立体几何空间坐标
高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用
高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考数学立体几何三部曲—空间之直角坐标系专项一、积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算3、应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：OP＝x OM＋y OAOP＝x OA＋(1－x)OB－一、空间向量的简单应用1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是() A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对2．(2012·济宁一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是() A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}3．(教材习题改编)下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0； ②若MB ＝x MA ＋y MB ，则M 、P 、A 、B 共面； ③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．34．在四面体O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．5．013·大同月考)若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)6已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607D.657二、利用空间向量证明平行或垂直[例] 已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，边长为2a ，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．方法利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.1.2012·长春模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面P AB，求λ的值．2.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°.(1)求证：C1C⊥BD；(2)当CDCC1的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD请给出证明．3.如图所示，平面P AD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△P AD是直角三角形，且P A＝AD＝2，E、F、G分别是线段P A、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成的角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e·n| |e||n|.3．求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．(2)如图2、3，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．1．(教材习题改编)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°2．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°3.在如图所示的正方体A 1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC 夹角的余弦值为( )A ．－1010B ．－120C.120D.10104．已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．5．(教材习题改编)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值________．（一）异面直线所成的角[例1] (2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35本例条件下，在线段OB 上，是否存在一点M ，使C 1M 与AB 1所成角的余弦为13若存在，求出M 点；不存在，说明理由．1．(2012·安徽模拟)如图所示，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值； (2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1. .（二）直线与平面所成角[例2] (2012·大纲全国卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．2.(2012·宝鸡模拟)如图，已知P A⊥平面ABC，且P A＝2，等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E.(1)求证：PC⊥平面ADE；(2)求直线AB与平面ADE所成角的大小．（三）二面角[例3]在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝5，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；3．如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．11A1如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.【课后练习题】1.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角为________．2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为________．3.