9.14 公式法1——平方差公式
近年学年七年级数学上册9.14公式法(1)平方差公式教案沪教版五四制(new)
平方差公式
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。
3 公式法(要点梳理、类型讲解)
公式法（知识讲解）【学习目标】1. 能运用平方差公式、完全平方公式把简单的多项式进行因式分解；2. 会综合运用提公因式法和平方差公式、完全平方公式把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯；4.能运用平方差公式和完全平方公式的因式分解解决实际问题。
【知识要点】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式.特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点三、因式分解步骤 ()()22a b a b a b -=+-a b a b ()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点四、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法➽➼判断能否用公式法的辨析1．下列各式：①22x y --；②22114a b -+；③22a ab b ++；④222x xy y -+-；⑤2214mn m n -+，能用公式法分解因式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】利用平方差公式与完全平方公式逐一把各因式分解因式，从而可得答案. 解：22x y --不能分解因式，故①不符合题意；222211111111,4222a b ab ab ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故②符合题意； 22a ab b ++不能分解因式，故③不符合题意； ()()2222,222x xy y x y x xy y =--+=---+-故④符合题意； 22211,42mn m n mn ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭故⑤符合题意； 故选B【点拨】本题考查的是利用公式法分解因式，掌握“平方差公式与完全平方公式分解因式”是解本题的关键.举一反三：【变式1】下列多项式不能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．212a a -+B ．2168x x --+C ．22222a b m n abmn --D ．2269ab a b --【答案】C【分析】根据完全平方公式的结构()2222a b a ab b ±=±+逐项分析判断即可求解． 解：A. 212a a -+()21a =-能用完全平方公式因式分解，故该选项不符合题意；B. 2168x x --+()24x =--，能用完全平方公式因式分解，故该选项不符合题意；C. 22222a b m n abmn --，平方项异号，不能用完全平方公式因式分解，故该选项符合题意；D. 2269ab a b --()23a b =--，能用完全平方公式因式分解，故该选项不符合题意． 故选C ．【点拨】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．【变式2】对于多项式（1）22x y -；（2）22x y --；（3）24x y -；（4）24x -+中，能用平方差公式分解的是( )A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（1）（4）D ．（2）（4） 【答案】C【分析】由于平方差公式必须只有两项，并且是两个数差的形式，利用这个特点即可确定哪几个能用平方差公式分解． 解：平方差公式必须只有两项，并且是两个数平方差的形式，（1）22x y -两平方项符号相反，可以利用平方差公式；（2）22x y --，两平方项符号相同，不能运用平方差公式；（3）42x y -虽然是两项，并且是差的形式，但不是平方差的形式；（4）24x -+，两平方项符号相反，可以利用平方差公式．所以（1）（4）能用平方差公式分解．故选：C ．【点拨】此题考查了平方差公式的特点，只要抓住平方差公式的特点：两平方项，符号相反，熟记公式结构特点是解题的关键． 类型二、运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解2．因式分解：(1) 24x - (2) 321025m m m -+【答案】(1) ()()22x x +- (2) ()25m m -【分析】（1）根据平方差公式分解即可；（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．（1）解：24x -222x =-()()22x x =+-；（2）解：321025m m m -+2(1025)m m m =-+2(5)m m =-．【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．注意一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．举一反三：【变式1】分解因式：(1) 41x - (2) 3222x x y xy -+【答案】(1) ()()()2111x x x +-+ (2) ()2x x y - 【分析】（1）利用两次平方差公式进行因式分解即可得；（2）综合利用提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可得．（1）解：原式()()2211x x -=+，()()()2111x x x +-+=；（2）解：原式()222x x xy y =-+， ()2x x y =-．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，准确计算是解题关键．【变式2】因式分解：(1) 29a - (2) 244x x -+【答案】(1) ()()33a a +- (2) ()22x - 【分析】（1）直接利用平方差公式()()22a b a b a b -=+-进行因式分解即可得；（2）直接利用完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±进行因式分解即可得．