江西省南昌市NCS20200607项目第一次模拟测试卷文科数学参考答案和评分标准
2020年江西省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年江西省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西高三-月考模拟文科数学试卷及答案解析
南昌市高三第一次模拟考试文科数学考试时间：____分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。
）1．在复平面内，复数（1+对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．已知集合A={x|y=），B= {y| y-l<0），则A B=（）A. (一∞,1)B. (一∞,1]C. [0,1)D. [0,1]3．已知命题p：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y=x3+sinx的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（）A. p qB. p qC. (p) ( q)D. p (q)4．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x=3，y=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A. =0.4x+2.3B. =2x - 2.4C. =-2x+9.5D. =-0.3x+4.45．执行如图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数x的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46．已知函数f(x)= 则下列结论正确的是（）A. f(x)是偶函数B. f(x)是增函数C. f(x)是周期函数D. f(x)的值域为[-1，+∞)7．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A. 若a∥α，b∥α，则a∥bB. 若a⊥α，a∥b，则b⊥αC. 若a⊥α，a⊥b，则b∥αD. 若a∥α，a⊥b，则b⊥α8．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为（）A.B.C. 1D. 29．已知抛物线C：y2 =8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=3FQ，则|QF|=（）A.B.C. 3D. 210．如图网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A. 2B. 3C. 4D. 511．已知点P在直线x+3y-2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0<x0 +2，则的取值范围是（）A. [一，0）B. （一，0）C. （一，+∞）D. （一∞，一）（0,+∞)12．已知函数f(x)= ，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是（）A. (-∞，0]B. (一∞，1]C. [一3，0]D. [一3，1]填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。
2023届江西省南昌市高三上学期摸底测试(零模)数学(文)试题(解析版)
江西省南昌市2023届高三上学期摸底测试（零模）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，2{|20}B x x x =+-<，则A B =（ ） A ．{1,0,1}- B ．{1,0}-C ．{21,1,2}--，D ．{01,2}， 2．复数112i+的虚部是（ ） A ．25-B ．15-C ．15D ．253．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．4B ．2C ．1D ．124．若变量,x y 满足约束条件200x y y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．“0ab >”是“2b aa b +≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点,,A B C 是球O 的小圆1O 上的三点，若133,4AB BC CA OO ====，则球O 的表面积为（ ） A ．64πB ．100πC ．144πD ．200π7．若直线2232x y =-与圆224x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OA AB ⋅=（ ） A ．22B ．4C ．22-D ．－48．如图，正四棱台1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是棱111111,,C D D A A B 的中点，则下列判断中，不正确的是（ ）A ．11,,,B B D D 共面 B ．F ∈平面ACEC ．FG ⊥平面ACED ．11//A C 平面ACE9．冬残奥会闭幕式上，中国式浪漫再现，天干地支时辰钟表盘再现，由定音鼓构成的“表盘”形象上，60名残健共融表演者用行为模拟“指针”每圈60个时间刻度的行进轨迹．若以图中12点与圆心连线为始边，某时刻指向第1，21，41名残健共融表演者的“指针”为终边的角分别记为,,αβγ，则cos cos cos αβγ++的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．cos α10．设函数()f x 的定义域为R ，且(2)f x +是奇函数，(1)f x +是偶函数，则一定有（ ） A ．(4)0f =B ．(1)0f -=C ．(3)0f =D ．(5)0f =11．若2221(2)x x y -=-+，则2222(2)(2)x y x y +++-+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 的周期为4πB ．对任意的x ∈R ，都有()2π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间[]0,5π上恰好有三个零点D ．函数π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数二、填空题13．若函数()()sin f x x a x =+在πx =时取得极值，则=a _____. 14．执行如下程序框图，输出i 的值为_____.15．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是7，8，9，10，11，12，12，12，13，14，则这组数据的方差为_____.（参考数据：这组数据的平方和为1212）16．已知,OA OC 为正交基底，且,,1OB OA OD OC λμλμ==>>，,P Q 分别为,AC BD 的中点，若1AB CD =，则||PQ 的最小值为_____.三、解答题17．已知公差大于0的等差数列{}n a 满足11a =，且124,,a a a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令22na nb =，求数列{}n b 的前n 项和.18．如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格，抛掷一个质地均匀的骰子，若拋出的点数为1，2，飞机在原地不动；若抛出的点数为3，4，飞机向前移一格；若抛出的点数为5，6，飞机向前移两格.记抛掷骰子一次后，飞机到达1号格为事件A .记抛两次骰子后，飞机到达2号格为事件B .(1)求()P A ； (2)求()P B .19．如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体PABD 和QABC .(1)求证：PQ AB ⊥；(2)若2AB =，求四面体APQB 的体积.20．已知函数()e (1)ln ln (0)x f x a x a x a =+--⋅>. (1)若e a =，求函数()f x 的极值； (2)讨论函数()f x 的单调性. 21．已知()2,0A ，()0,1B 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的两个顶点． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()2,1P 的直线l 与椭圆E 交于C ，D ，与直线AB 交于点M ，求PM PMPC PD+的值． 22．已知曲线1C 的参数方程为3x ty t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-．(1)求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的直角坐标方程； (2)设曲线12,C C 的交点为,A B ，求||AB 的值． 23．已知函数()|26||36|f x x x =---． (1)求不等式()1f x >的解集；(2)若不等式()||f x k x ≤恒成立，求实数k 的取值范围参考答案：1．B【分析】由题可得{}|21B x x =-<<，再求A B 即可.【详解】∵{}{}2|20|21B x x x x x =+-<=-<<，{2,1,0,1,2}A =--所以{}1,0A B ⋂=-. 故选：B. 2．A【分析】根据复数的运算法则即可得到结果 【详解】22112i 12i 12i 12i 12i (12i)(12i)1(2i)555---====-++-- 所以虚部为25-故选：A 3．C【分析】利用抛物线的标准方程可得1p =，由焦点到准线的距离为p ，从而得到结果. 【详解】抛物线22y x =的焦点到准线的距离为p ， 由抛物线标准方程22y x =可得1p =， 故选：C. 4．D【分析】作出可行域，由2z x y =+可得122zy x =-+，根据数形结合求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由2z x y =+可得122zy x =-+，根据截距的几何意义可知，故当2z x y =+过点A 时，z 有最大值，由020y x x y -=⎧⎨+-=⎩解得1,1x y ==，即(1,1)A ， 所以max 1213z =+⨯=. 故选：D 5．C【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由2b a a b +≥可得()220a b b a a b ab-+-=≥， 由已知0a ≠且0b ≠，若0ab <，则0a b -≠，所以，()20a b ->，则()20a b ab-<，矛盾.若0ab >，则()20a b -≥，从而()220a b b a a b ab-+-=≥，合乎题意.综上所述，“0ab >”是“2b aa b +≥”的充要条件.故选：C. 6．B【分析】根据题意，求出小圆的半径r ，由1OO ⊥平面ABC ，结合勾股定理，可求得球O 的半径，计算其表面积得答案.【详解】因为AB BC CA ===ABC 是正三角形，1O 是其外接圆圆心，所以ABC 的外接圆半径1233r O A ==，球O的半径5R ==，所以球O 的表面积为24π4π25100πR =⨯=.故选：B. 7．D【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求出AB ，然后利用向量的数量积的定义及几何意义可求得结果.【详解】由题意得圆224x y +=的圆心(0,0)O到直线x =-d ==所以2AB=AB =所以()cos OA AB OA AB OAB π⋅=-∠ cos OA AB OAB =-∠242AB =-=-，故选：D 8．C【分析】根据正棱台的概念及正棱锥的性质结合条件逐项分析即得. 【详解】延长正四棱台1111ABCD A B C D -的侧棱相交于S ， 则三棱锥S ABCD -为正四棱锥，连接BD ，11,,,B B D D 都在平面SBD 内，故A 正确； 因为,E F 分别是棱1111,C D D A 的中点，所以11//EF A C ，由正棱锥的性质可知11//AC A C ， 所以//EF AC ，即F ∈平面ACE ，故B 正确； 因为点,E G 分别是棱1111,C D A B 的中点， 所以11//EG D B ，11EG AC ⊥，设1111A B C D O =，则SO ⊥平面1111D C B A ，EG ⊂平面1111D C B A ， ∴SO EG ⊥，11,SOAC SO O =⊂平面SAC ，11A C ⊂平面SAC ，∴EG ⊥平面SAC ，显然平面SAC 与平面ACE 不平行，故C 错误；因为11//AC A C ，AC ⊂平面ACE ，11A C ⊄平面ACE ， 所以11//A C 平面ACE ，故D 正确. 故选：C. 9．B【分析】根据两角和的余弦公式化简计算. 【详解】由已知得126030παπ=⨯=，212260330ππβπ=⨯=+，414260330ππγπ=⨯=+， 所以24cos cos cos coscos cos 30330330πππππαβγ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2244cos cos cos sin sin cos cos sin sin30330330330330πππππππππ=+-+-11coscos cos 0302303023030πππππ=--+=， 故选：B. 10．A【分析】根据图象平移变换与奇偶性，可得函数的对称性，可得答案. 【详解】()2f x +图象向右平移2个单位，可得()f x 的图象，且()2f x +是奇函数，()f x ∴的图象关于点()2,0成中心对称，()20f =，()1f x +图象向右平移1个单位，可得()f x 的图象，且()1f x +是偶函数， ()f x ∴的图象关于直线1x =成轴对称，由对称性，对称轴直线1x =关于()2,0成中心对称的直线为3x =， 对称中心()2,0关于直线3x =成轴对称的点为()4,0，即()40f =. 故选：A. 11．D【分析】求解定义域，确定1≥x ，用x 的表达式表示y 4x =，结合1≥x ，求出最小值.【详解】21x -210x -≥，解得：12x ≥， 两边平方得：()22222221(2143)4443x y x x x x x x ==-+-+-=----， 其中2330x -≥，解得：1≥x 或1x ≤-，综上：1≥x ，2121x x ===++-，因为1≥x ，所以210,210x x +>->， 所以原式212144x x x =++-=≥. 故选：D 12．C【分析】利用图象求出函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的周期性可判断A 选项；利用正弦型函数的最值可判断B 选项；在[]0,5πx ∈时，解方程()0f x =可判断C 选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断D 选项.【详解】因为()02sin 1f ϕ==，可得1sin 2ϕ=， 因为函数()f x 在0x =处附近单调递增，所以，()π2πZ 6k k ϕ=+∈， ()ππ2sin 2π2sin 66f x x k x ωω⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为3π3ππ2sin 1226f ω⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则3ππ1sin 262ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 在3π2x =处附近单调递减，且()f x 在0x >时在3π2x =处第一次取值为12-， 所以，3ππ7π266ω+=，可得23ω=， ()2π2sin 36x f x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为2π3π23T ==，A 错； 对于B 选项，2π4ππ2sin 2396f ⎛⎫⎛⎫=+≠ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，2π3⎛⎫⎪⎝⎭f 不是函数()f x 的最大值，B 错；对于C 选项，当05πx ≤≤时，π2π7π6362x ≤+≤， 由()0f x =可得{}2ππ,2π,3π36x +∈，可得5π11π17π,,444x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭， 所以，函数()f x 在区间[]0,5π上恰好有三个零点，C 对；对于D 选项，π2ππ22sin 2sin 43463x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故函数π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数，D 错.故选：C. 13．π-【分析】求出函数的导数，由题意令导数等于0，求得a 的值，验证确定答案. 【详解】由()()sin f x x a x =+可得()sin ()cos f x x x a x '=++，函数()()sin f x x a x =+在πx =时取得极值，故(π)sin π(π)cos π0f a '=++=， 解得πa =- ，当π,πx x <→时，sin 0,(π)cos 0,()0x x x f x '>->∴>， 当π,πx x >→时，sin 0,(π)cos 0,()0x x x f x '<-<∴<， 即在πx =时，函数取得极值， 故πa =-， 故答案为：π- 14．5【分析】模拟运行循环体即可求解.【详解】第一次循环：121,=3233a i =⨯=，不满足15a =，第二次循环：131,=4344a i =⨯=，不满足15a =，第三次循环：141,=5455a i =⨯=，满足15a =，此时输出5i =，故答案为：5 15．4.56##11425【分析】将方差公式展开整理，代入相关数据计算，可得答案. 【详解】由题意得1(78910111231314)10.810x =+++++⨯++= ， 根据方差公式22222222121211[()()()][]n n s x x x x x x x x x nx nn=-+-++-=+++- ，可得221(12121010.8) 4.5610s =-⨯= ， 故答案为：4.5616【分析】由,OA OC 为正交基底，且,,1OB OA OD OC λμλμ==>>，结合向量的线性运算和数量积运算可得0AB CD ⋅=，再由,P Q 分别为,AC BD 的中点，可得()()1122PQ OB OD OA OC =+-+12AB CD =+，再利用基本不等式可求得其最小值.【详解】因为,OA OC 为正交基底，所以0OA OC ⋅=，因为,,1OB OA OD OC λμλμ==>>，所以(1),(1)AB OA CD OC λμ=-=-，所以(1)(1)0AB CD OA OC λμ⋅=--⋅=，因为,P Q 分别为,AC BD 的中点，PQ OQ OP =-， 所以()()1122PQ OB OD OA OC =+-+ 12AB CD =+ ()2AB CD =+ 222AB AB CD CD =+⋅+ 2212222AB CD AB CD =+≥=， 当且仅当AB CD 时取等号，所以||PQ17．(1)n a n =；(2)1443n +-.【分析】（1）利用等比中项的概念及等差数列基本量的运算即得；（2）利用等比数列求和公式即得.（1）设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等比数列，则2214a a a =，即2(1)1(13)d d +=⨯+，即20d d -=，解得1d =或0d =（舍），所以()1111n a a n d n n =+-=+-=；（2）由题可知22224n a n n n b ===，14b =，14n nb b +=， 所以{}n b 是以4为首项，4为公比的等比数列，所以()11241444143n n n n S b b b +⨯--=+++==-. 