3-1系统时间响应的性能指标
系统时间响应的性能指标
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3
3
第一节 系统时间响应的性能指标
项目
内容
教学目的
了解系统的5个典型输入信号，了解系统时间 响应的两个过程，掌握系统时域响应的动态性能
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11
❖ 描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程 随时间的变化状况的指标。
注意tr的另一种定义。
A峰值时间 A
误差超带调量σ% = %
定
义
一
延迟时间
B
B调节时间
上升时间
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12
定 义 二
c(tp)c()10%0
调节时间
c()上升时间
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13
动态响应的性能指标有：
6.稳态误差e (∞) ——当时间t 趋于无穷时，系统的实际值（稳 态值）与期望值（输入量）之差，定义为稳态误差。说明系 统的准确性。
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15
小结
❖ 理解系统的时间响应由动态过程和稳态过程 组成；
❖ 掌握动态性能指标的定义。
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16
第三章 时域分析法
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1
什么是时域分析?
指控制系统在典型输入信号作用下，根据 输出量的时域表达式，分析系统的性能指标 （定性：快速性、稳定性、准确性）。
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2
3
优点：时域分析是直接在时间域中对 系统进行分析的方法，从时域响应曲线上 能直接得到系统时间响应的全部信息，具 有直观和准确的优点。
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t t
自动控制原理(3-1)
动态性能指标定义1
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%% ==
AA BB
110000%%
峰峰值值时时间间ttpp BB
上上 升升 时时间间ttrr
调调节节时时间间ttss
tt
动态性能指标定义2 h(t)
调节时间 ts
上升时间tr
t
动态性能指标定义3
h(t)
A
σ%=
A B
100%
B tr tp
一阶系统对典型输入的输出响应
输入信号
输出响应
1(t) 1－e－t/T t≥0
δ(t)
1 et T t 0
T
t
t－T(1－e－t/T) t≥0
1 t2
1 t 2 Tt T 2 (1 et T ) t 0
2
2
由表可见，单位脉冲 响应与单位阶跃响应 的一阶导数、单位斜 坡响应的二阶导数、 单位加速度响应的三 阶导数相等。
自动控制原理
朱亚萍 zhuyp@ 杭州电子科技大学自动化学院
第三章 线性系统的时域分析法
3.1 系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的暂态响应 3.3 二阶系统的暂态响应 3.4 高阶系统的暂态响应 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差 3.7 利用MATLAB对控制系统进行时域分析
超调量σ%：指响应的最大偏离量h(tp)与终值 h(∞)的差与终值h(∞)比的百分数，即
% h(tp ) h() 100%
h()
在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升 时间tr、调整时间ts和超调量σ％。 用上升时间tr或峰值时间tp评价系统的响应速度； 用超调量σ％评价系统的阻尼程度；
性能测试中的响应时间指标解析
性能测试中的响应时间指标解析在软件开发过程中，性能测试是非常重要的一项工作。
而其中的响应时间指标更是评估软件性能的重要指标之一。
本文将详细解析性能测试中的响应时间指标，并探讨其在测试过程中的作用和意义。
一、响应时间的定义响应时间是指系统在接收到一个请求后，完成该请求并返回结果的时间。
它包括从请求发送出去到接收到响应的整个过程所消耗的时间。
在性能测试中，通常使用平均响应时间来衡量系统的性能。
二、响应时间指标的解析1. 平均响应时间（Average Response Time）：该指标是多个请求的平均处理时间。
它是一个综合性的衡量指标，能够反映系统在正常负荷下的平均响应能力。
平均响应时间越短，说明系统的响应速度越快，用户体验越好。
2. 峰值响应时间（Peak Response Time）：该指标是在整个测试过程中，所有请求中最长的响应时间。
它能够反映系统在极端负荷下的响应能力。
如果系统的峰值响应时间过长，可能会导致用户等待时间过长甚至请求失败。
