力学位移和应变分析

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第3章-应变分析

xx ( ij ) yx zx
xy xz x yy yz 1 2 yx 1 zy zz 2 zx
1 2
xy y 1 2 zy
简记为： 1 (u u ) ij j ,i i, j 1 2 2 xz 1 2 yz 称为应变张量 z
—P点沿 x,y 两垂直方向棱边角度的变化： xy yx xy 考察 apa ，由于 yx 很小，故有
于是有：
xy yx
v u x y
dy v v ( x, y )
dy
b
d
v v( x dx, y)
y
p
（3-5）
z
o x
z
dz
f
c
dx a p b d
e g
p
dy
o x
y
< i > Oxy平面：微元体pabd（六面体在xy平面上的投影部分）。
dy v v
y
dy v v ( x, y )
v
b
p
x
xy
b b
d a
v v( x dx, y)
p yx a
dy
M (ii) 切应变：物体内一点P(x,y,z)的两垂直方向和 N 方向之间的角度变化量，称之为 M 和 N 方向的切应变。
则 xy ：变形后 x、y 两垂直方向间夹角的变化量。
MN 1 2
变形后 M、N 两垂直方向间角度的变化量
规定：两轴正向间的夹角减小为正，夹角增大为负。
Chapter 3 应变分析
3-1、位移与变形

【原创】位移、变形、应变基本概念

【原创】位移、变形、应变基本概念
力学分析中最重要的是基本概念。

开始之前先重新认识一下最常见的几个力学基本概念：
1.位移：物体位置的变化（分为刚体位移和变形两部分）
2.变形：物体受外力作用而产生体积或形状的改变
3.应变：外力作用下物体局部的相对变形
4.应力：单位面积上的内力
5.强度：材料在外力作用下抵抗永久变形和断裂的能力，表征的是承载能力
6.刚度：材料在载荷作用下抵抗弹性变形的能力
小变形假设
小变形假设，是指构件因外力作用而产生的变形量远远小于其原始尺寸，这样在研究平衡问题时，就可忽略构件的变形，按其原始尺寸进行分析，使计算得以简化。

在弹性力学中，小变形假设指物体在外力作用下产生的变形与其本身几何尺寸相比很小，可以不考虑因变形而引起的尺寸变化。

这样，就可以用变形以前的几何尺寸来建立各种方程。

此外，应变的二阶微量可以忽略不计，从而使得几何方程线性化。

△小变形假设是弹性力学几何方程成立的前提条件
△小变形假设也是线弹性有限元分析的前提条件
位移、变形及应变
以下面所示一维杆为例，原始构型为AB，变形后构型为A'B'。

u位移：矢量AA’代表的是A点的位移，矢量BB’代表B点的位移，杆AB上任意一点的位移可以有A点和B点的位移插值得到。

u变形：杆的伸长量，定义为
u应变：局部的相对变形，材料力学或者弹性力学中的定义为：二维问题中，定义为：
小变形假设下应变的推导
有关有限变形下的应变表示以后再补充。

