第14课时 二次函数的图象及其性质
数学高考复习名师精品教案：第14课时：第二章 函数-二次函数
数学高考复习名师精品教案第14课时：第二章 函数——二次函数一．课题：二次函数 二．教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．三．教学重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化．四．教学过程：（一）主要知识：1．二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．2．二次函数的图象及性质；3．二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．（二）主要方法：1．讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在此区间上的单调性；2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．（三）例题分析：例1．函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 （ A ）()A 0b ≥ ()B 0b ≤ ()C 0b > ()D 0b <分析：对称轴2b x =-，∵函数2([0,)y x bxc x =++∈+∞是单调函数， ∴对称轴2b x =-在区间[0,)+∞的左边，即02b -≤，得0b ≥．例2．已知二次函数的对称轴为x =x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式．解：∵二次函数的对称轴为x =2()(f x a x b =+，又∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴()f x过点(2,0)，()f x 又过点(0,1)-，∴4021a b a b +=⎧⎨+=-⎩， 122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴21()(22f x x =+-．例3．已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值 ． 分析：令sin t x =，问题就转二次函数的区间最值问题． 解：令sin t x =，[1,1]t ∈-， ∴221()(2)24a y t a a =--+-+，对称轴为2at =， （1）当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）． （2）当12a >，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增， 由max 111242y a a =-+-+=，得103a =． （3）当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减， 由max 111242y a a =---+=，得2a =-（舍去）． 综上可得：a 的值为2a =-或103a =．例4． 已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．解法一：由题知关于x 的方程22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根，设根为12,x x则120x x ≤或1212000x x x x ∆≥⎧⎪>⎨⎪+>⎩，得94a ≤． 解法二：由题知(0)0f ≤或(0)0(21)020f a >⎧⎪--⎪->⎨⎪∆≥⎪⎩，得94a ≤≤．例5．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，（1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值．解：（1）2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3．（2）∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立， ∴2(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1)．（3）由2(1)0ax bx b ++-=得1222x x b a +=-，由题知1k =-，2121y x a =-++，设,A B 中点为E ，则E 的横坐标为21(,2221b b a a a -++，∴212221b b a a a -=++，∴2112142ab a a a =-=-≥-++，当且仅当12(01)a a a =<<，即2a =时等号成立， ∴b的最小值为4-． （四）巩固练习：1．若函数2(2)3([,]y x a x x a b =+++∈的图象关于1x =对称则b = 6 ．2．二次函数()f x 的二次项系数为负值，且(2)(2)()f x f x x R +=-∈，问2(12)f x -与2(12)f x x +-满足什么关系时，有20x -<<．3．m 取何值时，方程227(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1．。
实际问题与二次函数(3)——抛物线形实际问题+课件++2023—2024学年人教版数学九年级上册
解得x＝9或x＝－1(不符合题意，舍去)．
∴小明这次投掷的成绩为9 m.
课堂导学
多维导学案九年级全一册数学(RJ)
【变式1】足球训练中，小军从球门正前方8 m的A处射门，球射向
球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2 m时，球达到最高
点，此时球离地面3 m ，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系.
的高度为1.8 m，当铅球飞行的水平距离为4 m时距离地面最高为5
m ． 铅 球 飞 行 的 高 度 y(m) 与 水 平 距 离 x(m) 之 间 的 函 数 图 象 如 图 所
示．求： (2)小明这次投掷的成绩．
1
(2)由(1)知y＝－ (x－4)2＋5，
5
1
当y＝0时，0＝－ (x－4)2＋5，
25
课堂导学
多维导学案九年级全一册数学(RJ)
【变式2】现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线
段OE表示水平的路面，以点O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过
点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE
＝10 m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所
解决抛物线形问题的步骤
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标，由x求y或由y求x，要弄清题意．
重难导学
1．跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看做抛物线，如图所
1 2 1
3
示，抛物线的函数表达式为y＝－ x ＋ x＋ (单位：m)，绳子甩到最高
6
3
2
1.5
处时刚好通过站在x＝2处跳绳的小明的头顶，则小明身高为________m.
