第六部分 函数题库及答案

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北师大九年级数学上第六章反比例函数单元综合检测题(含答案)

北师大九年级数学上第六章反比例函数单元综合检测题(含答案)

第六章单元测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分) 1. 下列函数中,y 是x 的反比例函数的是(D )A .x(y -1)=1B .y =1x +1C .y =1x 2D .y =3x 2. 图象经过点(2,1)的反比例函数是(B )A .y =-2xB .y =2xC .y =-12xD .y =2x3. 在反比例函数y =m -7x 的图象的每一支上,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是(A )A .m>7B .m<7C .m =7D .m ≠74. 已知电流I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之间的关系为I =UR ,当电压为定值时,I 关于R 的函数图象是(C )5. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地,当他按原路匀速返回时,汽车的速度v 千米/小时与时间t 小时的函数关系式是(B )A .v =320tB .v =320t C .v =20t D .v =20t6. 对于反比例函数y =-3x,下列说法不正确的是(D )A .图象经过点(1,-3)B .图象分布在第二、四象限C .当x >0时,y 随x 的增大而增大D .点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)都在反比例函数y =-3x的图象上,若x 1<x 2,则y 1<y 27. 一次函数y =ax +b 与反比例函数y =a -bx ,其中ab<0,a ,b 为常数,它们在同一坐标系中的图象可以是(C )8. 如图,菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3,4),顶点A 在x 轴的正半轴上.反比例函数y =kx (x>0)的图象经过顶点B ,则k 的值为(D )A .12B .20C .24D .32,第8题图) ,第9题图),第10题图)9. 一次函数y 1=kx +b 和反比例函数y 2=mx的图象如图,则使y 1>y 2的x 范围是(B )A .x <-2或x >3B .-2<x <0或x >3C .x <-2或0<x <3D .-2<x <310. 如图,在直角坐标系中,点A 在函数y =4x (x>0)的图象上,AB ⊥x 轴于点B ,AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ,与函数y =4x (x>0)的图象交于点D ,连接AC ,CB ,BD ,DA ,则四边形ACBD 的面积等于(C )A .2B .23C .4D .4 3二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)11. 若反例函数y =kx 的图象经过点(-1,2),则k 的值是-2.12. 已知反比例函数y =2x,当x<-1时,y 的取值范围为-2<y<0.13. 已知正比例函数y =-2x 与反比例函数y =kx 的图象的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点的坐标为(1,-2).14. 如图,反比例函数y =2x 的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ,则矩形OABC 的面积为4.,第14题图) ,第15题图),第16题图)15. 如图,直线x =2与反比例函数y =2x ,y =-1x的图象分别交于A ,B 两点,若点P是y 轴上任意一点,则△PAB 的面积是32.16. 某校举行田径运动会,学校准备了某种气球,这些气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(kPa )是气体体积V(m 3)的反比例函数,其图象如图所示.当气球内的气压大于150 kPa 时,气球会将爆炸,为了安全起见,气体的体积应不小于0.4m 3.三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)17. 已知反比例函数的图象与直线y =2x 相交于点A(1,a),求这个反比例函数的表达式.解:将点A(1,a)代入直线y =2x 得a =2×1=2.点A 的坐标为(1,2),代入y =kx 得k=2,∴反比例函数的表达式为y =2x18. 已知反比例函数的图象过点A(-2,3). (1)求这个反比例函数的表达式;(2)这个函数的图象分布在哪些象限?y 随x 的增大如何变化?解:(1)y =-6x (2)分布在第二、四象限,在每个象限内y 随x 的增大而增大19. 如图,一辆汽车从甲地到乙地的行驶时间t(h )与行驶速度v(km /h )的函数关系如图所示,根据图象提供的信息,求:(1)t 与v 之间的函数关系式;(2)若要在3 h 内到达乙地,则汽车的速度应不低于多少?解:(1)t =300v (2)当t =3 h 时,v =100(km /h ).∵t 随v 地增大而减小,∴v ≥100,即汽车的速度应不低于100 km /h四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)20. 如图,一次函数y =2x -4的图象与反比例函数y =kx 的图象交于A ,B 两点,且点A的横坐标为3.(1)求反比例函数的表达式; (2)求点B 的坐标.解:(1)把x =3代入y =2x -4得y =6-4=2,则A 的坐标是(3,2).把(3,2)代入y =k x 得k =6,则反比例函数的表达式是y =6x (2)根据题意得2x -4=6x ,解得x =3或x =-1,把x =-1代入y =2x -4得y =-6,则B 的坐标是(-1,-6)21. 已知反比例函数y =kx (k≠0)的图象经过点B(3,2),点B 与点C 关于原点O 对称,BA ⊥x 轴于点A ,CD ⊥x 轴于点D.(1)求这个反比函数的表达式; (2)求△ACD 的面积.解:(1)将B 点坐标代入函数表达式,得k 3=2,解得k =6,反比例函数的表达式为y =6x(2)由B(3,2),点B 与点C 关于原点O 对称,得C(-3,-2).由BA⊥x 轴于点A ,CD ⊥x 轴于点D ,得A(3,0),D(-3,0).S △ACD =12AD·CD=12[3-(-3)]×|-2|=622. 如图,一次函数y =kx +b 的图象与坐标轴分别交于A ,B 两点,与反比例函数y =nx的图象在第一象限的交点为C ,CD ⊥x 轴,垂足为D ,若OB =3,OD =6,△AOB 的面积为3. (1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)直接写出当x>0时,kx +b -nx<0的解集.解:(1)∵S AOB =3,OB =3,∴OA =2,∴B(3,0),A(0,-2),代入y =kx +b 得⎩⎪⎨⎪⎧0=3k +b ,-2=b ,解得k =23,b =-2,∴一次函数的表达式为y =23x -2,∵OD =6,∴D(6,0),CD ⊥x 轴,当x =6时,y =23×6-2=2,∴C(6,2),∴n =6×2=12,∴反比例函数的表达式是y =12x(2)当x>0时,kx +b -nx<0的解集是0<x<6五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分) 23. 保护生态环境,建设绿色社会已经从理念变为人们的行动,某化工厂1月的利润为200万元.设1月为第1个月,第x 个月的利润为y 万元.由于排污超标,该厂决定从1月底起适当限产,并投入资金进行治污改造,导致月利润明显下降,从1月到5月,y 与x 成反比例,到5月底,治污改造工程顺利完工,从这时起,该厂每月的利润比前一个月增加20万元(如图).(1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后,y 与x 之间的函数关系式; (2)治污改造工程顺利完工后经过几个月,该厂月利润才能达到200万元?(3)当月利润少于100万元时,为该厂资金紧张期,问该厂资金紧张期共有几个月?解:(1)①当1≤x≤5时,y =200x ;②当x>5时,y =20x -60 (2)当y =200时,20x-60=200,解得x =13,13-5=8,所以治污改造工程顺利完工后经过8个月后,该厂利润达到200万元 (3)对于y =200x ,当y =100时,x =2;对于y =20x -60,当y =100时,x =8,所以资金紧张的时间为8-2-1=5(个月)24. 如图,正方形OABC 的面积为9,点O 为坐标原点,点B 在函数y =kx (k >0,x >0)的图象上点P(m ,n)是函数图象上任意一点,过点P 分别作x 轴y 轴的垂线,垂足分别为E ,F.并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合的部分的面积为S.(1)求k 的值;(2)当S =92时,求点P 的坐标;(3)写出S 关于m 的关系式.解:(1)k =9 (2)分两种情况:①当点P 在点B 的左侧时,∵P(m ,n)在函数y =kx 上,∴mn =9,∴S =m(n -3)=mn -3m =92,解得m =32,∴n =6,∴点P 的坐标是P(32,6);②当点P 在点B 的右侧时,∵P(m ,n)在函数y =k x 上,∴mn =9,∴S =n(m -3)=mn -3n =92,解得n =32,∴m =6,∴点P 的坐标是P(6,32),综上所述:P 点坐标为(6,32)或(32,6) (3)当0<m <3时,点P 在点B 的左边,此时S =9-3m ,当m≥3时,点P 在点B 的右边,此时S =9-3n =9-27m25. 如图,一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =mx (x >0)的图象交于点P(n ,2),与x 轴交于点A(-4,0),与y 轴交于点C ,PB ⊥x 轴于点B ,点A 与点B 关于y 轴对称.(1)求一次函数,反比例函数的表达式; (2)求证:点C 为线段AP 的中点;(3)反比例函数图象上是否存在点D ,使四边形BCPD 为菱形?如果存在,说明理由并求出点D 的坐标;如果不存在,说明理由.解:(1)反比例函数表达式为y =8x ,一次函数表达式为y =14x +1 (2)∵点A 与点B 关于y 轴对称,∴OA =OB ,∵PB ⊥x 轴于点B ,∴∠PBA =∠COA=90°,∴PB ∥CO ,∴OA OB =ACPC =1,即AC =PC ,∴点C 为线段AP 的中点 (3)存在点D ,使四边形BCPD 为菱形.理由:∵点C 为线段AP 的中点,∴BC =12AP =PC ,∴BC 和PC 是菱形的两条边,由y =14x +1可得C(0,1),过点C 作CD∥x 轴,交PB 于点E ,交反比例函数图象于点D ,分别连接PD ,BD ,∴D(8,1),且PB⊥CD,∴PE =BE =1,CE =DE =4,∴PB 与CD 互相垂直平分,即四边形BCPD 为菱形,∴存在满足条件的点D ,其坐标为(8,1)。

C语言程序设计 第六章 函数 试题及答案

C语言程序设计 第六章 函数 试题及答案
A)实参可以是常量、变量或表达式
B)形参可以是常量、变量或表达式
C)实参可以是任意类型
D)实参应与其对应的形参类型一致
参考答案:B
6.8以下正确的说法是。
A)定义函数时,形参的类型说明可以放在函数体内
B)return后面的值不能为表达式
C)如果函数的类型与返回值类型不一致,以函数类型为准
D)如果形参与实参的类型不一致,以实参类型为准
A)float型B)int型C)long型D)double型
参考答案:B
6.12 C语言规定,函数返回值的类型是由所决定。
A)return语句中的表达式类型
B)调用该函数时的主调函数类型
C)调用该函数是系统临时指定
D)在定义该函数时所指定的函数类型
参考答案:D
*6.13下面函数调用语句含有实参的个数为。
if(m!=-1) n=m;
}
printf("\nn=%d",n);
}
【1】A)k*10 B)k%10 C)k/10 D)k*10%10
【2】A)a2*10 B)a2 C)a2/10 D)a2%10
参考答案:【1】C【2】A
6.18以下是有关汉诺塔问题的程序段,若在main函数中有调用语句hanoi(3,'A','B','C');则符合程序段运行结果的选项是。
A-->C A-->C B-->C B-->C
A-->B A-->B A-->C A-->C
参考答案:C
6.19若用数组名作为函数调用的实参,传递给形参的是。
A)数组的首地址B)数组第一个元素的值
C)数组中全部元素的值D)数组元素的个数

鲁教版2019七年级数学第六章一次函数单元练习题(附答案)

鲁教版2019七年级数学第六章一次函数单元练习题(附答案)

鲁教版2019七年级数学第六章一次函数单元练习题(附答案)1.下列函数中,是一次函数但不是正比例函数的是( )A.y =-2xB.y =-5xC.y =-12x -D.y =21x x- 2.下列变量之间的关系中,是函数关系的是 ( )A.人的体重与年龄B.正方形的周长与边长C.长方形的面积与长D.y 中,y 与x3.下列点在一次函数y =2x 的图象上的是( )A .(2,3)B .(3,6)C .(0,3)D .(3,0)4.当kb <0时,一次函数y=kx+b 的图象一定经过( )A .第一、三象限B .第一、四象限C .第二、三象限D .第二、四象限5.如图,经过点B (1,0)的直线y =kx +b 与直线y =4x +4相交于点A (m ,83),则0<kx +b <4x +4的解集为( )A .x <-13B .-13<x <1C .x <1D .-1<x <1 6.已知反比例函数k y x=的图象如图所示,则y=kx-2的图象大致是(如图所示)( )A. B. C. D.7.一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始4min 内只进水不出水,在随后的8min 内既进水又出水,每分钟的进水量和出水量是两个常数,容器内的水量y (单位:L )与时间x (单位:min )之间的关系如图所示.则8min 时容器内的水量为( )8.已知一次函数2(2)4y k x k =++-的图象经过原点,则( )A.k =±2B.k =2C.k = -2D.无法确定9.根据下表:判断y 与x 的关系式正确的是( )A.3y x =B.13y x =C.3y x =-D.36y x =-+ 10.甲、乙两同学从A 地出发,骑自行车在同一条路上行驶到距A 地18千米的B 地,他们离开A 地的距离S (千米)和行驶时间t (小时)之间的函数关系图象如图所示,根据题目和图象所提供的信息,下列说法正确的是( )A.乙比甲先到达B 地B.乙在行驶过程中没有追上甲C.乙比甲早出发半小时D.甲的行驶速度比乙的行驶速度快11.一次函数的图象如图所示,则其函数关系式为_______.12.在一次自行车越野赛中,出发mh 后,小明骑行了25km ,小刚骑行了18km ,此后两人分别以a km/h ,b km/h 匀速骑行,他们骑行的时间t (单位:h )与骑行的路程s (单位:km )之间的函数关系如图所示,观察图象,可得小刚追上小明时离起点__________km ;13.如图,在平面直角坐标系中,为原点,直线与双曲线,分别交于,两点,则_____________.14.火车“动车组”以250千米/时的速度行驶,则行驶的路程s(千米)与行驶时间t(小时)之间的函数关系式是_______________,它是_________________函数.(填“正比例”或“一次”)15.已知一次函数y=kx+2k+3的图象不经过第三象限,则k 的取值范围是________. 16.一次函数y= -3x+9的图象与x 轴交点坐标是__________17.一次函数13y x =-+与2312y x =-+的图象的交点坐标是__________.当x __________时,12y y >.18.对于一次函数,当自变量的取值为时,相应的函数值的范围为,则该函数的解析式为 。

《高等数学一》第六章 多元函数微分学 历年试题模拟试题课后习题大汇总(含答案解析)

《高等数学一》第六章 多元函数微分学  历年试题模拟试题课后习题大汇总(含答案解析)

第六章多元函数微分学[单选题]1、设积分域在D由直线所围成,则=().A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】实用文档[单选题]2、().A、9B、4C、3实用文档D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】?? [单选题]3、设,则=().A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】实用文档首先设出,然后求出最后结果中把用次方代换一下就可以得到结果.[单选题]4、实用文档设则().A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到. [单选题]5、设,=().A、B、实用文档C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】实用文档对x求导,将y看做常数,.[单选题]6、设,则= ().A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】实用文档【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、实用文档函数的定义域为().A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】,,综上满足:.[单选题]9、().A、0B、﹣1C、1D、∞【从题库收藏夹删除】实用文档【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]10、设,则().A、实用文档B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]11、函数的确定的隐函数,则=().A、B、C、实用文档D 、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】方程左右两边求导,,实用文档.[单选题]12、设,则在(0,0)处().A、取得极大值B、取得极小值C、无极值D、无法判定是否取得极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】故,故取得极小值[单选题]13、设,则=().A、实用文档B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]实用文档14、设z=x^2/y,x=v-2u,y=u+2v,则().A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、设函数z=ln(x2+y2),则=( )A、实用文档B、C、D、实用文档【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]16、设函数,则=().A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P178~179。