解：（1）()()2933a a a -=+- （2）()22442x x x -+=-【点拨】本题考查了因式分解，熟记乘法公式是解题关键． 类型三、综合运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解3．因式分解(1) 22ma ma m ++ (2) ()222416x x +- 【答案】(1) 2(1)m a + (2) 22(2)(2)x x +-【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方式因式分解．（2）先用平方差公式因式分解，再用完全平方公式因式分解．解：（1）22ma ma m ++2(21)m a a =++2(1)m a =+（2）()222416x x +- 22(44)(44)x x x x =+++-22(2)(2)x x =+-【点拨】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉因式分解的基本步骤1．提取公因式；2．套用公式．举一反三：【变式1】把下列各式因式分解：(1) 32242a a a -+；(2) ()()2294a x y b y x -+-． 【答案】(1) ()221a a - (2) ()()()3232x y a b a b -+-【分析】（1）先提取公因式2a ，然后用完全平方公式分解即可；（2）先提取公因式x -y ，然后用平方差公式分解即可．（1）解：32242a a a -+()2221a a a =-+()221a a =-．（2）解：()()2294a x y b y x -+- ()()2294a x y b x y =---()()2294x y a b =--()()()3232x y a b a b =-+-．【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法和公式法因式分解是解答本题的关键．【变式2】分解因式：(1) 228168ax axy ay -+-(2) ()22222936x y x y +-； 【答案】(1)28()a x y --(2)22(3)(3)x y x y +-【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．解：（1）原式228(2)a x xy y =--+28()a x y =-- （2）原式2222(9)(6)x y xy =+-2222(96)(96)x y xy x y xy =+++-22(3)(3)x y x y =+-【点拨】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．类型四、运用公式法进行因式分解进行简便运算4．用简便方法计算．（1）227.29 2.71- （2）4413423.7 1.35555-⨯+⨯-⨯ 【答案】（1）45.8；（2）-20【分析】（1）利用平方差公式进行计算；（2）提出45，然后进行计算即可. 解：（1）227.29 2.71-=（7.29+2.71）（7.29-2.71）=10×4.58=45.8；（2）4413423.7 1.35555-⨯+⨯-⨯ =4(23.7 1.3 2.6)5⨯-+- =4(25)5⨯- =-20【点拨】本题考查了利用因式分解进行简便计算，掌握因式分解的方法是关键. 举一反三：【变式1】利用因式分解计算：（1）9788597879788⨯+⨯+⨯； （2）23.86 3.86 3.85-⨯.【答案】（1）97800；（2）0.0386【分析】（1）提取公因式978后进行计算；（2）提取公因式3.86后进行计算. 解：(1)原式()9788578=⨯++97800=.(2)原式()3.86 3.86 3.85=⨯-0.0386=.【点拨】本题考查利用因式分解对有理数进行简便运算，利用提取公因式因式分解是解答此题的关键.【变式2】计算：2 0182－4 038×2 018＋2 0192.【答案】1.试题分析：根据完全平方公式特征进行因式分解,进行简便计算即可.解：2 0182－4 038×2 018＋2 0192＝2 0182－2×2 018×2 019＋2 0192＝(2 018－2 019)2＝1.。
9.14公式法(1)--平方差公式
9、14公式法（1）--平方差公式班级 姓名学习目标： 1、理解整式乘法公式在因式分解中的应用；2、掌握运用平方差公式分解因式。
学习过程：1、观察问题，引出新知计算：）（2y 2y)(x -x += ；反过来可得 ；)3)(322y x y x -+（= ；反过来可得 ； ))((b a b a -+= ；反过来可得 ；2、理解新知：公式法：逆用 将一个多项式分解因式的方法叫做 ；平方差公式：如果一个多项式能写成 的形式，那么就可以运用把它 ，它等于这两个数的 与这两个数 的的积。
即：22a b -= ； （试一试）（1）填空：22n 9）（=；2416）（=x ；2225.0）（=a ； 2241）（=y ；2249）（=m ； （2）判断下列各式是否可以用平方差公式分解因式？4x -4+ （ ） 22536.0n m - （ ）22925b a + （ ） 21m -- （ ）3、例题选讲：例1、分解因式：（1）2x 16-1 （2）22419b a -（3）44416y a -x + （4）2123ab a -友情提示：1、分解因式时，有公因式一定要先提取公因式；2、分解因式一定要分解到每一个因式不能再分解为止；例2、分解因式：22)(25)2a b a b --+（ 36)2(22--b a a例3、用简便方法运算：223.28-7.21 226.8125-1425.1⨯⨯课堂检测：一、填空题：1、22)(36=x 。
2、264)(09.0=y x 。
3、22)()(16=-n m 。
4、24)()(81=-y x 。
5、=-24x _______。
6、=+-224y x ____ ___。
7、=-2249y x ___ ____。
8、=-22169254y x _____ __。
9、=-362m 。
10、=+-22491y x 。
11、=+-22)(b c a ____ ___。
沪教版七年级数学上册 公式法—平方差公式(第1课时)
5.观察下列计算过程：
32-12=9-1=8=8×1； 52-32=25-9=16=8×2； 72-52=49-25=24=8×3； 92-72=81-49=32=8×4；
......
你能从上式中得出什么结论？说明理由.
解：根据上列各式得出的结论是
两个连续奇数的平方差是8的整数倍.