3. 百分位响应时间（Percentile Response Time）：该指标是按照一定百分比划分的响应时间，在性能测试中通常使用百分之九十（P90）和百分之九十五（P95）来衡量系统的性能。
P90表示90%的请求在该时间内得到响应，P95则表示95%的请求在该时间内得到响应。
通过分析百分位响应时间，可以更加详细地了解系统性能的分布情况，有助于发现潜在的性能问题。
三、响应时间指标的作用和意义1. 评估用户体验：响应时间是用户评价系统性能和稳定性的重要指标之一。
用户更倾向于使用响应速度快的系统，而对于响应速度慢的系统可能会感到不满意或者放弃使用。
因此，通过性能测试中的响应时间指标，可以评估用户的使用体验，为优化系统提供数据支持。
2. 发现性能瓶颈：通过分析响应时间指标，可以发现系统中的性能瓶颈。
如果某个接口或者功能的响应时间较长，那么可能存在性能问题或者优化空间。
3-1系统的时域性能指标
0 .0 5 y ( )
y ( )
或 0 .0 2 y ( )
y ( ) 2
tr td ts
t
稳态误差：系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值。
16:13
10
小结
典型输入作用及其之间的关系 瞬态过程和稳态过程 系统响应的性能指标
16:13
11
16:13 7
⒊ 峰值时间 t p ： y max 输出响应超过稳态值达到第 一个峰值ymax所需要的时间。y () ⒋ 最大超调量(简称超调量) % ： 瞬态过程中输出响应的最大值 超过稳态值的百分数。
%
y max y ( ) y ( ) 100 %
y
0.05 y ( ) 或 0.02 y ( )
0
t
16:13
6
三、动态和稳态过程的性能指标
如果系统在阶跃输入下的动态性能满足要求，则在其他输入下 的动态性能也能令人满意，阶跃输入曲线如图所示： （一）动态性能 ⒈ 延迟时间 t d ： 输出响应第一次达到稳态值 的50%所需的时间。
y ()
y
⒉ 上升时间：r t0t Nhomakorabeatd
tr
输出响应第一次达到稳态值y(∞)所需的时间。或指由稳态值 的10%上升到稳态值的90%所需的时间。
自动控制原理
自动化教研室
第三章 线性系统的时域分析
本章主要内容
1. 2. 3. 4. 5.
系统的时域性能指标 一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析 线性系统的稳定性分析 线性系统的稳态误差计算
16:13
2
3.1 线性系统的时域性能指标
time domain performance index
自动控制原理一阶系统时域分析
R(s)
1 s3
C
(s)
(
s)
R(s)
(1 Ts
) 1
1 s3
A s3
B s2
C s
D s 1
1 s3
T s2
T2 s
T2 s 1
T
T
c(t)
1
t
2
Tt
T
2 (1
1t
eT
)
2
(t 0)
e(t
)r(t)c(t)TtT2
(1
1
eT
t
)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不 能实现对加速度输入函数的跟踪。
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感谢您的观看！
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R(s) ＋ E(s) 1 C(s)
－
Ts
R(s)
1
C(s)
Ts 1
(a)
微分方程： 闭环传递函数：
T dc(t) c(t) r(t) dt
(s) C(s) 1 R(s) Ts 1
(b) 标准形式
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二、一阶系统单位阶跃响应
r(t) 1(t), R(s) 1 s
1
C(s)
1 Kh 100 / s 1 s / 100Kh
• 要求ts=0.1s，即3T=0.1s, 即
,得 1 0.1 100Kh 3
K h 0.3
• 解题关键：化闭环传递函数为标准形式。
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二、一阶系统单位脉冲响应
r(t) (t) R(s) 1
C(s) (s)R(s) 1 1/T Ts 1 s 1/T
第15页/共27页
例题：加入给定值阶跃量为2.4，响应 曲线如图所示，求超调量。
软件系统响应时间的常见指标
软件系统响应时间的常见指标在评估软件系统的性能时，其中一个重要指标是响应时间。
软件系统的响应时间是指从用户请求发送到系统返回响应的时间间隔。
准确地衡量和监控响应时间对于确保用户满意度和系统效率至关重要。
以下是评估软件系统响应时间的常见指标：1. 平均响应时间（Average Response Time）平均响应时间是指系统处理用户请求并返回响应的平均时间。
它是所有请求的响应时间之和除以总请求数。
这个指标可以有效地衡量系统整体的性能表现。
2. 90th/95th/99th 响应时间（90th/95th/99th Percentile Response Time）这些指标是根据请求响应时间的百分位数计算的。
