专题11 隐圆问题(原卷版)

专题11 隐圆问题直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题类型一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆典例1 如果圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________类型二 由圆周角的性质确定隐形圆典例2 已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点，当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为__________．类型三 两定点A 、B ，动点P 满足(0,1)PAPBλλλ=>≠确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） 典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据： sin17, 5.74466︒≈≈ ）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．1．已知ABC ∆中， ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC∆面积的最大值为__________．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点， 点A(1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为_______3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆和两点()(),2,,2A a a B a a ---，且1a >，若圆C 上存在两个不同的点,P Q ，使得90APB AQB ∠=∠=︒，则实数a 的取值范围为__________． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1-，0），B （1，0）均在圆C ： ()()22234x y r -+-=外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP BP ⊥，则半径r 的值为____．5．已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式•PA PB λ=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是_____．6.已知圆O ：x2＋y2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为____________．7.在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x2＋y2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为____________．8.在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T ，与圆(x －a)2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为____________．9.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为__________．10.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ为常数)，且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则实数λ的最大值是__________．11.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x2＋y2＝r2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足OC →＝54OA →＋34OB →，则r 的值为________．12.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．13.已知点A(0，2)为圆M ：x2＋y2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T 使得∠MAT ＝45°，则实数a 的取值范围是________________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O1，圆O2均与x 轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P ，Q 两点，直线l ：2x －y －8＝0，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为____________．15.已知直线l 过点P(1，2)且与圆C ：x2＋y2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________________．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x2＋(y －1)2＝5，A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过A 作圆C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M.若OA ＝OM ，则直线AB 的斜率为________．17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C2：(x －17)2＋(y －30)2＝r2.若圆C2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C1依次交于点A 、B ，满足PA ＝2AB ，则半径r 的取值范围是______________．18.直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________． 19平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA2＋MO2＝10，则实数a 的取值范围是________．20.平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60°，则圆M 的方程为______________．专题11 隐圆问题直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题类型一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆典例1 如果圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________【答案】605a -<<【解析】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解2121-<<+∴605a -<<类型二 由圆周角的性质确定隐形圆典例 2 已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为__________．【答案】∴点在以为圆心，半径为2的圆上．设的中点为∵当在圆上运动时，始终有为锐角，∴以为圆心，半径为21的圆外离．