考点15 三角恒等变换-高考全攻略之数学(文)考点一遍过

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三角恒等变换与解题技巧

三角恒等变换与解题技巧三角函数是数学中重要的一部分，与几何、物理等学科密切相关。

在解三角函数的问题时，常常需要运用恒等变换来简化计算或将复杂的式子转化为简单的形式。

恒等变换是指在等式两边同时做相同的运算而不改变等式的值。

掌握常用的三角恒等变换并灵活运用是解题的关键。

本文将介绍一些常用的三角恒等变换，并分享一些解题技巧。

一、正弦、余弦、正切的恒等变换1. 余切的逆关系根据余切的定义，我们知道cot(A)等于tan(A)的倒数，即cot(A) = 1 / tan(A)。

这是一个重要的恒等变换，在简化复杂式子、证明等题目中经常会用到。

2. 三角函数的平方和恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1这是三角函数最基本的恒等式之一，也是勾股定理的三角形形式。

该恒等式可以用来将一个三角函数转化为其他三角函数的形式。

3. 正切的平方和恒等式1 + tan^2(A) = sec^2(A)这是正切函数的平方和恒等式，也是解析几何中的一条重要公式。

运用该恒等式可以将一个正切函数的式子转化为其他三角函数的式子。

4. 余切的平方和恒等式1 + cot^2(A) = csc^2(A)这是余切函数的平方和恒等式，与正切的平方和恒等式相对应。

在解题时运用该恒等式可以将一个余切函数的式子转化为其他三角函数的式子。

二、两角和与差的恒等变换1. 正弦的两角和与差sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)这是正弦函数的两角和与差公式，可以通过将两个三角函数用另外两个三角函数来表示。

在解题时，可以通过将复杂的三角函数式子转化为正弦函数的形式来简化计算。

2. 余弦的两角和与差cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)这是余弦函数的两角和与差公式，与正弦的两角和与差公式相似。

在解题时，也可以通过转化为余弦函数的形式来简化计算。

三角恒等变换公式记忆口诀

三角恒等变换公式记忆口诀好的，以下是为您生成的关于“三角恒等变换公式记忆口诀”的文章：咱从小学一路到高中，数学里这三角恒等变换公式可真是让人又爱又恨呐！这玩意儿看着复杂，其实只要掌握了巧妙的记忆口诀，就能轻松应对。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个叫小李的同学，那表情简直比苦瓜还苦，一个劲儿地跟我抱怨：“老师，这公式也太多太难记啦！”我笑着跟他说：“别着急，咱们有办法！”先来说说这和角公式，sin(α+β)=sinαcosβ + cosαsinβ ，cos(α+β)=cosαcosβ - sinαsinβ 。

这俩公式啊，咱们可以这样记：“正弦和角像拼图，正弦余弦要交叉；余弦和角分清楚，同号相乘再相减。

”你看，是不是有点意思啦？还有那差角公式，sin(α-β)=sinαcosβ - cosαsinβ ，cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ 。

咱们就记：“正弦差角与和角，符号不同要记牢；余弦差角反过来，符号变化别弄混。

”再说说二倍角公式，sin2α = 2sinαcosα ，cos2α = cos²α - sin²α =2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α ，tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) 。

这个口诀可以是：“二倍角，要记清，正弦二倍成双对，余弦二倍有三项，正切二倍分子同，分母一加再一减。

”就拿做题来说吧，有一次考试，有一道题是让化简cos(α + 60°) -sin(α + 30°) 。

好多同学一看就懵了，可咱要是记住了这些口诀，心里就有底啦。

先把公式展开，cosαcos60° - sinαsin60° - (sinαcos30° +cosαsin30°) ，然后代入特殊角的值，再化简，答案就出来啦。

还有啊，平时多做几道相关的练习题，加深对这些公式的理解和记忆。

高三复习提纲——三角恒等变换word资料8页

高三复习提纲——《三角恒等变换》三角恒等变换是三角函数的重要内容，搞清公式间的关系是学习的关键．对于和、差角的三角函数公式，关键是弄清楚角的变化，从整体上把握公式，既要学会正向运用，也要学会逆向运用；对于倍、半角公式，可从α与α2之间的关系出发思考，通过这种关系的思考而建立函数式之间的联系．辅助角公式则是应用较为广泛的公式，讨论三角函数的最值、周期、单调性等性质时，常使用此公式变换．专题一三角函数式的化简1．三角函数式化简的基本原则：(1)“切”化“弦”；(2)异名化同名；(3)异角化同角；(4)高次降幂；(5)分式通分；(6)无理化有理；(7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．2．三角函数式化简的基本技巧．(1)sinα，cosα→凑倍角公式．(2)1±cosα→升幂公式．(3)1±sinα化为1±cos(π2±α)，再升幂或化为(sinα2±cosα2)2.(4)a sinα＋b cosα→辅助角公式a sinα＋b cosα＝a2＋b2·sin(α＋φ)，其中tanφ＝b a或a sinα＋b cosα＝a2＋b2·cos(α－φ)，其中tanφ＝a b.[范例解析]1、在△ABC中，若sin A sin B＝cos2C2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形2、cos 2π7cos4π7cos8π7＝________.3、已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α＝()A.43 B.34C．－34D．－434、化简三角函数式：2cos8＋2－2sin8＋1.5、若3π2<α<2π，化简：12＋1212＋12cos2α.专题二三角函数的求值三角函数的求值有三种类型：(1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论；(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调性求得角．6、化简：(tan10°－)·sin40°= __________.7、000000sin6cos15sin9cos6sin15sin9+-的值为（）三角恒等变换A 、2+B 、22+ C 、2- D 、22- 8、已知α、β、γ∈(0，2π)，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α的值为________． 9、如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值； (2)求|BC |2的值.10、若cos(π4＋x )＝35，1712π<x <74π，求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．专题三三角恒等式的证明1．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件的恒等式证明和条件恒等式证明． (1)不附加条件的恒等式证明．就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是三角变换的重要思想之一．证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡．(2)条件恒等式的证明．这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法．2．证明三角恒等式常用的方法．(1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明过程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”．(2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子． (3)把要证的等式进行等价变形． (4)作差法，证明其差为0.11、求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x.12、求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ.专题四讨论三角函数的性质分析、研究三角函数的图像和性质是三角函数的重要内容，也是高考重点考查的内容之一。