应变和位移之间计算公式

应变和位移之间计算公式应变和位移是材料力学中的两个重要概念，它们之间的关系可以用一定的计算公式来描述。

在这篇文章中，我们将探讨应变和位移之间的计算公式，并解释它们的物理意义。

我们来了解一下应变的概念。

应变是描述物体变形程度的物理量，它表示单位长度的变化量。

在弹性材料中，应变可以分为线性应变和剪切应变两种。

线性应变是指物体在受力作用下沿着受力方向发生的长度变化，通常用拉伸或压缩的形式表示。

剪切应变是指物体在受力作用下沿着切面发生的形变，通常用剪切的形式表示。

位移是描述物体位置变化的物理量，它表示物体从一个位置到另一个位置的距离。

在弹性材料中，位移可以分为线性位移和旋转位移两种。

线性位移是指物体在受力作用下沿着受力方向发生的位置变化，通常用平移的形式表示。

旋转位移是指物体在受力作用下发生的旋转变化，通常用旋转的形式表示。

应变和位移之间的计算公式可以根据具体情况而定。

下面我们将分别介绍线性应变和剪切应变与线性位移和旋转位移之间的计算公式。

对于线性应变和线性位移的关系，我们可以用胡克定律来描述。

胡克定律是指在弹性材料中，线性应变与线性位移之间存在线性关系。

具体而言，线性应变等于线性位移与材料的弹性模量之积。

弹性模量是材料的一种力学性质，反映了材料的刚度。

公式可以表示为：线性应变 = 线性位移× 弹性模量其中，线性应变的单位是无量纲的，线性位移的单位是长度单位，弹性模量的单位是压力单位。

对于剪切应变和旋转位移的关系，我们可以用剪切模量来描述。

剪切模量是材料的另一种力学性质，反映了材料抵抗剪切变形的能力。

剪切应变等于旋转位移与剪切模量之积。

公式可以表示为：剪切应变 = 旋转位移× 剪切模量其中，剪切应变的单位是无量纲的，旋转位移的单位是弧度单位，剪切模量的单位是压力单位。

需要注意的是，计算应变和位移之间的关系时，要根据具体的力学模型和材料性质选择适当的公式。

不同材料的力学性质和变形方式不同，因此计算公式也会有所差异。

工程力学中的力的应变分析

工程力学中的力的应变分析一、引言工程力学是研究物体在外力作用下的力学性质和变形规律的学科。

在工程力学中，力的应变分析是非常重要的内容之一。

力的应变分析帮助工程师和设计师了解结构和材料对外力的响应，从而评估其性能和稳定性。

本文将介绍工程力学中力的应变分析的基本概念和理论，并探讨其在工程实践中的应用。

二、力和应变的概念1.力的概念力是物体相互作用产生的结果。

它可以是各种形式的，如压力、张力、剪力等。

力的大小用力的大小用力学单位——牛顿（N）来表示。

2.应变的概念应变是描述物体变形程度的物理量。

它是物体相对初始状态的相对变化，可以分为线性应变和剪切应变。

线性应变是物体在受压或拉伸时长度相对变化的量度，而剪切应变是物体受到剪切力时形状相对变化的量度。

三、力的应变分析的原理1.胡克定律工程力学中的力的应变分析是基于胡克定律的。

胡克定律表明了弹性体在小应力下的线性变形行为。

根据胡克定律，应力与应变成正比。

即应力等于弹性模量乘以应变。

2.应力与应变的关系应力与应变之间的关系可以用应力-应变曲线表示。

该曲线可以显示物体受力后的变形行为。

在弹性阶段，应力与应变成线性关系，而在超过材料极限时，材料会发生塑性变形。

四、力的应变分析的应用1.结构设计力的应变分析在结构设计中起着重要作用。

通过对结构受力情况进行分析，工程师可以选择合适的材料和设计方案，以确保结构的安全性和可靠性。

2.材料评估力的应变分析还可以用于评估材料的性能。

通过检测材料在受力过程中的应变变化，可以了解材料的强度、硬度和韧性等性质，为材料选择和应用提供依据。

3.疲劳分析力的应变分析对于疲劳分析也是至关重要的。

疲劳是指在重复循环载荷下，物体发生的渐进性损伤和破坏。

通过力的应变分析，可以研究材料的疲劳特性，预测结构在实际应用中的寿命。

五、总结力的应变分析是工程力学中的重要内容。

它通过研究物体在外力作用下的应变变化，帮助工程师和设计师评估结构和材料的性能和稳定性。

弹性力学应变分析

12
土木工程专业：弹性力学
df dy
dg dx
得到
u f ( y) u0 y v g ( x) v0 x
u0、v0为平移分量
为绕 z 轴转动的角度
• 位移为零或常数，应变一定为零 • 应变为零，位移未必为零。存在刚体位移时，位移有平动分量和转动分量。不存在刚体位移（约束限制）时，位移亦为零。
y
y方向的正应变 v v dy v l PTy y y dy l PT
v y
y
v
T
v dy y

v
P

Q
v u
v dx x u dx x
u
o
x
转角
2013-7-26
tan
u u dy u u y dy y
4
土木工程专业：弹性力学
新旧坐标系应变分量之间的关系
• 张量指标方程或
ij aim a jn mn
ij a pi aqj pq
ε aT ε a
12 13 a11 22 23 a12 32 33 a13
a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33
T
1 ε (D DT ) 2
土木工程专业：弹性力学
• 应变张量的矩阵表达
11 12 ε 21 22 31 32
u x 对
2013-7-26
x 13 1 23 xy 2 33 1 2 zx
v w yz 0.0001 0.0001 0.0002 y xz z y w u zx 0.0001 0.00005 0.00005 yz x z