22:5,,O x y A B +=O 2,AB M =AB ,A B O CMD ∠a ()(),20,-∞-⋃+∞M O CD N ,A B O CMD ∠O整理得， 解得或．∴实数的取值范围为．类型三 两定点A 、B ，动点P满足(0,1)PAPBλλλ=>≠确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） 典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据： sin17 5.7446︒≈≈ ）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．【答案】（1）略（2）能 【解析】：（1）略 （2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ．则(2,B ，设缉私艇在P (x ，y )处()211a +>2a <-0a >a ()(),20,-∞-⋃+∞（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则3PAPB=3=,229944x y ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎝⎭⎝因为圆心94⎛⎝到领海边界线l ：x = 3.8的距离为1.55，大于圆半径32所以缉私艇能在领海内截住走私船．1．已知中，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为__________．所在直线为轴、其中垂线所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示），设，由，得，ABC ∆ABC ∆P 22233PB PC PA +==ABC ∆BC x OA y (),P x y 22233PB PC PA +==222((3{ (1x x yy y x +++=+=，，即即2．在平面直角坐标系xOy 中，已知B，C 为圆224x y+=上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC 的长的取值范围为_______【答案】[62,62]-+【解析】设BC的中点为M (x,y)，,因为22222OB OM BM OM AM=+=+，所以22224(1)(1)x y x y=++-+-，化简得22113222x y⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点M的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭32为半径的圆，所以AM的取值范围是6262-+⎣⎦，所以BC的取值范围是[62,62]．3．在平面直角坐标系中，已知圆，且，若圆上存在两个不同的点，使得，则实数的取值范围为__________．【解析】原问题等价于以为圆心的圆与圆有两个交点，()()2222272323223232a a a a a---≤-≤-+-234a≤2241523233216ABCS a a a a∆=⨯⨯-=-≤ABC∆52316xOy()()22:1261C x y-+-=()(),2,,2A a aB a a---1a>C,P Q90APB AQB∠=∠=︒a 17117a+≤≤+,A B CAB 中点坐标为，以为圆心的圆的半径 且圆的圆心为， 两圆的圆心距为：结合可得关于实数的不等式组：求解关于实数的不等式组可得实数4．在平面直角坐标系中，已知点A （，0），B （1，0）均在圆： 外，且圆上存在唯一一点满足，则半径的值为____． 【答案】4【解析】根据题意,点A(−1,0),B(1,0)，若点满足， 则点P 在以AB 为直径的圆上，设AB 的中点为M,则M 的坐标为 (0,0)， |AB|=2， 则圆M 的方程为，若圆上存在唯一一点满足，则圆C 与圆M 只有一个交点，即两圆外切， 则有r=4.5．已知等边的边长为2，点在线段上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是_____． 【解析】以AB 中点为坐标原点，AB所在直线为x 轴建立直角坐标系，则AC ：由得 ，6.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB＝60°，则实数a 的取值范围为____________． 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22 ()0,0,A B C 21R =1a >a a a xOy 1-C ()()22234x y r -+-=C P AP BP ⊥r P AP BP ⊥221x y +=C P AP BP ⊥ABC ∆P AC •PA PB λ=P λ•PA PB λ=221x y λ-+=【解析】设P(x ，y)，sin ∠OPA ＝sin30°＝1x 2＋y2，则x 2＋y 2＝4 ①.又P 在圆M 上，则(x －a)2＋(y －a＋4)2＝1 ②.由①②得1≤a 2＋（a －4）2≤3，所以4－22≤a ≤4＋22.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为____________．【答案】364【解析】∵ 圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，整理，得其标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴ 圆C 1的圆心坐标为(3，0)；设直线l 的方程为y ＝kx ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立(x －3)2＋y 2＝4，y ＝kx ，消去y 可得(1＋k 2)x2－6x ＋5＝0，由题知x 1＝12x 2, y 1＝12y 2，由韦达定理化简可得k 2＝35，即k ＝±155，直线l 的方程为y ＝±155x ，由点到直线的距离公式知，所求的距离为364.8.在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－2，0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a)2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为____________． 【答案】4【解析】圆x 2＋y 2＝1半径为1，PO ＝2，则直线PT 的倾斜角为30°，则直线方程为x －3y ＋2＝0，PT ＝3，RS ＝3，圆(x －a)2＋(y －3)2＝3的半径为3，则圆(x －a)2＋(y －3)2＝3的圆心(a ，3)到直线PT 的距离为32，由点到直线距离公式得|a －1|＝3，则正数a ＝4.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为__________． 【答案】3【解析】根据题意，圆M 与以N 为圆心的圆的位置关系是内切或内含．则d MN ≤d ON －1，即1≤d ON －1.所以d ON ≥2恒成立．因为N 在圆M 上运动，所以d ON 的最小值为d OM －1，即d OM －1≥2，所以a 2＋（3－a ）2≥3，解得a≥3，所以a 的最小值为3.10.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ为常数)，且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则实数λ的最大值是__________． 【答案】－34【解析】建立平面直角坐标系，B(0，0)，A(2，0)，设C(x ，y)，则CA →·CB →＝x(x －2)＋y 2＝λ，则(x －1)2＋y 2＝λ＋1，得（x －1）2＋y 2＝λ＋1，点C 的轨迹是以(1，0)为圆心λ＋1为半径的圆且与x 2＋y 2＝14外离或相切．