线性代数练习题二(矩阵)
《线性代数》第二章矩阵(习题课)
13
8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵
定理： 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积
第二章 矩阵习题课
一. 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题
1
一. 主要内容
1. 矩阵的定义
由m n个数 aij (i 1,2,,m; j 1,2,,n)
排成的m行n列的数表， a11 a12 a1n
简称m n矩阵.
记作
A
a 21
a 22
a 2n
例1：设矩阵
A
1 0
1
1
,
求与A可交换的所有矩阵。
分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求
解：设所求矩阵为 X 由 AX XA,
a
c
b
d
,
得
ac
c
b
d
d
a c
a b
c
d
c 0,a d
X
a 0
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）
加法满足
1 交换律：A B B A.
2 结合律：A B C A B C . 3 A 0 A,其中A与O是同型矩阵. 4 A A O.
3
线性代数练习册练习题—第2章 矩阵
一、填空题
1．
2 0
3
121
2 1
02 _________．
矩阵
2.设 A 2 3 1 2 ，则 AAT _________．
3.设
A
a c
b d
，则
A
的伴随矩阵
A*
_________．
4．设 A 为 3 阶方阵，且 A =2, 则 A =
．
5. A 为 3 阶方阵， A =2，则 A A
（ A ）若 A, B 可逆，则 A B 可逆
（ B ）若 A, B 可逆，则 AB 可逆
（ C ）若 A B 可逆，则 A B 可逆 （ D ）若 A B 可逆，则 A, B 可逆
5．A 为 n 阶可逆矩阵，下列各式中不正确的是（ ）．
（A） (2A)1 =2 A1
（B） A1 = 1 A
(B)4
( C )5 （D）40
a11 a12 a13
a21
a22
a23
9．设
A
a21
a22
a23
，
B
a11
a12
a13
a31 a32 a33
a11 a31 a12 a32 a13 a33
0 1 0
1 0 0
P1
1
0
0
，
P2
0
1
0
，则（
）成立．
0 0 1
1 0 1
（）
4. 在秩是 r 的矩阵中，所有的 r 阶子式都不等于 0.
()
5. 从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B ，则 R( A) R(B) ． （ ）
四、计算题
1.计算
1 0
《线性代数》自测题二及 答案
测试题二（矩阵）一．单项选择题1. 设A 为n 阶矩阵，且O A =3，则（ C ）（A ）A E A E +-,均不可逆; （B ）A E -不可逆，但A E +可逆（C ）A E -,E A A +-2均可逆;（D ）A E -可逆,但E A A +-2不可逆2．设B A ,都是n 阶非零矩阵，且O AB =，则B A ,的秩（ B ）（A ）必有一个等于零 （B ）都小于n（C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都等于n3．若A 为n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ D ）．（A ）11)()(--=k k A A ； （B ）T k k T A A )()(=； （C ）k k A A )()(**=； （D ）**=kA kA )(．4． 设B A ,为n 阶矩阵，下列结论正确的是（ D ）（A ）||||||B A B A +=+ （B ）||||||B A B A -=-（C ）若B AB =，则BA AB = （D ）若E B AB +=，则BA AB = 5．B A ,均为三阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ A ）．（A ）111)(---=B A AB ； （B ）A A =-； （C ）B A B A B A +-=-22； （D ）A A 22=．6．设()353=⨯A R ，那么53⨯A 必满足 （ D ）．（A ）三阶子式全为零； （B ）至少有一个四阶子式不为零；（C ）二阶子式全为零； （D ）至少有一个二阶子式不为零．7．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 212122122111，02121≠n n b b b a a a ，秩=A （B ）． （A ）0； （B ）1 ； （C ）2； （D ）n ．8．设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 是伴随矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C ，则=*C （ C ）． （A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B B O O A A ； （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A A O O B B ； （C ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A O O A B ； （D ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A B O O B A ．9．设B A ,均为n 阶矩阵，A 与B 等价，下列结论不正确的是（ A ）．（A ）若0||>A ，则0||>B（B ）若0||≠A ，则存在可逆矩阵P 使得E PB =（C ）若A 与E 等价，则B 是可逆矩阵（D ）存在可逆矩阵Q P ,，使得B PAQ =10．设)3(≥n n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a b a b a b a a A ，其中0≠ab ，若1)(-=n A r ，则b a , 应满足（ B ） （A ）0=+b a （B ）a n b )1(-= （C ）0=-b a （D ）a n b )1(-=11．设B A ,均为n m ⨯矩阵，1)(r A r =，2)(r B r =,若方程组α=Ax 有解，β=Bx 无解，且r B A r =),,,(βα，则（ D ）（A ）21r r r += （B ）21r r r +≤ （C ）121++=r r r （D ）121++≤r r r二．填空题1．若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P ，那么=20042003AP P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2143． 2．B A ,为三阶矩阵，1-=A ，2=B ，则()='-212B A 2 ． 3．已知53)(2+-=x x x f ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a A 00，则=)(A f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-53005322b b a a ． 4．若C B A ,,均为n 阶矩阵，且E CA BC AB ===，则=++222C B A 3E ． 5．α是三维列向量，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----='111111111αα，则='αα 3 ．6．若A 为)2(≥n n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵,则**)(A = A A n 2||-．三．判断题（正确打V ，错误打×）1．*A A =的充分必要条件是1-=A A A ．（ × ）2．3223⨯⨯B A 不可逆．（ V ）3．如果E AB =，则1-=A B ．（ V ）4．B A ,为n 阶非零矩阵，若,O AB =则0==B A ．（ V ）5．()ij a A =为n 阶可逆矩阵，若A 的每行元素之和全为a ，则1-A 的每行元素之和全为1-a ．（ V ）6．若A 为)2(≥n n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵,则**)(A A -=-（ × ）四．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110011001A ，求n A ． 五．讨论参数a 的取值，求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=68963642321a A 的秩．六．设122101221,021425000A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，是否存在可逆阵P 使PA B =,若存在，求出P 。
线性代数习题集第二章-湖北工业大学水印
1 2 1
1
学 1
，试求伴随矩阵
A*
的逆矩阵。
3
湖
大
业
工 四、求解下列方程组（每题 10 分，共 20 分）
北 x1 + 2x2 + 3x3 = 1
1、 2x1 + 2x2 + 5x3 = 2 3x1 + 5x2 + x3 = 3
湖
2 1 −1 1 −1 3
学 2、
X
1
1
1
=
4
3
2
3 2 1 2 −2 5
A
可逆，则下列结论中成立的是（
湖 大 （A） A1可逆
（B） A2 可逆
）
（C） A1 与 A2 的可逆性不定
业 （D） A1 与 A2 均可逆
3、设
A、B
为
n
阶方阵，则分块矩阵
C
=
A
O
北 工 （A）
A* O
O
B*
A A* （B） O
O B B*
O
B
的伴随矩阵 C*
=
（
）
湖
B A* （C） O
2
1
2
学 a11 a12 a13 x1
( ) 4、 x1
x2
x3
a12
a22
a23
