第14课时 二次函数及其应用
高中数学教案：二次函数的应用
高中数学教案：二次函数的应用二次函数是高中数学中重要的内容之一，它的应用广泛且实用。
在日常生活和各个领域，我们都可以找到二次函数的应用。
本文将以实际例子为基础，分析二次函数在日常生活、物理学和经济学中的应用。
一、二次函数在日常生活中的应用1. 车辆行驶在日常生活中，我们常常需要计算车辆的加速度和速度，这就涉及到二次函数的应用。
例如，假设一辆汽车做匀加速运动，我们可以使用二次函数来描述它的加速度和速度之间的关系。
2. 抛物线的运动轨迹抛物线是二次函数的一种特殊形式，它在日常生活中的应用非常广泛。
例如，当我们玩投篮游戏时，篮球的运动轨迹就可以用抛物线来描述。
同样地，当我们踢足球或者击打网球时，球的运动轨迹也可以用二次函数来表示。
3. 建筑设计在建筑设计中，二次函数被广泛用于描述建筑物的形状和结构。
比如，拱形桥、拱顶建筑和溜冰场的设计中，都需要利用二次函数来确定形状和结构的稳定性。
二、二次函数在物理学中的应用1. 自由落体运动在物理学中，自由落体运动是一个常见的研究对象。
通过研究自由落体物体的运动规律，我们可以用二次函数来描述物体下落的高度和时间之间的关系。
2. 弹性碰撞在物理学中，弹性碰撞是一个重要的概念。
当两个物体发生碰撞时，它们的运动轨迹可以使用二次函数来描述。
通过分析二次函数的性质，我们可以计算碰撞前后物体的速度和能量转化等相关参数。
3. 摆钟的摆动物理学中的摆钟也可以用二次函数来描述其摆动的规律。
通过分析摆钟的角度和时间之间的关系，我们可以得到摆钟的周期、频率和振幅等重要参数。
三、二次函数在经济学中的应用1. 成本与收入分析在经济学中，企业的成本和收入是决定其经营状况的重要因素。
二次函数可以用于描述企业的成本与收入之间的关系。
通过分析二次函数的图像，我们可以确定企业的最低成本和最大收入点，从而实现最优经营策略。
2. 等量曲线分析在经济学中，等量曲线是描述消费者喜好和需求关系的重要工具。
二次函数可以用于描述等量曲线的形状和特征。
二次函数的应用课件
02
二次函数在实际生活中的应用
最大利润问题
总结词
通过求解二次函数的最大值，可以解决实际生活中的最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要通过合理安排生产数量或优化资源配置等方式来获得最大利润。这可以通过建立 二次函数模型，求解最大值来实现，从而为决策者提供最优方案。
抛物线型拱桥的跨度问题
通过对历史股票数据进行分析和处理，可以建立二次函数模型来描述股票价格的走势。通过求解这个 二次函数，可以预测未来一段时间内的股票价格，为投资者提供决策依据。
03
二次函数与其他数学知识的结合
二次函数与一次函数的交点问题
01
02
03
交点坐标
通过解二次函数与一次函 数的联立方程，可以找到 它们的交点坐标。
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。对于任意一个二次 函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果有一个点$(x_1, y_1)$满足该函数，那么对 称轴上的对称点$(x_2, y_2)$也满足该函数。
绘制对称轴
绘制与坐标轴的交点
二次函数的对称轴为$x = -frac{b}{2a}$。
令$x = 0$，解得与$y$轴的交点为$(0, c)$ ；令$y = 0$，解得与$x$轴的交点为$(frac{b}{a}, 0)$和$(+frac{b}{a}, 0)$。
二次函数的单调性
单调增区间
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a}]$上单调递增 ；当$a < 0$时，函数在区间$[frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 。
【中考复习方案】2015中考数学总复习 第14课时 二次函数的图象及性质课件(考点聚焦+京考探究+热考京讲)
第14课时┃二次函数的图象及性质
考 点 聚 焦
考点1 二次函数的概念
y＝ax2＋bx＋c
考点聚焦
京考探究
第14课时┃二次函数的图象及性质
考点2 二次函数的图象及画法
2 b 4ac－b －2a， 4a
x＝－
b 2a
y＝a(x－h)2＋k
考点聚焦
京考探究
第14课时┃二次函数的图象及性质
变式题
[2014· 威海] 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的 图象如图 14－3，则下列说法： ①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线 x＝－1；③当 x＝1 时，y＝2a；④am2＋bm＋a>0(m≠－1)． 其中正确的有( A．1 个 C．3 个
例 1 [2011· 北京] 抛物线 y＝x2－6x＋5 的顶点坐标为( A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)
[解析] y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4， ∴顶点坐标 为(3，－4)．
A
)
考点聚焦
京考探究
第14课时┃二次函数的图象及性质
方法点析
会熟练运用配方法或公式求出抛物线顶点坐标和对 称轴，牢记顶点坐标与对称轴及二次函数最值之间的内 在关系．
考点聚焦
京考探究
第14课时┃二次函数的图象及性质
考点4
二次函数图象的平移
将二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成 y＝a(x－ h)2＋k(a≠0)的形式， 而任意抛物线 y＝a(x－h)2＋k 均可由 抛物线 y＝ax2 平移得到，具体平移方法如图 14－1：
考点聚焦
京考探究
第14课时┃二次函数的图象及性质
人教版数学九年级上册第14课时 二次函数的实际应用-课件
销售单价为50元时，平 销售单价为x元；价格提
一
均每天销售90箱，价格 每提高1元，平均每天
高了(x－50)元，平均每天 销售量y＝90－3×(x－50)
少销售3箱
箱
二
销售单价为x元，平均 每天的销售利润为w元
根据“销售利润＝销售量 ×(售价－进价)”列出函数 关系式
【自主解答】 (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关 系式；
解：(1)由题意得，y＝90－3(x－50)，化简得y＝－3x＋ 240(50＜x≤55)； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱) 之间的函数关系式；
解：(2)由题意得，w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋ 360x－9600(50＜x≤55)；
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元， 该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销 售单价应定为多少元？
温馨提示：点击完成练习册word习题
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一Leabharlann 菊样花，，有
选的
择孩
在子
秋是
天牡
开丹
放花
；，
而选
有择
的在
孩春
➢ He who falls today may rise tomorrow.
