2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

（第3题图）

俯视图侧视图正视图2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.

1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}

M N =，则x 的

值为（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0 2．设

1

,(1)()2,(1)

x f x x

x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．-1 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）.

A.圆柱

B. 三棱柱

C.球

D.四棱柱 4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（ ）

A ．-3

B ．-1

C ．1

D ．3

5．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（ ）

A ．8

B ．2

C ．-2

D ．-8

开输

0?

x > 21y x =- 输

y x

=结

是 否 （第14

到点C 的距离1AC BC ==km ，且0

120ACB ∠=，则,A B 两点

间的距离为（ ）

A 3

B 2km

C ．1.5km

D ．2km

二、填空题：本大题共5小题，每小题4

分，满分20分． 11．计算：2

2

log 1log

4+=

.．

12．已知1,,9x 成等比数列，则实数

x =

．

13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是 ． 14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，

则输出的y 值为 .

15．已知向量a 与b 的夹角为4

π，2a =，且4a b =，则b = .

三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知1cos ,(0,)22π

αα=∈ （1）求tan α的值； （2）求sin()6πα+的值.

某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清.

(1) 试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；

(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？

频率

组距

a

0.10

（第17题图）

18．（本小题满分8分）

如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，

3

BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为0

45，点

,E F

分别是,AC AD 的中点.

（1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.

F

E

D

B

A

（第18题图）

19．（本小题满分8分） 已知数列{}n

a 满足：3

13

a

=-，14n

n a

a -=+(1,)

n n N >∈.

（1）求1

2

,a a 及通项n

a ；

（2）设n

S 是数列{}n

a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2

S ，

3

S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值.

20．（本小题满分10分） 已知函数()2

2x

x f x λ-=+⋅()

R λ∈

（1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点；

（2）若函数()f x为偶函数，求实数λ的值;

（3）若不等式1

2≤()

f x≤4在[0,1]

x∈上恒成立，求实

数λ的取值范围.

2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

A B C A B D C D C A

二、填空题 11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=；

14、2

； 15、 4

三、解答题： 16、（1）(0,),cos 02

παα∈∴>，从而23cos 1sin αα=

-=

（2）2

31

sin 2cos22sin cos 12sin ααααα++=+-=

17、（1）高一有：200

1200120

2000⨯=（人）；高二有20012080-=（人）

（2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=

∴

人数为0.7520001500⨯=（人）

18、（1）2(0)62

()26(1)156

f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨

=++==⎩⎩

（2）

22()26(1)5,[2,2]

f x x x x x =-+=-+∈-

1

x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大

值为14. 19、(1)

11232,2,4,8

n n a a a a a -==∴==