(第五讲)第3章 逻辑代数基础(2)

Y BD CD ABC
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例3-20：化简
Y(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15) CD 00 01 11 10 AB 00 1 0 1 1
BC
BC D
01 0
1
1 1
0 1
1
1 1
CD
A
BD
11 1
10 1
1
F A C D BC B D BC D
8
3.4.3 标准或与表达式
任何一个逻辑函数都可以表示成最大项之积的 形式，称为标准或与表达式。 例3-16将 F ABC ABC ABC ABC =Σm（0,2,3,6） 展开为最大项之积的形式。 解： F ABC ABC ABC ABC
m 1, 4,5, 7 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ( A B C )( A B C )( A B C )( A B C ) M 1, 4,5, 7
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3.5.4或与表达式的卡诺图化简
对于标准形式的或与表达式来说，卡诺图的表示 方法是：把表达式中的每一个最大项所对应的方 格中填入0，其余方格填入1，就得到了该逻辑函 数的卡诺图。
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例3-21用卡诺图化简下面或与表达式。
F ( A B C)( A B C)( A B C)( A C)
m1 m4
m3 m6 m7 m14
20
m11
m15
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与 或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与 每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的 公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。
Y ( A D)(B C ) 或变 表换 达为 式与
Y AD B C
说明：如果求得了 函数Ｙ的反函数Ｙ，则 对Ｙ中所包含的各个最 小项，在卡诺图相应方 格内填入0，其余方格内 填入1。
CD AB 00 00 01 11 10 1 0 1 1 01 1 0 0 1
BC
11 0 0 0 0 10 0 0 1 1
AD
21
3.5.3 与或表达式的卡诺图化简
14
3.5.1 逻辑函数的卡诺图
一、卡诺图的画法：
卡诺图：按相邻原则排列的表示全体最小项的小方格矩阵图形。
特点：
小方格的编 号按Gray码 排列。
15
16
17
二、卡诺图的相邻性
个每 最个 小 2 项变 与量 它的 相最 邻小 项 有 两 1、直观相邻
B A 0 1 0 m0 m2 1 m1 m3 A 0 1
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例3-17 将 F ( A B)( A B C)写成标准或与表达式。 解： ( A B)( A B C) F
加法分配律
F ( A B CC )( A B C ) ( A B C )( A B C )( A B C ) M (0, 2,3)
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Y
CD
例3-19：用卡诺图化简逻辑函数

m(1,4,5,7,9,13,15)
CD 00 01 0
1
1
AB
11 10
00 01
0
1
0 0 0 0
BD
1 1
1
ABC
11
0 0
1
10
0
将得到的三个最小项相加，得 n 画出四变量的卡诺图 把函数Ｙ 所具有的最小项为１的填入相应的小方格中 将函数式中没有出现最小项的位置填０ 圈取值为1的小方格,个数为２ ,小方格尽可能地多取。 消去取值不同的变量
卡诺图化简的步骤 第一步：对卡诺图中的“1”进行分组，并将每组用“圈” 围起来。根据以下规则分组： （1）每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3,….）个最小项。 （2）圈内的每一个最小项必须和该圈中的一个或多个最小项 逻辑相邻，但该圈中的所有最小项并不一定必须相互逻辑 相邻。 （3）所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的 方格。但它们可以多次被圈。 （4）圈的个数尽量少，圈内方格的个数尽可能多。 第二步：由每个圈得到一个合并的与项。该与项由该圈中 仅仅以一种形式（原变量或者反变量）出现的所有变量构 成。即消去同时以原变量和反变量形式出现的变量。 第三步：将上一步各合并与项相加，即得所求的最简“与 或”表达式。
F ( A, B, C ) m(0,3,5, 6)
表示为标准或与表达式。
解： ( A, B, C ) m(0,3,5, 6) F
M (1, 2, 4, 7)
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3.5逻辑函数的卡诺图化简法
主要内容：
2变量、3变量和4变量卡诺图 与或表达式的卡诺图表示 与或表达式的卡诺图化简 或与表达式的卡诺图化简 含无关项逻辑函数的卡诺图化简 多输出逻辑函数的化简
第五讲
1
3.4 逻辑函数的标准形式
主要内容：
最小项与最大项的定义、性质和相互关系 把逻辑函数转换为标准与或表达式 把逻辑函数转换为标准或与表达式 两种标准形式的互相转换 标准形式与真值表的互相转换
2
3.4.1最小项与最大项
1、逻辑函数的最小项及其性质
（1）最小项：设有n个变量，它们所组成的具有n 个变量的 “与”项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅 出现一次，这个乘积项称为最小项。 n个变量的最小项有2n个。 3个变量A、B、C可组成8个最小项：
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每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻 项最 最 也右 左 是列 列 相的 的 邻相 最 的应 小 最项 小与
