高级微观经济学第四章成本最小化
微观经济学第四章生产理论
目录
• 生产理论概述 • 生产函数 • 成本最小化与产出最大化 • 生产要素的最优组合 • 扩展生产理论
01 生产理论概述
生产、生产函数与生产可能性边界
01
02
03
生产
生产是指企业使用一定数 量的生产要素，经过一定 的加工或组合，创造新的 使用价值或效用的过程。
生产函数
生产函数描述了在一定技 术条件下，一定数量的投 入与最大产出之间的关系。
生产可能性边界
生产可能性边界描述了在 一定资源和技术条件下， 一个经济能够生产的商品 的最大数量组合。
短期与长期生产函数
短期生产函数
短期生产函数描述了在固定生产 规模下，一定数量的可变投入与 最大产出之间的关系。
长期生产函数
长期生产函数描述了在可变规模 下，一定数量的可变投入与最大 产出之间的关系。
详细描述
固定投入比例生产函数形式为 Y=min{aX,bK}，其中Y表示产出，X和 K分别表示劳动和资本两种投入要素，a 和b为常数。这种生产函数形式强调各 投入要素之间的比例关系固定不变。
柯布-道格拉斯生产函数
总结词
柯布-道格拉斯生产函数是一种常用的生产函数形式，用于描述现实生产过程中投入和产出的关系。
最优的生产要素组合应当满足边际技术替代率和边际替代率相等，即等产量线和等 成本线相切的条件。
05 扩展生产理论
要素可替代性
要素替代性
在生产过程中，如果两种或多种生产要 素可以互相替代使用，则它们被称为可 替代要素。可替代要素之间存在一定的 替代关系，当一种要素价格上涨时，生 产者可能会选择使用更多的另一种要素 来代替它，以保持生产成本不变或降低 生产成本。
规模收益对于企业的竞争策略具有重要影响 。企业可以通过扩大生产规模来降低成本和 提高市场份额，从而在竞争中获得优势。同 时，企业也需要根据市场需求和自身条件， 合理地选择生产规模和经营策略，以实现最
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-成本最小化(圣才出品)
第4章成本最小化1．严格证明利润最大化意味着成本最小化。
Prove rigorously that profit maximization implies cost minimization.证明：令*x 为价格(),p w 下利润最大化的一个投入向量。
这意味着，对于所有可允许的x ，*x 必须满足()()**pf x wx pf x wx -≥-。
假设对于产出()*f x ，*x 没有使成本最小化，即存在一个向量**x 满足()()***f x f x ≥与w ()***0x x -<，因而在**x 下所取得的利润必须大于在*x 下所取得的利润：()()()*********pf x wx pf x wx pf x wx --≥>-这与*x 使利润最大化的假设相矛盾，故假设不成立，因此利润最大化意味着成本最小化。
2．使用库恩-塔克定理得出即使最优解涉及边界解时也是正确的成本最小化条件。
Use the Kuhn-Tucker theorem to derive conditions for cost minimization that are valid even if the optimal solution involves a boundary solution.答：互补—松弛条件为：()()()()******0000j j j j jj f x t w x x f x t w x x y f x t y f x t ⎡⎤∂⎢⎥-=∂⎢⎥⎣⎦∂-≤∂≥⎡⎤-=⎣⎦-≤≥当*0i x >和*0j x =成立时，上式就隐含着：()()**iijj f x x w w f x x ∂∂≥∂∂这个不等式意味着用 j x 代替i x 时，可以降低成本，然而由于企业已经用完了它可以得到的 j x 的所有数量，所以继续降低成本是不可能的。
3．一个厂商有两个车间，它们各自的成本函数为()2111/2C y y =和()222C y y =。
成本最小化
成本最小化在本章中我们把企业的利润最大化行为分为两部分，其一是企业如何在即定的产量下最小化其成本，第二部分是企业如何确定一个最优的产量。