所以λ＋1≤12，λ的最大值为－34. 11.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足OC →＝54OA →＋34OB →，则r 的值为________．【答案】10【解析】OC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54OA →＋34OB →2＝2516OA →2＋2·54OA →·34OB →＋916OB →2，即r 2＝2516r 2＋158r 2cos ∠AOB ＋916r 2，整理化简得cos ∠AOB ＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝－35，得cos 2∠AOD ＝15.又圆心到直线的距离为OD ＝22＝2，所以cos 2∠AOD ＝15＝OD 2r 2＝2r 2，所以r 2＝10，r ＝10.12.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________． 【答案】[1，5]【解析】圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，说明点A(x ，y)到M (1，1)的距离小于等于4，即(x －1)2＋(y －1)2≤16，而y ＝6－x ，得x 2－6x ＋5≤0，即1≤x≤5.点A 横坐标的取值范围为[1，5]．13.已知点A(0，2)为圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T 使得∠MAT＝45°，则实数a 的取值范围是________________． 【答案】3－1≤a＜1【解析】点A(0，2)在圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外，得4－4a ＞0，则a ＜1.圆M 上存在点T 使得∠MAT ＝45°，则AM2≤r ＝2a ，即AM≤2a，(a －2)2＋a 2≤4a 2(a ＞0)，解得3－1≤a.综上，实数a 的取值范围是3－1≤a＜1.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 1，圆O 2均与x 轴相切且圆心O 1，O 2与原点O 共线，O 1，O 2两点的横坐标之积为6，设圆O 1与圆O 2相交于P ，Q 两点，直线l ：2x －y －8＝0，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为____________． 【答案】855－ 6【解析】设圆O 1的方程为(x －a)2＋(y －ka)2＝k 2a 2①，圆O 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －6k a 2＝36k2a 2 ②，②－①，得2ax －12a x ＋2aky －12a ky ＋36a 2－a 2＝0，即2x ＋2y －a －6a ＝0.设P(x 0，y 0)，则(x 0－a)2＋(y 0－ka)2＝k 2a 2，即x 20＋y 20＝2ax 0＋2ay 0－a 2，又2x 0＋2y 0－a －6a＝0，可得2ax 0＋2ay 0－a 2＝6，故x 20＋y 20＝6，即点P 的轨迹是以原点为圆心，半径为6的圆，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为855－ 6. 15.已知直线l 过点P(1，2)且与圆C ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________________．【答案】x －1＝0，3x －4y ＋5＝0【解析】由S △ABC ＝12×2×sin ∠ACB ＝1，sin ∠ACB ＝1，∠ACB ＝90°，则点C(0，0)到直线l 的距离为1，设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，利用距离公式可得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0，当k 不存在时，x －1＝0满足题意．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过A 作圆C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M.若OA ＝OM ，则直线AB 的斜率为________．【答案】2【解析】设点B(x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－22，y 02，圆x 2＋(y －1)2＝5与x 轴负半轴的交点A(－2，0)，OA ＝OM ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 022，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 022＝4.又 x 20＋(y 0－1)2＝5，两式相减得y 0＝2x 0＋4.而A(－2，0)也满足y 0＝2x 0＋4，即直线AB 的方程为y 0＝2x 0＋4，则直线AB 的斜率为2. 17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C 2：(x －17)2＋(y －30)2＝r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A 、B ，满足PA ＝2AB ，则半径r 的取值范围是______________．【答案】[5，55]【解析】在圆C 2上任取一点P ，过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A 、B ，当AB 过圆心时，此时PA 在该点处最小，AB 在该点情况下最大，此时在P 点情况下PA PB最小，当P ，A ，B 三点共线时，如图1，2，PA 为所有位置最小，且PA AB 是所有位置中最小，所以只要满足PA AB≤2，即满足题意， 错误!5≤r ≤55.18.直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________． 【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞ 【解析】以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则C 点到直线l 的距离小于1，即d ＝|k ＋2|k 2＋1≤1，解得k ≤－34. 19平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________．【答案】[0，3]【解析】设M(x ，y)，由MA 2＋MO 2＝10，A(0，2)，得x 2＋(y －1)2＝4，而(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，它们有公共点，则1≤a 2＋(a －3)2≤9，解得实数a 的取值范围是[0，3]．20.平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60°，则圆M 的方程为______________．【答案】(x －1)2＋y 2＝1【解析】∵ 当P 在圆C 上运动时∠APB 恒为60°，∴ 圆M 与圆C 一定是同心圆，∴ 可设圆M 的方程为(x－1)2＋y 2＝r 2.当点P 坐标是(3，0)时，设直线AB 与x 轴的交点为H ，则MH ＋HP ＝2，MH ＝12r ，AB ＝2×32r ，所以12r ＋2×32r ×32＝2，解得r ＝1，所以所求圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.。