中考数学专题复习课件 --- 第十四讲二次函数
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4 2 x 25 (D) y 4 x 2 5
(A) y 2 x 2
25 (C) y 2 x 2 5
(B) y
【解析】选C.如图，作∠CAE=90°，作DE⊥AE于E，作DF⊥AC 于F.可证得△ABC≌△ADE.四边形AEDF为矩形，设BC为m，则 DE=AF=m，DF=AE=AC=4m，∴CF=3m，则(3m)2+(4m)2=x2,
2
并求出此时△ABD的面积.
【思路点拨】(1)把A、B、C三点的坐标代入y=ax2+bx+c得三 元一次方程组，解方程组得a、b、c的值,代入y=ax2+bx+c得 抛物线的函数关系式. (2)把D( 7 ,m)代入(1)中求得的二次函数关系式求得m的值.根
2
据三角形的面积等于底乘以高除以2求得△ABD的面积.
(3)方法一：∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000. ∵x≤32， ∴当30≤x≤32时，w≥2 000. 设成本为P(元)，由题意，得： P=20(-10x+500) =-200x+10 000
设k=-200 ∵k=-200<0， ∴P随x的增大而减小. ∴当x =32时，P最小＝3 600.
(2)令(1)中w=2 000得方程,解方程得结论; (3)求每月的最少成本,一种方法是根据成本＝进价×销售量 列出成本与销售单价的函数关系式,由函数的增减性求解,另 一种方法是在已知“当进价一定时，销售量越小，成本越 小”,保证每月获得的利润不低于2 000元的情况下,先求出每 月销售量的最小值,从而求出李明每月成本最少值.
开口方向.
3.抛物线平移前后的形状不变,开口方向、大小不变,抛物线 平移前后遵循“左加右减,上加下减”的规律.
【例1】(2010·兰州中考)抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个
单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x-3,则
b、c的值为(
(A)b=2,c=2 (C)b=-2,c=-1
【解析】(1)把点A(2，3)代入 y ∴双曲线的解析式为 y 6 .
x
k 得:k=6， x
把B(m,2)、C(-3,n)分别代入 y 6 得m=3,n=-2.
x
把A(2，3)、B(3，2)、C(-3，-2)分别代入y=ax2+bx+c得
1 a 3 4a 2b c 3 2 9a 3b c 2 ，解得： b . 3 9a 3b c 2 c 3
∴抛物线的解析式为：y 1 x 2 2 x 3.
3 3
(2)描点画图
1 1 S ABC 1 6 5 2 2 1 1 1 6 4 2 = 35 1 12 2 2
=5.
二次函数的实际应用
1.在解决二次函数的实际应用问题时,要认真理解题意,将实
二次函数的图象与性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以通过配方得
2 b 2 4ac b 2 到: y a(x ) ,其中抛物线的顶点为 ( b , 4ac b ), 2a 4a 2a 4a 对称轴方程为直线 x b . 2a
2.已知一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，要求其图象关于x轴 对称、y轴对称的函数解析式时,应先把原函数的解析式化成 y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,然后考虑所求图象的顶点坐标、
)
(B)b=2,c=0 (D)b=-3,c=2
【思路点拨】根据已知条件求出平移后的顶点坐标，从而可 以确定抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标，因此可以写出抛物线的 顶点式，展开后可以确定b、c的值.
【自主解答】选B.利用公式法求出y=x2-2x-3的顶点坐标是(1， -4)，因此y=x2+bx+c的顶点坐标是(-1,-1)，即y=x2+bx+c的解 析式为y=(x+1)2-1,即y=x2+2x,因此 b=2,c=0.
际问题转化为纯数学问题,运用所学数学知识进行解答,在解
答过程中要考虑问题的合理性.
2.对所求出问题的数学结果进行解释与检验,使其符合实际问
题的要求.
3. 二次函数的实际应用问题多数都与最大值、最小值有关, 这就要求熟练掌握用配方法和公式法求二次函数最大值、最 小值的方法,同时一定要注意自变量的取值范围.