1 成本最小化实际上是在产量既定的约束条件下,最小化企业的投入成本,企业成本是成本最小化的结果,企业的成本函数为yxf t swxywc==)(..min),(,),(ywc叫做最小成本函数,wx是成本计算方程,前者括号中自变量为环境约束变量y w,,数得一阶条件为:yxfxxfwii==∂∂-)(*)(*λ,对i和j的一阶条件相除得jjx∂,等号前的部分叫做economic rate of substitution等号后的部分叫做technical rate of substitution,成本最小化点为等成本线与等产量线的切点,并且在该点等产量线要在等成本线上方。
在该规划中要素投入量x i为控制变量，企业的无论是成本最小化还是利润最大化的优化行为的实质是确定各种要素的投入量，也就是合理的分配在各种要素上投入的费用。
2 范围经济是与联合生产有关联的，当一个企业以同一种资源生产一种以上的产出品时，由于生产活动维度的增加即生产范围在横向上的扩展所带来的效益增进，叫范围经济。
第二十章：成本曲线1边际成本MC线经过AC和A VC线的最低点，MC的积分为总变动成本，由于一个要素投入组合是生产某一产量的最有效的规模，所以该产量位于短期平均成本线的最低点，而长期平均成本线是生产各个产量的最优的要素组合，所以该短期平均成本线的最低点必位于长期平均成本线上。
2边际成本线是先降低后升高的，在产量为0的时候，边际成本与平均变动成本时是相同的。
(精品) 微观经济学课件：成本最小化
x2
4x1 = x2
产出为y’的最小成本 投入束位于何处？
x2* = y
x1* = y/4
min{4x1,x2} y’ x1
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}
条件要素需求函数为：
x*1( w1,
w2,
y)
y 4
且
x*2( w1, w 2, y) y.
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}
条件要素需求函数为：
x*1( w1,
w2,
y)
y 4
且
x*2( w1, w 2, y) y.
厂商的总成本函数为：
c( w1, w 2, y) w1x*1( w1, w 2, y)
w 2x*2 ( w1, w 2 , y)
成本最小化的完全互补品的例子
2/ 3
y
w
2
2w1 w2
1/ 3
y
12
2/ 3
w11/ 3 w
2/ 2
3y
21/ 3
w11/
3w
2/ 2
3y
3
w1w 4
2 2
1/ 3
y.
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}.
给定投入要素价格w1 和 w2 。 厂商对于要素1和2的条件需求为多少？ 厂商的中成本函数为什么？
)1/ 3
2w1 w2
x*1
2/3
2w1 w2
2/3
x*1.
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
(a) y (x*1 )1/3(x*2 )2/3
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(成本最小化)
第 4 章 成本最小化
1．严格证明利润最大化意味着成本最小化。 Prove rigorously that profit maximization implies cost minimization.
证明：令 x* 为价格 p, w 下利润最大化的一个投入向量。这意味着，对于所有可允许的
y
x1b
x 1b 2
。该技术的成本函数是什么？
A firm has two plants. One plant produces output according to the production
function
x1a x21a .The other plant has a production function
是什么？该技术的成本函数是什么？对什么样的要素价格，成本函数是丌可微的？
4/9
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Suppose that the firm has two possible activities to produce output. Activity a uses a1 units of good 1 and a2 units of good 2 to produce 1 unit of output. Activity b uses b1 units of good 1 and b2 units of good 2 to produce 1 unit of output. Factors can only be used in these fixed proportions. If the factor prices are