18．(1)13(2)13【分析】（1）直接利用古典概型的概率公式求解即可；（2）对事件B 的发生分三种情况：①第一次抛3，4，第二次抛3，4；②第一次抛1，2，第二次抛5，6；③第一次抛5，6，第二次抛1，2；可用独立事件的概率乘法公式求解，也可用列举法套用古典概型的概率公式求解；（1）抛掷一次骰子，出现的点数有1，2，3，4，5，6共6种等可能结果，事件A 包含3，4两种结果，所以()2163P A ==； （2）抛一次骰子，记点数为1，2是D ，点数为3，4是E ，点数为5，6是F ，抛一次骰子，D ，E ，F 等可能发生，抛两次骰子所有可能结果有(),D D ，(),D E ，(),D F ，(),E D ，(),E E ，(),E F ，(),F D ，(),F E ，(),F F 9种可能情况，其中到达2号格有(),E E ，(),D F ，(),F D 三种结果，所以()3193P B ==. 19．(1)证明见解析【分析】（1）连接CD 与AB 相交于点O ，证得O 为AB 的中点，连接PO ，QO ，利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面POQ ，即可得到PQ AB ⊥；（2）过点,P Q 分别作11,PP CD QQ CD ⊥⊥，得到11,P Q 分别为ABD △和ABC 的中心，分别求得1,,PP PQ OA 的长度，结合AO ⊥平面POQ ，及2A PQB A POQ V V --=，即可求解.（1）证明：因为ABD △与ABC 共面，所以连接CD 与AB 相交于点O ，因为PABD 和QABC 是相同的正四面体，所以四边形ACBD 为菱形，则O 为AB 的中点，连接PO ，QO ，因为PA PB =，QA QB =，所以,Q PO AB O AB ⊥⊥，又因为PO QO O ⋂=，所以AB ⊥平面POQ ，所以PQ AB ⊥；（2）解：在四边形DPQC 中，过点,P Q 分别作11,PP CD QQ CD ⊥⊥，垂足分别为11,P Q ，如图所示，可得11,P Q 分别为等边ABD △和等边ABC 的中心，因为2AB =，在等边ABD △中，可得3OD =，则1233DP =，133OP =， 在直角1DPP 中，可得2211263PP DP DP =-=， 同理可得133OQ =，所以1111233PQ PQ OQ OP ==+=， 由（1）知，AB ⊥平面POQ ，可得AO ⊥平面POQ ， 所以1422239A PQB A POQ POQ V V S OA --==⨯⨯⨯=△.20．(1)极小值为1，无极大值;(2)当01a <≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 的单调递减区间为()0,ln a ，单调递增区间为()ln ,a +∞.【分析】(1)根据题意求得()'1()e e 1x f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，分01x <<和1x >讨论'()f x 的正负，从而确定函数()f x 的单调区间和极值；(2)求导得'e (1)ln ()(0)x x a x af x x x +--=>，令()e (1)ln xg x x a x a =+--，对()g x 求导，当01a <≤时，通过对()g x 的正负判断，从而得'()f x 的正负及()f x 的单调区间；当1a >时，求得'(ln )0f a =，从而分ln x a>和0ln x a <<讨论'()f x 的正负，从而确定函数()f x 的单调区间即可.（1）解：e a =时，()e (1e)ln x f x x x =+--，()'11()e (1e)e e 1x x f x x x ⎛⎫=+--=-+- ⎪⎝⎭， 当1x >时，e e 0x ->，110x->，所以()'0f x >，即()f x 在()1,+∞上单调递增， 当01x <<时，e e 0x -<，110x -<，所以()'0f x <，即()f x 在()0,1上单调递减， 则()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；所以函数()f x 的极小值为()11f =，无极大值.（2） 解：因为'ln e (1)ln ()e (1)(0)x xa x a x a f x a x x x +--=+--=>， 令()e (1)ln x g x x a x a =+--，则'()(1)x x g x e xe a =++-，（i ）当01a <≤时， '()0g x > ，()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()0ln 0g x g a >=->，所以()'0f x >在()0,∞+上恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；（ii ）当1a >时，()'ln ln ln (ln )e 0ln a a a f a a a-=-+=， 当ln x a >时，e 0x a ->，ln 0x a x->，()'0f x >，即()f x 在()ln ,a +∞上递增， 当0ln x a <<时，e 0x a -<，ln 0x a x -<，()'0f x <，即()f x 在()0,ln a 上递减. 综上，当01a <≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 的单调递减区间为()0,ln a ，单调递增区间为()ln ,a +∞.21．(1)2214x y += (2)2PM PM PC PD+= 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标直接可得椭圆方程；（2）设直线方程，可得点M ，联立直线与椭圆结合韦达定理，再根据两点间距离化简可得解.（1）由()2,0A ，()0,1B 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的两个顶点， 得2a =，1b =， 即22:14x E y +=； （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆有且只有一个公共点，不成立，所以设()11,C x y ，()22,D x y ，()33,M x y ，直线l 的斜率为k ，则(12P x x PC x =-- 同理(22x P D =-(32x P M =-33122222PM P x x x x M PC PD +--=+--． 设l ：()12y k x -=-，而AB ：12x y +=，联立解得3421k x k =+， 所以342222121k x k k -=-=++； 联立直线l 与椭圆E 方程，消去y 得：()()2224182116160k x k k x k k +--+-=， 所以()12282141k k x x k -+=+，2122161641k k x x k -=+， 所以()()()1212121212124411222224x x x x x x x x x x x x +-+-+=-=------++()()2222821441218211616244141k k k k k k k k k k --+=-=+---⨯+++， 所以()33122222122221x x k x x k --+=⨯+=--+， 即2PM PM PC PD+=． 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．0y -=，244x y =+(2)16【分析】（1）消参可得曲线1C 的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化可得2C 的直角坐标方程；（2）根据极坐标的几何意义，将曲线1C 化成极坐标3πθ=，再分别代入3πθ=和43πθ=到2C 的极坐标方程求解即可.（1） 因为曲线1C的参数方程为y ==⎪⎩（t 为参数），所以曲线1C0y -=. 因为曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-，即sin 2ρρθ-=2y =，()()2222,2x y y y +=+≥-，所以曲线2C 的直角坐标方程为244x y =+；（2）因为曲线1C0y -=，所以曲线1C 的极坐标方程为3πθ=， 令3πθ=，则21sin 3A ρπ==-43πθ=，则241sin 3B ρπ==-所以16AB ==． 23．(1)111,5⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)[)1,+∞【分析】（1）分类讨论去绝对值后再求解不等式即可；（2）讨论0x =，当0x ≠时6623x k x ---≥，利用绝对值的三角不等式求解6623x x---的最大值即可； （1） (),22636512,23,3x x f x x x x x x x <⎧⎪=---=-+≤≤⎨⎪->⎩，当2x <时，1x >，即12x <<，当23x ≤≤时，5121x -+>，解得115x <，即1125x ≤<， 当3x >时，1x ->，解得1x <-，此时无解，综上：不等式()1f x >的解集为111,5⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）0x =时上述不等式显然成立，当0x ≠时，上述不等式可化为()26362366x x f x x k xx x ---=---≥=， 令()()666623231x x x f g x x xx ==---≤--+=，当且仅当02x <≤时等号成立， 所以1k，即实数k 的取值范围为[)1,+∞．。
2020届江西省南昌市第一次模拟测试数学(文)试题(解析版)
2020届江西省南昌市第一次模拟测试数学（文）试题一、单选题1．己知集合A ={0，1，2），B ={x ∈N A }，则B =（ ） A ．{0} B ．{0，2}C ．{0，12， 2} D ．{0， 2， 4}【答案】B【解析】12，，，根据x ∈N ，可得结果. 【详解】由题可知：A ={0，1，2），B ={x ∈N A }时，则0x N =∈，符合时，则12x N =∉，不符合时，则2x N =∈，符合 所以{}0,2B = 故选：B 【点睛】本题考查集合元素的求法，审清题意，细心计算，属基础题.2．在复平面内，复数1z =对应的点为Z ，将向量OZ uuu r绕原点O 按逆时针方向旋转23π，所得向量对应的复数是（ ）A ．122-+ B ．122i -+ C ．122-- D ．122i -- 【答案】A【解析】根据复数，可得点Z 坐标，进一步可得OZ uuu r以及OZ u u u r ，然后根据三角函数的定义，可得旋转后所求复数的终点坐标，最后可得结果. 【详解】由题可知：()1,0Z ，()1,0OZ =u u u r且1OZ =u u u r设旋转后的所求复数的终点(),P x y则21cos 32x OZ π==-u u u r ，2sin 32y OZ π==u u u r所以13,2P⎛⎫-⎪⎝⎭，则所求的复数为132i-+故选：A【点睛】本题考查复数的几何意义，掌握复数在复平面中点的表示以及向量的表示，同时识记三角函数的概念，审清题意，耐心计算，属基础题.3．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）A．16 B．12 C．8 D．6【答案】B【解析】根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.【详解】由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，所以该正三棱柱的侧面积为32212⨯⨯=故选：B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题. 4．《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：22334422,33,4,33881515===则按照以上规律，若m mmn n=“穿墙术”，则m，n满足的关系式为（）A．n =2m-1 B．n=2(m-1) C．n=(m-1)2D．n=m2 -1【答案】D【解析】根据不完全归纳法，以及根式中的分子和分母的关系，可得结果.【详解】由题可知：==，====则可归纳：==， 所以21n m =- 故选：D 【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，仔细观察，发现特点，对选择题以及填空题，常可采用特殊值以及不完全归纳法解决问题，化繁为简，属基础题.5．己知{a n }是等差数列，且a 3+a 4=-4，a 7+a 8=-8，则这个数列的前10项和等于（ ） A ．-16 B ．-30C ．-32D ．-60【答案】B【解析】计算3478a a a a +++，然后根据等差数列的性质，可得56a a +，最后根据等差数列的前n 项公式，计算10S ，并结合11056a a a a +=+，可得结果. 【详解】 由题可知：数列{a n }是等差数列且34784,8a a a a +=-+=-则347812a a a a +++=-，又3754862,2a a a a a a +=+= 所以565622126a a a a +=-⇒+=- 由()11010102a a S +⨯=，且11056aa a a +=+所以()1101010302a a S +⨯==-故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，在等差数列中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，熟练使用性质，以及对基本公式的记忆，属基础题.6．己知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，抛物线上一点的M 的纵坐标y 0，则y 0>2是|MF |>2A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】根据点M 的纵坐标的范围，可得其横坐标的范围，然后根据抛物线的定义，可知MF 的范围，然后根据充分、必要条件的概念，可得结果. 【详解】由题可知：()1,0F ，设()00,M x y 由点M 的纵坐标02y >，则其横坐标01x > 由01MF x =+，所以2MF > 可知02y >是2MF >的充分条件 若2MF >，则00121MF x x =+>⇒>则20042y y >⇒<-或02y >所以02y >不是2MF >的必要条件 故02y >是2MF >的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查抛物线的定义以及充分、必要条件的概念，对抛物线问题经常要联想到焦点和准线，简单计算，属基础题.7．2013年至201 9年我国二氧化硫的年排放量（单位：万吨）如下表，则以下结论中错误的是（ ）A ．二氧化硫排放量逐年下降B ．2018年二氧化硫减排效果最为显著C ．2017年至2018年二氧化硫减排量比2013年至2016年二氧化硫减排量的总和大D ．2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所增加 【答案】D【解析】采用逐一验证法，根据数据的简单分析，可得结果.A 正确根据数据可知，二氧化硫排放量逐年下降 B 正确从2017年到2018年，下降了756.24万吨， 是所有相邻年份二氧化硫减排量最大的， 所以2018年二氧化硫减排效果最为显著 C 正确2017年至2018年二氧化硫减排量为756.24万吨2013年至2016年二氧化硫减排量的总和为2217.9-1974.4=243.5万吨 所以243.5<756.24，故C 正确 D 错2017年至2018年二氧化硫减排量为756.24万吨2018年至2019年二氧化硫减排量为1102.86-1014.6=88.26万吨 故2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所减少. 故选：D. 【点睛】本题考查对数据的分析，审清题意，简单计算，属基础题.8．已知双曲线C ： 2222x y a b-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D +l【答案】D【解析】假设已知直线的倾斜角为θ3πθ=，可得sin ,cos θθ，然后根据OF OA =，可得点A 坐标，最后代入双曲线方程化简并结合()1ce e a=>，可得结果. 【详解】设已知直线的倾斜角为θ由题可知：tan 3πθθ==，所以31sin ,cos 22θθ== 又OA OF c ==，所以cos ,sin 33A c c ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即3,2c c A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以2222222232321144c c c c a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=⇒-= 又222b c a =-，所以()222223144c c a c a -=-，又c e a= 所以()22231441e e e -=- 化简可得：42840e e -+=，所以()2228816423312e ±-==±=±所以31e =±，又1e >，所以31e =+ 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率，关键在于得到点A 坐标，考验计算能力，属中档题.9．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.当1x >时，()1ln()f x x x=-，由1,y y x x =-=在()1,+∞递增， 所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos xf x eπ=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而ty e =是增函数所以()cos xf x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A 【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题. 10．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若30,40,30,AE cm EF cm FC cm ===60AEF CFE ∠=∠=o 则该正方形的边长为（ ）A ．40cmB ．6cmC ．2cmD ．14cm【答案】D【解析】利用向量的方法，将AC u u u r 用,,AE EF FC u u ur u u u r u u u r 来进行表示，然后进行平方，可计算AC u u u r，最后可得结果.由题可知：60AEF CFE ∠=∠=o ，所以AE //FC 由E C EF FC A A +=+u u u r u u u u r u u r u u u r则2222222AE EF FC AE EF A AC E FC EF FC +++=⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u rcos120600AE EF AE EF ⋅==-o u u u r u u u r u u u r u u u rcos0900AE FC AE FC ⋅==o u u u r u u u r u u u r u u u rcos120600EF FC EF FC ⋅==-o u u u r u u u r u u u r u u u r所以22223040301200180012002800AC =++-+-=u u u r则AC =u u u r，所以sin 45AB AC =⋅=o故选：D 【点睛】本题考查向量的线性表示以及数量积公式的应用，关键在于E C EF FC A A +=+u u u r u u u u r u u r u u u r，考验观察能力以及计算能力，属中档题. 11．己知x >y >0，x ≠1，y ≠1，则（ ） A ．x a> y a(a ∈R ，a ≠0）B ．