x2
大 a13 a23 a33 x3
业
1 0
工
四、设
A
=
0
0
0
北 1
,
求
Ak
,
k
N
+
湖
学 大
3 1 1
工 五、已知
线性代数练习题-矩阵
线性代数练习题——矩阵一、 填空题1、 设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1032A ，则1−A = 2、设A ，B 为n 阶方阵，且2=A ，3−=B ，则=−12AB 3、 设A 为3阶方阵，且5=A ，则=−13A4、 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=10030116030242201211A ，则秩)(A r = 5、 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2413100231214012A ,由第2,3行,第2,4列得到的二阶子式为=D ___。
6、 已知T A A =,T B B =,则AB 是对称矩阵的充分必要条件是______。
7、 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100120301A ，且A 的伴随矩阵为*A ，则=*AA ______。
二、 单项选择题1． 关于矩阵下列说法正确的是（ ）（A ）若A 可逆，则A 与任何矩阵可交换，BA AB = （B ）若A 可逆，则T A 也可逆（C ）若A 可逆，B 也可逆，则B A ±也可逆 （D ）若A 可逆，B 也可逆，则AB 不一定可逆2． 设B A ,均为n 阶方阵，则必有（ ）（A ）||||||||A B B A ⋅=⋅（B ）||||||B A B A +=+（C ）B A B A T +=+)(（D ）T T T B A AB =)(3． 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+221211111λ的秩为2，则=λ（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34． 设CB AC =，且C 为n m ×矩阵，则B A ,分别是（ ）矩阵（A ）m n ×与n m × （B ）n m ×与m n × （C ）n n ×与m m ×（D ）m m ×与n n × 5． 设A 与B 均为n 阶对称矩阵，则（ ）也为n 阶对称矩阵（A ）1)(−AB （B ）11−−B A （C ）AB （D ）B A −6． 初等矩阵（ ）（A ）相乘仍为初等矩阵 （B ）都可逆 （C ）相加仍为初等矩阵 （D ）以上都不对7． 已知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛10113121A ，则=A （ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−0113 （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1301 （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−3110 （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1031 8． 设A ，B 为n 阶矩阵，且0=AB ，则必有（ ）（A ）0=A 或0=B （B ）0=+B A（C ）0=A 或0=B（D ）A +0=B 9． 若A ,B 均为n 阶非零矩阵,且22))((B A B A B A −=−+则必有（ ）（A ）BA AB = （B ）E A = （C ）E B = （D ）A ,B 为对称矩阵10． 已知B 为可逆阵，则11[()]T B −−=（ ） （A ）B（B ）T B （C ）1−B （D ）TB )(1− 三、 计算题 1、⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=520012121A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=413212B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=401223C 求C AB T −； 2、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=412711310A 求1−A ；3、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101020101A ，E 为三阶单位矩阵，满足B A E AB +=+2，求矩阵B ；4、设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1011A ，求所有与A 可交换的矩阵； 5、设A 为3阶方阵，31=A ，求行列式1*)2(3−−A A 的值，其中*A 为A 的伴随矩阵； 6、已知矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=4553251101413223211a A 的秩是3，求a 的值。
线性代数练习题2
线性代数基础训练习题二一．选择题:1. 设为矩阵，B为矩阵，且,则矩阵为（ ）（A）矩阵；（B）矩阵；（C）矩阵；（D）矩阵2.设为阶方阵，且,则必有（ ）（A）；（B）；（C）；（D）3. 设为阶方阵，则必有（ ）（A）；（B）；（C） ； （D）4.设为n阶矩阵的伴随矩阵，则下列结论不正确的是（ ）（A）若可逆，则也可逆；（B）若是零矩阵，则也是零矩阵；（C）若可逆，则也可逆；（D）若是零矩阵，则也是零矩阵；5.矩阵都是可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ ）（A）是可逆矩阵；（B）的转置矩阵是可逆矩阵；（C）是可逆矩阵；（D）是可逆矩阵。
6.设为阶方阵，且，则必有（ ）（A）；（B）；（C）；（D）A不是可逆矩阵7.将矩阵的第一行与第三行元素互换位置，再把第一行每个元素的-3倍，加到第二行对应的元素上，得到矩阵B，则矩阵B是（ ）（A）；（B）；（C）（D）；8．对于方阵A进行一系列初等变换，下列选项中可能变化的是（ ）（A）A的秩；（B）A的行列式；（A）A的行数；（D） A的列数9.设5阶矩阵A的秩是3，则有A的伴随矩阵的秩（ ）（A）；（B）；；（D）二．填空题:1. 已知3阶矩阵的行列式，则有。
2. = 。
3设3阶矩阵A的伴随矩阵为，，则 .4设，则 .5设，则 .6.将3阶矩阵A的第一行元素都乘以2加到第三行对应元素上去得到矩阵B，相当于在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵P就会得到矩阵B，这个初等矩阵P =。
7将3阶矩阵A的第一列元素加到第三列对应元素上去得到矩阵B，相当于在A的右边乘以初等矩阵P= 得到B.8.矩阵的秩 .9已知的秩为2，则。
10.设，则三．计算题:1.设矩阵和，求。
2. 设矩阵，求。
3.设矩阵，求此矩阵的逆矩阵。
4.已知及使,求.5.已知且,求.6.设三阶矩阵满足：，且，求.7.用初等变换法求的逆矩阵8.将矩阵化为行阶梯矩阵，并求其一个最高阶的非零子式。
9.求矩阵的秩：（1）；（2）10.设为3阶矩阵，是的伴随矩阵，，求四．证明题：1.设为阶矩阵，是的伴随矩阵，证明：的充分必要条件是。
线性代数考试练习题带答案(2)
线性代数试题集与答案解析二、判断题(判断正误，共5道小题)9.设A ,B 是同阶方阵，则AB=BA 。
正确答案：说法错误解答参考：10. n维向量组{ α 1 , α 2 , α 3 , α 4 } 线性相关，则{ α 2 , α 3 , α 4 } 线性无关。
正确答案：说法错误解答参考：11.若方程组Ax=0 有非零解，则方程组Ax=b 一定有无穷多解。
正确答案：说法错误解答参考：12.若A ,B 均为n阶方阵，则当| A |>| B | 时，A ,B 一定不相似。
正确答案：说法正确解答参考：相似矩阵行列式值相同13.设A是m×n 阶矩阵且线性方程组Ax=b 有惟一解，则m≥n 。
正确答案：说法正确解答参考：（注意：若有主观题目，请按照题目，离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。
在线只需提交客观题答案。
)三、主观题(共12道小题)14.设A是m×n 矩阵, B是p×m 矩阵，则A T B T 是×阶矩阵。
参考答案：A T B T是n×p 阶矩阵。
15.由m个n维向量组成的向量组，当m n时，向量组一定线性相关。
参考答案：m>n时向量组一定线性相关16.参考答案：a=6(R( A )=2⇒| A |=0)17._________________。
参考答案：( 1 2 3 4 ) T+k ( 2 0 −2 −4 ) T。
因为R ( A )=3 ，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为η2+ η3−2 η1，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
18.时方程组有唯一解。
参考答案：当a=−2 时方程组无解，当a=1 时方程组有无穷多个解，当a≠1,−2 时方程组有唯一解。
19.参考答案：2420.参考答案：t=6 21.参考答案：22.参考答案：23.参考答案：24.已知方阵(1)求a,b的值；(2)求可逆矩阵P及对角矩阵D,使得参考答案：25.参考答案：本次作业是本门课程本学期的第1次作业，注释如下：一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 下列矩阵中，不是初等矩阵。
(完整版)线性代数试题库(矩阵)
71．设 是2阶方阵可逆，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
答案：B
72．设 均为3阶矩阵，若 可逆，秩 ，那么秩 （ ）
A．0B．1
C．2D．3
答案：C
73．设 为 阶矩阵，若 与 阶单位矩阵等价，那么方程组 （ ）
A．无解B．有唯一解
C．有无穷多解D．解的情况不能确定
答案：B
74．设矩阵 ，则 __________.
