中考数学专题复习课件 --- 第十四讲二次函数
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初中毕业生学业考试复习初中数学第14讲二次函数（WORDPPT）课件
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()
A．a>b
B．a<b
C．a＝bD．不能确定 Nhomakorabea考点知识梳理 中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
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【点拨】本题考查二次函数的性质，求二次函数的最值问题．
【解答】(1)B 由－5≤x≤0，并根据图象可知最小值为－3，最大值为 6. (2)A 由二次函数 y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值 1，得 a>0，b＝－1，所以 a>b.
考点六二次函数的应用
二次函数的应用包括两个方面：
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系． (2)用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量 的取值范围．
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注意：当 x＝1 时，y＝a＋b＋c；当 x＝－1 时，y＝a－b＋c.若 a＋b＋c＞0，即 x＝1 时， y＞0.若 a－b＋c＞0，即 x＝－1 时，y＞0.
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考点四二次函数图象的平移 任意抛物线 y＝a(x－h)2＋k 可以由抛物线 y＝ax2 经过平移得到，具体平移方法如下：
中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
（3）抛物线与y轴的交点坐标是（0，c） c决定抛物线与y轴的交点位置
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
《二次函数》课件
3 经济模型
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。
初三二次函数ppt课件ppt课件
轴是$x = - \frac{b}{2，利用描点法可以 绘制出二次函数的图像。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
中考二次函数复习课件
值 a＜0
当 x＝－2ba时， y 最小值＝4ac4－a b2 当 x＝－2ba时， y 最大值＝4ac4－a b2
当 x＝h 时，y 最小值＝k 当 x＝h 时，y 最大值＝k
数学·新课标（RJ）
当
x<－2ba时，y 的值随
x
的
当 x<h 时，y 的值随 x 的增大而 减小 ；当
a＞0 增大而 减小 ；当 x>－2ba时，x>h 时，y 的值随 x 的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－2所示，则下列结论．错误 的有( )
①ac>0；②b<0；③a－b＋c<0；④a＋b＋c<0；⑤2a＋b＝0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
数学·新课标（RJ）
练习：
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ<0
y
•
0
y
•0
y
•0 (0,0)
(1)a确定抛物线的开口方向：
x
上正下负
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
上正下负, 过原点则c=0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
2
3
顶点是_______________,对称轴是__________,
当x
时, y随x的增大而减小。
当x
时, y有最 值为
.
顶点式为y 1 (x 1)2 1
2
6
巩固练习:
当 x＝－2ba时， y 最小值＝4ac4－a b2 当 x＝－2ba时， y 最大值＝4ac4－a b2
当 x＝h 时，y 最小值＝k 当 x＝h 时，y 最大值＝k
数学·新课标（RJ）
当
x<－2ba时，y 的值随
x
的
当 x<h 时，y 的值随 x 的增大而 减小 ；当
a＞0 增大而 减小 ；当 x>－2ba时，x>h 时，y 的值随 x 的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－2所示，则下列结论．错误 的有( )
①ac>0；②b<0；③a－b＋c<0；④a＋b＋c<0；⑤2a＋b＝0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
数学·新课标（RJ）
练习：
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ<0
y
•
0
y
•0
y
•0 (0,0)
(1)a确定抛物线的开口方向：
x
上正下负
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
上正下负, 过原点则c=0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
2
3
顶点是_______________,对称轴是__________,
当x
时, y随x的增大而减小。
当x
时, y有最 值为
.
顶点式为y 1 (x 1)2 1
2
6
巩固练习:
初中数学九年级PPT课件二次函数可编辑全文
2
解：根据题意，得
k
1 2
0
①
2k 2 k 1 2
②
由①，得 k 1
2
由②，得
k1
1 2
,
k
2
1
∴
k 1
二.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、 b、c的符号：
(1)a决定开口方向:aa
0, 0,
开口向上, 开口向下;
((32))a与c决b定决抛定物对线称轴与位y轴置交:点aa,,位bb异 同置号 号， ，在 在yy轴 轴右 左侧 侧； ，
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得：
a=Leabharlann 1 4b= -1c=3
所以二次函数的解析式为： y 1 x2 x 3 4
顶点式：
解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0） （0，3）代入可得：
16a+k=0
4a+k=3
解得
a=
例2、函数
y 1 x2 x 2
2
3
的开口方向
向上
，
顶点坐标是 ( 1 , 1 ) 6
，对称轴方程是 x 1.