大位移大应变大位移小应变

大位移大应变大位移小应变
大位移和大应变以及大位移小应变都是在材料力学和结构力学
领域中常常涉及到的概念。

首先，我们来解释一下这些概念。

大位移指的是在材料受力作用下发生的较大位移变形，通常发
生在材料受到较大外力或外载荷作用下。

这种情况下，材料会出现
较大的形变，可能会导致材料的破坏或损伤。

大位移通常需要考虑
材料的非线性特性，例如材料的刚度会随着位移的增加而发生变化。

大应变则是指在材料受力作用下产生的较大应变变形。

应变是
描述材料形变程度的物理量，通常用来衡量材料的变形程度。

在大
应变情况下，材料可能会呈现非线性应力-应变关系，这意味着材料
的应力和应变不再呈线性关系，需要考虑材料的非线性特性。

而大位移小应变则是指在某些情况下，材料受力作用下会发生
较大的位移变形，但是对应的应变变化相对较小。

这种情况可能发
生在柔性材料或者特定的结构中，其中材料的位移较大但是应变相
对较小。

从应用角度来看，大位移和大应变通常需要考虑材料的非线性
特性，需要使用适当的非线性材料模型进行分析。

而大位移小应变
则可能需要考虑材料的刚度和变形特性，以及结构的稳定性等方面。

总的来说，大位移、大应变和大位移小应变都是材料力学和结
构力学中重要的概念，对于工程结构的设计和分析具有重要意义，
需要根据具体情况进行合理的分析和处理。

应变幅频响应与位移幅频响应

应变幅频响应与位移幅频响应是结构动力学分析中的两个重要概念，它们描述了结构在不同频率下的振动特性。

下面将分别对应变幅频响应和位移幅频响应进行详细的解释和比较。

一、应变幅频响应应变幅频响应是指结构在受到不同频率的激励时，其应变幅值随频率变化的特性。

应变是描述物体变形程度的物理量，它表示物体在受到外力作用时，其长度、角度或体积等发生的相对变化。

在振动分析中，应变通常是通过应变片或应变计等传感器测量得到的。

当结构受到简谐激励（即正弦波或余弦波激励）时，其应变响应也会呈现出简谐变化的特性。

此时，应变幅频响应可以通过扫频试验或数值模拟等方法获得。

在应变幅频响应曲线中，横坐标表示激励频率，纵坐标表示应变幅值。

通过观察曲线的变化趋势和峰值位置，可以了解结构在不同频率下的振动特性和共振情况。

二、位移幅频响应位移幅频响应是指结构在受到不同频率的激励时，其位移幅值随频率变化的特性。

位移是描述物体位置变化的物理量，在振动分析中，它表示物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离。