yx e e y x> C ．x y > y xD ．1132x y -->【答案】B【解析】采用逐一验证法，对,,a x y 取特殊值，进行比较可得,,A C D 错，通过构造函数()mf m me =，利用函数单调性进行比较，可得结果.【详解】A 错误，当1a =-时，1111,x y x y--==， 由0x y >>，11x y< 所以A 错误 B 正确令()mf m me = ，则()'m m fm e me =+当0m >时，()'0fm >，所以函数()f m 在()0,∞+单调递增，且0x y >>，所以有()()f x f y >，即x yxye e xe ye y x>⇒>， C 错误当4,3x y ==时，34464,381==，3443<， 所以C 错误D 错误，当11,23x y ==时，21321111263611113,2327416--====由11662716>，所以1166112716<，故213232--<所以D 错误 故选B 【点睛】本题考查式子比较大小，选择题可使用对未知数取特殊值，化繁为简，熟练掌握比较式子大小的常用方法，比如：作差法，函数单调性等，属基础题.12．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 【答案】C【解析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【详解】 A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD 而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF //BC 1 B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D 又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥ 由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC 所以1B M AE ⊥，所以存在 C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离， 所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B 所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离， 所以1h 为定值所以四面体F A 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C 【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.二、填空题13．已知向量a r ，b r =(1)，且a r 在b r 方向上的投影为12，则a b ⋅r r 等于__________【答案】1【解析】利用向量的投影概念，计算出向量b r的模长，结合向量的数量积，可得结果. 【详解】a r 在b r 方向上的投影为12，所以有1cos 2a θ⋅=r，且2b =u u r ，所以1cos 212b a b a θ⋅=⋅⋅=⨯=uu r r r r故答案为：1 【点睛】本题考查向量的投影的概念，以及向量数量积公式的应用，属基础题. 14．已知函数31()f x x x=-，则''1(lg 2)(lg )2f f -=__【答案】0【解析】对函数求导后，利用对数的运算结合偶函数的性质可得结果. 【详解】由题可知：函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞ 由'221()3f x x x=+， 可知()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数， 且''''1(lg 2)(lg )(lg 2)(lg 2)2f f f f -=--， 又因为''(lg 2)(lg 2)f f =-， 则有''1(lg 2)(lg )02f f -= 故答案为：0. 【点睛】本题考查函数的求导运算，偶函数的性质和对数的运算，属基础题. 15．己知1sin()43x π+=，则5cos()4x π-=_____【答案】13-【解析】利用特殊角配凑出题中已知角，再结合诱导公式可得结果. 【详解】553cos()cos()cos 444424x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即51cos()sin .443x x ππ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭ 故答案为：1.3- 【点睛】本题考查诱导公式，角度的配凑法，属基础题.16．如图，一列圆C n ：x 2 +(y -a n )2=r n 2(a n >0，r n >0)逐个外切，且所有的圆均与直线y =±相切，若r 1=1，则a 1=___，r n =______【答案】3 12n -【解析】采用第n 个圆，并假设切点n A ，利用22221,n n nn A C n A C r k -==，可得3n n a r =，代值计算可得1a ，然后根据圆与圆相切，可得()122n n r r n -=≥，利用等比数列通项公式可得结果. 【详解】设第n 个圆心为()0,n n C a ，半径为n r ， 且与22y x =的切点为(),22n n n A x x 则直线n n A C 的斜率为22n n n nA C nx a k x -=所以22221922n nn n nx a x a x -⋅=-⇒=①又()222222n n n n nn A C x x a r =+-=②由①②可知：3n n a r =③， 所以当11r =时，则13a = 又113n n a r --=④由③-④可知：()113n n n n a a r r ---=- 又11n n n n a a r r ---=+， 所以()122n n r r n -=≥所以数列{}n r 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n r -=故答案为：3，12n - 【点睛】本题考查直线与圆几何关系以及等比数列，本题难点在于找到3n n a r =，考验分析能力以及逻辑推理能力，属难题.三、解答题17．如图，D 是在△ABC 边AC 上的一点，△BCD 面积是△ABD 面积的2倍，∠CBD =2∠ABD =2θ．（Ⅰ）若θ=6π，求sin sin A C的值； （Ⅱ）若BC =4，AB 2，求边AC 的长． 【答案】（Ⅰ）sin 23sin 3A C =；（Ⅱ）210AC =【解析】（Ⅰ）利用三角形面积公式以及2BCD ABD S S ∆∆=并结合正弦定理sin sin AB BCC A=，可得结果.（Ⅱ）根据2BCD ABD S S ∆∆=，可得θ，然后使用余弦定理2222sin AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，可得结果.【详解】（Ⅰ）23CBD ABD π∠=∠=，所以11sin 2sin 2326BC BD AB BD ππ⋅=⨯⋅ 所以sin 23sin 333BC A AB C =⇒==； （Ⅱ）11sin 22sin 22BC BD AB BD θθ⋅=⨯⋅， 所以242sin cos 222cos 2θθθθ⨯=⨯⇒=，所以4πθ=，334ABC πθ∠==， 所以22168242240AC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以边210AC =． 【点睛】本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.18．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A -BCB 1是棱长为2的正四面体.（Ⅰ）求证：AC ⊥CC 1； （Ⅱ）求三棱锥B -ACC 1的体积． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ22 【解析】（Ⅰ）取1BB 的中点E ，根据正四面体特点，可知AO ⊥平面11BCC B ，1BCB ∆为正三角形，然后根据11,BB AO BB CE ⊥⊥，可得1BB ⊥平面AEC ，最后可得结果. （Ⅱ）计算1BCC S △以及AO ，使用等体积法11B ACC A BCC V V --=，并结合锥体体积公式，可得结果. 【详解】（Ⅰ）如图，取1BB 的中点E ，连接CE 交1BC 于点O ， 则点O 为1BCB △的重心，连接AO ，设1BC 交1B C 于点F ．依题意点A 在底面的投影为1BCB △的重心O ， 即AO ⊥平面11BCC B ，所以1AO BB ⊥． 因为1BCB △是正三角形，所以1CE BB ⊥，,,AO CE O AO CE ⋂=⊂平面AEC则1BB ⊥平面AEC ，又AC ⊂平面AEC ，则1BB AC ⊥，由1BB //1CC 所以1CC AC ⊥．（Ⅱ）由1A BCB -是棱长为2的正四面体， 所以2333CO CE ==，2AC =， 22263AO AC CO =-=因为12BC CC ==，1120BCC ∠=︒， 得111113sin 223222BCC S BC CC BCC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△所以1112622333B ACC A BCC V V --===． 【点睛】本题考查线面、线线位置关系，还考查等体积法的使用，熟练掌握线面垂直的判定定理以及性质定理，考验推理论证能力，属中档题.19．某市2013年至2019年新能源汽车y （单位：百台）的数据如下表：（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该市2021年新能源汽车台数；（Ⅱ）该市某公司计划投资600台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩．按要求，充电枪的总把数不少于该市2021年新能源汽车预测台数，若双枪同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为25元，10元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大日利润.77211140,364i i i i i x x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为717221ˆ,i ii ii x y nxybxnx ==-=-∑∑ˆa y bx=- 【答案】（Ⅰ）ˆy =23x +,2100台；（Ⅱ）双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时，每天的利润最大，最大利润为25500元．【解析】（Ⅰ）计算,x y ，根据7172217ˆ7i ii ii x y xybxx ==-=-∑∑，可得ˆb，进一步可得a ，然后可得方程，最后代值计算，可得结果.（Ⅱ）假设一拖四群充，双枪同充分别安装m 台，600m -台，根据42(600)2100m m +-≥，可得m 的范围，然后计算日利润4050(600)z m m =+-，依据不等式可得结果. 【详解】（Ⅰ）依题意知123456747x ++++++==，58810141517117y ++++++==，77211140,364ii i i i xx y ====∑∑，71722173647411ˆ21407167i ii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆ11243a y bx=-=-⨯=， 则y 关于x 的线性回归方程23y x =+．令9x =得：ˆ29321y=⨯+=， 故预测2021年该市新能源汽车大约有2100台．（Ⅱ）设一拖四群充，双枪同充分别安装m 台，600m -台， 每天的利润为z 元，则42(600)2100m m +-≥，即450m ≥4050(600)z m m =+-300001030000450025500z m =-≤-=所以当450m =时，z 取最大值25500．故当双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时， 每天的利润最大，最大利润为25500元． 【点睛】本题考查线性回归方程，本题关键在于识记公式，考验计算能力，属基础题.20．已知函数，f (x )=33x -mx 2-m +ln (1-m )，(m <1)．（Ⅰ）当m =12时，求f (x )的极值； （Ⅱ）证明：函数f (x )有且只有一个零点． 【答案】（Ⅰ）函数极大值为1ln 22--，极小值为 2ln 23--；（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）利用导数，通过'()f x 的符号，判断出函数的单调性，找到极值点，可得结果.（Ⅱ）计算'(())2x f x x m =-，采用分类讨论的方法，0m =，0m <以及01m <<，判断函数的单调性，可得结果. 【详解】（Ⅰ）32111()ln 3222x f x x =--+'2()f x x x =-，则()f x 在(,0)-∞递增，在(0,1)递减，在(1,)+∞上递增， 所以函数极大值为1(0)ln 22f =--， 极小值为2(1)ln 23f =--． （Ⅱ）2'()2(2)x mx x x m f x =-=-①当0m =时，()'20fx x =≥，3()3x f x =只有一个零点0，符合题意；②当0m <时，()f x 在(,2)m -∞单调递增， 在(2,0)m 单调递减，在(0,)+∞单调递增，(0)ln(1)f m m =-+-，令()ln(1)g m m m =-+-，(0)m <，显然()g m 单调递减，有()(0)0g m g >=，即(0)0f >， 则()f x 只有一个零点，符合题意；③当01m <<时，()f x 在(,0)-∞单调递增， 在(0,2)m 单调递减，在(2,)m +∞单调递增，(0)ln(1)f m m =-+-，(01)m <<，由②构造的函数知， (0)ln(1)0f m m =-+-<，则()f x 只有一个零点，符合题意．综上所述，1m <时，函数()f x 有且只有一个零点． 【点睛】本题考查导数的应用，关键在于对含参数的函数单调性的判断，熟练使用分类讨论的思想以及学会构造函数，使问题化繁为简，属难题.21．定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆E 1，E 2，它们的长短半轴长分别为a 1，b 1和a 2，b 2，若满足a 2=a 1k ，b 2=b 1k （k ∈Z ，k ≥2），则称E 2为E 1的k 级相似椭圆，己知椭圆E 1:22214x y b +=1，E 2为E 1的2级相似椭圆，且焦点共轴，E 1与E 2的离心率之比为2． （Ⅰ）求E 2的方程；（Ⅱ）已知P 为E 2上任意一点，过点P 作E 1的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．①证明：E 1在A (x 1，y 1)处的切线方程为11214x x y yb +=1； ②是否存在一定点到直线AB 的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）222:1169x y E +=（Ⅱ）①见解析；②存在一定点()0,0C 到直线AB 的距离为定值1．【解析】（Ⅰ）根据相似椭圆的概念，可得12a =，24a =，221b b =，然后根据212247e e =，并结合离心率ce a=，简单计算，可得结果. （Ⅱ）①联立方程1122143143x x y yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得关于x 的一元二次方程，然后使用∆，并根据221134120x y +-=，可得结果.②根据①的结论，可得在点B 的切线方程22143x x y y +=，根据10102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得直线AB 的方程，假设定点，使用点到线的距离公式，根据式子为定值，可得结果. 【详解】（Ⅰ）由题意知12a =，24a =，221b b =，则222211112144a b b e a --==，22222222221616a b b e a --==， 而()221124221144441647b e e b b -===-+，解得213b =，23b =， 故椭圆221:143x y E +=，椭圆222:1169x y E +=．（Ⅱ）①联立椭圆与直线方程，11221122143361240143x x y y x x x y x y ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩， 点A 在椭圆221:143x y E +=上，有221134120x y +-=， 所以()()2222111136121241234120x y x y ∆=--=+-=，即直线与椭圆相切．所以过点A 的切线方程为11143x x y y +=． ②由①知，过点B 的切线方程为22143x x y y +=， 设()00,P x y ，则22001169x y +=，即2200916144x y +=， 两条切线都经过点P ，则满足方程组10102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 那么点A 和点B 都在直线00143x y x y +=上， 则直线AB 的方程为00143x y x y +=，即003412x x y y += 假设存在一定点(),C C C x y 到直线AB 的距离为定值，即00341212C C x x y y d ⋅+⋅-==为定值， 则0C C x y ==，1d =，故存在一定点()0,0C 到直线AB 的距离为定值1．【点睛】本题考查椭圆的综合应用，考验分析能力以及计算能力，属难题.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线C 1的普通方程为(x -1)2 +y 2=1，曲线C 2的参数方程为.x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（Ⅰ）求曲线C 1和C 2的极坐标方程：（Ⅱ）设射线θ=6π(ρ>0)分别与曲线C 1和C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 【答案】（Ⅰ）2cos 0ρθ-=，22222cos 3sin 60ρθρθ+-=;（Ⅱ）||AB = 【解析】（Ⅰ）根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可得曲线C 1的极坐标方程，然后先计算曲线C 2的普通方程，最后根据极坐标与直角坐标的转化公式，可得结果. （Ⅱ）将射线θ=6π分别与曲线C 1和C 2极坐标方程联立，可得A ，B 的极坐标，然后简单计算，可得结果.【详解】（Ⅰ）()22221120x y x y x -+=⇒+-=由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 所以曲线1C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=，曲线2C 的普通方程为232360x y +-=则曲线2C 的极坐标方程为22222cos 3sin 60ρθρθ+-=（Ⅱ）令(0)6πθρ=>，则1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则2222222cos 3sin 6066ππρρ+-=，即22924ρ=，所以2||3OB ρ==，1||2cos 6OA πρ===，故||||||3AB OA OB =-=-． 【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中ρ的几何意义，属基础题.23．已知a >0，b >0，a +b =2.（Ⅰ）求111a b ++的最小值； （Ⅱ）证明：2.a b b a ab+≥ 【答案】（Ⅰ）最小值为43；（Ⅱ）见解析 【解析】（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果； （2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.【详解】（Ⅰ）11111[(1)]131a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭则1111421313b a a b a b +⎡⎤+=++≥⎢⎥++⎣⎦ 当且仅当21a b a b +=⎧⎨=+⎩，即32a =，12b =时， 所以111a b ++的最小值为43． （Ⅱ）要证明：2a b b a ab +≥， 只需证：20a b b a ab+-≥， 即证明：2220a b ab+-≥， 由0,0a b >>，也即证明：222a b +≥．因为2a b +≤，所以当且仅当a b =1≥， 即222a b +≥，当1a b ==时等号成立． 所以2.a b b a ab+≥ 【点睛】本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.。