高考数学简单的三角恒等变换

高考数学简单的三角恒等变换2021高考各科复习资料2021年高三开学差不多有一段时刻了，高三的同学们是不是差不多投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大伙儿系列预备了2021年高考复习，2021年高考一轮复习，2021年高考二轮复习，2021年高考三轮复习都将连续系统的为大伙儿推出。

化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来;求值，要注意象限角的范畴、三角函数值的符号之间联系与阻碍，较难的问题需要依照上三角函数值进一步缩小角的范畴。

证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。

三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即(1)找差异：角、名、形的差别;(2)建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间能够用哪个公式联系起来;(3)变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式，cos α= cosβcos(α-β)- sinβsin(α-β)，1= sin2α+cos2α，= =tan(450+30 0)等。

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。

什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。

要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。

能够写在后黑板的“积存专栏”上每日一换,能够在每天课前的3分钟让学生轮番讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。

如此,一年就可记300多条成语、30 0多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财宝。

这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会为所欲为地“提取”出来,使文章增色添辉。

唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。

三角恒等变换知识点总结详解

三角恒等变换知识点总结详解三角恒等变换是指一些与三角函数相关的恒等式或等式组，通过这些等式可以将一个三角函数表达式转化为另一个三角函数表达式，或者简化一个复杂的三角函数表达式。

这些恒等变换在解决三角函数相关问题时非常有用。

下面是对一些常见的三角恒等变换进行总结和详解。

1.正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的定义：对于任意实数x，sin(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。

- 正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，即正弦函数以2π为周期。

- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数是奇函数。

2.余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的定义：对于任意实数x，cos(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。

- 余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即余弦函数以2π为周期。

- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数是偶函数。

3.正切函数的恒等变换：- 正切函数的定义：对于任意实数x（除了例如π/2 + kπ，其中k 为整数），tan(x) = y，其中y为整个实数轴上的值。

- 正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，即正切函数以π为周期。

- 正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数是奇函数。

4.三角函数的平方和差公式：- sin²(x) + cos²(x) = 1，即正弦函数的平方与余弦函数的平方和等于1- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，即正弦函数的和的正弦等于两个正弦函数的乘积和。

- cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，即余弦函数的和的余弦等于两个余弦函数的乘积差。

- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，即正弦函数的差的正弦等于两个正弦函数的乘积差。

三角恒等变换知识点总结详解

三角恒等变换知识点总结详解三角恒等变换是数学中一个非常重要的概念，它涉及到三角函数之间的相互关系。

在三角恒等变换中，通过对三角函数的特性、性质和运算进行分析和推导，可以得到一系列具有等价关系的三角函数等式。

这些等式在解决各种三角函数问题时起到了重要的作用。

1.互余关系：在一个直角三角形中，正弦函数和余弦函数、正切函数和余切函数、正割函数和余割函数之间存在互余关系。

例如，正弦函数和余弦函数之间的互余关系可以表示为：sin(x) = cos(π/2 - x)，cos(x) = sin(π/2- x)。

通过这种互余关系，可以将一个三角函数的计算问题转化为另一个三角函数的计算问题，从而更加方便地求解。

2.双替换关系：在三角恒等变换中，有些等式可以通过同时替换角度的正弦函数和余弦函数、正切函数和余切函数、正割函数和余割函数进行变换。

例如，sin(x) = cos(π/2 - x)，cos(x) = sin(π/2 - x)就是一个双替换关系。

通过双替换关系，可以将三角函数等式从一个角度扩展到整个角度范围内。

3.平方和差关系：三角恒等变换中的平方和差关系利用了三角函数的平方和差公式。

根据平方和差公式，可以将一个三角函数的平方表示为其他三个三角函数的和或差。

例如，sin²(x) + cos²(x) = 1就是一个平方和关系。

通过平方和差关系，可以将一个三角函数的计算问题转化为其他三角函数的计算问题，从而更加方便地求解。

4.倍角关系：在三角恒等变换中，倍角关系是指利用三角函数的倍角公式将一个三角函数的角度扩展为原来的两倍。

例如，sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)。

通过倍角关系，可以将一个角度的问题扩展为两倍角度的问题，从而更加方便地求解。

5.三角和差关系：三角恒等变换中的三角和差关系利用了三角函数的和差公式。

三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结

三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。

在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。

本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。

一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。

通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。

2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。

3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。

二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。

1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。

三角恒等变换知识点梳理及经典高考例题及解析

三角恒等变换【考纲说明】1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2、能运用上述公式进行简单的三角函数化简、求值和恒等式证明.3、本部分在高考中约占5-10分.【趣味链接】1、 cos(α＋β)有的时候蛮无聊的，把人家好好的α和β硬是弄得分居，结果上去调停的还是她；sin(α＋β)也会做差不多的事，但他比较懒,不变号.2、 tan 很寂寞很寂寞，于是数学家看不下去了，创造了cot 陪陪他.【知识梳理】1、两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。

2、二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

3、半角公式2cos 12sin αα-±= 2c o s12c o s αα+±= αααcos 1cos 12tan+-±= （αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=） 4、三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=. αα2cos 1sin 22-= αα2cos 1cos 22+= （2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+= [])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin和差化积公式： ①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-5、三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