位移幅频响应同样可以通过扫频试验或数值模拟等方法获得。

与应变幅频响应类似，位移幅频响应曲线也是以激励频率为横坐标，位移幅值为纵坐标。

通过观察曲线的变化趋势和峰值位置，可以了解结构在不同频率下的振动特性和共振情况。

与应变幅频响应不同的是，位移幅频响应更侧重于描述结构的整体振动情况，而应变幅频响应则更关注于结构的局部变形情况。

三、应变幅频响应与位移幅频响应的比较应变幅频响应和位移幅频响应都是描述结构振动特性的重要参数，它们之间存在一定的联系和区别。

首先，应变幅频响应和位移幅频响应都是描述结构在不同频率下的振动响应，但关注的重点不同。

应变幅频响应更关注于结构的局部变形情况，而位移幅频响应更关注于结构的整体振动情况。

其次，在实际应用中，应变幅频响应和位移幅频响应可以相互补充。

例如，在结构设计中，可以通过位移幅频响应了解结构的整体刚度和共振频率，然后通过应变幅频响应了解结构在共振频率附近的局部变形情况，从而更全面地评估结构的振动特性。

结构力学位移法

结构力学位移法结构力学是研究结构物的力学性能和变形规律的科学，位移法是结构力学中常用的一种分析方法。

它通过计算结构物各个节点的位移，进而求解出结构物的应力、应变等力学参数。

下面将详细介绍位移法的原理和应用。

一、位移法的原理位移法是一种基于力的平衡方程和位移的相关性质来计算结构物响应的方法。

它的基本原理是通过建立结构物的整体刚度方程，解这个方程得到各节点的位移，再根据位移计算出相应节点上的应力和应变。

在应用位移法时，首先需要确定结构物的受力状态，即施加在结构物上的外力和边界条件。

然后，根据结构物的几何约束条件和材料特性，建立结构物的整体刚度方程。

这个方程是一个描述结构物节点位移与受力关系的方程，通常表示为[K]{D}={F}，其中[K]是结构物的刚度矩阵，{D}是节点位移矩阵，{F}是节点受力矩阵。

解刚度方程可以得到节点位移矩阵{D}，再通过位移与应力或应变的关系，计算出各个节点上的应力和应变。

常用的位移与应力或应变的关系包括伯努利梁理论、平面假设等。

最后，根据应力或应变条件，判断结构物的安全性和稳定性。

二、位移法的应用位移法广泛应用于各种结构物的力学分析和设计中，特别是对于复杂结构和非线性问题的分析更具优势。

1.梁和框架的分析对于梁和框架结构，可以根据位移法计算出节点上的位移、弯矩、剪力和轴力等力学参数。

通过对结构物的力学性能的准确分析，可以进行合理的结构设计和优化。

2.刚架和刚构的计算在刚架和刚构的计算中，位移法可以用来求解节点刚度，从而得到结构物的受力分布和变形情况。

这对于评估结构物的稳定性和刚度有重要意义。

3.非线性问题的分析位移法还可以应用于非线性结构的分析，如软土地基的承载力计算、非线性材料的应力分析等。

在这些情况下，结构物的刚度和应力等参数会随着受力状态的变化而发生变化，需要通过迭代的方法来求解。

4.动力分析位移法也可以用于结构物的动力分析。

动力分析主要研究结构物在动态载荷下的响应和振动特性。

弹性力学中的应变能和位移能

弹性力学中的应变能和位移能弹性力学是研究固体物体在外力作用下产生的形变和应力分布的一门学科。

在弹性力学中，应变能和位移能是两个重要的概念，它们在分析物体的弹性行为和能量转化过程中起着关键的作用。

应变能是指物体在外力作用下发生形变时所储存的能量。

当外力作用结束后，物体会恢复到原始形状，而储存的应变能也会被释放出来。

应变能的大小与物体的形变程度有关，一般来说，形变越大，应变能也越大。

应变能可以通过应变能密度来表示，即单位体积内的应变能。

应变能密度与物体的体积有关，体积越大，应变能密度也越大。

应变能密度可以用来计算物体在外力作用下的弹性势能，它是弹性力学中的一个重要参数。

位移能是指物体在外力作用下产生的位移所储存的能量。

当外力作用结束后，物体会恢复到原始位置，而储存的位移能也会被释放出来。

位移能的大小与物体的位移程度有关，一般来说，位移越大，位移能也越大。

位移能可以通过位移能密度来表示，即单位体积内的位移能。

位移能密度与物体的体积有关，体积越大，位移能密度也越大。

位移能密度可以用来计算物体在外力作用下的弹性势能，它也是弹性力学中的一个重要参数。

应变能和位移能在弹性力学中具有相似的性质和计算方法，但它们所描述的物理现象略有不同。

应变能主要描述了物体的形变过程，而位移能主要描述了物体的位移过程。

在实际应用中，应变能和位移能常常同时存在，相互转化。

例如，当一个物体被拉伸时，它的形变能会转化为位移能，而当物体恢复到原始形状时，位移能会再次转化为形变能。

这种能量的转化过程是弹性力学中的一个基本原理。

应变能和位移能在工程和科学领域中有广泛的应用。

在结构设计中，通过计算物体的应变能和位移能，可以评估结构的稳定性和安全性。

在材料研究中，通过研究物体的应变能和位移能，可以了解材料的弹性性质和破坏机制。

在地震学中，通过研究地震波的传播和物体的应变能和位移能，可以预测地震的破坏程度和影响范围。

总之，应变能和位移能是弹性力学中重要的概念，它们在分析物体的弹性行为和能量转化过程中起着关键的作用。

