2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案
2013年高考湖南卷理科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（湖南卷）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+ 为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】 B【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法【答案】 D 【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。
选D3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A 则角等于 A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 【答案】 D【解析】 3=A 223=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由ππ⇒<⇒⋅⋅A ， 选D4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】 C【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(=u 选C5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】 B【解析】 二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2选B6. 已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【答案】 A 【解析】的向量与即一个模为单位2.1|-)(||-|,2||向量，是,=+=-=+∴ 的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2+≤≤c 。
2013年湖南省普通高中学业水平考试试卷
2013年湖南省普通高中学业水平考试试卷思想政治时量90分钟，满分100分。
第I卷选择题一、选择题（2*30=60）1.第十二届全国人民代表大会第一次会议于2013年3月5日至17日在北京召开，会议选举-----------为中华人民共和国主席, 为中华人民共和国国务院总理。
A．习近平李克强 B．胡锦涛温家宝C．胡锦涛李克强 D．习近平温家宝2、2012年10月11日，2012年诺贝尔文学奖评选揭，成为首位中国籍获奖者。
A．余秋雨 B．沈从文 C．莫言 D．鲁迅3、我国第一艘航母“”号按计划完成建造与实验后于2012年9月25日正式交付海军。
A．山东 B．辽宁 C．湖南 D．广东4、2012年8月，第30届夏季奥运会在英国伦敦举行，中国队位居金牌榜和奖牌榜位。
A．第四 B．第三 C．第二 D．第一5、2012年美国总统大选，再次当选，成为美国历史上第一位连任的黑人总统。
A．希拉里 B．克林顿 C．罗姆尼 D．奥巴马6、学生小王近日在淘宝网上花100元人民币购买了一件衣服。
这里的100元是A．执行价值尺度的职能 B．执行流通手段的职能C．观念上的货币D．一件衣服的使用价值7、在我国经济“百花园”中，各种经济成分争奇斗艳。
它们都在为繁荣和发展社会主义市场经济作出自己的贡献。
下列选项中属于我国现阶段的非公有制经济成分的有①国有经济②个体经济③私营经济④外资经济A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④8、风险性是居民投资理财所考虑的一个重要因素。
下列投资方式中高风险、高收益同在的是A．公司债券 B．金融债券 C．国债 D．股票9、社会主义公有制经济中个人消费品分配的基本原则是A．按需分配 B．平均分配 C．按劳分配 D．按生产要素分配10、2012年我国财政收入大幅度增加，这一现象产生的根本原因是A．经济发展水平提高 B．国家分配政策完善C．居民收入增长 D．物价水平稳定11、为了抑制房价过快增长，2013年3月2日国务院出台了“新国五条”。
2013年湖南高考理科数学试题及答案(word版)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数)i 1(i z +⋅=(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 【 B 】 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 【 D 】 A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法3. 在锐角中ABC ∆，角A, B 所对的边长分别为,a b . 若b 3B sin a 2=，则角A 等于 A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π【 D 】 4. 若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则y 2x +的最大值是 【 C 】A ．5-2B ．0C ．53D ．525. 函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 【 B 】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．06. 已知b ,a 是单位向量，0b a =⋅. 若向量c 满足1|b a c |=--，则|c |的取值范围是 A ．]12,12[+- B ．]22,12[+-C ．]12,1[+ D ． ]22,1[+ 【 A 】7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1 BC．2 D．2【 C 】 8. 在等腰直角三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于A ．2B ．1C ．83D ．43【 D 】二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分） 9. 在平面直角坐标系xoy 中，若直线⎩⎨⎧-==a t y ,t x :l (t 为参数) 过椭圆⎩⎨⎧ϕ=ϕ=sin 2y cos 3x :C (ϕ为参数) 的右顶点，则常数a 的值为 . 答案: 310. 已知R c ,b ,a ∈,6c 3b 2a =++，则222c 9b 4a ++的最小值为 . 答案: 1211. 如图2O 中, 弦AB, CD 相交于点 P ，2PB PA ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距 离为 . 答案: 23(二) 必做题（12-16题） 12. 若9dx x T2=⎰，则常数T 的值为 . 答案: 313. 执行如图3所示的程序框图，如果输入2b ,1a ==，则输出的a 的值为 .答案: 914．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若a 6|PF ||PF |21=+，且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为 .答案:315．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2nn n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________. 答案: (1) 161-; (2) )121(31100-16．设函数(),0,0.x x x f x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合c ,b ,a |)c ,b ,a {(M =不能构成三角形的三条边长，且}b a =，则(,,)abcM ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为______________.（2）若c ,b ,a 是ABC ∆的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）① ()(),1,0;x f x ∀∈-∞>② R x ∈∃，使x x x c ,b ,a 不能构成一个三角形的三条边长； ③ 若ABC ∆为钝角三角形，则)2,1(x ∈∃使0)x (f =． 答案：(1) }1x 0|x {≤< （2）① ② ③三、解答题：本大题共6小题，共75分。