2020年江西省高考数学(文科)模拟试卷(1) 含详细答案解析
17．（ 12 分）已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，满足 Sn＝ 2an﹣ 2．
（ 1）求数列 { an} 的通项公式；
（ 2）设 bn＝（ 2n﹣ 1） an，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn．
18．（ 12 分）每当《我心永恒》这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时，便会想起电影《泰
90），[90 ，100] ，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 （ ）
A ．72.5
B ．75
C． 77.5
D． 80
??2 ??2
4．（ 5 分）过双曲线 ??2 - ??2 = 1（ a＞ 0， b＞ 0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于
A，
B 两点，若线段 AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（
16 4
PF1F2 的面积为（
）
A ．8
B ．4√2
C． 4
二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
D． 2 √2
13．（ 5 分）函数 f（ x）＝（ x+2019 ）?lnx 在 x＝ 1 处的切线方程为
．
14．（ 5 分）已知数列 { an} 满足 a1+2a2+3a3+… +nan＝ 2n，则 an＝
2．（ 5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z＝（ 1+i ）（ 2+ i），则其共轭复数 ??= （ ）
A ．1+3 i
B ．1﹣ 3i
C．﹣ 1+3i
D．﹣ 1﹣ 3i
3．（ 5 分）某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这
l00 名
数学文科答案
江西省重点中学盟校2020届高三第一次联考数学文科试卷参考答案与试题解析选择题填空题解答题17、【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，7348a a d -==，即2d =，…………………………………………………………… 2分3113a a ∴-=+，1562a a =+-，…………………………………………………………………… 3分 31a -是11a +，52a -的等比中项，()()()2315112a a a ∴-=+⋅-，即()()()2111+3=16a a a ++，解得13a =.…………………………………………………………………………………5分∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.……………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭.……………………………… 7分1212n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，…………………………………………………………10分 由()232315n n <+，得6n <.…………………………………………………………… 11分∴使得215n T <成立的最大正整数n 的值为5.………………………………………… 12分 18、【解析】(I) 2×2列联表如下：K 2＝()250310271037301320⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈9.98＞6.635 (5)分所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．…………………6分（列联表填对得两分）(II) 设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A ，B ，C ，赞成“使用微信交流”的人为a ，b ，则从5人中随机选取2人有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共10种结果，其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb 、Ca 、Cb ，共9种结果，………………………………………………………………………10分所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P ＝910． ………………12分（未列举只得2分）19、【解析】（Ⅰ）在图2中，四边形ABCD 是矩形， AB CD ∴,又AE CD ⊥,AE AB ∴⊥………………………………………………………………1分 又,AD AB AEAD A ⊥=,AB ∴⊥平面EAD .…………………………………………………………………………2分 ED ⊂平面EHD ,AB ED ∴⊥,…………………………………………………………………………………3分又,AE ED AE AB A ⊥=,ED ∴⊥平面EAB .…………………………………… 4分又ED ⊂平面EHD∴平面EHD ⊥平面EAB .……………………………………………………………6分（Ⅱ）由（I ）可知，AB ⊥平面EAD ，AB ⊂平面ABCD ，∴平面EAD ⊥平面ABCD .……………………7分2EA ED ==，∴点E 到平面ABCD 的距离为.……………………………………………………………………………………………8分如图，设,AC HD 交于点，连接，则三棱锥E ACD -与三棱锥E AHD -公共部分即三棱锥E AOD -.…………………………………………………………………………………9分H 为BC 的中点，12142323AODS AD AB∆∴=⨯⨯=⨯=，………………………………………10分1183339E AOD AODV S-∆∴=⨯=⨯=.…………………………………………12分20、【解析】（I）12AF F∆bc=2分又2cea==，222a b c=+，解得：24a=，21b=…………………………………4分∴椭圆C的方程为：2214xy+=…………………………………………………………5分（II）假设y轴上存在点()0,M t，ABM∆是以M为直角顶点的等腰直角三角形设()11,A x y，()22,B x y，线段AB的中点为()00,N x y由2214xyy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y可得：2258440x mx m++-=()()2226420441650m m m∆=--=->，解得：25m<1285mx x∴+=-，212445mx x-=……………………………………………………6分12425x x mx+∴==-，005my x m=+=4,55m mN⎛⎫∴-⎪⎝⎭……………………7分依题意有AM BM⊥，MN l⊥由MN l ⊥可得：5114015m t m -⨯=-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭，可得：35m t =-……………………8分 由AM BM ⊥可得：12121y t y tx x --⋅=- 11y x m =+，22y x m =+代入上式化简可得：()()()2121220x x m t x x m t +-++-=………………………10分则：()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1m =±…………………………11分当1m =时，点30,5M ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足题意；当1m =-时，点30,5M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意故y 轴上存在点30,5M ⎛⎫± ⎪⎝⎭，使得ABM ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形.……12分21、【解析】（I ）()()2ln x a x g x x x -=+，()()ln '12x x g x x a a +--+=，由题意()'120g a =-=，所以2a =，…………………………………………………2分 所以()()()'12ln 1g x x x =-+，令()'0g x =，得1x =3分当0,x e ⎛∈ ⎝⎭时，()'0g x >，当x e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，当()1,x ∈+∞时，()'0g x >， 所以函数()g x的单调递增区间是0,e ⎛ ⎝⎭和()1,+∞；……………………………………5分（II ）依题意，12ln 0m x x x e--+<， 即12ln 0x m x x e+-->在()0,∞+上恒成立， 令()12ln x m x x p x e=+--， 则()22211'1m x mx x x xp x --=--=.……………………………………………………6分 对于21y x mx =--，2m 40∆=+>，故其必有两个零点，且两个零点的积为1-， 则两个零点一正一负，设其中一个零点为()00x ∈+∞,，则20010x mx --=，即001m x x =-， 且()p x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，故()00p x >，即00000112ln 0x x x x x e⎛⎫+---> ⎪⎝⎭，……………………………………8分 令()112ln q x x x x x x e⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭， 则()222111'11ln 1q x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211ln x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 当()0,1x ∈时，()'0q x >，当()1,x ∈+∞时，()'0q x <， 则()q x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又()10q q e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故01,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，……………………………………………………10分显然函数001m x x =-在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上是关于0x 的单调递增函数，则11,m e e ee ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 故实数m 的取值范围为11,e e e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.……………………………………………………12分选做题22、【解析】（I）由题知4A π⎫⎪⎭，4B π⎛⎫⎪⎝⎭， 故点B 的直角坐标为()2,2，由l OA ⊥知直线l 的倾斜角为34π， 故直线l 的直角坐标方程为4x y +=，………………………………………………………3分所以其极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……………………5分 （II ）由题知可设()1,P ρθ，()2,Q ρθ，其中30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则PQ 中点的极坐标为12,2ρρθ+⎛⎫⎪⎝⎭，由P 在曲线C 上得12sin ρθ=，由Q 在直线l上得2sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故PQ中点的极坐标为sin ,sin 4θθπθ⎛⎫⎪ ⎪+⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以PQ中点轨迹的极坐标方程为3sin 04sin 4πρθθπθ⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭.……………10分 23、【解析】（I ）因为()2f x a ≥对x R ∀∈恒成立，则()2min f x a ≥，由绝对值三角不等式可得()2min 22f x x a x a a =--=≥，即2a ≤，解得22a -≤≤.故实数a 的取值范围是[]22-,；……………………………………………………………5分 （II ）由题意2m =，故424x y z ++=，………………………………………………6分 由柯西不等式知，()()()()()22222222421424216x y y z x y y z x y z ⎡⎤++++-++-+=++=⎡⎤⎣⎦⎣⎦≥，所以()2221621x y y z +++≥，当且仅当421x y y z+==-时等号成立 从而，最小值为1621，当且仅当87x =，821y =-，421z =时等号成立.………………10分附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2020年高考第一次模拟考试数学(文科)试卷(含答案)
2020年高考第一次模拟考试数学（文科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|-1≤x ≤5}，B={x|x 2-2x >3}，则A ∩B=A.{x|3<x ≤5}B.{x|-l ≤x ≤5} C ．{x|x<-l 或x>3} D ．R2．已知复数z 满足i(3+z )=1+i ，则z 的虚部为A ．-iB ．iC ．-1D ．13．已知函数⎩⎨⎧>≤-=1,ln ,1,)1()(3x x x x x f 若f(a)）>f(b)，则下列不等关系正确的是 A ．111122+<+b a B ．33b a > C ．ab a <2 D ．)1ln()1ln(22+>+b a 4．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数( PMl)如下图所示，则下列结论中错误的是A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为31 B ．12个月的PMI 值的平均值低于50% C ．12个月的PMI 值的众数为49. 4% D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 5．已知函数)42sin()(π-=x x f 的图象向左平移ϕ)0(>ϕ个单位后得到函数)42sin()(π+=x x g 的图象，则ϕ 的最小值为 A ．4π B ．83π C ．2π D ．85π 6．已知数列{a n }满足a n+1-a n =2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，若{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为A. - 10 B ．- 14 C ．-18 D ．-207．已知32)2019cos(-=+a π，则=-)22sin(a π A ．97 B ．95 C ．-95 D ．-97 8．已知双曲线C: 2222by a x -=l(a>0，b>0)的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上则C 的离心率为 A ．5-1 B ．2 C ．3 D ．59．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为A ．S> -1?B ．S<0?C ．S<-l?D ．S >0?10.过抛物线E:x 2 =2py(p>0)的焦点F 作两条相互垂直的弦AB ，CD ，没P 为抛物线上的一动点，Q(1，2).若41||1||1=+CD AB ，则|PF|+|PQ|的最小值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．411.已知函数f(x)=x 3 -ax -1，以下结论正确的个数为①当a=0时，函数f(x)的图象的对称中心为（0，一1）；②当a ≥3时，函数f(x)在（-1，1）上为单调递减函数；③若函数f(x)在（-1，1）上不单凋，则0<a<3；④当n =12时f(x)在[-4，5]上的最大值为15.A ．1B ．2C ．3D ．412.已知四棱锥E-ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，ED=1，平面ECD 上平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为A. 62 B ．31 C ．32 D.1 二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．13.已知向量a =(l ，1)，|b |=3，（2a +b ）•a =2，则|a -b |=14.为激发学生团结协作、敢于拼搏、不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛l 场，目前（一）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，(三)班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为____． 15.将底面直径为4，高为3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为16.如图，已知圆内接四边形ABCD ，其中AB =6，BC =3，CD =4，AD =5，则=+BA sin 2sin 2 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（12分）已知数列{a n }的各项都为正数，a 1 =2，且.1211+=++n n n n a a a a。
江西省南昌市2020届高三第一次模拟测试文科数学试题(含答案)
3
2
32
6
所以 BC
2
sin A
2
2
3
；
BA 3 sin C 3 3
………5 分
（Ⅱ） 1 BC BD sin 2 2 1 BA BD sin ，
2
2
所以 4 2 sin cos 2 2 2 sin cos
2
，
2
所以 ， ABC 3 3 ，
4
4
………8 分 ………10 分
所以 AC2 16 8 2 4 2 2 ( 2 ) 40 ，所以边 AC 2 10 . 2
f (0) m ln(1 m) ，（ 0 m 1），由②构造的函数知， f (0) m ln(1 m) 0 ，
则 f (x) 只有一个零点，符合题意.
综上所述， m 1时，函数 f (x) 有且只有一个零点.
