圆周运动临界问题 极值问题

转盘绕中心 O 旋转的角速度 ω 的取值范围．（取 g＝10 m/s2）
3 质量为 mA 和 mB 的两个小球 A 和 B 用轻质弹簧连在一起，用长为 L1 的细绳 将 A 球系于 O 轴上，使 AB 两球均以角速度 ω 在光滑的水平面上绕 OO′轴做 匀速圆周运动，如图所示，当两球间的距离为 L2 时，将线烧断，线被烧断的 瞬间，两球加速度 aA 和 aB 各是多少？
kRg
A．v≥ kRg
B．v≤ kRg C．v≤ 2kRg
D．v≤ 2
2 如图所示，用细绳一端系着的质量为 M＝0.6 kg 的物体 A 静止在水平转盘上，细绳
另一端通过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质量为 m＝0.3 kg 的小球 B，A 的重心到 O 点
的距离为 0.2 m．若 A 与转盘间的最大静摩擦力为 Ff＝2 N，为使小球 B 保持静止，求
F mB aA＝ mA mA
2(L 1 L ) 2
F
aB＝ mB
2(L 1 L )2
m
B
【答案】
m A
(2L 1 L ); 2 2(L L1)
2
8 【解析】 小球交替地绕 A、B 做匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力 F 不断增大，半周期不断减小．推算出每个半周期的时间及半周期数，就可求出总时间，根据绳子能承 受的最大拉力，可求出细绳断裂所经历的时间．
圆周运动临界问题 极值问题
相关知识复习：
一、由于受静摩擦力作用 二、绳 杆等恰好无作用力或者有承受最大力 三、两个典型模型
1、绳球模型（已知绳长 L，小球质量 m，线速度 V） 1 画出小球的受力示意图 2 写出小球过最高点的动力学方程
3 若小球刚好过最高点， F拉
，此时 V=
2、杆球模型 （已知杆长 L，小球质量 m，线速度 V）
1 若小球刚好过最高点，杆对球的作用力 F
，方向
2 若 v gL ，则杆对球的作用力 F
。
此时 V=
3 若 v gL ，则杆对球的作用力 F
，方向
。
4 若 0 v gL ，则杆对球的作用力 F
，方向
。
四、带电粒子在磁场中的临界问题 极值问题
举例: 1 对滑冰运动员的最大摩擦力为其重力的 k 倍，在水平冰面上沿半径为 R 的圆周滑行的运动员，若仅依 靠摩擦力来提供向心力而不冲出圆形滑道，其运动的速度应满足
4 光滑管形圆轨道，且轨道半径为 R（管径远小于 R），小球的质量为 m，其直径略小
于管径，能在管中无摩擦运动。
.
则：1）小球在最低点的速度 v 至少多大时，才能使小球在管内做完整的圆周运动？
2）当小球在最低点的速度v 5gR 时，小球在轨道最高点对轨道是否有压力？
1
5 如图所示，长度为 l 的细绳上端固定在天花板上 O 点，下端拴着质量为 m 的小球。当 把细绳拉直时，细绳与竖直线夹角为 θ=60°，此时小球静止于光滑的水平面上。
1 如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在 A、B 上需要多长时间? 2 如果细线的抗断拉力为 7 N，从开始运动到细线断裂需经历多长时间?
2
v2 1【解析】 摩擦力提供向心力；根据临界条件，mgk＝m R ，得 v＝ kRg
则 v≤ kRg
【答案】 B 2 【解析】 要使 B 静止，A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A 需要的向心力由 绳拉力和静摩擦力合成，角速度取最大值时，A 有离心趋势，静摩擦力指向圆心 O；角速度取最小值时， A 有向心力运动的趋势，静摩擦力背离圆心 O．
度为 d，手与球之间的绳长为 3d,重力加速度为 g。忽略手的运动半径和空气阻 4
力。
v 1
求绳断时球的速度大小v1 和球落地时的速度大小
。
2
2 问绳能承受的最大拉力多大？ 3改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳 长
应是多少？最大水平距离为多少？
7 如图所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉 A 和 B，相距 0.1 m、长 1 m 的柔软细绳拴在 A 上，另一端系 一质量为 0.5 kg 的小球，小球的初始位置在 AB 连线上 A 的一侧，把细线拉紧，给小球以 2 m/s 的垂直细 线方向的水平速度使它做圆周运动．由于钉子 B 的存在，使线慢慢地缠在 A、B 上．
代入数据后得 x＝8 则所经历的时间
t＝ v 8L0
8
(8 2
1)
LAB
＝
281
8
(8 1) 2
0.1
s≈8.2s
【说明】 运用递推规律写出通式及对数列的求和都是物理解题中常用到的数学方法．物理和数学是紧密
联系的，应用数学处理物理问题的能力是高考要求的五种能力之一，近几年的高考均对该能力提出了较
v2 在第一个半周期内：F1＝m百度文库L0
L0 t1＝ v
v2
在第二个半周期内：F2＝m L0 LAB
(L0 LAB )
t2＝
v
3
v2
在第三个半周期内：F3＝m L0 2LAB
(L0 2LAB )
t3＝
v
……
在第 n 个半周期内：
v2
Fn＝m L0 (n 1)LAB
L0 (n 1)LAB
tn＝
v
L0 1 由于 LAB 0.1＝10 所以 n≤10
（1）小球从开始运动到细线完全缠到 A、B 上的时间
t＝t1＋t2＋…＋t10
＝v
10L
0
1
2
3
(10
1)L
AB
＝ v 10L0
10
(10 2
1)
0.1
≈8.6
s
（2）设在第 x 个半周期时，Fx＝7 N
v2 由 Fx＝m L0 (x 1)LAB
对于 B，F＝mg 对于 A，F＋Ff＝Mrω12 F－Ff＝Mrω22
mg Ff 解得：ω1＝ Mr ＝6.5 rad/s；
mg Ff ω2＝ Mr ＝2.9 rad/s 【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
3【解析】 B 球绕 O 点做匀速圆周运动时，向心力由弹簧的弹力提供，则 F＝mBω2（L1＋L2） 烧断线的瞬间，A、B 受的合外力均为 F＝mBω2（L1＋L2），所以，两球的加速度分别为
高的要求．因此，在平时的练习中，应注意数学知识与物理知识的结合，能在正确分析、清楚地理解试
题所给的物理现象、物理过程的基础上，运用数学知识列式、推导和求解
4
1)当球以角速度 1 g L 做圆锥摆运动时，细绳的张力 T 为多大？水平面受到的压力 N 是多大？ 2)当球以角速度 2 4g L 做圆锥摆运动时，细绳的张力T' 及水平面受到的压力 N ' 各是 多大？
6 小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为 m 的 小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳 突然断掉，球飞行水平距离 d 后落地。如题 24 图所示。已知握绳的手离地面高