2
)
(A)将抛物线C向右平移 5 个单位 (B)将抛物线C向右平移3个单位
(C)将抛物线C向右平移5个单位
(D)将抛物线C向右平移6个单位
【解析】选C.利用公式法可以求出抛物线C的对称轴为直 线 x 3 ,它到直线x=1的距离是 5 ，因此，抛物线C与抛物
2 2
线C′的距离为5，故应将抛物线C向右平移5个单位.
a b c 0 【自主解答】(1)由题意可知 9a 3b c 0, c 3 a 1 解得 b 4. c 3
所以抛物线的函数关系式为y=x2-4x+3. (2)把D( 7 ,m)代入函数关系式y=x2-4x+3中，得
2
7 7 5 m ( )2 4 3 . 2 2 4 1 5 5 所以 S 3 1 . ABD 2 4 4
1.(2010·安徽中考)若二次函数y=x2+bx+5配方后为 y=(x-2)2+k，则b、k的值分别为( (A)0，5 (B)0，1 ) (D)-4，1
பைடு நூலகம்
(C)-4，5
【解析】选D.y=(x-2)2+k=x2-4x+4+k=x2+bx+5,则b=-4，4+k=5. 解得k=1.
2.(2010·西安中考)已知抛物线C：y=x2+3x-10,将抛物线C平 移得到抛物线C′，若两条抛物线C、C′关于直线x=1对称.则 下列平移方法中，正确的是(
二次函数解析式的确定
求二次函数解析式的一般思路:(1)当已知抛物线上任意三点
时,通常设一般式y=ax2+bx+c;当已知抛物线的顶点坐标(h,k) 和抛物线上的另一点时,通常设为顶点式:y=a(x-h)2+k;当已 知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0)时,通常设为双根式 y=a(x-x1)(x-x2).(2)已知顶点坐标、对称轴、最大值或最小
1.二次函数的概念、图象与性质是学习本讲知识的依据, 二次函数的实际应用及二次函数与一元二次方程的联系是考 查的重点,因此,在复习过程中应重点掌握. 2.二次函数的实际应用及与一元二次方程相融合的考查 是中考热点之一,题目往往综合性较强且带有一定的技巧,在
复习时应多加训练.
3.在复习二次函数的有关知识时,要多和一次函数、反比 例函数对比学习，找出它们之间的异同，提高复习效果.
【自主解答】(1)由题意，得w= (x-20)·y =(x-20)·(-10x+500)
=-10x2+700x-10 000
x b 35.
2a
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润. (2)由题意，得：-10x2+700x-10 000=2 000 解这个方程得x1=30，x2 =40. 答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元 或40元.
3.(2011·凉山中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
反比例函数 y a 与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图
x
象是(
)
【解析】选B.由二次函数图象可知，a<0,c>0,
b 0, 2a
∴b<0.a<0,说明反比例函数图象在二、四象限，b<0，说明正 比例函数图象经过二、四象限，所以选B.
答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少为
3 600元.
7.(2010·甘肃中考)向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为
y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0).若此炮弹在
第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度 最高的是( (A)第8秒 (C)第12秒 ) (B)第10秒 (D)第15秒
5.(2010·天津中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变 量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为_____.
a 1 a b c 0 【解析】根据题意,得 a b c 2, 解得 b 1 , c 2 c 2
结合近几年中考试题分析，二次函数的内容考查主要有
以下特点： 1.命题方式为二次函数解析式的确定,二次函数的图象与 性质的应用,判定二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴方 程,二次函数的实际应用,题型多样,涉及了选择题、填空题与 解答题.
2.命题的热点为二次函数解析式的求法、二次函数的实
际应用，二次函数与一次函数、反比例函数的综合应用.
方法二：∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000.
∵x≤32，∴30≤x≤32时，w≥2 000.
∵y=-10x+500, k=-10<0, ∴y随x的增大而减小. ∴当x=32时，y最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，
∴20×180=3 600(元).