三角恒等变换知识点及题型归纳总结

三角恒等变换知识点及题型归纳总结(共8页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-三角恒等变换知识点及题型归纳总结知识点精讲常用三角恒等变形公式和角公式sin()sin cos sin cos αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-差角公式sin()sin cos sin cos αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+倍角公式sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===半角公式sin 22αα== sin 1cos tan.21cos sin a αααα-==+辅助角公式sin cos ),tan (0),ba b ab aαααϕϕ+=+=≠角ϕ的终边过点(,)a b ，特殊地，若sin cos a b αα+=或tan .b aα= 常用的几个公式sin cos );4πααα±=±sin 2sin();3πααα±=±cos 2sin();6πααα±=±题型归纳总结题型1 两角和与差公式的证明题型归纳及思路提示思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例证明(1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ++=-(2)用C αβ+证明:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ++=+ (3)用(1)(2)证明tan tan :tan().1tan tan T αβαβαβαβ+++=-解析(1)证法一：如图4－32（a ）所示，设角,αβ-的终边交单位圆于12(cos .sin ),(cos(),sin()),P P ααββ--,由余弦定理得2221212122()PP OP OP OP OP cos αβ=+-⋅+22[cos cos()][sin sin()]22cos()αβαβαβ⇒--+--=-+22(cos cos sin sin )22cos()αβαβαβ⇒--=-+:cos()cos cos sin sin .C αβαβαβαβ+⇒+=-证法二：利用两点间的距离公式.如图4－32（b ）所示12(1,0),(cos ,sin ),(cos(),sin(),A P P αααβαβ++3(cos(),sin()),P ββ--由231;OAP OP P ∆≅∆得，213.AP PP =故2222(1cos())(0sin())[cos()cos ][sin()sin ],αβαββαβα-++-+=--+--即222222[1cos()]sin ()cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin αβαββααββααβ-+++=+-+++化简得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-(2)sin()[()][()]22cos cos ππαβαβαβ+=+-=+-cos()sin sin()22cos ππαβαβ=---sin sin cos cos αβαβ=+:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ+⇒+=+ sin(sin cos cos sin (3)tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβ+-tan tan :tan().1tan tan T αβαβαβαβ++⇒+=- 变式１证明：(1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ--=+ (2):sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ--=- tan tan (3):tan().1tan tan T αβαβαβαβ---=+题型2 化简求值思路提示三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角. 一、化同角同函例已知3cos()45x π+=则2sin 22sin ()1tan x xx -=-7.25A 12.25B 11.25C 18.25D 解析解法一：化简所求式22sin 22sin 2sin cos 2sin sin 1tan 1cos x x x x xx x x--=--cos 2sin (cos sin )2sin cos .cos sin xx x x x x x x=-=-由3cos()45x π+=得3,225x x -=即cos sin 5x x -=两边平方得 2218cos sin 2sin cos ,25x x x x +-=即1812sin cos .25x x -= 所以72sin cos .25x x =故选Ａ. 解法二：化简所求式2sin 22sin 2sin cos sin 21tan x xx x xx-==-27sin[2()]cos 2()12cos ().424425x x x ππππ=+-=-+=-+=故选Ａ. 评注解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构造法较为简单. 变式1 若13cos(),cos(),55αβαβ+=-=则tan tan _______.αβ=变式2 若4cos 5α=-，α是第三象限角，则1tan2()1tan 2αα+=- 1.2A - 1.2B .2C .2D -变式3 （2012江西理４）若1tan 4tan θθ+=，则sin 2().θ= 1.5A 1.4B 1.3C 1.2D 二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公式.常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，诱导等. 1.和、差角变换如α可变为()αββ+-；2α可变为()()αβαβ++-；2αβ-可变为()αβα-+ 例若330,cos ,sin(),255παβπααβ<<<<=+=-则cos β的值为（）. .1A - .1B -或725 24.25C - 24.25D ±分析建立未知角与已知角的联系，().βαβα=+-解析解法一：cos cos[()]cos()cos sin()sin .βαβααβααβα=+-=+++因为3(,)22ππαβ+∈所以，则 4cos(),(0,),sin 0,52παβαα+=-∈>4sin 5,α=433424cos ()().555525β=-⨯+-⨯=-解法二：因为(,)2πβπ∈，所示cos (1,0).β∈-故选Ｃ.评注利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：();();()()βαβαβααβαβαγβγ=+-=--+=-++等.解题时，要注意根据已知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号. 变式1已知sin ),(0,)2πααβαβ=-=∈则().β=.3B π .4C π .6D π变式2 若3335(,),(0,),cos(),sin()44445413πππππαβαβ∈∈-=+=，则 sin()______.αβ+=二、辅助角公式变换例已知cos()sin 65παα-+=，则7sin()6πα+的值为（）..5A -.5B 4.5C - 4.5D分析将已知式化简，找到与未知式的联系. 解析由题意，cos cossin sinsin 66ππααα++=3cos sin )2265πααα⇒+=+=，得4sin().65πα+= 所以74sin()sin[()]sin().6665πππαπαα+=++=-+=-故选Ｃ. 变式1设6sin14cos14,sin16cos16,,2b c α=+=+=则a,b,c 的大小关系为（）. <b<c <c<a <c<b <a<c变式2设sin15cos15,sin17cos17,b α=+=+则下列各式中正确的是（）.22.2a b A a b +<< 22.2a b B a b +<<5.12A π22.2a b C b a +<< 22.2a b D b a +<<3.倍角，降幂（次）变换例（2012大纲全国理7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=则cos 2().α=.A .B - C D分析利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解.解析解法一：；因为sin cos αα+=所以21(sin cos )3αα+=得22sin cos 3αα=-，即2sin 23α=-.又因为α为第二象限角且sin cos 0αα+=>，则3(2,2)().24k k k Z ππαππ∈++∈所以32(4,4)().2k k k Z παπππ∈++∈故2α为第三象限角，cos 2α==.故选Ａ.解法二：由α为第二象限角，得cos 0,sin 0αα<>，cos sin 0,αα-<且2(cos sin )12sin cos αααα-=-，又sin cos αα+=，则 21(sin cos )12sin cos 3αααα+=+=22sin cos 3αα⇒=-，得25(cos sin )3αα-=，所以cos sin 3αα-=-22cos2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα=-=+-(==故选Ａ. 变式1 若1sin()63πα-=则2cos()().3πα+= 7.9A - 1.3B - 1.3C 7.9D变式2设α为锐角，若4cos()65πα+=，则7sin(2)12πα+的值省为 .变式3已知312sin(2),sin 513αββ-==-且(,),(,0),22ππαπβ∈∈-求sin α值. 变式4若31sin ,(,),tan()522πααππβ=∈-=，则tan(2)().αβ-= 24.7A - 7.24B - 24.7C 7.24D 变式5已知1sin cos 2αα=+，且(0.)2πα∈，则cos 2_____.sin()4απα=-4.诱导变换例若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )().f x =.3cos 2A x - .3sin 2B x - .3cos 2C x + .3sin 2D x +分析化同函(cos )(sin())f x f =以便利用已知条件. 解析解法一：(cos )[sin()]3cos 2()3cos(2)3cos 2.22f x f x x x x πππ=+=-+=-+=+故选Ｃ.解法二：22(sin )3cos23(12sin )2sin 2f x x x x =-=--=+则2()22,[1,1]f x x x =+∈-故22(cos )2cos 22cos 13cos2 3.f x x x x =+=-+=+故选Ｃ.变式1α是第二象限角，4tan(2)3πα+=-，则tan _______.α= 变式2若5sin(),(0,)4132ππαα-=∈，则cos 2_____.cos()4απα=+最有效训练题1.已知函数()sin ,f x x x =设(),(),()763a fb fc f πππ===，则,,a b c 的大小关系为（）.<b<c B. c<a<b <a<c <c<a2.若1sin()34πα+=，则cos(2)().3πα-= 1.4B - 7.8C - 7.8D3.若1tan 2α=，则cos(2)().2πα+= 4.5A 4.5B - 1.2C 1.2D - 4.已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,)αβπ∈，则2().αβ-= .4A π 3.4B π- 5.,44C ππ 35.,,444D πππ-1.4A5.函数sin()(0)y x πϕϕ=+>的部分图像如图4－33所示，设Ｐ是图像的最高点，Ａ，Ｂ是图像与x 轴的交点，则tan ().APB ∠=Ａ.10 Ｂ.8 8.7C 4.7D6.函数sin 3cos 4x y x -=+的最大值是（）.1.2A -1226.15B -- 4.3C - 1226.15D -+ 7.已知tan()34πθ+=，则2sin 22cos ______.θθ-=8.已知,x y 满足1sin sin 31cos cos 5x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则cos()______.x y += 9.23tan101________.(4cos 102)sin10+=- 10.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα<<<，则tan 2____,____.αβ== 11.已知函数2()2cos 3sin .2x f x x =- （1）求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若α是第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值.12.已知三点3(3,0),(0,3),(cos ,sin ),(,).22A B C ππααα∈（1）若AC BC =，求角α；（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin 21tan ααα++的值.。