A. B. C. D.
答案：C
95.设 为3阶方阵，且行列式 ,则 【 】
A.-4 B.4 C.-1 D.1
答案：A
96．设矩阵 为 的转置，则 =。
答案：
97．设矩阵 则行列式 的值为.
答案：1
99．设 是 阶方阵，且 的元素全都是1， 是 阶单位位矩阵。证明：
证明：
因为 的元素全都是1，所以： 的元素全部为 ，即：
若 为同阶方阵，则 的充分必要条件是
答案：
143设 都是 阶矩阵，且 ,则下列一定成立的是（）
或 B 都不可逆
C 中至少有一个不可逆D
答案：C
144设 均为可逆矩阵，则分块矩阵 亦可逆，
答案：
145设 为3阶可逆矩阵，且 ,则
答案：
146 均为 阶矩阵，下列各式中成立的为（）
（A）
（B）
（C） 则 或
答案：×
151．两个初等矩阵的乘积仍为初等矩阵。 （ ）
答案：×
152.A，B均为n阶方阵，A≠O，且AB=O，则B的秩（ ）
（A）等于O （B）小于n
（C）等于n （D）等于n-1
答案：B
153.已知 且A2—AB=E，求矩阵B。
线性代数第二章矩阵练习题(有答案)
第二章一、选择题1、计算13230102-⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值为（C ） A.-5 B.6 C.3003⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2902-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、设,A B 都是n 阶可逆矩阵，且AB BA =，则下列结论中不正确的是（D ）A. 11AB B A --=B. 11A B BA --=C. 1111A B B A ----=D.11B A A B --=3、初等矩阵（A ）A. 都是可逆阵B.所对应的行列式值等于1C. 相乘仍是初等阵D.相加仍是初等阵4、已知,A B 均为n 阶矩阵，满足0AB =,若()2r A n =-，则（C ）A. ()2r B =B.()2r B <C. ()2r B ≤D.()1r B ≥二、判断题1、若,,A B C 都是n 阶矩阵，则()k k k k ABC A B C =. （×）2、若,A B 是n 阶反对称方阵，则kA 与A B +仍是反对称方阵.（√）3、矩阵324113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与矩阵2213B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可进行乘法运算. (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ，则A B =. (×)三、填空题1、已知[]456A =，123B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求AB 得_________。
(32)2、已知12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,i a i n ≠=），则1A -=3、设A 为n 阶方阵，2A =，求T A A 的值为_________。
4、设A 为33⨯矩阵，3A =-，把A 按列分块为()123A A A A =,求出132,4,A A A 的值为__________。
四、计算题1、计算()101112300121024--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.解 原式()12092(38)4-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2、求矩阵100120135A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.解 求出10A =-，11201035A ==，1210515A -=-=-，1311113A --==--，2100035A =-=,2210515A -==--,2310313A -==-, 12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1212n +3100020A ==,3210010A -=-=-,3310212A -==-- 故*11001102213110105A A A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.五、证明题设n 阶方阵A 满足3()0A I +=，求证A 可逆，且求1A -.证 由3()0A I +=得32330A A A I +++=,于是2(33)A A A I I ⎡⎤-++=⎣⎦. 令233B A A I =---,则AB =I ,故A 可逆，且1233A A A I -=---.。
矩阵习题带答案
矩阵习题带答案矩阵习题带答案矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
掌握矩阵的运算和性质对于学习线性代数和解决实际问题都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将提供一些矩阵习题，并附上详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握矩阵的相关知识。
1. 习题一已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵AT。
解答：矩阵A的转置矩阵AT即将A的行变为列，列变为行。
因此，矩阵A的转置矩阵为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]2. 习题二已知矩阵B = [2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵B-1。
解答：对于一个二阶矩阵B，如果其行列式不为零，即|B| ≠ 0，那么矩阵B存在逆矩阵B-1，且B-1 = (1/|B|) * [d -b; -c a]，其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素。
计算矩阵B的行列式：|B| = ad - bc = (2*3) - (4*1) = 6 - 4 = 2因此，矩阵B的逆矩阵为：B-1 = (1/2) * [3 -4; -1 2]3. 习题三已知矩阵C = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵C的秩rank(C)。
解答：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。
对于矩阵C，我们可以通过高斯消元法将其化为行简化阶梯形矩阵：[1 2 3; 0 -3 -6]可以看出，矩阵C中非零行的最大个数为1，因此矩阵C的秩为1。
4. 习题四已知矩阵D = [2 1; -1 3]，求矩阵D的特征值和特征向量。
解答：对于一个n阶矩阵D，如果存在一个非零向量X，使得D*X = λ*X，其中λ为常数，则称λ为矩阵D的特征值，X为对应的特征向量。
首先，我们需要求解矩阵D的特征值，即求解方程|D - λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。
计算矩阵D - λI：[D - λI] = [2-λ 1; -1 3-λ]设置行列式等于零，得到特征值的方程式：(2-λ)(3-λ) - (1)(-1) = 0λ^2 - 5λ + 7 = 0解特征值的方程，得到两个特征值：λ1 = (5 + √(-11))/2λ2 = (5 - √(-11))/2由于特征值的计算涉及到虚数，这里不再继续计算特征向量。
线性代数第二章练习题