工程力学中的受力分析方法总结与应用

工程力学中的受力分析方法总结与应用引言：工程力学是研究物体在外力作用下的变形和破坏规律的学科。

受力分析是工程力学的基础，它能够帮助工程师了解结构体的受力情况，从而设计出更加安全可靠的工程结构。

本文将总结和应用工程力学中的受力分析方法，探讨其在工程实践中的应用。

一、静力学的受力分析方法静力学是研究物体在平衡状态下受力的学科。

在静力学中，常用的受力分析方法包括平衡方程法和力的分解法。

1. 平衡方程法平衡方程法是通过分析物体受力平衡的条件来确定物体的受力情况。

在平衡方程法中，我们可以根据牛顿第一定律和牛顿第二定律来建立平衡方程，进而求解物体的受力。

这种方法适用于分析平面结构和简单的立体结构。

2. 力的分解法力的分解法是将一个力分解为多个力的合力。

通过将力分解为水平和垂直方向的力，我们可以更好地分析物体的受力情况。

力的分解法在分析斜面、倾斜物体等情况时非常有用。

二、应力分析方法应力分析是研究物体内部受力状态的学科。

在工程力学中，常用的应力分析方法包括受力图法和应力分布分析法。

1. 受力图法受力图法是通过绘制物体的受力图来分析物体的受力情况。

在受力图中，我们可以清晰地看到物体受力的方向和大小，从而判断物体是否处于平衡状态。

受力图法适用于分析桁架、梁、柱等结构。

2. 应力分布分析法应力分布分析法是通过分析物体内部的应力分布情况来判断物体的受力状态。

通过计算物体内部各点的应力大小和方向，我们可以了解物体受力的均匀性和集中性。

应力分布分析法在分析复杂结构和非均匀材料时非常有用。

三、变形分析方法变形分析是研究物体在受力作用下的形状和尺寸变化的学科。

在工程力学中，常用的变形分析方法包括位移法和应变分析法。

1. 位移法位移法是通过分析物体各点的位移情况来判断物体的变形状态。

通过计算物体各点的位移大小和方向，我们可以了解物体的整体变形情况。

位移法适用于分析弹性体的变形。

2. 应变分析法应变分析法是通过分析物体各点的应变情况来判断物体的变形状态。

结构力学位移法详解

结构力学位移法详解结构力学是一门研究物体受力和变形关系的科学，它对于工程结构的设计和分析具有重要的意义。

结构力学包括静力学和动力学两个方面，其中位移法是解决结构静力学问题的一种重要方法。

位移法是一种基于结构位移的方法，通过建立结构的位移方程来求解结构中的受力和变形情况。

相比于应力法，位移法在简化问题过程中能够更好地处理约束条件和边界条件，使得解题更加简化和精确。

在位移法中，首先需要确定结构的边界条件，即结构的约束条件和边界条件。

然后根据结构的受力平衡和力的平衡条件，建立结构的位移方程。

位移方程是一个描述结构变形情况的方程，通过解这个方程可以得到结构的位移分布。

位移方程的建立通常需要以结构单元为基础，将整个结构分解为不同的单元进行分析。

每个单元之间通过节点连接，将力和位移传递给下一个单元。

而每个单元的位移方程则可以通过应力-应变关系、平衡方程和简化条件得到。

在求解位移方程时，常常使用有限差分法、有限元法或弹性力学公式等数值方法来近似求解。

这些数值方法将结构离散化，并通过数值计算得到结构的位移分布。

在得到结构的位移分布后，可以进一步计算结构的应力和应变分布，以及其它受力和变形相关的参数。

这样，就可以对结构的安全性和机械性能进行评估和优化。

总结起来，位移法是通过建立结构的位移方程来求解结构静力学问题的一种方法。

通过分析结构的位移分布，可以得到结构的应力和应变情况，进而评估结构的安全性和机械性能。

在实际工程问题中，位移法经常用于分析和设计各类结构，具有重要的实际应用价值。

位移场与应变场的力学分析

位移场与应变场的力学分析作为工程学科中的一个基础理论，位移场与应变场的力学分析在工程设计中具有非常重要的意义。

这两个场指的是结构中的物理量，位移场描述了结构在受力作用下的变形情况，而应变场则描述了结构在受力作用下发生的应力变化。

因此，对于掌握位移场与应变场的力学分析方法，既能够提高工程设计师的设计水平，又能够确保结构的安全和可靠性。

一、位移场的力学分析位移场是指结构在受力作用下所发生的变形情况。

如何确定结构的位移场是位移场力学分析的重要任务。

通常，结构的位移场可以通过解析方法、数值模拟方法和实验方法来确定。

1. 解析方法解析方法是通过数学公式推导出结构位移场的一种方法。

这种方法通常适用于简单结构的位移场分析。

其基本思路是利用力学原理和数学方法，推导出结构的位移表达式。

常用的解析方法包括：（1）弹性力学方法弹性力学方法是应用杨氏模量和泊松比等弹性力学参数，直接求解结构的位移场。

这种方法适用于弹性结构的位移场分析。

（2）弹塑性力学方法弹塑性力学方法适用于弹塑性结构的位移场分析。

这种方法是将结构的弹性阶段和塑性阶段分别进行分析，以确定结构的位移场。

（3）有限元方法有限元方法是将结构分成许多小单元进行分析，通过求解每个单元的位移场，得到整个结构的位移场。

有限元法适用于复杂结构的位移场分析。

2. 数值模拟方法数值模拟方法是通过计算机程序模拟结构的受力变形过程，最终确定结构的位移场。