【中考复习方案】2015中考数学总复习 第14课时 二次函数的图象及性质课件(考点聚焦+京考探究+热考京讲)
第14课时┃二次函数的图象及性质
考 点 聚 焦
考点1 二次函数的概念
y＝ax2＋bx＋c
考点聚焦
京考探究
第14课时┃二次函数的图象及性质
考点2 二次函数的图象及画法
2 b 4ac－b －2a， 4a
x＝－
b 2a
y＝a(x－h)2＋k
考点聚焦
京考探究
第14课时┃二次函数的图象及性质
变式题
[2014· 威海] 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的 图象如图 14－3，则下列说法： ①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线 x＝－1；③当 x＝1 时，y＝2a；④am2＋bm＋a>0(m≠－1)． 其中正确的有( A．1 个 C．3 个
例 1 [2011· 北京] 抛物线 y＝x2－6x＋5 的顶点坐标为( A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)
[解析] y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4， ∴顶点坐标 为(3，－4)．
A
)
考点聚焦
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第14课时┃二次函数的图象及性质
方法点析
会熟练运用配方法或公式求出抛物线顶点坐标和对 称轴，牢记顶点坐标与对称轴及二次函数最值之间的内 在关系．
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第14课时┃二次函数的图象及性质
考点4
二次函数图象的平移
将二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成 y＝a(x－ h)2＋k(a≠0)的形式， 而任意抛物线 y＝a(x－h)2＋k 均可由 抛物线 y＝ax2 平移得到，具体平移方法如图 14－1：
考点聚焦
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第14课时┃二次函数的图象及性质
2015年浙江省杭州数学中考总复习课件第14课时：二次函数的应用
二次函数的应用
第14课时┃ 二次函数的应用
考 点 聚 焦
考点1 二次函数与几何图形的综合应用
[2014·北京] 已知点 A 为某封闭图形边界上一定点，动点 P 从点 A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点 P 运动的时间 为 x，线段 AP 的长为 y，表示 y 与 x 的函数关系大致如图 14－1 所示，则该封闭图形可能是 ( A )
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第14课时┃ 二次函数的应用
杭 考 探 究
探究一 用二次函数解决抛物线形实际问题
例 1 [2014·天水] 如图 14－3，排球运动员站在 O 处练习 发球，将球从点 O 正上方 2 米的点 A 处发出，把球看成点，其运 行的高度 y(米)与运行的水平距离 x(米)满足关系式 y＝a(x－ 2 6) ＋h.已知球网与点 O 的水平距离为 9 米，高度为 2.43 米，球 场的边界与点 O 的水平距离为 18 米． (1)当 h＝2.6 时，求 y 与 x 的关系式；
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杭考探究
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第14课时┃ 二次函数的应用
根据问题信息求出函数表达式， 并求相应的 自变量的值及函数最值．
思路点津
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第14课时┃ 二次函数的应用
解：(1)y＝ (2)设销售 A 类杨梅 x 吨，则 ①当 2≤x＜8 时，w＝x(－x＋14)＋9(20－x)－3×20－x－ [12＋3(20－x)]＝－x2＋7x＋48. 当 x≥8 时，w＝6x＋9(20－x)－3×20－x－[12＋3(20－x)] ＝－x＋48. 所以函数表达式为 w＝
考点聚焦
杭考探究
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第14课时┃ 二次函数的应用
《二次函数 图象和性质》说课稿
《二次函数)0(2≠=a ax y 图象和性质》说课稿一、教材分析《二次函数的图像与性质》是在学生已经学习过一次函数（包括正比例函数）、反比例函数的图像与性质，以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，是对前面所学一次函数、反比例函数图像与性质的一次升华，又是今后学习《二次函数的应用》、《二次函数与一元二次方程的联系》的预备知识，它在教材中起着非常重要的作用。
另外，本节课，最大特点，是结合图形来探究二次函数的性质，这充分的体现了课标的精神在活动中学习数学，这也充分体现了一个很重要的数学思想——数形结合数学思想。
因此，这一节课，无论是在知识上，还是对学生动手能力培养上都有着十分重要的作用。
二、教学的重点、难点重点：利用函数图象探究函数的性质难点：利用函数图象探究函数性质中的单调性三、教学目标设计（一）知识目标：会根据图像用数学语言表达出二次函数)0(2≠=a ax y 图像的性质。
特别是能分清，当00<>a a 、时，图像之间有什么共同点与不同点。
（二）能力目标：本节课，过程是由直观到抽象（即二次函数)0(2≠=a ax y 的图像——说出)0(2≠=a ax y 的图像的性质），培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生观察、探讨、分析、分类讨论的能力。