高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧

高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，而三角恒等变换则是在解决三角函数方程和简化三角函数式子时经常用到的重要工具。

本文将总结常用的三角恒等变换公式，并介绍其应用技巧。

一、基本恒等变换公式1. 余弦函数的基本恒等变换(1) 余弦函数的平方形式：cos²θ + sin²θ = 1(2) 二倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ(3) 余弦函数的和差角公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ - sinθsinφ2. 正弦函数的基本恒等变换(1) 正弦函数的平方形式：sin²θ + cos²θ = 1(2) 二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ(3) 正弦函数的和差角公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ3. 正切函数的基本恒等变换(1) 正切函数的平方形式：tan²θ + 1 = sec²θ1 + cot²θ = cosec²θ(2) 二倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)二、常用恒等变换公式1. 互余公式：sin(π/2 - θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθtan(π/2 - θ) = cotθ2. 余角公式：sin(π - θ) = sinθcos(π - θ) = -cosθtan(π - θ) = -tanθ3. 倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)4. 积化和差公式：sinθsinφ = (1/2)[cos(θ - φ) - cos(θ + φ)]cosθcosφ = (1/2)[cos(θ - φ) + cos(θ + φ)]sinθcosφ = (1/2)[sin(θ + φ) + sin(θ - φ)]三、恒等变换的应用技巧1. 解三角函数方程：利用恒等变换可以将复杂的三角函数方程转化为简单的等式，从而更容易求解。

高考数学热点：三角恒等变换

高考数学热点：简单的三角恒等变换【考点梳理】1、两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−−=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=− 2、二倍角公式sin 22sin cos ααα= 22cos2cos sin ααα=− 2cos22cos 1αα=−2cos212sin αα=− 22tan tan 21tan ααα=−3、辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 4、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα−=【典型题型讲解】考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα−=（）A ．-1B ．0C ．12D【答案】B 【详解】∵πsin (,π)22αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α−== 故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）ABC．D．【答案】B 【详解】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 422252510πααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=，故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论. 【变式训练】 1.已知5π1tan()45−=α，则tan =α__________．【答案】32【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα−−⎛⎫−=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 2.（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫−=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________. 【答案】17【详解】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫−=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以cos α=，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα−+−=+−===⎡⎤⎣⎦+++⨯又故答案为：173.（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=，即：()()sin cos 0αβαβ−+−=, 所以()tan 1αβ−=−, 故选：C 4.已知sin α=()cos αβ−=304πα<<，304πβ<<，则sin β=（）A．35BC．35D．35【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=−−，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ−，分别在()sin 5αβ−=和5−两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果. 【详解】2sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴−<−<，()sin 5αβ∴−=±.当()sin 5αβ−=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=−−=−−−57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ−=sin β.综上所述：sin β= 故选：A .5.已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（）A ．13B ．13−C ．23D ．23−【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒−=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒−︒−=︒−⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒−=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭，则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒−=−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒−=︒−−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒−︒−⎣⎦ ()1cos 303α=︒−=，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若2sin 3α=，则cos2α=___________. 【答案】19【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2221cos212sin 1239αα⎛⎫=−=−⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：19.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________．答案】18−【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8−−+−−+===−ααααααααα．故答案为：18−例3.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则tan α=（）ABCD【答案】A 【详解】cos tan 22sin ααα=−2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===−−，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=−−，解得1sin 4α=， cos 4α∴=sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】．B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=，故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知 1sin cos 5αα+=，则()2tan 12sin sin 2πααα++=+（）A ．17524−B ．17524C ．2524−D ．2524【答案】．C【详解】由题知1sin cos 5αα+=，有242sin cos 25αα=−，所以()2tan 12sin sin 2πααα+++()tan 12sin sin cos αααα+=+()sin cos 1cos 2sin sin cos αααααα+=⨯+1252sin cos 24αα==−，故选：C ．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin πα43⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭所以225sin 2cos 2cos 212sin 122449πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−=−⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 故答案为：594.（2022·广东肇庆·二模）若sin cos 5θθ+=−，则sin 2θ=______．【答案】45【详解】∵sin cos θθ+= ∴()29sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=，所以4sin 22sin cos 5θθθ==．故答案为：45.5．（2022·广东深圳·二模）已知tan 3α=，则cos 2=α__________．【答案】45−【详解】解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=−=⨯−=−+ .6.若3sin 5α=−，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα−=+（）A ．12B ．12−C ．2D ．−2【答案】D 【详解】3sin 2sincos225ααα==−，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==−++，可解得1tan23α=−或tan 32α=−，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=−，故1tan 221tan2αα−=−+，故选：D7．已知1sin 64x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（）A ．78−B ．78C．4−D．4【答案】B 【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.8．已知,22ππα⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos2α=（）A． B． C ．12D【答案】D 【详解】因为22ππα−<<，所以3444πππα−<−< 又1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以43ππα−=−，所以12πα=−所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=−==⎪⎝⎭故选：D9．已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（）A ．2325B ．2325−C D ．5−【答案】B 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⨯−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．10．已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（）A ．2425B ．2425−C ．725D ．725−【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==−，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯−=− ⎪⎝⎭。