这种方法通常适用于复杂结构的位移场分析。

目前，数值模拟方法主要包括有限元方法、边界元方法和体积单元方法等。

3. 实验方法实验方法是通过实验手段直接测量结构的位移情况，从而确定结构的位移场。

这种方法通常适用于复杂结构的位移场分析。

实验方法有很多种，包括应变片法、拉度计法、位移计法、激光扫描法等。

二、应变场的力学分析应变场是指结构在受力作用下所产生的应变变化。

应变场的力学分析是确定结构所承受的应力状态的重要任务。

通常，结构的应变场可以通过解析方法、数值模拟方法和实验方法来确定。

第三章力学位移和应变分析

x， y，z
称为转动分量
p, q, r代表此微分体的刚性转角
故六个应变分量和三个转动分量可以使物体内某点变形的几何形象表示完全。
二、物体内无限邻近两点位置的变化
设物体内无限邻近的两点A和B,它们的坐标分别为：
A （x,y,z） B(x+dx,y+dy,z+dz)
变形后，它们到A’和B’ 若A点的位移矢量用u(x,y,z),v (x,y,z), w(x,y,z)表示则B点的位移矢量用u’,v’,w’表示
说明：
u
P
B
dx A
u u dx x v v dx x
v
dy y

A B

v v dy y
（1）反映任一点的位移与该点应变间的
u u dy y
关系，是弹性力学的基本方程之一。
当 u、v 已知，则 x , y , xy 可完全确定；反之，已知 x , y , ， xy （ 2）不能确定u、v。（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）
tan yx
tan xy
v v dx v x v yx dx x
u u dy u y u dy y
xy
1 v u r ( ) 2 x y
r是对角线MQ绕z轴转动的角度。
yx xy , 则r为正号，表示沿逆时针转动；
1 1 1 1 u =u+ x dx xy dy xz dz z dy y dz 2 2 2 2 1 1 1 1 v= v xy dx + y dy yz dz x dz z dx 2 2 2 2 1 1 1 1 w =w zx dx yz dy + z dz y dx x dy 2 2 2 2

3-2-1 应变分析_位移与应变

x y z
ui
ui x j
dx j
开 v v dx v dy v dz
即
x y z
为：w w dx w dy w dz
x y z
金属塑性成形原理
二、应变及其分量
应变：表示变形大小的物理量
应变
相对应变（条件应变、名义应变、工程应变）— 仅适用于小变形真实应变（对数应变）— 适用于大变形
则 B的位移分量为A的位移分量加上各方向的位移增量。即：
ui ui ui
ui 为B点相对于A的位移增量
位移增量各方向的偏导与微分之积。按泰勒级数展开、略去二阶以上的
高阶微量，得：
ui
ui
ui
ui
ui x j
（ ui为 u, v, w ；xj为 x, y, z）
展
u u dx u dy u dz
ry
P1
A1
与PC所夹的直角发生了改变。
棱边PA的线应变为 r1 rx r
o
P
rx
A
x
rx
rx
金属塑性成形原理
PA在x轴方向上的线应变为
棱边 PA 向y轴方向偏转的角度为axy
棱边 PC向x轴方向偏转的角度为ayx 两棱边的夹角减小了axy+ ayx （ axy≠ ayx ）
C点在垂直于PC方向偏移了δrt
Є ln l ln 12 0.1823 l0 10
l l0 12 10 0.2
l0
10
误差：9.7%
Є ln l ln 15 0.4054 l0 10
l l0 15 10 0.5
l0
10
误差：23.3%
金属塑性成形原理
2. 相对应变及其分量

金属塑性成形原理第三章金属塑性成形的力学基础第二节应变分析-无动画版

2 3 2 3 2 ( 1 ) ( 1 ) 1 3 2 2
四、点的应变状态与应力状态的比较
6.主应变图
主应变图是定性判断塑性变形类型的图示方法。主应变图只可能有三种形式
广义拉伸：挤压和拉拔广义剪切：宽板弯曲、无限长板镦粗、纯剪切和轧制板带广义压缩：展宽的轧制和自由镦粗；
一、位移和应变
对应的各阶段的相对应变为
l1 l0 01 l0
显然
l2 l1 12 l1
l3 l2 23 l2
03 01 12 23
一、位移和应变
③对数应变为可比应变，工程应变为不可比应变。
假设将试样拉长一倍，再压缩一半，则物体的变形程 L 度相同。拉长一倍时压缩一半时

因此，工程应变为不可比应变。
二、应变状态和应变张量
现设变形体内任一点 a（x，y，z）应变分量为

ε 。由a引一任意方向
ij
线元ab，长度为r，方向余弦为l，m，n。小变形前，b可视为a点无限接近的一点，其坐标为（x+dx，y+dy，z+dz）
四、点的应变状态与应力状态的比较
一、位移和应变
=
+
单元体变形
=
纯切应变
+
刚体转动
切应变及刚性转动设实际偏转角为αxy,αyx,
xy yx xy xy yx xy
1 2
xy xy z yx yz z 1 z ( yx xy ) 2
四、点的应变状态与应力状态的比较
将八面体剪应变γ8 乘以系数，可得等效应变（广 2 义应变、应变强度）

