3.第14课时二次函数的应用

解：(1)∵点A(－1，0)在抛物线y＝ x2＋bx－2上， ∴ ×(－1)2＋b(－1)－2＝0， 解得：b＝－ ， ∴抛物线的解析式为 y＝ x2－ x－2. y＝ (x－ )2－ ， ∴顶点D的坐标为：( ，－ )；
(2)当x＝0时y＝－2， ∴C(0，－2)，OC＝2. 当y＝0时， x2－ x－2＝0， 解得：x1＝－1，x2＝4， ∴B(4，0)， ∴OA＝1，OB＝4，AB＝5. ∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝12＋22＝5， BC2＝OC2＋OB2＝22＋42＝20. ∴AC2＋BC2＝AB2.
(4)设扣除捐赠后的日销售利润为w′，则 w′＝－ (t－30)2＋2450－m(－2t＋200) ＝－ t2＋(30＋2m)t＋2000－200m，(7分) 对称轴为t＝30＋2m，(8分) ∵w′随t的增大而增大， ∴30＋2m≥40，解得m≥5，(9分) 即5≤m<7.(10分)
备考小贴士
本题主要是二次函数的实际应用，首先建立一次函数模型，然后建 立二次函数模型解决问题，最后重点考查了二次函数的最值．在平 时学习过程中，要真正理解函数的增减性及最值，特别是自变量取 值范围不再是一切实数时，顶点的横坐标与自变量范围的关系．当 顶点横坐标在指定范围下，则最值在顶点处取得；当顶点横坐标不 在指定范围下，则根据函数增减性，在端点处取得最值．利用图象 ，有助于理解二次函数最值问题的解决．
②当41≤t≤80时， w＝(－ t＋46－6)(－2t＋200) ＝(t－90)2－100， ∵1>0且对称轴为直线t＝90， ∴当t＝41时，最大利润w＝(41－90)2－100＝2301元，(4分) 综上，在第30天时有最大利润且最大利润为2450元；
（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？ 【思维教练】求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案； 自主作答：
练习3题解图
例3 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A（-4，0），B（0，-4）， C（2，0）三点．
例3题图
（1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求 S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． 自主作答：
解：(1)由于抛物线过点A(－4，0)，C(2，0)，则设抛物线解析式为y＝a(x＋4)(x－2)，将 B(0，－4)代入得：－4＝－8a，即a＝ ， 则抛物线解析式为 y＝ (x＋4)(x－2)＝ x2＋x－4；
过点D作DQ∥y轴交BC于Q，如解图，
设D(x，－ x2＋ x＋3)，
则Q(x，－ x＋3),
∴△ABC是直角三角形． (3)如解图，连接AM.
点A关于对称轴的对称点为点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最
短可知， MC＋MA的值最小，即△ACM周长最小．
设直线BC解析式为：y＝kx＋d， 将点C(0，－2)，B(4，0)代入BC解析式中得：
解得： ，
故直线BC的解析式为：y＝ x－2， 当x＝ 时，y＝－ ， ∴M( ，－ )， △ACM最小周长是：AC＋AM＋MC＝ AC＋BC＝ ＋2 ＝3 .
二 二次函数的综合应用（难点） 例2如图，抛物线y= x2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于 C点，且A（-1，0）．
例2题图
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标 及△ACM 的最小周长． 自主作答：
3.第14课时二次函数的 应用
2020/9/12
重难点突破
考点特训营
一 二次函数的实际应用（重点）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1（2019荆州）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6
元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t(天)之间的函数关系为
：
p= t+16(1≤t≤40,t为整数)
∴A(－1，0)， 设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－ 4)， 把C(0，3)代入得 a×1×(－4)＝3，解得a＝－ ， ∴抛物线解析式为y＝－ (x＋1)(x－4)＝－ x2＋ x＋3;
(2)设直线BC的解析式为y＝mx＋n，
把C(0，3)，B(4，0)代入得
，
解得
，
∴直线BC的解析式为y＝－ x＋3，
- t+46(41≤t≤80,t为整数)，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如
图所示.