例如，90th响应时间表示90%的请求响应时间都小于等于该时间。
这些百分位数指标提供了系统响应时间分布的更详细信息，可以帮助识别系统中的性能瓶颈和潜在问题。
3. 峰值响应时间（Peak Response Time）峰值响应时间是在系统使用高峰期间测量的最长响应时间。
这个指标可以帮助判断系统在承受高负载时的表现。
4. 用户感知等待时间（Perceived Wait Time）用户感知等待时间是用户在发起请求后所感觉到的等待时间。
它通常比实际的系统响应时间长，因为它还考虑了用户在等待响应期间的主观感受。
减少用户感知等待时间可以提高系统的用户体验。
5. 平均事务响应时间（Average Transaction Response Time）平均事务响应时间是指完成一次完整事务所需的平均时间。
一个事务是指用户在系统中执行的一个操作序列。
通过衡量事务响应时间，可以评估系统在处理复杂操作时的性能。
请注意，这些指标只是衡量软件系统响应时间的常见方法。
根据具体的应用场景和需求，还可以使用其他指标和方法来评估和优化系统的性能。
自动控制原理第三章(胡寿松)
11
成都信息工程学院控制工程系
第一章 自动控制的一般概念
注意：
1．不同性质的控制系统，对稳定性、准 确性和快速性要求各有侧重。 2．系统的稳定性、准确性、快速性相互 制约，应根据实际需求合理选择。
12
成都信息工程学院控制工程系
第三章 线性系统的时域分析法
延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一半所需的 时间。
调节时间ts：响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的 最小时间，误差带通常取 5 % h ( )或 2 % h ( )
h(t)
1.0
误 差 带 5%或 2%
0.5
td
h()
0
tr tp ts
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成都信息工程学院控制工程系
第三章 线性系统的时域分析法
超调量σ%：响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值 之比。即：
快速性：输出量产生偏差时，系统消除这种偏差的快 慢程度。快速性表征系统的动态性能。一般用过渡过 程的时间来表示，如：上升时间、峰值时间、调节 时间等。
10
成都信息工程学院控制工程系
第一章 自动控制的一般概念
准确性：是衡量控制系统控制精度的重要标志。一般 用被控量的稳态值与期望值之间的误差（称为稳态误 差）表示。
成都信息工程学院控制工程系
3
第一章 自动控制的一般概念
⑴阶跃函数
Step Signal 5 4 3 2 1 0 -1 -1 0 1 2 3 4 t 5 r(t)
函数表达式：
当A=1时称为单位阶跃信号。
阶跃信号：含宽频带谐波分量，产生容易，是最常 用系统性能测试信号。
4
成都信息工程学院控制工程系
第一章 自动控制的一般概念
在时描述系统动态响应的主要指标
系统动态响应是指系统在接收到外部输入后，对输入进行处理并给出输出的过程。
而系统在这个过程中的表现可以通过一些主要指标来描述。
这些指标可以帮助我们了解系统的性能和效率，进而帮助我们对系统进行优化和改进。
下面将介绍系统动态响应的主要指标。
1. 响应时间响应时间是系统处理一个请求所花费的时间。
它可以分为几个部分： - 用户感知时间：用户发出请求后，系统开始处理直到用户收到响应的时间。
它反映了用户在系统交互过程中的感知体验。
- 服务时间：系统实际处理请求所花费的时间，包括了 CPU 执行时间和等待时间。
- 等待时间：用户发出请求后，系统因为负载或其他原因而需要等待的时间。
响应时间的长短直接影响着用户体验和系统的性能表现。
2. 吞吐量吞吐量是系统在单位时间内能处理的请求数量。
它反映了系统的处理能力和负载能力。
较大的吞吐量通常表示系统在相同时间内能处理更多的请求，而较小的吞吐量则可能表示系统负载较大或性能不佳。
3. 并发用户数并发用户数是指在同一时间段内正在使用系统的用户数量。
它是体现系统承载能力的一个重要指标。
较大的并发用户数可能导致系统负载过大，影响系统的性能和稳定性。
4. 错误率错误率反映了系统在处理请求过程中出现错误的概率。
它可以帮助我们了解系统的稳定性和可靠性。
较高的错误率可能意味着系统存在缺陷或者受到了攻击。
5. 响应时间分布响应时间分布可以帮助我们了解系统在不同情况下的处理能力。
通过观察响应时间的分布情况，我们可以发现系统可能存在的性能瓶颈，进而进行针对性的优化和改进。
以上就是系统动态响应的主要指标。
通过对这些指标的监控和分析，我们可以更好地了解系统的性能表现，并及时进行优化和改进，以提升系统的性能和用户体验。
系统动态响应的主要指标对于系统的性能优化和改进具有重要的意义。
在系统设计和开发的过程中，我们需要全面考虑这些指标，以确保系统在面对不同类型的请求和负载时能够保持高效、稳定和可靠的性能。
在接下来的内容中，我们将继续扩展讨论系统动态响应的主要指标。
(自动控制原理)3一阶系统的时间响应及动态性能
06
结论
