第14课时 二次函数及其应用

x ⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） . a ＞0

口 4. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2

的形式，

其中h ＝ ， k ＝ . 5. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.

6．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得2

2

4(24b

ac b

y a x a a

-=+

+

，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）.

⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最

（填“高”或“低”）点, 当

x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ；

⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，

y 有最 （

“大”或“小”）值是 ．

【典型例题】

【例1】. 二次函数y ＝2x 2－4x ＋5的对称轴方程

是x ＝___；当x ＝ 时，y 有最小值是 . 【例2】. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解 c bx ax y ++=2

的图象如

图所示，则在“① a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ） A 、①②③④ B 、④ C 、①②③ D 、①④

n x ++5经过点)0,1(A （1）求抛物线的解析式；

（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标.

【例5】例2 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，

并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在

各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多

少米，才能使喷出的水流不至于落在池

外？

【例6】近年来，“宝胜”集团根据市场变化情况，采用灵活多样的营销策略，产值、利税逐年大幅度增长．第六销售公司2004年销售某型号电缆线达数万米，这得益于他们较好地把握了电缆售价与销售数量之间的关系．经市场调研，他们发现：这种电缆线一天的销量y （米）与售价x （元/米）之间存在着如图所示的一次函数关系，且40≤x ≤70．

(1) 根据图象，求ｙ与ｘ之间的函数解析式； (2) 设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为ｗ元．

① 试用含x 的代数式表示ｗ；

② 试问当售价定为每米多少元时，该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高？最高是多少元？

【课堂检测】

1. 抛物线()2

2-=x y 的顶点坐标

是 .

2. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中（如右图），则此抛物线的解析式为 ．

3. 某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（ ） A ．y ＝x 2

＋a B ．y ＝ a （x －1）2

C ．y ＝a （1－x ）2

D ．y ＝a （l ＋x ）2

4.体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知

铅球所经过的路线为抛物线

212

12

++-

=x x y 的一部分，根据关系式回

答：⑴ 该同学的出手最大高度是多少？

⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？⑶ 该同学的成绩是多少？

2. (06沈阳) 某企业信息部进行市场调研发现： 信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y (万元)与投资金额x (万元)之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元；

信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y (万元)与投资金额x (万元)之间存在二次函

数关系：2

B y ax bx =+，并且当投资2万元时，

可获利润2.4万元；当投资4万元，可获利润3.2万元.

(1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次

函数表达式；

(2) 如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少.

【课后作业】

1.（06威海）如图，过原点的一条直线与反比例函数y ＝

k x

（k<0）的图像分别交于A 、B 两点，

若A 点的坐标为（a ，b ），则B 点的坐标为（ ） A ．（a ，b ）B ．（b ，a ）C ．（-b ，-a ）D ．（-a ，-b ）

2. 二次函数y ＝x 2

＋2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ）

A ．3

B ．5

C ．－3和5

D ．3和－5 3.下列图中阴影部分的面积与算式

1

22)2

1(|43

|-++-的结果相同的是（ ）

4.反比例函数y ＝

x

k 的图象在第一象限的分支上

有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点， （1）求反比例函数解析式. （2）当P 在什么位置时，△OPA 为直角三角形，求出此时P 点的坐标.

x x B

F A

C

D E x G

5.（08枣庄）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C ＝

34

．（1）求B ′点的坐标；

（2）求折痕CE 所在直线的解析式．

6. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D

＝90°，截取AE ＝BF ＝DG ＝x.已知AB ＝6，

CD ＝3，AD ＝4；求四边形CGEF 的面积S 关于x 的函数表达式和x 的取值范围.

7. 如图，已知矩形OABC 的长OA ，宽OC ＝1，

将△AOC 沿AC 翻折得△APC.

（1）填空：∠PCB ＝ 度，P 点坐标为 ；

（2）若P 、A 两点在抛物线y ＝－

43

x 2＋bx

＋c 上，求b 、c 的值，并说明点C 在此抛物线上；

﹡（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，

P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由.