2013年高考湖南卷数学(理)试卷及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2 B ．0 C ．53 D ．525.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．06. 已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A．⎤⎦B．⎤⎦C．1⎡⎤⎣⎦D．1⎡⎤⎣⎦7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1 BD8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等A ．2B ．1C ．83 D ．43二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 .10.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 12 .11.如图2O 中,弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为 .必做题（12-16题） 12.若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 .13.执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 9 .14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为___。
【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理数-含答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 3.在锐角中，角所对的边长分别为.若A ．B ．C ．D ． 4.若变量满足约束条件，A ．B ．C ．D ．5.函数的图像与函数的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．06. 已知是单位向量，.若向量满足A ．B ．C ．D ． 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于A ． BC ．D ．()()1z ii i =+g 为虚数单位ABC ∆,A B ,a b 2sin ,a B A =则角等于12π6π4π3π,x y 211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩2x y +则的最大值是5-205352()2ln f x x =()245g x x x =-+,a b 0a b •=c 1,c a b c --=则的取值范围是⎤⎦⎤⎦1⎡⎤⎣⎦1⎡⎤⎣⎦1228.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系中，若直线右顶点，则常数 .10.已知 .11.如图2，在半径为的中,弦.（一） 必做题（12-16题） 12.若 .13.执行如图3所示的程序框图，如果输入.14．设是双曲线的两个焦点，P 是C 上一点，若且的最小内角为，则C 的离心率为___。
2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案
2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案D（第3题图）俯视图侧视图正视图2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N =，则x 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 2．设1,(1)()2,(1)x f x xx ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-1 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）.A.圆柱B. 三棱柱C.球D.四棱柱 4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（ ）A ．8B ．2C ．-2D ．-8开输0?x > 21y x =- 输y x=结是否 （第14度，工程技术人员已测得隧道两端的两点,A B 到点C的距离1AC BC ==km ，且0120ACB ∠=，则,A B 两点间的距离为（ ）A 3B 2kmC ．1.5kmD ．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：22log 1log4+=.．12．已知1,,9x 成等比数列，则实数x =．13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是 ． 14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 值为 .15．已知向量a 与b 的夹角为4π，2a =，且4a b =，则b = .三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1cos ,(0,)22παα=∈ （1）求tan α的值； （2）求sin()6πα+的值.17．（本小题满分8分）某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清.(1) 试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？频率组距a0.10（第17题图）18．（本小题满分8分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为045，点,E F分别是,AC AD 的中点.（1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.FEDBA（第18题图）19．（本小题满分8分） 已知数列{}na 满足：313a=-，14nn aa -=+(1,)n n N >∈.（1）求12,a a 及通项na ；（2）设nS 是数列{}na 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值.20．（本小题满分10分） 已知函数()22xx f x λ-=+⋅()R λ∈（1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点；（2）若函数()f x为偶函数，求实数λ的值;（3）若不等式12≤()f x≤4在[0,1]x∈上恒成立，求实数λ的取值范围.2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A B C A B D C D C A二、填空题 11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=；14、2； 15、 4三、解答题： 16、（1）(0,),cos 02παα∈∴>，从而23cos 1sin αα=-=（2）231sin 2cos22sin cos 12sin ααααα++=+-=17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人）（2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人）18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩（2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14. 