2022版高考数学总复习文档-第六节-对数与对数函数-含答案

2022版高考数学总复习文档-第六节-对数与对数函数-含答案

第六节对数与对数函数学习要求:1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x(a>0,且a≠1)互为反函数.1.对数的概念(1)对数的定义一般地,如果①a x=N(a>0,且a≠1) ,那么数x叫做以a为底N的对数,记作②x=log a N ,其中③a叫做对数的底数,④N叫做对数的真数.(2)几种常见的对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1) ⑤ log a N常用对数底数为10 ⑥ lg N自然对数底数为e ⑦ ln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质(i)负数和0无对数.(ii)1的对数等于0,即log a1=0(a>0且a≠1).(iii)log a a=1(a>0且a≠1).▶提醒a log a N=⑧N ;log a a N=⑨N (a>0且a≠1). (2)换底公式及其推论换底公式:⑩ log b N =log a Nlog a b(a,b均大于0且不等于1).推论:log a b=1log b a ,lo g a m bn=nmlog a b(a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R,且m≠0),log a b·log b c·log c d= log a d (a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么log a(MN)= log a M+log a N ,log a MN= log a M-log a N ,log a M n=n log a M (n∈R).3.对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R图象恒过点(1,0),即x =1时,y =0当x >1时,y >0; 当0<x <1时,y <0 当x >1时,y <0; 当0<x <1时,y >0 是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数▶提醒 当对数函数的底数a 的大小不确定时,需分a >1和0<a <1两种情况进行讨论. 4.反函数指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数y =loga x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y =x 对称.知识拓展1.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.2.对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a ,1),(1a ,-1),函数图象只在第一、四象限.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)log a(MN)=log a M+log a N.()(2)函数y=log a x2与函数y=2log a x相等.()(3)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.()(4)函数y=ln1+x1-x与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√2.(新教材人教A版必修第一册P127T3改编)log29×log34+2log510+log50.25=()A.0B.2C.4D.6答案 D3.(新教材人教A版必修第一册P133例3改编)已知a=ln 3,b=log3e,c=logπe,则下列关系正确的是()A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a答案 A4.(新教材人教A版必修第一册P159T1改编)图中曲线是对数函数y=log a x的图象,已知a取√3,43,35,110四个值,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为()A.√3,43,35,110B.√3,43,110,35C.43,√3,35,110D.43,√3,110,35答案 A5.已知函数f(x)=log a(2x-a)在区间[23,34]上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是.答案(12,1)对数式的化简与求值1.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则()A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.2c =2a+1bD.1c=2b−1a答案AD∵a,b,c都是正数, 故可设4a=6b=9c=M,∴a=log4M,b=log6M,c=log9M,则1a =log M4,1b=log M6,1c=log M9.∵log M4+log M9=2log M6,∴1a +1c=2b,即1c=2b−1a,去分母整理得,ab+bc=2ac.故选AD.2.计算:2log 23+2log 31-3log 77+3ln 1= . 答案 0解析 原式=3+2×0-3×1+3×0=0. 3.计算:(lg 14-lg25)×10012= . 答案 -20解析 原式=(lg 2-2-lg 52)×10012=lg (122×52)×10=lg 10-2×10=-2×10=-20.4.计算:(1-log 63)2+log 62·log 618log 64= .答案 1 解析 原式 =1-2log 63+(log 63)2+log 663·log 6(6×3)log 64=1-2log 63+(log 63)2+1-(log 63)2log 64=2(1-log 63)2log 62=log 66-log 63log 62=log 62log 62=1.名师点评1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数,然后逆用对数的运算法则,化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b=N⇔b=log a N(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.对数函数的图象及应用典例1(1)(2020安徽亳州二模)在同一个平面直角坐标系中,函数f(x)=1a x 与g(x)=lg ax的图象可能是()(2)(2020宁夏银川模拟)已知函数f(x)=|ln x|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则2a+b的取值范围是()A.(2√2,+∞)B.[2√2,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)答案(1)A(2)B解析(1)由题意a>0且a≠1,所以函数g(x)=lg ax单调递减,故排除B、D;对于A、C,由函数f(x)=1a x 的图象可知0<a<1,对于函数g(x)=lg ax,g(1)=lg a<0,故A正确,C错误.(2)f(x)=|ln x|的图象如下:因为0<a<b且f(a)=f(b),所以|ln a|=|ln b|且0<a<1,b>1,所以-ln a=ln b,即ab=1,易得2a+b≥2√2ab=2√2,当且仅当2a=b,即a=√22,b=√2时等号成立.故选B.名师点评1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.常把一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.(2020广东惠州模拟)当a >1时,在同一坐标系中,函数g (x )=a -x 与f (x )=-log a x 的图象大致是( )答案 D 因为a >1,所以g (x )=a -x=(1a )x为R 上的减函数,且过(0,1);f (x )=-log a x 为(0,+∞)上的减函数,且过(1,0), 故只有D 选项符合.2.(2020陕西榆林三模)设x 1、x 2、x 3均为实数,且e -x 1=ln x 1,e -x 2=ln(x 2+1),e -x 3=lg x 3,则( ) A.x 1<x 2<x 3 B.x 1<x 3<x 2 C.x 2<x 3<x 1 D.x 2<x 1<x 3 答案 D 因为e -x 1=ln x1⇒(1e )x 1=ln x 1,e-x 2=ln(x 2+1)⇒(1e )x 2=ln(x 2+1),e-x 3=lg x3⇒(1e )x 3=lg x 3,所以作出函数y =(1e )x,y 1=ln x ,y 2=ln(x +1),y 3=lg x 的函数图象,如图所示:由图象可知函数y 2,y 1,y 3与y 的交点A ,B ,C 的横坐标依次为x 2,x 1,x 3,即有x 2<x 1<x 3.故选D .对数函数的性质及应用角度一 比较对数值的大小典例2 (2020课标Ⅲ理,12,5分)已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( )A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b 答案 A a =log 53∈(0,1),b =log 85∈(0,1),则ab =log 53log 85=log53·log58<(log 53+log 582)2=(log 5242)2<1,∴a <b.又∵134<85,∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log 13135<log 13(13×85),即log 138>45, ∴c >45. 又∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log 8(8×55)<log 885, 即log 85<45,∴b <45.综上所述,c >b >a ,故选A . 角度二 解简单的对数不等式典例3 若log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,12)C.(12,1)D.(0,1)∪(1,+∞)答案 C 由题意得a >0且a ≠1,故必有a 2+1>2a ,又log a (a 2+1)<log a 2a <0,所以0<a <1,且2a >1,∴a >12.故a 的取值范围是(12,1).角度三 与对数函数有关的复合函数问题典例4 已知函数f (x )=log a (ax 2-x ).(1)若a =12,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )在区间[2,4]上是增函数,求实数a 的取值范围.解析 (1)当a =12时,f (x )=lo g 12(12x 2-x),由12x 2-x >0,得x 2-2x >0,解得x <0或x >2,所以函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),利用复合函数单调性可得函数f (x )的增区间为(-∞,0),减区间为(2,+∞).(2)令g (x )=ax 2-x ,则函数g (x )的图象开口向上,对称轴为x =12a 的抛物线,①当0<a<1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数, 则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递减,且g(x)min=ax2-x>0,即{12a≥4,g(4)=116a-14>0,此不等式组无解.②当a>1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数, 则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增,且g(x)min=ax2-x>0,即{12a≤2,g(2)=4a-2>0,解得a>12,又a>1,∴a>1.综上实数a的取值范围为(1,+∞).名师点评(1)确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响,并且真数必须为正.1.(2020课标Ⅲ文,10,5分)设a=log32,b=log53,c=23,则()A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b答案 A 因为a =log 32=log 3√83<log3√93=23=c , b =log 53=log 5√273>log5√253=23=c ,所以a <c <b.故选A .2.若a >b >0,0<c <1,则 ( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c bC.a c <b cD.c a >c b答案 B ∵0<c <1,∴当a >b >1时,log a c >log b c ,故A 项错误;∵0<c <1,∴y =log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a >b >0,∴log c a <log c b ,故B 项正确;∵0<c <1,∴y =x c 在(0,+∞)上单调递增,又∵a >b >0,∴a c >b c ,故C 项错误;∵0<c <1,∴y =c x 在(0,+∞)上单调递减,又∵a >b >0,∴c a <c b ,故D 项错误.故选B .3.若函数f (x )=log a (x 2+32x)(a >0,a ≠1)在区间(12,+∞)上恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为 .答案 (0,+∞)解析 令M =x 2+32x ,当x ∈12,+∞时,M ∈(1,+∞),因为f (x )>0,所以a >1,所以函数y =log a M 为增函数,又M =(x +34)2−916,因此M 的单调递增区间为(-34,+∞).又x 2+32x >0,所以x >0或x <-32,所以函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞).A组基础达标1.(2020课标Ⅰ文,8,5分)设a log34=2,则4-a= ()A.116B.19C.18D.16答案 B2.(多选题)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.1a <1bB.ab<0C.a+b<0D.ab<a+b 答案BCD3.已知a=log2e,b=ln 2,c=lo g1213,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案 D4.(多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),则下列论述中正确的是()A.当a=0时, f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)B.当a=0时,f(x)一定有最小值C.当a=0时, f(x)的值域为RD.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是[-4,+∞)答案AC对于A,当a=0时,解x2-1>0,有x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;对于B,当a=0时,f(x)=lg(x2-1),x2-1∈(0,+∞),此时f(x)=lg(x2-1)的值域为R,故B错误,C正确;对于D,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,此时y=x2+ax-a-1的图象的对称轴的方程为直线x=-a 2,则-a2≤2,解得a≥-4.但当a=-4时,f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误.故选AC.5.(2020陕西西安高三二模)函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间是.答案(1,+∞)解析由题意可知x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,即函数y=log5(x2+2x-3)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).令g(x)=x2+2x-3,则函数g(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性,可得函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间为(1,+∞).6.函数f(x)=e x-e-x+ln1+x1-x+1,若f(a)+f(1+a)>2,则a的取值范围是.答案(-12,0)解析由题意得, f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称设g(x)=f(x)-1=e x-e-x+ln1+x1-x,则g(-x)=e-x-e x+ln1-x1+x,则g(-x)+g(x)=0,所以g(x)是(-1,1)上的奇函数,因为f(a)+f(1+a)>2,所以f(1+a)-1>-f(a)+1,所以f(1+a)-1>-[f(a)-1],即g(1+a)>-g(a)=g(-a),因为y=e x-e-x单调递增,y=ln1+x1-x单调递增,所以g(x)单调递增,则{-1<a<1,-1<1+a<1,1+a>-a,即−12<a<0.故a的取值范围是(-12,0).7.已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).(1)若f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值及f(x)的值域;(2)若f(x)在区间[-3,1]上是减函数,求a的取值范围.解析(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2-ax+3),故a=0,所以f(x)=ln(2x2+3),定义域为R,符合题意.令t=2x2+3,则t≥3,所以ln t≥ln 3,故f(x)的值域为[ln 3,+∞).(2)设u(x)=2x2+ax+3,f(u)=ln u.因为f(x)在[-3,1]上是减函数,所以u(x)=2x2+ax+3在[-3,1]上是减函数,且u(x)>0在[-3,1]上恒成立,故{-a4≥1,u(x)min=u(1)=5+a>0,解得-5<a≤-4,即a的取值范围是(-5,-4].B组能力拔高8.(2020山西大同三模)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=log a(x+2)(a>0,且a≠1)的图象大致为()答案A由题意知,函数f(x)=2-ax(a>0,且a≠1)为减函数,当0<a<1时,函数f(x)=2-ax的零点为x=2a>2,且函数g(x)=log a(x+2)在(-2,+∞)上为减函数,故C,D均不正确;当a>1时,函数f(x)=2-ax的零点为x=2a <2,且x=2a>0,且g(x)=log a(x+2)在(-2,+∞)上是增函数,故B不正确,故选A.9.(多选题)(2020山东济南模拟)已知函数f(x)=lg(1|x-2|+1),则下列说法正确的是()A.f(x+2)是偶函数B.f(x+2)是奇函数C.f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数D.f(x)没有最小值答案AD因为f(x)=lg(1|x-2|+1),所以f (x +2)=lg (1|x |+1),定义域为{x |x ≠0},关于原点对称,又f (-x +2)=lg (1|-x |+1)=lg (1|x |+1)=f (x +2),所以f (x +2)为偶函数,故A 说法正确,B 说法错误; f (x )=lg (1|x -2|+1)={lg (1x -2+1),x >2,lg (12-x +1),x <2.因为当x ∈(2,+∞)时,y =1x -2为减函数,所以y =1x -2+1为减函数,所以y =lg (1x -2+1)在区间(2,+∞)上为减函数,故C 说法错误;因为当x ∈(2,+∞)时,y =lg (1x -2+1)为减函数,且当x →+∞时,y →0,所以f (x )没有最小值,故D 说法正确.10.(2020辽宁高三三模)设f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时, f (x )=log 3(x +1)+ax 2-a +1(a 为常数),则不等式f (3x +4)>-5的解集为 ( )A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)答案 D 因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,解得a =1,所以当x ≥0时,f (x )=log 3(x +1)+x 2.因为函数y =log 3(x +1)和y =x 2在x ∈[0,+∞)上都是增函数,所以f (x )在[0,+∞)上单调递增.由奇函数的性质可知,y =f (x )在R 上单调递增,因为f (2)=5,f (-2)=-5,所以f (3x +4)>-5⇒f (3x +4)>f (-2),即3x+4>-2,解得x>-2.11.(2020课标Ⅰ理,12,5分)若2a+log2a=4b+2log4b,则()A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2答案B2a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b),令f(x)=2x+log2x,则f(a)<f(2b),又易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a<2b,故选B.12.(2020河北邢台模拟)若当x∈(1,2]时,不等式(x-1)2≤log a x恒成立,则实数a的取值范围为.答案(1,2]解析因为当x∈(1,2]时,不等式(x-1)2≤log a x恒成立,所以{a>1,log a2≥1,解得1<a≤2,故实数a的取值范围是(1,2].13.已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x2)·f(√x)>k·g(x)恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)易知h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(log2x-1)2+2.因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].(2)由f (x 2)·f (√x )>k ·g (x )可得(3-4log 2x )(3-log 2x )>k ·log 2x.令t =log 2x ,因为x ∈[1,4],所以t =log 2x ∈[0,2],即(3-4t )(3-t )>k ·t 对任意t ∈[0,2]恒成立.当t =0时,k ∈R;当t ∈(0,2]时,k <(3-4t )(3-t )t 恒成立, 即k <4t +9t -15恒成立.因为4t +9t ≥12,当且仅当4t =9t ,即t =32时取等号,所以4t +9t -15的最小值为-3,即k <-3.综上,k 的取值范围是(-∞,-3).C 组 思维拓展14.(2020吉林长春高三模拟)若函数f (x )={log 12(3-x )m ,x <1,x 2-6x +m ,x ≥1的值域为R,则m 的取值范围为( )A.(0,8]B.(0,92]C.[92,8] D.(-∞,-1]∪(0,92]答案B①若m>0,则当x<1时, f(x)=lo g12(3-x)m单调递增,当x≥1时, f(x)=x2-6x+m=(x-3)2+m-9在(3,+∞)上单调递增,在[1,3)上单调递减,若函数f(x)的值域为R,则需f(3)=m-9≤m lo g12(3-1)=-m,解得0<m≤92;②若m≤0,则当x<1时,f(x)=lo g12(3-x)m单调递减或为常数函数,当x≥1时,f(x)=x2-6x+m=(x-3)2+m-9在(3,+∞)上单调递增,在[1,3)上单调递减,不满足函数f(x)的值域为R,舍去.综上,m的取值范围为(0,92],故选B.15.(2020山西运城高三模拟)已知函数f(x)=ln2+x2-x,g(x)=m(x-√4-x)+2,若∀x1∈[0,4],∃x2∈[0,1],使得f(x2)<g(x1),则实数m的取值范围是()A.[14ln3-12,1-12ln3]B.(14ln3-12,1-12ln3)C.(-12,1)D.[-12,1]答案C∀x1∈[0,4],∃x2∈[0,1],使得f(x2)<g(x1)等价于f(x)min<g(x)min.函数f(x)=ln2+x2-x=ln(2+x)-ln(2-x),-2<x<2.因为y=ln(2+x)与y=-ln(2-x)在[0,1]上为增函数,所以函数f(x)在[0,1]上为增函数,所以f(x)min=f(0)=0.易知函数y=x-√4-x在[0,4]上为增函数,则-2≤x-√4-x≤4.故当m>0时,-2m+2≤g(x)≤4m+2,因为f(x)min<g(x)min,所以0<-2m+2,解得0<m<1;当m=0时,g(x)min=2>0,满足f(x)min<g(x)min;<m<0.当m<0时,4m+2≤g(x)≤-2m+2,因为f(x)min<g(x)min,所以0<4m+2,解得-12 <m<1.综上可知,-12。