一阶系统的时间响应及动态性能总结
一阶系统的时间响应特性
一阶系统在输入信号的作用下，其输出量随时间变化的过程。通过分析一阶系统的传递函数，可以得出其时间响应的 特性，包括上升时间、峰值时间、调节时间和超调量等。
一阶系统的动态性能分析
动态性能是一阶系统对输入信号的响应能力，包括系统的稳定性、快速性和准确性等。通过分析一阶系统的开环和闭 环频率特性，可以得出其动态性能的特性，如相位裕度和幅值裕度等。
3
在实际应用中，可以通过实验或理论分析来获取 一阶系统的数学模型。
一阶系统的分类
01
根据时间常数T的大小，一阶系统可以分为快系统和 慢系统。
02
时间常数T较小的一阶系统称为快系统，其动态响应 速度较快。
03
时间常数T较大的一阶系统称为慢系统，其动态响应 速度较慢。
03
一阶系统的时间响应分析
时间响应的定义与计算
实例二：一阶系统的单位脉冲响应模拟
总结词：时间常数
详细描述：与单位阶跃响应类似，一阶系统的单位脉冲响应的时间常数也是系统的重要参数，它决定 了系统衰减到零所需的时间。时间常数越小，系统衰减到零所需的时间越短。
实例三：一阶系统的动态性能优化实例
总结词
PID控制器
详细描述
为了优化一阶系统的动态性能，可以采用PID控制器。PID控制器能够根据系统 的输入和输出信号调整系统的参数，从而改善系统的性能指标，如超调量、调 节时间和稳态误差等。
详细描述：由于一阶系统的单位阶跃响应具有快速跟踪 的特点，因此系统在稳态时不会产生静差，输出能够精 确地跟踪输入信号。
详细描述：一阶系统的单位阶跃响应的时间常数是系统 的重要参数，它决定了系统达到稳态值所需的时间。时 间常数越小，系统达到稳态值所需的时间越短。
胡寿松《自动控制原理》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第3~4章)【圣才出品】
第3章线性系统的时域分析法3.1复习笔记本章考点：二阶欠阻尼系统动态性能指标，系统稳定性分析（劳斯判据、赫尔维茨判据），稳态误差计算。
一、系统时间响应的性能指标1．典型输入信号控制系统中常用的一些基本输入信号如表3-1-1所示。
表3-1-1控制系统典型输入信号2．动态性能与稳态性能（1）动态性能指标t r——上升时间，h（t）从终值10%上升到终值90%所用的时间，有时也取t＝0第一次上升到终值的时间（对有振荡的系统）；t p——峰值时间，响应超过中值到达第一个峰值的时间；t s——调节时间，进入误差带且不超出误差带的最短时间；σ%——超调量，()()%100%()p c t c c σ-∞=⨯∞（2）稳态性能稳态误差e ss 是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量，是指t→∞时，输出量与期望输出的偏差。
二、一阶系统的时域分析1．一阶系统的数学模型一阶系统的传递函数为：()1()1C s R s Ts +＝2．一阶系统的时间响应一阶系统对典型输入信号的时间响应如表3-1-2所示。
表3-1-2一阶系统对典型输入信号的时间响应由表可知，线性定常系统的一个重要特性：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定。
三、二阶系统的时域分析1．二阶系统的数学模型二阶系统的传递函数的标准形式为：222()()()2n n n C s s R s s s ωζωωΦ++＝＝其中，ωn 称为自然频率；ζ称为阻尼比。
2．欠阻尼二阶系统（重点）（1）当0＜ζ＜1时，为欠阻尼二阶系统，此时有一对共轭复根：21,2j 1n n s ζωωζ=-±-（2）单位阶跃响应()()d 211e sin 01n t c t t t ζωωβζ-=-+≥-式中，21arctanζβζ-=，或者β＝arccosζ，21dn ωωζ=-各性能指标如下：t r ＝（π－β）/ωd2ππ1p d n t ωωζ==-2π1%e100%ζζσ--=⨯3.5(0.05)s nt ζω=∆=4.4(0.02)s nt ζω=∆=3．临界阻尼二阶系统（1）当ζ＝1时，为临界阻尼二阶系统，此时s 1＝s 2＝－ωn 。
自动控制原理第三章
A=1，称单位斜坡函数,记为 t· 1(t)
f(t)
1 L[t 1( t )] 2 s
0 t
考查系统对匀速信号的跟踪能力
3. 抛物线函数（等加速度函数）
1 2 At t0 r (t ) 2 t0 0
f(t)
A=1，称单位抛物线函数,记为
1 2 t 1( t ) 2
线性定常系统的重要性质
1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系 统的输出则为原来输出的导数。 C ( s) GB ( s) R( s) dr( t ) C1 ( s ) GB ( s ) L[ ] G B ( s ) sR( s ) sC ( s ) dt dc( t ) c1 (t ) dt 2. 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号 时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分， 积分常数由零初始条件决定。 R( s ) 1 C 2 ( s ) GB ( s ) L[ r ( t )dt] GB ( s ) C ( s) s s y2 ( t ) y( t )dt