19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}na ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n nna -∴=⋅= (2)22log log2n n nb a n ===，(1)1232nn n Sn +∴=++++=20、（1）22:(1)(2)5C x y k++-=-，(1,2)C ∴-（2）由505k k ->⇒<（3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y yy y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒<112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++=1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+=即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足。
2013年高考湖南理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年湖南，理1，5分】复数i (1i)z =⋅+(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B【解析】2i i 1i z =+=-+，对应点为()1,1-，故在第二象限，故选B ． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． （2）【2013年湖南，理2，5分】某学校有男、女学生各500名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）（A ）抽签法 （B ）随机数法 （C ）系统抽样法 （D ）分层抽样法 【答案】D【解析】总体由男生和女生组成，比例为500:500=1:1，所抽取的比例也是1:1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法，故选D ．【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题．（3）【2013年湖南，理3，5分】在锐角中ABC ∆，角A ，B 所对的边长分别为,a b ．若2sin a B ，则角A 等于（ ）（A ）12π（B ）6π （C ）4π （D ）3π【答案】D【解析】∵在ABC ∆中，2sin a B =，∴由正弦定理2sin sin a bR A B==得：2sin sin A B B ，∴sin A =，又ABC ∆为锐角三角形，∴3A π=，故选D ．【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．（4）【2013年湖南，理4，5分】若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是（ ）（A ）52- （B ）0 （C ）53（D ）52【答案】B【解析】约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令2x y d +=，即122dy x =-+，由线性规划知识可得最优点为12,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以max 145333d =+=，故选B ．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．（5）【2013年湖南，理5，5分】函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 【答案】B【解析】解法一：设()f x 与()g x 图象的交点坐标为()x y ，，则2ln y x =，245y x x =-+，联立得22ln 45x x x =-+，令()2450()2ln h x x x x x =-+->，由()2240h x x x'=-=-得11x =+21x =-(舍)． 当()0h x '<，即(0,1x ∈时，()h x 单调递减；当()0h x '>，即()1x ∈++∞时，()h x 单调递增．又∵()120h =>，()212 20h ln =-<，()452 40h ln =->，∴()h x 与x 轴必有两个交点，故选B ．解法二：在同一坐标系下，画出函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象如下图：由图可知，两个函数图象共有2个交点，故选B ．【点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案． （6）【2013年湖南，理6，5分】已知,a b 是单位向量，0a b ⋅=．若向量c 满足1c a b --=， 则c 的取值范围是（ ）（A ）[21,21]-+ （B ）[21,22]-+ （C ）[1,21]+ （D ）[1,22]+【答案】A【解析】由题意，不妨令()0,1a =，()1,0b =，()c x y =，，由1||c a b --=得22()(11)1x y -+-=，22c x y =+可看做()x y ，到原点的距离，而点()x y ，在以()1,1为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点()x y ，在位置P 时到原点的距离最近，在位置P '时最远，21PO =-，21P O '=+，故选A ．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具． （7）【2013年湖南，理7，5分】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）212- （D ）212+ 【答案】C【解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为2cos θ，如图所示．故正视图的面积为2cos 04S πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭=，∴12S ≤≤，而21<12-，故面积不可能等于212-，故选C ． 【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为1,2⎡⎤⎣⎦是解题的关键．（8）【2013年湖南，理8，5分】在等腰直角三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）83（D ）43【答案】D【解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则()0,0A ，()4,0B ，()0,4C ．设ABC ∆的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭．设P 点坐标为(),0m ，则P 点关于y 轴的对称点1P 为(),0m -，因为直线BC 方程为40x y +-=，所以P 点关于BC 的 对称点2P 为(4,4)m -，根据光线反射原理，1P ，2P 均在QR 所在直线上，∴12P DP D k k =， 即4443344433mm -+=+-，解得，43m =或0m =．当0m =时，P 点与A 点重合，舍去．∴43m =，故选D ． 【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题． 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分）（二）必做题（12~16题）．