九年级数学上册第六章《反比例函数》测试卷-北师大版(含答案)

九年级数学上册第六章《反比例函数》测试卷-北师大版(含答案)

九年级数学上册第六章《反比例函数》测试卷-北师大版(含答案)(满分 120 分)一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列函数中,是反比例函数的是( )A. y = -2xB. y =-12xC. y =11x- D. y =21x 2.已知点 P (-1,4)在反比例函数y = kx(k =0)的图象上,则K 值是( ) A. -14B.14 C. 4 D. -4 3.下列各点中,在函数y = -6x图象上的是( )A. (-2,-4)B.(2,3)C.(-1,6)D.(-12,3)4.反比例函数y =5m x-的图象在第二、四象限内,那么m 的取值范围是( ) A. m <0B. m >0C.m >5D. m <55. 函数4y=-x,当x >0时的图象为下图中的( )6.已知点(1,y 1),B (2,y 2),C (-3,y 3)都在反比例函数y =6x 的图象上,则y 1,y 2 ,y 3;的大小关系是( ) A. y 3<y 1 <y 2; B. y 1<y 2<y 3; C. y 2,y 1,y 3; D. y 3<y 2<y 1;7.关于反比例函数y = 4x的图象,下列说法正确的是( ) A.必经过点(1,1)B.两个分支分布在第二、四象限C.两个分支关于x 轴成轴对称D.两个分支关于原点成中心对称8.三角形的面积为4 c m²,底边上的高y(c m)与底边x(c m)之间的函数关系图象大致应为()9. 函数y= ax与y=αx-a(a≠0)在同一坐标系中的大致图象是()10.如图,函数y1=x-1和函数y2=-2x的图象相交于点M(2,m),N(-1,n),若y1<y2,则x的取值范围是()A.x<-1或0<x<2B.x<-1或x>2C.-1<x<0或0<x<2D.-1<x<0或x>2二、填空题(每题4分,共28分)11.反比例函数y=- 1x的图象在第__________象限,在每个象限内,y随x的增大而________ .12. 反比例函数y= kx过A(-1,4)和B(2,m)两点,则m= ___________________.13.对于函数y= 3x,当x>0时y__________0,这部分图象在第_____________象限.14.完成某项任务可获得500 元报酬,考虑由x人完成这项任务,试写出人均报酬y(元)与人数x(人)之间的函数关系式_________________________________.15.若点P(1,m),P,(2,n)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上,则m_____n(填">""<"或"=").16.如图,已知点A在反比例函数图象上,A M⊥x轴于点M,且⊥AO M的面积为1,则反比例函数的解析式为______________________.17.如图,一次函数y= kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A(2,1),B(-1,n)两点.连接OA,OB,则三角形OAB 的面积为____________.三、解答题(一)(每题6分,共18 分)18.某打印店要完成一批电脑打字任务,如果每天完成100 页,需8天完成任务.(1)每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系?(2)要求4天完成,每天应完成几页?19.已知反比例函数y =kx(k为常数,k≠0)的图象经过A(2,3).(1)求这个函数的解析式;(2)判断点B(-1,6)是否在这个函数的图象上,并说明理由.20.如图,反比例函数y =kx(k为常数,且k≠0)经过点A(1,3).(1)求反比例函数的解析式;(2)在x轴正半轴上有一点B,若⊥AOB 的面积为6,求直线AB的解析式.四、解答题(二)(每题8 分,共24 分)21.码头工人以每天30 吨的速度往一艘轮船上装载货物,装载完毕恰好用了8 天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度ν(单位:吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系?(2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物?22.如图,已知A (-4,2),B (n ,-4)是一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =mx的图象的两个交点. (1)求此反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围.23.如图,已知在平面直角坐标系x O y 中,0是坐标原点,点A (2,5)在反比例函数y =kx的图象上,过点A 的直线y =x +b 交x 轴于点 B. (1)求k 和b 的值; (2)求⊥OAB 的面积;(3)当-3≤x ≤-1时,反比例函数值的范围为_________________.五、解答题(三)(每题10 分,共 20 分) 24.一次函数y =k 1x +b 与反比例函数y =2k x(x <0)的图象相交于A ,B 两点,且与坐标轴的交点为(-6,0),(0,6),点B 的横坐标为-4. (1)试确定反比例函数的解析式;(2)求⊥AOB 的面积; (3)直接写出不等式后k 1x +b>2k x的解.25.对教室进行"薰药消毒".已知药物在燃烧释放过程中,室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段 OA 和双曲线在 A 点及其右侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题: (1)写出从药物释放开始,y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于 2 毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,师生不能进入教室?参考答案一、1.B 2.D 3.C 4.D 5.B 6.D 7.D 8.B 9.A 10. A 二、11.二、四 增大 12. -2 13. > 一 14.500y x= 15. <16. y =-2x 17. 32三、18.解:(1)800y x=,反比例函数 (2)当x =4,800y x== 200(页) 19.解:(1) 6y x= (2)不在,理由如下: 当x = -1,61y =-= -6≠6 ⊥点B(-1,6)不在y =6x 的图象上。

十年高考理科数学真题 专题二 函数概念与基本初等函数 六函数综合及其应用及答案-优质

十年高考理科数学真题 专题二  函数概念与基本初等函数  六函数综合及其应用及答案-优质

专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲函数的综合及其应用一、选择题1.(2017天津)已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩≤设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立,则a 的取值范围是 A .47[,2]16-B .4739[,]1616-C .[23,2]-D .39[23,]16- 2.(2015北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A .消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B .以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C .甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D .某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 3.(2014北京)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位:分钟)满足函数关系2p at bt c =++(a 、b 、c 是常数),下图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A .3.50分钟B .3.75分钟C .4.00分钟D .4.25分钟4.(2014湖南)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A .2p q + B .(1)(1)12p q ++- CD1 二、填空题5.(2017山东)若函数e ()xf x (e=2.71828L ,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是 . ①()2xf x -=②2()f x x=③()3xf x -=④()cos f x x =6.(2017江苏)设()f x 是定义在R 且周期为1的函数,在区间[0,1)上,2,(),x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1{|,}n D x x n n-==∈*N ,则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 .7.(2017新课标Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5 cm ,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点,DBC ∆,ECA ∆,FAB ∆分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形。

高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案

高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案

高等数学课后答案习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞), A ⋂B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A . (2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x xy --=;解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同?为什么? (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x xx x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数? (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(x f a a a ax f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解 不是周期函数. (5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+=x y ;解 由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)xx y +-=11;解 由x x y +-=11得y yx +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11.(3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0);解 由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=.(4) y =2sin3x ;解 由y =2sin 3x 得2arcsin 31yx =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5) y =1+ln(x +2);解 由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x xy .解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .(2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ;解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1. 解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f (x 2);解 由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1]. (2) f (sin x );解 由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) . (3) f (x +a )(a >0);解 由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ]. (4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解 由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 001)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin hDC AB ==, 又从)]40cot 2([21Sh BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-=40cot 0, 所以h h S L 40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少? 解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75. 当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x . 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.091100090x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 15160010001.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P . (3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限: (1)nn x 21=; 解 当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=;解 当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n .(3)212nx n +=; 解 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)11+-=n n x n ;解 当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .(5) x n =n (-1)n .解 当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x .n n n x n 1|2c o s||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000.3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析 要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim2=∞→n n .(2)231213lim =++∞→n n n ;分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n .证明 因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .(3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析 要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明 因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明 因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞),证明: x n →a (n →∞).证明 因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞). 习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析 因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明 因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析 因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析 因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ,所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析 因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ,所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x xx ; 分析 因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明 因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有 ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x xx . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析 因为x xx x x 1|s i n |0s i n≤=-.所以要使ε<-0sin xx , 只须ε<x1, 即21ε>x . 证明 因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0s i n xx , 所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001? 解 由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解 要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X . 5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零. 证明 因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(x x x f = xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明 因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明 因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0,∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有 |f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε , 即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小?举例说明之. 解 不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x xy 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x xy 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数x x y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104?证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明 因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由:(1)xx x 12lim +∞→;(2)xxx --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x x x +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:f (x )→Af (x )→∞f (x )→+∞f (x )→-∞x→x 0 ∀ε>0, ∃δ>0, 使 当0<|x -x 0|<δ时,有恒|f (x )-A |<ε.x →x 0+x →x 0-x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .x →+∞x →-∞解 f (x )→A f (x )→∞ f (x )→+∞ f (x )→-∞ x →x 0∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当时, 有恒|f (x )-A |<ε.0<|x -x 0|<δ时, 有恒|f (x )|>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )<-M .x→x 0+ ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )<-M .x →x 0- ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )<-M .x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )<-M .x →+∞∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )<-M .x →-∞∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )<-M .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界?这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大?为什么?解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M . 习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→;解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n .(13)35)3)(2)(1(limnn n n n +++∞→; 解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x .2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ;解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x xx ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零).或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小?解 因为02lim 2lim202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶?是否等价?解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim212131=++=-++-=--→→→x x x x x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2xx -.证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1s e c2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2s i n t a n 2)1(c o s t a n t a n s i n x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~s i n ~1s i n 1s i n 1s i n1++=-+(x →0),所以 33121l i m )1s i n 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→xx x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解 已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x . 所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述,函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解 只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11l i m )(l i m 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续.在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1l i m )(l i m 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x xy , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x xy x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解 函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim 0=→x x x ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解 因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)⎩⎨⎧>-≤-=1311x x x x y , x =1.解 因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n . 在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明 不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; 解 函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n 1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解 函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解 函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Q x x x x x f)(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞).在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim)(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;。