解：a 1 ,b 1, c 2
2
3
a 0,
开口向上
又 b 2a
1 2
1
1
2
4ac b2
4 1 2 12 23
1
4a
4 1
6
2
∴ 顶点坐标为: (1, 1 ) 6
对称轴方程是： x 1
1 4
k=4 所以二次函数的解析式为：y 1 x2 x 3
解：根据题意，得
k
1 2
0
①
2k 2 k 1 2
②
由①，得 k 1
2
由②，得
k1
1 2
,
k
2
1
∴
k 1
二.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、 b、c的符号：
(1)a决定开口方向:aa
0, 0,
开口向上, 开口向下;
((32))a与c决b定决抛定物对线称轴与位y轴置交:点aa,,位bb异 同置号 号， ，在 在yy轴 轴右 左侧 侧； ，
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得：
a=Leabharlann 1 4b= -1c=3
所以二次函数的解析式为： y 1 x2 x 3 4
顶点式：
解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0） （0，3）代入可得：
16a+k=0
4a+k=3
解得
a=
例2、函数
y 1 x2 x 2
2
3
的开口方向
向上
，
顶点坐标是 ( 1 , 1 ) 6
，对称轴方程是 x 1.
解：a 1 ,b 1, c 2
2
3
a 0,
开口向上
又 b 2a
1 2
1
1
2
4ac b2
4 1 2 12 23
1
4a
4 1
6
2
∴ 顶点坐标为: (1, 1 ) 6
对称轴方程是： x 1
1 4
k=4 所以二次函数的解析式为：y 1 x2 x 3
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
二次函数
1、什么叫做二次函数？它的图象是什么？ 它的对称轴、顶点坐标各是什么？
答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的二次 函数。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直
线x=
b 2a
,顶点坐标是（
b 2a
，
4ac b 2 4a
）。
2、二次函数的解析式有哪几种？
有三种：⑴一般式：y = ax2+bx+c(a≠0) ⑵顶点式：y = a(x-h)2+k 顶点 为(h,k) ⑶交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 与x轴两交 点:(x1,0),(x2,0)
b 4ac b 2 ⑷顶点坐标是（ 2 a ， 4a
）。
⑸△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况： ① △＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点； ② △＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点； ③ △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。 ⑹二次函数的最大、最小值由a决定。
例 2 、已知函数 y = ax2 +bx +c 的图象如下图所示， x= 1 3 为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数 a ， b ， c的一些什么结论？ 【分析与参考答案】 y 首先观察到二次函数的图象为抛物 1 线，其对称轴为直线x= 3 ，抛物线 1 与x轴有两个交点，交点的横坐标其 3 -1 0 1 x 一大于1，另一个介于-1与0之间，抛 物线开口向上，顶点的纵坐标及抛 -1 物线与 y 轴的交点的纵坐标均介于 -1 与0之间，由此可得如下结论： b 1 ⑴a＞0; ⑵-1＜c＜0; ⑶b2-4ac＞0; ⑷∵ 2a 3 ,∴2a=-3b; ⑸由⑴，(4)得b＜0; ⑹由⑴,⑵,⑸得abc＞0; ⑺考虑x = 1时y＜0，所以有a+b+c＜0; ⑻又x = -1时y＞0，所以有a-b+c＞0; ⑼考虑顶点的纵坐标，有0＜cb2 ＜-1。 4a
1、什么叫做二次函数？它的图象是什么？ 它的对称轴、顶点坐标各是什么？
答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的二次 函数。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直
线x=
b 2a
,顶点坐标是（
b 2a
，
4ac b 2 4a
）。
2、二次函数的解析式有哪几种？
有三种：⑴一般式：y = ax2+bx+c(a≠0) ⑵顶点式：y = a(x-h)2+k 顶点 为(h,k) ⑶交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 与x轴两交 点:(x1,0),(x2,0)
b 4ac b 2 ⑷顶点坐标是（ 2 a ， 4a
）。
