导数极限知识总结

导数极限知识总结——仅作了解切忌深究

一．洛必达法则是什么（鄙人觉得高中数学神器）

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。 在导数问题的3）问中通常会出现形似

f(x)g(x)

的式子，而一般会出现求其导数，极值，甚至是某一点极限的

问题，洛必达法则就是解决这一类而且不能用普通导数解决的问题。

引入：试求lim x→1x 3−3x+2

x 3−x 2−x+1

试求 x

x x

x x sin sin lim

+-∞→

显而易见，这两个极限在以往的算法中一个是0

0式，一个则是∞

∞

，无法求导，这时就需要用到高端大气上

档次的洛必达法则了。 1.使用条件

定理1 若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0

=+→x f a x 0)(lim 0

=+→x g a x

（3）A x g x f a x =+→)(')('lim 0

则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)

(')

('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）

定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0

x f a x ∞=+→)(lim 0

x g a x

（3）

A x g x f a x =+→)(')('lim

则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)

(')

('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）

此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：

-∞→+∞→∞→→→→-

+

x x x x x x x x x ,,,,,000。

简而言之，当满足0

0或 ∞

∞的不定式时，A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)

(')('lim )()

(lim

0000

PS ：一次求导不行仍未不定式，则多次求导 于是上面的两个式子可以这样解

例一．lim x→1

x 3−3x+2

x 3−x 2−x+1 = lim x→1

3x 2−3

3x 2−2x−1=lim x→1

6x−2=

2

例二．1)sin sin (lim cos 1cos 1lim sin sin lim

-=-=+-=+-∞→∞→∞→x

x

x x x x x x x x x (此为错解)

事实上，1sin 1sin 1lim sin sin lim =+

-

=+-∞→∞→x

x

x x

x x x x x x （正解），这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。

2.未定式的其它类型：∞⋅0、∞-∞、00、0∞、∞1型极限的求解

此外，除了型型或∞

∞

这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。譬如.10000∞∞-∞∞⋅∞，，，，等待定型，由于他们都可以转化为型型或∞

∞

00，因此，也可以用洛必达法则

来求出他们的值。

关于如何转换，例如,)(lim ,0)(lim ∞==x g x f 则)()(lim x g x f 是∞⋅0形式，这时，可以写为

)

(1)()(1)()()(x f x g x g x f x g x f 或=

，这就转化为型型或∞∞00了。此外对于0001∞∞

，，等不定式，可以取对数化为∞⋅0的形式，再运用如上方法便可转化为型型或

∞

∞00

了，

下面对这些待定型一一举例解答以作说明[3]

。 1). ∞⋅0形式

,)(lim ,0)(lim ∞==x g x f 可以写为)

(1)()(1)()()(x f x g x g x f x g x f 或=

这就转化为了型型或∞∞

00 2）∞-∞形式（同理就简写了！！以下写法仅为记号）

3）0

、0∞、∞1形式

(对于此类内容切记它使用的条件，不要一味去滥用，毕竟取巧不如实干，建议过一遍手，自己推倒一遍)

练手时间： 求.cos 1lim 2

0x x x

-→（1/2）

求).0(ln lim αα

x x

x +∞→（0）

0101-⇒

∞-∞0000⋅-⇒ . 0

=⎪⎩⎪

⎨⎧∞⋅⋅∞⋅−−−→−⎪⎭⎪⎬⎫∞∞

ln 01ln 0ln 01000

取对数.

0 ∞⋅

⇒

(0)

[解析]相继应用洛必达法则n 次，得 (+∞)

(0)

(e)

(e −1)

PS. 时

故正解为 从上面的例子可知洛必达法则的使用条件：充分不必要，下面将详细讲解洛必达失效问题

3.洛必达法则对于实值函数的失效问题

1）使用洛必达法则后，极限不存在（非∞），也就是不符合以上定理1、2的条件 即引入问题

中的

计算x x x x x sin sin lim +-∞→ 解：原式=1sin 1sin 1lim

=+

-

∞→x

x x x

x 2）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理1、定理2的条件

计算)(lim 型∞

∞

-+--∞→x x

x x x e e e e 多次求导后出现循环

)0( ln lim >+∞→n x

x

n x 求)0 ( lim >+∞→λλ为正整数，求n e x x

n

x x n x x n x e nx e x λλλ1lim lim -+∞→+∞→=x n x e

x n λλ0

!lim ⋅==+∞→ 0=.lim 2x x e x -+∞

→求)0(∞⋅).1sin 1

(lim 0

x

x x -→求)

(∞-∞.lim 0x x x +

→求)

0(0.lim 11

1

x

x x

-→求)

1(∞.cos lim x x x x +∞→求1

sin 1lim x x -=∞→原式).

sin 1(lim x x -=∞→)cos 1

1(lim x x

x +

=∞

→原式.1=