直线和平面的投影

c
●
c
●
a●
a●
a●
c
●
d
●
● b
● b
●b
●b
a●
a●
● c
● c
不在同一 直线及
直线上的 线外一
三个点 点
● b ●b
a●
●
d
●c
两平行直 线
c
●
a●
● b ●b
a● ●c
两相交 直线
c
●
a●
● b ●b a●
●c
平面 图形
a
42
迹线表示法
Z
PZ
PV
X
O
PX
PH
PW
X PX
PY
Y
Z
PZ
PV
PW
●a
面上的投影重合为一点 c●
●c
时，则称此两点为该投
影面的重影点。
●
a (c)
A、C为哪个投
被挡住的投
影面的重影点 呢？
影加( )
a
13
2·3 直线的投影
两点确定一条直线，将两 a● b 点的同名投影用直线连接， ●
●a ●b
就得到直线的同名投影。
一、直线的投影特性
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
●a
O
W
ay
Y
a
8
a ●
X ax
Z az
a
●
O
Y
ay
Z
V
a
●
az
A
X ax
●
●a
W O
a●
ay
Y
a●
ay
点的投影规律:
H Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y=A到V面的距离 aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
a
9
例：已知点的两个投影，求第三投影。
α角——水平投影——z坐标差——线段实长 β角——正面投影—— y坐标差——线段实长 γ角——侧面投影——x坐标差——线段实长
2、投影、坐标差、实长和角度四个要素知 道其中二个就可以求其它二个
3、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响 解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错
a
25
三、直线与点的相对位置
课本P36
a
11
五、两点的相对位置
两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。
判断方法：
a● b●
X
a●
Z ●a ● b YW
▲ x 坐标大的在左
●
b
YH
▲ y 坐标大的在前
▲ z 坐标大的在上 B点在A点之前、
之右、之下。
a
12
六、重影点：
A、C为H面的重影点
a
空间两点在某一投影 ●
又因 BC∥bc 故 bc ⊥ABba平面
因此 bc⊥ab 即 ∠abc为直角
.b
a
c
直线在H面上的
投影互相垂直
a
35
反之，若一角的投影为直角，而且空间被投影的角 至少有一边平行于该投影面，则空间角必是直角。
例：过C点作直线与AB垂直相交。
a . d
c●
AB为正平线, 正 面投影反映直角。
b
c●
a
第 二 章 点、直线和平面的投影
2-1 投影的基本知识 2-2 点的投影 2-3 直线的投影 2-4 平面的投影 2-5 直线与平面及两平面的相对位置 2-6 换面法
要求：掌握点的三面投影规律，掌握直线、平面的 投影特性，会利用直线与平面及两平面的相对位置
的投影特性解决有关问题。掌握换面法
a
1
2·1 投影的基本知识
A
V d
B c
C
D
空间两直线平行，
则其各同名投影必相互 平行，反之亦然。
a
空间两直线之比
c b
d H 等于其同名投影之比
a
29
例1：判断图中两条直线是否平行。
① b
a c
a
c
d
对于一般位置直
线，只要有两个同名
投影互相平行，空间
两直线就平行。
bd
AB//CD
a
30
例2：判断图中两条直线是否平行。
②
对重影点的投影。
a
40
五、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 直角定理 反映直角。
a
41
2.4 平面的投影
一、平面的表示法
判别方法：
◆ 若点在直线上, 则 V
b
点的投影必在直线的同
c
B
名投影上。并将线段的 a
C
同名投影分割成与空间
相同的比例。即：
A
b
AC/CB=ac/cb= ac / cb a c
H
◆若点的投影有一个不 在直线的同名投影上， 则 该点必不在此直线上。
定比定理
a
26
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
b
c
a
39
三、直线上的点
⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影
成定比——定比定理。
四、两直线的相对位置
⒈ 平行 同名投影互相平行。
⒉ 相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点，
且符合空间一个点的投影规律。
⒊ 交叉（异面）
同名投影可能相交，但“交点”不符合空
间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一
A●
B
●
M●
A●
a● b●
●B
α A●
B●
●
a≡b≡m
直线垂直于投影面 投影重合为一点
积聚性
●b a●
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB
●b a●
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=ABcosα
a
14
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线
侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面）
二、三角形法：一般位置直线的实长求法
YB-YA
b′
ZB-ZA ZB-ZA
b
V
A0
a′
a
A
β
B
α B0
a α
bH
实长
b
a
20
对Ｈ面倾角和实长
a
X
b
B
|zA-zB|
a
X O
C
A
b
a
a
AB
ab
|zA-zB|
a
b
AB
|zA-zB|
ab
b
AB
|zA-zB |
21
对Ｖ面倾角与实长
b
B
a
X
|YA-YB|
O C
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
a
15
⑴ 投影面平行线
水平线
正平线
a b a b 实长 a
a
b α γ
b
侧平线
a
a 实长
β
b
α b
a β γ
b
实长
a
a
② a
c●
b
c
b
a
ac b
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
a
27
例2：判断点K是否在线段AB上。
a
a
k● b
●k b 因k不在a b上，
a
故点K不在AB上。
k●
b
另一判断法? 应用定比定理
a
28
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：
平行、相交、交叉。
⒈ 两直线平行
投影特性：
b a
其具体长度为： ab=ABcosα ,a’b’=ABcosβ,a’’b’’=ABcosγ
a
18
一般位置直线与倾角
V
b′ Ｂ
b″
a′
βγ
a′
α
WX
Ａ b
a″
a
H
a
ab=ABcosα
a′b′=ABcosβ
a″b″=ABcosγ
a
z
b′
b″
a″ Yw b
YH
三个投影都缩 短，且都倾斜 于相应的投影轴
19
解法一:
a●
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
ax
a●
解法二: 用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
a
10
三 点的坐标与投影之间的关系
V
a ●
Z
x az
x a
●
Z az
a
●
yz
z z
A
X ax
●
y
a●
H
●a
W O
ay
X ax
a
●
x
O
ay
YW
ay
y
Y
YH
四 投影面和投影轴上的点