如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角为________．4．(2012·山西模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6. (1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P －BD －A 的大小．5．(2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．6．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直说明理由．7．(2013·湖北模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：P A⊥EF；(2)求二面角D－FG－E的余弦值．8．(2012·北京西城模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1； (2)求二面角C 1－AD －C 的余弦值；(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．9．(2012·北京东城模拟)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．10．(2012·天津高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．11.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2. (1)证明：当点E 在棱AB 上移动时，D 1E ⊥A 1D ；(2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角D 1－EC －D 的平面角为π6若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．12．(2012·湖北模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°.(1)若异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，求棱柱的高；(2)设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sin θ的最大值．11。
学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示
合成与分解、波动传播的方向和速度等。
空间向量在计算机图形学中的应用
图形变换
空间向量在计算机图形学中广泛应用于图形的变换，例如平移 、旋转和缩放等操作。
光照与阴影
空间向量在光照与阴影的计算中也起着关键作用，例如计算光 线方向、反射和折射等。
动画与游戏
空间向量在动画和游戏开发中也经常被使用，例如物体移动、 视角转换和角色控制等。
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2023
《学空间向量与立体几何 空间向量的正交分解及其
坐标表示》
目录
• 空间向量与立体几何概述 • 空间向量的正交分解 • 空间向量的坐标表示 • 空间向量与立体几何的应用 • 总结与展望
01
空间向量与立体几何概述
空间向量的定义与性质
空间向量的定义
空间向量是一种具有大小和方向的量，通常用一条有向线段表示，其大小由线段的长度表示，方向由 线段的方向表示。
03
空间向量的坐标表示
坐标系的建立
01
建立空间直角坐标系
通过原点和三个互相垂直的单位向量 确定空间直角坐标系。
02
坐标系的特点
03
坐标系的单位向量
坐标系具有三个互相垂直的轴，分别 为x轴、y轴、z轴，每个轴上的单位长 度为1。
x轴上的单位向量为i，y轴上的单位向 量为j，z轴上的单位向量为k。
空间向量的坐标表示
空间向量的定义
空间向量是一个有方向和大小的 量，可以用一个有序实数组表示 。
空间向量的表示方法
在空间直角坐标系中，空间向量 可以用三个分量来表示，即 (x,y,z)。
空间向量的模
空间向量的模等于其分量平方和 的平方根。
空间向量坐标的运算
三维立体几何中的坐标定位与距离计算
三维立体几何中的坐标定位与距离计算在三维立体几何中，坐标定位和距离计算是非常重要的概念和技巧。
通过准确的坐标定位，我们可以确定一个点在三维空间中的位置，而距离计算则可以帮助我们衡量两个点之间的距离。
本文将探讨三维立体几何中的坐标定位和距离计算，并介绍一些常用的方法和公式。
一、坐标定位在三维空间中，我们可以使用三个坐标轴（x、y、z）来定位一个点。
这些坐标轴相互垂直，并且通过原点（0,0,0）来确定位置。
例如，一个点的坐标可以表示为（x,y,z），其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置，z表示点在z轴上的位置。
通过坐标定位，我们可以准确地描述和定位一个点在三维空间中的位置。
这对于计算机图形学、建筑设计和物理模拟等领域非常重要。
例如，在计算机图形学中，我们可以通过给定的坐标来绘制一个点，从而创建出各种形状和物体。
二、距离计算在三维空间中，距离是一个重要的概念。
它可以帮助我们衡量两个点之间的距离，并在许多应用中起到关键作用。
距离的计算可以通过欧几里得距离公式来实现，即：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)其中，（x1,y1,z1）和（x2,y2,z2）分别表示两个点的坐标，d表示这两个点之间的距离。
距离计算在许多领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以使用距离计算来确定两个物体之间的距离，并根据它们之间的距离来计算力的大小。
在导航系统中，我们可以使用距离计算来确定两个地点之间的距离，并找到最短的路径。
三、坐标变换在三维立体几何中，坐标变换是一种常见的操作。
通过坐标变换，我们可以将一个点从一个坐标系转换到另一个坐标系。
这在计算机图形学和机器人学等领域中非常有用。
常见的坐标变换包括平移、旋转和缩放。
平移是将一个点沿着坐标轴移动一定的距离，旋转是将一个点绕着某个中心点旋转一定的角度，缩放是改变一个点的大小。
通过坐标变换，我们可以改变一个点在三维空间中的位置和大小，从而实现各种复杂的效果和动画。
立体几何空间直角坐标系解法典型例题
