(名师整理)人教版数学中考《圆的综合应用》专题复习精品教案

中考数学人教版专题复习：综合复习之圆的综合应用

考点 题型 分值

圆的综合应用 圆的有关概念和性质； 点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系及其判

定； 圆的切线的判定和性质； 弧长、扇形面积的计算，

圆锥的侧面展开图； 圆与相似三角形、三角函数的综合运用。

填空题、选择题和解

答题为主，也有阅读理解题，条件开放、结论开放探索题等新的题型。

6～12分

二、重难点提示

重点：掌握圆的基本性质、与圆有关的位置关系，圆中的计算问题。 难点：切线的性质和判定，圆与四边形、三角形的综合问题。 考点精讲

一、圆的基本性质

1. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等。

O

A

B

E 如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则AB ＝CD ，⋂

⋂=CD AB ；（2）若AB ＝CD （或⋂

⋂

=CD AB ）

，则∠AOB ＝∠COD 。 O

A

B

C

D

3. 同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角。

【核心归纳】

圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

垂径定理是圆的轴对称性的体现，弧、弦、圆心角之间的关系定理是圆的中心对称性质的体现。

二、与圆有关的位置关系 1. 点与圆位置关系：（1）点在圆内⇔d ＜r ；（2）点在圆上⇔d ＝r ；（3）点在圆外⇔d ＞r 。

O

P

r d

O

P

r d

O

P

r

d

2. 直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交⇔d ＜r ；（2）直线与圆相切⇔d ＝r ；（3）直线与圆相离⇔d ＞r 。

O r d

O r

d O r d

3. 圆与圆的位置关系：（1）两圆内含（R ＞r ）⇔d ＜R －r ；（2）两圆内切（R ＞r ）⇔d ＝R －r ；（3）两圆相交⇔R －r ＜d ＜R ＋r ；（4）两圆外切⇔d ＝R ＋r ；（5）两圆外离⇔d ＞R ＋r 。

O 2

r

O 1R O 2

r

O 1R O 2

r

O 1

R O 2

r

O 1

R O 2

r

O 1

R

【核心归纳】

1. 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

2. 切线的判定：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

4. 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上；相交两圆的连心线垂直且平分公共弦。

O 2O 1O 2

O 1O 2O 1

三、圆中的弧长和面积计算 1. 正多边形和圆

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。正多边形的每一个中心角的度数是360n

︒。

2. n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式：l ＝180

n R π。圆心角是n °的扇形面

积的计算公式是S

扇形＝

2

360

n r π；扇形面积的另一个计算公式：S 扇形＝12

lr 。

3. 圆锥的侧面展开图是以母线长为半径的扇形，圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面的周长，圆锥的表面积等于圆锥的侧面积加上圆锥的底面积。

P

A

O

【规律总结】

1. 正多边形的问题通常转化为等腰三角形和直角三角形的问题加以解决。如图所示，可构造两类直角三角形，Rt △A 1OC 和Rt △A 1OB 1。

O R B 1

A 1

B 2

A 2

B 3

A 3C r

2. 在同圆或等圆中，如果两个扇形的圆心角相等，那么它们的面积也相等。 易错点：圆锥侧面展开图扇形的半径与底面圆的半径一定不相等，它与底面圆的直径有可能相等。如图所示，在Rt △AOP 中，AP 是其侧面展开图扇形的半径，AO 是其底面圆的半径，根据直角三角形三边关系，这二者不可能相等。当∠APO ＝30°时，这个圆锥侧面展开图扇形的半径AP 等于它底面圆的直径2AO 。

P

A

O

典例精析

例题1在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC 交⊙O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延长交AC于G，PE ＝PF。小华得出3个结论：①GE＝GC；②AG＝GE；③OG∥BE。其中正确的是（）

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ①②③

思路分析：首先连接OE、CE，由OE＝OD，PE＝PF，易得∠OED＋∠PEF＝∠ODE ＋∠PFE，又由OD⊥BC，可得OE⊥PE，继而证得PE为⊙O的切线；又由BC是直径，可得CE⊥AB，由切线长定理可得GC＝GE，根据等角的余角相等，可得∠A ＝∠AEG，即AG＝GE；易证得OG是△ABC的中位线，则可得OG∥BE。

答案：连接OE、CE，∵OE＝OD，PE＝PF，∴∠OED＝∠ODE，∠PEF＝∠PFE，∵OD⊥BC，∴∠ODE＋∠OFD＝90°，∵∠OFD＝∠PFE，∴∠OED＋∠PEF＝90°，即OE⊥PE，∵点E在⊙O上，∴GE为⊙O的切线；点C在⊙O上，OC⊥GC，∴GC 为⊙O的切线，∴GC＝GE，故①正确；

∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴AC是⊙O 的切线，∴EG＝CG，∴∠GCE＝∠GEC，∵∠GCE＋∠A＝90°，∠GEC＋∠AEG＝90°，∴∠A＝∠AEG，∴AG＝EG，故②正确；

∵OC＝OB，AG＝CG，∴OG是△ABC的中位线，∴OG∥AB，故③正确；故选D。

技巧点拨：本题考查了切线的判定与性质、切线长定理、圆周角定理、三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质。本题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用。