值，求二次函数的解析式时，一般用它的顶点式.(3)能用顶
点式、双根式求解析式的题目,一定能用一般式求解,最后结
果通常化为二次函数的一般式.
【例2】(2010·楚雄中考)已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与 x轴相交于两点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C(0，3). (1)求抛物线的函数关系式； (2)若点D( 7 ,m)是抛物线y=ax2+bx+c上一点，请求出m的值，
(2)如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应
定为多少元？
(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32
元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每
月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) 【思路点拨】(1)首先根据每月的利润等于每件的利润与每月 销售量的积列出w、x之间的函数关系式,利用公式法或配方法 求出当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润;
4.(2010·桂林中考)将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转 180°，所得抛物线的解析式是( )
(A)y=-2x2-12x+16
(B)y=-2x2+12x-16
(C)y=-2x2+12x-19
(D)y=-2x2+12x-20
【解析】选D.因为y=2x2-12x+16=2(x-3)2-2，所以绕它的顶点 (3，-2)旋转180°后，所得抛物线的解析式为y=-2(x-3)2-2= -2x2+12x-20,故选D.
所以二次函数的解析式为y=x2+x-2. 答案:y=x2+x-2
6.(2011·江津中考)已知双曲线
k 与抛物线y=ax2+bx+c交于 y x
A(2，3)、B(m,2)、C(-3，n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系中描出点A、 点B、点C，并求出△ABC的面积.
【解析】选B.因为炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,所以 抛物线的对称轴是直线x=10.5,又因为抛物线的开口向下，当 a<0时,x越接近对称轴,y的值越大,所以当x=10时,炮弹所在高 度最高.
8.(2010·衢州中考)如图，四边形 ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD， AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD 的面积为y，则y与x之间的函数关系 式是( )
1 4 4 ( x x) x 1 m x 梯形AEDC的面积= 5 5 5 2 x2. 5 2 5 2 2 即 y x . 5
9.(2010·兰州中考)如图，小明的父 亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳 子，给小明做了一个简易的秋千.拴
【例3】(2010·青岛中考)某市政府大力扶持大学生创业.李 明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯. 销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的 关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，
每月可获得最大利润？
(A) y 2 x 2
25 (C) y 2 x 2 5
(B) y
【解析】选C.如图，作∠CAE=90°，作DE⊥AE于E，作DF⊥AC 于F.可证得△ABC≌△ADE.四边形AEDF为矩形，设BC为m，则 DE=AF=m，DF=AE=AC=4m，∴CF=3m，则(3m)2+(4m)2=x2,
2
并求出此时△ABD的面积.
【思路点拨】(1)把A、B、C三点的坐标代入y=ax2+bx+c得三 元一次方程组，解方程组得a、b、c的值,代入y=ax2+bx+c得 抛物线的函数关系式. (2)把D( 7 ,m)代入(1)中求得的二次函数关系式求得m的值.根
2
据三角形的面积等于底乘以高除以2求得△ABD的面积.
(3)方法一：∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000. ∵x≤32， ∴当30≤x≤32时，w≥2 000. 设成本为P(元)，由题意，得： P=20(-10x+500) =-200x+10 000
设k=-200 ∵k=-200<0， ∴P随x的增大而减小. ∴当x =32时，P最小＝3 600.
(2)令(1)中w=2 000得方程,解方程得结论; (3)求每月的最少成本,一种方法是根据成本＝进价×销售量 列出成本与销售单价的函数关系式,由函数的增减性求解,另 一种方法是在已知“当进价一定时，销售量越小，成本越 小”,保证每月获得的利润不低于2 000元的情况下,先求出每 月销售量的最小值,从而求出李明每月成本最少值.
开口方向.
3.抛物线平移前后的形状不变,开口方向、大小不变,抛物线 平移前后遵循“左加右减,上加下减”的规律.