立体几何坐标解法典型例题1、如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．2、如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．ABC D3．(2010·上海松江区模拟)设在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 、EF 所成角θ的正弦值； (2)求点B 1到平面AEF 的距离．4.四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．DBCAS5．如图，点P 是单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点，则AP →·AB →的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．任意实数5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM与CN 所成角的余弦值等于( )A.32B.1010C.35D.25<二>选择题辨析 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×） ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面，b 与的关系是相交、平行、在平面内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面. [注]：①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×）②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×）③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （√）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×） ⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×） [注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×） ②垂直于同一直线的两个平面平行.（√） ③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）αααb a ,b a =b a ,a αa αa αa αa ααa l αβαβ。
高考数学中的空间立体几何问题解析
高考数学中的空间立体几何问题解析在高考数学中，空间立体几何是考试中出现频率比较高的一类题型。
空间立体几何的基础是空间坐标系和三维图形的构造，主要包括点、线、面、体及其相互关系的研究，其中点之间的位置关系是空间立体几何的核心。
在考场上要想熟练地解决这些问题，需要掌握一定的思维方法和解题技巧。
一、空间立体几何的基础1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系是立体坐标系的一种，它把三维空间分成了三个相互垂直的坐标轴：x轴、y轴和z轴。
在立体坐标系中，一个点的位置用三个有序实数来表示，这三个实数分别代表这个点到三条坐标轴的距离。
2. 点、线、面、体：点是空间最基本的要素，它是一个没有大小的点。
线是两个点间最短距离的轨迹，其长度可以用两点间的距离表示。
面是三个或三个以上不共线的点所决定的平面。
体是由若干个平面围成的空间几何图形，常见的体有球、立方体、棱锥等。
3. 空间几何图形的构造：空间几何图形的构造是解决空间立体几何问题的第一步，这需要我们根据题目所描述的条件，构造出相应的点、线、面、体。
二、重要的空间直线和平面1. 方向余弦：空间直线的方向可以用方向余弦来表示。
方向余弦是指由一条直线的方向向量在坐标轴上的投影所组成的数列。
如一条直线的方向向量为(a,b,c)，则它在x轴、y轴、z轴上的方向余弦分别为a、b、c。
2. 平面的解析式：平面方程的解析式就是由平面上的一点和该平面的法向量所组成的方程。
常见的平面方程包括一般式、点法式、两点式和截距式。
3. 空间直线的位置关系：空间直线有共面、平行和相交等三种位置关系。
两条直线共面的条件是它们的方向向量能够表示出一个平面。
三、空间几何图形的计算1. 空间几何图形的面积和体积：空间几何图形的面积和体积是解决空间立体几何问题的关键。
求一些固定图形的面积和体积可以用公式解决，如正方体的面积和体积、正三角形的面积、球体的表面积和体积等等。
2. 点到线段的距离：点到线段的距离是解决空间立体几何问题的常见问题，它可以用勾股定理和向量相乘来求解。
空间立体几何坐标法向量法求线面交点坐标-概述说明以及解释
空间立体几何坐标法向量法求线面交点坐标-概述说明以及解释1.引言1.1 概述空间立体几何是数学中的一个重要分支，它研究三维空间中的几何结构和性质。
在空间立体几何中，线和面是两个基本的几何元素，线面交点坐标的求解是一个常见且重要的问题。
本文主要介绍了两种方法来求解线面交点的坐标：坐标法和向量法。
通过这两种方法，可以方便地求解线面交点的坐标，进而解决一些实际问题。
通过本文的学习，读者将能够掌握空间立体几何中线面交点坐标的求解方法，为进一步深入学习和应用空间几何提供了基础。
同时，本文还将探讨线面交点坐标的应用和展望，展示其在现实生活中的重要性和价值。
1.2 文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三部分。
引言部分将从概述、文章结构和目的三个方面介绍本文的主要内容和研究背景。
正文部分将分为三个小节，首先是关于空间立体几何概念的介绍，接着是详细讨论如何利用坐标法求解线面交点坐标的方法，最后则是向量法求解线面交点坐标的具体过程。
结论部分将总结本文的主要观点和研究成果，探讨该方法的应用前景，并进行最终的结语。
1.3 目的:本文旨在介绍如何利用空间立体几何中的坐标法和向量法来求解线面交点坐标的方法。
通过深入讨论这两种方法的原理和步骤，我们希望读者能够更加深入地理解空间几何中的相关概念，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
通过掌握线面交点坐标求解的技巧，读者能够提升空间几何解题的效率和准确性，同时也能够为进一步学习和研究提供一定的参考和指导。
希望本文能够为读者提供一定的启发和帮助，让大家在空间几何学习中取得更好的成绩和收获。