3位移和应变分析

3位移和应变分析位移和应变是材料工程中非常重要的概念，用于描述材料的变形行为和性能。

位移是指物体发生形状、位置或方向的变化，而应变是指物体受到外力作用后发生的长度、形状和体积变化。

位移和应变分析是通过测量和计算物体的位置、形状和力学性质的变化来研究材料的力学性能的一种方法。

本文将详细介绍位移和应变的概念、计算方法和应用。

首先，我们来讨论位移的概念和计算方法。

位移是指物体从初始位置变化到最终位置的距离和方向的变化。

常见的位移表示方法有位移矢量和位移场。

位移矢量是一个有方向和大小的矢量，可以用于描述物体受力作用后发生的位移。

位移场是指在各个空间点上的位移值的分布。

通常情况下，位移可以通过实验测量得到，也可以通过数值模拟计算得到。

如果是二维情况下的位移，可以用平移向量(x,y)或位移矢量(u,v)来表示。

如果是三维情况下的位移，则可以用平移矢量(x,y,z)或位移矢量(u,v,w)来表示。

位移的计算方法有多种，常见的有测量法、数值模拟法和解析计算法。

测量位移的方法主要有激光测距法、相机测距法和全站仪测距法等。

这些方法可以用于测量物体上各个点的位移，并通过数据处理得出位移场的分布情况。

数值模拟法是通过建立物体的数学模型和力学方程，并利用计算机进行求解，得到位移场的分布情况。

数值模拟法可以通过有限元法、边界元法和网格法等进行求解。

解析计算法是指通过已知的物体形状和外力条件，利用物理方程和数学方法直接求解出位移场的分布情况。

解析计算法主要用于简单几何形状和边界条件的情况。

接下来，我们讨论应变的概念和计算方法。

应变是指物体受力后发生的长度、形状和体积变化。

常见的应变表示方法有线性应变和拉伸应变。

线性应变是指在微小变形范围内，物体长度发生的相对变化。

拉伸应变是指单位长度的变化。

应变也可以通过实验测量得到，也可以通过数值模拟计算得到。

应变的计算方法与位移类似，可以通过测量法、数值模拟法和解析计算法来进行。

测量应变的方法主要有光栅拉伸计法、应变计法和应变仪法等。

理论力学中的力学系统变形分析

理论力学中的力学系统变形分析在理论力学中，力学系统变形分析是一项重要的研究内容。

力学系统变形分析旨在研究物体在受力作用下的形变情况，揭示物体在外力作用下的力学性质和行为规律。

本文将从变形分析的基本原理、变形分析的方法和应用领域几个方面展开探讨。

一、变形分析的基本原理力学系统变形分析基于主要的两个力学定律，即胡克定律和平衡条件。

胡克定律表明，弹性物体在一定范围内，应变与应力成正比。

平衡条件表示，在物体受到外力作用时，物体内部各点的受力总和为零。

基于胡克定律和平衡条件，可以推导出变形分析中常用的关系式，如位移-应变关系、应力-应变关系等。

二、变形分析的方法变形分析的方法根据具体情况的不同可以分为多种方法，下面介绍两种常用的方法：力平衡法和位移法。

1. 力平衡法：力平衡法将受力平衡条件作为分析的基础，通过对物体受力平衡条件的分析，确定物体内部受力分布情况和形变情况。

在这种方法中，一般采用力的平衡方程和物体受力平衡的几何关系，来解决物体的形变和受力问题。

2. 位移法：位移法以物体的位移为基础，通过对物体的位移进行分析，确定物体内部的应变和应力分布情况。

在位移法中，通常根据位移-应变关系和应力-应变关系，通过解析或数值方法，求解物体内部的应力分布和形变情况。

三、变形分析的应用领域力学系统变形分析在各个领域都有着广泛的应用。

下面介绍几个常见的应用领域：1. 结构力学：在结构力学中，力学系统变形分析被广泛应用于建筑物、桥梁、飞机等结构的设计和分析中。

通过变形分析可以评估结构的强度、稳定性和安全性，为结构的设计提供科学依据。

2. 地质力学：在地质力学中，力学系统变形分析用于分析地下工程中的岩土体的变形和破坏情况。

通过分析地下工程中的变形情况，可以评估其稳定性和安全性，并指导地下工程的施工和设计。

3. 机械设计：在机械设计中，力学系统变形分析用于评估机械零部件在工作过程中的变形情况。

通过变形分析可以确定零部件的强度和刚度，并为机械设计提供优化方案。

