第四章 算符

4.2
本征函数与本征值
定义：若用算符Â作用于某一函数 作用于某一函数f(x)的结果为某一常 的结果为某一常 定义：若用算符 作用于某一函数 的结果为某一 乘以f(x)， 数k乘以 ，即 x)
则称f(x)是Â的具有本征值 的本征函数，上式称为算 是 的具有本征值 的本征函数， 的具有本征值k的本征函数 则称 的本征方程。 符Â的本征方程。 的本征方程
（7）算符的平方 ） 定义为算符与自身的乘积， A 定义为算符与自身的乘积，即： 2 = AA ˆ ˆˆ 例如，微分算符的平方： ˆ 例如，微分算符的平方： D 2 f ( x) = DDf = Df ′ = f ′′ ˆˆ ˆ
d2 ˆ2 = D dx 2
一函数取复共轭的算符，其平方等于单位算符。 一函数取复共轭的算符，其平方等于单位算符。 一个算符的n次方等于此算符连续运算 次 一个算符的 次方等于此算符连续运算n次。 次方等于此算符连续运算
ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ AB = Dx = 1 + xD, [( AB)C ] f = (1 + xD )3 f = 3 f + 3 xf ′
（6）算符的对易不一定服从乘法交换律 ） 对一般代数来说， 是实数， 对一般代数来说 ， 若 a和 b是实数 ， 则 ab＝ ba。 但 和 是实数 ＝ 。 ˆ ˆ ˆ ˆ 算符不一定如此。 算符不一定如此。定义算符 A 与 B 的对易子[ A, B ]为:
ˆ + x) 2 = D 2 + 2 xD + x 2 + 1 ˆ ˆˆ ˆ (D ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ （2）( D + x) 2 = ( D + x)( D + x) = D ( D + x) + x( D + x) ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ = D 2 + Dx + xD + x 2 = D 2 + xD + 1 + xD + x 2 ˆ ˆˆ ˆ = D 2 + 2 xD + x 2 + 1
ˆˆ 所以， 所以，这里 AB和
（3）相等算符 ）
ˆ ˆ 是不同的算符。 BA 是不同的算符。
ˆ ˆ 是两个算符，对于所有的函数 都有： 所有的函数f， 若 A 和 B 是两个算符，对于所有的函数 ，都有：
ˆ ˆ ˆ ˆ 则两个算符相等， Af = Bf ，则两个算符相等，即： A = B
算符（ （4）单位算符（乘以 ）1 和0算符（乘以 ）0 ）单位算符（乘以1）ˆ 算符 乘以0） ˆ 例如： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 例如： Dx = 1 + xD
= q⋅
h ∂ ih ∂ ∂ ˆ = 2 = −i h pq = i ∂q i ∂q ∂q
例:
对应于坐标的算符是乘以坐标： 对应于坐标的算符是乘以坐标：
ˆ x = x⋅
h ∂ px = i ∂x
2
ˆ y = y⋅
h ∂ py = i ∂y
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Dx − xD − 1 = 0
ˆˆ ˆ ˆ Dx − xD − 1 = 0
注：对于单纯是作常数乘法的算符，常省略抑扬符。 对于单纯是作常数乘法的算符，常省略抑扬符。
5） （5）算符服从乘法结合律
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ A( BC ) = ( AB )C ˆ = d , B = x, C = 3 ˆ ˆ ˆ ˆ 例如： 例如： A dx ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ BC = 3 x, [ A( BC )] f = D (3 xf ) = 3 f + 3 xf ′
对于保守体系，经典力学的哈密顿算符单纯用坐标 坐标和 对于保守体系，经典力学的哈密顿算符单纯用坐标和共 轭动量来表示总能量 对于笛卡儿坐标x， ， ， 来表示总能量。 轭动量 来表示总能量 。 对于笛卡儿坐标 ， y， z， 共轭 动量是线动量在x， ， 方向上的分量 方向上的分量p 动量是线动量在 ，y，z方向上的分量 x，py和pz，即：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ [ A, B ] ≡ AB − BA
ˆ ˆ ˆˆ ˆ 若 AB = BA 则称算符 A 和 B 是可对易的。 ˆ 是可对易的。
例如：[3, 例如： ˆ 而
d ˆ d − d 3=0 ˆ ]=3 dx dx dx
d ˆˆ ˆ ˆ ˆ [ , x] = Dx − xD = 1 dx
4.3
算符与量子力学
h d [− + V ( x)]ψ ( x) = Eψ ( x) 2 2m dx
E：本征值 ：
2
2
ψ (x) ：本征函数
h2 d 2 哈密顿算符H − + V ( x) ：哈密顿算符H 2 2m dx
对于一个势能V(x)只是坐标的函数的体系， 总能量对时间 只是坐标的函数的体系， 对于一个势能 只是坐标的函数的体系 保持常数， 是保守的。 保守体系。 保持常数，即E是保守的。这样的体系叫做保守体系。 是保守的 这样的体系叫做保守体系