三角恒等变换高三数学一轮复习考点突破课件

题目：已知a=sinθ，b=cosθ，求a^2-b^2的值答案：-1 答案：-1
题目：已知a=cosθ，b=sinθ，求a^2-b^2的值答案：-1 答案：-1
06 总结与建议
总结三角恒等变换的重要知识点和考点
三角恒等变换的应用实例和解题技巧
三角恒等变换在高考中的常见题型和考点分析Biblioteka 三角恒等变换的公式和推导过程
三角恒等变换高三数学一轮复习考点突破
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01
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04
三角恒等变换的考点解析
02
三角恒等变换的基本概念
05
三角恒等变换的实战演练
03
三角恒等变换的解题方法
06
总结与建议
01 添加章节标题
三角恒等变换的公式
正弦定理：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB
余弦定理：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB
正切定理：tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
正弦、余弦、正切的和差公式：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB, cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB, tan(A-B) = (tanAtanB)/(1+tanAtanB)
02
三角恒等变换的基本概念
三角恒等变换的定义
基本概念：三角恒等变换是指在三角函数中，通过恒等变换将一种三角函数转化为另一种三角函数的过程。
主要类型：包括正弦、余弦、正切、余切等基本三角函数的恒等变换。

三角恒等变换与解题技巧

三角恒等变换与解题技巧三角函数是高中数学中重要且常用的概念之一，而三角恒等变换是解题过程中非常关键的工具。

本文将介绍三角恒等变换的基本概念，以及如何运用这些变换来解决各种三角函数题目。

一、三角恒等变换的基本概念在开始介绍三角恒等变换之前，我们先来回顾一下三角函数的基本定义：1. 正弦函数（sin）在一个锐角三角形中，正弦函数的定义为：正弦值等于对边与斜边之比。

2. 余弦函数（cos）在一个锐角三角形中，余弦函数的定义为：余弦值等于邻边与斜边之比。

3. 正切函数（tan）在一个锐角三角形中，正切函数的定义为：正切值等于对边与邻边之比。

三角恒等变换是指在三角函数中，通过一系列等价变换，将一个三角函数转化为另外一个三角函数的表达式，而不改变原始三角函数的值，从而简化问题的求解过程。

下面是三角恒等变换的几个基本公式：1. 余弦的平方加正弦的平方等于1：cos²θ + sin²θ = 12. 正切等于正弦除以余弦：tanθ = sinθ / cosθ3. 余切等于1除以正切：cotθ = 1 / tanθ4. 正弦与余弦的关系：sin(π/2 - θ) = cosθ, cos(π/2 - θ) = sinθ5. 正切与余切的关系：tan(π/2 - θ) = cotθ, cot(π/2 - θ) = tanθ二、解题技巧1. 利用三角恒等变换简化表达式当遇到一个复杂的三角函数表达式时，可以通过运用三角恒等变换将其简化。

例如，如果题目要求计算sin²θ + cos²θ的值，我们可以利用公式cos²θ + sin²θ = 1来将表达式简化为1，从而得到最终答案。

2. 利用三角恒等变换解决方程在解决包含三角函数的方程时，我们常常需要利用三角恒等变换将方程转化为更简单的形式。

例如，如果题目要求解方程sinθ = cosθ，我们可以利用公式sin(π/2 - θ) = cosθ将方程转化为sin(π/2 - θ) = sinθ，然后通过等值关系得出π/2 - θ = θ，从而求得θ的值。

高中数学三角恒等变换知识点归纳总结

高中数学三角恒等变换知识点归纳总结1. 基本定义三角恒等变换是指在三角函数运算中，通过等式的变换，得到具有相同意义但表达形式不同的等价关系。

2. 基本恒等式- 正弦函数的基本恒等式：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$- 余弦函数的基本恒等式：$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$- 正切函数的基本恒等式：$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$3. 和差恒等式- 正弦函数的和差恒等式：$\sin(\alpha \pm \beta) =\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$- 余弦函数的和差恒等式：$\cos(\alpha \pm \beta) =\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$- 正切函数的和差恒等式：$\tan(\alpha \pm \beta) =\dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4. 二倍角恒等式- 正弦函数的二倍角恒等式：$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ - 余弦函数的二倍角恒等式：$\cos2\theta = \cos^2\theta -\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- 正切函数的二倍角恒等式：$\tan2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$5. 三倍角恒等式- 正弦函数的三倍角恒等式：$\sin3\theta = 3\sin\theta -4\sin^3\theta$- 余弦函数的三倍角恒等式：$\cos3\theta = 4\cos^3\theta -3\cos\theta$- 正切函数的三倍角恒等式：$\tan3\theta = \dfrac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$6. 半角恒等式- 正弦函数的半角恒等式：$\sin\dfrac{\theta}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\theta}{2}}$- 余弦函数的半角恒等式：$\cos\dfrac{\theta}{2} =\sqrt{\dfrac{1 + \cos\theta}{2}}$- 正切函数的半角恒等式：$\tan\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1 -\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$7. 和角恒等式- 正弦函数的和角恒等式：$\sin(\alpha + \beta) =\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$- 余弦函数的和角恒等式：$\cos(\alpha + \beta) =\cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\beta$以上是高中数学中常用的三角恒等变换知识点的归纳总结。

三角恒等变换知识点总结[1]

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三角恒等变换专题一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．3、⇒(后两个不用判断符号，更加好用） 4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方"的B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