切向应变和切向位移的关系

切向应变和切向位移的关系引言：切向应变和切向位移是固体力学中重要的概念，它们描述了物体在外力作用下的变形情况。

本文将从理论和实际应用两个方面探讨切向应变和切向位移之间的关系。

一、切向应变的定义和表示方式切向应变是物体在受到外力作用时，在其切向方向上的相对变形情况。

它通常用应变张量的切向分量来表示，即切向应变ε_t = du/dx，其中du表示切向位移的微小变化，dx表示切向长度的微小变化。

切向应变可以是正值也可以是负值，正值表示物体在受到拉伸力作用时相对伸长，负值表示物体在受到压缩力作用时相对缩短。

二、切向位移的定义和测量方法切向位移是物体在受到外力作用时，在其切向方向上的位移情况。

它通常用位移向量的切向分量来表示，即切向位移u_t。

切向位移的测量可以通过多种方法实现，如测量物体两个切向位置之间的距离变化或使用光学测量技术等。

三、切向应变和切向位移的关系切向应变和切向位移之间存在一定的关系。

根据连续介质力学理论，切向应变可以通过切向位移的导数来表示，即ε_t = du_t/dx。

这个关系可以理解为切向应变是切向位移对切向位置的变化率。

通过这个关系，我们可以根据切向位移的变化来推导物体在切向方向上的变形情况。

四、切向应变和切向位移的应用切向应变和切向位移的概念在工程和科学研究中有广泛的应用。

在材料力学中，切向应变和切向位移可以帮助工程师研究材料的强度和稳定性，以及预测材料在受到外力作用时的变形情况。

在土木工程中，切向应变和切向位移可以用于分析建筑物或桥梁等结构在受到地震或风力等外力作用下的变形情况，从而进行结构设计和安全评估。

另外，切向应变和切向位移还可以应用于地质勘探和地震监测等领域，用于研究地壳运动和地震活动等现象。

结论：切向应变和切向位移是描述物体在受到外力作用下的变形情况的重要概念。

切向应变可以通过切向位移的导数来表示，它们之间存在一定的关系。

切向应变和切向位移的研究不仅有理论上的意义，而且在工程和科学研究中有广泛的应用价值。

材料力学位移法知识点总结

材料力学位移法知识点总结引言：材料力学是研究材料在受力作用下产生的变形和破坏行为的学科。

在材料力学中，位移法被广泛应用于计算和分析结构的变形和应力分布。

本文将对材料力学位移法的相关知识点进行总结，包括基本概念、计算公式以及应用实例。

一、位移、应变和应力的概念在材料力学中，位移是指物体或结构在受到外力作用下的位置变化。

应变是位移相对于初始长度或初始角度的相对变化。

应力是单位面积上作用的力。

位移、应变和应力是研究材料变形和破坏行为的基本概念，它们之间存在着紧密的联系。

二、材料力学的基本假设材料力学位移法基于一些基本假设，这些假设对于简化问题、计算结构的变形和应力分布起到重要作用。

其中包括：1. 小变形假设：在计算中，通常假设结构受力引起的变形是小变形，即初始长度的变化相对较小。

2. 线弹性假设：假设材料在受力情况下呈现线弹性行为，即应力与应变之间的关系为线性。

3. 静力平衡假设：假设结构处于静力平衡状态，即所有受力相互抵消，不会发生平动和转动。

三、材料力学的计算公式材料力学位移法通过一系列的计算公式来确定结构的变形和应力分布。

以下是常用的计算公式：1. Hooke定律：描述了弹性材料在小应变条件下的应力与应变之间的线性关系。

其表达式为：应力=弹性模量 ×应变。

2. 杨氏模量：杨氏模量是描述材料刚度的物理量，用来衡量材料在受力下的变形能力。

其计算公式为：杨氏模量=应力/应变。

3. 泊松比：泊松比是用来描述材料在受力作用下沿垂直方向的收缩能力。

其计算公式为：泊松比=横向应变/纵向应变。

四、材料力学位移法的应用实例材料力学位移法广泛应用于各种工程实践中，以下是一些常见的应用实例：1. 结构强度计算：通过应用位移法，可以计算结构受力下的变形和应力分布，以确定结构的强度和稳定性。

2. 桥梁工程：在桥梁设计中，位移法被用于计算桥梁在荷载作用下的变形和应力分布，以保证桥梁的稳定性和安全性。

3. 建筑结构分析：位移法可以用来分析建筑结构在地震等自然灾害情况下的变形和应力分布，以评估建筑的抗震性能。