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元， 该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销 售单价应定为多少元？ 当w＝200时，可得方程－(x－45)2＋225＝200， 解得x1＝40，x2＝50.∵50＞48，∴x2＝50(不符合题意，舍去) 答：该商店销售这种双肩包每天想要获得200元的销售利润， 销售单价应定为40元．
二次函数及其应用
二次函数及其应用二次函数是高中数学中非常重要的一个内容。
它是一种二次方程的图像表现形式，拥有许多优秀的数学性质和广泛的应用领域。
本文将从定义、性质和应用三个方面介绍二次函数的相关内容。
1. 定义和基本性质二次函数是指形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a \neq 0$。
它是二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的图像表示，而二次方程则是解决许多实际问题的重要工具。
对于二次函数，我们可以通过下列方式来研究它的性质。
1.1 斜率二次函数的斜率是它在任意一点处的切线的斜率。
我们可以通过求导来得到它的斜率公式：$$f'(x) = 2ax + b$$通过这个公式，我们可以得到二次函数在$x$处的切线斜率为$2ax + b$。
在二次函数的图像上，随着$x$的增加，我们可以看到切线的斜率逐渐变大或变小，这样的变化和二次函数的开口方向有关。
1.2 零点二次函数的零点是指它的函数值为$0$的$x$值。
通过求解二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，我们可以得到二次函数的零点公式：$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$这个公式中的$\sqrt{b^2 - 4ac}$称为判别式。
当判别式大于$0$时，二次函数有两个不同的实数根；当判别式等于$0$时，二次函数有一个重根；当判别式小于$0$时，二次函数没有实数根，但有两个共轭复数根。
1.3 对称轴二次函数的对称轴是指将它分成两半后，两半部分关于某一直线对称。
我们可以通过二次函数的顶点和斜率公式来确定它的对称轴：$$x = -\frac{b}{2a}$$这个公式中的$-\frac{b}{2a}$就是二次函数的顶点坐标。
1.4 函数值二次函数的函数值可以通过求解$x$来得到。
对于任意一个$x$，我们可以通过将它代入二次函数公式中来得到它的函数值，例如：$$f(2) = 4a + 2b + c$$2. 应用二次函数是许多实际问题的重要数学工具。
二次函数的复习与应用
二次函数的复习与应用在数学的学习中，二次函数是一个非常重要的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，在实际生活中也能帮助我们解决很多问题。
接下来，让我们一起对二次函数进行系统的复习，并探讨它的各种应用。
一、二次函数的基本概念二次函数的一般式为$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（其中$a ＼neq 0$）。
其中，＄a$决定了二次函数图象的开口方向和开口大小。
当$a ＞ 0$时，图象开口向上；当$a ＜ 0$时，图象开口向下。
＄b$的值影响着二次函数图象的对称轴位置，对称轴的方程为$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
＄c$则是二次函数图象与$y$轴的交点纵坐标，即当$x ＝ 0$时，＄y ＝c$。
二、二次函数的图象和性质1、图象形状二次函数的图象是一条抛物线。
2、顶点坐标对于一般式$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$，其顶点坐标为$（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＄。
3、增减性当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，函数单调递减；在对称轴右侧，函数单调递增。
当$a ＜ 0$时，情况则相反。
三、二次函数的三种表达式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$（其中$（h, k)＄为顶点坐标）3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄（其中$x_1$和$x_2$是函数与$x$轴的交点横坐标）我们可以根据不同的条件，选择合适的表达式来求解问题。
四、二次函数的求解方法1、配方法通过配方将一般式转化为顶点式，从而更方便地求出顶点坐标和对称轴。
2、公式法利用求根公式$x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄来求解方程的根。
五、二次函数的应用1、解决几何问题例如，求图形的面积最大值或最小值。
比如，用一段长为_____的篱笆围成一个矩形，求矩形面积的最大值。
我们可以设矩形的长为$x$，宽为$y$，则$2x ＋ 2y ＝＄篱笆长度，面积$S ＝ xy$。
(沪科版)中考数学总复习课件【第14课时】二次函数的实际应用(23页)
1 的关系式是 y＝－ (x－6)2＋2.6. 60 (2)球能越过球网，球会出界． 1 理由：当 x＝9 时，y＝－ ×(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43， 60 所以球能越过球网； 1 当 y＝0 时， － (x－6)2＋2.6＝0， 解得 x1＝6＋2 39＞18， 60 x2＝6－2 39(舍去)，故球会出界． 8 8 由①②解得 h≥ ，所以 h 的取值范围是 h≥ . 3 3
第14课时 二次函数的实际应用
第14课时┃二次函数的实际应用
皖 考 解 读
考情分析
考点 年份 2010 二次函数的 实际应用 2012 2013 题型 解答题 解答题 解答题 分值 12分 14分 12分 ★★★★★ 热度预测
2014
填空题
5分
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
第14课时┃二次函数的实际应用
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
第14课时┃二次函数的实际应用
3 ． [2013· 安徽 ] 某大学生利用暑假 40 天进行社会实践，参与了 一家网店的经营，了解到一种成本为 20 元 / 件的新型商品在第 x 天 销售的相关信息如下表所示．
销售量 p(件) 销售单价 q(元/件) p＝50－x 1 当 1≤x≤20 时，q＝30＋ x； 2 525 当 21≤x≤40 时，q＝20＋ x
组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的 顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的 对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
第14课时┃二次函数的实际应用
(1)求抛物线的表达式； (2)已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距 离 h(单位：米)随时间 t(单位：时)的变化满足函数关系 h＝－ 1 (t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点 C 的距离不大于 5 128 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需 多少小时禁止船只通行？
上册第22章第14课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质课件(人教版)
1．如果将抛物线 y＝－5x2 向左平移 4 个单位长度，
那么得到的抛x2＋4
B．y＝－5x2－4
C．y＝－5(x＋4)2
D．y＝－5(x－4)2
2．抛物线 y＝13(x－4)2，顶点坐标是(4(4，0) ，0)，当 x ＜＜4 4 时，y 随 x 的增大而减小，函数有最小小 值，是 0 0 ．
相同，顶点坐标是(2，0)，则这条抛物线的解析式为 y＝y＝－－22(x(x－－22) )2 2．
9．二次函数 y＝12(x＋h)2 的图象如图，已知 OA＝OC. (1) 顶 点 A 的 坐 标 为 ( －(－hh，，0)0) ； 点 C 的 坐 标 为 0，12h2 ；(用 h 表示)
9．二次函数 y＝12(x＋h)2 的图象如图，已知 OA＝OC.
