第14课时 二次函数及其应用
高中数学教案：二次函数的应用
高中数学教案：二次函数的应用二次函数是高中数学中重要的内容之一，它的应用广泛且实用。
在日常生活和各个领域，我们都可以找到二次函数的应用。
本文将以实际例子为基础，分析二次函数在日常生活、物理学和经济学中的应用。
一、二次函数在日常生活中的应用1. 车辆行驶在日常生活中，我们常常需要计算车辆的加速度和速度，这就涉及到二次函数的应用。
例如，假设一辆汽车做匀加速运动，我们可以使用二次函数来描述它的加速度和速度之间的关系。
2. 抛物线的运动轨迹抛物线是二次函数的一种特殊形式，它在日常生活中的应用非常广泛。
例如，当我们玩投篮游戏时，篮球的运动轨迹就可以用抛物线来描述。
同样地，当我们踢足球或者击打网球时，球的运动轨迹也可以用二次函数来表示。
3. 建筑设计在建筑设计中，二次函数被广泛用于描述建筑物的形状和结构。
比如，拱形桥、拱顶建筑和溜冰场的设计中，都需要利用二次函数来确定形状和结构的稳定性。
二、二次函数在物理学中的应用1. 自由落体运动在物理学中，自由落体运动是一个常见的研究对象。
通过研究自由落体物体的运动规律，我们可以用二次函数来描述物体下落的高度和时间之间的关系。
2. 弹性碰撞在物理学中，弹性碰撞是一个重要的概念。
当两个物体发生碰撞时，它们的运动轨迹可以使用二次函数来描述。
通过分析二次函数的性质，我们可以计算碰撞前后物体的速度和能量转化等相关参数。
3. 摆钟的摆动物理学中的摆钟也可以用二次函数来描述其摆动的规律。
通过分析摆钟的角度和时间之间的关系，我们可以得到摆钟的周期、频率和振幅等重要参数。
三、二次函数在经济学中的应用1. 成本与收入分析在经济学中，企业的成本和收入是决定其经营状况的重要因素。
二次函数可以用于描述企业的成本与收入之间的关系。
通过分析二次函数的图像，我们可以确定企业的最低成本和最大收入点，从而实现最优经营策略。
2. 等量曲线分析在经济学中，等量曲线是描述消费者喜好和需求关系的重要工具。
二次函数可以用于描述等量曲线的形状和特征。
二次函数的应用课件
02
二次函数在实际生活中的应用
最大利润问题
总结词
通过求解二次函数的最大值，可以解决实际生活中的最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要通过合理安排生产数量或优化资源配置等方式来获得最大利润。这可以通过建立 二次函数模型，求解最大值来实现，从而为决策者提供最优方案。
抛物线型拱桥的跨度问题
通过对历史股票数据进行分析和处理，可以建立二次函数模型来描述股票价格的走势。通过求解这个 二次函数，可以预测未来一段时间内的股票价格，为投资者提供决策依据。
03
二次函数与其他数学知识的结合
二次函数与一次函数的交点问题
01
02
03
交点坐标
通过解二次函数与一次函 数的联立方程，可以找到 它们的交点坐标。
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。对于任意一个二次 函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果有一个点$(x_1, y_1)$满足该函数，那么对 称轴上的对称点$(x_2, y_2)$也满足该函数。
绘制对称轴
绘制与坐标轴的交点
二次函数的对称轴为$x = -frac{b}{2a}$。
令$x = 0$，解得与$y$轴的交点为$(0, c)$ ；令$y = 0$，解得与$x$轴的交点为$(frac{b}{a}, 0)$和$(+frac{b}{a}, 0)$。
二次函数的单调性
单调增区间
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a}]$上单调递增 ；当$a < 0$时，函数在区间$[frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 。
【中考复习方案】2015中考数学总复习 第14课时 二次函数的图象及性质课件(考点聚焦+京考探究+热考京讲)
第14课时┃二次函数的图象及性质
考 点 聚 焦
考点1 二次函数的概念
y＝ax2＋bx＋c
考点聚焦
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第14课时┃二次函数的图象及性质
考点2 二次函数的图象及画法
2 b 4ac－b －2a， 4a
x＝－
b 2a
y＝a(x－h)2＋k
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第14课时┃二次函数的图象及性质
变式题
[2014· 威海] 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的 图象如图 14－3，则下列说法： ①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线 x＝－1；③当 x＝1 时，y＝2a；④am2＋bm＋a>0(m≠－1)． 其中正确的有( A．1 个 C．3 个
例 1 [2011· 北京] 抛物线 y＝x2－6x＋5 的顶点坐标为( A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)
[解析] y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4， ∴顶点坐标 为(3，－4)．
A
)
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第14课时┃二次函数的图象及性质
方法点析
会熟练运用配方法或公式求出抛物线顶点坐标和对 称轴，牢记顶点坐标与对称轴及二次函数最值之间的内 在关系．