⑸△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况： ① △＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点； ② △＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点； ③ △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。 ⑹二次函数的最大、最小值由a决定。
例 2 、已知函数 y = ax2 +bx +c 的图象如下图所示， x= 1 3 为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数 a ， b ， c的一些什么结论？ 【分析与参考答案】 y 首先观察到二次函数的图象为抛物 1 线，其对称轴为直线x= 3 ，抛物线 1 与x轴有两个交点，交点的横坐标其 3 -1 0 1 x 一大于1，另一个介于-1与0之间，抛 物线开口向上，顶点的纵坐标及抛 -1 物线与 y 轴的交点的纵坐标均介于 -1 与0之间，由此可得如下结论： b 1 ⑴a＞0; ⑵-1＜c＜0; ⑶b2-4ac＞0; ⑷∵ 2a 3 ,∴2a=-3b; ⑸由⑴，(4)得b＜0; ⑹由⑴,⑵,⑸得abc＞0; ⑺考虑x = 1时y＜0，所以有a+b+c＜0; ⑻又x = -1时y＞0，所以有a-b+c＞0; ⑼考虑顶点的纵坐标，有0＜cb2 ＜-1。 4a
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
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结合近几年中考试题分析，二次函数的内容考查主要有
以下特点： 1.命题方式为二次函数解析式的确定,二次函数的图象与 性质的应用,判定二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴方 程,二次函数的实际应用,题型多样,涉及了选择题、填空题与 解答题.
2.命题的热点为二次函数解析式的求法、二次函数的实
际应用，二次函数与一次函数、反比例函数的综合应用.
3.(2011·凉山中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
反比例函数 y a 与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图
x
象是(
)
【解析】选B.由二次函数图象可知，a<0,c>0,
b 0, 2a
∴b<0.a<0,说明反比例函数图象在二、四象限，b<0，说明正 比例函数图象经过二、四象限，所以选B.
方法二：∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000.
∵x≤32，∴30≤x≤32时，w≥2 000.
∵y=-10x+500, k=-10<0, ∴y随x的增大而减小. ∴当x=32时，y最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，
∴20×180=3 600(元).
二次函数的图象与性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以通过配方得
2 b 2 4ac b 2 到: y a(x ) ,其中抛物线的顶点为 ( b , 4ac b ), 2a 4a 2a 4a 对称轴方程为直线 x b . 2a
2.已知一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，要求其图象关于x轴 对称、y轴对称的函数解析式时,应先把原函数的解析式化成 y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,然后考虑所求图象的顶点坐标、
2
并求出此时△ABD的面积.
【思路点拨】(1)把A、B、C三点的坐标代入y=ax2+bx+c得三 元一次方程组，解方程组得a、b、c的值,代入y=ax2+bx+c得 抛物线的函数关系式. (2)把D( 7 ,m)代入(1)中求得的二次函数关系式求得m的值.根
2
据三角形的面积等于底乘以高除以2求得△ABD的面积.
二次函数解析式的确定
求二次函数解析式的一般思路:(1)当已知抛物线上任意三点
时,通常设一般式y=ax2+bx+c;当已知抛物线的顶点坐标(h,k) 和抛物线上的另一点时,通常设为顶点式:y=a(x-h)2+k;当已 知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0)时,通常设为双根式 y=a(x-x1)(x-x2).(2)已知顶点坐标、对称轴、最大值或最小
1.二次函数的概念、图象与性质是学习本讲知识的依据, 二次函数的实际应用及二次函数与一元二次方程的联系是考 查的重点,因此,在复习过程中应重点掌握. 2.二次函数的实际应用及与一元二次方程相融合的考查 是中考热点之一,题目往往综合性较强且带有一定的技巧,在
复习时应多加训练.
3.在复习二次函数的有关知识时,要多和一次函数、反比 例函数对比学习，找出它们之间的异同，提高复习效果.
2
)
(A)将抛物线C向右平移 5 个单位 (B)将抛物线C向右平移3个单位
(C)将抛物线C向右平移5个单位
(D)将抛物线C向右平移6个单位
【解析】选C.利用公式法可以求出抛物线C的对称轴为直 线 x 3 ,它到直线x=1的距离是 5 ，因此，抛物线C与抛物
2 2
线C′的距离为5，故应将抛物线C向右平移5个单位.
