7.2 力学量(算符)的矩阵表示
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0 3/2 0 0 0 0 5/2 0 0 0 0 7/2
mn
1 / 2 0 ( H mn ) 0 0
(1 2 )
是一个对角矩阵 任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵.
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
*7.2 力学量（算符）的矩阵表示
一、直角坐标系中的类比
仍以平面矢量作类比
A B
（逆时针转动q角） 在坐标系x1x2中，它们分别表示成
A A1 e1 A2 e 2 A ( A1 , A2 )
B B1 e 1 B 2 e 2 B ( B1 , B 2 ) (1)
B 2 A1 ( e 2， R e 1 ) A2 ( e 2， R e 2 )
即
B1 ( e 1， R e 1 ) B 2 ( e 2， R e 1 ) co s q sin q
( e 1， R e 2 ) A1 ( e 2， R e 2 ) A 2 (3)
(8)
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
二、例：求一维谐振子的坐标 x、动量 p以及Hamilton量 H 在能量表象中的表示. [分析]：不同体系的Hamilton量不一样，能量表象的基矢 也不一样.这里能量表象的基矢为一维谐振子Hamilton量 的本征函数 y n ( x ) 解：利用一维谐振子波函数的递推关系
k
k
S ky
*
k
S k (y , y k ) yb
y j (y j , y b )
j
j
S b jy
*
j
(1 3)
得 即
L b
kj
* ˆ S k (y k , Ly j )S b j
kj
S k L kj S j b ( S L S ) b
a
k
k
ˆ Ly
k
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
两边左乘 y
bj
j
,取标积，得
ˆ (y j , Ly k )a k
k
L
k
jk
ak
(6 )
其中
ˆ L jk (y j , Ly k )
(7 )
式(6)表示成矩阵形式则为
b1 b2 L1 1 L21 L1 2 L22 ... a 1 ... a 2
sin q A1 co s q A 2
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
把矢量逆时针方向旋转q角的操作可用R(q )刻画
co s q R (q ) sin q
sin q
co s q
(4)
它的矩阵元是描述基矢在旋转下如何变化的. 例如第一列元素
L SLS
SLS
1
(1 4 )
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
L ( L kj ) L ' ( L ' b ˆ 分别表示力学量 L 在 F 和 F′表象中的矩阵表示 )
S (S k ) S k
(y ,y k )
量子力学教程(第二版)
0 1 / 2 1 ( xmn ) 0 0 1/ 0 2/2 0 2 0 2/2 0 3/2 0 0 3/2 0
(1 0 )
0 1 / 2 ( p m n ) i 0 0
是从F表象→F′表象的么正变换
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
三、总结与比较
F 表象（基矢y k）
F 表象（基矢y ）
a 1 a a 2 , a (y ,y )
量子态
y
a1 a a2
d
n 1 2
m , n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
m , n 1 2
n m , n 1 2
pmn
(y m , i y n ) i dx
n 1 2
m , n 1
注意：这里的m、n都是由0开始取值.这样
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
L12 L22
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
, a (y k ,y ) k
ˆ 力学量 L
L1 1 L ( L kj ) L 2 1 ˆ L kj (y k , Ly j )
L1 2 L22
... ...
L11 L ( L b ) L 2 1 ˆ L b (y , Ly b )
令
B R (q ) A
(2)
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
写成分量的形式，有
B1 e1 B 2 e 2 A1 R e1 A2 R e 2
e 1、 e 2
分别点乘上式得 （2）式的 矩阵表示
B1 A1 ( e1， R e 1 ) A2 ( e1， R e 2 )
xy
n
1
n 2
y
n 1
n 1
y n 1 2
(9 )
d dx
y
n
n 2
y
n 1
n 1
y n 1 2
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
可以计算出
x mn 1 (y m , x y n )
量子力学教程(第二版)
三、力学量的表象变换
ˆ L kj (y k , Ly j ) F表象（基矢yk）中，力学量L表示为矩阵（Lkj）,矩阵 元 ˆ F′表象（基矢y）中，力学量L表示为矩阵（L'b）,矩阵元 L b (y , Ly b )
y
y k (y k , y )
1 / 0
2
0 2/2 0 3/2
0 0 3/2 0
2/2 0
(1 1)
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
而
所以
H
mn
1 ˆy ) E (y m , H n ( n ) n mn 2
R 1 1 co s q ( e 1 , R e 1 ) R 2 1 sin q ( e 2 , R e 1 )
ˆ 与上类比,设量子态y经过算符 L 运算后变成另一个态f
ˆ f Ly
在F表象中,上式表示为
(5)
k k
by
k
mn
1 / 2 0 ( H mn ) 0 0
(1 2 )
是一个对角矩阵 任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵.