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第14课时┃二次函数的图象及性质
考点4
二次函数图象的平移
将二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成 y＝a(x－ h)2＋k(a≠0)的形式， 而任意抛物线 y＝a(x－h)2＋k 均可由 抛物线 y＝ax2 平移得到，具体平移方法如图 14－1：
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第14课时┃二次函数的图象及性质
人教版数学九年级上册第14课时 二次函数的实际应用-课件
销售单价为50元时，平 销售单价为x元；价格提
一
均每天销售90箱，价格 每提高1元，平均每天
高了(x－50)元，平均每天 销售量y＝90－3×(x－50)
少销售3箱
箱
二
销售单价为x元，平均 每天的销售利润为w元
根据“销售利润＝销售量 ×(售价－进价)”列出函数 关系式
【自主解答】 (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关 系式；
解：(1)由题意得，y＝90－3(x－50)，化简得y＝－3x＋ 240(50＜x≤55)； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱) 之间的函数关系式；
解：(2)由题意得，w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋ 360x－9600(50＜x≤55)；
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元， 该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销 售单价应定为多少元？
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➢ He who falls today may rise tomorrow.
子天
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择孩
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(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元， 该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销 售单价应定为多少元？ 当w＝200时，可得方程－(x－45)2＋225＝200， 解得x1＝40，x2＝50.∵50＞48，∴x2＝50(不符合题意，舍去) 答：该商店销售这种双肩包每天想要获得200元的销售利润， 销售单价应定为40元．
二次函数及其应用
二次函数及其应用二次函数是高中数学中非常重要的一个内容。
它是一种二次方程的图像表现形式，拥有许多优秀的数学性质和广泛的应用领域。
本文将从定义、性质和应用三个方面介绍二次函数的相关内容。
1. 定义和基本性质二次函数是指形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a \neq 0$。
它是二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的图像表示，而二次方程则是解决许多实际问题的重要工具。
对于二次函数，我们可以通过下列方式来研究它的性质。
1.1 斜率二次函数的斜率是它在任意一点处的切线的斜率。
我们可以通过求导来得到它的斜率公式：$$f'(x) = 2ax + b$$通过这个公式，我们可以得到二次函数在$x$处的切线斜率为$2ax + b$。
在二次函数的图像上，随着$x$的增加，我们可以看到切线的斜率逐渐变大或变小，这样的变化和二次函数的开口方向有关。
1.2 零点二次函数的零点是指它的函数值为$0$的$x$值。
通过求解二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，我们可以得到二次函数的零点公式：$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$这个公式中的$\sqrt{b^2 - 4ac}$称为判别式。
当判别式大于$0$时，二次函数有两个不同的实数根；当判别式等于$0$时，二次函数有一个重根；当判别式小于$0$时，二次函数没有实数根，但有两个共轭复数根。
1.3 对称轴二次函数的对称轴是指将它分成两半后，两半部分关于某一直线对称。
我们可以通过二次函数的顶点和斜率公式来确定它的对称轴：$$x = -\frac{b}{2a}$$这个公式中的$-\frac{b}{2a}$就是二次函数的顶点坐标。
1.4 函数值二次函数的函数值可以通过求解$x$来得到。
对于任意一个$x$，我们可以通过将它代入二次函数公式中来得到它的函数值，例如：$$f(2) = 4a + 2b + c$$2. 应用二次函数是许多实际问题的重要数学工具。
二次函数的复习与应用
二次函数的复习与应用在数学的学习中，二次函数是一个非常重要的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，在实际生活中也能帮助我们解决很多问题。
接下来，让我们一起对二次函数进行系统的复习，并探讨它的各种应用。
一、二次函数的基本概念二次函数的一般式为$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（其中$a ＼neq 0$）。
其中，＄a$决定了二次函数图象的开口方向和开口大小。