… －－2 －－122 00 －－1212 －－22 … … 00 －－1212 －22 －－9292 －－88 … … －－88 －－92 －－22 －－1212 00 …
例 2 将抛物线 y＝－x2 向右平移 3 个单位长度，得 到抛物线 yy＝＝－－(x(x－－33))22．
变式 2 将抛物线 y＝(x－3)2 向左平移 2 个单位长度 后的解析式为 yy＝＝(x(x－－11))2．2
第14课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
核心提要 典例精炼 变式训练 基础巩固 能力拔高 拓展培优
二次函数 y＝a(x－h)2(a 为常数，且 a≠0)的图象和性
质：
抛物线
图象
平移
开口 方向
顶点 对称轴
坐标
函数的 最值
直线 x
与 y＝ax2 的 h＞0，向右 a＞0 向上
y＝a(x－ 形状相同， 平移；h＜0，
浙江专版中考数学第三章函数第14讲二次函数的应用精讲本课件
(1)求雕塑高 OA； (2)求落水点 C，D 之间的距离； (3)若需要在 OD 上的点 E 处竖立雕塑 EF，OE＝10 m， EF＝1.8 m，EF⊥OD.问：顶部 F 是否会碰到水柱？请通 过计算说明．
解：(1)当 x＝0 时，y＝－1 (0－5)2＋6＝11 ，∴点 A 的坐标为
6
6
2
2
EF·EH×40 ＝ (20 ＋ 30)×5×20 ＋ (10 ＋ 20)×5×60 ＋
20×10×40＝22 000；
解：(2)E F ＝(20－2x )米，E H ＝(30－2x )米，参考(1)，由 题意得：y＝(30＋30－2x)·x·20＋(20＋20－2x)·x·60＋(30 －2x)(20－2x)·40＝－400x＋24 000(0＜x＜10)；
题 型 三 二次函数的应用——几何图形类
例 3.用承重指数 W 衡量水平放置的长方体木板的最大承 重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板， 实验发现：木板承重指数 W 与木板厚度 x(厘米)的平方成 正比，当 x＝3 时，W＝3.
பைடு நூலகம்
(1)求 W 与 x 的函数关系式； (2)如图，选一块厚度为 6 厘米的木板，把它分割成与原 来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板 的厚度为 x(厘米)，Q＝W 厚－W 薄． ①求 Q 与 x 的函数关系式； ②x 为何值时，Q 是 W 薄的 3 倍？[注：(1)及(2)中的①不 必写 x 的取值范围]
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有 2 万、3 万和 2 万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙 种门票价格每下降 1 元，将有 600 人原计划购买甲种门票的 游客和 400 人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门 票． ①若丙种门票价格下降 10 元，求景区六月份的门票总收入；
杭州数学中考总复习课件第14课时：二次函数的应用
把 3m＝x＋60 代入，得 w＝－(x－4)2＋64， 当 x＝4 时有最大毛利润 64 万元； 此时，m＝634，m－x＝532.
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第14课时┃ 二次函数的应用
②当 x≥8 时，w＝6x＋9(m－x)－132＝－3x＋9m－132， 由 3m＝x＋60，得 w＝48， ∴当 x≥8 时，毛利润总为 48 万元． ∴购买杨梅共634吨，且其中直销 A 类杨梅 4 吨，其余用于深 加工，公司能获得最大毛利润 64 万元．
杭考探究
当堂检测
第14课时┃ 二次函数的应用
②当△PGB∽△HED 时， ∴PGGB＝EDHE＝43，
－34m2－83m 4 ∴ －m ＝3， m2＋m＝0， m1＝0(舍去)，m2＝－1， 综上所述，存在符合条件的点 P，此时 m 的值为－2136或－1.