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
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*7.2 力学量（算符）的矩阵表示
一、直角坐标系中的类比
仍以平面矢量作类比
A B
（逆时针转动q角） 在坐标系x1x2中，它们分别表示成
A A1 e1 A2 e 2 A ( A1 , A2 )
B B1 e 1 B 2 e 2 B ( B1 , B 2 ) (1)
B 2 A1 ( e 2， R e 1 ) A2 ( e 2， R e 2 )
即
B1 ( e 1， R e 1 ) B 2 ( e 2， R e 1 ) co s q sin q
( e 1， R e 2 ) A1 ( e 2， R e 2 ) A 2 (3)
(8)
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
二、例：求一维谐振子的坐标 x、动量 p以及Hamilton量 H 在能量表象中的表示. [分析]：不同体系的Hamilton量不一样，能量表象的基矢 也不一样.这里能量表象的基矢为一维谐振子Hamilton量 的本征函数 y n ( x ) 解：利用一维谐振子波函数的递推关系
k
k
S ky
*
k
S k (y , y k ) yb
y j (y j , y b )
j
j
S b jy
*
j
(1 3)
得 即
L b
kj
* ˆ S k (y k , Ly j )S b j
kj
S k L kj S j b ( S L S ) b
a
k
k
ˆ Ly
k
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
两边左乘 y
bj
j
,取标积，得
ˆ (y j , Ly k )a k
k
L
k
jk
ak
(6 )
其中
ˆ L jk (y j , Ly k )
(7 )
式(6)表示成矩阵形式则为
b1 b2 L1 1 L21 L1 2 L22 ... a 1 ... a 2
sin q A1 co s q A 2
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
把矢量逆时针方向旋转q角的操作可用R(q )刻画
co s q R (q ) sin q
sin q
co s q
(4)
它的矩阵元是描述基矢在旋转下如何变化的. 例如第一列元素
L SLS
SLS
1
(1 4 )
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
L ( L kj ) L ' ( L ' b ˆ 分别表示力学量 L 在 F 和 F′表象中的矩阵表示 )
S (S k ) S k
(y ,y k )
量子力学教程(第二版)
0 1 / 2 1 ( xmn ) 0 0 1/ 0 2/2 0 2 0 2/2 0 3/2 0 0 3/2 0
(1 0 )
0 1 / 2 ( p m n ) i 0 0
是从F表象→F′表象的么正变换
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
三、总结与比较
F 表象（基矢y k）
F 表象（基矢y ）
a 1 a a 2 , a (y ,y )
量子态
y
a1 a a2
d
n 1 2
m , n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
m , n 1 2
n m , n 1 2
pmn
(y m , i y n ) i dx
n 1 2
m , n 1
注意：这里的m、n都是由0开始取值.这样
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
L12 L22
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
, a (y k ,y ) k
ˆ 力学量 L
L1 1 L ( L kj ) L 2 1 ˆ L kj (y k , Ly j )
L1 2 L22
... ...
L11 L ( L b ) L 2 1 ˆ L b (y , Ly b )
令
B R (q ) A
(2)
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
写成分量的形式，有
B1 e1 B 2 e 2 A1 R e1 A2 R e 2
e 1、 e 2
分别点乘上式得 （2）式的 矩阵表示
B1 A1 ( e1， R e 1 ) A2 ( e1， R e 2 )
xy
n
1
n 2
y
n 1
n 1
y n 1 2
(9 )
d dx
y
n
n 2
y
n 1
n 1
y n 1 2
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
可以计算出
x mn 1 (y m , x y n )
量子力学教程(第二版)
三、力学量的表象变换
ˆ L kj (y k , Ly j ) F表象（基矢yk）中，力学量L表示为矩阵（Lkj）,矩阵 元 ˆ F′表象（基矢y）中，力学量L表示为矩阵（L'b）,矩阵元 L b (y , Ly b )
y
y k (y k , y )
1 / 0
2
0 2/2 0 3/2
0 0 3/2 0
2/2 0
(1 1)
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
而
所以
H
mn
1 ˆy ) E (y m , H n ( n ) n mn 2
R 1 1 co s q ( e 1 , R e 1 ) R 2 1 sin q ( e 2 , R e 1 )
ˆ 与上类比,设量子态y经过算符 L 运算后变成另一个态f
ˆ f Ly
在F表象中,上式表示为
(5)
k k
by
k