（三）情感目标：引导学生养成全面看问题、分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示和学生动手画图、分析，激发学生学习数学的积极性。
四、教学结构设计建立以“实施主体性教学，培养学生自学能力”为主的课堂教学结构模式 ---“六步导学”课堂教学模式。
让学生先自学，然后由老师来教，这样容易激发学生的求知欲望，调动学生学习的兴趣。
以“学教结合”为模式的课堂结构设计导学案。
导学案为“六个环节”：（1）学习目标：教师帮助学生确定本节课的学习目标。
（2）基础学习：学生围绕学习目标自学本节课内容。
（3）合作交流：让学生自我表现，相互质疑，相互交流，启发理解。
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
中考复习第14课时二次函数的图象与性质二课件
第14课时┃ 二次函数的图象与性质（二）
►
检测考点2
二次函数的平移
2． [2013· 贵州] 将二次函数 y＝x2 的图象向右平移 1 个单位， 再向上平移 3 个单位，所得图象的关系式为( A ) A. C. y＝(x－1)2＋3 y＝(x－1)2－3 B. D. y＝(x＋1)2＋3 y＝(x＋1)2－3
＋m＝0.解得 m＝3. (2)二次函数关系式为 y＝－x2＋2x＋3，令 y＝0，得－x2＋ 2x＋3＝0.解得 x＝3 或 x＝－1.∴点 B 的坐标为(－1，0)． (3)∵S△ABD＝S△ABC，点 D 在第一象限，∴点 C，D 关于二 次函数的对称轴对称．∵由二次函数关系式可得其对称轴为 x ＝1，点 C 的坐标为(0，3)，∴点 D 的坐标为(2，3)．
没有
实根；
(3)当抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴无交点时，方程 ax2＋bx＋c 实根.
豫考探究 当堂检测 考点聚焦
第14课时┃ 二次函数的图象与性质（二）
考点2
抛物线的平移
抛物线 y＝(x＋2)2－3 可以由抛物线 y＝x2 平移得到，则下 列平移过程正确的是( B ) A.先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B.先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C.先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D.先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位
化为顶点式 y＝a(x－h)2＋k，a 是不变的，然后根据变化后的顶 点坐标，直接写出关系式，也可以始终遵循左加右减(在自变量 x 后)，上加下减(在因变量后)的原则进行，这样做的好处是直 接成了一般式，而且对于一次函数的平移也可以解决.
考点聚焦 豫考探究 当堂检测
2013届中考数学考前热点冲刺《第14讲 二次函数的图象与性质一》课件 新人教版
第14讲┃ 考点聚焦 考点2 二次函数的图象及画法
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是 图象
2 b 4ac－b － ， 2a 以______________为顶点，以直线 4a
用描点法画 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的步骤
b x＝－ ________为对称轴的抛物线 2a y＝a(x－h)2＋k (1)用配方法化成____________的形式； (2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点 坐标； (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图
第14讲┃ 归类示例
解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4＝(x－2)2－1. (2)由(1)知图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－ 1)，列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … 描点作图如下图．
(3)y1>y2， (4)如图，点C、D的横坐标x3、x4即为方程x2－4x＋3＝2 的根．
第14讲┃二次函数的图象与性质(一)
第14讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 二次函数的概念
定义 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的结构特征
y＝ax2＋bx＋c 一般地，如果______________(a、b、c是 常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数 ①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x的最高次数是2; ②二次项系数a≠0
第14讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 二次函数的定义
命题角度： 二次函数的概念．
若 y＝(m＋1)xm2 A．7 B．－1
－ 6m－5
是二次函数， m＝ 则 D．以上都不对
( A )
C．－1 或 7
[解析] 让x的次数为2，系数不为0，列出方程与不等式 解答即可． 由题意得：m2－6m－5＝2，且m＋1≠0. 解得m＝7或－1，且m≠－1， ∴m＝7，故选A.