(2)如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应
定为多少元？
(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32
元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每
月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) 【思路点拨】(1)首先根据每月的利润等于每件的利润与每月 销售量的积列出w、x之间的函数关系式,利用公式法或配方法 求出当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润;
∴抛物线的解析式为：y 1 x 2 2 x 3.
3 3
(2)描点画图
1 1 S ABC 1 6 5 2 2 1 1 1 6 4 2 = 35 1 12 2 2
=5.
二次函数的实际应用
1.在解决二次函数的实际应用问题时,要认真理解题意,将实
答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少为
3 600元.
7.(2010·甘肃中考)向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为
Байду номын сангаас
y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0).若此炮弹在
第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度 最高的是( (A)第8秒 (C)第12秒 ) (B)第10秒 (D)第15秒
际问题转化为纯数学问题,运用所学数学知识进行解答,在解
答过程中要考虑问题的合理性.
2.对所求出问题的数学结果进行解释与检验,使其符合实际问
题的要求.
3. 二次函数的实际应用问题多数都与最大值、最小值有关, 这就要求熟练掌握用配方法和公式法求二次函数最大值、最 小值的方法,同时一定要注意自变量的取值范围.
5.(2010·天津中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变 量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为_____.
a 1 a b c 0 【解析】根据题意,得 a b c 2, 解得 b 1 , c 2 c 2
【例3】(2010·青岛中考)某市政府大力扶持大学生创业.李 明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯. 销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的 关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，
每月可获得最大利润？
(2)令(1)中w=2 000得方程,解方程得结论; (3)求每月的最少成本,一种方法是根据成本＝进价×销售量 列出成本与销售单价的函数关系式,由函数的增减性求解,另 一种方法是在已知“当进价一定时，销售量越小，成本越 小”,保证每月获得的利润不低于2 000元的情况下,先求出每 月销售量的最小值,从而求出李明每月成本最少值.
所以二次函数的解析式为y=x2+x-2. 答案:y=x2+x-2
6.(2011·江津中考)已知双曲线
k 与抛物线y=ax2+bx+c交于 y x
A(2，3)、B(m,2)、C(-3，n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系中描出点A、 点B、点C，并求出△ABC的面积.
1 4 4 ( x x) x 1 m x 梯形AEDC的面积= 5 5 5 2 x2. 5 2 5 2 2 即 y x . 5
9.(2010·兰州中考)如图，小明的父 亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳 子，给小明做了一个简易的秋千.拴
a b c 0 【自主解答】(1)由题意可知 9a 3b c 0, c 3 a 1 解得 b 4. c 3
所以抛物线的函数关系式为y=x2-4x+3. (2)把D( 7 ,m)代入函数关系式y=x2-4x+3中，得
2
7 7 5 m ( )2 4 3 . 2 2 4 1 5 5 所以 S 3 1 . ABD 2 4 4
【解析】(1)把点A(2，3)代入 y ∴双曲线的解析式为 y 6 .
x
k 得:k=6， x
把B(m,2)、C(-3,n)分别代入 y 6 得m=3,n=-2.
x
把A(2，3)、B(3，2)、C(-3，-2)分别代入y=ax2+bx+c得
1 a 3 4a 2b c 3 2 9a 3b c 2 ，解得： b . 3 9a 3b c 2 c 3
4.(2010·桂林中考)将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转 180°，所得抛物线的解析式是( )
(A)y=-2x2-12x+16
(B)y=-2x2+12x-16
(C)y=-2x2+12x-19
(D)y=-2x2+12x-20
【解析】选D.因为y=2x2-12x+16=2(x-3)2-2，所以绕它的顶点 (3，-2)旋转180°后，所得抛物线的解析式为y=-2(x-3)2-2= -2x2+12x-20,故选D.
【解析】选B.因为炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,所以 抛物线的对称轴是直线x=10.5,又因为抛物线的开口向下，当 a<0时,x越接近对称轴,y的值越大,所以当x=10时,炮弹所在高 度最高.