CD AB 00 01 11 10 00 m0 m4 m12 m8 01 m1 m5 m13 m9 11 m3 m7 m15 m11 10 m2 m6 m14 m10
4 变量卡诺图
邻相 项 最 的应 与 上 最最面 小下一 项面行 也一的 是行最 相的小
2、对称相邻或重叠相邻
BC 00 m0 m4 01 m1 m5 11 m3 m7 10 m2 m6
2 变量卡诺图
3 变量卡诺图
3 每 个个 最 3 小变 项量 与的 它最 相小 邻项 有
卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。 （相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均 相同，又称为逻辑相邻项） 。
A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C
（2）最大项的表示方法：通常用符号Mi来表示最大项，下 标i是使最大项的值为0的自变量取值组合的十进制值。 3个变量A、B、C的8个最大项可以分别表示为：
11
n
2
3.4.4两种标准形式的相互转换
对于一个n变量的逻辑函数F，若F的 标准与或式由K个最小项相或构成，则F的 标准或与式一定由 2n K 个最大项相与 构成，并且对于任何一组变量取值组合对 应的序号i ，若标准与或式中不含mi ，则 标准或与式中一定含Mi 。
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例3-18 将标准与或表达式
A B C
A B C
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C M0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
M1 1 0 1 1 1 1 1 1
M2 1 1 0 1 1 1 1 1
M3 1 1 1 0 1 1 1 1
M4 1 1 1 1 0 1 1 1
②任意两个不同的最小项的乘积恒为0。
m6 0 0 0 0 0 0 1 0
m7 0 0 0 0 0 0 0 1
①任意一个最小项，只有对应的一组变量取值使其值为1。
③全体最小项的和恒为1。
4
2、逻辑函数的最大项及其性质
（1）最大项：全体变量都以原变量或反变量的形式各出 现一次的和项称为最大项。它是该函数的标准和项，其个数为 2 n （n为变量的个数）。 3个变量A、B、C可组成8个最大项：
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3.4.4两种标准形式的相互转换
理论依据
FF 1
m
i 1
2n
i
1
举例说明 F ( A, B, C ) ABC ABC ABC ABC
m (2,4,5,7)
F ( A, B, C ) m (0,1,3,6)
F ( A, B, C ) F ( A, B, C ) m (0,1,3,6) M (0,1,3,6) ( A B C )( A B C )( A B C )( A B C )
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3.5.2 与或表达式的卡诺图表示
（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺 图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。
Y ( A, B, C, D) m(1,3,4,6,7,1114,15) ,
CD AB 00 00 01 11 10 0 1 0 0 01 1 0 0 0 11 1 1 1 1 10 0 1 1 0
A B C
。
即为: m7 M 7
7
3.4.2 标准与或表达式
任何一个逻辑函数都可以表示成最小项之和的形式， 称为标准与或表达式。 例3-15 F ABC ABD 展开为最小项之和的形式。 解：F ABC ABD
ABC ( D D) ABD(C C ) ABCD ABCD ABCD ABCD m15 m14 m6 m4 m 4, 6,14,15
3
（3）最小项的性质：
3 变量全部最小项的真值表 ABC ABC A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
（1）两个相邻最小项可以合并消去一个变量 m12，m14： ABC D ABCD ABD(C C ) ABD m8，m10： ABC D ABC D AB D(C C ) AB D （2）相邻块可以合并，其实质还是相邻最小项的合并
AB D ABD AD(B B)源自文库 AD
M5 1 1 1 1 1 0 1 1
M6 1 1 1 1 1 1 0 1
M7 1 1 1 1 1 1 1 0
①对于任意一个最大项，只有一组变量取值使其值为0。
②任意两个不同的最大项的和恒为1。 ③全体最大项的积恒为0。
6
3、最小项与最大项的关系
下标i相同的最小项与最大项互补，即:
mi Mi
如：ABC
M 0 A B C, M 1 A B C, M 2 A B C, M 3 A B C, M 4 A B C, M 5 A B C, M 6 A B C, M 7 A B C
5
（3）最大项的性质： 3 变量全体最大项的真值表
1 1 1 0 0
AC
BC
00 01 11 10
图3-3
AC
26
卡诺图的求反及“圈0法”
例如化简：L ( A B C D)( A B C D)
( A C D)( A B C )( A B )(C D)
A B C 、A B C、A BC 、A BC、AB C 、AB C、ABC 、ABC
（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项，下 标i是使最小项的值为1的自变量取值组合的十进制值。 3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：
m0 A B C 、m1 A B C、m2 A BC 、m3 A BC m4 AB C 、m5 AB C、m6 ABC 、m7 ABC
解：首先将上式转换为标准或与形式：
F ( A B C)( A B C)( A B C)( A B C)( A B C)
根据该式画出卡诺图如图3-3所示。故最 后可得到最简“或与”表达式：
。
( A C)( B C)( A C)
AB C
。
0 0 0 0 1