算符的矩阵表示_

例 一电子处于态Ψ32m ，测力学量L2，测量值为几？ 测量值为几？ ∧ Lz可能取哪些值？ 可能取哪些值？在Lz表象中， 表象中，Lz自身的矩阵形式是什么？ 自身的矩阵形式是什么？
2 2 ˆ L ψ = l ( l + 1 ) h ψ 32 m 解： 32 m = 2(2 + 1)h 2ψ 32 m 2 = 6h ψ 32 m ˆ ψ = mhψ L z 32 m 32 m
p47 (3.1-8)式
∫
=
{∫ u
* nm
* n
ˆ u ( x ) dx (x)F m
}
*
=F
厄密算符的矩阵 厄密算符的矩阵 是厄密矩阵
* ˆ Fnm = ∫ un F ( x ,− ih ∂ )um ( x ) dx ∂x
7 算符的矩阵表示
对角矩阵与单位矩阵: 对角矩阵与单位矩阵:
对角矩阵
An ( m = n ) Anm = Anδ nm = 0 ( m ≠ n ) 除对角元外其余为零
§4-2-2 厄密算符的矩阵
* * A A A13 * 11 12 A = 复共轭 A* A* A23 21 22
* A13 * A23
m列n行 n 列m 行 转置矩阵： 转置矩阵：把矩阵A * * A A A A 的行和列互相调换， 的行和列互相调换， 11 21 11 21 * ~ + * 所得新矩阵称为A的 A = A A 共轭矩阵 A = A12 A22 12 22 转置矩阵 A* A* A A
+
~ * * A → ( A ) mn = ( Amn ) = Anm + * 定义矩阵A 的共轭矩阵 Amn = Anm
+
n列m行
转成共轭复数 用A+表示矩阵A 的共轭矩阵
矩阵 A 的共轭矩阵
+ * 定义矩阵 A 的共轭矩阵 Amn = Anm * + Amn = Anm = Amn 厄密算符矩阵满足： A = A+ 或厄密算符矩阵满足： 该式意味着， 该式意味着，厄密矩阵的对角元 Fnn为实数； 为实数； 而其余的各个非对角元素， 而其余的各个非对角元素， 对于主对角线是复数共厄反射对称的。 对于主对角线是复数共厄反射对称的。 量子力学中要用厄密算符来描写力学量， 量子力学中要用厄密算符来描写力学量，所以同它们对应的 矩阵必是厄密矩阵。 矩阵必是厄密矩阵。 由于厄密矩阵的对角元是实数， 由于厄密矩阵的对角元是实数，由此也可得到厄密算符的本 征值必定是实数的结论。 征值必定是实数的结论。 性质： 性质：
§4-2
算符的矩阵表示
§4-1介绍了态的矩阵表示 介绍了态的矩阵表示, 态的矩阵表示,力学量表象 同样， 同样，算符也可以表示为矩阵的形式. 算符也可以表示为矩阵的形式. 本节介绍： 本节介绍： §4-2-1 力学量算符的矩阵表示 §4-2-2 厄密算符的矩阵 §4-2-3 算符在自身表象中的形式 §4-2-4 算符有不同本征值的情况
2 算符的矩阵表示
§4-2-1 力学量算符的矩阵表示
∂ 算符也可以表示为矩阵的形式. 算符也可以表示为矩阵的形式. ˆ F ( x,−ih ) ∂x 一个算符在坐标表象中可表示为 ∂ ˆ ˆ ˆ )Ψ( x) = F ( x,−ih )Ψ( x ) 这意味着 Φ( x) = F ( x, p
把Ψ(x)和 Φ(x)变换到Q表象中， 表象中，设力学量Q有离散的本征值 Ψ( x) = ∑amum ( x) Φ( x) = ∑bmum ( x)
算符的矩阵表示
例 设一维粒子Hamilton量
f(x) d d ( p )x ' x" = ∫ δ (x − x') − ih δ (x − x")dx = −ih δ (x '− x") dx dx ' f(x)
m m
∂x
在Q表象中本征值集为 {q1, q2, ......, qn} 本征函数系为 {u1(x), u2(x), ......, un(x)} 设只有分立本征值， 设只有分立本征值，将Φ、Ψ按{un(x)}展开： 展开： ∂ ) a u ( x) ˆ b u ( x ) = F ( x , − i h 两边左乘 ∑ ∑ m m m m ∂ x m m u*n(x) * * ˆ ∂ )u ( x ) a b u u ( x ) = u F ( x , − i h ∑ ∑ m n m n m m 对 x 积分 ∂ x m m * * ˆ ∂ )u ( x ) dx a b u u ( x ) dx = u F ( x , − i h ∑ ∑ m∫ n m n m m ∫ ∂ x m m
CHAP.4 量子力学的矩阵形式
--态和力学量的表象 --态和力学量的表象
§4-1 态的表象 §4-2 算符的矩阵表示 §4-3 量子力学公式的矩阵表示
*
§4.2 算符的矩阵表示 §4-4 么正变换 §4-5 Dirac符号 §4.3 量子力学公式的矩阵表示 §4-6 线性谐振子与占有数表象
1
算符的矩阵表示
求解力学量的本征值问题， 求解力学量的本征值问题，可以通过选择合适的基底， 可以通过选择合适的基底， 使这一力学量算符的表示矩阵成为对角矩阵。 使这一力学量算符的表示矩阵成为对角矩阵。 对角元素就是待求的本征值， 对角元素就是待求的本征值，所用的基底就是待求的本征态.