复变函数与积分变换第六章测验题与答案

复变函数与积分变换第六章测验题与答案

第六章 共形映射一、选择题:1.若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小,那么该区域G 是 ( )(A )21<z (B )211<+z (C )21>z (D )211>+z 2.映射iz iz w +-=3在i z 20=处的旋转角为( ) (A )0 (B )2π(C )π (D )2π-3.映射2iz ew =在点i z =0处的伸缩率为( )(A )1 (B )2 (C)1-e (D )e4.在映射ieiz w 4π+=下,区域0)Im(<z 的像为( )(A)22)Re(>w (B )22)Re(->w (C )22)Im(>z (D )22)Im(->w 5.下列命题中,正确的是( )(A )nz w =在复平面上处处保角(此处n 为自然数)(B )映射z z w 43+=在0=z 处的伸缩率为零(C ) 若)(1z f w =与)(2z f w =是同时把单位圆1<z 映射到上半平面0)Im(>w 的分式线性变换,那么)()(21z f z f =(D )函数z w =构成的映射属于第二类保角映射 6.i +1关于圆周4)1()2(22=-+-y x 的对称点是( )(A )i +6 (B )i +4 (C )i +-2 (D )i7.函数iz iz w +-=33将角形域3arg 0π<<z 映射为 ( )(A)1<w (B )1>w (C ) 0)Im(>w (D )0)Im(<w 8.将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=w 的分式线性变换为( )(A ) 11-+=z z w (B )zz w -+=11(C )z z e w i-+=112π(D) 112-+=z z e w i π9.分式线性变换zz w --=212把圆周1=z 映射为( ) (A ) 1=w (B) 2=w (B ) 11=-w (D) 21=-w10.分式线性变换zz w -+=11将区域:1<z 且0)Im(>z 映射为( ) (A )ππ<<-w arg 2(B ) 0arg 2<<-w π(C )ππ<<w arg 2(D )2arg 0π<<w11.设,,,,d c b a 为实数且0<-bc ad ,那么分式线性变换dcz baz w ++=把上半平面映射为w 平面的( )(A )单位圆内部 (B )单位圆外部 (C )上半平面 (D )下半平面12.把上半平面0)Im(>z 映射成圆域2<w 且满足1)(,0)(='=i w i w 的分式线性变换)(z w 为( )(A )z i z i i+-2 (B )i z i z i +-2 (C )z i z i +-2 (D )iz iz +-2 13.把单位圆1<z 映射成单位圆1<w 且满足0)0(,0)2(>'=w iw 的分式线性变换)(z w 为( )(A)iz i z --22 (B )iz z i --22 (C )iz i z +-22 (D )izzi +-22 14.把带形域2)Im(0π<<z 映射成上半平面0)Im(>w 的一个映射可写为( )(A )z e w 2= (B )z e w 2= (C )z ie w = (D )ize w =15.函数ie ie w z z +---=11将带形域π<<)Im(0z 映射为( )(A )0)Re(>w (B )0)Re(>w (C )1<w (D )1>w 二、填空题1.若函数)(z f 在点0z 解析且0)(0≠'z f ,那么映射)(z f w =在0z 处具有 . 2.将点2,,2-=i z 分别映射为点1,,1i w -=的分式线性变换为 .3.把单位圆1<z 映射为圆域11<-w 且满足0)0(,1)0(>'=w w 的分式线性变换=)(z w 4.将单位圆1<z 映射为圆域R w <的分式线性变换的一般形式为 .5.把上半平面0)Im(>z 映射成单位圆1)(<z w 且满足31)21(,0)1(=+=+i w i w 的分式线性变换的)(z w = .6.把角形域4arg 0π<<z 映射成圆域4<w 的一个映射可写为 .7.映射z e w =将带形域43)Im(0π<<z 映射为 . 8.映射3z w =将扇形域:3arg 0π<<z 且2<z 映射为 .9.映射z w ln =将上半z 平面映射为 . 10.映射)1(21zz w +=将上半单位圆:2<z 且0)Im(>z 映射为 . 三、设2222211111)(,)(d z c b z a z w d z c b z a z w ++=++=是两个分式线性变换,如果记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-δγβα11111d c b a ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a d c b a d c b a 22221111 试证1.)(1z w 的逆变换为δγβα++=-z z z w )(11;2.)(1z w 与)(2z w 的复合变换为dcz baz z w w ++=)]([21.四、设1z 与2z 是关于圆周R a z =-Γ:的一对对称点,试证明圆周Γ可以写成如下形式λ=--21z z z z 其中Ra z a z R-=-=12λ. 五、求分式线性变换)(z w ,使1=z 映射为1=w ,且使i z +=1,1映射为∞=,1w . 六、求把扩充复平面上具有割痕:0)Im(=z 且0)Re(≤<∞-z 的带形域ππ<<-)Im(z 映射成带形域ππ<<-)Im(w 的一个映射.七、设0>>a b ,试求区域a a z D >-:且b b z <-到上半平面0)Im(>w 的一个映射)(z w .八、求把具有割痕:0)Im(=w 且1)Re (21<≤z 的单位圆1<z 映射成上半平面的一个映射. 九、求一分式线性变换,它把偏心圆域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->2511:z z z 且映射为同心圆环域R w <<1,并求R 的值.十、利用儒可夫斯基函数,求把椭圆1452222=+y x 的外部映射成单位圆外部1>w 的一个映射.答案第六章 共形映射一、1.(B ) 2.(D ) 3.(B ) 4.(A ) 5.(D )6.(C ) 7.(A ) 8.(C ) 9.(A ) 10.(D ) 11.(D ) 12.(B ) 13.(C ) 14.(B ) 15.(C ) 二、1.保角性与伸缩率的不变性 2. 236--=iz iz w 3.z +14.az a z w i --=θ1Re (θ为实数,1<a ) 5.iz iz +---11 6.λ-λ-=ϕ444z z ew i (ϕ为实数,0)Im(>λ) 7.角形域43arg 0π<<w 8.扇形域π<<w arg 0且8<w 9.带形域π<<)Im(0w 10.下半平面0)Im(<w 五、)1(1)1(i z z i w ++-+-=. 六、)1l n (-=z e w .七、⎭⎬⎫⎩⎨⎧--π=z a z a b i b w 2exp . 八、221212121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+=z z z z w . 九、θ++=i e z z w 414(θ为实数),2=R . 十、)9(912-+=z z w .。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章第六章 微分中值定理及其应用一、 填空题1.若0,0>>b a 均为常数,则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→xx x x b a 32lim ________。

2.若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ,则=a ______,=b ______。

3.曲线x e y =在0=x 点处的曲率半径=R _________。

4.设2442-+=x x y ,则曲线在拐点处的切线方程为___________。

5.=-+→xex xx 10)1(lim___________。

6.设)4)(1()(2--=x xx x f ,则0)(='x f 有_________个根,它们分别位于________区间;7.函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ;8.函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ;9.函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ; 10.函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________;11.函数x x y 33-=的极大值点是______,极大值是A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根5.已知)(x f 在0=x 处某邻域内连续,2cos 1)(lim 0=-→xx f x ,则在0=x 处)(x f ( )。

A.不可导B.可导且2)0('=fC.取得极大值D.取得极小值6.设函数)(x f 在区间[)+∞,1内二阶可导,且满足条件0)1()1(='=f f ,1>x 时0)(<''x f ,则xx f x g )()(=在[)+∞,1内( )A .必存在一点ε,使0)(=εfB .必存在一点ε,使0)(='εfC .单调减少 D. 单调增加7.设)(x f 有二阶连续导数,且0)0(='f ,1)(lim 0=''→xx f x ,则( )A .)0(f 是)(x f 的极大值 B.)0(f 是)(x f 的极小值 C .())0(,0f 是曲线)(x f y =的拐点D .)0(f 不是)(x f 的极值,())0(,0f 也不是曲线)(x f y =的拐点8.若)(x f 和)(x g 在0x x =处都取得极小值,则函数)()()(x g x f x F +=在0x x =处( )A .必取得极小值 B.必取得极大值 C.不可能取得极值 D.是否取得极值不确定 9.设)(x y y =由方程03223=+-by y ax x 确定,且1)1(=y ,1=x 是驻点,则( )A.3==b aB.25,23==b aC.21,23==b a D.3,2-=-=b a 10.曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 11.)(),(x g x f 是大于0的可导函数,且0)(')()()('<-x g x f x g x f ,则当b x a <<时有( )A .)()()()(x g b f b g x f > B.)()()()(x g a f a g x f > C.)()()()(b g b f x g x f > D.)()()()(a g a f x g x f > 12.曲线()()211arctan212+-++=x x x x e y x的渐近线有( )A .1条 B.2条 C.3条 D.4条 13.q x x x f ++=2)(3的O 点的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D.个数与q 有关 14.曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==111t b t x 则曲线( )A .只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线 C .无渐近线 D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线15.设)(x f y =为0sin =-'+''x e y y 的解,且0)(0='x f ,则)(x f 有( )A .0x 的某个邻域内单调增加B .0x 的某个邻域内单调减少C .0x 处取得极小值D .0x 处取得极大值 16. 罗尔定理中的三个条件;)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且)()(b f a f =是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf 成立的( ).)(A 必要条件)(B 充分条件)(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要17. 下列函数在],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是( ). )(A );ln(ln x)(Bxln ;)(Cxln 1;)(D)2ln(x -;18. 若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且21,x x 是),(b a 内任意两点,则至少存在一点ξ使得下式成立( ). )(A )()()()(2112ξf x x x f x f '-=- ),(b a ∈ξ; )(B)()()()(2121ξf x x x f x f '-=- 21x x <<ξ)(C )()()()(1221ξf x x x f x f '-=- 21x x <<ξ )(D)()()()(1212ξf x x x f x f '-=-21x x <<ξ19. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数,x x x ∆+,是),(b a 内的任意两点,则( ) . )(A x x f y ∆'=∆)()(B 在x x x ∆+,之间恰有一个ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ )(C 在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ )(D 对于x 与x x ∆+之间的任一点ξ,均有x f y ∆'=∆)(ξ20.若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且对),(b a 内任意两点21,x x 恒有21212)()()(x x x f x f -≤-,则必有( ). )(A 0)(≠'x f )(Bxx f =')( )(Cxx f =)()(Dcx f =)((常数)21. 已知函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则方程)(x f '0=有( ).)(A 分别位于区间)4,3(),3,2(),2,1(内的三个根; )(B 四个根,它们分别为4,3,2,14321====x x x x;)(C 四个根,分别位于);4,3(),3,2(),2,1(),1,0( )(D 分别位于区间)4,1(),3,1(),2,1(内的三个根;22. 若)(x f 为可导函数,ξ为开区间),(b a 内一定点,而且有)()(,0)(≥'->x f x f ξξ,则在闭区间],[b a 上必总有( ).)(A 0)(<x f)(B)(≤x f)(C)(≥x f)(D)(>x f23. 若032<-b a,则方程0)(23=+++=c bx ax xx f ( ).)(A 无实根)(B 有唯一实根)(C 有三个实根 )(D 有重实根24. 若)(x f 在区间],[+∞a 上二次可微,且,0)(,0)(<'>=a f A a f 0)(≤''a f (a x >),则方程0)(=x f 在],[+∞a 上( ).)(A 没有实根)(B 有重实根)(C 有无穷多实根)(D 有且仅有一个实根25. 设)()(lim 0x g x f x x →为未定型, 则)()(lim 0x g x f x x ''→存在是)()(lim 0x g x f x x →也存在的( ).)(A 必要条件)(B 充分条件)(C 充要条件)(D 既非充分也非必要条件26. 指出曲线23x x y -=的渐近线( ).)(A 没有水平渐近线,也没有斜渐近线; )(B3=x 为垂直渐近线,无水平渐近线;)(C 既有垂直渐近线,又有水平渐近线; )(D 只有水平渐近线.27 曲线)2)(1(1arctan212+-++=x x x x ey x的渐近线有( ).)(A 1条 ; )(B 2条 ; )(C 3条 ;)(D 4条 ;28. 函数x x a x f 2cos 21cos )(-=在3π=x 取得极值,则=a( )。

复变函数答案 钟玉泉 第六章习题全解

复变函数答案 钟玉泉 第六章习题全解

Re s
z
(6) Re s
z 1
ez ez e ( z 1) 2 | z 1 2 z 1 z 1 2
Re s
z 1
ez ez e 1 ez ez e ( z 1 ) | Re s ( z 1 ) | z 1 z 1 2 2 2 2 z 1 z 1 2 z 1 z 1 z 1 2 ez e 1 e ( Re s f ( z ) Re s f ( z )) z 1 z 1 z 2 1 2
第六章 留数理论及其应用
(一)
1.解:(1)z=1 是一级极点,故由推论 6.3 知
Re s f ( z ) ( z 1)
z 1
1 1 | 2 z 1 ( z 1)( z 1) 4
Z=-1 是二级极点,同前由推论 6.4 知
Re s f ( z ) [( z 1) 2
Re s f ( z ) C1
z 0
4 3
z z 0
又由 z=0 是唯一有限奇点,故 Re s f ( z ) Re s f ( z ) (4)由 e z 1 1
1
4 3
1 1 所以 Re s f ( z ) 1 z 1 z 1 2!z 12
由儒歇定理,f(z)与
而 f(z)=-z 在 C 内只有一个零点,所以
f ( z) g ( z) ( z) z
只有一个零点,记为 z ,使得 ( z ) z C 或 ( z ) z 0 0 0 0 0
Re s f ( z )
z n
1 的 sin z
1 | z (1) n (sin z )
1 e2 z 1 (2 z ) 2 (2 z ) 3 2 2 4 (3)由 4 4 2z 3 2 所以 z z 2! 3! z z 3z

北师大版九年级数学第六章《反比例函数》单元复习练习题(含答案)

北师大版九年级数学第六章《反比例函数》单元复习练习题(含答案)