………12 分
21.【解析】（Ⅰ）由题意知 a1 2 ， a2 4 ， b2 b12 ，
增, f (0) m ln(1 m) ，令 g(m) m ln(1 m) ，（ m 0 ），
显然 g(m) 单调递减，有 g(m) g(0) 0 ，即 f (0) 0 ，
则 f (x) 只有一个零点，符合题意；
………9 分
③当 0 m 1 时， f (x) 在 (, 0) 单调递增，在 (0, 2m) 单调递减，在 (2m, ) 单调递增，
NCS20200607 项目第一次模拟测试卷
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
题号1
2
3
4
5
6
2020届江西省南昌市高三第一次模拟测试试题 文数
2020届江西省南昌市高三第一次模拟测试试题文 数一、选择题1.已知集合{0,1,2}A =，{|}B x N A =∈，则B =（ ） A.{0} B.{0,2}C.1{0,,2}2D.{0,2,4} 答案： B解析：0=，则0x =；1=，则12x =（舍去）；2=，则2x =，故{0,2}B =.2.在复平面内，复数1z =对应的点为Z ，将向量OZ uuu r 绕原点O 按逆时针方向旋转23π，所得向量对应的复数是（ ）A.122i -+B.12i +C.12--D.12i 答案： A解答：∵在复平面内，复数1z =，∴(1,0)z .将向量OZ uuu r 绕原点O 按逆时针方向旋转23π后点的坐标为1(2-，∴对应复数为122-+. 3.一个正三棱柱的正视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A.16B.12C.8D.6 答案： B解析：由题意可知，正三棱柱的底面边长为2，高为2，∴侧面积32212S =⨯⨯=.4.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”，在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：===规律，若=m ，n 满足的关系式为（ ） A.21n m =- B.2(1)n m =- C.2(1)n m =- D.21n m =- 答案：D解析：当2m =，2n =时，满足21n m =-；3m =，8n =时，满足21n m =-；当4m =，15n =时，也满足21n m =-.故选D5.已知{}n a 是等差数列，且344a a +=-，788a a +=-，则这个数列前10项和等于（ ） A.16-B.30-C.32-D.60- 答案： B 解答：∵344a a +=-，788a a +=-， ∴347812a a a a +++=-，∴由等差数列的性质可得386a a +=-， ∴110381*********a a a aS ++=⨯=⨯=-. 6.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，抛物线上一点的M 的纵坐标0y ，则02y >是||2MF >的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案： A解析：设00(,)M x y 由抛物线定义可得200114y MF x =+=+，当02y >时，20124y +>，满足充分性，当2124y +>时，解得02y >或02y <-，不满足必要性，∴是充分不必要条件. 7.2013年至2019年我国二氧化硫的排放量（单位：万吨）如下表，则以下结论中错误的是（ ）A.二氧化硫排放量逐年下降B.2018年二氧化硫减排效果最为显著C.2017年至2018年二氧化硫减排量比2013年至2016年二氧化硫减排量的总和大D.2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所增加 答案：D解析：2018年减排量为1859.11102.86756.24-=，2019减排量为1102.861014.688.26-=，故选D.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过原点OC 的右支于点A ，若||||OA OF =，则双曲线的离心率为（ ）C.21 答案： D 解答：显然OAF ∆为等边三角形，设(0,0)O ，(2,0)F，则A ，2c =，代入曲线方程可解得2b =24a =-，∴1a =，∴1c e a ===. 9.函数cos 1ln(),1(),1x x x f x xe x π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A.B.C.D.答案： A解析：当1x >时，1()ln()f x x x =-，此时令1t x x =-，2110t x'=+>，∴()f x 在(1,)+∞上单调递增，故排除B ，C ，当1x ≤时，cos ()xf x eπ=，当(0,1)x ∈时，cos cos ()(cos )0x x f x e e πππ'=⋅=-<，∴()f x 在(0,1)上单调递减，且cos ()0x f x e π=>，故排除D ，综上所述，选A.10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法），撞球（中国台湾地区的叫法），控制撞球点，球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若30AE cm =，40EF cm =，30FC cm =，60AEF CFE ∠=∠=︒，则该正方形的边长为（ ）A.40cmB.C.D.答案： D解析：∵60AEF CFE ∠=∠=︒，∴//AE CF ，又∵AE CF =，∴四边形AECF 为平行四边形，连接AC 交EF 于点O ，则O 为线段EF 和AC 的中点，在AOE ∆中，2222212cos 3020230202AO AE EO AE OE AEO =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯900400600700=+-=，∴AO =，AC =，∴边长为=. 11.已知0x y >>，1x ≠，1y ≠，则（ ） A.(,0)aax y a R a >∈≠B.x ye e y x> C.yxx y > D.1132x y -->答案： B解答：∵0x y >>，∴xye e >，∴x ye e y x>，故选项B 正确. 12.如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点F ，M 分别在线段AC ，1BD （不包含端点）上运动，则（ ）A.在点F 的运动过程中，存在1//EF BCB.在点M 的运动过程中，不存在1B M AE ⊥C.四面体EMAC 的体积为定值D.四面体11FA C B 的体积不为定值 答案：C解答：在长方体1111ABCD A B C D -中，平面11//A BC 平面1D AC ，又因为点F 在AC 上运动，则不存在1//EF BC ；当11B M BD ⊥时，1B M AE ⊥，其理由如下：设AC 与BD 相交于点O ，因为11B M BD ⊥，所以1B M OE ⊥，易证AC ⊥平面11BDD B ，所以1AC B M ⊥，故1B M ⊥平面EAC ，∴1B M AE ⊥；因为1//BD 平面EAC ，所以M EAC V -为定值；因为11//A C AC ，所以点F 到平面11A C B 的距离为定值，所以四面体11FA C B 的体积为定值. 二、填空题13.已知向量b =r ，向量a r 在b r 方向上的投影为12，则a b ⋅=r r .答案：1解答：∵b =r ，∴||2b ==r.又向量a r 在b r 方向上的投影为12，故1||cos ,2a ab 〈〉=r r r ，故1||||cos ,212a b a b a b ⋅=⋅〈〉=⨯=r r r r r r .14.已知函数31()f x x x =-，则1(lg 2)(lg )2f f ''-= .答案：解答：由题意可知，221()3f x x x'=+， 故1(lg 2)(lg )(lg 2)(lg 2)2f f f f ''''-=--2222113(lg 2)3(lg 2)(lg 2)(lg 2)=+---- 0=.15.已知1sin()43x π+=，则5cos()4x π-= . 答案：13- 解答： 由题意可知5cos()cos()cos[()]4424x x x ππππ-=--=--+ 1sin()43x π=-+=-.16.如图，一列圆222:()(0,0)n n n n n C x y a r a r +-=>>逐个外切，且所有的圆均与直线y =±相切，若11r =，则1a = ；n r = .答案： 312n -解答：由已知，11(0,)C a 到直线y =±的距离为1，故113a =，即13a =.111||n n n n n n C C a a r r +++=-=+，且n C 到直线y =±的距离为3n a，故3n n ar =，即3n n a r =，从而111332n n n n n n r r r r r r +++-=+⇒=，即{}n r 是以1为首项，2为公比的等比数列，从而12n n r -=.三、解答题17.如图，D 是在ABC ∆边AC 上的一点，BCD ∆与ABD ∆面积比为2， 22CBD ABD θ∠=∠=.（1）若6πθ=，求sin sin AC的值；（2）若4BC =，AB =AC 的长. 答案： 见解析. 解答：（1）23CBD ABD π∠=∠=，所以11sin 2sin 2326BC BD BA BD ππ⋅=⨯⋅，所以sinsin 3BC A BA C =⇒==. （2）11sin 22sin 22BC BD BA BD θθ⋅=⨯⋅，所以42sin cos 2cos θθθθ⨯=⨯⇒= 所以4πθ=，334ABC πθ∠==，所以216824(40AC =+-⨯⨯=，所以边AC =18.如图，三棱柱111ABC A B C -中， 1A BCB -是棱长为2的正四面体. （1）求证：1AC CC ⊥： （2）求三棱锥1B ACC -的体积.答案：（1）见解析；（2）3. 解答：（1）如图，取1BB 的中点E ，连接CE 交1BC 于点O ，则点O 为1BCB ∆的重心，连接AO ，设1BC 交1B C 于点F ，依题意点A 在底面的投影为1BCB ∆的重心，即AO ⊥平面11BCC B ，所以1AO BB ⊥，因为1BCB ∆是正三角形，所以1CE BB ⊥，则1BB ⊥平面AEC ，则1BB AC ⊥，所以1CC AC ⊥.（2）由1A BCB -是棱长为2的正四面体，所以22,3CO CE AC AO =====，所以112,120BC CC BCC ==∠=︒，得11111sin 2222BCC S BC CC BCC ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=111333B ACC A BCC V V --===19.某市2013年至2019年新能源汽车y （单位：百台）的数据如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该市2021年新能源汽车台数；（2）该市某公司计划投资600台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩，按要求，充电枪的总把数不少于该市2021年新能源汽车预测台数，若双同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为25元，10元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大利润.77211(140,364)i i i i i x x y ====∑∑.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynxybay bx xnx ==-==--∑∑ 答案： 见解析 解答：（1）依题意知123456747x ++++++==，58810141517117y ++++++==，77211140,364i i i i i x x y ====∑∑，71722173647411ˆ21407167i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，11243a y bx =-=-⨯=，则y 关于x 的线性回归方程23y x =+.令9x =得ˆ29321y=⨯+=， 故预测2021年该市新能源汽车大约有2100台.（2）设一拖四群充，双枪同充分别安装m 台，600m -台， 每天的利润为z 元，则42(600)2100m m +-≥，即450m ≥，4050(600)300001030000450025500z m m m =+-=-≤-=.所以当450m =时，z 取最大值25500.故当双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时， 每天的利润最大，最大利润为25500元.20.已知函数32()ln(1)()3x f x mx m m m R =--+-∈. （1）当12m =时，求()f x 的极值； （2）当1m <时，证明：函数()f x 有且只有一个零点. 答案： 见解析 解答：（1）当12m =时，32111()ln 3222x f x x =--+，∴2()f x x x '=-，则()f x 在(,0)-∞递增，在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，所以1()(0)ln 22f x f ==--极大值，2()(1)ln 23f x f ==--极小值.（2）2()2(2)f x x mx x x m '=-=-.①当0m =时，2()0f x x '=≥，3()3x f x =只有一个零点0，符合题意；②当0m <时，()f x 在(,2)m -∞单调递增，在(2,0)m 单调递减，在(0,)+∞单调递增，极小值(0)ln(1)f m m =-+-，令()ln(1)g m m m =-+-，则()g m 单调递减， 有()(0)0g m g >=，即(0)0f >，则()f x 只有一个零点，符合题意；③当01m <<时，()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,2)m 单调递减，在(2,)m +∞单调递增，极大值(0)ln(1)f m m =-+-，令()ln(1)h m m m =-+-，则()h m 单调递减， 有()(0)0h m h <=，则()f x 只有一个零点，符合题意. 综上所述，1m <时，函数()f x 有且只有一个零点.21.定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆1E ，2E ，它们的长短半轴长分别为1a ，1b 和2a ，2b ，若满足21ka a =，21kb b =，则称2E 为1E 的k 级相似椭圆.已知椭圆1E ：222114x y b +=，2E 为1E 的2级相似椭圆，且焦点共轴，1E 与2E 的离心率之比为2. （1）求2E 的方程；（2）已知P 为2E 上任意一点，过点P 作1E 的两条切线，切点分别为A ，B ，是否存在一定点到直线AB 的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；不存在，说明理由. 答案： 见解析 解答：（1）由题意知12a =，24a =，221b b =，则22211112144a b b e a --==，2222222221616a b b e a --==，而22112422114(4)4416447e b e b b -===-+，解得213b =，23b =， 故椭圆1E ：22143x y +=，椭圆2E ：221169x y +=.（2）（解法一）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过点A 和点B 的切线方程为11143x x y y +=，22143x x y y+=，设00(,)P x y ，则22001169x y +=，即2200916144x y +=，两条切线都经过点P ，则满足方程组10102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，那么点A 和点B 都在直线00143x y x y +=上，则直线AB 的方程为00143x yx y +=，即003412x x y y +=，假设存在一定点(,)C C C x y 到直线AB 的距离为定值，即距离00341212C C x x y y d ⋅+⋅-==为定值，则0C C x y ==，1d =，故存在一定点(0,0)C 到直线AB 的距离为定值1. （解法二）设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则过点A 和点B 的切线方程为11143x x y y +=，22143x x y y+=，设00(,)P x y ，则22001169x y +=.两条切线都经过点P ，则满足方程组01102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩.那么点A 和点B 都在直线00143x y x y +=上，则直线AB 的方程为00143x yx y +=. 设04cos x θ=，03sin y θ=，则直线AB 的方程为cos sin 1x y θθ⋅+⋅=.假设存在一定点(,)C C C x y 到直线AB的距离为定值，即距离d =cos sin 1)1C C x y θθθϕ=⋅+⋅-=+-为定值，即220C C x y +=，所以0C C x y ==，故存在一定点(0,0)C 到直线AB 的距离为定值1.四、选做题（2选1）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，曲线2C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程；（2）设射线(0)6πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求AB 的值.答案： 见解析 解答：（1）曲线1C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=，2C 的极坐标方程为22222cos 3sin 60ρθρθ+-=.（2）令(0)6πθρ=>，则1(,)6A πρ，2(,)6B πρ， 则2222222cos 3sin 6066ππρρ+-=，即22924ρ=，所以23OB ρ==，12cos 6OA πρ===，故3AB OA OB =-=. 23.已知0a >，0b >，2a b +=.（1）求111a b ++的最小值； （2）证明2a b b a ab+≥.答案： 见解析 解答： （1）11111114()[(1)]2131313b a a b ab a b a b ++=+++=++≥+++（），当且仅当21a b a b +=⎧⎨=+⎩，即32a =，12b =时，111a b ++的最小值为43. （2）要证明2a b b a ab+≥，由0a >，0b >，也即证222a b +≥.因为2a b +≤a b =1≥，即222a b +≥.。
江西省南昌市高三数学第一次模拟考试试题文
第 I 卷一、选择题：共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．(1) 在复平面内，复数（ 1+ 3i) i 对应的点位于(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(2) 已知会集A={x|y=x x 2）， B= {y| y-l<0），则 A IB=(A)(一∞ ,1)(B)(一∞ ,1](C)[0,1)(D)[0,1](3) 已知命题 p ：函数 f (x)=|cosx| 的最小正周期为 2π ；命题 q ：函数 y=x 3+sinx 的图像关于原点中心对称，则以下命题是真命题的是(A)pq(B) pq(C)(p) (q)(D)p(q)(4) 已知变量 x 与y 正相关，且由察看数据算得样本平均数x=3， y=3.5 ，则由该察看数据算得的线性同归方程可能是(A)$(B)$y =0.4x+2.3 y =2x - 2.4 (C) $(D)$y =-2x+9.5y =-0.3x+4.4(5) 执行以下列图的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数 x 的个数为(A)l (B)2 (C)3 (D)4(6) 已知函数 f(x)=x 4 1, x 0cos2x, x , 则以下结论正确的选项是(A)f(x)是偶函数(B)f(x) 是增函数(C)f(x) 是周期函数 (D)f(x)的值域为 [-1 ， +∞ ) (7) 设 α 为平面， a 、b 为两条不同样的直线，则以下表达正确的选项是 (A) 若 a ∥ α ， b ∥ α ，则 a ∥ b (B)若 a ⊥α ， a ∥ b ，则 b ⊥ α(C)若 a ⊥ α ， a ⊥ b ，则 b ∥ α (D) 若 a ∥α ， a ⊥ b ，则 b ⊥ α(8) 若等比数列的各项均为正数，前4 项的和为 9，积为 81，则前 4 项倒数的和为4(A)3 9 (D)2(B)（ C)124(9) 已知抛物线 C ： y 2 =8x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 FP=3FQ ，则 |QF|=(A)8(B)5 32(C)3(D)2(10) 如图网格纸上小正方形的边长为三视图，则这个儿何体的体积为l ，粗实线画山的是某几何体的(A)2 (B)3 (C)4 (D)5(11) 已知点 P 在直线 x+3y-2=0 上，点 Q 在直线 x+3y+6=0 上，线段 PQ 的中点为 M(x 0， y 0) ，且 y 0<x 0 +2 ，则y 0的取值范围是x 0(A)[一1，0） (B)（一 1，0）33(C) （一 1， +∞）(D)（一∞，一1） U （0,+ ∞)33(12) 已知函数 f(x)=x 23x, x 0，若 |f(x)| ≥ax ，则 a 的取值范围是ln( x 1),x 0(A) (-∞， 0] (B)(一∞， 1] (C)[一 3，0] (D)[一 3，1]第 II卷本卷包括必考题和选考题两个部分．第13 题～第 21 题为必考题，每个考生都必定作答，第 22题～第 24 题为选考题，考生依照要求作答．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．(13) 已知函数 f(x)=x, x，则 f[f( 一 4)]=____ ．2 x , x 0(14) 已知向量 a =(1 ， 3 ) ，向量 a ， c 的夹角是，a · c =2，则 | c | 等于 。