设两个连续奇数为2n+1、2n-1(n为正整数)
(2) 16a2-9b2
公式中的a和b 表示单项式
(1)解:原式 =62-(5x)2
(2)解:原式 =(4a)2-(3b)2
=(6+5x)(6-5x)
=(4a+3b)(4a-3b)
★在使用平方差公式分解因式时，步骤为： 1.变形（明确哪个相当于 a , 哪个相当于 b. ） 2.分解
例题2：分解因式：
当堂练习
1.利用因式分解计算:
“数”与“式” 的相互变换
(1) 10122-9882
(2) 9×1222-4×1332
解(1)原式=(1012+988)(1012-988)(2) 原式=(3×122)2 -(2×133)2
=2000×24
=3662 -2662
=4800
=(366+266)(366-266)
可以，因为 4x 2 可写为 (2x) 2 9 y 2可写为 (3y)2
，所以原式可看作两数的平方差，即： 4x2 9y2 (2x)2 (3y)2 (2x 3y)(2x 3y)
a 2 ▲ b 2 ( a ▲ b )( a ▲ b )
（１）公式左边：
★多项式含有两项，且这两项异号，并且能写 成（ ）２－（ ）２的形式。
能
(3)a2 -（-b）2 = a2 - b2 = (a+b)(a-b) 能
9.14公式法(1)
例2.分解因式：
(1)3x 12 x
3
(2)2 8 x
2 2 2 3
(3)3a(a b) 75ab
(4)4(2 y x) 25( x 2 y )
1.分解因式时，有公因 式一定要先提取 2.分解因式一定要分解 到每一个因式不能再分 解为止（分解因式的最 后结果中没有中括号）
2 2 a -b =(a+b)(a-b)，
练习：下列多项式可不可以用平方差公式进行因式分解？
(1)a 4b (2)4a b (3) 4 a (4) 4 a
2 2
2 2
2
2
(5) x
2
1 4
( 6) x
2
1 4
(7)(2a b) (2a b)
2
2
能够利用平方差公式进行因式分解的多项式有什么特征？ 1.这个多项式是二项式（或可以看成两项式） 2.这个二项式能够写成两数（或两个式子）平方差的形 式
9.14 公式法1
1.我们学过的乘法公式有哪些？ 2.什么叫做分解因式？ 2 2 2 2 4x 9 y 分解因式？ 3.如何将 x y ，
逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.
• • 这个公式叫做因式分解的平方差公式 • 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个 数的和与这两个数的差的积。这个公式叫 做因式分解的平方差公式.
例1.分解因式：
(1)1 9 x
2 2
(2) 9 x y 16 4 9 2 (3) x y 25 16 2 2 (4)(a b) (a c)
2
公式中的字母a,b既 可以表示单独的数或 字母，也可以表示单 项式或多项式
上海市上宝中学数学七年级上学期9-14 公式法(2)--平方差公式
第九章 整式9.14 公式法（2）——平方差公式班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 评价：__________一、知识点汇总：1．______________和______________这两个公司叫做因式分解的完全平方公式，即如果一个多项式能写成________________________________形式，那么它就可以运用完全平方公式把它分解因式，它等于________________________．2．用完全平方公式分解因式时，结果是“和”的平方，还是“差”的平方，可根据多项式中的________________来决定．3．因式分解若遇到首项是负号的，可先________，因式分解时，应先____________然后多项式是两项式时，可以用公式法中_____________；若是三项式，可以用公式法中的_________________．二、基础训练：1．现有下列多项式：（1）21x x ++；（2）221x x -+；（3）224x x ++； （4）244x x -+． 其中能用完全平方公式进行因式分解的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．将下列完全平方式中所缺的项补完整，并将它们表示成平方的形式：（1）29______________x x -+=；（2）4210________________a a ++=； （3）21________4________n -+=；（4）224________2___5_____x y ++=； （5）22915________________a b ab ++=；（6）42________________x x ++=．3．分解下列因式：（1）269a ab b -+=_________；（2）216249m m ++=_________； （3）2214a b ab -+=_________；（4）224914x xy y -+=_________； （5）24111934x x ++=_________；（6）2225204a ab b -+=_________； （7）3231212a a a -+=_________；（8）4221a a -+=_________；． （9）32231114416m n m n mn -+=_________；（10）3224129x x y xy -+-=_________．4．分解因式：（1）2318248a a a -+（2）3222x x y xy -+（3）232828x y x xy ---（4）231249a a a --（5）23927424ax ax a -+-（6）()()44x y x y --++（7）()()24129a b b a ---+（8）()222224x y x y +-（9）()()()22222x y x y x y +--+- （10）222491264a b c ab bc ac ++--+（11）4224816x a x a -+（12）221881n n n a a a +--+（n 为大于是乎的正整数）5．