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第14课时┃ 二次函数的应用
[2014·安徽] 某厂今年一月份新产品的研发资金为 a 元，以 后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x，则该厂今年 三月份的研发资金 y(元)关于 x 的函数关系式为 y＝__a_(1_＋__x_)_2．
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第14课时┃ 二次函数的应用
【归纳总结】 利用二次函数解决实际问题中的最值问题，一般先根据题意 建立二次函数关系式，并确定自变量的取值范围，然后利用求最 值的方法求出何时获得最值，从而解决问题．
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第14课时┃ 二次函数的应用
②当 2≤x＜8 时，－x2＋7x＋48＝30， 解得 x1＝9，x2＝－2，均不合题意． 当 x≥8 时，－x＋48＝30，x＝18. ∴直接销售的 A 类杨梅有 18 吨．
备战 中考数学基础复习 第14课 二次函数的应用课件（33张ppt）
cm;
(2)如图③,动点M重新从点A出发,在矩形边上按原来的速度和 方向匀速运动,同时,另一个动点N从点D出发,在矩形边上沿着 D→C→B的方向匀速运动,设动点N的运动速度为v(cm/s).已知 两动点M,N经过时间x(s)在线段BC上相遇(不包含点C),动点M, N相遇后立即同时停止运动,记此时△APM与△DPN的面积分别 为S1(cm2),S2(cm2). ①求动点N运动速度v(cm/s)的取值范围; ②试探究S1·S2是否存在最大值,若存在,求出S1·S2的最大值并确定运动时间x 的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设y与销售单价x之间的函数解析式为:y=kx+b,将点
(60,100),(70,80)代入一次函数解析式得: 180007600kkbb，
解得
k b
2 ,
220
故函数的解析式为y=-2x+220;
(2)设药店每天获得的利润为W元,由题意得: W=(x-50)(-2x+220)=-2(x-80)2+1 800, ∵-2<0,函数有最大值, ∴当x=80时,W有最大值,此时最大值是1 800, 故销售单价定为80元时,该药店每天获得的利润最大,最大利润为1 800元.
第14课 二次函数的应用
【知识清单】 一、列二次函数解应用题 1.列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法 是一致的,不同的是,学习了二次函数后,表示量与量的关系的代数式是含有两 个变量的等式.对于应用题要注意以下步骤: (1)审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本 关系是什么,找出等量关系(即函数关系). (2)设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要 准确.
江苏省中考数学试题研究第一部分考点研究第三章函数第14课时二次函数的应用试题(5年真题)
江苏省中考数学试题研究第一部分考点研究第三章函数第14课时二次函数的应用试题（5年真题）函数第14课时二次函数的应用江苏近5年中考真题精选(2013～2017)命题点1二次函数的实际应用(盐城1考，淮安1考，宿迁1考)考向一最大利润问题1. (2016徐州26题8分)某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y(间)与房价x(元)(180≤x≤300)满足一次函数关系，部分对应值如下表：(1)求y与x之间的函数表达式；(2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每间空置的客房，宾馆每日需支出各种费用60元．当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大利润．(宾馆当日利润＝当日房费收入－当日支出)2. (2013盐城25题10分)水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图所示的一次函数关系．①求y与x之间的函数关系式；②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额)第2题图3. (2017扬州27题12分)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x(元/千克) 30 35 40 45 50日销售量p(千克) 600 450 300 150 0(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x之间的函数表达式；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a值．(日获利＝日销售利润－日支出费用) 考向二费用问题4. (2016宿迁24题8分)某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30＜m≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．考向三 几何图形面积问题5. (2014淮安25题10分)用长为32 m 的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x m ，面积为y m 2.(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60 m 2?(3)能否围成面积为70 m 2的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由． 6. (2013连云港23题10分)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能．．．等于48 cm 2.”他的说法对吗？请说明理由．命题点2 二次函数的综合应用(盐城必考，淮安2考，宿迁必考)7. (2016淮安27题12分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－14x 2＋bx ＋c的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－4，0)．(1)求该二次函数的表达式及点C 的坐标；(2)点D 的坐标为(0，4)，点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S .①求S 的最大值；②在点F 的运动过程中，当点E 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S 的值．第7题图8. (2013南京26题9分)已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)(a、m为常数，且a≠0)．(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.①当△ABC的面积等于1时，求a的值；②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．9. (2016宿迁26题10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y＝x2－1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N.(1)求N的函数表达式；(2)设点P(m，n)是以点C(1，4)为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M 与x轴相交于两点A、B，求PA2＋PB2的最大值；(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数．