2.正文2.1 空间立体几何概念空间立体几何是几何学中研究三维空间中图形与几何体的一门学科，是平面几何的延伸和拓展。
在空间立体几何中，我们不再局限于研究平面上的图形，而是考虑到三维空间中的物体和结构。
在空间立体几何中，我们研究的主要对象包括点、线、面和体。
点是空间中的一个位置，用于确定空间中的一个具体位置；线是由无数个点按照一定规律连成的直线段；面是由无数个点和线按照一定规律组成的平面图形；而体则是由无数个面组成的一个三维实体。
解说立体几何中的“坐标法”
解说立体几何中的“坐标法”江苏省姜堰中学张圣官（225500）空间直角坐标系是现行高中数学新增加的内容，在使用上就是把空间的点、向量先用坐标表示，然后利用坐标来计算有关角的大小与线段的长度，或者判断与证明线线、线面以及面面的位置关系。
利用“坐标法”解（证）立体几何题，所作的辅助线明显比纯几何推理需要作的要少，且思路简单明了，更易于程序化来解题。
用“坐标法”解题是数与形结合的典范，它特别适用于易于建立空间直角坐标系的图形（如正方体等）。
下面分别介绍在空间直角坐标系中如何确定点的坐标、常见特殊点的坐标特点及利用“坐标法”解（证）立体几何题的步骤。
一、如何确定空间点的坐标空间点的坐标是有序实数对(x,y,z)，其中的三数x,y,z包含坐标的符号与坐标的绝对值。
要确定一个点的坐标，应先判断三个坐标的符号，然后再确定三个坐标的绝对值。
1．点的坐标的符号判断点在坐标平面上的射影位于坐标轴的正方向，则这点对应的坐标的符号为正，否则符号为负。
如点位于x轴正方向，则横坐标为正；点位于z轴负方向，则竖坐标为负。
2．点的坐标的绝对值确定过这个点向三个坐标平面作垂线，看垂线段平行于哪个轴，则这条线段的长度就是该点的绝对值。
如这条垂线段平行于y轴且长度为a，则点的纵坐标的绝对值是a；如这条垂线段平行于z轴且长度为a，则点的竖坐标的绝对值是a 。
二、常见特殊点的坐标特点1．坐标轴上点的坐标的特点①x轴上的点的纵坐标和竖坐标均为0，形如（a，0，0）；②y轴上的点的横坐标和竖坐标均为0，形如（0，a，0）；③z轴上的点的横坐标和纵坐标均为0，形如（0，0，a）。
2．坐标平面上点的坐标的特点①XOY平面上所有点的竖坐标是0，形如（a，b，0）；②YOZ平面上所有点的横坐标是0，形如（0，a，b）；③ZOX平面上所有点的纵坐标是0，形如（a，0，b）。
三、利用“坐标法”解（证）立体几何题的步骤第一步，建立坐标系通常取垂直且相交于同一点的三条直线作为三条坐标轴，它们的交点作为原点，并选取适当的单位长度；第二步，表示点的坐标将题中相关点（即在问题中出现的且要求的点）用坐标表示，这一步是解（证）题的关键；第三步，表示向量的坐标根据点的坐标可以求出所需要的向量的坐标，即用向量终点的坐标减去起点的坐标；第四步，求出问题的解将点或向量的坐标代入公式（如两向量的夹角公式等）；第五步，作出结论根据上一步所求得的结果，作出问题的正确结论。
(完整版)立体几何坐标法教师版
立体几何坐标法：一：一般的公式：1、空间角(1)（线线）设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.(2)（线面）设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)（面面）求二面角的大小(ⅰ)如图①，AB 、CD 是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(ⅱ)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．2、距离（1）点面距的求法：设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.（2）线面距、面面距均可转化为点面距（3）两异面直线的距离求法：d ＝|AB →·n ||n |.（AB 是异面直线上任意两点）二：如何选择建系：8、在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM EM ⊥；（Ⅱ）求CM 与平面CDE 所成的角．11年重庆 19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）如题（19）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB BC ⊥，AD CD =，CAD ∠=30︒．（Ⅰ）若AD =2，AB BC =2，求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）若二面角C AB D --为60︒，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点PEDCM AB在平面ABC 内的射影O 在AB 上。
高中数学空间向量与立体几何1.31.3.1空间直角坐标系课件
[跟进训练] 2．点 P(－3,2，－1)关于平面 Ozx 的对称点是________，关于 z 轴的对称点是________，关于 M(1,2,1)的对称点是________． (－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3) [点 P(－3,2，－1)关 于平面 Ozx 的对称点是(－3，－2，－1)，关于 z 轴的对称点是(3，－ 2，－1)．设点 P(－3,2，－1)关于 M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)．
且|EA|＝12. 所以D→E＝i＋12j＋0k，所以 E 点的坐标为1，12，0.
同理 B 点和 B1 点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)， 又因为 F 是 BB1 的中点，故 F 点坐标为1，1，12. 同理可得 G 点坐标为1，12，12.
类型 2 求对称点的坐标 【例 2】 在空间直角坐标系中，点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴的对称点的坐标； (2)求点 P 关于 Oxy 平面的对称点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
间中点的坐标和向量的坐标．(重 数学运算的核心 知识点2
(1)如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空 间中的位置？