单位脉冲响应 [R(s)=1] h(t) 1 1/T C ( s) Ts 1 它恰是系统的闭环传函，这 0.368/T 时输出称为脉冲（冲激）响应 0.135/T 0.05/T 函数，以h(t)标志。 t 1 T 0 T 2T 3T h( t ) C脉冲 ( t ) e T 3.2.3
二阶系统有两个结构参数ξ (阻尼比)和n(无阻尼振荡频 率) 。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。
例如: RLC电路 R
L
r ( t)
C
c(t)
微分方程式为： d 2 c( t ) dc( t ) LC RC c( t ) r ( t ) 2 dt dt 2 n C ( s) 1 Φ( s ) 2 零初条件 2 2 2 R( s ) T s 2Ts 1 s 2n s n
(自动控制原理)3一阶系统的时间响应及动态性能
(自动控制原理)3一阶系 统的时间响应及动态性能
本节介绍一阶系统的定义、特点以及时间响应，探讨影响动态性能的因素和 常见应用场景，并讨论比例控制、积分控制和比例积分控制方法。
一阶系统的定义和特点
定义
一阶系统是指具有一个能量存储元件和一个能 量传递元件的线性系பைடு நூலகம்。
特点
一阶系统具有简单的结构、易于分析和控制、 但响应速度较慢。
一阶系统的时间响应
1
零状态响应
当输入信号改变时，系统从初始状态开始的响应。
2
零输入响应
当输入信号为零时，系统由初始状态跟踪到平衡状态的响应。
3
控制一阶系统的方法
比例控制、积分控制和比例积分控制。
一阶系统的动态性能指标
1 响应速度
衡量系统从初始状态到达稳定状态所需的时间。
2 超调量
描述系统响应超过稳态值的程度。
3 阻尼比
描述系统振荡响应的衰减程度。
影响一阶系统动态性能的因素
1 系统增益
增加系统增益可以加快响应速度，但可能导致超调量增加。
2 时延效应
时延会影响系统的稳定性和响应速度。
常见应用场景
温度控制
一阶系统常用于室内温度控制，如空调、恒温器等。
速度控制
一阶系统可用于调节电机速度，如风扇、电动车等。
结论
自动控制原理第3章
自动控制原理
17
调量越小， 响应的振荡 越弱，系统 的平稳性越 好,灵敏性？
越大，超
自动控制原理
18
3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应
一定时 ，瞬态分 量衰减速 度取 n e 决于 n 故 衰减系数
自动控制原理
19
3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应
（2）等幅振荡型
h(t ) 0 1 e nt 1
c (s)
自动控制原理
12
3-3-1 二阶系统的数学模型
开环传递函数
K G(s) s(Tm s 1)
c ( s) K ( s) r ( s ) Tm s 2 s K
R(S) C(S)
闭环传递函数
二阶系统微分方程 系统的闭环传递函数的标准形式：
2 n ( s) 2 2 s 2 n s n
自动控制原理
4
3-1 系统的时域性能指标
动态性能指标
在阶跃函数作用下测定或计算系统的动态性能指标 因为阶跃输入可以表征系统受到的最严峻的工作状态 （1）延迟时间
td
h ()
（2）上升时间
（3）峰值时间 （4）调节时间
tr
tp
0.9h() 0.5h() 0.1h()
td
ts
tr
ts
tp
5
误差带：±5%， ±2%
3-3-3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
（3）峰值时间 t p 的计算
dh(t ) n t e n p sin( d t p ) 0 dt t t p 1 2
则 sin( d t p ) 0
d t p 0, ,2 , d t p
自动控制原理-胡寿松-第三章-线性系统时域分析法
课前提问
3-3 二阶系统的时域分析（非常重点、难点）
二阶系统定义：能够用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 本节内容
0. 预备知识 1. 二阶系统的数学模型 2. 二阶系统的单位阶跃响应 3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 4. 过阻尼二阶系统的动态过程分析 5. 二阶系统的单位斜坡响应 6. 二阶系统性能的改善 7. 非零初始条件下二阶系统的响应过程
超调量 % ：
显然 h(tp) hmax
若 h(tp) h() 则响应无超调
实际中，常用的动态性能指标
tr
tp
评价系统起始段的响应速度；
ts
评价系统整个过渡过程的响应速度，是响应速度和阻尼程度的综合指标。
%
评价系统的阻尼程度；
思考：稳态误差从图中怎么看？
3-2 一阶系统的时域分析
一阶系统定义：能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
第三章 线性系统的时域分析法
系统的数序模型确定后，便可以用多种不同的方 法去分析控制系统的动态性能和稳态性能。
