AC BP图2图1A'A ABC BC试探究222BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.【问题探究】 1、阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ',当点A 落在C A '上时,此题可解（如图2）．请你回答：AP 的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点，则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）A2、阅读下面材料：小阳遇到这样一个问题：如图（1），O 为等边△ABC 内部一点，且3:2:1::=OC OB OA ，求AOB ∠的度数.小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△CO A 绕点A 逆时针旋转60°，使点C 与点B 重合，得到△O AB '，连结O O '. 则△O AO '是等边三角形，故OA O O ='，至此，通过旋转将线段OA 、OB 、OC 转移到同一个三角形B O O '中. （1）请你回答：︒=∠AOB . （2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：已知：如图（3），四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB =60°，∠DCB =30°，AC =5，CD =4.求四边形ABCD 的面积.3、阅读下列材料：问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且P A ∶PB ∶PC =1∶2∶3，求∠APB 的度数．小娜同学的想法是：不妨设P A=1， PB=2，PC=3，设法把P A 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决．请你回答：图2中∠APB 的度数为．请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画DCBA图⑴ 图⑵ 图⑶OCBAEDDPPPCCCBBBAAA图痕迹）；（2）求出以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于．【练习巩固】1、阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，PA=5，PB=2，PC=1，求∠BPC 的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△BP′A （如图2），然后连结PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC 的度数为；(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且PA =132，PB =4，PC =2，则∠BPC 的度数为，正六边形ABCDEF 的边长为．图1 图2 图32、在ABC △中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________；思维拓展：（2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．．若ABC △2a 、13a 、17a （0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________；探索创新：（3）若ABC △2a 10a （0a >），且ABC △的面积为22a ，试运用构图法．．．在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题△(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上意的ABC__________________．3、阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD的长为；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．A A图①图②4、已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.2，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写（1）如图1，若AB=3出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=32，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的函数关系式．。

勾股定理与旋转问题专题

勾股定理的证明方法
欧几里得证明法：利用相似三角形和余弦定理证明勾股定理毕达哥拉斯证明法：利用正方形的面积关系证明勾股定理赵爽证明法：利用圆和弦的平方关系证明勾股定理总统证法：利用向量和向量的数量积证明勾股定理
勾股定理的应用场景
直角三角形中的勾股定理
勾股定理在几何学中的应用
勾股定理在物理学中的应用
勾股定理在日常生活中的应用
Part Three
旋转问题的基本概念
旋转的定义和性质
旋转是物体绕某一点转动的过程旋转具有中心对称性，即旋转前后图形关于旋转中心对称旋转角度是物体转动量的大小，单位为度旋转方向可以是顺时针或逆时针
旋转的表示方法
顺时针旋转：用正数表示逆时针旋转：用负数表示旋转角度：通常用弧度表示旋转矩阵：用于描述旋转的数学工具
勾股定理与旋转问题在日常生活中的应用
建筑学：利用勾股定理计算建筑物的垂直角度，确保建筑物的稳定性和安全性。
航空航天：在飞机和火箭的设计中，利用勾股定理计算旋转翼的角度和长度，以确保飞机的稳定性和安全性。
添加标题
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机械学：在制造旋转机械时，利用勾股定理计算旋转轴的长度和角度，以确保机械的正常运转。
勾股定理在旋转问题中的应用
勾股定理在旋转问题中的应用场景
勾股定理在解决旋转问题中的重要性
勾股定理在旋转问题中的实际应用案例
勾股定理在旋转问题中的未来发展方向
旋转问题中的勾股定理应用示例
勾股定理与旋转问题结合的原理
勾股定理在旋转问题中的应用实例
勾股定理在旋转问题中的证明方法
勾股定理在旋转问题中的实际意义
地球物理学研究：利用勾股定理和旋转原理研究地球的磁场和地震活动等自然现象。

数学人教版八年级下册勾股定理与图形变换旋转问题

小溪塔三中“三课五环”教学设计八年级数学学科总第10 课时
揭示规律
如何解决勾股定理与图形变换中的旋转问题？
1、通过旋转三角形创造直角三角形；
2、再考虑用勾股定理来求解。

合作交流，归
纳概括，运用
勾股定理解决
问题
引导学生探究，适时的点拨，
追问
尝试练习拓展延伸如图，点p为等腰直角∆ABC内一点，∠ACB=90度
，PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数。

C
A
P
B
1、独立思
考、
2、小组交流,
达成共识
3、发言
巡视并适时参与组内交
流，多给予学生肯定引导
反思总结布置作业
达标练习课堂小结：
1、旋转前后的图形是，旋转角
2、如何解决勾股定理与图形变换中的旋转问题？
如图，P是正∆ABC内一点，且PA=6，PC=10，PB=8,求
S ∆PAB+S ∆PAC的值。

独立思考，互
相批改
点拨，引导
板书设计教学反思
练习。

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《勾股定理与旋转》专题
例1、如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB 的度数。

练习：设P 是等边ΔABC 内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则∠APB 的度数是________.
例2 . 如图P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=1，
PB=2，PC=3。

求此正方形ABCD 面积。

A
B
C
D
P
练习1：正方形ABCD 内一点P ，使得PA ：PB ：PC=1：2：3，求∠APB 的度数。

．
2、如图、中，
ABC ∆0
90ACB =∠，AC=BC ，PA=6,PB=2,PC=4, 求∠CPB 的度数。

A
A
F
P
P
B
B
C
C
A
C
P
图2
图1
A'
A A
B
C B
C
例3、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究222BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.
【问题探究】 1、阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。

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