北师大版九年级数学第六章《反比例函数》单元复习练习题(含答案)一、单选题 1.反比例函数()30y x x=-<的图象如图所示,则△ABC 的面积为( )A .12B .32C .3D .62.反比例函数6y x=-的图像大致是( )A .B .C .D .3.列车从甲地驶往乙地,行完全程所需的时间()h t 与行驶的平均速度()km/h v 之间的反比例函数关系如图所示.若列车要在2.5h 内到达,则速度至少需要提高到( )km/h .A .180B .240C .280D .3004.如图,在平面直角坐标系中,点M 为x 轴正半轴上一点,过点M 的直线l ∥y 轴,且直线l 分别与反比例函数8y x =和ky x=的图象交于P 、Q 两点.若S △POQ =15,则k 的值为( )A .38B .22C .﹣7D .﹣225.关于函数2y x=-,下列说法中正确的是( )A .图像位于第一、三象限B .图像与坐标轴没有交点C .图像是一条直线D .y 的值随x 的值增大而减小6.某城市市区人口x 万人,市区绿地面积50万平方米,平均每人拥有绿地y 平方米,则y 与x 之间的函数表达式为( ) A .50y x =+B .50y x =C .50y x=D .50=x y 7.如图,一次函数(y kx b k =+、b 为常数,0)k ≠与反比例函数4y x=的图象交于A (1,m ),B (n ,2)两点,与坐标轴分别交于M ,N 两点.则△AOB 的面积为( )A .3B .6C .8D .128.已知反比例函数y =kx(k ≠0),且在各自象限内,y 随x 的增大而增大,则下列点可能在这个函数图象上的为( ) A .(2,3)B .(-2,3)C .(3,0)D .(-3,0)9.对于反比例函数y =﹣5x,下列说法错误的是( )A .图象经过点(1,﹣5)B .图象位于第二、第四象限C .当x <0时,y 随x 的增大而减小D .当x >0时,y 随x 的增大而增大 10.若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-,则它的图象也一定经过的点是( ) A .(2,3)--B .(3,2)--C .(1,6)-D .(6,1)11.某市举行中学生党史知识竞赛,如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y 与该校参加竞赛人数x 的情况,其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上,则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是( )A .甲B .乙C .丙D .丁12.如图,在平面直角坐标系中,直线y =x 与反比例函数y =4x (x >0)的图象交于点A ,将直线y =x 沿y 轴向上平移b 个单位长度,交y 轴于点B ,交反比例函数图象于点C .若OA =2BC ,则b 的值为( )A .1B .2C .3D .4二、填空题13.若1(1,)M y -、21(,)2N y -两点都在函数ky x=的图像上,且1y <2y ,则k 的取值范围是______.14.已知点(),A m n 在双曲线k y x =上,点(),B m n -在直线23y x k =-上,则21n m+的值为______.15.如图所示,矩形ABCD 顶点A 、D 在y 轴上,顶点C 在第一象限,x 轴为该矩形的一条对称轴,且矩形ABCD 的面积为6.若反比例函数ky x=的图象经过点C ,则k 的值为_________.16.如图,点A 是反比例函数3y x=图象上任意一点,过点A 分别作x 轴,y 轴的垂线,垂足为B ,C ,则四边形OBAC 的面积为____.17.如图,边长为4的正方形ABCD 的对称中心是坐标原点O ,//AB x 轴,//BC y 轴,反比例函数2y x =与2y x=-的图像均与正方形ABCD 的边相交,则图中阴影部分的面积之和是________.18.如图,若反比例函数1ky x=与一次函数2y ax b =+交于A 、B 两点,当12y y <时,则x 的取值范围是_________.19.如图,点A 在反比例函数y =xk(x >0)的图象上,过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,若△OAB的面积为3,则k =_______.20.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A ,B 分别在x 轴、y 轴上,对角线交于点E ,反比例函数(0,0)ky x k x=>>的图像经过点C ,E .若点(3,0)A ,则k 的值是_________.三、解答题21.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y kx=(x >0)的图象经过点A (2,6),将点A 向右平移2个单位,再向下平移a 个单位得到点B ,点B 恰好落在反比例函数y kx=(x >0)的图象上,过A ,B 两点的直线与y 轴交于点C .(1)求k的值及点C的坐标;(2)在y轴上有一点D(0,5),连接AD,BD,求△ABD的面积.22.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,Rt△OAB的直角边OB在x轴的正半轴上,点A的坐标为(6,4),斜边OA的中点D在反比例函数ykx=(x>0)的图象上,AB交该图象于点C,连接OC.(1)求k的值;(2)求△OAC的面积.23.如图是反比例函数y=52mx-的图象的一支.根据图象解决下列问题:(1)求m的取值范围;(2)若点A(m-3,b1)和点B(m-4,b2)是该反比例函数图象上的两点,请你判断b1与b2的大小关系,并说明理由.24.教师办公室有一种可以自动加热的饮水机,该饮水机的工作程序是:放满水后接通电源,则自动开始加热,每分钟水温上升10℃,待加热到100℃,饮水机自动停止加热,水温开始下降.水温y(℃)和通电时间x(min)成反比例函数关系,直至水温降至室温,饮水机再次自动加热,重复上述过程.设某天水温和室温均为20℃,接通电源后,水温y(℃)和通电时间x(min)之间的关系如图所示,回答下列问题:(1)分别求出当0≤x≤8和8<x≤a时,y和x之间的函数关系式;(2)求出图中a的值;(3)李老师这天早上7:30将饮水机电源打开,若他想在8:10上课前喝到不低于40℃的开水,则他需要在什么时间段内接水?25.如图,A(4,3)是反比例函数y=kx在第一象限图象上一点,连接OA,过A作AB∥x轴,截取AB=OA(B在A右侧),连接OB,交反比例函数y=kx的图象于点P.(1)求反比例函数y=kx的表达式;(2)求点B的坐标;(3)求△OAP的面积.26.如图,一次函数1y k x b =+与反比例函数2(0)k y x x=>的图象交于(1,6)A ,(3,)B n 两点. (1)求反比例函数的解析式和n 的值; (2)根据图象直接写出不等式21k k x b x+<的x 的取值范围; (3)求AOB 的面积.27.如图,已知一次函数1y kx b =+与反比例函数2my x=的图象在第一、三象限分别交于(6,1)A ,(,3)B a -两点,连接OA ,OB .(1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)AOB 的面积为______;(3)直接写出12y y >时x 的取值范围.28.如图,一次函数5y x =+的图象与反比例函数ky x=(k 为常数且0k ≠)的图象相交于(1,)A m -,B 两点.(1)求反比例函数的表达式;(2)将一次函数5y x =+的图象沿y 轴向下平移b 个单位(0)b >,使平移后的图象与反比例函数ky x=的图象有且只有一个交点,求b 的值.29.如图,一次函数1522y x =-+的图像与反比例函数k y x=(k >0)的图像交于A ,B 两点,过点A 做x 轴的垂线,垂足为M ,△AOM 面积为1. (1)求反比例函数的解析式;(2)在y 轴上求一点P,使PA+PB 的值最小,并求出其最小值和P 点坐标.参考答案1.B2.C3.B4.D5.B6.C7.A8.B9.C10.C11.C12.C 13.k <0 14.-3 15.3 16.3 17.818.10,2x x <<>-19.6 20.421.解:(1)把点(2,6)A 代入ky x =,2612k =⨯=,∴反比例函数的解析式为12y x=,将点A 向右平移2个单位,4x ∴=, 当4x =时,1234y ==, (4,3)B ∴,设直线AB 的解析式为y mx n =+,由题意可得6234m nm n =+⎧⎨=+⎩,解得329m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, 392y x ∴=-+,当0x =时,9y =,(0,9)C ∴;(2)由(1)知954CD =-=,1111||||444242222ABD BCD ACD B A S S S CD x CD x ∆∆∆∴=-=⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=.22.(1)解:点A 的坐标为(6,4),点D 为OA 的中点, ∴点D 的坐标为(3,2),点D 在反比例函数ky x=的图象上, 326k ∴=⨯=;(2)解:由题意得,点C 的横坐标为6, ∴点C 的纵坐标为:616=, 413AC ∴=-=,OAC ∴∆的面积16392=⨯⨯=.23.(1)解:由图象可知,520k m =->, 解得52m <,∴m 的取值范围为52m <. (2)解:12<b b .理由如下:∵52m <,∴430m m -<-<,由反比例函数的图象与性质可知,当0x <时,y 随着x 的增大而减小,∴12<b b .24.(1)当0≤x ≤8时,设y =k 1x +b , 将(0,20),(8,100)的坐标分别代入y =k 1x +b 得,1208100b k b =⎧⎨+=⎩ 解得k 1=10,b =20.∴当0≤x ≤8时,y =10x +20.当8<x ≤a 时,设y =2k x, 将(8,100)的坐标代入y =2k x , 得k 2=800∴当8<x ≤a 时,y =800x. 综上,当0≤x ≤8时,y =10x +20;当8<x ≤a 时,y =800x. (2)将y =20代入y =800x , 解得x =40,即a =40;(3)当y =40时,x =80040=20. ∴要想喝到不低于40℃的开水,x 需满足8≤x ≤20,即李老师要在7:38到7:50之间接水.25.(1)将点A (4,3)代入y =k x,得:k =12, 则反比例函数解析式为y =12x; (2)如图,过点A 作AC ⊥x 轴于点C ,则OC =4、AC =3,∴OA 2243+,∵AB ∥x 轴,且AB =OA =5, ∴点B 的坐标为(9,3);(3)∵点B 坐标为(9,3),∴OB 所在直线解析式为y =13x , 由1312y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得点P 坐标为(6,2),(负值舍去), 过点P 作PD ⊥x 轴,延长DP 交AB 于点E ,则点E 坐标为(6,3),∴AE =2、PE =1、PD =2,则△OAP 的面积=12×(2+6)×3﹣12×6×2﹣12×2×1=5.26.解:(1)(1,6)A 在2k y x=的图象上, 26k ∴=, ∴反比例函数的解析式是6y x=. 又∵(3,)B n 在2k y x=的图象上,623n ∴==; (2)由图像可知:当01x <<或3x >时,21k k x b x +<; (3)(1,6)A ,(3,2)B 在函数1y k x b =+的图象上,∴11632k b k b +=⎧⎨+=⎩, 解得:128k b =-⎧⎨=⎩, 则一次函数的解析式是28y x =-+,设直线28y x =-+与x 轴相交于点C ,则C 的坐标是(4,0).∴AOB AOC BOC S S S =-△△△1122A B OC y OC y =⋅-⋅ 11464222=⨯⨯-⨯⨯ 8=.27.解:(1)把(6,1)A 代入反比例函数2m y x =得: m=6,∴反比例函数的解析式为26y x=, ∵(,3)B a -点在反比例函数2m y x =图像上, ∴-3a=6,解得a=-2,∴B (-2,-3),∵一次函数y 1=kx+b 的图象经过A 和B ,∴1632k b k b =+⎧⎨-=-+⎩,解得:122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, ∴一次函数的解析式为1122y x =-; (2)∵(6,1)A ,(2,3)B --,一次函数的解析式为1122y x =-, 令y=0,解得:x=4,即一次函数图像与x 轴交点为(4,0),∴S △AOB =()141382⨯⨯+=, 故答案为:8;(3)由图象可知:12y y >时,即一次函数图像在反比例函数图像上方,x 的取值范围是:-2<x <0或x >6.28.(1)由题意,将点(1,)A m -代入一次函数5y x =+得:154m =-+=(1,4)A -∴将点(1,4)A -代入k y x=得:41k =-,解得4k =- 则反比例函数的表达式为4y x=-; (2)将一次函数5y x =+的图象沿y 轴向下平移b 个单位得到的一次函数的解析式为5y x b =+- 联立54y x b y x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩整理得:2(5)40x b x +-+=一次函数5y x b =+-的图象与反比例函数4y x=-的图象有且只有一个交点 ∴关于x 的一元二次方程2(5)40x b x +-+=只有一个实数根∴此方程的根的判别式2(5)440b ∆=--⨯=解得121,9b b ==则b 的值为1或9.29.(1)反比例函数(0)k y k x=>的图象过点A ,过A 点作x 轴的垂线,垂足为M ,AOM ∆面积为1,∴11 2k=,k >,2k∴=,故反比例函数的解析式为:2yx =;(2)作点A关于y轴的对称点'A,连接'A B,交y轴于点P,则PA PB+最小.由15222y xyx⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得12xy=⎧⎨=⎩,或412xy=⎧⎪⎨=⎪⎩,()1,2A∴,14,2B⎛⎫ ⎪⎝⎭,()'1,2A∴-,最小值'A B=设直线'A B的解析式为y mx n=+,则2142m nm n-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得3101710mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴直线'A B的解析式为3171010y x=-+,x∴=时,1710y=,P∴点坐标为17 0,10⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

一次函数习题(有答案)

一次函数习题(有答案)

第六章《一次函数》班级:姓名:学号:成绩:一、填空题(共40分,每空2分)。

(1)点A在y 轴右侧,距y轴6个单位长度,距x 轴8个单位长度,则A点的坐标是,A点离开原点的距离是。

(2)点(-3,2),(a , a+1)在函数y=kx-1 的图像上,则k= a=(3)正比例函数的图像经过点(-3,5),则函数的关系式是。

(4)函数y=-5x+2 与x轴的交点是,与y轴的交点是,与两坐标轴围成的三角形面积是。

( 5)已知y与4x-1成正比例,且当x=3时,y=6,写出y与x的函数关系式。

(6)写出下列函数关系式①速度60千米的匀速运动中,路程S与时间t的关系②等腰三角形顶角y与底角x之间的关系③汽车油箱中原有油100升,汽车每行驶50千米耗油9升,油箱剩余油量y(升)与汽车行驶路程x(千米)之间的关系④矩形周长30,则面积y与一条边长x之间的关系在上述各式中,是一次函数,是正比例函数(只填序号)(7)正比例函数的图像一定经过点。

(8)若点(3,a )在一次函数y=3x+1 的图像上,则。

(9)一次函数y=kx-1的图像经过点(-3,0),则k= 。

(10)已知y与2x+1成正比例,且当x=3时,y=6,写出y与x的函数关系式。

(11)函数y=-x+m^2 与y=4x-1的图像交于轴,则m= 。

二、选择:(每题3分,共9分)(1)下面哪个点不在函数y=-2x+3 的图像上()A.(-5,13)B.(0.5,2)C(3,0)D(1,1)(2)下列函数关系中表示一次函数的有()①②③④⑤A.1个B.2个C.3个D.4个(3)下列函数中,y随x的增大而减小的有()①②③④A.1个B.2个C.3个D.4个三、(12分)在同一坐标系中作出y=2x+1, ,的图像;在上述三个函数的图像中,哪一个函数的值先达到30 ?四、(13分)某市自来水公司为限制单位用水,每月只给某单位计划内用水3000吨,计划内用水每吨收费0.5元,超计划部分每吨按0.8元收费。

C语言函数题库及答案

C语言函数题库及答案

C语言函数题库及答案Prepared on 21 November 2021第六部分函数一、单项选择题1.C语言中的函数返回值的类型是由(D)决定A.return语句中的表达式B.调用函数的主调函数C.调用函数时临时D.定义函数时所指定的函数类型2.下面不正确的描述是(B)。

A.调用函数时,实参可以是表达式B.调用函数时,实参和形参可以共用内存单元C.调用函数时,将形参分配内存单元D.调用函数时,实参与形参的类型必须一致3.在C语言中,调用一个函数时,实参变量和形参变量之间的数据传递是(D)A.地址传递B.值传递C.由实参传递给形参,并由形参传回给实参D.由用户指定传递方式4.下面的函数调用语句中含有(A)个实参inta,b,c;intsum(intx1,intx2);……total=sum((a,b),c);A.2B.3C.4 D.55.在C语言中(C)A.函数的定义可以嵌套,但函数的调用不可以嵌套B.函数的定义和调用均不可以嵌套C.函数的定义不可以嵌套,但是函数的调用可以嵌套D.函数的定义和调用均可以嵌套6.关于C语言中的return语句正确的是(C)A.只能在主函数中出现B.在每个函数中都必须出现C.可以在一个函数中出现多次D.只能在除主函数之外的函数中出现7.两个形参中,第一个形参为指针类型、第二个形参为整型,则对函数形参的说明有错误的是(D)A.inta(floatx[],intn)B.inta(float*x,intn)C.inta(floatx[10],intn)D.inta(floatx,intn)8.在C语言中,函数的数据类型是指(A)A.函数返回值的数据类型B.函数形参的数据类型C.调用该函数时的实参的数据类型D.任意指定的数据类型9.已知如下定义的函数:fun1(a){printf("\n%d",a);}则该函数的数据类型是(C)A.与参数a的类型相同B.void型C.整型D.无法确定10.定义一个函数实现交换x和y的值,并将结果正确返回。

函数习题集含答案

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函数第一部分函数的定义1.(2009四川卷文)设是已知平面上所有向量的集合,对于映射,记的象为。

若映射满足:对所有及任意实数都有,则称为平面上的线性变换。

现有下列命题:①设是平面上的线性变换,,则②若是平面上的单位向量,对,则是平面上的线性变换;③对,则是平面上的线性变换;④设是平面上的线性变换,,则对任意实数均有。

其中的真命题是 ①③④ (写出所有真命题的编号)第二部分 函数定义域1.(2009江西卷)函数的定义域为 ( C )A .B .C .D .2. (2009江苏卷)已知集合,若则实数的取值范围是,其中= 4 .3.(2006年湖北卷)设,则的定义域为 ( B )A .B .C .D .4.函数的定义域为 .5.(2009天津卷文)设函数则不等式的解集是( A )A.B.V M :,f V V a V →∈a ()f a :f V V →a b V ∈、,λμ()()()f a b f a f b λμλμ+=+f M f M a b V ∈、()()()f a b f a f b +=+e M ,()a V f a a e ∈=+设f M ,()a V f a a ∈=-设f M f M a V ∈k ()()f ka kf a=y =(4,1)--(4,1)-(1,1)-(1,1]-{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞A B ⊆a (,)c +∞c 2()lg 2x f x x +=-2()()2x f f x+(4,0)(0,4)-(4,1)(1,4)--(2,1)(1,2)--(4,2)(2,4)--2()f x =[3,)+∞⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f )1()(f x f >),3()1,3(+∞⋃-),2()1,3(+∞⋃-C.D.第三部分 函数的单调性1. 函数()f x =212log (23)x x +- 的单调递减区间为 (1,)+∞2.若函数在上是增函数,则的取值范围是___10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦__。

函数考试题库及答案大全

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函数考试题库及答案大全一、选择题1. 下列哪个选项是函数的定义?A. 函数是一种数学工具B. 函数是一种关系C. 函数是一种映射D. 函数是一种运算答案:C2. 函数f(x) = 2x + 3的值域是什么?A. {x | x > 0}B. RC. {x | x < 0}D. {x | x = 2}答案:B3. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的最小值是多少?A. 0B. 1C. 3D. 4答案:B二、填空题1. 若函数f(x) = 3x - 5,则f(2) = ____。

答案:12. 函数y = x^3 - 6x + 8的导数是 ____。

答案:3x^2 - 63. 函数y = sin(x)的反函数是 ____。

答案:arcsin(y)三、解答题1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4,求函数的极值点。