(2)我们知道，在直线上建立数轴后，就可以 用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建 立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数 来刻画点在平面内的位置．那么，怎样才能刻画 空间中点的位置呢？
(3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点．由中点 坐标公式，可得 x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－ 4)－4＝－12，
所以 P3(6，－3，－12)．
1．点 P(x，y，z)关于坐标轴，坐标平面对称的点 P′的坐标与点 P 的坐标有什么关系？
立体几何建坐标系
立体几何建坐标系全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：立体几何建坐标系是描述和研究立体图形的重要工具之一。
在三维空间中，我们通常使用三维直角坐标系来描述立体图形的位置和形状。
这种坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，分别是x轴、y轴和z 轴，它们分别对应三维空间中的长度、宽度和高度。
在这个坐标系中，每个点都可以通过三个坐标值来表示，分别表示点在x轴、y轴和z轴上的位置。
用立体几何建坐标系描述一个物体时，首先需要确定一个原点，该原点是坐标轴的交点，通常我们取它为立体图形的重心或者其特定的某一个点。
然后，可以通过在坐标轴上确定一个单位长度来建立坐标系的比例尺。
接下来，可以通过测量物体在x、y、z三个方向上的长度、宽度和高度，来确定物体各个点的坐标值，从而描述整个物体的形状和位置。
利用立体几何建坐标系可以方便地计算立体图形的体积、表面积、中心质心等属性。
通过将三维立体图形分解成一系列的立方体、长方体或圆柱体等基本的几何图形，可以利用数学方法求解各部分的体积，并将它们相加得到整个立体图形的体积。
而对于复杂的立体图形，可以将其分解成多个简单的几何图形，再逐一计算其属性，最后综合得出结果。
这样的方法虽然有时会比较繁琐，但是却是一种较为准确和可靠的计算方式。
立体几何建坐标系不仅可以用于描述静态的立体图形，还可以用于描述立体图形的运动和变形。
通过不断变化物体各个点的坐标值，可以描述其在三维空间中的移动、旋转、缩放等动作。
通过改变一个立方体各个顶点的坐标值，可以实现它在空间中的旋转或者平移。
通过计算不同时间点上各个点的坐标值，可以还原出整个立体图形的运动轨迹，从而研究它的运动规律。
利用立体几何建坐标系还可以进行三维坐标系下的几何投影。
在三维空间中，物体的形状对应着它在每个坐标轴的投影，在三维坐标系下可以进行正投影、侧视投影等操作，将三维空间中的立体图形映射到二维平面上，便于我们观察和研究。
这种投影方法在建筑设计、工程制图等领域中有着广泛的应用。
立体几何-空间向量及其坐标运算复习
向量混合积与向量外积的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总结词
向量的混合积和外积在解决实际问题中 具有广泛的应用。
VS
详细描述
向量的混合积和外积在解决实际问题中具 有广泛的应用。例如，在物理学中，混合 积可以用来计算力矩和磁场的强度，而外 积可以用来计算速度和加速度的方向。此 外，在工程学和计算机图形学中，混合积 和外积也常被用于解决各种实际问题，如 机械设计、流体动力学和计算机动画等。
overset{longrightarrow}{a} cdot (overset{longrightarrow}{b} times
空间向量的模与向量的外积之间的关系
总结词
空间向量的模等于其外积的绝对值。
详细描述
根据向量模的定义和外积的几何意义，我们 知道向量$overset{longrightarrow}{a}$的 模等于其外积$overset{longrightarrow}{a} times overset{longrightarrow}{b}$的绝 对值，即$|overset{longrightarrow}{a}| = |overset{longrightarrow}{a} times overset{longrightarrow}{b}|$。
向量的向量积
两个向量的向量积是一个向量，其模等于两个给定向量 构成的平行四边形的面积除以两向量的夹角的正弦值， 例如$overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的模为 $|overset{longrightarrow}{AB}| times |overset{longrightarrow}{BC}| times sin(120^circ) = 14 times 3 times frac{sqrt{3}}{2} = 63sqrt{3}$。
通用版2022届高考数学一轮总复习第八章立体几何第6讲空间坐标系与空间向量课件
题组一 走出误区 1.(多选题)下列结论中正确的是( ) A.空间中任意两个非零向量 a，b 共面 B.对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，则 a＝c C.若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A ＝0 D.若 a·b<0，则 a，b 是钝角 答案：AC
题组二 走进教材
A.－2
解析：由球 O 的半径为 2，A，B 是球面上的两点， 且 AB＝2 3，可得∠AOB＝23π， O→A·O→B＝2×2×－12＝－2，|O→A＋O→B|＝2， P→A·P→B＝(O→A－O→P)·(O→B－O→P)＝O→A·O→B－(O→A＋O→B)·O→P＋ O→P2＝－2－|O→A＋O→B|·|O→P|cos θ＋4＝2－4cos θ∈[－2,6]，故选
图 8-6-5 当A→1C＝2A→1P时，A→1P＝－12， 23，－12， D→P＝D→A1＋A→1P＝12， 23，12，而D→B1＝(1， 3，1)，
∴D→P＝12D→B1， ∴B1，P，D 三点共线，A 正确； 令A→P＝A→A1＋A→1P＝A→A1＋λA→1C＝(－λ， 3λ，1－λ). 当A→P⊥A→1C时，A→P·A→1C＝5λ－1＝0，∴λ＝15， ∴A→P·D→1P＝－15， 53，45·45， 53，－15＝－15≠0， ∴A→P与D→1P不垂直，B 错误；
∴AB1 与 BC1 所成的角是∠MNP 或其补角.
∵AB＝2，BC＝CC1＝1，
∴MN＝12AB1＝
25，NP＝12BC1＝
2 2.