计算：（1）228001600799799-⨯+（2）226.513 3.5 3.5+⨯+6．已知()294x y M -++是－ 一个完全平方式，求M 的表达式．7．已知5x y +=，2213x y +=，求代数式32232x y x y xy ++的值．8．已知()221220x y x y +-+--=，求()()()()2222222x y x y x y x y ---+++的值．三、拓展训练：9．已知22136410x xy y x -+-+=，求()52xy x -的值．10．当k 为何值时，2224410209x xy y x y k -+-+++是一个完全平方式．11．求证：不论x 取何值，()()()2437100x x x ---+的值是非负数．12．已知222224470x y z x y z ++-+++=，求xyz 的值．13．请你添加一个单项式，使多项式41x +能用完全平方公式进行因式分解．14．求证：四个连续正整数的积与1的和必是一个宗全平方断15．已知a 、b 、c 、d 均为一个四边形的四条边，且满足44444a b c d abcd +++=． 求证：这个四边形是一个菱形（即求证a b c d ===）．16．分解因式：（1）421x x ++ （2）444222222222x y z x y x z y z ++---。
上海市罗泾中学七年级数学上册 9.14.1 公式法分解因式-平方差教案 沪教版五四制
提问：如何分解因式？（1）能否直接利用平方差公式？
解：（1）
注意：先提公因式在用公式法，分解一定要彻底
（2） 先让学生独立完成
提问：分解彻底了吗？
（3）
（4）
可以，将 、 看作一个整体
（1）不能直接利用平方差公式可以先提取公因式3x
预估学生的解题过程：
没有
课堂练习
1、分解因式：
（1）36b4x8－9c6y10
公式法分解因式-平方差
教学目标：
知识与技能：掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解；
过程与方法：1、通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程，发展逆向思维；
2、在应用平方差公式分解因式的过程中体验换元思想，同时增强观察能力和归纳总结的能力。
情感态度与价值观：
教学重难点：
（7）(x+5)(x-5)=
（8）(3a+1)(3a-1)=
引入
比一比：看谁算得快
提问：说一说你的依据？
试一试：因式分解
提问：当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解？
练一练：下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？
(1) a2+4b2; (2)4a2-b2; (3) a2-(-b)2; (4)–4+a2; (5)–4-a2; (6) x2- ; (7) x2n+2-x2n
（2）(x+2y)2－(x－2y)2
（3）
（4）81
（5）(3a+2b)2－(2a+3b)2
2、若 ， ，则代数 的值
小结
1、分解因式平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
运用公式法——平方差公式教案
运⽤公式法——平⽅差公式教案运⽤公式法——平⽅差公式教案教学⽬标（⼀）知识认知要求1.使学⽣了解运⽤公式法分解因式的意义；2.使学⽣掌握⽤平⽅差公式分解因式.3.使学⽣了解，提公因式法是分解因式的⾸先考虑的⽅法，再考虑⽤平⽅差公式分解因式.（⼆）能⼒训练要求1.通过对平⽅差公式特点的辨析，培养学⽣的观察能⼒.2.训练学⽣对平⽅差公式的运⽤能⼒.（三）情感与价值观要求在引导学⽣逆⽤乘法公式的过程中，培养学⽣逆向思维的意识，同时让学⽣了解换元的思想⽅法.教学重点让学⽣掌握运⽤平⽅差公式分解因式.教学难点将单项式化为平⽅形式，再⽤平⽅差公式分解因式；培养学⽣多步骤分解因式的能⼒. 教学过程⼀、创设问题情境,引⼊新课在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把⼀个多项式分解成⼏个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在⼀个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从⽽将多项式化成⼏个因式乘积的形式.如果⼀个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利⽤这种关系找到新的因式分解的⽅法，本节课我们就来学习另外的⼀种因式分解的⽅法——公式法.⼆、新课讲解1.请看乘法公式（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2 （1）左边是整式乘法，右边是⼀个多项式，把这个等式反过来就是a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）（2）左边是⼀个多项式，右边是整式的乘积.⼤家判断⼀下，第⼆个式⼦从左边到右边是否是因式分解？符合因式分解的定义，因此是因式分解.对，是利⽤平⽅差公式进⾏的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平⽅差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平⽅差公式.2.公式讲解请⼤家观察式⼦a 2－b 2,找出它的特点.公式的特点下⾯按公式分类，⼀⼀进⾏阐述．(1)平⽅差公式：))((22b a b a b a -+=-这⾥a ，b 可以表⽰数、单项式、多项式．公式的特点是：①左侧为两项；②两项都是平⽅项；③两项的符号相反．（是⼀个⼆项式，每项都可以化成整式的平⽅，整体来看是两个整式的平⽅差.如果⼀个⼆项式，它能够化成两个整式的平⽅差，就可以⽤平⽅差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.）如x 2－16=（x ）2－42=（x +4）（x －4）.9 m 2－4n 2=（3 m ）2－（2n ）2=（3 m +2n ）（3 m －2n ）3.