2020年江西省南昌市高考数学一模试卷(一)(有答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x2-4≤0}，N={x|log2x＜1}，则M∩N=（）A. ∅B. （0，2）C. （-2，2）D. [-2，2）2.已知复数z=i（1+2i），则|z|=（）A. B. C. D. 33.已知抛物线方程为x2=-2y，则其准线方程为（）A. y=-1B. y=1C. y=D. y=-4.设函数f（x）=，则f（5）的值为（）A. -7B. -1C. 0D.5.已知平面向量，，||=2，||=1，则||的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 56.已知a=ln，b=（e是自然对数的底数），c=，则a，b，c的大小关系是（）A. c＜a＜bB. a＜c＜bC. b＜a＜cD. c＜b＜a7.已知r＞0，x，y∈R，p：“x2+y2≤r2”q：“|x|+|y|≤1”，若p是q的充分不必要条件，则实数r的取值范围是（）A. （0，]B. （0，1]C. [）D. [1，+∞）8.如图所示算法框图，当输入的x为1时，输出的结果为（）A. 3B. 4C. 5D. 69.2021年广东新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式今年高一的小明与小芳都准备选历A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1作圆x2+y2=a2的切线交双曲线的右支于点P，且切点为T，已知O为坐标原点，M为线段PF1的中点（M点在切点T的右侧），若△OTM的周长为4a，则双曲线的渐近线的方程为（）A. y=B. y=±C. y=±D. y=12.我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中,第n行的所有数字之和为,若去除所有为1的项,依次构成数列,则此数列的前55项和为.A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知{a n}为等差数列，若a2=2a3+1，a4=2a3+7，则a3=______．14.底面边长6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为______．15.已知锐角A满足方程3cos A-8tan A=0，则cos2A=______．16.若对任意t∈[1，2]，函数f（x）=t2x2-（t+1）x+a总有零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数的部分图象如图所示，A（0，），C（2，0），并且ABx∥轴．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求cos∠ACB的值．18.如图，四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD=60°，CD=CC1=2C1D1=4，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）求证：AA1⊥BD；（Ⅱ）求三棱锥B1-A1C1E的体积．19.市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如图频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面只需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业．经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换．（用频率估计概率）（Ⅰ）根据频率直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；（Ⅱ）根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p，那么n支灯管估计需要更换np支．若该商家新店面全部安装了B型节能灯，试估计一年内需更换的支数；（Ⅲ）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．20.如图，椭圆E：与圆O：x2+y2=1相切，并且椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点N（1，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与E交于A，B两点，l2与圆O的另一交点为M，求△ABM面积的最大值，并求取得最大值时直线l1的方程．21.已知函数f（x）=e x（ln x-ax+a+b）（e为自然对数的底数），a，b∈R，直线y=x是曲线y=f（x）在x=1处的切线．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）是否存在k∈Z，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C的极坐标方程；（2）设点M（2，1），直线l与曲线C相交于点A，B，求|MA|•|MB|的值．23.已知函数f（x）=|x+m2|+|x-2m-3|．（Ⅰ）求证：f（x）≥2；（Ⅱ）若不等式f（2）≤16恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集的求法以及不等式的求解，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.先分别求出集合M和N，由此能求出M∩N.【解答】解：∵集合M={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2}，N={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|0＜x＜2}=（0，2）．故选B．2.答案：A解析：解：由z=i（1+2i）=-2+i，得|z|=．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：C解析：解：由抛物线方程为x2=-2y，可得抛物线的焦点在y轴负半轴上，则其准线方程为y=，∵2p=2，∴p=1，，则抛物线的直线方程为y=．故选：C．直接由抛物线方程可得其准线方程．本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线直线方程的求法，是基础题．4.答案：D解析：解：f（5）=f（5-3）=f（2）=f（2-3）=f（-1）=（-1）2．故选：D．根据f（x）的解析式即可得出f（5）=f（2）=f（-1）=．考查分段函数的定义，已知函数求值的方法．5.答案：C解析：解：设平面向量，的夹角为θ∴||≤3故||的最大值为3，故选：C．设平面向量，的夹角为θ，根据向量的数量积公式即可求出．本题考查的向量的数量积和向量的模，以及三角函数的性质，属于基础题．6.答案：A解析：解：构造函数f（x）=，f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，e）为增函数，在（e，+∞）为减函数，又2，所以c＜a＜b，故选：A．构造函数f（x）=，利用导数研究函数的单调性可得：f（x）在（0，e）为增函数，在（e，+∞）为减函数，再比较大小即可本题考查了构造函数，利用函数的单调性比较大小，属中档题．7.答案：A解析：解：知由p：“x2+y2≤r2知p代表的点（x，y）为以原点为圆心，r为半径的圆上和圆内的点；q代表的点（x，y）是直线x+y=1，-x+y=1，x-y=1，-x-y=1围成的正方形内部和边界，因为p是q的充分不必要条件，所以圆的半径最大时为正方形内切圆，r=所以0＜r≤，故选：A．根据条件确定p，q，所代表的图形的大小，从而得到实数r的取值范围．本题考查了集合的包含关系与简易逻辑的联系，属于基础题．8.答案：C解析：解：当x=1时，x＞1不成立，则y=x+1=1+1=2，i=0+1=1，y＜20不成立，x=2，x＞1成立，y=2x=4，i=1+1=2，y＜20成立，x=4，x＞1成立，y=2x=8，i=2+1=3，y＜20成立，x=8，x＞1成立，y=2x=16，i=3+1=4，y＜20成立x=16，x＞1成立，y=2x=32，i=4+1=5，y＜20不成立，输出i=5，故选：C．9.答案：B解析：解：语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，基本事件总数n==9，他们选课相同的概率为m==3，∴他们选课相同的概率为p===．故选：B．先求出基本事件总数n==9，他们选课相同的概率为m==3，由此能求出他们选课相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：A解析：解：f（-x）====-=-f（x），即函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（1）=＜0，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性与图象对称性之间的关系，利用特殊值的对应性是否一致利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键．11.答案：B解析：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得m-n=2a，由MO为△PF1F2的中位线，可得|OM|=n，在直角三角形OTF1中，可得|TF1|==b，|MT|=m-b，由题意可得a+n+m-b=4a，即m+n=6a+2b，解得m=4a+b，n=2a+b，由直角三角形OMT可得（a+b）2=（2a-b）2+a2，化为4a=3b，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得m-n=2a，运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理，求得m，n，再由勾股定理化简变形可得4a=3b，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直角三角形的勾股定理和三角形的中位线定理，考查变形能力和运算能力，属于中档题．12.答案：A解析：【分析】本题主要考查数列的求和，结合杨辉三角形的系数公式以及等比数列、等差数列的求和公式是解决本题的关键，属于基础题.利用第n行的所有数字之和为，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【解答】解：第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n==2n-1，每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n=，可得当n=12，去除所有的“1”可得78-23=55，则此数列前55项的和为S12-23=212-1-23=4072．故选：A．13.答案：-4解析：解：方法一：∵{a n}为等差数列，a2=2a3+1，a4=2a3+7，∴，解得a1=-10，d=3，∴a3=a1+2d=-10+6=-4．方法二：a2=2a3+1，a4=2a3+7，∴a2+a4=4a3+8，∵a2+a4=2a3，∴2a3=4a3+8，∴a3=-4，故答案为：-4．方法一：利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a3．方法二，根据等差数列的性质a2+a4=2a3，即可求出．本题考查等差数列中第3项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解析：解：过A向底面BCD做垂线，垂足为O，由正三棱锥知，底面为正三角形，O为三角形ABC的中心，所以OB=2，因为侧面为等腰直角三角形，所以侧棱AB=3，在Rt△OAB中，有勾股定理所以OA=．故答案为．由正三棱锥知，底面为正三角形，得OB长，在直角三角形OAB中得AO即为正三棱锥的高．本题考查正三棱锥的性质，属于简单题．15.答案：解析：解：∵锐角A满足方程3cos A-8tan A=0，可得：3cos2A=8sin A，∵cos2A+sin2A=1，∴3sin2A+8sin x-3=0，解得：sin A=，或-3（舍去），∴cos2A=1-2sin2A=1-2×=．故答案为：．化简已知等式，利用同角三角函数基本关系式可求3sin2A+8sin x-3=0，解得sin A的值，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题考查了一元二次方程的解法，考查了同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．16.答案：（-∞，]解析：解：若对任意t∈[1，2]，函数f（x）=t2x2-（t+1）x+a总有零点，则判别式△=（t+1）2-4at2≥0在t∈[1，2]上恒成立，即4a≤=（+1）2，∵t∈[1，2]，∴∈[，1]，即当=时，（+1）2，取得最小值为（+1）2=，即4a≤，得a≤，即实数a的取值范围是（-∞，]，故答案为：（-∞，]．根据函数恒有零点，转化为判别式△=（t+1）2-4at2≥0在t∈[1，2]上恒成立，利用参数分的最值是解决本题的关键．综合性较强，质量较高．17.答案：解：（Ⅰ）由已知，又，所以，所以………（3分）由f（2）=0，即，所以，k∈Z，解得，k∈Z，而，所以．………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，得或，k∈Z，所以x=6k或x=6k+1，由图可知，．………（8分）所以，所以，………（10分）所以．……………………………………………（12分）解析：（Ⅰ）根据函数过A，C两点，代入进行求解即可．（Ⅱ）根据条件求出B的坐标，利用向量法进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数余弦值的计算，利用向量法以及待定系数法是解决本题的关键．18.答案：证明：（Ⅰ）因为CC1⊥底面ABCD，所以CC1⊥BD．因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1．又由四棱台ABCD-A1B1C1D1，知A1，A，C，C1四点共面．所以BD⊥AA1．解：（Ⅱ）由已知，得===，又因为=•AA1==，所以三棱锥B1-A1C1E的体积：====．解析：（Ⅰ）推导出CC1⊥BD，BD⊥AC．从而BD⊥平面ACC1．由此能证明BD⊥AA1．（Ⅱ）三棱锥B1-A1C1E的体积===．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由图可知，各组中值依次为3100，3300，3500，3700，对应的频率依次为0.1，0.3，0.4，0.2，故B型节能灯的平均使用寿命为：3100×0.1+3300×0.3+3500×0.4+3700×0.2=3440小时．（Ⅱ）由图可知，使用寿命不超过3600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，故估计一年内5支B型节能灯需更换的支数为5×0.8=4．（Ⅲ）若选择A型节能灯，一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10-3=870元，若选择B型节能灯，一年共需花费（5+4）×25+3600×5×55×0.75×10-3=967.5元．因为967.5＞820，所以该商家应选择A型节能灯．解析：本题考查了频率分布直方图，众数、中位数、平均数和概率的含义，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．（Ⅰ）根据频率直方图能估算B型节能灯的平均使用寿命．（Ⅱ）使用寿命不超过3600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，由此能估计一年内5支B型节能灯需更换的支数．（Ⅲ）利用概率的含义，若选择A型节能灯，一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10-3=870元，若选择B型节能灯，一年共需花费（5+4）×25+3600×5×55×0.75×10-3=967.5元．从而该商家应选择A型节能灯．20.答案：解：（Ⅰ）椭圆E与圆O：x2+y2=1相切，知b2=1；……………………………（2分）又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为，即椭圆中心O到椭圆最远距离为，得椭圆长半轴长，即；所以椭圆E的方程：…（5分）（Ⅱ）①当l1与x轴重合时，l2与圆相切，不合题意．②当l1⊥x轴时，M（-1，0），l1：x=1，，此时．…（6分）③当l1的斜率存在且不为0时，设l1：x=my+1，m≠0，则，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（2m2+3）y2+4my-1=0，所以，……………（8分）所以．由得，，解得，…………（9分）所以，所以=，……………（10分）因为，所以，当且仅当时取等号．所以（）综上，△ABM面积的最大值为，此时直线l1的方程为．……………（12分）解析：（Ⅰ）由题意可得b=1，a-1=，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据l2⊥l1，可设直线l1，l2的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值．本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力21.答案：解：（Ⅰ）f（x）=e x（ln x-ax+a+b）的导数为f′（x）=e x（ln x-ax++b），由已知，有f（1）=eb=，f′（1）=e（b-a+1）=，解得a=1，b=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x（ln x-x+），则f′（x）=e x（ln x-x++），令g（x）=ln x-x++，则g′（x）=-＜0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（1）=＞0，g（2）=ln2-1＜0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）=0，且当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减．又因为当x→0时，f（x）＜0，f（1）=＞0，f（2）=e2（ln2-）＞0，f（e）=e e（-e）＜0，所以存在k=0或2，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点．解析：（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得所求值；（Ⅱ）求得f（x）的导数，设g（x）=ln x-x++，求得导数，判断单调性，求得g（1），g（2）的符号，判断g（x）的零点范围，可得f（x）的零点范围，即可得到所求k的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数零点存在定理和构造函数法，考查化简运算能力，属于中档题．22.答案：解：（1）由曲线C的参数方程为（θ为参数），得普通方程（x-4）2+（y-3）2=4，所以极坐标方程ρ2-8ρcosθ-6ρsinθ+21=0．（2）设点A、B对应的参数分别为t1、t2，将直线l的参数方程为（t为参数），转换为（t为参数），代入（x-4）2+（y-3）2=4，得到：，所以：t1t2=4．则：|MA||MB|=|t1t2|=4．解析：（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线的参数方程的转换，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：（Ⅰ）因为f（x）=|x+m2|+|x-2m-3|≥|（x+m2）-（x-2m-3）|，所以f（x）≥|m2+2m+3|=（m+1）2+2≥2,（Ⅱ）由已知，f（2）=m2+2+|2m+1|，①当m≥-时，f（2）≤16等价于m2+2m+3≤16，即（m+1）2≤14，解得，所以；②当时，f（2）≤16等价于m2-2m+1≤16，解得-3≤m≤5，所以．综上，实数m的取值范围是．解析：本题考查了绝对值不等式的性质，考查不等式的证明以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．（Ⅰ）根据绝对值不等式的性质证明即可；（Ⅱ）求出f（2），通过讨论m的范围，得到关于m的不等式，解出即可．。
2020年江西省高考数学(文科)模拟试卷(1) 含详细答案解析
21．（ 12 分）设函数
f（ x）＝
sinx﹣ ax+
1 6
x3（
a∈R
）．
（ 1）讨论 f（ x）的导函数 f′（ x）零点的个数；
（ 2）若对任意的 x≥ 0， f（ x）≥ 0 成立，求 a 的取值范围．
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四．解答题（共 1 小题，满分 10 分，每小题 10 分）
22．（ 10 分）在直角坐标系
D．﹣ 1﹣ 3i
∴ ??= 1 - 3?．?