（1）求日销售量y与时间t的函数关系式； 【思维教练】根据函数图象，利用待定系数法求解可得； 自主作答：
例1题图
解：(1)设日销售量y与时间t的函数关系式为y＝kt＋b，由图象可知，
，
解得
∴y＝－2t＋200(1≤t≤80，t为整数)；(2分)
②当21≤x≤40时，y＝
－525， 越大(即x越小)，y的值越大，
由于21≤x≤40，所以当x＝21天时，y最大＝1250－525＝725(元)，
∵612.5＜725，
∴第21天获得的利润最大，
综上所述，这40天中该网店第21天获得的利润最大，最大利润是725元．(12分)
练习2 为了节省材料，某农户利用一段足够长的墙体为一边，用总长为40 m的篱笆围 成如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.
（1）求抛物线的函数关系式； （2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若△BCD和△ABC面积满足 S△BCD= S△ABC，求点D的坐标.
练习4题图
解：(1)∵C(0，3),
∴OC＝3，
∵4CN＝5ON，
∴ON＝ ，
∵∠OAN＝∠NCM,
∴△AON∽△COB，
∴
，
即
，解得OA＝1,
练习1 某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20 元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示：
销售量p（件）
p=50-x
销售单价q(元/件) 当1≤x≤20时，q=30+ x 当21≤x≤40时，q=20+
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？ （2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式； （3）这40天中，该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
练习2题图
（1）求AE∶EB的值； （2）设BC的长为x m，矩形区域的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并注明自变 量x的取值范围； （3）在（2）的条件下，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
解：(1)∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍， 即AE×EF＝2EB×EF. ∴AE＝2BE， ∴AE∶EB＝2∶1；
(3)①当1≤t≤40时， ∵w＝－ (t－30)2＋2450≥2400， ∴解得20≤t≤40， ∴此时共有40－20＋1＝21(天)；(5分)
②当41≤t≤80时， w＝(t－90)2－100≥2400， 即(t－90)2≥2500， 解得t≤40或t≥140， ∵41≤t≤80， ∴此时不存在日销售利润不低于2400的情况； ∴共有21天日利润不低于2400元；(6分)
(2)如解图，过点M作x轴的垂线，交x轴于点N， 将x＝m代入抛物线得：y＝ m2＋m－4，即M(m， m2＋m－4)， ∴MN＝| m2＋m－4|＝－ m2－m＋4，ON＝－m， ∵A(－4，0)，B(0，－4)， ∴OA＝OB＝4， ∴S△AMB＝S△AMN＋S梯形MNOB－S△AOB ＝ ×(4＋m)×(－ m2－m＋4)＋ ×(－m)×(－ m2－m＋4＋ 4)
（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m(m<7)元给 村里的特困户.在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求 m的取值范围. 【思维教练】依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售 利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案. 自主作答：
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；
(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，顶点D的坐标为(－1，4) ∴ 作B点关于直线x＝1的对称点B′，解如图， 则B′(4，3)，由(1)得D(－1，4), ∴直线DB′的函数关系式为y＝－ x＋ ， 当M(1，m)在直线DB′上时， MB＋MD的值最小， 则m＝－ ×1＋ ＝ .
解：(1)①对于q＝30＋ x， 当q＝35时，30＋ x＝35， 解得x＝10，在1≤x≤20范围内； ②对于q＝20＋ ， 当q＝35时，20＋ ＝35， 解得x＝35，在21≤x≤40范围内． 综上所述，第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件；(3分)
(2)①当1≤x≤20时，y＝(30＋ x－20)(50－x)＝－ x2＋15x＋500；(5分) ②当21≤x≤40时， y＝(20＋ －20)(50－x)＝ － 525；(6分) (3)①当1≤x≤20时，y＝－ x2＋15x＋500＝－ (x－15)2＋612.5， 由于－ ＜0，抛物线开口向下，且1≤x≤20， 所以当x＝15时，y最大＝612.5(元)；(8分)
(2)由(1)知，AE＝2BE， 设BE＝a，则AE＝2a， ∴8a＋2x＝40， ∴a＝－ x＋5，3a＝－ x＋15， ∴y＝(－ x＋15)x＝－ x2＋15x， ∵a＝－ x＋5＞0， ∴x＜20， 则y＝－ x2＋15x(0＜x＜20)；
(3)∵y＝－ x2＋15x ＝－ (x－10)2＋75(0＜x＜20)， 且二次项系数为－ ＜0， ∴当x＝10时，y有最大值，最大值为75 m2.
例2题解图
练习3 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（-3，0），B（-2，3），C（0，3），其顶点 为D． （1）求抛物线的解析式； （2）设点M（1，m），当MB+MD 的值最小时，求m的值.