在经典控制理论中
时域分析的一般思路：
时域分析法 根轨迹法 频域分析法
数数数数
数数数数数数数 求解微分方程
数数数数
数数数数
优点：直接在时间域对系统进行分析，具有直观、准确的 优点，并可以提供系统时间响应的全部信息。
本章内容
▪ 3-1 系统时间响应的性能指标 ▪ 3-2 一阶系统的时域分析 ▪ 3-3 二阶系统的时域分析 ▪ 3-4 高阶系统的时域分析 ▪ 3-5 线性系统的稳定性分析 ▪ 3-6 线性系统的稳态误差计算 ▪ 3-7 控制系统时域设计
自动控制原理(第3章new)讲解
h(t) 11.25e3t sin(4t 53.1o )
% 9.48%
t p 0.785(s) ts 1.167(s)
四.二阶系统性能的改善
1. 比例—微分控制（PD）
R(s) E(s)
1
+
-
+
Td s
2 n
C(s)
s(s 2n )
h(t) 1
ent
1 2
sin(n
1 2t ),
其中： arctg(
1 2
)
或
1 0, t 0
h(t) 1
e( 2 1)nt
e( 2 1)nt
, 1, t 0
2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1)
te
nt
当t=0时，响应过程的变化率为零；当t>0时，响
应过程的变化率为正，响应过程单调上升；当 t
时，响应过程的变化率趋于零，响应过程趋于常值1。
单位阶跃响应是非周期地趋于稳态输出，此时，系统处于 临界阻尼情况。
5.当 1时，则特征方程 有两个不相等的负实根 ， 对应于s平面上的两个不 相等的实极点。
Td ——微分器时间常数
系统的开环传递函数为：
G(s)
2 n
(1
Td
s)
K (1 Td s)
s(s 2n ) s( s 1)
2n
其中： K n 2
——开环增益
令 z 1
Td
G(s) K(s z) zs( s 1)
自动控制原理课后答案第3章
第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。
微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。
对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。
本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。
根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。
这里先引入时域分析法的基本概念。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。
由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。
当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。
下面先介绍常用的典型输入信号。
3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。
为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
控制理论第三章
c(t) t T T et T t 0 (3-4)
系统对单位斜坡输入的时间响应和输 入信号表示于图3-5b中。
图3-5b 一阶系统的时间响应
第三章 控制系统的时域分析
§3-2 一阶系统的时间响应
误差信号为
e(t) r(t) c(t) t t T T et T T 1 et T
a)
b)
图3-6 二阶系统框图
第三章 控制系统的时域分析
§3-3 二阶系统的时间响应
❖ 二、二阶系统的单位阶跃响应
对单位阶跃输入r(t) 1(t) ，R(s) 1 ，从式(3-9)可以求出系统单
位阶跃响应的拉氏变换
s
C(s) G(s)R(s)
n2
1 1 s 2n
s2 2n s n2 s s s2 2n s n2
上升到100%所需的时间都叫做上升时间。 对于过阻尼和临界系统(ζ≥1)，通常采用 10%～90%的上升时间；对于欠阻尼系统 (0<ζ<1)，通常采用0～100%的上升时间。
3．峰值时间 ：响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时 间叫做峰值时间。
第三章 控制系统的时域分析
§3-1时间响应及系统性能指标
4．最大超调量：最大峰值(即第一个峰值)与理想稳态值1之间的
差值叫做最大超调量值Mp。通常采用百分比表
示最大相对超调量，定义为
σp
%
c(tp ) c() c()
100%
最大超调量的数值，直接说明了系统的相
对稳定性。
5．调整时间： 响应曲线第一次达到并永远保持在这一允许误差范 围内所需要的时间，叫做调整时间。
时间响应从零值到终值呈指
数曲线上升 。曲线在t = 0的初始 斜率为
自动控制原理-03-01
td
稳态误差(t→∞)
tr tp
t ts
6
第三章 线性系统的时域分析法
3-1 系统时间响应的性能指标 延迟时间td：响应曲线第一次达到其 终值一半所需时间。 上升时间tr：响应从终值10%上升到 终值90%所需时间； 对有振荡系统亦可定义为响应从零 第一次上升到终值所需时间。上升时间 是响应速度的度量。