第14课时：二次函数与一元二次方程(6)
21x y =
第14课时：二次函数与一元二次方程(6)
班级_________ 姓名__________学号
学习目标：
1．经历探索用图象法一元二次方程近似根的过程，获得用图象法一元二次方程近似根的体验； 2探索活动
问题1．观察与思考：
观察二次函数2y ax bx c =++的图象， 可知一元二次方程02=++c bx ax 的哪些信息？
问题2．思考与探索：
你能根据函数522-+=x x y 的图象，说出方程0522
=-+x x 的根吗？
练一练：你能用同样的方法确定方程
022
1
2=++-x x 的解的近似值？ (精确到0.1)．
问题3．探索与创新：已知函数y ＝2x 3－3的图象如图所示， 试求出方程2x 3－3＝0的近似解(精确到0.1)．
三．课堂练习
1．根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值， 判断方程2
Ａ．
Ｂ． Ｃ．6.18 6.19x <<
Ｄ．6.19 6.20x <<
1121
12
3．已知函数y ＝2x 3－x 的图象如图6－2所示，试写出方程 2x 3－x ＝0在0～1之间的一个近似根(精确到0.1)． 4．画出 的图象并利用图象探索函数的性质．
第六章 二次函数
15．抛物线y ＝ax 2
与y ＝x ＋2交于A (2，m )与B 点，y ＝ax 2
与y ＝3x ＋b 交于B 、C 两点， 求B 、C 坐标．
D。
2015年河北中考数学总复习课件(第14课时_二次函数)
b － 时，y 有最大值， 2a 4ac－b2 y 最大值＝ 4a
冀考探究
第14课时┃ 二次函数
二次项系 a的大小决定抛物线的开口大小，a越大，抛物线 数a的 a越小，抛物线的开口越大 的开口越小； 特性 常数项 c c 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，即 x＝0 时，y＝c 的意义
第14课时 二次函数
第14课时┃ 二次函数
冀 考 解 读
考点梳理 常考题型 二次函数的 选择、填空 定义 二次函数的 选择、填空、 图像与性质 解答 二次函数表 选择、填空、 达式的求法 解答 年份 2015 热度预测 ☆ 2013 2014 2013 2014 ☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆
冀考解读
课前热身
冀考解读
课前热身
考点聚焦
冀考探究
第14课时┃ 二次函数
考点4 待定系数法求二次函数的表达式
适用条件及求法 若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数的表 一般式 达式为 y＝ax2＋bx＋c，将已知三个点的坐标代入，求出 a，b，c 的值 若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大值 (或最小值)，设所求二次函数的表达式为 y＝a(x－h)2＋ 顶点式 k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将表达式化为 一般形式 若已知二次函数图像与 x 轴的两个交点的坐标为(x1， 0)， (x2，0)，设所求二次函数的表达式为 y＝a(x－x1)(x－x2)， 交点式 将第三点(m，n)(其中 m，n 为已知数)或其他已知条件代 入，求出待定系数 a，最后将表达式化为一般形式
2． [2014· 成都] 将二次函数 y＝x2－2x＋3 化为 y＝(x－h)2 ＋k 的形式，结果为 ( D ) A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋2 3．[2014· 兰州] 抛物线 y＝(x－1)2－3 的对称轴是( C ) A．y 轴 B．直线 x＝－1 C．直线 x＝1 D．直线 x＝－3
2015届湘教版中考数学复习课件(第14课时_二次函数的图象和性质一)
考点聚焦
归类探究
回归教材
第14课时┃ 二次函数的图象和性质(一)
归 类 探 究
探究一 二次函数的定义
命题角度： 二次函数的概念．
例1 [2013· 怀化] 下列函数是二次函数的是( C ) B. y＝－2x＋1 D. y＝x－2