第9题图10. (2013宿迁27题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx －3(a，b是常数)的图象与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.动直线y ＝t(t为常数)与抛物线交于不同的两点P、Q.(1)求a和b的值；(2)求t 的取值范围；(3)若∠PCQ ＝90°，求t 的值．第10题图 答案1. 解：(1)设y ＝kx ＋b ，将(180，100)，(260，60)代入得：⎩⎨⎧=+=+60260100180b k b k ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==19021-b k ，(2分) ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－12x ＋190(180≤x ≤300)；(4分)(2) 设利润为w ，w ＝y·x －100y －60(100－y )＝x (－12x ＋190)－100(－12x ＋190)－60[100－(－12x ＋190)]＝－12x 2＋210x －13600＝－12(x －210)2＋8450，∵180<210<300， (6分)∴当x ＝210时，w 最大＝8450(元)，答：当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．(8分)2. 解：(1)设现在实际购进这种水果每千克a 元，则原来购进这种水果每千克(a ＋2)元，根据题意，得80(a ＋2)＝88a ， 解得a ＝20.答：现在实际购进这种水果每千克20元； (2)①设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将(25，165)，(35，55)代入，得⎩⎨⎧=+=+553516525b k b k ，解得⎩⎨⎧==44011-b k ， 故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－11x ＋440；②设这种水果的销售单价为x 元时，所获利润为w 元， 则w ＝(x －20)y ＝(x －20)(－11x ＋440) ＝－11x 2＋660x －8800 ＝－11(x －30)2＋1100， ∵a ＝－11＜0，∴当x ＝30时，w 有最大值1100.答：将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元． 3. 解：(1)p 与x 之间满足一次函数关系p ＝kx ＋b (k ≠0)，因为点(50，0)，(30，600)在图象上，所以⎩⎨⎧=+=+60030050b k b k ，解得⎩⎨⎧==150030-b k ， ∴p 与x 之间的函数表达式为p ＝－30x ＋1500(30≤x ≤50)；(2)设日销售价格为x 元/千克，日销售利润为w 元，依题意得w ＝(－30x ＋1500)(x －30)＝－30x 2＋2400x －45000(30≤x ≤50)， ∵a ＝－30<0， ∴w 有最大值，当x ＝－24002×（－30）＝40 (元/千克)时，w 有最大值，即最大值为w 最大＝4×（－30）×（－45000）－240024×（－30）＝3000(元)；答：销售价格为40元/千克时，日销售利润最大；(3)∵w ＝p (x －30－a)＝－30x 2＋(2400＋30a )x －(1500a ＋45000)， 对称轴为x ＝－2400＋30a 2×（－30）＝40＋12a ，①若a >10，当x ＝45时取最大值，(45－30－a )×150＝2250－150a <2430(舍去)， ②若a <10，当x ＝40＋12a 时取最大值，将x ＝40＋12a 代入，得w ＝30(14a 2－10a ＋100)，令w ＝2430，则30(14a 2－10a ＋100)＝2430，解得a ＝2或a ＝38(舍去)． 综上所述，a ＝2. 4. 解：(1)由题意得，y ＝⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤=≤<+=≤）＜（）（）（）（）（）（）＜100-150]30-120[30150--150]30-120[300(1202x m x m m x m x x x x x x x x x ；(4分) (2)由(1)知当0＜x ≤30或m ＜x ≤100时， 函数值都是随着x 的增大而增大， 当30＜x ≤m 时，y ＝x [120－(x －30)]＝x(150－x ) ＝－x 2＋150x＝－(x 2－150x ＋752－752) ＝－(x －75)2＋752，∴当30＜m ≤75时，收取的总费用随着团队中人数的增加而增加．(8分)5. 解：(1)已知围成的矩形一边长为x m ，则矩形的邻边长为(32÷2－x ) m ．依题意得：y ＝x (32÷2－x )＝－x 2＋16x ，∴y 关于x 的函数关系式是y ＝－x 2＋16x ；(3分)(2)由(1)知y ＝－x 2＋16x ， 当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，即(x －6)(x －10)＝0， 解得 x 1＝6，x 2＝10，即当x 是6 m 或10 m 时，围成的养鸡场面积为60 m 2；(5分) (3)不能围成面积为70 m 2的养鸡场．(6分) 理由如下：由(1)知，y ＝－x 2＋16x ， 当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70， 即x 2－16x ＋70＝0，(8分) ∵b 2－4ac ＝(－16)2－4×1×70 ＝－24＜0， ∴该方程无解；即不能围成面积为70 m 2的养鸡场．(10分)6. 解：(1)设剪成的较短的一段为x cm ，较长的一段就为(40－x)cm ，由题意得：)4(x 2＋(4-40x )2＝58， 解得x 1＝12，x 2＝28，当x ＝12时，较长的为40－12＝28 cm ， 当x ＝28时，较长的为40－28＝12＜28(舍去)， ∴较短的一段为12 cm ，较长的一段为28 cm ；(2)设剪成的较短的一段为m cm ，较长的一段就为(40－m)cm ，由题意得：(4m )2＋(4-40m )2＝48， 变形为：m 2－40m ＋416＝0， ∵b 2－4ac ＝(－40)2－4×416 ＝－64＜0，∴原方程无实数根，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2. 7. 解：(1)∵二次函数y ＝－14x 2＋bx ＋c 过A (0，8)、B (－4，0)两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==+⨯804-4-41-2c c b ）（， 解得⎩⎨⎧==81c b ， ∴二次函数的解析式为y ＝－14x 2＋x ＋8，当y ＝0时，解得x 1＝－4，x 2＝8， ∴C 点坐标为(8，0)；(2)①如解图，连接DF 、OF ，设F (m ，－14m 2＋m ＋8)，第7题解图∵S 四边形OCFD ＝S △CDF ＋S △OCD ＝S △ODF ＋S △OCF ， ∴S △CDF ＝S △ODF ＋S △OCF －S △OCD ，＝12×4×m ＋12×8×(－14m 2＋m ＋8)－12×8×4 ＝2m －m 2＋4m ＋32－16 ＝－m 2＋6m ＋16＝－(m －3)2＋25，∴当m ＝3时，△CDF 的面积有最大值，最大值为25，∵四边形CDEF 为平行四边形，∴S 四边形CDEF ＝2S △CDF ＝50，∴S 的最大值为50；②18.【解法提示】∵四边形CDEF 为平行四边形，∴CD ∥EF ，CD ＝EF ，∵点C 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D ，∴点F 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E ，即E (m －8，－14m 2＋m ＋12)， ∵E (m －8，－14m 2＋m ＋12)在抛物线上， ∴－14(m －8)2＋(m －8)＋8 ＝－14m 2＋m ＋12， 解得m ＝7，当m ＝7时，S △CDF ＝－(7－3)2＋25＝9，∴此时S 四边形CDEF ＝2S △CDF ＝18.8. (1)证明：y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝ax 2－(2am ＋a )x ＋am 2＋am .