第二章 矩 阵一、选择题 1．设矩阵4203a b a b d c +-æöæö=ç÷ç÷èøèø，则（ C ）（A）3,1,1,3a b c d ==-== （B）1,3,1,3a b c d =-=== （C）3,1,0,3a b c d ==-== （D）1,3,0,3a b c d =-=== 2．设矩阵()1,2A =，1234B æö=ç÷èø，123456C æö=ç÷èø，则下列矩阵运算中有意义的是（B）（A）ACB （B）ABC （C）BAC （D）CBA 3．设A 、B 均为n 阶矩阵，下列命题正确的是 C （A）0B 0A 0AB ==Þ=或 （B）0B 0A 0AB ¹¹Û¹且 （C）00==Þ=B A 0AB 或 （D）00¹¹Û¹B A 0AB 且 4．设A 、B 均为n 阶矩阵，满足22A B =，则必有（ D ） （A）A B = （B）A B =- （C）A B = （D）22A B=5．设A 为n 阶矩阵,且有A A 2=,则结论正确的是________D________ (A) 0A = （B）E A =(C) 若A 不可逆,则0A = (D) 若A 可逆,则E A 2= 6．设B A ,都是n 阶对称矩阵，下列结论不正确的结论是（ A ） （A）AB 为对称矩阵 （B）设B A ,可逆，则11--+B A 为对称矩阵（C）B A +为对称矩阵 （D）kA 为对称矩阵7．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） （A）T A A + （B）T A A - （C）T AA（D）T A A8．设A 为3阶方阵，且2A =，则12A -=（ D ） （A）-4 （B）-1 （C）1 （D）49．设A 为n 阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，则=*A k C （A） A n k （B） nk A（C）1-n nkA（D）nn kA1-10．设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则÷÷øöççèæ--1002B A T等于（ A ） （A）12)2(--B A n（B）1)2(--B A n （C）B A T2- （D）12--B A11．设n 阶方阵C B A ,,满足关系式E ABC =，其中E 为n 阶单位阵，则必有（ D ）。
线性代数试题库(矩阵)
1．对任意n阶方阵A,B总有（）A.AB=BAB.AB=BAC.(AB)T=ATBT答案：B D. (AB)2=A2B2AB==AB2．在下列矩阵中，可逆的是（）⎛000⎫⎪A. 010⎪001⎪⎝⎭⎛110⎫⎪C. 011⎪121⎪⎝⎭答案：D ⎛110⎫⎪B. 220⎪ 001⎪⎝⎭⎛100⎫⎪D. 111⎪ 101⎪⎝⎭-13．设A是3阶方阵，且A=-2,，则A=（）A.-2C. B.-D.2 1 21 2答案：B1⎫⎛11 ⎪1⎪的秩为2，则λ=（） 4．设矩阵A= 1223λ+1⎪⎝⎭A.2B.1C.0D.-1答案:B提示：显然第三行是第一行和第二行的和⎛101⎫⎪25．设A= 020⎪，矩阵X满足方程AX+E=A+X，求矩阵X. 101⎪⎝⎭⎛201⎫⎪答案：X= 030⎪102⎪⎝⎭解： AX+E=A+X⇒(A-E)X=A-E 22⎛101⎫⎛001⎫⎪⎪A= 020⎪⇒A-E= 010⎪101⎪ 100⎪⎝⎭⎝⎭显然A-E可逆，所以：(A-E)-1(A-E)X=X=(A-E)-1(A2-E) =(A-E)-1(A-E)(A+E)=A+E⎛201⎫⎪∴X= 030⎪102⎪⎝⎭6．求下列矩阵的秩⎛01-1-12⎫⎪02-2-20⎪ A= 0-1111⎪⎪1101-1⎝⎭答案：3⎛-1-4⎫⎛-10⎫-157．设矩阵P= ⎪,D= ⎪，矩阵A由矩阵方程PAP=D确定，试求A. ⎝11⎭⎝02⎭答案：⎛-511/3127/3⎫⎪⎝127/3-31/3⎭P-1AP=D⇒A=PDP-1⇒A5=PD5P-1⎛-1-4⎫⎛1/3-1/3⎫5⎛-10⎫-1P= ⇒P=⎪⎪,D= ⎪⎝11⎭⎝4/3-1/3⎭⎝032⎭所以：A5=PD5P-1= ⎛-1-4⎫⎛-10⎫⎛1/3-1/3⎫⎛-511/3127/3⎫⎪. ⎪⎪= ⎪110324/3-1/3127/3-31/3⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭*-1-18．设矩阵A可逆，证明(A)=AA 证明：因为AA=AA=AE，矩阵A可逆，所以A≠0 **⇒AA*=A*A=E AA又因为A-1=1*-1-1，所以：(A)=AA A9若A是( )，则A必为方阵.A. 分块矩阵C. 转置矩阵答案：B B. 可逆矩阵 D. 线性方程组的系数矩阵10.设n阶方阵A，且A≠0，则(A*)-1= ( ). AA. A A*B. AD. A-1C. A A *A答案：A11若( )，则A B A. A=B B. 秩(A)=秩(B)C. A与B有相同的特征多项式D. n阶矩阵A与B有相同的特征值，且n个特征值各不相同答案：B⎛1⎫⎪T12.设A= 2⎪，则AA=______.3⎪⎝⎭⎛123⎫⎪答案： 246⎪369⎪⎝⎭13.设m⨯n矩阵A，且秩(A)=r，D为A的一个r+1阶子式，则D=_____. 答案：0 14已知PAP=B，且B≠0，则答案：115.已知 -1AB______. ⎛20⎫⎛31⎫⎪X= ⎪，求矩阵X。
线性代数第二章矩阵(答案).docx
线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC2．设C (1, 0 ,0 ,1)，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22（ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）03．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B]（ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A二、填空题：1642011651．282342112412124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 4317353．1232657014913121400126784．13413120561402三、计算题：111设 A111，4111123B124，求 3AB2A 及 A T B0511111231113AB 2 A 3 111124 2 1111110511110582223 0562222902222132221720 ;4292111123058由 A对称，A T A，则 A TB AB11112405 6 .111051290线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B]（ A）AA A 1（ B）An 1（ C）( A)n A（ D）( A )0 A2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵（ C）AB 是 n 阶可逆矩阵（ D）| A+B| = | A|+| B|3．设 A 是 n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（ A）A A（B）A A（C）A n A（D）A [ C] n A4．设 A， B， C 是 n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有[ B]（ A） CBA = E（B）BCA = E（C）BAC = E（D）ACB = E5．设 n 阶矩阵 A，B， C，满足 ABAC = E，则[ A]（ A ） A T B T A T C T E （B ） A 2 B 2 A 2 C 2E（C ） BA 2CE （ D ） CA 2 B E二、填空题：1121A ，其中 B21．已知 ABB，则 A2 11122．设2 54 6，则 X =2 13 1 X21 0433．设 A ， B 均是 n 阶矩阵， A2 ， B3 ，则 2 A B14n64．设矩阵 A 满足 A 2A4E0 ，则 ( A E) 11 ( A 2E)2三、计算与证明题：1． 设方阵 A 满足 A 2A 2E 0 ，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A 1和 ( A 2E ) 1A 2A 2 E 0A( A E ) 2 E A(A2 E ) EA 可逆，且 A 1AE ;2A 2 A 2E 0A( A 2E) 3A 2E 0A( A 2E) 3( A 2E) 4E 0( A 3E )( A 2E) 4E ( A3E)( A 2E)E4A可逆，且 (A 2E)1A 3E41 2 12． 