6.3 等比数列及其前n项和练习题

§6.3 等比数列及其前n项和

一、选择题

1.2＋1与2－1两数的等比中项是( )

A．1 B．－1

C．±1 D.1 2

解析：设等比中项为x，

则x2＝(2＋1)(2－1)＝1，即x＝±1.

答案：C

2．设{a n}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( )．

A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)

C．Y2＝XY D．Y(Y－X)＝X(Z－X)

解析(特例法)取等比数列1,2,4，令n＝1得X＝1，Y＝3，Z＝7代入验算，选D.

答案 D

3．若等比数列{a n}满足a n a n＋1＝16n，则公比为( )．

A．2 B．4 C．8 D．16

解析由a n a n＋1＝a2n q＝16n＞0知q＞0，又a

n＋1

a

n＋2

a

n

a

n＋1

＝q2＝

16n＋1

16n

＝16，∴q＝4.

答案 B

4．等比数列{a n}中，a2＝3，a7·a10＝36，则a15＝( )

A．12 B．－12 C．6 D．－6

解析由等比数列的性质，有a

2·a

15

＝a

7

·a

10

＝36，则a

15

＝

36

a

2

＝12，故选A.

答案 A

5．已知等比数列{a n}的前n项和S n＝t·5n－2－1

5

，则实数t的值为( )．

A．4 B．5 C.4

5

D.

1

5

解析∵a1＝S1＝1

5

t－

1

5

，a2＝S2－S1＝

4

5

t，a

3

＝S3－S2＝4t，∴由{a n}是等比数列

知⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1

5t －15·4t ，显然t ≠0，所以t ＝5.

答案 B

6. 已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） A ．7

B ．5

C ．-5

D ．-7

解析 472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-

答案 D

7．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以1

2为首项的等比数列，

则m n

＝( )． A.3

2 B.32或2

3

C.2

3

D ．以上都不对

解析 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a ＜c ＜d ＜b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝1

2

，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，

d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92

， 则m n ＝32或m n ＝23. 答案 B 二、填空题

8．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，

a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．

解析 设a 2＝t ，则1≤t ≤q ≤t ＋1≤q 2≤t ＋2≤q 3，由于t ≥1，所以q ≥max{t ，

t ＋1，3t ＋2}故q 的最小值是3

3.

答案3

3

9．在等比数列{a n}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n＝________.

解析由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，

所以数列{a n}的通项公式a n＝4n－1.

答案4n－1

10.等比数列{a

n }的前n项和为S

n

，公比不为1.若a

1

=1，且对任意的都有

a n＋2＋a

n＋1

-2a

n

=0，则S

5

=_________________。

解析由已知可得公比q=-2，则a

1=1可得S

5。

答案 11

11．已知各项不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.

解析由题意可知，b6b8＝b27＝a27＝2(a3＋a11)＝4a7，

∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.

答案 16

12．已知数列{x n}满足lg x n＋1＝1＋lg x n(n∈N*)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________.

解析由lg x n＋1＝1＋lg x n(n∈N*)得lg x n＋1－lg x n＝1，∴x

n＋1

x

n

＝10，∴数列{x n}

是公比为10的等比数列，∴x n＋100＝x n·10100，∴x101＋x102＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋x3＋…＋x100)＝10100，∴lg(x101＋x102＋…＋x200)＝lg 10100＝100.

答案100

三、解答题

13．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且数列{S n}是以2为公比的等比数列．

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.

解析 (1)∵S1＝a1＝1，且数列{S n}是以2为公比的等比数列，∴S n＝2n－1，

又当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.