8.(2010·衢州中考)如图，四边形 ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD， AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD 的面积为y，则y与x之间的函数关系 式是( )
(3)方法一：∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000. ∵x≤32， ∴当30≤x≤32时，w≥2 000. 设成本为P(元)，由题意，得： P=20(-10x+500) =-200x+10 000
设k=-200 ∵k=-200<0， ∴P随x的增大而减小. ∴当x =32时，P最小＝3 600.
)
(B)b=2,c=0 (D)b=-3,c=2
【思路点拨】根据已知条件求出平移后的顶点坐标，从而可 以确定抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标，因此可以写出抛物线的 顶点式，展开后可以确定b、c的值.
以下特点： 1.命题方式为二次函数解析式的确定,二次函数的图象与 性质的应用,判定二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴方 程,二次函数的实际应用,题型多样,涉及了选择题、填空题与 解答题.
2.命题的热点为二次函数解析式的求法、二次函数的实
际应用，二次函数与一次函数、反比例函数的综合应用.
3.(2011·凉山中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
反比例函数 y a 与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图
x
象是(
)
【解析】选B.由二次函数图象可知，a<0,c>0,
b 0, 2a
∴b<0.a<0,说明反比例函数图象在二、四象限，b<0，说明正 比例函数图象经过二、四象限，所以选B.
方法二：∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000.
∵x≤32，∴30≤x≤32时，w≥2 000.
∵y=-10x+500, k=-10<0, ∴y随x的增大而减小. ∴当x=32时，y最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，
∴20×180=3 600(元).
二次函数的图象与性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以通过配方得
2 b 2 4ac b 2 到: y a(x ) ,其中抛物线的顶点为 ( b , 4ac b ), 2a 4a 2a 4a 对称轴方程为直线 x b . 2a
2.已知一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，要求其图象关于x轴 对称、y轴对称的函数解析式时,应先把原函数的解析式化成 y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,然后考虑所求图象的顶点坐标、
2
并求出此时△ABD的面积.
【思路点拨】(1)把A、B、C三点的坐标代入y=ax2+bx+c得三 元一次方程组，解方程组得a、b、c的值,代入y=ax2+bx+c得 抛物线的函数关系式. (2)把D( 7 ,m)代入(1)中求得的二次函数关系式求得m的值.根
2
据三角形的面积等于底乘以高除以2求得△ABD的面积.
二次函数解析式的确定
求二次函数解析式的一般思路:(1)当已知抛物线上任意三点
时,通常设一般式y=ax2+bx+c;当已知抛物线的顶点坐标(h,k) 和抛物线上的另一点时,通常设为顶点式:y=a(x-h)2+k;当已 知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0)时,通常设为双根式 y=a(x-x1)(x-x2).(2)已知顶点坐标、对称轴、最大值或最小
1.二次函数的概念、图象与性质是学习本讲知识的依据, 二次函数的实际应用及二次函数与一元二次方程的联系是考 查的重点,因此,在复习过程中应重点掌握. 2.二次函数的实际应用及与一元二次方程相融合的考查 是中考热点之一,题目往往综合性较强且带有一定的技巧,在
复习时应多加训练.
3.在复习二次函数的有关知识时,要多和一次函数、反比 例函数对比学习，找出它们之间的异同，提高复习效果.
2
)
(A)将抛物线C向右平移 5 个单位 (B)将抛物线C向右平移3个单位
(C)将抛物线C向右平移5个单位
(D)将抛物线C向右平移6个单位
【解析】选C.利用公式法可以求出抛物线C的对称轴为直 线 x 3 ,它到直线x=1的距离是 5 ，因此，抛物线C与抛物
2 2
线C′的距离为5，故应将抛物线C向右平移5个单位.
(2)如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应
定为多少元？
(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32
元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每
月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) 【思路点拨】(1)首先根据每月的利润等于每件的利润与每月 销售量的积列出w、x之间的函数关系式,利用公式法或配方法 求出当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润;
∴抛物线的解析式为：y 1 x 2 2 x 3.
3 3
(2)描点画图
1 1 S ABC 1 6 5 2 2 1 1 1 6 4 2 = 35 1 12 2 2
=5.