∵当a ≠0时，[－(2am ＋a )]2－4a (am 2＋am )＝a 2>0.∴方程ax 2－(2am ＋a )x ＋am 2＋am ＝0有两个不相等的实数根，∴不论a 与m 为何值且a ≠0时，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；(3分)(2)解：①y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝a (x －212+m )2－4a ，∴点C 的坐标为(212+m ，－4a)．当y ＝0时，a (x －m )2－a (x －m )＝0，解得x 1＝m ，x 2＝m ＋1，∴AB ＝1.当△ABC 的面积等于1时，有12×1×|－4a|＝1，∴12×1×(－4a )＝1，或12×1×4a＝1，∴a ＝－8或a ＝8；(6分)②当x ＝0时，y ＝am 2＋am ，所以点D 的坐标为(0，am 2＋am )，当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，12×1×|－a 4|＝12×1×|am 2＋am |；即|4a|＝|am 2＋am |，∵a ≠0，∴14＝|m 2＋m |，∴m 2＋m ＝±14，即m 2＋m ＋14＝0或m 2＋m －14＝0，∴m ＝－12或m ＝－1－22或m ＝－1＋22.(9分) 9. 解：(1)由题意得N 的函数表达式为y ＝－(x －2)2＋9；(3分)(2)∵点P 的坐标为(m ，n)，点A 为(－1，0)，点B 为(1，0)，∴PA 2＋PB 2＝(m ＋1)2＋(n －0)2＋(m －1)2＋(n －0)2＝m 2＋2m ＋1＋n 2＋m 2－2m ＋1＋n 2＝2m 2＋2n 2＋2＝2(m 2＋n 2)＋2＝2OP 2＋2，∴当PA 2＋PB 2最大时，要满足OP 最大，即满足直线OP 经过点C ，(5分)又∵点P (m , n )是以点C (1，4)为圆心、1为半径的圆上一动点，∴CP ＝1，∵OC ＝12＋42＝17，∴OP ＝17＋1，∴PA 2＋PB 2＝2OP 2＋2＝2(17＋1)2＋2＝38＋417；(7分) (3)由⎩⎨⎧+==92--1-22）（x y x y 得两二次函数交点坐标为(－1，0)，(3，8)． 两曲线围成的封闭图形如解图所示，第9题解图纵坐标的取值范围为：－1≤y ≤9，横坐标的取值范围－1≤x ≤3，∴M 与N 所围成封闭图形内(包括边界)的整点有：(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(0，4)，(0，5)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，8)共25个．(10分)10. 解：(1)将点A (－3，0)、点B (1，0)坐标代入y ＝ax 2＋bx －3中可得： ⎩⎨⎧==+03-3-903-b a b a ， 解得⎩⎨⎧==21b a ；(2)由(1)知抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3，动直线y ＝t ，联立两个解析式可得：x 2＋2x －3＝t ，即x 2＋2x －(3＋t)＝0.∵动直线y ＝t (t 为常数)与抛物线交于不同的两点，∴b 2－4ac ＝4＋4(3＋t )＞0，解得t ＞－4；(3)∵y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－1，当x ＝0时，y ＝－3，∴C (0，－3)．设点Q 的坐标为(m ，t )，则点P 的坐标为(－2－m ，t)，如解图，设PQ 与y 轴交于点D ，第10题解图则CD ＝t ＋3，DQ ＝m ，DP ＝m ＋2，∵∠PCQ ＝∠PCD ＋∠QCD ＝90°，∠DPC ＋∠PCD ＝90°，∴∠QCD ＝∠D P C ，又∵∠PDC ＝∠QDC ＝90°，∴△QCD ∽△CPD ，∴DQ DC ＝DC PD ， 即3+t m ＝23++m t ，整理得：t 2＋6t ＋9＝m 2＋2m ，∵Q ＝(m ，t)在抛物线上，∴t ＝m 2＋2m －3，∴m 2＋2m ＝t ＋3，∴t 2＋6t ＋9＝t ＋3，化简得t 2＋5t ＋6＝0，解得t ＝－2或t ＝－3，当t ＝－3时，动直线y ＝t 经过点C ，故不合题意，舍去，∴t ＝－2.。
二次函数的简单应用课件
THANKS
感谢观看
二次函数的对称性
对称轴
二次函数的对称轴是x=-b/2a。
对称性
二次函数图像关于其对称轴对称。
最值位置
如果二次函数图像开口向上，那么最小值在对称轴上；如果图像开 口向下，那么最大值在对称轴上。
03
二次函数的应用
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
最大值和最小值问题
物理中的二次函数问题
总结词
在物理学科中，二次函数经常被用来描述和解决一些常见的 物理问题，如物体运动、振动等。
详细描述
在物理学中，二次函数经常被用来描述和解决一些常见的物 理问题，如物体自由落体运动、振动等。通过建立二次函数 模型，可以更好地理解和预测物理现象。
运动中的二次函数问题
总结词
在运动学中，二次函数可以用来描述 和解决一些与运动相关的问题，如抛 物线运动、曲线运动等。
生活中的二次函数问题
总结词
将生活中的问题转化为二次函数模型
详细描述
通过建立数学模型，将生活中的问题（如 物体运动、经济问题等）转化为二次函数 问题，并求解。
方法
举例
根据实际情况选择合适的变量和参数，建 立二次函数模型。
求一个物体在重力作用下的运动轨迹，通 过建立二次函数模型解决。
04
实际案例分析
二次函数的性质
01
最小值
如果二次函数图像开口向上，那么它在顶点处取得最小值；如果图像开
口向下，那么它在顶点处取得最大值。
02 03
单调性
如果二次函数图像开口向上，那么它在对称轴左侧单调递减，在对称轴 右侧单调递增；如果图像开口向下，那么它在对称轴左侧单调递增，在 对称轴右侧单调递减。
数学中考第14课时 二次函数的应用ppt课件
5．【2020·黔东南州】黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已 知购进 3 件甲商品和 2 件乙商品，需 60 元；购进 2 件甲商品 和 3 件乙商品，需 65 元． (1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
解：设甲、乙两种商品的进货单价分别是 a、b 元/件，由题意得
3a＋2b＝60， 2a＋3b＝65，
②若点 M(－2，y1)、点 N12，y2、点 P(2，y3)在该函数图象上， 则 y1<y2<y3； ③将该抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所 得抛物线解析式为 y＝－(x＋1)2＋m；
④点 A 关于直线 x＝1 的对称点为 C，点 D、E 分别在 x 轴和 y 轴上，当 m＝1 时，四边形 BCDE 周长的最小值为 34＋ 2. 其中正确判断的序号是__①__③__④__．
解：如图②，设 P 点的坐标为t，14t2，连接 PD. ∵以 OC 为一边且顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行四边形， ∴PD∥OC，PD＝OC， ∴D 点的坐标为t，－12t＋34，
∴14t2－－12t＋34＝34， 整理得：t2＋2t－6＝0 或 t2＋2t＝0， 解得 t＝－1－ 7或 t＝－1＋ 7或 t＝－2 或 t＝0(舍去)， ∴P 点坐标为－1－ 7，2＋ 27或－1＋ 7，2－ 27或(－2，1)．
则
BB1∥OC∥AA1
，ห้องสมุดไป่ตู้
∴
BM MC
＝
MB1 MO
＝
32－1 3
＝
1 3
，
MC MA
＝
MO MA1
＝
2
3 32－（2－3）＝13，∴BMMC＝MMCA，即 MC2＝MA·MB.