3-2 一阶系统的时域分析
小结
一阶系统的典型响应与时间常数T密 切相关。只要时间常数T小，单位阶跃响 应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后 时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函 数。 线性系统对输入信号导数的响应，等 于系统对输入信号响应的导数。
17
例： 某一阶系统如图,（1） Kh=0.1, 求调节时间ts, （2）若要求ts=0.1s,求反馈系数 Kh . R(s) E(s) (- )
ur (t )
C
uc (t )
结构图 ：
R(s)
E(s) (- )
1/Ts
C(s)
10
3-2 一阶系统的时域分析
2. 一阶系统的单位阶跃响应
设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数 r(t)=1(t) ，可得一阶系统的单位阶跃响应为
h(t ) 1 e
S平面 j
1 t T
(t 0)
P=-1/T
7
第三章 线性系统的时域分析法
3-1 系统时间响应的性能指标
峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰 值所需时间。 调节时间ts：响应到达并保持在终值 ±5% 内 所需时间。 超调量%：响应的最大偏离量h(tp)与终值 h(∞)之差的百分比，即
%
h( t p ) h() h()
第三章线性系统的时域分析法
s
1 T2
1
T1s 1T2s 1
1
T1
n
2 1 ,
1 T2
n
2 1
【注】过阻尼二阶系统看作两个时间常数不同的一阶系统 的串联。
当系统的输入信号为单位阶跃函数时 R(s) 1 s
系统输出
c t L1 C s 1
T1
t
e T1
T2
t
e T2
T2 T1
T1 T2
c(t)
n 86.2, 0.2; t p 0.037, ts 0.174, % 52.7%, N 2.34
由此可见,KA越大, ξ越小, 越大n ,tp越小,б%越大, 而调节时间ts无多大变化。
3 KA 13.5
n 8.22, 2.1
系统工作在过阻尼状态,峰值时间,超调量和振荡 次数不存在,而调节时间可将二阶系统近似为大 时间常数T的一阶系统来估计或在响应曲线上求 得。
0.02 10
10KO (s) KOG(S) 0.2s 1 10KO
1 KHG(s) 1 10KH 0.2s 110KH 0.2s 1
0.2
110K 10KO
H
T* 0.02 K* 10
110KH
K H 0.9
KO
10
10KO 1 10K H
0.2 s 1 1 10K H
瞬态响应可以提供关于系统稳定性、响应速度及阻尼情 况等信息。
4. 稳态响应
指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系 统输出量的表现方式。稳态响应又称稳态过程。 稳态响应可以提供系统有关稳态误差的信息。
5. 稳定性
若控制系统在初始条件或扰动影响下，其瞬态响应随
着时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定；反之， 不稳定。
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⒊ 斜坡函数（速度函数）
0, t 0 x (t ) Bt , t 0
x (t )
t
0
B=1时称为单位斜坡函数。雷达—高射炮防空系统，当雷
达跟踪的目标以恒速率飞行，便可视为该系统工作为斜坡信号
典型输入信号
⒋ 抛物线函数（加速度函数）
0, t 0 x (t ) 1 2 Ct , t 0 2
说明
1、上升时间和峰值时间反映了系统的响应 速度；超调量反映了系统的阻尼程度；调节 时间同时反映系统响应速度和阻尼程度的综 合性指标。
2、除一、二阶系统外，精确确定这些指标 的解析式相当困难。
小结
理解系统的时间响应由动态过程和稳态过程
组成； 掌握动态性能指标的定义。
阻尼系数：是指放大器的额定负载(扬声器)阻 抗与功率放大器实际阻抗的比值。阻尼系数大 表示功率放大器的输出电阻小，阻尼系数是放 大器在信号消失后控制扬声器锥体运动的能力。 具有高阻尼系数的放大器，对于扬声器更象一 个短路，在信号终止时能减小其振动。
整个调节过程分为两个阶段: a.动态过程 反映系统的动态特性。输出量处于 激烈变化之中，其信息用动态性能描述。 b.稳态过程 反映系统的稳态特性。输出量稳定 在新的平衡状态，并保持不变。提供有关稳态误 差的信息，由稳态性能描述。
三、动态响应指标
注意tr的另一种定义。
描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程 随时间的变化状况的指标。
b0
d dt
m
r ( t ) b1d 源自tm 1 m 1r ( t ) b m 1
求c(t)与ai、bj、r(t)的关系(解析、几何)。
3