例题讲解例1 ：把下列各式分解因式：（1）25－16x 2; （2）9a 2－41b 2. 解：（1）25－16x 2=52－（4x ）2=（5+4x ）（5－4x ）; （2）9a 2－41b 2=（3a ）2－（21b ）2 =（3a +21b ）（3a －21b ）. 例2 ：把下列各式分解因式:（1）9（m +n ）2－（m －n ）2;（2）2x 3－8x .解：（1）9（m +n ）2－（m －n ）2=［3（m +n ）］2－（m －n ）2=［3（m +n ）+（m －n ）］［3（m +n ）－（m －n ）］=（3 m +3n + m －n ）（3 m +3n －m +n ）=（4 m +2n ）（2 m +4n ）=4（2 m +n ）（m +2n ）（2）2x 3－8x =2x （x 2－4）=2x （x +2）（x －2）说明：例1是把⼀个多项式的两项都化成两个单项式的平⽅，利⽤平⽅差公式分解因式；例2的（1）是把⼀个⼆项式化成两个多项式的平⽅差，然后⽤平⽅差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再⽤平⽅差公式分解因式，由此可知，当⼀个题中既要⽤提公因式法，⼜要⽤公式法分解因式时，⾸先要考虑提公因式法，再考虑公式法. 补充例题3：判断下列分解因式是否正确.（1）（a +b ）2－c 2=a 2+2ab +b 2－c 2.（2）a 4－1=（a 2）2－1=（a 2+1）·（a 2－1）.解：（1）不正确.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进⾏因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a 2－1还能继续分解成（a +1）（a －1）.应为a 4－1=（a 2+1）（a 2－1）=（a 2+1）（a +1）（a －1）.例4 ：把下列各式分解因式：（1）22b a 9-；（2）22m n 4+-；（3）22b 9a 161-；（4）422c b 25a 16-；（5）09.0y x 4122+-。
公式法-平方差公式
11.3公式法――平方差公式【教材依据】本节课是冀教版数学七年级下册第十一章因式分解第三节公式法第一课时内容。
【教材分析】因式分解是初中数学的一个重要内容，它贯穿、渗透在各种代数式问题中，为以后学习分式运算、解方程和方程组提供必要的基础。
本节课是在学习了正式的乘法、乘法公式和提公因式因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是分解因式的一个重要内容。
它对学习机完全平方式因式分解和后面要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数都有着重要的影响，所以学好本节课至关重要，【学情分析】学生在本册第八章已经学习了整式的运算，前一节学习了提公因式法分解因式。
已经初步体会到了乘法公式与因式分解的互逆关系，通过对乘法公式22b -a b -a b a =+））（（的逆向变形，容易得出））（（b -a b a b -a 22+=，但准确理解和掌握公式的结构特征，进行因式分解对学生来说还存在着一定的难度，学生归纳、类比、概括的能力有待加强。
【指导思想】以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，贯穿类比、还原的数学思想方法，通过小组讨论和学生讲解习题的过程培养学生数学文字语言应用和准确应用数学符号表达问题的能力。
采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质。
【教学目标】知识与技能：会用平方差公式进行因式分解。
过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维。
情感态度与价值观:在探究的过程中培养学生独立思考的习惯。
【教学重难点】【重点】能说出平方差公式的结构特征。
【难点】能较熟练地应用平方差公式分解因式。
【教学过程】复习导入：在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式成绩的形式。
914公式法(2)完全平方公式精品PPT课件
注意：用差的平方公式还是和的平方公式
用完全平方公式分解因式时，可以按照两数 积的两倍前面的符号来选择运用哪一个完全平方 公式。
思考:分解因式
例题1:分解因式 例题2:分解因式
注意：这里把（x+y）看作一个整体，相当于公式当中的a
1.因式分解的完全平方公式：
注意：字母意义和区分两个公式
2.多项式能利用完全平方公式因式分解的条件： 多项式是三项式，且其中两项是两个数的平方和，另 外一项是这两个数的积的2倍。
9.14 公式法(2)
------完全平方公式
和的平方： 完全平方公式：
差的平方： 因式分解的完全平方公式
我们可以利用这个公式对多项式进行因式分解
我们把这种能够化成两个数的和（或差的）的多项式
叫做完全平方式
如
因式分解的完全平方公式
判断下列多项式能否利用完全平方公式分解因式？
思考:什么样的多项式可以利用完全平方公式分解因式？
思考:该公式的特征？
注意：公式当中的a、b的意义
公(1)式多左项边式有是三三项项，式其；中两项是两个数的平方和，另一项 是(2)这其两中个两数项的是乘两积个的数2的倍平。方公和式，右另边外是一这项两是个这数两的个和数 （的或积差的）2倍的。平方。即
思考:分解因式
因式分解的完全平方公式
注意：公式当中的a、b的意义
3.因式分解注意问题：
(1) 有公因式时，一般要先提取公因式； (2) 因式分解结果要分解到不能再分解为止。
课后题
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
9.13,9.14 提公因式法和公式法