设 A3 4 2 ，求 A 的逆矩阵 A 1541解：设 A(a ij )3 ，则A 114 2 4,A 12( 1)1232 13, A 13( 1)133432,4 15154A21( 1)1221 2, A 22 ( 1)2211 6, A 23 ( 1)2312 14,41 5154A 31( 1) 13210, A 32 ( 1) 3211 1, A 33( 1) 3312 2,4232344 2 0 从而 A *1361 .32 142又由1 212c 11 00 2 1A3 4c 23 212254 1 c 3c1514 614 6A * 21 0则 A 113 31A27216 10 3 33． 设 A1 1 0 且满足 ABA2B ，求 B12 3AB A2B( A 2E) B A2 3 3 0 3 3 11 0 B 1 1 012 11 232 3 3 0 3 311 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 r 1r 22 3 3 03 3 12 11 2 31 2 1 1 2 31 1 0 1 1 0 1 1 01 1 0 r 22r 10 1 3 2 5 3 r 3 r 2 0 13 25 3 r 3 r 11 13 32 2 211 0 11 0110 1 10 r 3 ( 1) 0 1 3 2 5 3 r 23r 3 0 1 01 2 32 0 0 1 1 1 00 011 11 0 0 0 3 3 r 1 r2 0 1 01 2 30 0 111 00 3 3 则 B ( A 2E) 1 A1 2 31 1线性代数练习题第二章矩 阵系专业 班姓名学号第三节（一）矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：1 1 3 4 3 r2 3r 1 1 134 3r 2 4 1 1 3 4 3 3 3 5 4 1 0 0 4 8 8 0 0 1 2 222 3 2 0 r 3 2r 1 00 366 r 33 0 0 1 2 233 4 2 1r43r 1 0 0 5 10 10r45 012 211 34 3 11 023 r 3 r 2 0 0 1 2 2 00 1 2 2 r 4r 2 00 0 0 0 r 1 3r20 0 0 0二、把下列矩阵化为标准形：2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 r 2 2r 1 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 23 1 3 7 0 1 1 1 132 83 0 r 1 r232 83 0 r 33r18 8 9 12 13 74 313 74 3 r 4 r 1 05 767122 4 122 4 r3 8r 2 0 1 1 1 1 01 1 1 1 r 45r 2 00 0 1 4 r 3 r40 2 1 20 212 00 0 14r 3 r 4 1 20 0 4120 040 1 1 0 31r 3 01 0 0 2r 2 r 4 r 20 0 2 0 20 0 2 0 2 r 1 2r 420 00 140 141 0 0 0 0 r 21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 20 1 0 0 2 0 1 0 0 0r 12r20 2 0 2 1r 3 0 0 1 0 1c52c 2c34c40 1 0 00 00 14 20 0 0 140 0 0 1 0三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵3 2 0 1 0 2 2 1A2 3 211 213 2 0 1 1 0 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 1 0 01 2 3 2 0 0 1 r 1 r 32 0 1 1 0 0 0 03 012 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 11 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 02 2 1 0 1 0 0 01 2 1 0 0 0 1 r 33r14 95 1 0 3 0 r 2 r44 95 1 0 3 0 01210 00 12210 10 01 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 r 3 4r 2 0 12 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 1 r 42r 2 0 01 1 1 0 3 4 r 42r30 01 1 1 0 3 40 0210 10 2 0 00 12 1 6 10123 0 42 11 20120 0 1 1 2 2 r 12r4012 0 2 16 11 r 1 3r 3 0 1 00 01 0 1 r2 r 4 0 0 1 0 1 1 36 r 2 2r 3 0 0 1 0 1 1 36 r 3 r 40 00 1 2 1 6100 12 16101 0 0 0 1 1 24 r 1 2r 2 0 10 0 0 1 0 1 0 01 0 1 1 360 00 12 1 6101 12 4 A10 1 0 1 1 1 3 62 1 6 101 1 1 1 0 1 四、已知0 2 2 X 1 1 0 ，求 X110 1 41 1 1 1 0 11 1 1 10 11 1 1 1 0 1 0 22 1 1 0 r3 r 1 0 2 2 11 0 r 3r 2 0 2 2 1 1 0uuuuuruuuuur11 01 40 2 1 1 1 30 03 0 231 1 0 12 21 111 0 13r 22r3 0 20 1r 310 2 2 1 1 0 123r r30 012 1 uuuuuuur20 1 0 1331 1 01221 01 5 33 26r 210 1 0111 r 1 r2 0 1 0 111226uuuuur26uuuuur220 0 1 010 0 1 013 31 5 32 6故 X1 1 12 62 13线性代数练习题第二章矩 阵系专业班姓名学号第三节（二）矩 阵 的 秩一．选择题1．设 A ， B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = 0，则 A 和 B 的秩[ D]（ A ）必有一个等于零 （ B ）都等于 n（C ）一个小于 n ，一个等于 n（ D ）都不等于 n2．设 mn 矩阵 A 的秩为 s ，则[ C]（ A ） A 的所有 s（ B ）A 的所有 s阶子式不为零－ 1 阶子式不为零（ C ）A 的所有 s +1 阶子式为零（D ）对 A 施行初等行变换变成E s0 0112133．欲使矩阵2s126的秩为2，则s，t满足[ C ] 455t12（ A）s = 3 或t = 4（B）s= 2 或t = 4（ C）s = 3 且t = 4（D）s = 2 且t = 44．设A是m n 矩阵，B是 n m 矩阵，则（ A）当m n 时，必有行列式| AB |0（ B）当（ C）当n m 时，必有行列式| AB |0（ D）当[ B ] m n 时，必有行列式| AB |0n m 时，必有行列式| AB |0a11a12a13a21a22a230105．设Aa21a22a23， Ba11a12a13， P1100，a31a32a33a31a11a32a12a33a13001100P2010，则必有 B[ C ] 101（ A）AP1P2（B）AP2P1（ C）P1P2A（ D）P2P1A二．填空题：31021．设A1 1 2 1 ，则 R( A)213441212．已知A 23a2应满足a=-1 或 3 1a的秩为 2，则 a22a21三、计算题：218371．设A230753258，求 R( A) 。
线性代数习题册(第二章矩阵及其运算参考答案)
⇔ αTα = 1
单元 6 逆矩阵、分块矩阵
一、判断题（正确的打√，错误的打×）
1. 可逆矩阵一定是方阵.
（√）
2. 若 A 、 B 为同阶可逆方阵，则 AB 可逆.
（√）
3. 设 A, B 均为可逆矩阵，则 AB 也可逆且 ( AB)−1 = A−1B−1 .
（X）
4. 若 A 可逆，则 AT 也可逆.
分析： |
r1 A|
↔
r2
− | B |，所以
A
+
B
= 0 。
20.