考点15 三角恒等变换-2020年高考数学(文)考点一遍过

专题15 三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=-（3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±m ；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan b aϕ=二、简单的三角恒等变换 1．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）（1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=； sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=； cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=； cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.考向一三角函数式的化简1．化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等． 2．化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；（2）式子中的分母尽量不含根号. 3．化简方法（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角；（4）降幂或升幂．典例1 化简：sin (α+β)⋅cosα−12[sin (2α+β)−sinβ]. 【解析】原式=sin (α+β)⋅cosα−12⋅2cos(2α+β+β)2sin (2α+β−β2)=sin (α+β)⋅cosα−cos (α+β)sinα=sin (α+β−α)=sinβ.【方法技巧】（1）三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．（2）三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．（3）在化简时要注意角的取值范围.1= A ．2sin3 B ．2cos3 C ．2sin3-D ．2cos3-考向二三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换（1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.典例2 求下列各式的值：（1）cosπ8+cos 3π8-2sin π4cos π8; （2）sin 138°-cos 12°+sin 54°. 【解析】（1）cos π8+cos3π8-2sin π4cos π8=π3π882cos 2+cos π3π882-π8=2cos π4cos π8-π8=π8π8=0. （2）sin 138°-cos 12°+sin 54°=sin 42°-cos 12°+sin 54°=sin 42°-sin 78°+sin 54°=-2cos 60°sin 18°+sin 54°= sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18°=2cos36sin18cos18cos18︒︒︒︒=cos36sin36cos18︒︒︒=2cos36sin362cos18︒︒︒=sin722cos18︒︒=12.【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2=A ．1B ．2C ．3D ．4典例3 已知tan(α−β)=12，tan β=17-，且α，β∈(0,π)，则2α−β= A ．π4 B ．π4-C ．3π4-D ．π4或3π4-【答案】C【解析】因为tan 2(α−β)=()()22122tan 4211tan 31()2αβαβ⨯-==---，所以tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]=()()41tan2tan 37411tan2tan 137αββαββ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭=--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=1. 又tan α=tan[(α−β)+β]=()()11tan tan 127111tan tan 3127αββαββ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭==--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭，又α∈(0,π)，所以0<α<π4. 又π2<β<π，所以−π<2α−β<0，所以2α−β=3π4-. 故选C ．【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.3．已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，则β= A ．6πB ．5π12 C ．4π D ．π3典例4 在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作角α，角α+π4的终边经过点P(−2,1).（1）求cosα的值；（2）求cos(5π6−2α)的值.【解析】（1）由于角α+π4的终边经过点P(−2,1)，所以cos(α+π4)=−2√55，sin(α+π4)=√55. ∴cosα=cos(α+π4−π4)=cos(α+π4)cos π4+sin(α+π4)sin π4=−√1010. （2）sinα=sin(α+π4−π4)=sin(α+π4)cos π4−cos(α+π4)sin π4=3√1010. 则sin2α=2sinαcosα= −35，cos2α=cos 2α− sin 2α=−45，故cos(5π6−2α)=cos5π6cos2α+sin5π6sin2α=4√3−310. 【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.4．已知π(,π)2α∈，且sin cos αα+=cos2=αA ．3B ．3-C ．3D ．3-考向三三角恒等变换的综合应用1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式．（2）利用公式2π(0)T ωω=>求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间． 2．与向量相结合的综合问题三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a·b =x 1x 2＋y 1y 2，a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用. 3．与解三角形相结合的综合问题（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π(0,)2内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.典例5 已知函数f(x)=4√3sinxcosx +sin 2x −3cos 2x +1. （1）求函数f(x)的对称中心及最小正周期；（2）ABC △的外接圆直径为3√3，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若f(π6)=23a ，且acosB +bsinB =c ，求sinB 的值.【解析】（1）22π()43sin cos sin 3cos 123sin 22cos 24sin 26f x x x x x x x x ⎛⎫=+-+=-=-⎪⎝⎭. 由2ππ2=，得最小正周期为π. 令π2π()6x k k -=∈Z ，得ππ122x k +=()k ∈Z ，故对称中心为ππ0122k ⎛⎫+⎪⎝⎭，（k ∈Z ）. （2）∵f(π6)=2=23a ，∴a =3. ∵asinA =2R ，2R =3√3，∴sinA =√33， ∵acosB +bsinB =c ，∴sinAcosB +sin 2B =sinC ，又∵A +B +C =π，∴sinAcosB +sin 2B =sin(A +B)，即sinAcosB +sin 2B =sinAcosB +cosAsinB ，即sin 2B =cosAsinB ， ∵B ∈(0 ， π)，∴sinB ≠0， ∴sinB =cosA ，∵sinB >0，∴cosA >0，∴cosA =√63. ∴sinB =√63.5．已知()cos ,sin αα=a ，()cos ,sin ββ=-b ，,αβ均为锐角，且255-=a b . （1）求()cos αβ+的值；（2）若3sin 5α=，求cos β的值． 6．在△ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()2cos cos cos 0C a B b A c ++=. （1）求角C 的大小；（2）若22a b ==，，求()sin 2B C -的值.1．cos31°cos1°+sin149°sin1°=A ．BC ．12-D ．122．化简√2−sin 22+cos4的结果是 A ．√3cos2 B ．−√3cos2 C ．−cos2D ．sin23．已知π3sin 245x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4x 的值为 A ．1825 B ．1825± C ．725D ．725±4．已知方程23310(1)x ax a a +++=>的两根分别为tan α、tan β，且α、ππ,22β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+= A ．4πB ．4π或3π4- C ．π8或3π8-D ．3π4-5．已知tan (α+π6)=1，则tan (α−π6)=A ．2−√3B ．2+√3C ．−2−√3D ．−2+√36．已知ππ0,,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，则下列结论正确的是 A ．π22αβ-= B ．π22αβ+= C ．π2αβ+=D ．π2αβ-=7．已知α为锐角，β为第二象限角，且cos (α−β)=12，sin (α+β)=12，则sin (3α−β)=A ．12-B ．12C ．D 8．函数y =cos2x −sin2x 图象的一条对称轴为 A ．π4x =B ．π8x =C ．π8x =- D ．π4x =-9．若角α满足sin 51cos αα=-，则1cos sin αα+=A ．15B ．52C ．5或15D ．510．已知平面直角坐标系下，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(4,3)P ，则πcos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．2425B ．2425- C ．2425或2425-D ．72511．设cos50cos127cos40cos37a =︒︒+︒︒，)sin 56cos56b =︒-︒，221tan 391tan 39c -︒=+︒，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>12．