f x* wj x j
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)章节题库-成本最小化(圣才出品)
在哪个国家建厂？（ ）
A．A 国
B．B 国
C．没关系，因为两个国家的成本是一样的
D．如果产量大于 14，则建在 A 国，否则建在 B 国
3 / 24
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【答案】B
【解析】柯布-道格拉斯生产函数
y
Kx1 x2
下成本最小化条件有
的函数。（ ） 【答案】F
【解析】要素 1 的条件需求函数 x1 w1，w2，y 是指厂商在生产某个既定产量 y 的条件
下，价格、产量以及厂商的最优要素选择之前的关系。有条件的要素需求给出的是既定产量 水平下的成本最小化选择。
3．某竞争性厂商生产函数为 f x，y x 2 y 。如果要素 x 的价格变成原来的两倍，要
成本最小化弱公理一致？（ ） A．一致 B．不一致 C．因为不知道生产函数，所以不能确定 D．因为不知道产品价格，所以不能确定 【答案】B
【解析】当两种要素价格为 w1, w2 15,17 ，1517 17 71 15 77 17 4 ，两种方法
得到的产量是相等的，但是厂商使用的是成本较大的方案，不符合成本最小化的条件，因此 厂商行为与成本最小化弱公理不一致。
单位
x1 和
4 3
单位
x2 ，成本 CB
4
3 6.93 。 CA CB ，
因此该厂商选择在 B 国建厂。
4．某竞争性厂商使用两种要素投入 x 和 y 。当要素 x 的价格是 10 元/单位，要素 y 的 价格是 20 元/单位时，厂商使用 1 单位 x 和 2 单位 y ；当要素 x 的价格是 20 元/单位，要素 y 的价格是 10 元/单位，厂商使用 2 单位 x 和 1 单位 y ；且在以上在两种情况下，厂商具有 相同的产量水平。以上情况说明（ ）。
高鸿业版微观经济学第四章习题与答案
习题一、名词解释生产函数边际产量边际报酬递减规律边际技术替代率递规律等产量线等成本线规模报酬扩展线二、选择题1、经济学中，短期是指（）A、一年或一年以内的时期B、在这一时期内所有投入要素均是可以变动的C、在这一时期内所有投入要至少均是可以变动的。
D、在这时期内，生产者来不及调整全部生产要素的数量，至少有一种生产要素的数量是固定不变的。
2、对于一种可变要素投入的生产函数QfL，所表示的厂商要素投入的合理区域为（D）A、开始于AP的最大值，终止于TP的最大值B、开始于AP与MP相交处，终止于MP等于零C、是MP递减的一个阶段D、以上都对3、当MP L AP L时，我们是处于（A）A、对于L的Ⅰ阶段B、对K的Ⅲ阶段C、对于L的Ⅱ阶段D、以上都不是4、一条等成本线描述了（）A、企业在不同产出价格下会生产的不同数量的产出B、投入要素价格变化时，同样的成本下两种投入要素的不同数量C、一定的支出水平下，企业能够买到的两种投入要素的不同组合D、企业能够用来生产一定数量产出的两种投入要素的不同组合5、当单个可变要素的投入量为最佳时，必然有：A.总产量达到最大B.边际产量达到最高C.平均产量大于或等于边际产量D.边际产量大于平均产量6、当平均产量递减时，边际产量是（）A、递减B、为负C、为零D、以上三种可能都有7、以下有关生产要素最优组合，也即成本最小化原则的描述正确的一项是（）．Ａ．MPL／r L＝MPK／r KＢ．MRTS LK＝r L/r KＣ．P MP rKKＤ．Ａ和Ｂ均正确8、等产量曲线上各点代表的是（）Ａ．为生产同等产量而投入的要素价格是不变的Ｂ．为生产同等产量而投入的要素的各种组合比例是不能变化的Ｃ．投入要素的各种组合所能生产的产量都是相等的Ｄ．无论要素投入量是多少，产量是相等的9、如果厂商甲的劳动投入对资本的边际技术替代率为13，厂商乙的劳动投入对资本的边际技术替代率为23，那么（D）Ａ．只有厂商甲的边际技术替代率是递减的Ｂ．只有厂商乙的边际技术替代率是递减的Ｃ．