A. y＝2x＋1 C. y＝x2＋2
考点聚焦
归类探究
回归教材
第14课时┃ 二次函数的图象和性质(一)
考点聚焦
归类探究
回归教材
第14课时┃ 二次函数的图象和性质(一)
解 析
A项， 观察图象，可知抛物线开口向上，函数
有最小值，故正确；B项，观察图象，可知抛物线的对称轴 1 1 为直线x＝ ，故正确；C项，抛物线的对称轴为直线x＝ ， 2 2 1 当x＜ ，y随x的增大而减小，故正确．D项，当－1＜x＜2 2 时，图象位于x轴的下方，所以y＜0，错误，故选D.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第14课时┃ 二次函数的图象和性质(一)
【方法点析】 求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法：①配方法； 2 b 4ac－b ②公式法，顶点坐标为－ ， . 4a 2a
考点聚焦
归类探究
回归教材
第14课时┃ 二次函数的图象和性质(一)
例3 [2014· 中山] 二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的大致图象如图14－1，关于该二 次函数，下列说法错误的是( D ) A. 函数有最小值 1 B. 对称轴是直线x＝ 2 1 C. 当x＜ 时，y随x的增大而减小 2 D. 当－1＜x＜2时，y＞0
回归教材
第14课时┃ 二次函数的图象和性质(一)
探究二
二次函数的图象与性质
(呼和浩特专版)中考数学复习第三单元函数及其图象第14课时二次函数的简单综合课件
例2 [2018·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B, 抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C. (2)求抛物线的对称轴; (2)∵抛物线 y=ax2+bx-3a 经过点 A,
③ 没有 实数根
2.二次函数与不等式的关系 (1)ax2+bx+c>0的解集 函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围. (2)ax2+bx+c<0的解集 函数y=ax2+bx+c的图象位于④ x轴下方 的部分对应的点的横坐标的取值范围.
考点二 二次函数的综合应用
∵OC=3,OB=4,∴由勾股定理得 BC=5,PB=BC+PC=5+2=7, ∴OQ=12PB=72,故选 C.
2.[2019·凉山州]如图 14-2,正方形 ABCD 中,AB=12,AE=1AB,点 P 在 BC 上运动(不
4
与 B,C 重合),过点 P 作 PQ⊥EP,交 CD 于点 Q,则 CQ 的最大值为
第 14 课时
二次函数的简单综合
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考点一 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的交点个数
2个 1个 没有
判别式b2-4ac的正负
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
【2014中考复习方案】 中考数学复习权威课件：第14课时 二次函数的图像与性质(二)(含13年试题)
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第14课时┃二次函数的图像与性质（二）
函数与方程的联系 函数与方程有着广泛的联系， 如果把函数中的两个变量 视为未知数，那么函数表达式就是一个二元方程；函数图像 与横轴的交点横坐标，就是函数值为 0 时得到的方程的解； 两个函数图像的交点坐标， 可由两个函数表达式组成的方程 组求解；待定系数法求函数表达式，也是通过列方程(组)， 确定各项系数的值．
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第14需要将 y＝(x－1)2－4 先向左平移 2 个单
位，再向上平移 3 个单位，即得 y＝(x－1＋2)2－4＋3＝(x＋1)2－1＝ x2＋2x.对照各项系数，可知 b＝2，c＝0，故选 B.