取 BC 的中点 Q，连接 PQ，MQ，则可知△PQM 为直角三
角形，且 PQ＝1，MQ＝12AC，
在△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋
高二新学案立体几何如何建系找坐标
B 1C 1BCDAD 1A 1EFEADBCP空间立体，寻求建系的方法，学会找坐标 一、标准化的正方体，长方体，四棱锥问题1.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，建立适当的坐标系，并表示图中所有点的坐标。
解;以A 为坐标原点.以AB ，AD ，AA 1所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则ABCD是直角梯形，90=∠=∠BAD ABC ，2.如图，四边形ABCD SA 平面⊥，1===BC AB SA ，21=AD ，SC 中点是P ，建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。
解;以A 为坐标原点.以AD ，AB ，AS 所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则3.在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE= 21AD=1，建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。
解;以A 为坐标原点.以AB ，AD ，AF 所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则4：如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，PA ⊥底面ABCD，6,3PA AB AD ===，点E 为棱PB 的中点。
建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。
解;以A 为坐标原点.以AB ，AD ，AP 所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则5..如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB//CD,∠DAB=90°,PA=AD=DC=1,AB=2,M 为PB 的中点. 建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。
解;以A 为坐标原点.以AD ，AB ，AP 所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则6.多面体EDABC 中,AD ⊥平面ABC , AC ⊥ＢＣ，,ＡＤ＝21ＣＥ＝１，ＡＣ＝１.BC=2，M 为BE 中点.，建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。
空间几何体建立空间直角坐标系技巧
空间几何体建立空间直角坐标系技巧空间几何体建立空间直角坐标系技巧在空间几何中，建立空间直角坐标系是非常重要的一步。
它能够帮助我们更清晰的看到空间中的几何体，更好地理解空间几何的概念。
本文将探讨如何建立一个空间直角坐标系。
一、基本概念在开始建立坐标系之前，我们需要先了解一些基本概念。
在空间几何中，我们通常使用三个数作为一个点的坐标，其中第一个数表示点在x轴上的位置，第二个数表示点在y轴上的位置，第三个数表示点在z轴上的位置。
我们将这三个数分别称为点的x坐标、y坐标和z坐标，用一个有序三元组(x, y, z)表示。
有了这些基础知识，我们就可以开始建立坐标系了。
二、建立坐标系的基本步骤建立坐标系的主要步骤如下：1.确定坐标轴首先，确定一个点作为坐标系原点。
然后，确定x轴、y轴和z轴的方向。
x轴通常取与yoz平面交点在y轴正半轴上，y轴取与xoz平面交点在x轴正半轴上，z轴取与xy平面交点在x轴和y轴所在平面第一象限中。
2.标出单位长度在确定坐标轴后，需要在每个方向上标出单位长度。
在三维空间中，单位长度可以用一个“1”长度的线段表示，但实际上，我们需要画出更多的线段以便表示更大的距离。
因此，需要选择一个适当的比例尺，使得在较小的范围内可以表示出较大的距离。
3.绘制坐标平面接下来，我们需要在每个坐标轴上绘制坐标平面。
x轴和y轴的交点是坐标平面xy，y轴和z轴的交点是坐标平面yz，x轴和z轴的交点是坐标平面xz。
在这些坐标平面上，我们可以确定几何体各点的坐标。
4.确定坐标最后，根据需要，确定空间几何体的坐标。
将每个点的坐标写成一个有序三元组(x, y, z)，表示该点在x轴、y轴和z轴上的位置。
在确定每个点的坐标后，我们可以方便地绘制几何体，并进行各种运算。
三、小结本文介绍了建立空间直角坐标系的基本步骤。
通过这些步骤，可以方便地确定空间几何体的坐标，并进行各种运算。
建立坐标系的过程需要认真细致，希望通过本文的介绍，能够对读者有所帮助。
高中数学中的立体坐标系
高中数学中的立体坐标系在高中数学中，我们学习了平面直角坐标系，该坐标系由两条相互垂直的坐标轴（x轴和y轴）构成。
而在立体几何中，为了描述和定位空间中的点，我们需要引入立体坐标系。
一、三维坐标系的引入在平面直角坐标系中，我们通过两个数（x, y）可以确定一个平面上的点。
而在立体几何中，我们需要三个数（x, y, z）来确定空间中的点。
这三个数分别对应空间中的三个坐标轴（x轴、y轴和z轴）。
二、立体坐标系的表示方法立体坐标系可以使用一个有序数组来表示一个点的位置。
数组中的三个数按照规定的顺序分别代表该点在x轴、y轴和z轴的坐标值。
例如，一个点P在立体坐标系中的坐标表示为（x, y, z）。
三、立体坐标系的性质1. 坐标轴的性质：在立体坐标系中，x轴、y轴和z轴两两垂直，并且它们的交点称为原点O，其坐标表示为（0, 0, 0）。
2. 坐标轴的方向：在立体坐标系中，x轴向右为正方向，y轴向上为正方向，z轴朝向观察者为正方向。
3. 轴对称性：立体坐标系中的任意一个点P关于坐标轴的投影点都具有轴对称性。
例如，点P关于x轴的投影点为P'，则有P的x坐标等于P'的x坐标，而y坐标和z坐标保持不变。
四、立体坐标系中的图形表示在立体坐标系中，我们可以表示多种图形，包括点、直线、平面以及曲面等。
1. 点的表示：点在立体坐标系中由一个有序数组表示，例如点P的坐标表示为（x, y, z）。
2. 直线的表示：在立体坐标系中，直线可以由两个点的坐标表示。
例如，直线L通过点A（x1, y1, z1）和点B（x2, y2, z2），可以表示为直线AB。
3. 平面的表示：在立体坐标系中，平面可以由一个点和一个法向量表示。
例如，平面P通过点A（x0, y0, z0）和法向量n（a, b, c），可以表示为平面P: ax + by + cz = d。
4. 曲面的表示：在立体坐标系中，曲面可以通过方程或参数方程表示。
例如，球面S的方程可以表示为x² + y² + z² = r²，其中r为球的半径。
平面与立体几何的坐标表示
平面与立体几何的坐标表示坐标表示是数学中一种常见的表达方法，用来描述物体在空间中的位置和形状。