课题：因式分解--提公因式法和公式法教学内容：一、因式分解的概念（1）定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．（2）因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法例1、下列各式从左到右哪些是因式分解？(1)x 2-x ＝x(x-1) ( ) 是(2)a(a-b)＝a 2-ab ( ) 不是(3)(a+3)(a-3)＝a 2-9 ( ) 不是(4)a 2-2a+1＝a(a-2)+1 ( ) 不是(5)x 2+2x+14＝(x+12)2 ( ) 不是 (6) xy-1=xy(1-1xy)( ) 不是 【巩固练习】1．在下列等式中，属于因式分解的是（ C ）A ．a(x －y)＋b(m ＋n)＝ax ＋bm －ay ＋bnB ．2a －2ab ＋2b ＋1=2)(b a ＋1 C ．－42a ＋92b ＝(－2a ＋3b)(2a ＋3b) D ．2x －7x －8=x(x －7)－8 二、提取公因式法1. 定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数。
2. 步骤：（1）观察（2）确定公因式（3）将公因式提到括号外（4）将多项式写成因式乘积的形式4.提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：(1)公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
(2)公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式例1、指出下列各多项式中各项的公因式：(1)ax+ay+a (a)(2)3mx-6mx 2 (3mx)(3)4a 2+10ah (2a)(4)x 2y+xy 2 (xy)(5)12xyz-9x 2y 2 (3xy)例2、将下列各式分解因式(1)5a(m-n)-10b(m-n) (2) 4m(a-b)-5(b-a)(3) 3m(x-y) 2-9m 2 (y-x) 2 (4)3a(a+b) 2 -2a 2 (a+b)(5) (x+y) 2 (x-y)+(x+y)(x-y) 2(6) 5(x-2)3(y-2)n -3(2-x) 2 (2-y)2n 解：（1）原式=5(m-n)(a-2b)（2）原式=(a-b)(4m+5)（3）原式=3m(x-y) 2 (1-3m)（4）原式=a(a+b)(a+3b)（5）原式=2x(x+y)(x-y)（6）原式=(x-2) 2 (y-2)n [5x-10-3(y-2)n ]例3、已知x 4+x 3+x 2+x+1=0，求x100+x 99+x 98+x 97+x 96的值 解： 原式=96432(1)x x x x x ++++=0例4、判断：4×32010-32007能否被321整除 解：原式=2007320073(431)3107⨯-=⨯ 321=107×3 所以能够被整除【巩固练习】1．多项式m(n －2)－2m (2－n)分解因式等于（ C ） A ．(n －2)(m ＋2m ) B ．(n －2)(m －2m )C ．m(n －2)(m ＋1)D ．m(n －2)(m －1)2． 下列各式的因式分解结果中，正确的是（ C ）A ．2a b ＋7ab －b ＝b(2a ＋7a)B ．32x y －3xy+6y=3y(x －2)(x ＋1) C ．8xyz －z y x 226＝2xyz(4－3xy) D ．－22a ＋4ab －6ac ＝－2a(a ＋2b －3c)3、分解因式：（1）2m (p －q)－p ＋q ； （2）3a （m －n ）2+6b （n －m ）2解：(p －q)(m －1)(m ＋1)． 解： 3（m-n ）2（a+2b ）；（3）mx （a －b ）－nx （b －a ）解：x （a-b ）（m+n ）； 三、公式法1. 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法2. 因式分解的平方差公式a 2-b 2＝(a+b)(a-b)也就是说，如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积。
公式法——平方差公式
(1)a4－9a2b2； (3)2x4－ 1 ；
8
(2)m2x4－16m2y4； (4)3(m＋n)2－27n2.
解： (1) a4－9a2b2
(2) m2x4－16m2y4
＝a2(a2－9b2)
＝m2(x4－16y4)
＝a2(a＋3b)(a－3b)． ＝m2(x2＋4y2)(x2－4y2) ＝m2(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)．
1 分解因式：
(1)a2－ 1 b2； 25
(2)－(x＋2)2＋16(x－1)2；
(3)m4(m－2)＋4(2－m)；(4)－a4＋16.
2 下列各式不能用平方差公式分解因式的是( )
A．－x2＋y2 C．－m2－n2
B．x2－(－y)2 D．4m2－ 1 n2
9
3 下列各式中，可用平方差公式分解因式的个数有
九、要点梳理（课文回放）。
作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了 《蒙娜 丽莎》 画像， 具体介 绍了___ ______ _，___ ______ _，特 别详细 描写了 蒙娜丽 莎的___ ______ _和___ ______ _，以 及她___ ______ _、___ ______ _和___ ______ _；最 后用精 炼而饱 含激情 的语言 告诉大 家，蒙 娜丽莎 给人带 来了心 灵的震 撼，留 下了永 不磨灭 的印象 。 综合能力日日新
4．四周一片（ ），听不到一点声响。 5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（ ）。
八、句子工厂。
1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？ （陈述 句）
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____
沪教版七年级数学知识点总结
沪教版七年级数学知识点总结第一节整式的概念9.1.2.3、字母表示数代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。
单独的数或字母也是代数式。
代数式的书写：1、代数式中出现乘号通常写作“*”或省略不写；但数与数相乘不遵循此原则。
