高考数学压轴专题最新备战高考《矩阵与变换》知识点总复习有解析

【高中数学】数学《矩阵与变换》高考知识点

一、15

1．已知矩阵2101M ⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

（1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）若21α⎡⎤=⎢

⎥-⎣⎦

r

，求3M αv . 【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

u u r

（2）91⎡⎤⎢⎥-⎣⎦

【解析】 【分析】

(1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出

方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r

可得333

12M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即

可. 【详解】

（1）矩阵M 的特征多项式为2

1

()0

1

f λλλ--=

-(2)(1)λλ=--，

令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2，

当1λ=，时由二元一次方程0

000x y x y --=⎧⎨

+=⎩

. 得0x y +=，令1x =，则1y =-， 所以特征值1λ=对应的特征向量为111α⎡-⎤

=⎢

⎥⎣⎦

； 当2λ=时，由二元一次方程00

00

x y x y -=⎧⎨

+=⎩. 得0y =，令1x =，

所以特征值2λ=对应的特征向量为210α⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

u u r

；

（2）1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u u

r u u r r

Q ，

333

12M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦91⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

.

【点睛】

本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.

2．解方程组32

321x my m mx y m +=+⎧⎨+=-⎩

.

【答案】详见解析. 【解析】 【分析】

求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】

由题意可得()()2

933D m m m =-=--+，

()()3(2)(21)231x D m m m m m =+--=--+，()()31y D m m =---.

①当0D ≠时，即当3m ≠±时，()213

13x y m D x D m D m y D m ⎧+==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩

；

②当3m =时，方程组335335335

x y x y x y +=⎧⇔+=⎨

+=⎩，令()x t t R =∈，得533t y -=，

此时，该方程组的解有无数多个，为,

()533x t t R t y =⎧⎪

∈-⎨=⎪⎩

；

③当3m =-时，该方程组为331

337x y x y -=-⎧⎨-+=-⎩

17⇒-=，所以该方程组无解.

【点睛】

本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.

3．用行列式解方程组252,

23,24 1.x y z y z x y z ++=-⎧⎪

--=⎨⎪++=-⎩

【答案】1337313x y z ⎧=⎪⎪

⎪=-⎨⎪

⎪=-⎪⎩

【解析】 【分析】

先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项求得D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】

方程组可转化为：125202324111x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎦

--⎣，

1912502241

D =-=-， 1392253

2141x D --=-=-，

125

03

2211

21y D --==--，131

2

20324

1

z D ---==-，

所以13,37,31.3x y z D x D D y D D z D ⎧

==⎪⎪

⎪==-⎨

⎪

⎪==-⎪⎩

【点睛】

本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组的行列式求解，考查运算求解能力．

4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c

，且sin

cos

sin 222sin

cos 022sec

1

2

A

A c

B

B B -=-求角

C 的大小.

【答案】

2

π 【解析】 【分析】

先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】

由sin

cos

sin 222sin

cos 0sin cos sin sin cos 2222222sec

1

2

A A c

B

B A B

C B A B -=⇒++=-

sin sin 22A B C +⎛⎫

⇒+= ⎪

⎝⎭

又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-⎛⎫

==

⎪⎝⎭

，

sin sin sin cos 2222A B C C C +⎛⎫

+=⇔+= ⎪

⎝⎭

，

sin 12424C C ππ⎛⎫⎛⎫

+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，又Q 3,

2444C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭

，242C ππ

+=∴， 解得2

C π

=

【点睛】

本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题

5．已知命题P ：lim 0n n c →∞

=，其中c 为常数，命题Q ：把三阶行列式5

236418x c x ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

中第一行，第二列元素的代数余子式记为()f x ，且函数()f x 在1,4

⎛⎤-∞ ⎥⎝

⎦

上单调递增，若命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围.

【答案】112

c -<< 【解析】 【分析】

先由已知命题P 是真命题，得：11c -<<，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代

数余子式写出2

()4f x x cx =-+-，结合函数()f x 在上单调递增．求得c 的取值范围，最

后即可解决问题． 【详解】

由已知命题:lim 0n

n P c →∞

=，其中c 为常数，是真命题，得：11c -<<。 三阶行列式5

23

641

8x c

x

-中第一行、第二列元素的代数余子式记为()f x ，则