优点：时域分析是直接在时间域中 对系统进行分析的方法，从时域响应曲线 上能直接得到系统时间响应的全部信息， 具有直观和准确的优点。 缺点：难以判断系统结构和参数对 动态性能的影响，很难用于系统的设计。 对于高阶系统，系统分析的工作量将急剧 增加，不易确定其性能指标。必须借助计 算机实现。
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
4. 峰值时间tp——响应曲线到达第一个峰值所需的时间，定义 为峰值时间。 td tr tp表征系统响应初始阶段的快慢，反映过 渡过程初始阶段的快速性。 5. 调整时间ts——在响应曲线的稳态值附近，取±5% （或±2 %）作为误差带，响应曲线达到并不再超出该误差带的最小 时间，定义为调整时间。从整体上反映了系统的快速性。 6.稳态误差e (∞) ——当时间t 趋于无穷时，系统的实际值（稳 态值）与期望值（输入量）之差，定义为稳态误差。说明系 统的准确性。 7.振荡次数N： ——在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。 实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。
第三章 时域分析法
什么是时域分析? 指控制系统在典型输入信号作用下，根据 输出量的时域表达式（解析、几何），分析系 统的稳定性、动态性能和稳态性能。
已知系统微分方程形式的数学模型
a0 d dt
n n
c (t ) a1
m
d dt
n 1 n 1
c ( t ) a n 1
d dt
c (t ) a n c (t ) d dt r (t ) bm r (t )
3
第三章 时域分析法
第一节 系统时间响应 的性能指标
第一节 系统时间响应的性能指标
项目
教学目的
内容
了解系统的5个典型输入信号，了解系统时间 响应的两个过程，掌握系统时域响应的动态性能 指标。
教 学 重 点 系统时域响应的动态性能指标。
教学难点 不同响应曲线下动态性能指标的理解。结合图 及 其 处 理 示法讲解。
一 典型输入信号
为了能对不同的控制系统的性能用统一的标 准来恒量，通常需要选择几种典型的外作用。
选取原则
（1）在现场及实验中容易产生 （2）系统在工程中经常遇到，并且是最不利 的外作用。 （3）数学表达式简单，便于理论分析。
典型输入信号
⒈ 脉冲函数(冲击量输入) 单位脉冲函数：
0 (t ) t 0 t 0
(
( t ) dt 1)
(t )
1
(t )
0
0
t
t
理想单位脉冲函数
实际单位脉冲函数
典型输入信号
⒉ 阶跃函数
0, t 0 x (t ) A, t 0
x (t )
A
0
t
A：阶跃幅度，A=1称为单位阶跃函数，记为1(t)。
电源电压的波动、负载的突然增大或减小，飞机飞行中遇到 的常值阵风扰动等都可视为阶跃信号（函数）
结构阻尼是对振动结构所耗散的能量的测量，通常用振动一 次的能量耗散率来表示结构阻尼的强弱。 粘滞阻尼理论假定阻尼力与运动速度成正比，通常是用不同 频率的阻尼比ζ来表征系统的阻尼 一个二阶以及二阶以上的系统，在系统运动过程中系统的内 在能量的消耗有两种情况 1。系统能量保持不变 2。系统能量逐渐减少 阻尼系数就是表征能量减少这一特性的。
超调量σ% = B % 误差带
A
峰值时间
A
定 义 一
B 调节时间
上升时间
定 义 二
调节时间
上升时间
上升时间tr－rise time 峰值时间tp－peak time 调节时间ts－settling time
二、系统的性能指标
系统的瞬态性能通常以系统在初始条件为零的情况下， 对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量。 这时瞬态响应的性能指标有： 1.最大超调量sp——响应曲线偏离稳态值的最大值， 常以百分比表示，即 最大百分比超调量sp＝ 最大超调量说明系统的相对稳定性。 2.延滞时间td——响应曲线到达稳态值50%所需的时间， 称为延滞时间。 3. 上升时间tr——它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从稳态值的5%到95%所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
x (t )
0
C=1时称为单位抛物线函数。宇宙飞船控制系统
x (t )
t
⒌ 正弦函数
x ( t ) ASin t
0
t
舰船在海里的波动等可视为正弦信号
典型输入信号
分析系统特性究竟采用何种典型输入信 号，取决于实际系统最常见的工作状态。同 时往往选取最不利的信号作为系统的典型输 入信号。
二、系统响应过程
当输入信号突然发生跳变时，这时输出量还处在原 有的平衡状态，这样就出现了偏差，这个偏差控制输 出量达到新的平衡，这就是一个调节过程。
r(t)
1
c(t)
2 1 1
实际
理想的 调节过程
0
t
0
t
理想的调节过程是：出现偏差后，执行机构突然 动作，使输出量立即达到新的平衡状态，调节过程瞬 时完成，即：c(t)≡r(t)，实际上这是不可能的，因 为什么呢？对，惯性。所以当输出量发生跳变时，任 何实际系统从原平衡状态到达新的平衡状态都要经历 一个过渡过程，过渡过程的曲线形状随系统的不同而 有所差异，有的是单调增长到稳定值（曲线1），有 的是衰减到稳定值（曲线2）。