二次函数的实际应用
1.在解决二次函数的实际应用问题时,要认真理解题意,将实
答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少为
3 600元.
7.(2010·甘肃中考)向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为
Байду номын сангаас
y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0).若此炮弹在
第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度 最高的是( (A)第8秒 (C)第12秒 ) (B)第10秒 (D)第15秒
际问题转化为纯数学问题,运用所学数学知识进行解答,在解
答过程中要考虑问题的合理性.
2.对所求出问题的数学结果进行解释与检验,使其符合实际问
题的要求.
3. 二次函数的实际应用问题多数都与最大值、最小值有关, 这就要求熟练掌握用配方法和公式法求二次函数最大值、最 小值的方法,同时一定要注意自变量的取值范围.
5.(2010·天津中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变 量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为_____.
a 1 a b c 0 【解析】根据题意,得 a b c 2, 解得 b 1 , c 2 c 2
【例3】(2010·青岛中考)某市政府大力扶持大学生创业.李 明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯. 销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的 关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，
每月可获得最大利润？
(2)令(1)中w=2 000得方程,解方程得结论; (3)求每月的最少成本,一种方法是根据成本＝进价×销售量 列出成本与销售单价的函数关系式,由函数的增减性求解,另 一种方法是在已知“当进价一定时，销售量越小，成本越 小”,保证每月获得的利润不低于2 000元的情况下,先求出每 月销售量的最小值,从而求出李明每月成本最少值.
所以二次函数的解析式为y=x2+x-2. 答案:y=x2+x-2
6.(2011·江津中考)已知双曲线
k 与抛物线y=ax2+bx+c交于 y x
A(2，3)、B(m,2)、C(-3，n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系中描出点A、 点B、点C，并求出△ABC的面积.
1 4 4 ( x x) x 1 m x 梯形AEDC的面积= 5 5 5 2 x2. 5 2 5 2 2 即 y x . 5
9.(2010·兰州中考)如图，小明的父 亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳 子，给小明做了一个简易的秋千.拴
a b c 0 【自主解答】(1)由题意可知 9a 3b c 0, c 3 a 1 解得 b 4. c 3
所以抛物线的函数关系式为y=x2-4x+3. (2)把D( 7 ,m)代入函数关系式y=x2-4x+3中，得
2
7 7 5 m ( )2 4 3 . 2 2 4 1 5 5 所以 S 3 1 . ABD 2 4 4
【解析】(1)把点A(2，3)代入 y ∴双曲线的解析式为 y 6 .
x
k 得:k=6， x
把B(m,2)、C(-3,n)分别代入 y 6 得m=3,n=-2.
x
把A(2，3)、B(3，2)、C(-3，-2)分别代入y=ax2+bx+c得
1 a 3 4a 2b c 3 2 9a 3b c 2 ，解得： b . 3 9a 3b c 2 c 3
4.(2010·桂林中考)将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转 180°，所得抛物线的解析式是( )
(A)y=-2x2-12x+16
(B)y=-2x2+12x-16
(C)y=-2x2+12x-19
(D)y=-2x2+12x-20
【解析】选D.因为y=2x2-12x+16=2(x-3)2-2，所以绕它的顶点 (3，-2)旋转180°后，所得抛物线的解析式为y=-2(x-3)2-2= -2x2+12x-20,故选D.
【解析】选B.因为炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,所以 抛物线的对称轴是直线x=10.5,又因为抛物线的开口向下，当 a<0时,x越接近对称轴,y的值越大,所以当x=10时,炮弹所在高 度最高.
8.(2010·衢州中考)如图，四边形 ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD， AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD 的面积为y，则y与x之间的函数关系 式是( )
(3)方法一：∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000. ∵x≤32， ∴当30≤x≤32时，w≥2 000. 设成本为P(元)，由题意，得： P=20(-10x+500) =-200x+10 000
设k=-200 ∵k=-200<0， ∴P随x的增大而减小. ∴当x =32时，P最小＝3 600.
)
(B)b=2,c=0 (D)b=-3,c=2
【思路点拨】根据已知条件求出平移后的顶点坐标，从而可 以确定抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标，因此可以写出抛物线的 顶点式，展开后可以确定b、c的值.