在平面几何和立体几何中，我们也可以使用坐标表示来方便地推导和计算。
一、平面几何的坐标表示在平面几何中，我们可以使用二维坐标系来表示点的位置。
二维坐标系由两个相互垂直的坐标轴组成，通常用x和y来表示。
以一个平面上的点A为例，我们可以用坐标(x, y)来表示其位置。
其中，x表示点A在x轴上的投影长度，y表示点A在y轴上的投影长度。
通过坐标(x, y)，我们可以唯一确定平面上的一个点。
对于平面几何中的直线、圆、多边形等图形，我们也可以通过坐标表示来进行研究和计算。
以直线为例，假设直线的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以通过坐标表示来计算直线的斜率、长度等信息，从而更好地理解和解决相关问题。
二、立体几何的坐标表示在立体几何中，我们可以使用三维坐标系来表示空间中点的位置。
三维坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，通常用x、y和z来表示。
以一个立体图形的顶点A为例，我们可以用坐标(x, y, z)来表示其位置。
其中，x表示点A在x轴上的投影长度，y表示点A在y轴上的投影长度，z表示点A在z轴上的投影长度。
通过坐标(x, y, z)，我们可以唯一确定空间中的一个点。
对于立体几何中的直线、平面、体积等图形，我们同样可以通过坐标表示来进行研究和计算。
以平面为例，假设平面上的三个点分别为A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)和C(x3, y3, z3)，我们可以通过坐标表示来计算平面的法向量、面积等信息，从而更好地理解和解决相关问题。
在实际应用中，坐标表示在工程、建筑、计算机图形学等领域起着重要的作用。
通过坐标表示，我们可以将复杂的几何问题转化为简单的代数计算，提高问题的求解效率和准确性。
总结：平面与立体几何的坐标表示是一种方便、有效的数学工具，在几何问题的研究和计算中起着重要作用。
空间向量与立体几何：第4讲空间坐标系及空间向量的坐标运算
空间坐标系及空间向量的坐标运算【基础知识】1．空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点O 为原点，建立三条两两垂直的数轴：x 轴，y 轴，z 轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴，y 轴，z 轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面．(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x 轴的正方向，食指指出y 轴的正方向时，中指指向z 轴的正方向．(3)空间一点M 的坐标用有序实数组(x ，y ，z )来表示，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．2．空间两点间的距离公式设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则||AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.【规律技巧】1.求向量的数量积的方法：①设向量a ，b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ；②若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算．2.求向量模的方法：①|a |＝a 2；②若a ＝(x ，y ，z )，则|a |＝x 2＋y 2＋z 2.3．空间向量的坐标运算（1）设i 、j 、k 为两两垂直的单位向量，如果OP xi y j zk =++，则(,,)x y z 叫做向量的坐标．（2）设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，那么①a ±b ＝121212(,,)x x y y z z ±±±．②a ·b ＝121212x x y y z z ++，③cos 〈a ，b④|a |＝a ·a，⑤λa ＝111(,,)x y z λλλ，⑥a ∥b ⇔121212,,x x y y z z λλλ===(λ∈R )，⑦a ⊥b ⇔1212120x x y y z z ++=.（3）设点M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)， 则12||(M M x =【针对训练】1、已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使得OE →⊥b (O 为原点)?【答案】（1）（2）在直线AB 上存在点E ⎝⎛⎭⎫－65，－145，25，使OE →⊥b. 2、在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4，7，6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为( )A ．(4，0，6)B ．(－4，7，－6)C ．(－4，0，－6)D ．(－4，7，0)3、在空间直角坐标系中的点(,,)P a b c ，有下列叙述：①点(,,)P a b c 关于横轴(x 轴)的对称点是1(,,)P a b c -；②点(,,)P a b c 关于yOz 坐标平面的对称点为2(,,)P a b c --；③点(,,)P a b c 关于纵轴(y 轴)的对称点是3(,,)P a b c -；④点(,,)P a b c 关于坐标原点的对称点为4(,,)P a b c ---．其中错误的叙述个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C4、已知(,5,21)A x x x --(1,2,2)B x x +-，当||AB 取最小值时，x 的值等于（ ）A B C ．19 D 【答案】A【巩固提升】1．在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直2．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－143 C.145D ．2 解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.答案 D3．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( )A ．(4，0，3)B ．(3，1，3)C ．(1，2，3)D ．(2，1，3) 答案 B4．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．答案 60°5、在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠【答案】D。
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4
.