答案:函数f(x) = x^2 - 4x + 4可以写成f(x) = (x - 2)^2,因此函数的极小值点为x = 2。

2. 求函数y = 2x - 3在x = 1处的切线方程。

答案:函数y = 2x - 3的导数为y' = 2,当x = 1时,y = -1,切线的斜率为2,因此切线方程为y + 1 = 2(x - 1),即y = 2x - 3。

3. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求函数的单调区间。

答案:函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的导数为f'(x) = 3x^2 - 6x,令f'(x) > 0,解得x < 0或x > 2,因此函数在(-∞, 0)和(2, +∞)上单调递增;令f'(x) < 0,解得0 < x < 2,因此函数在(0, 2)上单调递减。

四、证明题1. 证明函数f(x) = x^3 + 2x是奇函数。

答案:由于f(-x) = (-x)^3 + 2(-x) = -x^3 - 2x = -(x^3 + 2x) = -f(x),所以函数f(x) = x^3 + 2x是奇函数。

(完整)人教版数学八年级上册第6章一次函数单元测试题(含答案),推荐文档

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2 1 初二数学第六单元测试题一、选择题:(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)1.如果 y = (m -1)x 2-m 2+ 3 是一次函数,那么 m 的值是…………………………( )A. 1 ;B. -1;C. ±1 ;D. ± ;2. (2015•南平)直线 y=2x+2 沿 y 轴向下平移 6 个单位后与 x 轴的交点坐标是 ............... ( ) A .(-4,0);B .(-1,0);C .(0,2);D .(2,0);13. 若点 A (-2,m )在正比例函数 y = - 2x 的图象上,则 m 的值是………………()A . ;B . - 1; C .1; D .-1;4 44. 若一次函数 y=(2-m )x-2 的函数值 y 随 x 的增大而减小,则 m 的取值范围是 …………( )A .m <0;B .m >0;C .m <2 ;D .m >2; 5. 直线 y=kx+b 不经过第四象限,则…………………………………………………()A .k >0,b >0;B .k <0,b >0;C .k≥0,b≥0;D .k <0,b≥0; 6. (2014.深圳)已知函数 y=ax+b 经过(1,3),(0,-2),则 a-b=… .......... ( )A .-1;B .-3;C .3;D .7;7. 如图,直线 y=-x+m 与 y=nx+4n (n≠0)的交点的横坐标为-2,则关于 x 的不等式- x+m >nx+4n >0 的整数解为……………………………………………………………( ) A .-1; B .-5; C .-4; D .-3;第 7 题图第 9 题 图 第 10 题 图8.已知直线l 经过点 A (1,0),且与直线 y = x 垂直,则直线l 的函数表达式为 ......................................... ( )A. y = -x +1 ;B. y = -x -1;C. y = x +1 ;D. y = x -1;9. 小明从家出发,外出散步,到一个公共阅报栏前看了一会报后,继续散步了一段时间, 然后回家,如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离 s (米)与散步所用时间 t (分)之间的函数关系,根据图象,下列信息错误的是 ............................................................... ( )A. 小明看报用时 8 分钟;B .公共阅报栏距小明家 200 米;5. (2015•无锡)一次函数标为 .与两坐标 6.如图,已 x - y = 2 的解是 2x + y = 1 值, C .小明离家最远的距离为 400 米; D .小明从出发到回家共用时 16 分钟;10. (2014•黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,边长为 1 的正方形 ABCD 中,AD 边的中点处有一动点 P ,动点 P 沿 P→D→C→B→A→P 运动一周,则 P 点的纵坐标 y 与点 P 走过的路程 s 之间的函数关系用图象表示大致是……………………………………( )A.B. C. D.二、填空题:(本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)211.函数 y =x -1中自变量 x 的取值范围是 .12.已知 m 是整数,且一次函数 y = (m + 4)x + m + 2 的图像不经过第二象限,则 m =.13.已知一次函数 y = kx + k - 3 的图像经过点(2,3),则 k 的值为.14.请你写出一个图像过点(0,2),且 y 随 x 的增大而减小的一次函数的解析式 .1 y=2x-6 的图象与 x 轴的交点坐标为 .与 y 轴的交点坐 轴围成的三角形面积为 . 1 知函数 y=x-2 和 y=-2x+1 的图象交于点 P ,根据图象可得方程组⎧⎨.⎩第 16 题图第 17 题图17. (2013 春•玉田县期中)在矩形 ABCD 中,动点 P 从点 B 出发,沿 BC 、CD 、DA 运动至点 A 停止,设点 P 运动的路程为 x ,△ABP 的面积是 . 18.如图,点 Q 在直线 y=-x 上运动,点 A 的坐标为(1,0),当线段 AQ 最短时,点 Q 的坐标为 .三、解答题:(本大题共 10 题,满分 76 分)19.(本题满分 8 分)已知一次函数 y = (1- 2m )x + m +1 ,求当 m 为何时 (1) y 随着 x 的增大而增大?(2)图像经过一、二、四象限? (3)图像经过一、三象限? (4)图像与 y 轴的交点在 x 轴上方?第 18 题图20.(本题满分 6 分)已知一次函数y=kx+b的图像经过 A(1,1),B(2,-1)两点,求这个函数的表达式.21.(本题满分 7 分)在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,过点 A(1,2)的直线y=kx+b 与x 轴交于点 B,且S AOB=4,求k 的值.22.(本题满分 7 分)如图,直线 y=2x+3 与x 轴交于点 A,与y 轴交于点 B.(1)求A、B 两点的坐标;(2)过B 点作直线 BP 与x 轴交于点 P,且使 OP=2OA,求△ABP的面积.23.(本题满分 7 分)已知:y+2 与3x 成正比例,且当 x=1 时,y 的值为 4.(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)若点(-1,a)、点(2,b)是该函数图象上的两点,试比较 a、b 的大小,并说明理由.24.(本题满分 8 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A(0,4),B(3,0),连接 AB,将△AOB沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在x 轴上的点A′处,折痕所在的直线交 y 轴正半轴于点 C,求直线 BC 的解析式.25.(本题满分 7 分)如图,直线l1:y =x +1与直线l2:y =mx +n 相交于点P(1,b).(1)求b 的值;⎧y =x +1(2)不解关于 x,y 的方程组⎨y =mx +n ,请你直接写出它的解;⎩(3)直线l3:y =nx +m 是否也经过点 P?请说明理由.26.(本题满分 6 分)已知直线 y=kx+b 经过点 A(5,0),B(1,4).(1)求直线 AB 的解析式;(2)若直线 y=2x-4 与直线 AB 相交于点 C,求点 C 的坐标;(3)根据图象,写出关于 x 的不等式 2x-4>kx+b 的解集.27.(本题满分 10 分)某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼,准备购买 10 副某种品牌的羽毛球拍,每副球拍配 x(x≥2)个羽毛球,供社区居民免费借用.该社区附近 A、B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售,且每副球拍的标价均为 30 元,每个羽毛球的标价为 3 元,目前两家超市同时在做促销活动:A 超市:所有商品均打九折(按标价的 90%)销售;B 超市:买一副羽毛球拍送 2 个羽毛球.设在 A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 yA(元),在 B 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 yB(元).请解答下列问题:(1)分别写出 yA、yB 与x 之间的关系式;(2)若该活动中心只在一家超市购买,你认为在哪家超市购买更划算?(3)若每副球拍配 15 个羽毛球,请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案.28.(本题满分 10 分)为倡导低碳生活,绿色出行,某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动.自行车队从甲地出发,途径乙地短暂休息完成补给后,继续骑行至目的地丙地,自行车队出发 1 小时后,恰有一辆邮政车从甲地出发,沿自行车队行进路线前往丙地,在丙地完成 2 小时装卸工作后按原路返回甲地,自行车队与邮政车行驶速度均保持不变,并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的 2.5 倍,如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间 x(h)的函数关系图象,请根据图象提供的信息解答下列各题:(1)自行车队行驶的速度是;(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇?(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远?4 ⎩2017-2018 学年第一学期初二数学第六单元测试题参考答案一 、 选 择 题 : 1.B ;2.D ;3.C ;4.D ;5.A ;6.D ;7.D ;8.A ;9.A ;10.D ; 二、填空题:11.x ≠ 1;12.-3 或-2;13.2;14. y = -x + 2 (答案不唯一);15.(3,0),⎧x = 1 ⎛ 1 1 ⎫(0,-6,9;16. ⎨ y = -1;17.10;18. 2 , - ; ⎩⎝ ⎭ 三、解答题:19.(1) m < 1 ;(2) m > 1 ;(3) m = -1;(4) m > -1且m ≠ 1;20.2y = -2x + 3 ;21. 2 2 k = - 2 或 2 ; 3 522.(1)A ⎛ -2 3 ,⎪0 ⎫ ;B (0, 3);(24) 27 或 9 ; ⎝ ⎭ 23.(1) y = 6x - 2 ;(2) a < b ; 24. y = - 1 x + 3;2 2⎧x = 125. (1) b = 2 ;(2) ⎨ y = 2 ;(3)直线 y=nx+m 也经过点 P .理由如下: ∵当 x=1 时,y=nx+m=m+n=2,∴(1,2)满足函数 y=nx+m 的解析式,则直线经过点 P . 26. (1) y = -x + 5 ;(2) (3, 2);(3)x > 3 ; 27. 解:(1)由题意,得 yA=(10×30+3×10x)×0.9=27x+270; yB=10×30+3(10x-20)=30x+240;(2)当 yA=yB 时,27x+270=30x+240,得 x=10; 当 yA >yB 时,27x+270>30x+240,得 x <10; 当 yA <yB 时,27x+270<30x+240,得 x >10∴当2≤x<10 时,到B 超市购买划算,当 x=10 时,两家超市一样划算, 当 x >10 时在 A 超市购买划算.(3)由题意知 x=15,15>10,∴选择 A 超市,yA=27×15+270=675(元), 先选择 B 超市购买 10 副羽毛球拍,送 20 个羽毛球,然后在 A 超市购买剩下的 羽毛球:(10×15-20)×3×0.9=351(元),共需要费用 10×30+351=651(元) .∵651 元<675 元,∴最佳方案是先选择 B 超市购买 10 副羽毛球拍,然后在 A 超市购买 130 个羽毛球.28. 解:(1)由题意得自行车队行驶的速度是:72÷3=24km/h. 故答案为:24;(2) 由题意得邮政车的速度为:24×2.5=60km/h .2设邮政车出发 a 小时两车相遇,由题意得 24(a+1)=60a ,解得:a= .32答:邮政车出发 小时与自行车队首次相遇;39(3) 由题意,得邮政车到达丙地的时间为:135÷60= ,4∴邮政车从丙地出发的时间为: 9 + 2 +1 = 21,∴B4 49 + 2 +1 = 21,C (7.5,0). 4 445 49 ,∴D⎛ 49 ⎫ 自行车队到达丙地的时间为:135÷24+0.5= +0.5= 888 ,135⎪ . ⎝ ⎭⎪⎧135 = 21 k + b设 BC 的解析式为 y = k x + b ,由题意得 1 1 1 ⎨4 1 1 ,∴ k 1 =−60, b 1 =450, ∴ y 1 = -60x + 450 ,⎩0 = 7.5k 1 + b 1设 ED 的解析式为 y 2 = k 2 x + b 2 ,由题意得⎧72 = 3.5k 2 + b 2 ,解得: ⎧k 2 = 24 ,∴ y = 24x -12 .当 y = y 时 , ⎨⎪ 49 ⎨ 135 = ⎩b = -122 1 2 ⎩⎪8 k 2 + b 2 2 -60x+450=24x-12,解得:x=5.5. y 1 =-60×5.5+450=120. 答:邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地 120km .“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