已知sin cos 0αα-=，则πcos(2)2α+=__________. 13．已知sin10cos102cos140m +=o o o ，则m =__________．14．在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=，则C ∠=_____________.15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若2m n +=4，则sin63m +=︒___________.16()f x 的一个零点，则0cos2x =__________．17．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 是单位圆在第一象限内的点， xOP α∠=，若π11cos 133α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则00x y +=__________． 18．已知tan 2α=．（1）求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．19．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π32b A B A ===+. （1）求a 的值；（2）求cos 2C 的值.20．在平面直角坐标系xOy 中，锐角α,β的顶点为坐标原点O ,始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P,Q ．已知点P 的横坐标为2√77，点Q 的纵坐标为3√314．（1）求cos2α的值；（2）求2α−β的值.21．设函数()cos(2)f x x ϕ=+．（1）若函数()f x 为奇函数，ϕ∈(0，π)，求ϕ的值；（2）若ϕ＝π3，()2f α＝13，α∈(0，π2)，求()f α的值．22．已知a =(1+cosωx,−1),b =(√3,sinωx)(ω>0),函数f(x)=a ⋅b ,函数f(x)的最小正周期为2π．(1)求函数f(x)的表达式;(2)设θ∈(0,π2),且f(θ)=√3+65,求cosθ的值．23（1）求()f x的单调递增区间；（2()f x=，求cos2x的值.1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）tan255°=A．−2B．−C．2D．2．（2018新课标全国Ⅲ文科）若1sin3α=，则cos2α=A．89B．79C．79-D．89-3．（2017新课标全国Ⅲ文科）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79-B ．29-C ．29D ．794．（2017年高考山东卷文数）已知3cos 4x =，则cos2x = A ．14-B ．14 C ．18-D ．185．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15BCD6．（2018新课标全国Ⅰ文科）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=A ．15 BCD ．17．（2018新课标全国Ⅱ文科）已知5π1tan()45-=α，则tan =α__________． 8．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-= .9．（2017年高考江苏卷）若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．10．（2019年高考江苏卷）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 11．（2019年高考浙江卷）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．12．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．13．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4tan 3=α，cos()5+=-αβ．（1）求cos2α的值；（2）求tan()-αβ的值．14．（2018年高考天津卷文数）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A =a cos(B –π6)．（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2A –B )的值．1．【答案】A=3π3π4<<，所以原式sin3cos3sin3cos32sin3=-++=.故选A．2．【答案】D【解析】sin2020sin20 tan2020sin212cos20sin20sin20sin20cos20sin20cos)2220°-??鞍-?°==鞍?=鞍?()2sin60202sin404sin20cos204sin20cos20sin20cos20sin20cos20o o o o oo o o o o o-====.故选D.3．【答案】D【解析】由于π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,παβ+∈，所以sinα==，()sinαβ+==所以()cos cosβαβα=+-⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sinαβααβα=+++12=，所以π3β=.故选D．4．【答案】A【解析】因为sin cosαα+=，所以11+sin2=3，α则2sin23α=-.因为π(,π)2α∈，且sin cos 3αα+=-，所以3π3π(,π),2(,2π)42αα∈∈，所以cos 2α=故选A.5．【解析】（1）由题意得：1=a ，1=b ，()()2222222cos cos sin sin αβαβ∴-=-=-⋅+=--a b a b a a b b ()422cos 5αβ=-+=，解得：()3cos 5αβ+=. （2）π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，()0,παβ∴+∈，由3sin 5α=，()3cos 5αβ+=可得：4cos 5α=，()4sin 5αβ+=， ()()()344324cos cos cos cos sin sin 555525βαβααβααβα⎡⎤∴=+-=+++=⨯+⨯=⎣⎦.6．【解析】（1()sin cos sin cos sin 0C A B B A C ++=，∴sin sin 0C C C +=，∴cos C =， ∵0πC <<，∴3π4C =.（2）∵2a b ==，3π4C =，∴由余弦定理得2222cos 242210c a b ab C ⎛=+-=+-⨯= ⎝⎭，∴c =由sin sin sin 5c b B C B =⇒=， ∵B为锐角，∴cos 5B =，则4sin 225B ==，223cos 2cos sin 5B B B =-=，故()43sin 2sin 2cos cos 2sin 55B C B C B C ⎛-=-=⨯-= ⎝⎭.1．【答案】B【解析】cos31°cos1°+sin149°sin1°=cos31°cos1°+sin31°sin1°=cos (31°−1°)=cos30°=√32.故选B. 2．【答案】B【解析】由题得原式=√1+cos 22+cos4=√3cos 22， ∵π2<2<π，∴cos2<0，则√3cos 22=−√3cos2.故选B. 3．【答案】C【解析】由题意得：2ππ97cos 412sin 212242525x x ⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， π7sin 4cos 4225x x ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭.故选C. 4．【答案】D【解析】由根与系数的关系可知：tan tan 3a αβ+=-，tan tan 31a αβ⋅=+，()tan tan 3tan 11tan tan 131aa αβαβαβ+-∴+===-⋅--，又tan tan 30a αβ+=-<，tan tan 310a αβ⋅=+>，tan 0α<∴，tan 0β<，ππ,,22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q ，π,,02αβ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，()π,0αβ∴+∈-，3π4∴αβ+=-. 故选D. 5．【答案】D【解析】ππtan tanπππ63tan tan 2ππ6631tan tan 63αααα⎛⎫+- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-===-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭. 故选D ． 6．【答案】A【解析】由()2sin 2cos 2cos1sin αβαβ=+，得()22sin cos cos 2cos 1sin ααβαβ=+，即sin cos cos sin cos αβαβα-=，即()πsin cos sin 2αβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，由于ππ0,,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,222αβααβ-=--=. 故选A ． 7．【答案】B【解析】因为α为锐角，β为第二象限角，cos (α−β)>0，sin (α+β)>0，所以α−β为第四象限角，α+β为第二象限角，因此sin (α−β)=−√32，cos (α+β)=−√32，所以sin2α=sin[(α−β)+(α+β)]= −√32×(−√32)+12×12=1,因为α为锐角，所以2α= π2，sin (3α−β)=sin⁡(2α+α−β)=cos (α−β)=12. 故选B ． 8．【答案】C【解析】由题意得y =cos 2x −sin 2x =√2cos(2x +π4)，令2x +π4=kπ,k ∈Z ，得x =−π8+kπ2,k ∈Z ，当k =0时，π8x =-．故π8x =-是函数图象的一条对称轴．故选C ． 9．【答案】D【解析】22sincossin 12251cos 112sin tan 22αααααα===--+Q， 212cos 11cos 125sin 2sin cos tan 222αααααα+-+∴===.故选D. 10．【答案】B【解析】因为角α的终边经过点(4,3)P，所以34sin ,cos 55αα===，则π3424cos 2sin 22sin cos 225525αααα⎛⎫+=-=-=-⨯⨯=-⎪⎝⎭，故选B.【名师点睛】本题主要考查了已知角的终边上一点的坐标求三角函数值，以及诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题.已知角α终边上一点(,)P x y，则sin tan ααα===(0)yx x≠. 11．【答案】D【解析】cos50cos127cos 40cos37cos(50127)cos(77)cos77sin13a =︒︒+︒︒=︒-︒=-︒=︒=︒，)sin 56cos5656sin(5645)sin11222b =︒-︒=︒-︒=︒-︒=︒， 22222222sin 3911tan 39cos 39cos 39sin 39cos78sin12sin 391tan 391cos 39c ︒--︒︒===︒-︒=︒=︒︒+︒+︒，因为函数πsin ,[0,]2y x x =∈为单调递增函数，所以sin13sin12sin11︒>︒>︒，所以a c b >>. 