故选： B．
3．（ 5 分）某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这
l00 名
同学的得分都在 [50， 100] 内，按得分分成 5 组： [50 ，60）， [60， 70）， [70 ， 80）， [80 ，
90），[90 ，100] ，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 （ ）
1 3
×
→
???+?
2 3
→
×???，?
→
→
→
又由 ????= ????- ???，?
→→
1
→
则 ?????????= （ × ????+
3
2→
→
× ???）??（ ???-?
3
→
???）? =
2 3
× ?→??2?-
1 3
× ?→??2?-
1 3
→→
×?????????=
32 ； 3
故选： C．
??
五．解答题（共 1 小题） 23．设函数 f （x）＝ x2+|x﹣ a|（x∈R ，a 为实数）．
2020年江西高三一模数学试卷(文科)
2020年江西高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.设为虚数单位，，则（ ）．A. B. C. D.3.若，，，则，，的大小关系为（ ）．A. B. C. D.4.斐波那契数列满足：，，．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线错.误.与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论的是（ ）．A.B.C.D.5.函数的部分图象大致为（ ）．A.C.D.6.数列，为等差数列，前项的和分别为，，若，则（ ）．A.B.C.D.7.已知 ， ， ，则（ ）．A.B.C.D.，8.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为，则该多面体的最大面的面积为（）．A.D.9.将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为，若用分层抽样的方法抽取容量为的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（ ）．A.B.C.D.10.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积取得最小值时有（ ）．A.B.C.D.11.已知双曲线：，过点的直线交双曲线于，两点，交轴于点（点与双曲线的顶点不重合），当，且时，点的坐标为（ ）．A.B.C.D.12.已知函数，当时，不等式恒成立，则整数的最小值为（ ）．A.B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共60分）13.已知变量、满足约束条件，若，则的取值范围是 ．14.已知向量，的夹角为，且 ，，则．15.四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为 ．16.已知数列的前项和为，，，其中为常数，若，则数列中的项的最小值为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知数列{}是等比数列，且，．证明：数列{}是等差数列，并求出其通项公式；求数列 的前项和．（1）（2）18.如图在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点．ACBEF 求证：平面平面．求证：平面．（3）求三棱锥的体积．成绩分频率组距（1）（2）19.某学校有名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩（单位：分）分组如下：第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．用分层抽样的方法从成绩在第，，组的高中生中抽取名组成一个小组，若再从这人中随机选出人担任小组负责人，求这人来自第，组各人的概率．（1）（2）20.已知为坐标原点，椭圆的下焦点为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点．以为直径的圆与相切，求该圆的半径．在轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．（1）（2）21.已知函数，曲线在点处的切线为．求，的值．若对任意的，恒成立，求整数的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1小题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线（为参数)，在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．写出曲线，和的普通方程；若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值．【答案】解析:由，得或，∴，∵，∴，故答案选：．解析:方法一：，故，故选．方法二：，故，故选．方法三：，故选．解析:由函数的相关性质可知，（1）（2）23.已知函数．当时，求不等式的解集．设，，且的最小值为．若，求的最小值．A1.D2.D3.，，，∴．故选．解析:，定义域为，，所以函数是偶函数，排除，，又因为且接近时，，且，所以．故选．解析:依题意，．故选．解析:由于， ，∴，∴，，∴C 4.B 5.A 6.B 7.，∴ ．解析:由三视图可知多面体是棱长为的正方体中的三棱锥，故，，，，，，，，∴该多面体的最大面的面积为．故选．解析:因为甲、乙、丙三层，其个体数之比为，所以丙层所占的比例为，所以应从丙层中抽取的个体数为，故本题选．解析:由已知有，根据正弦定理得，又，即，由于，即有，即有，由于，即，解得，当且仅当时取等号，B 8.A 9.D 10.当，，取最小值，又（为锐角），则，则．故选．解析:由题意知直线的斜率存在且不等于零，设的方程为，，，则．又，∴ ，故，得，∵在双曲线上，∴，整理，同理得．若，则直线过双曲线的顶点，不合题意，∴，∴，是方程的两根，∴ ，∴，此时，∴，点的坐标为．解析:由题意知函数为奇函数，增函数，不等式恒成立，等价于，得，即，令，，当时，，单调递增，A 11.A 12.当时，，单调递减，故当时，取极大值也是最大值，最大值为，所以，得，又，则．解析:作出的线性区域，如图所示：x–1123y–11234O 当目标函数经过点时，取得最大值，当目标函数经过点时，取得最小值，∴，，∴的取值范围为：．解析:依题有，，，．解析:∵在三角形中，，，∴，13.14.15.（1）∴三角形为直角三角形，则三角形外接圆半径．又∵底面，，∴四面体的外接球的半径，∴四面体的外接球的表面积．解析:∵，，∴时解得，又①，②，故有，则是以首项，公比的等比数列，故有，又∵，∴，则有，∴当时，中的项为最小值，为，故答案为．解析:因为数列{}是等比数列，设公比为，所以当时，，所以当时，=为常数，因此数列{}是等差数列，设数列{}的公差为，由，，16.（1）证明见解析；．（2）．17.（2）（1）（2）得 ，所以，即数列{}的通项公式为．，所以．解析:证明：在三棱柱中，底面．因为平面，所以．又因为，，所以平面．又平面，所以平面平面．方法一：证明：如图，取中点，连接，．AC BEF G图因为，分别是，的中点，所以，且．因为，且，所以，且，（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）．18.（3）（1）（2）所以四边形为平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面．方法二：如图，取的中点，连接，．AC BEFH图因为，分别是，的中点，所以，又因为，分别是，的中点，所以，且．所以四边形为平行四边形，所以，又，，所以平面平面，又平面，所以平面．因为，，，所以．所以三棱锥的体积．解析:因为，所以，所以成绩的平均值为：．（1）．（2）．19.（1）（2）第组学生人数为，第组学生人数为，第组学生人数为，所以抽取的人中第，，组的人数分别为，，．第组的人分别记为，，，第组的人分别记为，，第组的人记为，则从中选出人的基本事件共个，记“从这人中随机选出人担任小组负责人，这人来自第，组各人”为事件，则事件包含的基本事件为：，，，，，，共个，所以．解析:由题意可设直线的方程为，，，由消去，得，则恒成立，，，，．，线段的中点的横坐标为，∵以为直径的圆与相切，∴，解得，此时，∴圆的半径为．设，，，由，得，，∴轴上存在定点，使得为定值．（1）圆的半径为．（2）轴上存在定点，．20.（1）（2）（1）解析:由，得，曲线在点处的切线为，所以，，解得，．由（）知，则时，恒成立，等价于时，恒成立，令，，则，令，则，所以，，单调递增，因为，，所以存在，使，且时，，时，，所以，因为，所以，所以，所以，即正整数的最大值为．解析:∵曲线（为参数），∴曲线的普通方程为，∵曲线，（1），．（2）．21.（1）；．（2）．22.（2）（1）（2）∴曲线的普通方程为．∵曲线上有一动点，曲线上有一动点，设，∴的最小值是到直线的距离的最小值，∴，∴，∴的最小值为．解析:当时，，原不等式为，①当时，，解得，②当时，，解得，③当时，，解得，综上所述，原不等式解集为．，由，故，即，故，故，当且仅当时取“”，故的最小值为．（1）．（2）．23.。
2023年江西省南昌市高考数学一模试卷(文科)+答案解析(附后)
2023年江西省南昌市高考数学一模试卷（文科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 设复数z满足，则( )A. 2B.C.D.3. 如图，一组数据，，，…，，，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，4. 双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.5. 已知x，，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知x，y满足，则的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 77. 对食道和胃粘膜有刺激性的粉末或颗粒，或口感不好、易于挥发、在口腔中易被唾液分解，以及易吸入气管的药需要装入胶囊，既保护了药物药性不被破坏，也保护了消化器官和呼吸道.在数学探究课中某同学设计一个“胶囊形”的几何体，由一个圆柱和两个半球构成，已知圆柱的高是底面半径的4倍，若该几何体表面积为，则它体积为( )A. B. C. D.8. 已知，，，则( )A. B. C. D.9. 已知函数，，，且，则的最小值为( )A. B. C. 1 D. 210. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：，用这样的方法，估计的近似值约为( )A. B. C. D.11. 如图，已知正四棱台中，N分别为，，，，点M，的中点，则下列平面中与垂直的平面是( )A. 平面B. 平面DMNC. 平面ACNMD. 平面12. 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.13. 已知向量，，若，则______ .14.函数在处的切线平行于直线，则切线在y轴上的截距为______ .15. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为______ .16. 已知一簇圆，直线l：是它们的一条公切线，则______ .17. 已知正项数列满足，，，且求k的值；求数列的通项公式.18. 随着国民旅游消费能力的提升，选择在春节假期放松出行的消费者数量越来越多.伴随着我国疫情防控形势趋向平稳，被“压抑”已久的出行需求持续释放，“周边游”、“乡村游”等新旅游业态火爆，为旅游行业发展注入新活力，旅游预订人数也开始增多，为了调查游客预订与年龄是否有关，调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客预定了，这200名游客中各年龄段所占百分比见图：已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的且在岁年龄段的游客概率为请将下列列联表补充完整.预订旅游不预订旅游合计岁18岁以下及36岁以上合计能否在犯错误概率不超过的前提下，认为旅游预订与年龄有关？请说明理由.将上述调查中的频率视为概率，按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，在从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人是岁年龄段的概率.附：，其中k19. 已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点E为的中点.证明：平面；求三棱锥的体积.20. 已知函数若时，函数有2个极值点，求b的取值范围；若，，方程有几个解？21. 已知抛物线C：上一点P，若P处的切线斜率为，且该切线与y 轴相交于求抛物线C的标准方程；过点D的直线与曲线C相交于A，B两点，若直线PA，PB分别与x轴相交于M，N两点，求M，N两点横坐标的和.22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：为参数，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：当时，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程.直线l与曲线C交于A，B两点，若，求的值.23. 已知，且求证：；求的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：，所以，故选：根据立方和公式，结合配方法、集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为，所以，故故选：根据复数的除法运算法则，结合共轭复数的定义和复数模的运算公式进行求解即可．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义和复数模的运算公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由题意可得：，则，故，，是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，故故选：根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断．本题主要考查了平均数和方差的定义，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：双曲线的标准方程为：，双曲线的渐近线方程为：，即故选：由双曲线的标准方程直接写出渐近线方程．本题考查双曲线的几何性质，属基础题．5.【答案】B【解析】解：当时，没有意义，故充分性不成立，而在上单调递增，所以必然可得，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：举反例“时，没有意义”可说明充分性不成立；再根据在上单调递增，可得必然可得，故必要性成立，从而可知“”是“”的必要不充分条件．本题考查充分、必要条件，考查学生归纳推理与运算求解的能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：作出可行域，如图内部含边界，作直线l：，在直线中，表示直线的纵截距，直线向下平移时，纵截距减小，则z减小，由得，即，平移直线l，当它过点时，取得最小值4，故选：作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．本题主要考查简单线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：设圆柱的底面半径为r，则球的半径为r，圆柱的高是4r，圆柱的侧面积为，两个半球的表面积为，该几何体表面积为，解得，该几何体的体积为故选：设圆柱的底面半径为r，可求得该几何体表面积为，解得，进而求出该几何体的体积．本题考查圆锥的侧面积与体积的求解，球的表面积与体积的求解，方程思想，化归转化思想，属中档题．8.