2023年高考数学一轮复习第六章数列6数列中的综合问题练习含解析

2023年高考数学一轮复习第六章数列6数列中的综合问题练习含解析

数列中的综合问题考试要求 1.了解数列是一种特殊的函数,会解决等差、等比数列的综合问题.2.能在具体问题情境中,发现等差、等比关系,并解决相应的问题. 题型一 数学文化与数列的实际应用例1 (1)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A .3699块B .3474块C .3402块D .3339块答案 C解析 设每一层有n 环,由题意可知,从内到外每环之间构成公差为d =9,首项为a 1=9的等差数列.由等差数列的性质知S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等差数列,且(S 3n -S 2n )-(S 2n -S n )=n 2d ,则9n 2=729,解得n =9,则三层共有扇面形石板S 3n =S 27=27×9+27×262×9=3402(块).(2)(2021·新高考全国Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm 的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm× 6dm 两种规格的图形,它们的面积之和S 1=240dm 2,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm 三种规格的图形,它们的面积之和S 2=180dm 2,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________;如果对折n 次,那么∑k =1n S k =_______dm 2.答案 5 240⎝⎛⎭⎪⎫3-n +32n解析 依题意得,S 1=120×2=240;S 2=60×3=180;当n =3时,共可以得到5dm×6dm,52dm×12dm,10dm×3dm,20dm×32dm 四种规格的图形,且5×6=30,52×12=30,10×3=30,20×32=30,所以S 3=30×4=120;当n =4时,共可以得到5dm×3dm,52dm×6dm,54dm×12dm,10dm×32dm,20dm×34dm 五种规格的图形,所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5,且5×3=15,52×6=15,54×12=15,10×32=15,20×34=15,所以S 4=15×5=75; ……所以可归纳S k =2402k ×(k +1)=240k +12k. 所以∑k =1nS k =240⎝ ⎛⎭⎪⎫1+322+423+…+n 2n -1+n +12n ,①所以12×∑k =1nS k=240⎝ ⎛⎭⎪⎫222+323+424+…+n 2n +n +12n +1,②由①-②得,12×∑k =1nS k=240⎝ ⎛⎭⎪⎫1+122+123+124+…+12n -n +12n +1=240⎝ ⎛⎭⎪⎫1+122-12n×121-12-n +12n +1=240⎝ ⎛⎭⎪⎫32-n +32n +1, 所以∑k =1nS k =240⎝⎛⎭⎪⎫3-n +32ndm 2. 教师备选1.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,前三个节气日影长之和为28.5尺,最后三个节气日影长之和为1.5尺,今年3月20日为春分时节,其日影长为( ) A .4.5尺 B .3.5尺 C .2.5尺 D .1.5尺答案 A解析 冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列{a n },设公差为d ,由题意得,⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3=28.5,a 10+a 11+a 12=1.5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=10.5,d =-1,所以a n =a 1+(n -1)d =11.5-n , 所以a 7=11.5-7=4.5, 即春分时节的日影长为4.5尺. 2.古希腊时期,人们把宽与长之比为5-12⎝ ⎛⎭⎪⎫5-12≈0.618的矩形称为黄金矩形,把这个比值5-12称为黄金分割比例.如图为希腊的一古建筑,其中图中的矩形ABCD ,EBCF ,FGHC ,FGJI ,LGJK ,MNJK 均为黄金矩形,若M 与K 之间的距离超过1.5m ,C 与F 之间的距离小于11m ,则该古建筑中A 与B 之间的距离可能是(参考数据:0.6182≈0.382,0.6183≈0.236,0.6184≈0.146,0.6185≈0.090,0.6186≈0.056,0.6187≈0.034)( )A .30.3mB .30.1mC .27mD .29.2m答案 C解析 设|AB |=x ,a ≈0.618,因为矩形ABCD ,EBCF ,FGHC ,FGJI ,LGJK ,MNJK 均为黄金矩形, 所以有|BC |=ax ,|CF |=a 2x ,|FG |=a 3x , |GJ |=a 4x ,|JK |=a 5x ,|KM |=a 6x .由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 6x >1.5,a 2x <11,解得26.786<x <28.796,故选项C 符合题意. 思维升华 数列应用问题常见模型(1)等差模型:后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值. (2)等比模型:后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数.(3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,那么应考虑a n 与a n +1(或者相邻三项)之间的递推关系,或者S n 与S n +1(或者相邻三项)之间的递推关系.跟踪训练1 (1)(2022·佛山模拟)随着新一轮科技革命和产业变革持续推进,以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一,截至2020年底,我国已累计开通5G 基站超70万个,未来将进一步完善基础网络体系,稳步推进5G 网络建设,实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站,以后每个月比上一个月多建设1万个,预计我国累计开通500万个5G 基站时要到( ) A .2022年12月 B .2023年2月 C .2023年4月 D .2023年6月答案 B解析 每个月开通5G 基站的个数是以5为首项,1为公差的等差数列, 设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月,则70+5n +n n -12×1=500,化简整理得,n 2+9n -860=0, 解得n ≈25.17或n ≈-34.17(舍),所以预计我国累计开通500万个5G 基站需要25个月,也就是到2023年2月.(2)(多选)(2022·潍坊模拟)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…,设各层球数构成一个数列{a n },则( )A .a 4=12B .a n +1=a n +n +1C .a 100=5050D .2a n +1=a n ·a n +2解析 由题意知,a 1=1,a 2=3,a 3=6,…,a n =a n -1+n ,故a n =n n +12,∴a 4=4×4+12=10,故A 错误; a n +1=a n +n +1,故B 正确; a 100=100×100+12=5050,故C 正确;2a n +1=(n +1)(n +2),a n ·a n +2=n n +1n +2n +34,显然2a n +1≠a n ·a n +2,故D 错误.题型二 等差数列、等比数列的综合运算例2 (2022·滨州模拟)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=2,b 2=4,a n =2log 2b n ,n ∈N *.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)设数列{a n }中不在数列{b n }中的项按从小到大的顺序构成数列{c n },记数列{c n }的前n 项和为S n ,求S 100.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d , 因为b 2=4,所以a 2=2log 2b 2=4, 所以d =a 2-a 1=2, 所以a n =2+(n -1)×2=2n . 又a n =2log 2b n ,即2n =2log 2b n , 所以n =log 2b n , 所以b n =2n.(2)由(1)得b n =2n=2·2n -1=a 2n -1, 即b n 是数列{a n }中的第2n -1项.设数列{a n }的前n 项和为P n ,数列{b n }的前n 项和为Q n , 因为b 7=62a =a 64,b 8=72a =a 128,所以数列{c n }的前100项是由数列{a n }的前107项去掉数列{b n }的前7项后构成的, 所以S 100=P 107-Q 7=107×2+2142-2-281-2=11302.(2020·浙江)已知数列{a n },{b n },{c n }满足a 1=b 1=c 1=1,c n =a n +1-a n ,c n +1=b nb n +2c n ,n ∈N *. (1)若{b n }为等比数列,公比q >0,且b 1+b 2=6b 3,求q 的值及数列{a n }的通项公式; (2)若{b n }为等差数列,公差d >0,证明:c 1+c 2+c 3+…+c n <1+1d,n ∈N *.(1)解 由b 1=1,b 1+b 2=6b 3,且{b n }为等比数列,得1+q =6q 2,解得q =12(负舍).∴b n =12n -1.∴c n +1=b nb n +2c n =4c n ,∴c n =4n -1. ∴a n +1-a n =4n -1,∴a n =a 1+1+4+…+4n -2=1-4n -11-4+1=4n -1+23. (2)证明 由c n +1=b n b n +2·c n (n ∈N *), 可得b n +2·c n +1=b n ·c n , 两边同乘b n +1,可得b n +1·b n +2·c n +1=b n ·b n +1·c n , ∵b 1b 2c 1=b 2=1+d ,∴数列{b n b n +1c n }是一个常数列, 且此常数为1+d ,即b n b n +1c n =1+d , ∴c n =1+db n b n +1=1+d d ·d b n b n +1=⎝⎛⎭⎪⎫1+1d ·b n +1-b n b n b n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n -1b n +1,又∵b 1=1,d >0,∴b n >0, ∴c 1+c 2+…+c n=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 1-1b 2+⎝⎛⎭⎪⎫1+1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2-1b 3+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n -1b n +1 =⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1d ⎝⎛⎭⎪⎫1b 1-1b 2+1b 2-1b 3+…+1b n-1b n +1=⎝⎛⎭⎪⎫1+1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 1-1b n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1b n +1<1+1d,∴c 1+c 2+…+c n <1+1d.思维升华 对等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和,本题中利用裂项相消法求数列的和,然后利用b 1=1,d >0证明不等式成立.另外本题在探求{a n }与{c n }的通项公式时,考查累加、累乘两种基本方法.跟踪训练2 已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5. (1)求{a n }的通项公式; (2)求b 1+b 3+b 5+…+b 2n -1. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1=1,a 2+a 4=10, 所以2a 1+4d =10, 解得d =2. 所以a n =2n -1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4=a 5, 所以b 1q ·b 1q 3=9. 又b 1=1,所以q 2=3. 所以b 2n -1=b 1q2n -2=3n -1.则b 1+b 3+b 5+…+b 2n -1=1+3+32+…+3n -1=3n-12.题型三 数列与其他知识的交汇问题 命题点1 数列与不等式的交汇例3 已知数列{a n }满足a 1=12,1a n +1=1a n +2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求证:a 21+a 22+a 23+…+a 2n <12.(1)解 因为1a n +1=1a n+2(n ∈N *),所以1a n +1-1a n=2(n ∈N *),因为a 1=12,所以1a 1=2,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以首项为2,公差为2的等差数列,所以1a n =2+2(n -1)=2n (n ∈N *),所以数列{a n }的通项公式是a n =12n (n ∈N *).(2)证明 依题意可知a 2n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2=14·1n 2<14·1n ·1n -1=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n (n >1), 所以a 21+a 22+a 23+…+a 2n<14⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1-12+12-13+…+1n -1-1n=14⎝⎛⎭⎪⎫2-1n <12.故a 21+a 22+a 23+…+a 2n <12.命题点2 数列与函数的交汇例4 (1)(2022·淄博模拟)已知在等比数列{a n }中,首项a 1=2,公比q >1,a 2,a 3是函数f (x )=13x 3-6x 2+32x 的两个极值点,则数列{a n }的前9项和是________. 答案 1022解析 由f (x )=13x 3-6x 2+32x ,得f ′(x )=x 2-12x +32,又因为a 2,a 3是函数f (x )=13x 3-6x 2+32x 的两个极值点,所以a 2,a 3是函数f ′(x )=x 2-12x +32的两个零点,故⎩⎪⎨⎪⎧a 2+a 3=12,a 2·a 3=32,因为q >1,所以a 2=4,a 3=8,故q =2, 则前9项和S 9=21-291-2=210-2=1022.教师备选1.已知函数f (x )=log 2x ,若数列{a n }的各项使得2,f (a 1),f (a 2),…,f (a n ),2n +4成等差数列,则数列{a n }的前n 项和S n =______________. 答案163(4n-1) 解析 设等差数列的公差为d ,则由题意,得2n +4=2+(n +1)d ,解得d =2, 于是log 2a 1=4,log 2a 2=6,log 2a 3=8,…, 从而a 1=24,a 2=26,a 3=28,…,易知数列{a n }是等比数列,其公比q =a 2a 1=4, 所以S n =244n-14-1=163(4n-1).2.求证:12+1+222+2+323+3+…+n 2n +n <2(n ∈N *).证明 因为n 2n+n <n2n , 所以不等式左边<12+222+323+…+n2n .令A =12+222+323+…+n2n ,则12A =122+223+324+…+n 2n +1, 两式相减得12A =12+122+123+…+12n -n 2n +1=1-12n -n2n +1,所以A =2-n +22n<2,即得证.思维升华 数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系,求出数列的通项或前n 项和,再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题,通过放缩进行不等式的证明.跟踪训练3 (1)(2022·长春模拟)已知等比数列{a n }满足:a 1+a 2=20,a 2+a 3=80.数列{b n }满足b n =log 2a n ,其前n 项和为S n ,若b nS n +11≤λ恒成立,则λ的最小值为________.答案623解析 设等比数列{a n }的公比为q , 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q =20,a q +a q 2=80,解得a 1=4,q =4,故{a n }的通项公式为a n =4n,n ∈N *.b n =log 2a n =log 24n =2n , S n =2n +12n (n -1)·2=n 2+n ,b nS n +11=2n n 2+n +11=2n +11n+1,n ∈N *, 令f (x )=x +11x,则当x ∈(0,11)时,f (x )=x +11x单调递减,当x ∈(11,+∞)时,f (x )=x +11x单调递增,又∵f (3)=3+113=203,f (4)=4+114=274,且n ∈N *,∴n +11n ≥203,即b nS n +11≤2203+1=623, 故λ≥623,故λ的最小值为623.(2)若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和,且S 1,S 2,S 4成等比数列,S 2=4. ①求数列{a n }的通项公式; ②设b n =3a n a n +1,T n 是数列{b n }的前n 项和,求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .解 ①设{a n }的公差为d (d ≠0), 则S 1=a 1,S 2=2a 1+d ,S 4=4a 1+6d . 因为S 1,S 2,S 4成等比数列, 所以a 1·(4a 1+6d )=(2a 1+d )2. 所以2a 1d =d 2.因为d ≠0,所以d =2a 1.又因为S 2=4,所以a 1=1,d =2, 所以a n =2n -1. ②因为b n =3a n a n =32n -12n +1=32⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1, 所以T n =32⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+13-15+…+12n -1-12n +1 =32⎝⎛⎭⎪⎫1-12n +1<32. 要使T n <m 20对所有n ∈N *都成立, 则有m 20≥32,即m ≥30. 因为m ∈N *,所以m 的最小值为30. 课时精练1.(2022·青岛模拟)从“①S n =n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n +a 12;②S 2=a 3,a 4=a 1a 2;③a 1=2,a 4是a 2,a 8的等比中项.”三个条件中任选一个,补充到下面的横线处,并解答.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差d ≠0,________,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =122n n S S +-,数列{b n }的前n 项和为W n ,求W n .注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解 (1)选①: S n =n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n +a 12=n 2+a 12n , 令n =1,得a 1=1+a 12,即a 1=2, 所以S n =n 2+n .当n ≥2时,S n -1=(n -1)2+n -1,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n ,又a 1=2,满足上式,所以a n =2n .选②:由S 2=a 3,得a 1+a 2=a 3,得a 1=d ,又由a 4=a 1a 2,得a 1+3d =a 1(a 1+d ),因为d ≠0,则a 1=d =2,所以a n =2n .选③:由a 4是a 2,a 8的等比中项,得a 24=a 2a 8,则(a 1+3d )2=(a 1+d )(a 1+7d ),因为a 1=2,d ≠0,所以d =2,则a n =2n .(2)S n =n 2+n ,b n =(2n +1)2+2n +1-(2n )2-2n =3·22n +2n ,所以W n =3×22+2+3×24+22+…+3×22n +2n =12×1-4n 1-4+2×1-2n 1-2=4(4n-1)+2(2n -1)=4n +1+2n +1-6.2.(2022·沈阳模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2n +1=2S n +n +1,a 2=2.(1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)若b n =a n ·2n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,求使T n >2022的最小的正整数n 的值. 解 (1)当n ≥2时,由a 2n +1=2S n +n +1,a 2=2,得a 2n =2S n -1+n -1+1,两式相减得a 2n +1-a 2n =2a n +1,即a 2n +1=a 2n +2a n +1=(a n +1)2.∵{a n }是正项数列,∴a n +1=a n +1.当n =1时,a 22=2a 1+2=4,∴a 1=1,∴a 2-a 1=1,∴数列{a n }是以a 1=1为首项,1为公差的等差数列,∴a n =n .(2)由(1)知b n =a n ·2n =n ·2n ,∴T n =1×21+2×22+3×23+…+n ·2n ,2T n =1×22+2×23+…+(n -1)·2n +n ·2n +1, 两式相减得-T n =2·1-2n 1-2-n ·2n +1 =(1-n )2n +1-2,∴T n =(n -1)2n +1+2.∴T n -T n -1=n ·2n >0,∴T n 单调递增.当n =7时,T 7=6×28+2=1 538<2 022,当n =8时,T 8=7×29+2=3 586>2 022,∴使T n >2 022的最小的正整数n 的值为8.3.(2022·大连模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 5=25,且a 3-1,a 4+1,a 7+3成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(-1)na n +1,T n 是数列{b n }的前n 项和,求T 2n .解 (1)由题意知,等差数列{a n }的前n 项和为S n ,由S 5=25,可得S 5=5a 3=25,所以a 3=5, 设数列{a n }的公差为d ,由a 3-1,a 4+1,a 7+3成等比数列,可得(6+d )2=4(8+4d ),整理得d 2-4d +4=0,解得d =2,所以a n =a 3+(n -3)d =2n -1.(2)由(1)知 b n =(-1)n a n +1=(-1)n (2n -1)+1,所以T 2n =(-1+1)+(3+1)+(-5+1)+(7+1)+…+[-(4n -3)+1]+(4n -1+1)=4n .4.(2022·株洲质检)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3=5,a 1a 2=2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }的通项公式为b n =2n ,将数列{a n },{b n }的所有项按照“当n 为奇数时,b n 放在前面;当n 为偶数时,a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”,得到一个新数列{c n },b 1,a 1,a 2,b 2,b 3,a 3,a 4,b 4,…,求数列{c n }的前(4n +3)项和T 4n +3.解 (1)由题意,设数列{a n }的公差为d ,因为a 3=5,a 1a 2=2a 4,可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =5,a 1·a 1+d =2a 1+3d ,整理得(5-2d )(5-d )=2(5+d ),即2d 2-17d +15=0,解得d =152或d =1, 因为{a n }为整数数列,所以d =1,又由a 1+2d =5,可得a 1=3,所以数列{a n }的通项公式为a n =n +2.(2)由(1)知,数列{a n }的通项公式为a n =n +2,又由数列{b n }的通项公式为b n =2n , 根据题意,得新数列{c n },b 1,a 1,a 2,b 2,b 3,a 3,a 4,b 4,…,则T 4n +3=b 1+a 1+a 2+b 2+b 3+a 3+a 4+b 4+…+b 2n -1+a 2n -1+a 2n +b 2n +b 2n +1+a 2n +1+a 2n +2 =(b 1+b 2+b 3+b 4+…+b 2n +1)+(a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2n +2)=2×1-22n +11-2+3+2n +42n +22=4n +1+2n 2+9n +5.5.已知等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,且S 1,S 2,S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =(-1)n -14na n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,且S 1,S 2,S 4成等比数列, ∴S n =na 1+n (n -1),(2a 1+2)2=a 1(4a 1+12),解得a 1=1,∴a n =2n -1.(2)由(1)可得b n =(-1)n -14na n a n +1=(-1)n -1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1,当n 为偶数时,T n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1+13-⎝ ⎛⎭⎪⎫13+15+⎝ ⎛⎭⎪⎫15+17-…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -3+12n -1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1=1-12n +1=2n2n +1;当n 为奇数时,T n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1+13-⎝ ⎛⎭⎪⎫13+15+⎝ ⎛⎭⎪⎫15+17-…-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -3+12n -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1=1+12n +1=2n +22n +1.∴T n =⎩⎪⎨⎪⎧ 2n2n +1,n 为偶数,2n +22n +1,n 为奇数.。