当$a ＞ 0$时，图象开口向上；当$a ＜ 0$时，图象开口向下。
＄b$的值影响着二次函数图象的对称轴位置，对称轴的方程为$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
＄c$则是二次函数图象与$y$轴的交点纵坐标，即当$x ＝ 0$时，＄y ＝c$。
二、二次函数的图象和性质1、图象形状二次函数的图象是一条抛物线。
2、顶点坐标对于一般式$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$，其顶点坐标为$（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＄。
3、增减性当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，函数单调递减；在对称轴右侧，函数单调递增。
当$a ＜ 0$时，情况则相反。
三、二次函数的三种表达式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$（其中$（h, k)＄为顶点坐标）3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄（其中$x_1$和$x_2$是函数与$x$轴的交点横坐标）我们可以根据不同的条件，选择合适的表达式来求解问题。
四、二次函数的求解方法1、配方法通过配方将一般式转化为顶点式，从而更方便地求出顶点坐标和对称轴。
2、公式法利用求根公式$x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄来求解方程的根。
五、二次函数的应用1、解决几何问题例如，求图形的面积最大值或最小值。
比如，用一段长为_____的篱笆围成一个矩形，求矩形面积的最大值。
我们可以设矩形的长为$x$，宽为$y$，则$2x ＋ 2y ＝＄篱笆长度，面积$S ＝ xy$。
(沪科版)中考数学总复习课件【第14课时】二次函数的实际应用(23页)
1 的关系式是 y＝－ (x－6)2＋2.6. 60 (2)球能越过球网，球会出界． 1 理由：当 x＝9 时，y＝－ ×(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43， 60 所以球能越过球网； 1 当 y＝0 时， － (x－6)2＋2.6＝0， 解得 x1＝6＋2 39＞18， 60 x2＝6－2 39(舍去)，故球会出界． 8 8 由①②解得 h≥ ，所以 h 的取值范围是 h≥ . 3 3
第14课时 二次函数的实际应用
第14课时┃二次函数的实际应用
皖 考 解 读
考情分析
考点 年份 2010 二次函数的 实际应用 2012 2013 题型 解答题 解答题 解答题 分值 12分 14分 12分 ★★★★★ 热度预测
2014
填空题
5分
皖考解读
考点聚焦
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第14课时┃二次函数的实际应用
皖考解读
考点聚焦
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第14课时┃二次函数的实际应用
3 ． [2013· 安徽 ] 某大学生利用暑假 40 天进行社会实践，参与了 一家网店的经营，了解到一种成本为 20 元 / 件的新型商品在第 x 天 销售的相关信息如下表所示．
销售量 p(件) 销售单价 q(元/件) p＝50－x 1 当 1≤x≤20 时，q＝30＋ x； 2 525 当 21≤x≤40 时，q＝20＋ x
组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的 顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的 对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
皖考解读
考点聚焦
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第14课时┃二次函数的实际应用
(1)求抛物线的表达式； (2)已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距 离 h(单位：米)随时间 t(单位：时)的变化满足函数关系 h＝－ 1 (t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点 C 的距离不大于 5 128 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需 多少小时禁止船只通行？
上册第22章第14课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质课件(人教版)
1．如果将抛物线 y＝－5x2 向左平移 4 个单位长度，
那么得到的抛x2＋4
B．y＝－5x2－4
C．y＝－5(x＋4)2
D．y＝－5(x－4)2
2．抛物线 y＝13(x－4)2，顶点坐标是(4(4，0) ，0)，当 x ＜＜4 4 时，y 随 x 的增大而减小，函数有最小小 值，是 0 0 ．
相同，顶点坐标是(2，0)，则这条抛物线的解析式为 y＝y＝－－22(x(x－－22) )2 2．
9．二次函数 y＝12(x＋h)2 的图象如图，已知 OA＝OC. (1) 顶 点 A 的 坐 标 为 ( －(－hh，，0)0) ； 点 C 的 坐 标 为 0，12h2 ；(用 h 表示)
9．二次函数 y＝12(x＋h)2 的图象如图，已知 OA＝OC.