【例1】(2010·兰州中考)抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个
单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x-3,则
b、c的值为(
(A)b=2,c=2 (C)b=-2,c=-1
【解析】(1)把点A(2，3)代入 y ∴双曲线的解析式为 y 6 .
x
k 得:k=6， x
把B(m,2)、C(-3,n)分别代入 y 6 得m=3,n=-2.
x
把A(2，3)、B(3，2)、C(-3，-2)分别代入y=ax2+bx+c得
1 a 3 4a 2b c 3 2 9a 3b c 2 ，解得： b . 3 9a 3b c 2 c 3
∴抛物线的解析式为：y 1 x 2 2 x 3.
3 3
(2)描点画图
1 1 S ABC 1 6 5 2 2 1 1 1 6 4 2 = 35 1 12 2 2
=5.
二次函数的实际应用
1.在解决二次函数的实际应用问题时,要认真理解题意,将实
二次函数的图象与性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以通过配方得
2 b 2 4ac b 2 到: y a(x ) ,其中抛物线的顶点为 ( b , 4ac b ), 2a 4a 2a 4a 对称轴方程为直线 x b . 2a
2.已知一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，要求其图象关于x轴 对称、y轴对称的函数解析式时,应先把原函数的解析式化成 y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,然后考虑所求图象的顶点坐标、
)
(B)b=2,c=0 (D)b=-3,c=2
【思路点拨】根据已知条件求出平移后的顶点坐标，从而可 以确定抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标，因此可以写出抛物线的 顶点式，展开后可以确定b、c的值.
【自主解答】选B.利用公式法求出y=x2-2x-3的顶点坐标是(1， -4)，因此y=x2+bx+c的顶点坐标是(-1,-1)，即y=x2+bx+c的解 析式为y=(x+1)2-1,即y=x2+2x,因此 b=2,c=0.
际问题转化为纯数学问题,运用所学数学知识进行解答,在解
答过程中要考虑问题的合理性.
2.对所求出问题的数学结果进行解释与检验,使其符合实际问
题的要求.
3. 二次函数的实际应用问题多数都与最大值、最小值有关, 这就要求熟练掌握用配方法和公式法求二次函数最大值、最 小值的方法,同时一定要注意自变量的取值范围.
2
)
(A)将抛物线C向右平移 5 个单位 (B)将抛物线C向右平移3个单位
(C)将抛物线C向右平移5个单位
(D)将抛物线C向右平移6个单位
【解析】选C.利用公式法可以求出抛物线C的对称轴为直 线 x 3 ,它到直线x=1的距离是 5 ，因此，抛物线C与抛物
2 2
线C′的距离为5，故应将抛物线C向右平移5个单位.
a b c 0 【自主解答】(1)由题意可知 9a 3b c 0, c 3 a 1 解得 b 4. c 3
所以抛物线的函数关系式为y=x2-4x+3. (2)把D( 7 ,m)代入函数关系式y=x2-4x+3中，得
2
7 7 5 m ( )2 4 3 . 2 2 4 1 5 5 所以 S 3 1 . ABD 2 4 4
1.(2010·安徽中考)若二次函数y=x2+bx+5配方后为 y=(x-2)2+k，则b、k的值分别为( (A)0，5 (B)0，1 ) (D)-4，1
பைடு நூலகம்
(C)-4，5
【解析】选D.y=(x-2)2+k=x2-4x+4+k=x2+bx+5,则b=-4，4+k=5. 解得k=1.
2.(2010·西安中考)已知抛物线C：y=x2+3x-10,将抛物线C平 移得到抛物线C′，若两条抛物线C、C′关于直线x=1对称.则 下列平移方法中，正确的是(
二次函数解析式的确定
求二次函数解析式的一般思路:(1)当已知抛物线上任意三点
时,通常设一般式y=ax2+bx+c;当已知抛物线的顶点坐标(h,k) 和抛物线上的另一点时,通常设为顶点式:y=a(x-h)2+k;当已 知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0)时,通常设为双根式 y=a(x-x1)(x-x2).(2)已知顶点坐标、对称轴、最大值或最小
1.二次函数的概念、图象与性质是学习本讲知识的依据, 二次函数的实际应用及二次函数与一元二次方程的联系是考 查的重点,因此,在复习过程中应重点掌握. 2.二次函数的实际应用及与一元二次方程相融合的考查 是中考热点之一,题目往往综合性较强且带有一定的技巧,在
复习时应多加训练.