(3)若点 P，D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且 顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条 件的 P 点坐标．
二次函数的应用ppt
斜坡行驶问题
要点一
总结词
通过二次函数模型研究汽车在斜坡上 行驶时的加速度、速度和位移等动力 学问题。
要点二
详细描述
在汽车行驶过程中，会遇到各种斜坡 和坡道，不同斜率会对汽车的动力学 性能产生影响。通过二次函数模型可 以分析和优化汽车在不同斜坡上的行 驶性能，提高行车安全性和舒适性。
要点三
实际应用案例
2023
二次函数的应用
目录
• 引言 • 二次函数的图像和性质 • 常见的二次函数应用 • 不同类型的二次函数 • 解决实际问题 • 二次函数的应用进阶
01
引言
课程背景
1
二次函数是初中数学的重要知识点之一，是数 学建模的基础。
2
通过学习二次函数，能够提高学生解决实际问 题的能力。
3
本课程旨在让学生掌握二次函数的应用，为后 续数学学习和实际应用打下基础。
03
常见的二次函数应用
最大利润问题
总结词
在各种不同的条件下，通过求解 二次函数最大值，得到利润最大 化的解决方案。
详细描述
在商业和工业生产中，通常会遇 到在一定成本范围内，如何分配 资源以获得最大利润的问题。在 实际情况下，还需要考虑市场、 竞争对手和政策等多种因素。
实际应用案例
比如开一家小卖部，需要考虑如 何进货、定价、促销等，使得利 润最大化。
根据极值点附近函数的单调性判 断极值的类型，包括极小值和极 大值。
求出极值
将极值点代入二次函数中，计算得 到极值。
如何利用导数研究二次函数的性质
求出导函数
研究单调性
对二次函数求导，得到导函数。
通过导函数的正负符号，判断原函数的单调 性。
研究极值点
二次函数知识点及其应用的总结
二次函数知识点总结知识结构框图一、二次函数的概念形如c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数，其中x ，是自变量，a b c 、、分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二、二次函数的一般表达式1、 一般式：c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2、顶点式：k h x a y +-=2)(（a ，h ，k 为常数，0a ≠）其中2424b ac b h k a a-=-=，； 3、 双根式：21212()()(0,,=)y a x x x x a x x ax bx c x =--≠++其中是y 与轴交点的横坐标二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.三、二次函数2y ax bx c =++的图像性质(轴对称图形)1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-， 顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-． 四、二次函数的图像与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．五、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图像与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根． 12x x ，和的一半恰好是对称轴的横坐标.② 当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图像与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。
(沪科版)中考数学总复习课件【第14讲】二次函数的实际应用
第13讲┃二次函数的图象和性质
(3) 当 0＜x≤2 时，w＝10x2＋40x＋480＝10(x＋2)2＋ 440，此时 x ＝2 时，w 最大＝600. 当 2＜x≤4 时，w＝－ 10x ＋80x ＋480＝－10(x－4) ＋ 640，此时 x ＝4 时，w 最大＝640. 当 4＜ x＜6 时，w＝－5x ＋30x＋600＝－5(x－ 3) ＋645，此时，w ＜640，∴x＝4 时，w 最大＝640. 答：该公司每年国内的销售量为 4 千件，国外的销售量为 2 千件 时，可使公司每年的总利润最大，最大利润为 64 万元．
2
第13讲┃二次函数的图象和性质
某小商场以每件 20 元的价格购进一种服装，先试销一周， 试销期间每天的销量 t(件)与每件的销售价格 x(元)如下表所示：
x(元) 38 36 34 32 30 28 26
t(件)
4
8
12
16
20
24
28
第14讲┃二次函数的实际应用
假定试销中每天的销售量 t( 件 ) 与每件的销售价格 x(元 )
＝ － 9t2 ＋
14400＋(－9t2 ＋360t)＝－ 9t2＋14400(30≤t≤ 40) .