解决抛物线平移的问题，通常要把表达式配方转化为顶 点式，遵循“括号内左加右减，括号外上加下减”的平移原 则，确定平移后的表达式．
第14课时 二次函数的图像 与性质（二）
第14课时┃二次函数的图像与性质（二）
冀 考 解 读
考点梳理 二次函数与一元 二次方程的关系 二次函数图像 的平移 二次函数图像与 性质的综合 考纲 要求 理解 掌握 掌握 常考题 型 选择、 填空 选择 选择、 解答 年份 2014 热 度预测 ☆ 2013 2011 2012 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆
b
开口向上 a>0 开口向下 a<0 b＝0 对称轴为 y 轴 ab>0(b 与 a 同 对称轴在 y 轴左侧 号) ab<0(b 与 a 异 对称轴在 y 轴右侧 号)
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第14课时┃二次函数的图像与性质（二）
c
b2－4ac
特殊 关系
经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交 与 x 轴有唯一交点 2 b －4ac＝0 (顶点) 与 x 轴有两个不 2 b －4ac>0 同交点 b2－4ac<0 与 x 轴没有交点 当 x＝1 时，y＝a＋b＋c 当 x＝－1 时，y＝a－b＋c 若 a＋b＋c>0，即 x＝1 时，y>0 若 a－b＋c>0，即 x＝－1 时，y>0
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质一、二次函数的一般形式二次函数是一种形式为f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a eq0。
二、二次函数的图像1.抛物线二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2.判别法利用二次函数的判别式 $\\Delta = b^2 - 4ac$ 的正负性可以确定二次函数的图像开口方向和与x轴的交点情况。
3.最值点二次函数的顶点为抛物线的最值点，当a>0时，最小值在顶点处取得；当a<0时，最大值在顶点处取得。
顶点的横坐标为 $-\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
三、二次函数的性质1.对称轴二次函数的对称轴为直线 $x = -\\frac{b}{2a}$，即抛物线关于对称轴对称。
2.单调性当a>0时，二次函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。
3.零点二次函数的零点为方程f(x)=0的解，可以利用求根公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 求得。
4.图像的平移如f(x)=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)为平移后的顶点坐标，抛物线上下平移，方向与a的正负有关。
四、应用二次函数在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。
例如几何问题中的抛物线轨迹、物体自由落体运动方程、经济学中的成本、收益关系等均可用二次函数描述。
结语二次函数作为高中数学中重要的函数类型，在图像和性质上有着独特的表现，通过对其图像和性质的深入理解，可以更好地应用于解决实际问题。
希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握二次函数的知识。
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第14课时┃归类探究
设 y＝ ax2＋bx＋c(a≠0)，把 A(－5，0)，B(1， 9 0)，P － 2， 的坐标代入，得 2
解
a＋b＋c＝ 0， 25a－5b＋c＝0， ∴ 9 4a－2b＋c＝ ， 2
1 a ＝－ ， 2 解得b＝－ 2， 5 c＝ ， 2
根据x的次数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答
由题意得m2－6m－5＝2，且m＋1≠0. 解得m＝7或m＝－1，且m≠－1， ∴m＝7，故选A.
方法点析
利用二次函数中自变量的最高次数是2，二
次项的系数不为0列方程和不等式求解．
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探究二、二次函数的图象与性质
命题角度：
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归 类 探 究
探究一、二次函数的定义
命题角度： 1．二次函数的概念； 2．二次函数的一般式．
－6m－5是二次函数，则 m＝( 例1．若y＝(m＋1)x m² A ) A．7 B．－1 C．－1或7 D．以上都不对
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解 析 即可．
1 2 5 ∴ 所求抛物线的关系式为 y＝－ x － 2x＋ . 2 2
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解 析
解法二 ： ∵由解法一知抛物线的顶点为 P
9 － 2， ， 2
可设顶点式． 9 设 y＝ a(x＋2) ＋ ，把 x＝1，y＝ 0 代入，得 2 2 9 0＝a(1＋2) ＋ ， 2 1 ∴a＝－ . 2 1 2 9 ∴y＝－ (x＋2) ＋ ， 2 2 1 5 即 y＝－ x2－2x＋ . 2 2
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解 析 (1)根据配方法的步骤进行计算．
(2)由(1)得出抛物线的对称轴，顶点坐标列表，注意抛物线与 x轴、 y轴的交点及顶点等特殊点的坐标，不要弄错．
(3)开口向上，在抛物线对称轴的左边，y随x的增大而减小．
(4)抛物线y＝x2－4x＋3与直线y＝2的交点的横坐标即为方程x2－ 4x＋3＝2的两根．
2
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解 析
解法三：由解法一知抛物线过点
9 P－ 2， ， 2
∵A(－5， 0)，B(1，0)是抛物线与 x 轴的交点，设 y＝ a(x 9 ＋ 5)(x－1)，把 x＝－2，y＝ 代入， 2 9 1 得 a(－2＋5)(－2－1)＝ ，∴a＝－ . 2 2 1 1 2 5 ∴y＝－ (x＋5)(x－1)，即 y＝－ x － 2x＋ . 2 2 2
解 (1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4＝(x－2)2－1.