厂商甲的资本投入是厂商乙的两倍Ｄ．如果厂商甲用3单位的劳动与厂商乙交换2单位的资本，则厂商甲的产量将增加10、如果等成本曲线围绕它与纵轴的交点逆时针转动，那么将意味着（A）Ａ．横轴表示的生产要素的价格下降Ｂ．纵轴表示的生产要素的价格上升Ｃ．横轴表示的生产要素的价格上升Ｄ．纵轴表示的生产要素的价格下降11、若等成本曲线在坐标平面上与等产量曲线相交，那么该交点表示的产量水平（）Ａ．应增加成本支出Ｂ．应减少成本支出Ｃ．不能增加成本支出Ｄ．不能减少成本支出12、在规模报酬不变的阶段，若劳动的使用量增加5%，而资本的使用量不变，则（）Ａ．产出增加5%Ｂ．产出减少5%Ｃ．产出的增加少于5%Ｄ．产出的增加大于5%13、规模报酬递减是在下述哪种情况下发生的（）A、按比例连续增加各种生产要素B、不按比率连续增加各种生产要素C、连续地投入某种生产要素而保持其他生产要素不变D、上述都正确14、下列说法中正确的是（D）A、生产要素的边际替代率递减是规模报酬递减造成的B、边际收益递减是规模报酬递减规律造成的C、规模报酬递减是边际收益递减规律造成的D、生产要素的边际技术替代率递减是边际收益递减规律造成的15、当某厂商以最小成本生产出既定产量时（D）A、总收益为零B、获得最大利润C、没有获得最大利润D、无法确定是否获得了最大总利润三、判断题1、随着某种生产要素投入量的增加，边际产量和平均产量到一定程度将趋于下降，其中边际产量的下降一定先于平均产量。
成本最小化范里安微观经济
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成本函数
c(w1, w2, y) w1x*1(w1, w2, y) w2x*2(w1, w2, y).
成本函数c(w1,w2,y)就是指当要素价格为 （w1,w2 ）时，生产y单位产量的最小成本。
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长期成本
x2 长期产量扩展曲线
x2 x2 x2
x1 x1 x1
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y’’’ y’’ y’
x1
x2
长期产量扩展曲线
c(y) w1x1 w2x2
x2 x2
c(y) w1x1 w2x2 y’’’ c(y) w1x1 w2x2
x2
长期成本函数为：
cs ( y) w1x1(w1, w2, y) w2x2 (w1, w2, y)
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短期成本函数与长期成本函数的关系
短期成本最小问题实际上是在x2 = x2’的约 束条件下求长期成本最小。
长期成本函数可以写成：
c( y) cs ( y, x2 ( y))
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长期成本函数
长期成本最小化问题：
min w1x1 w2x2
x1 ,x 2 0
S.t . f (x1, x2 ) y.
短期成本最小化问题：
min w1x1 w2x2
x10
S.t . f (x1, x2 ) y.
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要素1的短期要素需要函数为： x1 x1s (w1, w2 , x2 , y) x2 x2
微观经济学@微观经济学成本最小化
0
y1
y
14.5
长期成本曲线
长期平均成本 离散的工厂规模水平 三条曲线所代表的生产规模为SAC1<SAC2<SAC3
C SAC1 C1 SAC2
SAC3
0
y1
y11 y2 y21 y3
y
14.5
长期边际成本曲线
长期成本曲线
长期边际成本曲线是与在不同的产出水平上最优 生产规模相对应的短期边际成本曲线的连线。
14
成本最小化
成本最小化 规模报酬和成本函数 短期成本和长期成本
14.1 成本最小化
假定厂商使用两种投入生产一定量产出，成本最小 化问题可以表述为： 总成本函数
minc minw1 x1 w2 x2 s.t . y f ( x1 , x2 )
解这类成本最小化问题—即实现合宜的产量水平所 必需的最小成本——取决于w1,w2,和y的值，所以我们 把它计作c(w1,w2, y)，这一函数叫做成本函数。 成本函数c(w1,w2, y)度量的是指当要素价格为(w1,w2) 时，生产y单位产量的最小成本。