(典型题)北师大版九年级上册数学第六章 反比例函数含答案

(典型题)北师大版九年级上册数学第六章 反比例函数含答案

北师大版九年级上册数学第六章反比例函数含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、如图,在平面直角坐标系中,函数与的图象交于点,则代数式的值为()A. B. C. D.2、若反比例函数的图象经过点(1,-2),则k=()A.-2B.2C.D.-3、已知点A(,),B(1,),C(2,)是函数图象上的三点,则,,的大小关系是()A. <<B. <<C. <<D.无法确定4、若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值可能是()A.4B.3C.2D.05、在反比例函数的每一条曲线上,y都随着x的增大而增大,则k的值可以是()A.-1B.0C.1D.26、设有反比例函数y=,(x1, y1)、(x2, y2)为其图象上的两点,若x1<0<x2时y1>y2,则k的取值范围是()A.k>0B.k<0C.k>-1D.k<-17、直线y=3x与双曲线的一个分支(k≠0、x>0)相交,则该分支所在象限为()A.1B.2C.3D.48、点A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3, y3)都是反比例函数的图象上,若x1<x2<0<x3,则y1, y2, y3的大小关系是()A.y3<y1<y2B.y1<y2<y3C.y3<y2<y1D.y2<y1<y39、点A为反比例函数图象上一点,它到原点的距离为5,则x轴的距离为3,若点A第二象限内,则这个函数的解析式为()A.y=B.y=﹣C.y=D.y=﹣10、当x<0时,函数的图象在( )A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限11、若,点M(a,b)在反比例函数的图象上,则反比例函数的解析式为()A. B. C. D.12、函数是反比例函数,则m的值为()A.0B.-1C.0或-1D.0或113、如图,点在双曲线上,点在双曲线上,轴,过点作轴于.连接,与相交于点,若,则的值为()A.6B.9C.10D.1214、如图,在同一平面直角坐标系中,直线与双曲线相交于两点,已知点A的坐标为,则点B的坐标为()A. B. C. D.15、如图,点A的反比例函数y=(x>0)的图象上,点B在反比例函数y =(x>0)的图象上,AB∥x轴,BC⊥x轴,垂足为C,连接AC,若△ABC 的面积是6,则k的值为()A.10B.12C.14D.16二、填空题(共10题,共计30分)16、已知直线y= x+2与y轴交于点A,与双曲线y= 有一个交点为B(2,3),将直线AB向下平移,与x轴.y轴分别交于点C,D,与双曲线的一个交点为P,若,则点D的坐标为________.17、如图,矩形ABCD的边AB与x轴平行,顶点A的坐标为(2,1),点B与点D都在反比例函数的图象上,则矩形ABCD的周长为________.18、正比例函数与反比例函数的图象交于A,B两点,若点A的坐标是(1,2),则点B的坐标是________.19、如图,正方形ABOC的边长为2,反比例函数y= 过点A,则k的值是________.20、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设点P(1,t)在反比例函数y=的图象上,过点P作直线l与x轴平行,点Q在直线l上,满足QP=OP.若反比例函数y=的图象经过点Q,则k=________ .21、如图,过原点的直线与反比例函数的图象相交于点、,根据图中提供的信息可知,这个反比例函数的解析式为________.22、如图,在平面直角坐标系中,已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数y= 和y= 在第一象限的图象于点A、B,过点B作BD⊥x轴于点D,交y= 的图象于点C,连结AC.若△ABC是等腰三角形,则k的值是________ .23、如图,平面直角坐标系中,⊙O1过原点O,且⊙O1与⊙O2相外切,圆心O1与O 2在x轴正半轴上,⊙O1的半径O1P1、⊙O2的半径O2P2都与x轴垂直,且点P1、P2在反比例函数(x>0)的图象上,则________.24、如图,平面直角坐标系中,OB在x轴上,∠ABO=90°,点A的坐标为(﹣1,2),将△AOB绕点A顺时针旋转90°,点O的对应点D恰好落在双曲线y=上,则k的值为________.25、若反比例函数的图象经过第一、三象限,则 k的取值范围是________.三、解答题(共5题,共计25分)26、已知, 与成正比例, 与成反比例,且当时,; 时, .试求当时, 的值.27、如图,△OAP、△ABQ是等腰直角三角形,点P、Q在函数(k≠0)第一象限的图像上,直角顶点A、B均在x轴上,若OA=3,求点Q的坐标.28、如图所示,Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=10,点B在反比例函数y=图象上,且点B的横坐标为3.(1)求OB的长;(2)求过点A的双曲线的解析式.29、按要求完成下列各小题.(1)解方程:x2+6x+2=2x+7;(2)如图是反比例函数y=在第三象限的图案,点M在该图象上,且点M到点x轴,y轴的距离都等于|k|,求k的值.30、美美用300元钱全部用来买营养品送给她妈妈,写出她所能购买营养品的数量y(kg)与单价x(元/kg)之间的关系式.问y是x的函数吗?y是x的反比例函数吗?参考答案一、单选题(共15题,共计45分)1、C2、A3、B4、D5、D6、D7、A8、A9、B10、C11、A12、A13、B14、A15、D二、填空题(共10题,共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题,共计25分)26、27、29、30、。

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第六部分函数一、单项选择题1.C语言中的函数返回值的类型是由(定义函数时所指定的函数类型)决定A.return语句中的表达式B.调用函数的主调函数C.调用函数时临时 D.定义函数时所指定的函数类型A.2.下面不正确的描述是(调用函数时,实参和形参可以共用内存单元)。

B.调用函数时,实参可以是表达式C.调用函数时,实参和形参可以共用内存单元D.调用函数时,将形参分配内存单元E.调用函数时,实参与形参的类型必须一致3.在C语言中,调用一个函数时,实参变量和形参变量之间的数据传递是(由用户指定传递方式)A.地址传递 B.值传递C.由实参传递给形参,并由形参传回给实参D.由用户指定传递方式4.下面的函数调用语句中含有( A )个实参int a,b,c;int sum(int x1,int x2);……total=sum((a,b),c);A.2 B.3 C.4 D.55.在C语言中( C )A.函数的定义可以嵌套,但函数的调用不可以嵌套B.函数的定义和调用均不可以嵌套C.函数的定义不可以嵌套,但是函数的调用可以嵌套D.函数的定义和调用均可以嵌套6.关于C语言中的return语句正确的是(C )A.只能在主函数中出现B.在每个函数中都必须出现C.可以在一个函数中出现多次D.只能在除主函数之外的函数中出现7.两个形参中,第一个形参为指针类型、第二个形参为整型,则对函数形参的说明有错误的是( D)A. int a(float x[],int n)B. int a(float *x,int n)C. int a(float x[10],int n)D.int a(float x,int n)8.在C语言中,函数的数据类型是指( A )A.函数返回值的数据类型B. 函数形参的数据类型C.调用该函数时的实参的数据类型D. 任意指定的数据类型9.已知如下定义的函数:fun1(a){ printf("\n%d",a);}则该函数的数据类型是( C )A.与参数a的类型相同B.void型C.整型D.无法确定10.定义一个函数实现交换x和y的值,并将结果正确返回。

能够实现此功能的是( D )A. swapa(int x,int y){ int temp;temp=x;x=y;y=temp;}B. swapb(int *x,int *y){ int temp;temp=x;x=y;y=temp;}C.swapc(int *x,int *y){ int temp;temp=*x;*x=*y;*y=temp;}D. swapd(int *x,int *y){ int *temp;temp=x;x=y;y=temp;}11.求一个角的正弦函数值的平方。

能够实现此功能的函数是(错 )A.sqofsina(x){ float x;return(sin(x)*sin(x));}B. double sqofsinb(x){ float x;return(sin((double)x)*sin((double)x));}C.double sqofsinc(x){ return(((sin(x)*sin(x));}D. sqofsind(x){ float x;return(double(sin(x)*sin(x)));12.已知函数定义如下:float fun1(int x,int y){ float z;z=(float)x/y;return(z);}主调函数中有int a=1,b=0;可以正确调用此函数的语句是(D )A.printf("%f",fun1(a,b));B. printf("%f",fun1(&a,&b));C. printf("%f",fun1(*a,*b));D.调用时发生错误13.下面函数的功能是( B )a(s1,s2)char s1[],s2[];{ while(s2++=s1++) ;}A.字符串比较B.字符串复制C. 字符串连接D. 字符串反向二、填空题1.在C语言中,存储类型为寄存器变量和自动型的变量,只能在使用它们时才占用存储空间。

2.在一个源文件中定义的全局变量的作用域为整个源程序。

3.下面程序的执行结果是84int d=1;fun(int p){int d=5;d+=p++;printf(“%d”,d);}main(){int a=3;fun(a);d+=a++;printf(“%d”,d);}4.该fun函数的功能是求10的阶乘。

1) #include2) long fun ( int n)3) {if (___1___)4) return (n*fun(___2___));5) else if ( ___3___)6) return 1;}第一处:n>1第二处:n-1·第三处:n==1解析:从第2、4行看到了函数名,函数体中又出现了函数的调用,则是递归。

我们知道:n!=n*(n-1)! 这就是一个递归的表达式,写成函数就是fun(n)=n*fun(n-1)。

因此,4行处填写n-1。

又:1!=1 故3,5行就好填了。

因此答案是n>1 n-1 n==1。

还有0!=1 故,还可填写:n>0 n-1 n==0注意:3 5行的条件是相反的,这也是if与else条件的互斥性。

5. 程序的功能是计算s=1!+2!+3!+……+n!1) long fun(int n)2) { int i;3) long s;4) s=___1___;5) for (i=1; i<=n; i++)6) s=___2___;7) return s;8) }9) main()10) { long s;11) int k,n;12) scanf("%d",&n);13) s=___3___;14) for (k=1; k<=n; k++)15) s=___4___;16) printf("%ld\n", s);17) }第一处:1第二处:s*i第三处:0第四处:s+fun(k)解析:首先,搞清楚函数fun、main各自的功能。

Fun是求一个数的阶乘,我们知道:n!=1*2*3*…*n同时要死记住:求积,积的初值一般等于1。

故fun中s是用来存放积的,其初值等于1;求阶乘是连乘,故s=s*iMain是求和,记住:和的初值一般等于0.两个函数中的局部变量s的作用是不同的。

Main中的s是存放和的。

最后:注意一些变量的类型。

阶乘是求积,积的增长速度是比较快的,为防止溢出,fun的返回值类型是long。

输出中ld 是输出长整数。

6. 请在函数fun的横线上填写若干个表达式,使从键盘上输入一个整数n,输出斐波纳契数列。

斐波契数列是一种整数数列,其中每数等于前两数之后,如:0 1 1 2 3 5 8 13……1) int fun(int n){2) if(___1___)3) return 0;4) else if(___2___)5) return 1;6) else7) return___3___;8) }第一处:n==0第二处:n==1第三处:fun(n-1)+fun(n-2)解析:求斐波契数列:一项等于其前两项的和。

这也是一个递归。

求斐波契数列的第n项的值,n从0开始。

7.请补全函数fun,该函数的功能是求出以下分数序列的前n项之和。

和值通过函数值返回到main函数。

1) #include2) #include3) ___1___ fun(int n)4) {int a,b,c,k;5) double s;6) s=0.0;7) a=2;8) b=1;9) for(k=1;k<=n;k++)10) {11) s=s+(___2___)a/(___3___)b;12) c=a;13) a=a+b;14) b=c;15) }16) return s;17) }第一处:double第二处:double第三处:double解析:从第11----14总结出数列的表达式。

第1项是a/b=2/1;3/2 4/3故:s=2/1+3/2+4/3+……和的初值是0。

记住:两个整数进行算术运算结果也是整数,算术运算中只要有一个操作数是实数,运算结果就是实数。

本题希望结果是实数,故要进行强制类型转换,2,3只要有一个进行强制转换就可以最后,函数需要有一个返回值类型,当然也是双精度浮点数了。

8. 给定程序的功能是计算并输出下列级数的前N项之和SN,直到SN大于q为止,q的值通过形参传入。

1) double fun( double q )2) {int n;3) double s;4) n = 2;5) s = 2.0;6) while (s ___1___ q)7) {8) s=s+(double)(n+1)/n;9) ___2___ ;10) }11) printf("n=%d\n",n);12) ___3___ ;13) }第一处:s <= q第二处:n++第三处:return s解析:从第8行,从数学的角度总结出数列的表达式。

(n+1)/n n从2开始,每次增加1,故:SN=2+3/2+4/3+……和的初值是2.0循环条件是“SN大于q为止”,while是满足条件才循环,故填写s <= q最后,函数需要有一个返回值。

9. 给定程序功能是计算S=f(-n)+f(-n+1)+…+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)的值。

float f( double x){if (x == 0.0 || x == 2.0)return ___1___;else if (x < 0.0)return (x -1)/(x-2);elsereturn (x +1)/(x-2);double fun( int n ){int i; double s=0.0, y;for (i= -n; i<=___2___; i++){ y=f(1.0*i); s += y; }return ___3___;}main ( ){printf("%f\n", fun(5) );}第一处:0.0第二处:n第三处:s解析:函数f ( double x) 求每个单项的值。

if……else的条件是互斥的。

fun( ) 是求和。

10.给定程序的功能是计算score中m个人的平均成绩aver,将低于aver的成绩放在below 中,通过函数名返回人数。

int fun(int score[], int m, int below[]){int i, j = 0 ;float aver = 0.0 ;for(i = 0 ; i < m ; i++) aver += score[i] ;aver /= (float) m ;for(i = 0 ; i < m ; i++)if(score[i] < aver) below[j++] = ___1___ ;return j ;}main(){int i, n, below[9] ;int score[9] = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90} ;n = fun(score, 9, ___2___) ;printf( "\nBelow the average score are: " ) ;for (i = 0 ; i < n ; i++) printf("%d ", ___3___) ;}第一处:score[i]第二处:below第三处:below[i]解析:求平均值,应先求和。

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