(2)由(1)知图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)，列表：
x
y
…
…
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0
3
1
0
2
－1
3
0
4
3
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…
…
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解 析
描点作图如下图．
(3)y1>y2. (4)如图，点 C、D 的横坐标 x3、x4 即为方程 x2－4x＋3＝2 的根．
若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y＝ax2＋ 1.一般式 bx＋c，将已知三个点的坐标代入，求出a、b、c的值 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最 2.顶点式 小值)，设所求二次函数为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入， 求出待定系数，最后将关系式化为一般形式 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2， 0)，设所求二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的 3.交点式 坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数 a，最后将关系式化为一般形式
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解
析
根据题目要求，本题可选用多种方法求关系式．
解法一： ∵抛物线与 x 轴的两个交点为 A(－5， 0)， － 5＋1 B(1，0)，由对称性可知，它的对称轴为直线 x＝ ＝ 2 9 － 2，∴抛物线的顶点为 P －2， ，已知抛物线上的三点 2 9 A(－5，0)，B(1，0)，P － 2， ，可设一般式． 2
数学
苏科版
第10课时 平面直角坐标系与函数 第11课时 一次函数的图象与性质 第12课时 一次函数的应用 第13课时 反比例函数 第14课时 二次函数的图象及其性质 第15课时 二次函数与一元二次方程 第16课时 二次函数的应用
第14课时 二次函数的图象 及其性质
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考 点 聚 焦
图 象
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是以 2 b 4 ac － b b x＝－ － 2 a， __________________ 4a 2a 为顶点，以直线_________
为对称轴的抛物线
用描点法画 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的步骤 (1)用配方法化成___________________ y＝a(x－h)2＋k 的形式；
考点1 二次函数的概念
y＝ax2＋bx＋c 、b、c是常数，a≠0)的函 一般地，形如________________(a 数称为二次函数． 概念点拨：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次 式，x的最高次数是2.(2)二次项系数a≠0.
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考点2
二次函数的图象及画法
(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图
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考点3 二次函数的性质
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考点4
方法
用待定系数法求二次函数的关系式
适用条件及求法
1．二次函数的图象及画法； 2．二次函数的性质． 例2．(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3变成y＝(x－h)2＋k的形式； (2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象； (3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且 x1<x2<1，请比较y1、y2的大小关系(直接写结果)； (4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．
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探究三、二次函数关系式的求法
命题角度：
1．一般式、顶点式、交点式； 2．用待定系数法求二次函数的关系式． 例3．已知抛物线经过点A(－5，0)，B(1，0)，且顶点的纵坐标 为9/2，求二次函数的关系式．
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方法点析
二次函数的关系式有三种：
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c；
2．顶点式：y＝a(x－m)2＋n，其中(m，n)为顶点坐标；
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中(x1，0)，(x2，0)为
抛物线与x轴的交点． 一般已知三点坐标用一般式求关系式；已知顶点及另一个 点坐标用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另 一个点的坐标用交点式．
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