0
A
y’
y
14.4
短期成本曲线
四、边际成本与平均成本关系
由于MC曲线呈U型，可知AC曲 线、AVC曲线也必然呈U型； MC曲线与AC曲线相交于AC曲 线的最低点，与AVC曲线相交 于纵轴和AVC曲线的最低点。 在AC（AVC）曲线的下降段， MC曲线低于AC（AVC）曲线； 在AC（AVC）曲线的上升段， MC曲线高于AC（AVC）曲线； 对于产量变化的反应，边际 成本MC要比平均成本AC和平 均可变成本AVC敏感 MC曲线 的变动快于AC曲线和AVC曲线 的变动。
成本与成本最小化
机会成本是指生产者所放弃的使用相同的生产要素在其他生产用途中所能获得的最高收入。
企业生产的显成本是指厂商在生产要素市场上购买或租用他人所拥有的生产要素的实际支出。
企业生产的隐成本是指厂商自己所拥有的且被用于自己企业生产过程的那些生产要素的总价格。
企业的所有的显成本和隐成本之和构成总成本。
企业的经济效益指企业的总收益和总成本之间的差额。
正常利润通常指厂商对自己所提供的企业家才能的报酬支付。
等成本线是在既定的成本和生产要素价格条件下，生产者可以购买到的两种生产要素的各种不同数量组合的轨迹。
厂商应该选择最优的生产要素组合，使得两要素的边际技术替代率等于两要素的价格之比，从而实现既定产量条件下的最小成本。
为了实现既定产量条件下的最小成本，厂商应该通过对两要素投入量的不断调整，使得花费在每一种要素上的最后一单位的成本支出所带来的边际产量相等。
只有在两要素的边际技术替代率和两要素的价格比例相等时，生产者才能实现生产的均衡。
厂商可以通过对两要素投入量的不断调整，使得最后一旦文的成本支出无论用来购买哪一种生产要素所获得的边际产量都相等，从而实现既定成本条件下的最大产量。
在生产要素的价格，生产技术和其他条件不变时，如果企业改变成本，等成本线就会发生平移；如果企业改变产量，等产量曲线就会发生平移。
这些不同的等产量曲线将与不同的成本线相切，形成一系列不同的生产均衡点，这些生产均衡点的轨迹就是扩展线。
扩展线是厂商在长期扩张或收缩条件时所必须遵循的最优路径。
长期总成本表示在每一个产量水平上的最小的生产成本。
短期总成本表示在每一个产量水平上的最小生产成本。
04 成本最小化
成本最小化的道格拉斯例子
他们最小化生产y单位产出的成本 单位产出的成本: 在投入集 (x1*,x2*) ，他们最小化生产 单位产出的成本
(a) (b)
* 1/3 * 2/3 y = (x1) (x2)
和
w1 (1/ 3)(x*)−2/3(x* )2/3 ∂ y / ∂ x1 1 2 − =− =− * 1/3 * −1/3 w2 ∂ y / ∂ x2 (2 / 3)(x1) (x2)
规模报酬和平均总成本
总成本函数递形状意味着什么？ 总成本函数递形状意味着什么？
规模报酬和平均总成本
$ c(2y’) 平均成本随着y增加， 平均成本随着 增加， 增加 如果公司的技术显示出DRS. 如果公司的技术显示出 斜率 = c(2y’)/2y’ = AC(2y’). 斜率 = c(y’)/y’ = AC(y’).
递增规模报酬和平均总成本
如果一个公司的技术显示出规模报酬递 则双倍它的产量水平从y’ 增，则双倍它的产量水平从 到2y’ ， 要求少于双倍的所有投入水平. 要求少于双倍的所有投入水平 总生产成本不到两倍. 总生产成本不到两倍 平均生产成本降低. 平均生产成本降低
规模报酬和平均总成本
$/产量单位 产量单位 AC(y) 递减 r.t.s. 常数 r.t.s. 递增 r.t.s. y
x1
成本最小化的完全互补的例子
x2 4x1 = x2 收入y单位的最便宜的投入集是 收入 单位的最便宜的投入集是?
x 2* = y
min{4x1,x2} ≡ y’
x 1* = y/4
x1
成本最小化的完全互补的例子
厂商的生产函数是
y = m 4x1, x2} in{
4
y * * x1(w1, w2, y) = and x2(w1, w2, y) = y.
成本最小化(范里安微观经济)
Cost Minimization
19.1 成本最小化 （Cost Minimization）
x1 ,x 2 0
s.t.
min w 1x1 w 2x 2
f ( x1 , x 2 ) y .