故选D ． 12．【答案】1-【解析】因为sin cos 0αα-=，所以1sin 20α-=，即sin21α=，所以πcos(2)sin 212αα+=-=-，故答案是1-. 13．【答案】【解析】由题可得2cos140sin102cos40sin10cos10cos10m ---===o o o o o o ()2cos 3010sin10cos10-+-=o o oo cos10=oo14．【解析】在ABC △ 中， tan tan tan tan 1A B A B ++⋅=，则tan tan 1tan tan ,A B A B +=-⋅15．【答案】【解析】因为2sin18m =︒，24m n +=，所以222444sin 184cos 18n m =-=-︒=︒，所以2sin182cos1845)sin 63sin 63sin 63m ︒+︒︒+︒===︒︒︒故答案为16．【答案】18【解析】17．【答案】126【解析】由题意知：π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ5,π336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由π11cos 133α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0ππππππsinsin sin cos cos sin 333333y αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11113213226=⨯+⨯=，ππππππcos cos cos cos sin sin 333333x αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111113213226=-⨯+⨯=，则00126x y +=+=， . 18．【解析】（1）πtan tanπtan 1214tan 3π41tan 121tan tan 4ααααα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭-. （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+---222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=. 19．【解析】（1）cos A =Q，sin 3A ∴===π2B A =+Q，πsin sin cos 2B A A ⎛⎫∴=+==⎪⎝⎭.由正弦定理，得sin 3sin b Aa B===.（2）π2B A =+Q ，cos sin B A ∴=-= ()1sin sin sin cos cos sin 33333C A B A B A B ⎛∴=+=+=-+= ⎝⎭， 227cos212sin 199C C ∴=-=-=. 20．【解析】（1）因为点P 的横坐标为2√77，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝2√77，所以cos2α＝2cos 2α－1＝17．（2）因为点Q 的纵坐标为3√314，所以sin β＝3√314．又因为β为锐角，所以cos β＝1314．因为cos α＝2√77，且α为锐角，所以sin α＝√217，因此sin2α＝2sin αcos α＝4√37，所以sin(2α－β) ＝4√37×1314−17×3√314=√32．因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3．21．【解析】（1）()f x Q 为奇函数，()0cos 0f ϕ∴==，又()0,πϕ∈，π2ϕ∴=，当2ϕπ=时，()πcos 2sin 22f x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭是奇函数，满足题意，∴2ϕπ=. （2）π3ϕ=Q ，123f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，π1cos 33α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ5π,336α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πsin 3α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭πππsin 22sin cos 3339ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2222πππ17cos 2cos sin 33339ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()πππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin3333333f ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦71929=-⨯+=. 22．【解析】(1)f(x)=a ⋅b =√3(1+cosωx)−sinωx =√3−2sin(ωx −π3),因为函数f(x)的最小正周期为2π,所以2πω=2π,解得ω=1, 所以f(x)=√3−2sin(x −π3)． (2)由f(θ)=√3+65,得sin(θ−π3)=−35,因为θ∈(0,π2),所以θ−π3∈(−π3,π6), 所以cos(θ−π3)=45,所以cosθ=cos (θ−π3+π3)=cos (θ−π3)cos π3−sin (θ−π3)sin π3⁡=45×12−(−35)×√32=4+3√310．23．【解析】（111cos22222x x x⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭1cos24x=-所以()f x，k∈Z.（212=-=.1．【答案】D【解析】tan255tan(18075)tan75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan45tan301tan45tan30︒+︒-︒︒12+==+故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 2．【答案】B【解析】cos2α=1−2sin 2α=1−29=79，故选B.3．【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A.【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. （3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 4．【答案】D【解析】由3cos 4x =得2231cos22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选D.【名师点睛】（1）三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．（2）三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 5．【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=. 故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 6．【答案】B【解析】根据条件，可知O,A,B 三点共线，从而得到b =2a ，因为cos2α=2cos 2α−1=2⋅(√a 2+1)2−1=23，解得a 2=15，即|a |=√55，所以|a −b |=|a −2a |=√55. 故选B. 7．【答案】32【解析】5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得tanα=32. 8．【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=，因为π(0,)2α∈，所以cos 55αα==，因为πππcos()cos cossin sin 444ααα-=+，所以πcos()4525210α-=+=. 9．【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75．【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路： ①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 10．【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+---+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.11．【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2．（2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1-．【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.12．【解析】（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.（1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值.13．【解析】（1）因为4tan 3=α，sin tan cos =ααα，所以4sin cos 3=αα．因为22sin cos 1+=αα，所以29cos 25=α，因此，27cos 22cos 125=-=-αα．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,)+∈παβ．又因为cos()+=αβ，所以sin()+==αβ，因此tan()2+=-αβ．因为4tan 3=α，所以22tan 24tan 21tan 7==--ααα，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11-+-=-+==-++ααβαβααβααβ．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．14．【解析】（1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B = 又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（2）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A = 因为a <c ，故cosA =．因此sin 22sin cos 7A A A ==，21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=1127-=【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．。