设
A
=
a11 a21
a12 a22
a13 a23
，
B
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 1 0
，
P1
=
1
0
0
a31 a32 a33
a31 + a11 a32 + a12 a33 + a13
0 0 1
( A) kA∗
(B) k n−1 A∗
(C ) k n A∗
( D) k −1 A∗
分析：题中对可逆矩阵也要成立，所以不妨设 A 可逆时进行分析。
( ) = (kA)∗ | kA | (= kA)−1 k n | A | ⋅ 1 A−1 = k n−1 | A | A−1 = k n−1 A* k
a31 + a11 a32 + a12 a33 + a13
r1
↔
r2
a21 a11
a31 + a11
a22 a12 a32 + a12
a23
a13
线性代数练习题(1-2章)答案
线性代数练习题（行列式·矩阵部分）一、填空题1．n 阶行列式1000010000100001=n D （主对角线元素为1，其余元素均为零）的值为 1 。
2．设行列式D =1211225141201---x，元素x 的代数余子式的值是 －14 。
3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1312A ，132)(2+-=x x x f ，则=)(A f 91312-⎛⎫ ⎪-⎝⎭４．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110002A ，则逆矩阵=-1A 1002011001⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭5．5阶行列式D=a aa aa a a a a ---------1101100011000110001=54321a a a a a -+-+-+6．设A 为n 阶可逆阵，且E A A ||2=，则*A = A 7. N (n12…(n-1))= n-1 。
8. 设D 为一个三阶行列式 ，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D= －12 。
9. 关于n 元线性方程组的克莱姆法则成立的条件是 1）线性方程组中未知数的个数和方程的个数相同，2）系数行列式D 不等于零 ，结论是(1,2,)j j D x j n D== 。
10. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠，设A *为A 的伴随矩阵，则A -1=*1A A。
11. 若n 阶矩阵满足A 2-2A-4E=0,则A -1=1(2)4A E - 。
12.()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321=()30， ()43214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1234246836912481216⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭13. 设A 为三阶矩阵，若A=3，则1-A =13,*A = 9 。
14．=++++xx x x 22222222222222223(8)x x +15．设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，且|A |=a ，|B |=b ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0B A 0C ，则|C |=ab mn(-1)二、选择题1. 设n 阶行列式D =n ija ，ji A 是D 中元素ji a 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ C ）。
(完整版)线性代数第二章矩阵试题及答案
第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m⨯n型矩阵。
例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8 是一个4⨯5矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。
元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。
两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。
2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。
n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。
下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。
（1）A是正交矩阵⇔A T=A-1 （2）A是正交矩阵⇔2A=1阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足:①如果它有零行，则都出现在下面。
②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。
把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。
线性代数练习册CH2
《线性代数》练习册第二章 矩 阵§2.1矩阵的概念、§2.2 矩阵的运算1.设矩阵231231A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭, 123210B --⎛⎫= ⎪-⎝⎭．计算矩阵,AB BA , 并比较二者是否相等.2.举例说明下列命题不正确： （１）AB AC =，则B C =；（２）2A E =， 则A E =或A E =-.3. 设矩阵110011001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 计算nA , 其中n 为正整数．4.设A 为n 阶矩阵，n 为奇数，且满足TAA E =，1A =．求A E -．5.设()1,2,3α=，()1,1/2,1/3β=,TA αβ=,求nA .6.设n 维行向量()11,0,,0,22α= ，矩阵,2αααα=-=+T T A E C E ，其中E 是n 阶单位阵，求AC ．7.设A 是n 阶实矩阵．证明: 如果TAA O =，则A O =．8.对于任意的n 阶矩阵A ，称其主对角线上n 个元素之和为A 的迹，用()tr A 表示，即1()nii i tr A a ==∑. 证明：对n 阶矩阵,A B ，有()()tr AB tr BA =.§2.3 几种特殊结构的矩阵1.设矩阵12n a a A a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中12,,,na a a 两两不同．证明：与A 可交换的矩阵必是对角阵．2. 设矩阵A 与任意n 阶方阵可交换，求A ．3.设A ,B 是n 阶反对称矩阵, 证明：(1)2A 是对称矩阵；(2) AB BA -是反对称矩阵．4.设A 是n 阶对称矩阵， B 是n 阶反对称矩阵．证明：AB 是反对称矩阵的充分必要条件是AB BA =．§2.4 方阵的逆矩阵1.设A 为n 阶矩阵，且232A A E O --=，其中E 为n 阶单位矩阵．证明：A 可逆，并求1A -．2.设A 为n 阶非零实矩阵，*T A A =．证明：A 是可逆矩阵．3.设A 是n 阶矩阵，证明：1*n A A-=．4.判断下列矩阵是否可逆, 如果可逆, 求其逆矩阵．（1）100120123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （2）143120223⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭5.设矩阵100130225012A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，试求()1*T A -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．§2.5 分块矩阵1. 设矩阵3411431100200022A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵求8A ．2.已知1110012100113000004000002A ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，求1.A -3. 设四阶矩阵A =()234,,,αγγγ，()234,,,B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式4, 1.A B ==求A B +．4. 设000000100010a a A b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭, 100010000000cc Bd d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 用矩阵的分块乘法求AB .5.设A ,B 是n 阶矩阵．证明：+A BA B A B B A=-．6.设A ,B 分别是m 阶，n 阶可逆矩阵，C 为n m ⨯矩阵．证明：分块矩阵O A C B ⎛⎫ ⎪⎝⎭可逆，并求1O A C B -⎛⎫⎪⎝⎭．§2.6 矩阵的初等变换与初等矩阵1. 设A 为n 阶可逆矩阵，B 是A 交换第i 行和第j 行所得的矩阵． （1）证明：B 是可逆矩阵．（2）求1AB -．2. 设A ，B 为三阶矩阵，将A 的第1行的（-2）倍加到第3行得到1A ，将B 的第1列乘以 (-2) 得到1B ，已知11031257486A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求AB ． 3. 设矩阵122221425A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，101021000B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，问是否存在可逆阵P ，使得PA B = ？若存在，试求P ．4. 用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵．（1）A =111011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）A =111210110-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭5. 已知三阶矩阵A 的逆矩阵1111121113A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试求其伴随矩阵*A 的逆矩阵．6. 解下列矩阵方程：35412(1)12301X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．211113(1)210432111X -⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭7. 设1111111111111111A --⎛⎫⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭. (1) 求2A ．(2) 证明2A E +可逆，并求1(2)A E -+.8. 设矩阵A =111111111-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭，已知*12A X A X -=+，试求矩阵X ．9. 已知n 阶矩阵A =100110111⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，求A 中所有元素代数余子式的和.§2.7 矩阵的秩1．已知矩阵33021430.1562A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）计算A 的所有三阶子式；（2）利用（1）的结果求矩阵A 的秩.2．把矩阵11210224203061103001-⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎪⎝⎭化为阶梯形, 并求其秩.3．讨论参数λ的取值，确定下列矩阵A 的秩:（1）11121123224A λ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.（2）31144101171732243A λ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭．4.设B 是一个r r ⨯矩阵，C 是一个r n ⨯矩阵，且()r C r =．证明： （1）如果BC O =，那么B O =； （2）如果BC C =，那么B E =．第二章综合练习题A一、填空题1． 设A 为n 阶方阵，B 满足关系式1()2A B E =+，且2A A =，则2B =________. 2． 设A 为n 阶方阵，且mA E =，其中m 为正整数．若将A 的2n n 2个元素用其代数余子式ij A 代替，得到的矩阵记为B ，则mB =_________.3． 