求解可得：
x x ( w1 , w2 , y )
* 1 * 2 * 1
x x ( w1 , w2 , y )
短期成本：
x 2 x 2 x 2
x1 x1 x1
y’’’ y’’ y’
x1
c s ( y ) c( y ) cs ( y ) c( y ) cs ( y ) c( y )
不变的规模报酬和平均成本
在不变的规模报酬技术下，产量加倍， 要求所有的要素投入量也加倍。 总成本加倍。 AC（＝TC/y）保持不变。
规模报酬递减和平均成本
在递减的规模报酬技术下，产量加倍， 要求所有的要素投入量增加大于2倍。 总成本的增加超过2倍。 AC（＝TC/y）递增。
规模报酬递增和平均成本
（1） （2）
w x w x w x w x
如果厂商总是选择成本最小的方法生产y单位的产量，
那么式（1）和（2）必定满足。这被称为成本最小化
弱公理（WACM）。
将式（2）左右两边乘以－1，加到式（1） 上，整理可得：
t 1 s 1 t 1 t 2 s 2 t 2
(w w ) x (w w ) x (w w ) x (w w ) x
2/ 3
y 是企业对要素1的条件需求。
2w 1 * * x1 由 x2 w2 2/ 3 1/ 3 2w 1 2w 1 w 2 * y 可知 x 2 y w2 w 2 2w 1
高鸿业微观经济学第四章习题答案
第四章1。
（1)利用短期生产的总产量（TP ）、平均产量(AP ）和边际产量（MP ）之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如下表:(2）所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。
本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表可见，当可变要素的投入量由第4单位增加到第5单位时,该要素的边际产量由原来的24下降为12。
2．（1）.过TPL 曲线任何一点的切线的斜率就是相应的MPL 的值。
（2）连接TPL 曲线上热和一点和坐标原点的线段的斜率，就是相应的APL 的值。
（3)当MPL >APL 时，APL 曲线是上升的。
当MPL <APL 时，APL 曲线是下降的。
当MPL=APL时,APL曲线达到极大值。
3.解答：（1)由生产数Q=2KL-0。
5L2-0。
5K2，且K=10,可得短期生产函数为:Q=20L-0.5L2—0。
5*102=20L—0.5L2-50于是,根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数：劳动的总产量函数TP L=20L—0.5L2-50劳动的平均产量函数AP L=20-0。
5L—50/L劳动的边际产量函数MP L=20-L(2）关于总产量的最大值：20—L=0解得L=20所以，劳动投入量为20时，总产量达到极大值。
关于平均产量的最大值:-0.5+50L—2=0L=10（负值舍去）所以，劳动投入量为10时,平均产量达到极大值。
关于边际产量的最大值：由劳动的边际产量函数MP L=20—L可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。
考虑到劳动投入量总是非负的，所以，L=0时，劳动的边际产量达到极大值。
(3)当劳动的平均产量达到最大值时，一定有APL=MPL。
由（2）可知，当劳动为10时，劳动的平均产量APL达最大值，及相应的最大值为：APL的最大值=10MPL=20-10=10很显然APL=MPL=104。
高鸿业微观经济学第四版四五章课后题答案
第4章 课后习题详解1．下面是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：（1）在表中填空。
（2）该生产函数是否表现出边际报酬递减如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的答：（1）利用短期生产的总产量（TP ）、平均产量（AP ）和边际产量（MP ）之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如表4-2所示：（2）是。
由上表中数据可知，从第5单位的可变要素投入量开始出现规模报酬递减。
所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。
本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表可见，当可变要素的投入量由第4单位增加到第5单位时，该要素的边际产量由原来的24下降为12。
2．用图说明短期生产函数(,)Q f L K 的TP L 曲线、AP L 曲线和MP L 曲线的特征及其相互之间的关系。
答：短期生产函数的TP L 曲线、AP L 曲线和MP L 曲线的综合图，如图4-5所示。
图4-5 生产函数曲线由图4-5可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，MP L 曲线呈现出先上升达到最高点A 以后又下降的趋势。
由边际报酬递减规律决定的MP L 曲线出发，可以方便地推导出TP L 曲线和AP L 曲线，并掌握它们各自的特征及其相互之间的关系。
关于TP L 曲线。
由于LL dTP MP dL=，所以，当MP L ＞0时，TP L 曲线是上升的；当MP L ＜0时，TP L 曲线是下降的；而当MP L ＝0时，TP L 曲线达最高点。
换言之，在L ＝L 3时，MP L 曲线达到零值的B 点与TP L 曲线达到最大值的B'点是相互对应的。
此外，在L ＜L 3即MP L ＞0的范围内，当MP L '＞0时，TP L 曲线的斜率递增，即TP L 曲线以递增的速率上升；当MP L '＜0时，TP L 曲线的斜率递减，即TP L 曲线以递减的速率上升；而当MP L '＝0时，TP L 曲线存在一个拐点，换言之，在L ＝L １时，MP L 曲线斜率为零的A 点与TP L 曲线的拐点A'是相互对应的。
成本最小化(范里安微观经济)
斜率 = c(2y’)/2y’ = AC(2y’).