2. 二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于
AB. 已知 AB=4，AC=6， BD=8， CD=2 17 ，则该二面角的大小为
.
3. 如图所示， 在棱长为 2 的正方体 ABCD— A1B1C1D1 中，O是底面 ABCD的中心， E、F 分别是 CC1 、
ABCD- A1B1C1D1 中， M、 N 分别是 C1 C、 B1C1
1
8、 如图所示， 已知直三棱柱 ABC— A1B1C1 中，△ ABC为等腰直角 三角形，∠ BAC=90°，且 AB=AA1， D、E、 F 分别为 B1 A、 C1C、 BC 的中点 . 求证：（1） DE∥平面 ABC；
AD的中点，那么异面直线 OE和 FD1 所成角的余弦值等于
.
4、图所示，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中， AB=BC=2，AA1=1，则 BC1 与平面 BB1D1D 所
成角的正弦值为
.
5. 在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中, M是 AB的中点 , 则 sin 〈 DB 1 , CM 〉的值等于
立体几何中的向量问题（Ⅰ）——平行与垂直
1. 设平面 的法向量为 （1，2，-2 ），平面 的法向量为 （ -2 ，-4 ，k），若 ∥ ，
则 k=
.
2. 已知直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u , 则 v· u=0，l 与 的关系
是
.
3. 向量 a =(-2,-3,1), b =(2,0,4), c=（ -4 ，-6 ，2），下列结论不正确的是
3
10、如图所示，已知长方体 ABCD—A1B1C1 D1 中， AB=BC=2， AA1=4， E 是棱 CC1 上的点，且 BE⊥ B1C. （ 1）求 CE的长； （ 2）求证： A1 C⊥平面 BED； （ 3）求 A1B 与平面 BDE所成角的正弦值 .
11 、如图所示， AF、DE分别是⊙ O、⊙O1 的直径， AD与两圆所在的平面均垂直，
上的点 , A1M=AN= 2 a , 则MN与平面 BB1C1C 的位置关系是
.
3
6. 已知正方体 ABCD- A1B1C1D1 中， M、 N 分别为 BB1 、C1 D1 的中点，建立适当的坐标 系，求平面 AMN的法向量 .
7. 如图所示，在正方体 的中点 . 求证： MN∥平面 A1BD.
.
6. 如图所示，在三棱柱 ABC— A1 B1C1 中， AA1⊥底面 ABC， AB=BC=AA1，∠ ABC=90°，
点 E、F 分别是棱 AB、 BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角是
.
7. 如图所示，已知正三棱柱 ABC— A1 B1C1 的所有棱长都相等， D 是 A1C1 的中点，则
（2） B1F⊥平面 AEF.
9、如图所示，四棱锥 P— ABCD中， PA⊥平面 ABCD， PB与底面所成 的 角 为 45 ° ， 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 ， ∠ ABC= ∠ BAD=90° , PA=BC= 1 AD.
2
(1) 求证：平面 PAC⊥平面 PCD； （ 2）在棱 PD上是否存在一点 E，使 CE∥平面 PAB？若存在， 请确定 E 点的位置； 若不存在，请说明理由 .
10、如图所示， 已知正方形 ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相 垂直， AB= 2 ， AF=1， M是线段 EF 的中点 . 求证： （ 1） AM∥平面 BDE； （ 2） AM⊥平面 BDF.
2
立体几何中的向量问题（Ⅱ）——空间角
1. 已知两平面的法向量分别为 m=（0，1，0），n=（0，1，1），则两平面所成的二面角为
直线 AD与平面 B1 DC所成角的正弦值为
.
8. 正四棱锥 S—ABCD中, O为顶点在底面上的射影 , P 为侧棱 SD的中点 , 且 SO=OD, 则直线 BC与 平面 PAC所成的角是 .
9、如图所示，已知点 P 在正方体 ABCD—A′B′ C′ D′的对角线 BD′上 , ∠ PDA=60°. (1) 求 DP与 CC′所成角的大小 ; (2) 求 DP与平面 AA′D′D 所成角的大小 .
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① a∥b ，b ⊥c
② a∥b ，a ⊥c
③ a∥c ，a ⊥b
④以上都不对
4. 已知 a =(1,1,1), b =(0,2,-1), c =ma +nb+(4,-4,1). 若 c 与 a 及 b 都垂直，则 m, n
的值分别为
.
5. 如图所示 , 在正方体 ABCD— A1B1C1 D1 中 , 棱长为 a, M, N分别为 A1B和 AC