2、数字与字母相乘；数字写在字母前面；而有理数要写在无理数的前面。
3、带分数应写成假分数的形式；除法运算写成分数形式。
4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来；而写成幂的形式。
5、代数式不能含有“=、≠、<、>、≥、≤”符号。
代数式的值：用数值代替代数式中的字母；按照代数式的运算关系计算出的结果；叫代数式的值。
注意：1、代数式中省略了乘号；带入数值后应添加×。
2、若带入的值是负数时；应添上括号。
3、注意解题格式规范；应写“当…..时；原式=……..”.4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。
9.4整式1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
2、系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
3、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
其中；每个单项式叫做多项式的项；不含字母的项叫做常数项。
5、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数6、整式：单项式和多项式统称为整式。
9.5合并同类项1、同类项：所含字母相同；并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
一个多项式合并后含有几项；这个多项式就叫做几项式。
3、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数；字母和字母的指数不变。
第二节9.6整式的加减：去括号法则：（1）括号前面是"＋"号；去掉"＋"号和括号；括号里各项的不变号；（2）括号前面是"－"号；去掉"－"号和括号；括号里的各项都变号。
七年级数学上册 9.14.2 公式法--完全平方公式教案 沪教版五四制
教学目标：
知识与技能：1、掌握因式分解的完全平方公式。
2、掌握完全平方式的特征，能判断一个多项式是否为完全平方式。
3、掌握运用完全平方式分解因式的方法。
过程与方法：通过对完全平方公式的逆向变形及将一个整式看做“元”进行分解，体会整体思想和互逆的数学思想。
情感态度与价值观：在学习中获得成功的体验，提高学习数学的兴趣。
例2：因式分解
提问：此题应该如何因式分解？
解：
注意：公式中的a、b可以是单项式也可以是多项式
学生独立完成
因式分解的第一步先考虑提取公因式。
可以将（x+y）看作一个整体，相当于公式中的a。
课内练习
书练习9.14.2
小结
分解因式完全平方 公式
因式分解多项式；先看有无公因式。两项三项用公式；辩明是否标准式。
教学重难点：
重点：能用完全平方式因式分解。
难点：能准确判断一个多项式是否为完全平方式。
教学过程：
教学环节
教师活动
学生活动
复习
1、因式分解
（1） （提公因式）
（2） （平方差）
学生分解因式
因式分解完全平方公式
问题：你会对 因式分解吗？
提公因式法？平方差公式法？
讲述：以上两种方法 都不行，这节 课我们就来学习另一种方法公式法完全平方公式。
回答：1）都是三项式
2）三项中有两项是两数的平方和（或能写成两数的平方和的形式）
3）另一项是这两数乘积的两倍，符号可正负。
2、（1）2xy
（ 2）12ab
（3
解：
试一试：因式分解
（1）
（2）
提问：由（2）体会到因式分解的第一步一般先考虑什么？
公式法——平方差公式
公式法——平方差公式平方差公式是二次方程求解过程中常用的一个公式，它能够帮助我们简化计算，在解决一些特定类型二次方程问题时非常有用。
平方差公式的形式为：(a+b)(a-b)=a²-b²简单来说，平方差公式可以用来计算两个数相乘的结果的平方差。
当我们遇到形式为(a+b)(a-b)的表达式时，我们可以利用平方差公式将其化简为a²-b²的形式。
下面，我们将详细介绍平方差公式的用法和相关的解题技巧。
首先，我们来看一个简单的例子。
例题：计算(3+2)(3-2)的值。
解法：根据平方差公式，我们将表达式(3+2)(3-2)化简为3²-2²的形式。
可以计算得到3²=9，2²=4，因此，(3+2)(3-2)=9-4=5通过这个例子，我们可以看到平方差公式的使用过程非常简单，只需要计算两个数的平方然后相减即可。
下面，我们来讨论一下平方差公式在解决二次方程问题时的应用。
首先，我们来解决一个常见的二次方程问题：找到一个数的平方与另一个数的平方之差。
例题：已知a²-b²=45，并且a>b，求a和b的值。
解法：根据平方差公式，我们可以将表达式a²-b²化简为(a+b)(a-b)。
所以，我们可以得到(a+b)(a-b)=45、根据已知条件，我们可以知道a+b>a-b，即a>b，所以(a+b)和(a-b)一定是正数。
因此，我们需要将45分解为两个正数之积。
我们可以列出45的所有正因数对：(1,45),(3,15),(5,9)。
通过尝试，我们发现只有(5,9)满足条件，即(a+b)=9，(a-b)=5解方程组得到：a+b=9a-b=5我们可以通过消元法或代入法得到a=7，b=2因此，上述二次方程的解为a=7，b=2通过这个例题，我们可以看到平方差公式在解决二次方程问题时的应用非常灵活。
它可以帮助我们简化计算，找到问题的解。
公式法——平方差
公式法——平方差公式法，平方差公式法，也称为代数方法或笔算方法，是一种通过使用数学公式和恒等式来解决问题的方法。
它是数学中常用的一种解题方法，适用于各种数学题目，包括代数、几何、微积分等。
其中，平方差是一种常见的公式法问题类型。
平方差是指一个数字的平方与另一个数字的平方之间的差。
解决平方差问题的一种常见方法是使用平方差公式。
平方差公式表示为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式可以将一个数字的平方与另一个数字的平方之间的差表示为两个数字的和与差的乘积。
通过使用这个公式，我们可以简化平方差问题的解决过程。
下面我们将通过几个例子来介绍平方差的求解过程。
例1：求解81的平方与5的平方之差。