ln f = kx + 常数
f =e
常数
⋅ e = ce
kx
kx
本征值k可以是任意数而仍能满足本征方程。 本征值 可以是任意数而仍能满足本征方程。 可以是任意数而仍能满足本征方程 本征函数含一任意相乘常数c， 这对任何线性算符 本征函数含一任意相乘常数 ， 的本征函数是真实的。 即若f(x)为线性算符 的具有 为线性算符Â的具有 的本征函数是真实的 。 即若 为线性算符 本征值k的一个本征函数， 本征值 的一个本征函数，则 cf(x)仍为该算符的本征 的一个本征函数 仍为该算符的本征 函数。 函数。 证明： 证明：
ˆn = d D n dx
n
（8）线性算符 ） 只有具有下列两个性质时才是线性算符： 只有具有下列两个性质时才是线性算符：
ˆ ˆ ˆ A[ f ( x ) + g ( x)] = Af ( x ) + Ag ( x) ˆ ˆ A[cf ( x)] = cAf ( x )
d d2 如：x 2 , , ˆ dx dx 2
d 2x 例如： 例如： e = 2e 2 x dx 2x是算符 d 的具有本征值 的本征函数。 的具有本征值2的本征函数 的本征函数。 则e dx
d 问题： 的所有的本征函数和本征值是多少？ 问题：算符 dx 的所有的本征函数和本征值是多少？ 本征方程 df df ( x) = kd (x) = kf ( x) f dx
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ = ACf + BCf = ( AC + BC ) f
公设： 为某一微观体系的可能状态， 公设：若ψ1，ψ2，… ψn为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所 也是该体系可能存在的状态。 得的ψ也是该体系可能存在的状态。
例：求
d ˆ)2 ( +x dx
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( D + x) 2 f ( x) = ( D + x)[( D + x) f ] = ( D + x)( f ′ + xf ) （1） ˆ ˆ = f ′′ + f + xf ′ + xf ′ + x 2 f ˆ ˆˆ ˆ = ( D 2 + 2 xD + x 2 + 1) f
可微： 若f(x)可微： 可微
ˆ Df ( x) = f ' ( x)
ˆ ( x 2 + 3e x ) = 2 x + 3e x D
ˆ 是将一函数乘以3的算符 的算符， 3 是将一函数乘以 的算符，则：
ˆ ( x 2 + 3e x ) = 3 x 2 + 9e x 3
算符的运算
（1）和的运算 ）
ˆ ˆ ˆ ˆ ( A + B) f ( x) ≡ Af ( x) + Bf ( x)
是线性算符，而平方根算符是非线性的。 是线性算符，而平方根算符是非线性的。
线性算符中两个有用的恒等式： 线性算符中两个有用的恒等式：
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ( A + B )C = AC + BC , A( B + C ) = AB + AC ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [( 证明： ˆ ˆ ˆ 证明： A + B )C ] f ( x) = ( A + B )[Cf ( x)] = A(Cf ) + B (Cf )
其本征值为体系 能量的可能值
2
ˆ = − h d + V ( x) H 2m dx 2
这种经典力学的物理量（如能量，坐标和动量等等） 这种经典力学的物理量 （ 如能量 ， 坐标和动量等等 ） 与量子力学算符之间的对应性是普遍的。 与量子力学算符之间的对应性是普遍的 。 这是量子力 学的一个基本假定。 学的一个基本假定 。 即 ： 每一物理量都有一个对应的 量子力学算符。 量子力学算符。 问题：如何得到物理量 所对应的量子力学算符呢 所对应的量子力学算符呢？ 问题：如何得到物理量F所对应的量子力学算符呢？ 第一步：写出F作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经 第一步：写出 作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经 典力学表示。 典力学表示。 第二步：做以下变换： 第二步：做以下变换： 笛卡儿坐标q代之以该坐标去乘的算符， 笛卡儿坐标 代之以该坐标去乘的算符，即：q 代之以该坐标去乘的算符 ˆ 线动量的每个笛卡儿分量p 代之以算符： 线动量的每个笛卡儿分量 q代之以算符：
ˆ ˆ A(cf ) = cAf = ckf = k (cf )
df ( x) = kf ( x) dx
f =e
常数
⋅ e = ce
kx
kx
（1）对于每一个不同的本征值 ，得到一个不同的本征函数。 ）对于每一个不同的本征值k，得到一个不同的本征函数。 相同， 不同， （2）即使本征值 相同，若常数 不同，仍有不同的本征函数 。 ）即使本征值k相同 若常数c不同 值但不同c值的本征函数不是线性独立的 （3）具有同一 值但不同 值的本征函数不是线性独立的。 ）具有同一k值但不同 值的本征函数不是线性独立的。