【新教材】人教A版(2019)1.4充分条件与必要条件-高中数学必修第一册知识点课时训练

第一章集合与常用逻辑用语

第四节充分条件和必要条件

一、充分条件和必要条件

当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。

二、充分条件、必要条件的常用判断法

1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B 是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可

2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。

3.集合法

在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：

若A⊆B，则p是q的充分条件。

若A⊇B，则p是q的必要条件。

若A=B，则p是q的充要条件。

若A⊈B，且B⊉A，则p是q的既不充分也不必要条件。

三、知识扩展

1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：

(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;

(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;

(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。

知识点针对训练

1．选择题

1.使x>1成立的一个必要条件是( A )

A.x>0

B.x>3

C.x>2

D.x<2

2.已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是( C )

A.0

B.-1

C.

D.

3.下列p是q的必要条件的是( D )

A.p:a=1,q:|a|=1

B.p:a<1,q:|a|<1

C.p:a

D.p:a>b,q:a>b+1

4.下列所给的p,q中,p是q的充分条件的个数是( C )

①p:x>1,q:-3x<-3;②p:x>1,q:2-2x<2;

③p:x=3,q:sinx>cosx;④p:直线a,b不相交,q:a∥b.

A.1

B.2

C.3

D.4

5.如果不等式|x-a|<1成立的充分但不必要条件是

A.

B. ≤a≤

C.a> 或a<

D.a≥或a≤

2.填空题

1.集合A= ,B={x||x-b|

答案:(-2,2)

2.函数f(x)=a- 为奇函数的必要条件是_________.

答案:a=1

3.若向量a=(x,3),x∈R,则|a|=5的一个充分条件是____________.

答案:x=4(或x=-4)

3.解答题

1.分别判断下列“若p,则q”命题中,p是否为q的充分条件或必要条件,并说明理由.

(1)p:sinθ=0,q:θ=0.

(2)p:θ=π,q:tanθ=0.

(3)p:a是整数,q:a是自然数.

(4)p:a是素数,q:a不是偶数.

【解析】(1)由于p:sinθ=0⇐q:θ=0,p:sinθ=0 q:θ=0,

所以p是q的必要条件,p是q的不充分条件.

(2)由于p:θ=π⇒q:tanθ=0,p:θ=π q:tanθ=0,

所以p是q的充分条件,p是q的不必要条件.

(3)由于p:a是整数 q:a是自然数,

p:a是整数⇐q:a是自然数,

所以p是q的必要条件,p是q的不充分条件.

(4)由于p:a是素数 q:a不是偶数,

所以p是q的不充分条件,p是q的不必要条件.

2.若p:-2

1的不等正根,则p是q的什么条件?

【解析】若a=-1,b= ,则Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故p q.

若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为x1,x2,且0

则x1+x2=-a,x1x2=b.

于是0<-a<2,0

所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.

3.已知p:x 2-2x-3<0,若- a

是充分条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围.

【解析】由于p:x2-2x-3<0⇔-1

-a0).

依题意,得{x|-10),

所以解得a>2,

则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2,

即(-∞,2].

4.已知命题p:m∈[-1,1],命题q:a2-5a-3- ≥0,若p是q的充分条件,求a的取值范围.

【解析】因为p是q的充分条件,

所以当-1≤m≤1时,a2-5a-3≥恒成立,

又当-1≤m≤1时, ≤3,所以a2-5a-3≥3,

所以a2-5a-6≥0,所以a≥6或a≤-1.