解：根据平方差公式，我们有：(81+5)(81-5)=81^2-5^2使用计算器或者手工计算，我们可以得到：(81+5)(81-5)=86×76=6536也就是说，81的平方与5的平方之差为6536例2：求解24的平方与9的平方之差。
解：同样地，根据平方差公式，我们有：(24+9)(24-9)=24^2-9^2计算得到：(24+9)(24-9)=33×15=495所以24的平方与9的平方之差为495除了使用平方差公式，我们还可以运用一些简化技巧来求解平方差问题。
例3：求解64的平方与16的平方之差。
解：在这个问题中，我们可以观察到64和16都是平方数，并且它们之间的关系很特殊。
所以我们可以不使用平方差公式，而是直接计算它们的差。
64^2-16^2=(64+16)(64-16)=80×48=3840通过直接计算，我们得到64的平方与16的平方之差为3840。
在解决平方差问题时，我们还应该注意一些常见的特殊情况。
例4：求解81的平方与-81的平方之差。
解：这个问题中涉及到正负数的平方。
根据平方差公式，我们有：(81+(-81))(81-(-81))=81^2-(-81)^2化简并计算得到：0×162=0所以81的平方与-81的平方之差为0。
9.14_公式法
2
例1：把下列多项式分解因式
1)4 x 12 xy 9 y
2 2 2
2) x 4 xy 4 y
2 2 2
1 3) x y xy 4 4 2 3 6 4 )m 14m n 49n
请运用完全平方公式分解因式：
2
原式 x 2 1 x 4 x 4 2 2 a 6a 9 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
4
2)a b ab 3) 2m 512 4)(3 x y ) ( x 2 y )
2 2 2 2-1)
练习
=a( = a（ a +1）（ a -1）
99 99能被100整除吗？ 巧计妙算：
3
1 2 你能把 x 2 分解因式吗？ 2
例4.把下列各式因式分解
4 2.( x y ) 8( x y ) 16 ( x y __)
2
1 mn ( a b ) 1 2 2 1 a b 2 2 3. m n ______________ (a b) ( _____) 4 64 8 1 2 ( mn) ( a b) 8
思考题: 1、多项式: 2 2 2 2 (x+y) -2(x -y )+(x-y) 能用完全平方公式 分解吗? 2、在括号内补上一项，使多项式成为完全 平方式： 4 2 x +4x +( )
2 9( x y ) 4( y z ) [________ 2( y z )] 4.81( x y ) 36( ______________ _______ x y)( y z ) 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2、判断能否用平方差公式分解因式；
3、分解到不能分解为止.
课堂练习三
（1）16 x2 4 y2
（2）9a2b2 81a2
答案 4(2x y)(2x y) 9a 2 (b 3)(b 3)
（3）6a2b 54b
6b(a 3)(a 3)
如果可以，请分解因式：
（1）a2 4b2 （2）4a2 （ b）2
（3）- 4 a2
2a2 b2 （2a b）2a b
a 2a 2
（4）- 4 - a2
（5）x2 1 4
（6）x2 1 4
x 1 x 1 2 2
五、深化练习
例题2：分解因式 （1）3x3 12x
（4）x4 81 y4
(x2 9 y 2 )( x 3y)( x 3y)
（5）9(x 2 y)3 (x 2 y)
(x 2y)(3x 6y 1)(3x 6y 1)
六、课堂小结 1、因式分解的平方差公式
a2 b2 (a b)(a b)
2、分解因式时需要注意哪些：
（1）先提取公因式 （2）判断能否用平方差公式分解因式
平方差公式 (a b)(a b) a2 b2
反过来，可得 a2 b2 (a b)(a b)
逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.
多项式 4x2 9 y2 是否可用平方差公式分解因式？
为什么？
4x2 9y2
2x 2 - 3y 2 (2x 3y)(2x 3y)
一、复习引入
1、什么是“因式分解”？
把一个多项式化为几个整式的积的形式，
叫做把这个多项式因式分解.
2、分解因式
16ax2 8ax
解： 8ax(2x 1）、
分解因式最基本的方法是 什么？
3、计算
x yx - y
二、新课探究
试一试
把多项式 a2 b2、4x2 9 y2 因式分解
你是怎么想的？
用平方差公式分解因式
（1）2x2 - y2
（2）3a2 1
解原式
2x y2x y
解原式
3a 13a 1
三、例题讲解
例题1 分解因式
11 9x2
2 9x2 y2
(3) 16 x4 9 y2 25 16
分别把（a b）、（a c）看 作一个整体，这个多项式也 可看作两数的平方差，
（4）（a b）22 -（（aacc））22
答案 x 3x 3
a 2 b a 2 b 5 5
（3）2a b2 2a b2
8ab
四、深化理解 因式分解的平方差公式的特征
二项式 a2 b2 (a b)(a b)
写成平方的 形式
“差”
异号
这两个数的和 与这两个数的差的积.
课堂练习二
1、下列多项式能用平方差公式分解因式吗？
（3）分解到不能分解为止
拓展练习：
19902 20102
解 原式= (1990 2010)(1990 2010) 4000（- 20）
-80000
解：原式= [(a b) + (a c)] [(a b) - (a c) ]
[(a b) (a c)][(a b) (a c)]
(2a b c)(b c) 适时小结
利用平方差公式分解因式时，一定要满足：
多项式可以看作“两数的平方差”的形式.
课堂练习一
（1）x2 9
（2）a2 4 b2 25
解：原式 3x x2 4
能直接用平方差公式吗？ 如何解？
先提取公因式
3xx 2x 2 这是分解因式的结果吗？
最后结果要分解到 不能分解为止
（2） x4 16
能直接用平方差公式吗？
解：原式 (x 2 )2 42
(x 2 4)( x 2 4)
还能继续分解吗？
(x2 4)( x 2)( x 2)