算符的矩阵表示
9
§4-2-3 算符在自身表象中为对角阵
A1 0 A= 0 0
0 A2 0 0
0 0 A3 0
单位矩阵 Anm = δ nm 单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A IA=A 并且与任何矩阵都是可对易的 IA=AI
1 0 I = 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 A4
算符F在Q表象仍是一个矩阵, 矩阵元由下式确定： 矩阵元由下式确定：
* n
* uq ( x)，uq ( x)
ˆ ( x,−ih ∂ )u ′ ( x)dx Fqq′ = ∫ uq * ( x) F ∂x q
∑
n
an，bm
∫ dq
a q , bq
(4.2-10)
只是该矩阵的行列用连续下标表示. 在连续谱情况下， 在连续谱情况下，所有矩阵都是象征性的。 所有矩阵都是象征性的。
11 算符的矩阵表示
§4-2-4 算符有不同本征值的情况
(2) 既有分立本征值， 既有分立本征值，又有连续本征值 Q 1 , Q 2 , L , Q n , L , q ′, q ′′, L ˆ : Q u 1 , u 2 , L , u n , L , u q ′ , u q ′′ , L
形式
b = F F F L a 3 31 32 33 3 M M M M O M
记
算符也可以表示为矩阵的形式, 算符也可以表示为矩阵的形式, 在离散表象中算符用(方)矩阵 代表
算符的矩阵表示
Φ=FΨ
4
A11 A12 以2×3矩阵为例： 矩阵为例： A= A A 21 22
( AB ) + = B + A+ ( ABCD ) + = D +C + B + A+
算符的矩阵表示
6
算符的 Hermitian性在矩阵形式中的表现： 性在矩阵形式中的表现：
* * ˆ ˆ Ψ x F Φ x dx = F Ψ ( x )] Φ ( x )dx ( ) ( ) [ 若 ∫ ∫ ˆ 为厄米算符 称F * ˆ u n ( x ) dx ( x)F 厄密算符的矩阵：Fmn = ∫ um ˆ u m ( x )) * u n ( x ) dx = (F
m
bn = ∑ Fnmam
m
m nm
= ∑ Fnmam
的正交归一性
F 在 Q 表象中是一个矩阵， 表象中是一个矩阵， Fnm 是其矩阵元 * ˆ Fnm = ∫ un F ( x,−ih ∂ )um ( x )dx ∂x Q表象的表达方式 表象的表达方式
b3 = F31a1 + F32a2 + F33a3 + L LL
8 算符的矩阵表示
ˆ 在其自身表象中的矩阵元 Q ˆ u ( x ) dx Q = u * ( x )Q
mn
* = Qn ∫ um ( x )un ( x ) dx
§4-2-3 算符在自身表象中为对角阵 ˆ u ( x) = Q u ( x) 讨论力学量算符在自身表象中的形式 Q n n n
∫
m
n
Ψ(x)是Q表象中态矢量
Ψ ( x ) = ∑ an un ( x ) + ∫ aq uq ( x )dq
n* a n = ∫ un ( x ) Ψ ( x )dx
{un(x)}是Q表象的 基矢量(或基底) |an|2 是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量Q 所得结果为 qn 的几率; |aq|2dq 是在Ψ 是在Ψ态中测量力学量 Q 所得结果在 q ~q+dq之间的几率 F11 F12 L F1n L Fq′q′ Fq′q′′ L F = u* F mn ∫ m ˆ un dx F21 F22 L F2n L Fq′′q′ Fq′′q′′ L * ˆ u ′′ ( x )dx F = u ( x ) F ˆ ′ ′ ′ ′ q q q q ∫ F= M M M M L M M L Fn1 Fn2 L Fnn L Fqα q′ Fqα q′′ L M M M M M M M O 12 {an}是态矢量的分量或投影
{
}
3
算符的矩阵表示
* b u ∑ m ∫ n um ( x )dx = ∑ m m