… －－2 －－122 00 －－1212 －－22 … … 00 －－1212 －22 －－9292 －－88 … … －－88 －－92 －－22 －－1212 00 …
例 2 将抛物线 y＝－x2 向右平移 3 个单位长度，得 到抛物线 yy＝＝－－(x(x－－33))22．
变式 2 将抛物线 y＝(x－3)2 向左平移 2 个单位长度 后的解析式为 yy＝＝(x(x－－11))2．2
第14课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
核心提要 典例精炼 变式训练 基础巩固 能力拔高 拓展培优
二次函数 y＝a(x－h)2(a 为常数，且 a≠0)的图象和性
质：
抛物线
图象
平移
开口 方向
顶点 对称轴
坐标
函数的 最值
直线 x
与 y＝ax2 的 h＞0，向右 a＞0 向上
y＝a(x－ 形状相同， 平移；h＜0，
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x ⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） . a ＞0
口 4. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2
的形式，
其中h ＝ ， k ＝ . 5. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.
6．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得2
2
4(24b
ac b
y a x a a
-=+
+
，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）.
⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最
（填“高”或“低”）点, 当
x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ；
⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，
y 有最 （
“大”或“小”）值是 ．
【典型例题】
【例1】. 二次函数y ＝2x 2－4x ＋5的对称轴方程
是x ＝___；当x ＝ 时，y 有最小值是 . 【例2】. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解 c bx ax y ++=2
的图象如
图所示，则在“① a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ） A 、①②③④ B 、④ C 、①②③ D 、①④
n x ++5经过点)0,1(A （1）求抛物线的解析式；
（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标.
【例5】例2 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，
并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在
各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多
少米，才能使喷出的水流不至于落在池
外？
【例6】近年来，“宝胜”集团根据市场变化情况，采用灵活多样的营销策略，产值、利税逐年大幅度增长．第六销售公司2004年销售某型号电缆线达数万米，这得益于他们较好地把握了电缆售价与销售数量之间的关系．经市场调研，他们发现：这种电缆线一天的销量y （米）与售价x （元/米）之间存在着如图所示的一次函数关系，且40≤x ≤70．
(1) 根据图象，求ｙ与ｘ之间的函数解析式； (2) 设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为ｗ元．
① 试用含x 的代数式表示ｗ；
② 试问当售价定为每米多少元时，该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高？最高是多少元？
【课堂检测】
1. 抛物线()2
2-=x y 的顶点坐标
是 .
2. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中（如右图），则此抛物线的解析式为 ．
3. 某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（ ） A ．y ＝x 2
＋a B ．y ＝ a （x －1）2
C ．y ＝a （1－x ）2
D ．y ＝a （l ＋x ）2
4.体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知
铅球所经过的路线为抛物线
212
12
++-
=x x y 的一部分，根据关系式回
答：⑴ 该同学的出手最大高度是多少？
⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？⑶ 该同学的成绩是多少？
2. (06沈阳) 某企业信息部进行市场调研发现： 信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y (万元)与投资金额x (万元)之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元；
信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y (万元)与投资金额x (万元)之间存在二次函
数关系：2
B y ax bx =+，并且当投资2万元时，
可获利润2.4万元；当投资4万元，可获利润3.2万元.
(1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次
函数表达式；
(2) 如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少.
【课后作业】
1.（06威海）如图，过原点的一条直线与反比例函数y ＝
k x
（k<0）的图像分别交于A 、B 两点，
若A 点的坐标为（a ，b ），则B 点的坐标为（ ） A ．（a ，b ）B ．（b ，a ）C ．（-b ，-a ）D ．（-a ，-b ）
2. 二次函数y ＝x 2
＋2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ）
A ．3
B ．5
C ．－3和5
D ．3和－5 3.下列图中阴影部分的面积与算式
1
22)2
1(|43
|-++-的结果相同的是（ ）
4.反比例函数y ＝
x
k 的图象在第一象限的分支上
有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点， （1）求反比例函数解析式. （2）当P 在什么位置时，△OPA 为直角三角形，求出此时P 点的坐标.
x x B
F A
C
D E x G
5.（08枣庄）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C ＝
34
．（1）求B ′点的坐标；
（2）求折痕CE 所在直线的解析式．
6. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D
＝90°，截取AE ＝BF ＝DG ＝x.已知AB ＝6，
CD ＝3，AD ＝4；求四边形CGEF 的面积S 关于x 的函数表达式和x 的取值范围.
7. 如图，已知矩形OABC 的长OA ，宽OC ＝1，
将△AOC 沿AC 翻折得△APC.
（1）填空：∠PCB ＝ 度，P 点坐标为 ；
（2）若P 、A 两点在抛物线y ＝－
43
x 2＋bx
＋c 上，求b 、c 的值，并说明点C 在此抛物线上；
﹡（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，
P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由.。