【答案】A【解析】解：，设，则有，所以单调递减，从而，所以，故，即，而，故有故选：化简得，构造函数，通过导数可证得，可得，而，从而可得答案．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了三个数比较大小问题，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：因为，又因为，，且，所以函数的最小正周期T满足，则，所以，，故当时，取最小值故选：利用三角恒等变换化简函数解析式为，分析可知函数的最小正周期为，利用正弦型函数的周期公式可求得的最小值．本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：，故选：变形，然后根据题意，计算即可得解．本题考查二项式定理的应用，近视值的估算，属基础题．11.【答案】C【解析】解：延长，，，交于一点P，取PB中点Q，连接AQ，CQ，如图所示：因为正四棱台，所以为正四棱锥，因为，，，且，所以，即，解得，所以，即为等边三角形，因为Q为PB中点，所以，且，同理可得，因为，所以，即，因为M，N为，中点，所以，故，，因为，，所以，，所以，，因为，，所以M在AQ上，N在CQ上，因为，，所以，，即，，因为平面AMCN，平面AMCN，，所以平面故选：延长，，，交于一点P，取PB中点Q，连接AQ，CQ，根据三角形相似及长度关系可得为等边三角形，即可得，，由长度关系及平行可证明，，即可证明M在AQ上，N在CQ上，再根据线面垂直的判定定理即可得出结果．本题主要考查线面垂直的判定，棱台的结构特征，考查逻辑推理能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：因为在R上单调递增，所以在R上单调递减．因为，所以由，得，即，所以，即对于任意的恒成立，而，则，即实数a的取值范围是故选：可求得在R上单调递减，且，所以由得，得，即对于任意的恒成立，从而得解．本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：因为，，所以，，因为，所以，解得故答案为：求出向量、的坐标，利用平面向量的模长公式可得出关于m的等式，解之即可．本题主要考查平面向量的坐标运算，以及向量模公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，由题意，即，所以，则，故函数在处的切线方程为，即，则切线在y轴上的截距为故答案为：由题意，求得，所以，则，进而求出函数在处的切线方程，从而得解．本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：在中，由正弦定理得，所以，即，因为锐角，所以，，即，，解得，所以，所以，故，即故答案为：根据正弦定理得到b关于的等式，根据锐角，求得角A的范围，进而求得b的取值范围即可．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由圆，知圆心，半径为，由题意圆心到直线l：的距离，则，对任意恒成立，则，解得，故故答案为：由题意圆心到直线l：的距离，则，对任意恒成立，列式求解即可．本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．17.【答案】解：当时，，当时，；因为，所以，则，令，所以，则是等比数列，因为，，所以，所以，则【解析】运用代入法进行求解即可；通过换元法、等比数列的定义，结合等比数列的通项公式、累积法、等差数列前n项和公式进行求解即可．本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：预定旅游中，岁年龄段的人数为：人，18岁以下及36岁以上人数为人．在所有调查对象中随机抽取1人，抽到不预订的旅游客群在岁年龄段的人的概率为，故不预订旅游客群岁年龄段的人为：人，18岁以下及36岁以上人数为人．所以列联表中的数据为：预订旅游不预订旅游合计岁1207519518岁以下及36岁以上80125205合计200200400，则能在犯错误概率不超过的前提下，认为旅游顸订与年龄有关．按分层抽样，从预定旅游客群中选取5人，其中在岁年龄段的人数为，分别记为：A，B，C；18岁以下及36岁以上人数为2人，分别记为：a，从5人中任取2人，则有：，，，，，，，，，，共有10种情况其中恰有1人是岁年龄段的有：，，，，，，共 6种情况，故2人中恰有1人是岁年龄段的概率为：【解析】根据题意完善列联表，根据表中数据求，并与临界值比较分析；根据分层抽样求每层抽取的人数，再结合古典概型运算求解．本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．19.【答案】解：证明：连接AC交BD于点F，连接，在直四棱柱中，，，四边形为平行四边形，，，又底面ABCD为菱形，点F为AC的中点，E为的中点，即点E为的中点，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；在直棱柱中平面，平面，，又上底面为菱形，，又，，平面，平面，在中，，且点F为BD的中点，，，【解析】根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理，即可证明；根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，进行计算，即可求解．本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，三棱锥的体积的求解，属中档题．20.【答案】解：时，，，则方程有两实根，即有两实根．设，，则时，，单调递减；时，，单调递增，所以，且，时，，所以当有两个实根时，实数b的取值范围为；当，时，设，则，，因为在R上单调递增，且，所以恰有一根，且，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，且，所以有且仅有两个实根，即方程有且仅有两个实根．【解析】根据极值的定义，结合构造函数法、导数的性质进行求解即可；构造新函数，结合导数的性质、函数零点存在原理进行求解即可．本题考查函数与导数的综合运用，根据极值的定义，问题转化为方程解的问题，通过构造新函数，利用导数的性质是解题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由题意可知直线m的方程为，联立方程，消去y得，因为直线m与抛物线相切，则，解得，所以抛物线C的方程为，故，解得，把代入，得，可得切点设直线的方程为，且，，，，与抛物线C联立方程，消去y得，则，得，故，，直线AP的方程，把代入得：，解得，同理可得：，所以，因为点，在拋物线上，则，，故，由于韦达定理可得【解析】根据直线与抛物线相切联立方程求解，即可得结果；根据题意求M，N的坐标，结合韦达定理运算求解．本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：当时，直线l的参数方程为为参数，消去参数t得，即直线l的普通方程为，，，，，，故曲线C的直角坐标方程为；将直线l的参数方程代入到曲线C的直角坐标方程中得，化简得，设A，B两点对应的参数为，，则，，，解得【解析】根据加减消元法，结合极坐标与直角坐标互化公式进行求解即可；根据直线参数方程参数的意义，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于基础题．23.【答案】证明：因为，且，所以，故，即，当且仅当时等号成立；解：因为，，且，所以，则，，所以，当且仅当时，即当时等号成立，所以M最小值为【解析】由已知条件可得出，等式两边平方，并结合基本不等式可证得结论成立；分析可知，，可得出，展开后利用基本不等式可求得M的最小值．本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．。
2020年江西南昌高三一模数学试卷(文科)
2020年江西南昌高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.己知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）．A. B. C. D.3.一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）．A. B. C. D.4.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”．在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则，满足的关系式为（ ）．A.B.C.D.5.已知是等差数列，且，，则这个数列的前项和等于（ ）．A.B.C.D.6.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的的纵坐标，则是的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.年至年我国二氧化硫的年排放量（单位：万吨）如下表，则以下结论中错误的是（ ）．年份排放量A.二氧化硫排放量逐年下降B.年二氧化硫减排效果最为显著C.年至年二氧化硫减排量比年至年二氧化硫减排量的总和大D.年二氧化硫减排量比年二氧化硫减排量有所增加8.已知双曲线的右焦点为，过原点作斜率为的直线交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.9.函数的图象大致是（ ）．，A.B.C.D.10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点，处各放一个目标球，表演者先将母球放在点处，通过击打母球，使其依次撞击点，处的目标球，最后停在点处，若，，则该正方形的边长为（ ）．A.B.C.D.11.已知，，，则（ ）．A.B.C.D.12.如图，点是正方体的棱的中点，点，分别在线段，（不包含端点）上运动，则（ ）．A.在点的运动过程中，存在B.在点的运动过程中，不存在C.四面体的体积为定值D.四面体的体积不为定值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，且在方向上的投影为，则等于 ．14.已知函数，则．15.己知， 则．16.如图，一列圆逐个外切，且所有的圆均与直线相切，若，则 ，.三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，是在边上的一点，面积是面积的倍，．若，求的值．若，，求边的长．（1）18.如图，三棱柱中，是棱长为的正四面体．求证：．（2）求三棱锥的体积．（1）（2）19.某市年至年新能源汽车（单位：百台）的数据如下表：年份年份代号新能源汽车求关于的线性回归方程，并预测该市年新能源汽车台数．该市某公司计划投资台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩．按要求，充电枪的总把数不少于该市年新能源汽车预测台数，若双枪同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为元，元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大日利润．（，）．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．（1）（2）20.已知函数，，（）．当时，求的极值．证明：函数有且只有一个零点．（1）12（2）21.定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆，，它们的长短半轴长分别为，和，，若满足，，则称为的级相似椭圆，己知椭圆，为的级相似椭圆，且焦点共轴，与的离心率之比为．求的方程．已知为上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为、．证明：在处的切线方程为．是否存在一定点到直线的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）【答案】解析:由题可知：，，当时，则，符合当时，则，不符合当时，则，符合所以．故选．解析:∵，∴，∴，，设旋转后复数对应点，∴，，∴对应的复数为．故选．（1）（2）22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为，（为参数）．求曲线和的极坐标方程．设射线分别与曲线和相交于，两点，求的值．（1）（2）23.已知，，．求的最小值．证明：．B1.D2.解析:作出正三棱柱的图形，如图所示，则由正三棱柱的正视图可知，，，所以正三棱柱的侧面积为：．故选．解析:由题意可得，，，，∴观察得，故选项．解析:由题可知：数列是等差数列且，，则，又，，所以，B 3.D 4.B 5.由，且，所以．故选．解析:由题可知：，设，由点的纵坐标，则其横坐标，由，所以，可知是的充分条件，若，则，则或，所以不是的必要条件，故是的充分不必要条件．故选．解析:由图表可知，以下结论，对于项，二氧化硫排放量逐年下降，故正确；对于项，年减排量为，减排效果最显著，故项正确；对于项，至年二氧化硫减排量为大于年至年二氧化硫减排量为，故项正确；对于项，年二氧化硫减排量，小于年二氧化硫减排量，故项错误；由题意可知，选项．解析:∵过原点作斜率为的直线交的右支于点，∴的直线方程为，A 6.D 7.B 8.设，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又点在双曲线上，∴，又，∴化简可得，∴，∴，∴或（舍），∴．故选：．解析:∵，∴，，故排除，，∵，，∴，故排除．故选．解析:由题可知：，所以，由，A 9.，，D 10.则，，，，所以，则，所以．故选：．解析:由已知得，由在方向上的投影为，得，则．故答案为：．解析:由题可知：函数的定义域为，由，可知，∴是偶函数，且，又∵，则有．故答案为：．B 11.C 12.13.14.（1）（2）解析:，即．故答案为：．解析:设第个圆心为，半径为，且与的切点为，则直线的斜率为，所以①，又②，由①②可知：③，所以当时，则，又④，由③-④可知：，又，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故答案为：，．解析:，所以，所以．，所以，15. ;16.（1）．（2）．17.（1）（2）（1）所以，，所以，所以边．解析:如图，取的中点，连接交于点，则点为的重心，连接，设交于点．依题意点在底面的投影为的重心，即平面，所以，因为是正三角形，所，则 平面，则，所以．由是棱长为的正四面体，所，，，因为，，得，所以．解析:依题意知，，，，（1）证明见解析．（2）．18.（1）关于的线性回归方程，预测年该市新能源汽车大约有台．（2）当双枪同充安装台，一拖四群充安装台时，每天的利润最大，最大利润为元．19.（2）（1）（2），，则关于的线性回归方程，令得：，故预测年该市新能源汽车大约有台．设一拖四群充，双枪同充分别安装台，台，每天的利润为元，则，即，，所以当时，取最大值．故当双枪同充安装台，一拖四群充安装台时，每天的利润最大，最大利润为元．解析:，，则在递增，在递减，在上递增，所以，．，①当时，，只有一个零点，符合题意．②当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，，令，（），显然单调递减，有，即，则只有一个零点，符合题意．（1），．（2）证明见解析．20.极大值极小值极大值极小值（1）12（2）③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，（），由②构造函数知，，则只有一个零点，符合题意．综上所述，时，函数有且只有一个零点．解析:由题意知，，，则，，而，解得，，故椭圆，椭圆．联立椭圆与直线方程，，点在椭圆上，有，所以，即直线与椭圆相切，所以过点的切线方程为．由①知，过点的切线方程为，设，则，即，两条切线都经过点，则满足方程组，那么点和点都在直线上，（1）．12（2）证明见解析．存在一定点到直线的距离为定值．21.（1）（2）（1）（2）则直线的方程为，即，假设存在一定点到直线的距离为定值，即距离为定值，则，，故存在一定点到直线的距离为定值．解析:曲线的极坐标方程为，的极坐标方程为．令，则，，则，即，∴，，故．解析:，当且仅当，即，时，的最小值为．要证明，（1），．（2）．22.（1）．（2）证明见解析．23.由，，也即证．因为，所以当且仅当时，有，即，当时等号成立．。