第13讲┃二次函数的图象和性质
(3) 当 W＝－9t2 ＋480t(0≤t≤30)时， 80 ∵a＝－9<0，对称轴为直线 t＝ ， 3 ∴当 t ＝27 时 W 有最大值 6399 ， 当 W＝－9t ＋14400(30≤t≤40)时， ∵a＝－9<0，对称轴为 y 轴， ∴t＝ 30 时，W 最大值 ＝－9×302＋ 14400＝6300，∴第 27 天日销售利 润最大，为 6399 万元．
初中数学中的二次函数与应用
面积问题
面积公式： S=1/2*a*b*c
应用题类型：三 角形、矩形、梯 形等
解题步骤：确定 图形类型，找出 相关参数，代入 公式求解
示例：已知三角 形ABC的三边长 分别为a、b、c， 求三角形ABC的 面积。
其他应用题类型
最值问题：求二次函数的最大值或最小值 面积问题：求二次函数与x轴、y轴围成的图形的面积 距离问题：求两点间的距离，其中一点坐标为二次函数 增长率问题：求某变量在一段时间内的增长率，该变量与二次函数有关
初中数学中的二次函数 与应用
汇报人：
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 二 次 函 数 的 基 本 概 念 03 二 次 函 数 的 应 用 04 二 次 函 数 的 解 析 方 法 05 二 次 函 数 的 应 用 题 解 析 06 二 次 函 数 的 综 合 题 解 析
目录
01 添加章节标题
根：二次 函数与x 轴的交点， 即方程 ax²+bx +c=0的 解
二次函数的表达式
二次函数的一 般形式： y=ax²+bx+c
其中，a、b、 c为常数， a≠0
a决定了二次 函数的开口方 向和大小
b决定了二次 函数的对称轴 位置
c决定了二次 函数的顶点位 置
二次函数的图像
二次函数的图 像是一条抛物 线
面积问题：二次函数在求解 几何图形面积时的应用
抛物线：二次函数的图像， 用于描述物体在空中的轨迹
距离问题：二次函数在求解 两点间距离时的应用
04 二次函数的解析方 法
配方法
配方法的定义：将二次函数化为 顶点式或交点式的方法
配方法的应用：求解二次函数的 最大值或最小值，以及求解二次 函数的解
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x ⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） . a ＞0
口 4. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2
的形式，
其中h ＝ ， k ＝ . 5. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.
6．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得2
2
4(24b
ac b
y a x a a
-=+
+
，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）.
⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最
（填“高”或“低”）点, 当
x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ；
⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，
y 有最 （
“大”或“小”）值是 ．
【典型例题】
【例1】. 二次函数y ＝2x 2－4x ＋5的对称轴方程
是x ＝___；当x ＝ 时，y 有最小值是 . 【例2】. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解 c bx ax y ++=2
的图象如
图所示，则在“① a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ） A 、①②③④ B 、④ C 、①②③ D 、①④
n x ++5经过点)0,1(A （1）求抛物线的解析式；
（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标.
【例5】例2 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，
并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在
各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多
少米，才能使喷出的水流不至于落在池
外？
【例6】近年来，“宝胜”集团根据市场变化情况，采用灵活多样的营销策略，产值、利税逐年大幅度增长．第六销售公司2004年销售某型号电缆线达数万米，这得益于他们较好地把握了电缆售价与销售数量之间的关系．经市场调研，他们发现：这种电缆线一天的销量y （米）与售价x （元/米）之间存在着如图所示的一次函数关系，且40≤x ≤70．
(1) 根据图象，求ｙ与ｘ之间的函数解析式； (2) 设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为ｗ元．
① 试用含x 的代数式表示ｗ；
② 试问当售价定为每米多少元时，该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高？最高是多少元？
【课堂检测】
1. 抛物线()2
2-=x y 的顶点坐标
是 .
2. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中（如右图），则此抛物线的解析式为 ．
3. 某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（ ） A ．y ＝x 2
＋a B ．y ＝ a （x －1）2
C ．y ＝a （1－x ）2
D ．y ＝a （l ＋x ）2
4.体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知
铅球所经过的路线为抛物线
212
12
++-
=x x y 的一部分，根据关系式回
答：⑴ 该同学的出手最大高度是多少？
⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？⑶ 该同学的成绩是多少？
2. (06沈阳) 某企业信息部进行市场调研发现： 信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y (万元)与投资金额x (万元)之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元；
信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y (万元)与投资金额x (万元)之间存在二次函
数关系：2
B y ax bx =+，并且当投资2万元时，
可获利润2.4万元；当投资4万元，可获利润3.2万元.
(1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次
函数表达式；
(2) 如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少.
【课后作业】
1.（06威海）如图，过原点的一条直线与反比例函数y ＝
k x
（k<0）的图像分别交于A 、B 两点，
若A 点的坐标为（a ，b ），则B 点的坐标为（ ） A ．（a ，b ）B ．（b ，a ）C ．（-b ，-a ）D ．（-a ，-b ）
2. 二次函数y ＝x 2
＋2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ）
A ．3
B ．5
C ．－3和5
D ．3和－5 3.下列图中阴影部分的面积与算式
1
22)2
1(|43
|-++-的结果相同的是（ ）
4.反比例函数y ＝
x
k 的图象在第一象限的分支上
有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点， （1）求反比例函数解析式. （2）当P 在什么位置时，△OPA 为直角三角形，求出此时P 点的坐标.
x x B
F A
C
D E x G
5.（08枣庄）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C ＝
34
．（1）求B ′点的坐标；
（2）求折痕CE 所在直线的解析式．
6. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D
＝90°，截取AE ＝BF ＝DG ＝x.已知AB ＝6，
CD ＝3，AD ＝4；求四边形CGEF 的面积S 关于x 的函数表达式和x 的取值范围.
7. 如图，已知矩形OABC 的长OA ，宽OC ＝1，
将△AOC 沿AC 翻折得△APC.
（1）填空：∠PCB ＝ 度，P 点坐标为 ；
（2）若P 、A 两点在抛物线y ＝－
43
x 2＋bx
＋c 上，求b 、c 的值，并说明点C 在此抛物线上；
﹡（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，
P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由.。