斜率 = c(y’)/y’ = AC(y’).
y’
2y’ y
$ c(2y’)
c(y’)
c(y)
y’
2y’ y
递增的规模报酬和总成本
$ c(2y’)
c(y’)
斜率 = c(2y’)/2y’ = AC(2y’).
斜率 = c(y’)/y’ = AC(y’).
y’
2y’ y
$
c(y)
c(2y’)
c(y’)
y’
2y’ y
不变的规模报酬和总成本
$ c(2y’) =2c(y’)
c(y’)
c(y)
斜率 = c(2y’)/2y’ = 2c(y’)/2y’ = c(y’)/y’
AC(y’) = AC(2y’).
y’
2y’ y
19.4 长期成本和短期成本
Long-Run & Short-Run Total Costs
长期成本
x2
长期产量扩展曲线
x2 x2 x2
x1 x1x1
y’’’ y’’ y’
x1
x2
长期产量扩展曲线
c(y) w1x1 w2x2
x2 x2
c(y) w1x1 w2x2 y’’’ c(y) w1x1 w2x2
x2
y’’
y’
x1 x1x1
x1
短期成本
x2
短期产量扩展曲线
x2 x2 x2
19、成本最小化
Cost Minimization
19.1 成本最小化 （Cost Minimization）
min w1x1 w2x2
x1 ,x 2 0
高级微观经济学 第四章 成本最小化
• 此时减少1单位i，增加单位j，同样能够 保持产出不变，但是可以减少成本。
二、二阶条件
1、两种要素的情况 当投入要素1和2发生微小变动时，运用泰勒 f (x h , x h ) 展开，写成矩阵形式
1 1 2 2
但要求成本不变，即有
w1h1 w2 h2 0
h1 f ( x1 , x2 ) ( f1 , f 2 ) h2 f11 f12 h1 1 ( h1 , h2 ) h f f 2 21 22 2
w1h1 w2 h2 f1h1 f 2 h2 0
• 故二阶条件简化为
f ( x1 h1 , x2 h2 ) f11 1 f ( x1 , x2 ) ( h1 , h2 ) 2 f 21 f12 h1 h f 22 2
a 1 a C Kw w y 1 2
K a a (1 a)a 1
给我们什么启发？ 1．此时成本完全是产量的线性函数 2．a越大，则要素1价格变化对成本影响越大
（2）CES技术的成本函数
1
f ( x1 , x2 ) ( x1 x2 )
min w1 x1 w2 x2
则等价的最大化问题为
max ( w1 x1 w2 x2 ) s.t. ( x1 x2 ) y x1 0, x2 0
• 写出拉格朗日函数及一阶条件（松弛条件）
L( x1 , x2 , ) ( w1 x1 w2 x2 ) ( y x1 x2 ) FOCs : x1 : w1 0, x1 0, x1 ( w1 ) 0 x2 : w2 0, x2 0, x2 ( w1 ) 0