设A ，B 均为n 阶矩阵，=2=3A B -，,则*12A B -=____________.4． 设矩阵A ，B 满足*28A BA BA E =-，其中A =100020001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则B =_________.5． 已知A =111102110210⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，B 为4阶方阵, 且0B ≠，则()r AB =________. 二、选择题1． 设三阶矩阵()23,2,3TA αγγ=，()23,,2TB βγγ=，其中23,,,αβγγ均为三维行向量，已知18A =，2B =，则A B -=（ ）（A ）1 . (B) 2. (C) 3. (D) 4.2． 若a b b A b a b b b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若A 的伴随矩阵的秩等于1，则必有（ ）．（A ）20a b a b =+=或 （B ）20a b a b =+≠或 （C ）20a b a b ≠+=且. （D ）20a b a b ≠+≠且3． 若A 为n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ ）．（A ）11()=()kk A A -- （B ）()=()T kk TA A （C ）**()=()k kA A （D ）**()=kA kA . 4． 设A ，B 为n 阶矩阵，*A ，*B 是其伴随矩阵，A O C O B ⎛⎫=⎪⎝⎭，则*C （ ）． （A ）**O OA AB B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（B ）**O O B B A A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（C ）**O O B A A B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（D ） **O O A B B A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭三、计算题1． 设n 阶方阵A =01000020*******n n ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭（1） 求1A -.（2） 求A 的第i 行的代数余子式之和12i i in A A A +++ .2． 设A ，B 为三阶矩阵，将A 第1行的（-3）倍加到第3行得到1A ，将B 的第1列乘以（-3）得到1B ，再将1B 的第2列加到第1列得到2B ，已知12012101243A B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求AB ．四、证明题1． 设,A B 均为n 阶方阵，且0B ≠，1()=()TA EB E ---，证 明 ：0A ≠.2. 设,A B 及11A B --+均为n 阶可逆矩阵，证明A B +可逆，且111111()()A B A A A B A ------+=-+.第二章综合练习题B一、填空题1． 已知当A=1212⎛⎪⎪⎪⎭时，6A E =，则11A =__________. 2． 设,,A B C 均为n 阶方阵，且AB BC CA E ===，则222A B C ++=_______.3． 设1A -存在，且2A A E =，则1*()A -=____________. 4． 设,A B 均为n 阶方阵，且2,3A B ==-，则*1A B -=____________.二、判断说明题1． 设n （n >2）阶实矩阵()ij n n A a O ⨯=≠, 且ij ij a A =(,1,2,,)i j n = ,其中ij A 是元素ija的代数余子式．则有TAA E =．2． 设A 为n （n >1）阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵．则()*n-2*=A AA .3． 设A 为n （n >1）阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵．则*0A =的充分必要条件是0A =4． 设A 为n （n >1）阶方阵，则()1r A =的充分必要条件是T A αβ=，其中12(,,,) T n a a a α=，12(,,,) T n b b b β=，这里i j a b 不全为零(,1,2,,) i j n =．三、计算题1． 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求伴随矩阵*A 的逆矩阵.2． 设矩阵A 的伴随矩阵*100001001010038A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪-⎝⎭，且113ABA BA E --=+．求矩阵B ．四、证明题1． 设A 为n 阶非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数．记分块矩阵*T E O P AA α⎛⎫= ⎪-⎝⎭，T A Q b αα⎛⎫= ⎪⎝⎭（1） 计算并化简PQ ；（2） 证明：Q 可逆的充分必要条件是1T A b αα-≠．2． 设n 阶矩阵TA E ξξ=-，其中ξ是n 维非零列向量．证明：（1） 2A A =的充要条件是Tξξ=1.（2） 当Tξξ=1时，A 是不可逆矩阵.。
线性代数练习题二
一、单项选择题 1．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．32.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36D.483.设3阶方阵A 的行列式为2，则12A -=( ) A.-1 B.14- C.14D.14．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．65.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=( ) A.-12B.-6C.6D.126．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1D ．47．设2阶矩阵A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ，则A ＊＝（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bc dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d8．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 9．设A 是3阶方阵，且|A |=-21，则|A -1|=（ ） A ．-2 B ．-21 C ．21 D ．2 10．设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A ．λ|A | B ．|λ||A | C ．λn |A | D ．|λ|n |A | 11．矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111的伴随矩阵A *=（ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111112．设A 为3阶方阵，且已知|-2A |=2，则|A |=（ ） A ．-1 B ．-41 C ．41 D ．1 13．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则（ABC ）T =（ ） A ．A T B T C T B ．C T B T A TC ．C T A T B TD ．A T C T B T14.设A 为三阶方阵且,2-=A 则=A A T 3（ ） A.-108 B.-12 C.12 D.10815.设A 、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ ） A.AB=BA B.()111---+=+B A B A C.B A B A +=+D.()T T TB A B A +=+16.设A 为四阶矩阵，且,2=A 则=*A （ ） A.2 B.4 C.8D.1217．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+d b a 04=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-32c b a ，则（ ） A ．a=3,b=-1,c=1,d=3B ．a=-1,b=3,c=1,d=3C ．a=3,b=-1,c=0,d=3D ．a=-1,b=3,c=0,d=318．设A 为n 阶方阵，n ≥2，则A 5-=（ ） A ．（-5）n AB ．-5AC ．5AD ．5n A19．设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则*A =（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．4 20.设A ，B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误．．的是（ ） A.|AB |=|A | |B | B. (AB )-1=B -1A -1 C. (A+B )-1=A -1+B -1 D. (AB )T =B T A T 21.设A 为三阶矩阵，且|A |=2，则|（A *）-1|=（ ）A.41 B.1 C.2 D.422．设A 为3阶方阵，且==-||3131A A 则，（ ） A ．-9 B ．-3 C ．-1D ．923．设A 、B 为n 阶方阵，满足A 2=B 2，则必有（ ） A ．A =BB ．A = -BC ．|A |=|B |D ．|A |2=|B |2 24.设A ,B ,C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A.（A +B ）T =A T +B T B.|AB |=|A ||B | C.A （B +C ）=BA +CA D.（AB ）T =B T A T 25.若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ ） A.A =*1A AB.0=AC.2112)()(--=A AD.113)3(--=A A26．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．227．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B28．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a29.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（ ）A. A -1B -1C -1B. C -1B -1A -1C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -130.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4 D.3231.设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T |=( ) A.-8 B.-2 C.2 D.8 32.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11,B=(1,1),则AB=( )A.0B.(1,-1)C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111133.设A ,B 是任意的n 阶方阵，下列命题中正确的是（ ） A.222()2+=++A B A AB B B.22()()+-=-A B A B A B C.()()()()-+=+-A E A E A E A ED.222()=AB A B34．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出（ ）A ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量B ．α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例C ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D ．α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合35．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ ） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A 的列向量组线性相关 C ．A 的行向量组线性无关 D ．A 的行向量组线性相关 5.