3.在复习二次函数的有关知识时,要多和一次函数、反比 例函数对比学习，找出它们之间的异同，提高复习效果.
【自主解答】(1)由题意，得w= (x-20)·y =(x-20)·(-10x+500)
=-10x2+700x-10 000
x b 35.
2a
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润. (2)由题意，得：-10x2+700x-10 000=2 000 解这个方程得x1=30，x2 =40. 答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元 或40元.
3.(2011·凉山中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
反比例函数 y a 与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图
x
象是(
)
【解析】选B.由二次函数图象可知，a<0,c>0,
b 0, 2a
∴b<0.a<0,说明反比例函数图象在二、四象限，b<0，说明正 比例函数图象经过二、四象限，所以选B.
答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少为
3 600元.
7.(2010·甘肃中考)向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为
y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0).若此炮弹在
第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度 最高的是( (A)第8秒 (C)第12秒 ) (B)第10秒 (D)第15秒
5.(2010·天津中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变 量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为_____.
a 1 a b c 0 【解析】根据题意,得 a b c 2, 解得 b 1 , c 2 c 2
结合近几年中考试题分析，二次函数的内容考查主要有
以下特点： 1.命题方式为二次函数解析式的确定,二次函数的图象与 性质的应用,判定二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴方 程,二次函数的实际应用,题型多样,涉及了选择题、填空题与 解答题.
2.命题的热点为二次函数解析式的求法、二次函数的实
际应用，二次函数与一次函数、反比例函数的综合应用.
方法二：∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000.
∵x≤32，∴30≤x≤32时，w≥2 000.
∵y=-10x+500, k=-10<0, ∴y随x的增大而减小. ∴当x=32时，y最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，
∴20×180=3 600(元).
值，求二次函数的解析式时，一般用它的顶点式.(3)能用顶
点式、双根式求解析式的题目,一定能用一般式求解,最后结
果通常化为二次函数的一般式.
【例2】(2010·楚雄中考)已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与 x轴相交于两点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C(0，3). (1)求抛物线的函数关系式； (2)若点D( 7 ,m)是抛物线y=ax2+bx+c上一点，请求出m的值，
(2)如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应
定为多少元？
(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32
元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每
月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) 【思路点拨】(1)首先根据每月的利润等于每件的利润与每月 销售量的积列出w、x之间的函数关系式,利用公式法或配方法 求出当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润;
4.(2010·桂林中考)将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转 180°，所得抛物线的解析式是( )
(A)y=-2x2-12x+16
(B)y=-2x2+12x-16
(C)y=-2x2+12x-19
(D)y=-2x2+12x-20
【解析】选D.因为y=2x2-12x+16=2(x-3)2-2，所以绕它的顶点 (3，-2)旋转180°后，所得抛物线的解析式为y=-2(x-3)2-2= -2x2+12x-20,故选D.
所以二次函数的解析式为y=x2+x-2. 答案:y=x2+x-2
6.(2011·江津中考)已知双曲线
k 与抛物线y=ax2+bx+c交于 y x
A(2，3)、B(m,2)、C(-3，n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系中描出点A、 点B、点C，并求出△ABC的面积.
【解析】选B.因为炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,所以 抛物线的对称轴是直线x=10.5,又因为抛物线的开口向下，当 a<0时,x越接近对称轴,y的值越大,所以当x=10时,炮弹所在高 度最高.
8.(2010·衢州中考)如图，四边形 ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD， AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD 的面积为y，则y与x之间的函数关系 式是( )
1 4 4 ( x x) x 1 m x 梯形AEDC的面积= 5 5 5 2 x2. 5 2 5 2 2 即 y x . 5
9.(2010·兰州中考)如图，小明的父 亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳 子，给小明做了一个简易的秋千.拴
【例3】(2010·青岛中考)某市政府大力扶持大学生创业.李 明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯. 销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的 关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，
每月可获得最大利润？