设A 为m n ⨯矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（ ） A.A 的行向量组线性无关 B.A 的行向量组线性相关 C.A 的列向量组线性无关 D.A 的列向量组线性相关 36.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ ） A. 4321,,,αααα线性无关 B. 4321,,,αααα线性相关 C. 1α可由432,,ααα线性表示D. 43,αα线性无关37.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则（ ） A.α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关 C.α1，α2，α3，α4线性相关 D.α2，α3，α4线性相关 38．设向量，若有常数a ,b 使，则（ ）A ．a =-1, b =-2B ．a =-1, b =2C ．a =1, b =-2D ．a =1, b =239.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k ，6）正交，则数k 为（ ） A.-10 B.-4 C.3D.1040．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T 41．设A 为n 阶正交矩阵，则行列式|A 2|=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．242.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（ ） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1）D. 4α=（0，1，1）43．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（ ） A ．31α B ．51α C ．91α D ．251α 44．设A 为m×n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是（ ） A ．A 的列向量组线性相关 B ．A 的列向量组线性无关 C ．A 的行向量组线性相关D ．A 的行向量组线性无关45.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+1α是Ax =0的解 B. η+（1α-2α）是Ax=0的解 C. 1α+2α是Ax=b 的解D. 1α-2α是Ax=b 的解46．设321,,ααα是齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ） A ．2121,,αααα+ B ．133221,,αααααα+++ C ．2121,,αααα-D ．133221,,αααααα---47．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ） A ．n r =)(A B ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A48.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 49．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ） A ．α+β是Ax =0的解 B ．α+β是Ax =b 的解 C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解_____.二、填空题1.设向量α=（6，-2，0，4），β=（-3，1，5，7），向量γ满足βγα32=+，则γ=_________________________.2.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________. 3．已知α1-5α2+2α3=β，其中α1=（3，4，-1），α2=（1，0，3），β=（0，2，-5），则α3=____________. 4．设向量α=（1，1，1），则它的单位化向量为_____________. 5.已知向量组α1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211，α2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121,α3=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11t 的秩为2，则数t=______________.6．已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=_________.7.设向量组1α=（a ,1,1）,2α=（1,-2,1）, 3α=（1,1,-2）线性相关，则数a =________. 8．已知向量组T T T a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a ______. 9．已知3维向量=（1，-3，3），（1，0，-1）则+3=__________. 10．设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为__________.11.设A 是m ×n 矩阵，A x =0,只有零解，则r (A )=____________________ 12．已知行列式422221111-=-+-+b a b a b a b a ，则=2211b a b a ______.13.行列式2110的值为_________. 14.若,0211=k 则k=___________.15．已知行列式011103212=-a ，则数 a =__________.16．3阶行列式313522001=_________.17．已知3阶行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a =6，则333231232221131211a a a a a a a a a =_______________. 18．设3阶行列式D 3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D 3=__________________. 19.若==k k 则,012131012_____________。
线性代数习题
第三章练习题（二）一、填空题1. 设A 是5阶矩阵，如果齐次线性方程组0=Ax 的基础解系有2个解，则=*)(A R 。
2. 若B A,都是n 阶非零方阵，且O AB =，则)(A R n 。
3. 设),,2,1(0,0n i b a i i =≠≠，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212221212111A ，则矩阵A 的秩=)(A R 。
4. 若齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,0321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足的条件是 。
5. 如果非齐次线性方程组b Ax =有解，则它有惟一解的充要条件是其对应的齐次方程组0=Ax 。
6. 如果n 元线性方程组b Ax =有解，r R =)(A ，则当 时，有惟一解；当 时，有无穷多解。
7. 已知线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+03121232121321x x x a a无解，则=a 。
二、选择题1. 设A 是n 阶方阵，且A A =2，则必有（ ）。
（A ）A 的秩为n （B ）A 的秩为零（C ）A 的秩与A E -的秩之和为n （D ）A 的秩与A E -的秩相同2. 若n 阶矩阵A 的伴随矩阵O A ≠*，又O AA =*，则)(A R 必等于（ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）1-n （D ）n3. 设A 是n m ⨯矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩为1r ，则（ ）。
（A ）1r r > （B ）1r r < （C ）1r r = （D ）r 与1r 的关系依C 而定4. 如果矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++--=117404632321111032211a a a a A ，则A 的秩)(A R （ ）。
（A ）必为 （B ）必为3 （C ）可能为2，也可能为3 （D ）可能为3，也可能为45. 设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩等于1，则必有（ ）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性代数练习题二（矩阵）
一、 填空题
1、设A 是m n ⨯阶矩阵，B 是s m ⨯阶矩阵，则T T A B 是 阶矩阵.
2、设A B ,均为m n ⨯阶矩阵，则AB BA =的充要条件是 .
3、设A B ,均为n 阶矩阵，则AB 不可逆的充要条件是 .
4、设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则由A B ≠≠0,0可推出
O
A
B O = ；O A B O -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
1
. 5、 设A B C ,,均为n 阶方阵，且A AB C ≠=0,，则B = 6、 设A B ,为同阶方阵，则A B A AB B +-++=222()(2) 7、设A 为5阶方阵，且A =3，则A -=1 ；A =2 ；
A *= .
8、设A 为3阶方阵，且A =1
2
，则A A -*-=132 . 二、 选择题
1、设A B ,均为n 阶矩阵，且A AB +=0，则（ ）
A A
B E B
C A E B
D A
E B =+==+==+=000000
或和2、设矩阵A B A O A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
12，其中A A 12,都是方阵，若A 可逆，则下列结论成立的是（ ）
A A A
B A A C
A A D
A A 12211212,,可逆不可逆可逆不可逆与可逆性不定与均可逆
3、若A B C ,,均为同阶方阵，且A 可逆，则下列结论成立的是（ ）
A A
B A
C B C
B AB CB A C
C AB O B O
D BC O B O
========若则若则若则若则
4、若A 是（ ）矩阵，则A 必是方阵
A B C
n D 对称矩阵可逆矩阵
阶矩阵的转置矩阵
线性方程组的系数矩阵
5、设A 是非奇异对称矩阵，则（ ）仍是对称矩阵
T
T A
A B
A C
A D
AA -1
3
6、若A 为n 阶方阵，且A a =≠0，则A *=（ ）
n n A a
B a C
a D a --1
1
三、 计算题
1、设A ⎛⎫
⎪--
⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭
1111111111111111，求n A .
2、设A B C ⎛⎫
--⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝⎭4113021,25,0424234，求T
ABC (). 3、解矩阵方程A AX E -=2，其中A -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
111011001，E 为单
位矩阵.
4、设4阶方阵A r r r B r r r ==234234(,,,),(,,,)αβ，其中
r r r 234,,,,αβ均为4维列向量，且行列式A a B b ==,，求
行列式A B +的值.
5、若A B ,均为n 阶方阵，且A B ==-2,3，求行列式
A B *-13的值.
6、设A 为n 阶实方阵，且T AA E A ==-,1，求行列式E A +的值. 四、 证明题
1、已知矩阵A a
b c a b c ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
22
21
11，证明： T AA b a c a c b =---222()()().
（提示：利用范德蒙德行列式）
2、设A 为n 阶实方阵，且T AA E =，证明：行列式A =±1.
答案：
一、1、n s m n A B A B ⨯===1. 2.,, 3.00且可交换或；
n
O
B A B A
C BA AB A A A
O -----⎛⎫--== ⎪
⎝⎭
1111
1
14.(1); 5. 6.7.;3A A *==29;818.16
二、C D A C A B C A B C D C 1. 2. 3., 4.,, 5.,,, 6. 三、
n n n n A E n A E n A A -=⇒==2211.22;2为偶数时，为奇数时，
n X a b -⎛⎫
⎛⎫ ⎪=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭
1021601402. 3.000 4.8() 5.68.02642000
四、（略）.。