（9）【2013年湖南，理9，5分】在平面直角坐标系xoy 中，若直线:x t l y t a=⎧⎨=-⎩ (t 为参数) 过椭圆3cos :2sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为 ． 【答案】3【解析】由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y x a =-，椭圆的方程为22194x y +=，所以其右顶点为()3,0．由题意知03a =-，解得3a =．【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题． （10）【2013年湖南，理10，5分】已知,,a b c R ∈，236a b c ++=，则22249a b c ++的最小值为 ． 【答案】12【解析】由柯西不等式得()()()22222221114923a b c a b c ++++≥++，即2224912a b c ++≥，当232a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++的最小值为12．【点评】本题给出等式236a b c ++=，求式子22249a b c ++的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题． （11）【2013年湖南，理11，5分】如图，在半径为7的O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，2PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为 ．【答案】32【解析】如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知··PD PC PAPB =，所以4PC =，5CD =，则52CE =，7OC =．所以O 到CD 距离为2253722OE ⎛⎫()-= ⎪⎝⎭=． 【点评】此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中考中热点问题．（二）必做题（12~16题）（12）【2013年湖南，理12，5分】若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为 ．【答案】3【解析】∵3213x 'x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23300110933T T x dx x T ==-=⎰，∴3T =． 【点评】本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题． （13）【2013年湖南，理13，5分】执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2a b ==，则输出的a 的值为 ． 【答案】9【解析】输入1a =，2b =，不满足8a >，故3a =；3a =不满足8a >，故5a =；5a =不满足8a >，故7a =；7a =不满足8a >，故9a =，满足8a >，终止循环．输出9a =．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．（14）【2013年湖南，理14，5分】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为 ．【答案】3【解析】不妨设12PF PF >，由1212||||6||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩，可得12||4||2PF aPF a =⎧⎨=⎩．∵22a c <，∴1230PF F ∠=︒，∴22224 322402cos c a a a()+()-()=⨯︒⨯，得222330c c a a +-=，即23023e e -+=，∴3e =．【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．（15）【2013年湖南，理15，5分】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),2n n n n S a n N *=--∈，则（1）3a = ； （2）12100S S S ++⋅⋅⋅+= ．【答案】(1)116-(2)10011132⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）由()112n n n n S a =--，*n N ∈，当1n =时，有()111112a a =--，得114a =-．当2n ≥时，()()1111111122n n n n n n n n n a S S a a ----=-=----+．即()()11112n nn n n n a a a -=-+-+．若n 为偶数，则()1122n n a n -=-≥．所以112n n a +=-（n 为正奇数）；若n 为奇数，则()1111111222222n n n n n n a a -+-⎛⎫=-+=-⋅-+= ⎪⎝⎭．所以12n n a =（n 为正偶数）．所以3411216a =-=-．（2）112n n a +=-（n 为正奇数），所以1221122a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，又12n n a =（n 为正偶数），所以2212a =．则122122a a -+=⨯．3441122a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，4412a =．则344122a a -+=⨯．…99100100122a a -+=⨯．所以，()()()1234912349910031900100111222a a a a S S S a a S S S ++++⋯+⎛⎫=-++-+++-+-+++ ⎪⎝⎭+501001002100100111111111111114422221114162222321142⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+++-+++=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--．【点评】本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n 为偶数时能求出奇数项的通项，当n 为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．（16）【2013年湖南，理16，5分】设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0c a c b >>>>．（1）记集合{(,,)|,,M a b c a b c =不能构成三角形的三条边长，且}a b =，则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为______ ．（2）若,,a b c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）① ()(),1,0x f x ∀∈-∞>；②x R ∃∈，使,,x x x a b c 不能构成一个三角形的三条边长； ③ 若ABC ∆为钝角三角形，则(1,2)x ∃∈使()0f x =． 【答案】(1){}1|0x x <≤；(2)①②③【解析】（1）c a >，2c a b a ≥+=，所以2c a ≥，则ln ln 20c a ≥>．令2210x x x x x x xa f x abc a c c c ⎡⎤⎛⎫=+=-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-（）． 得2xc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ln 2ln 21ln 2ln x c a=≤=．所以01x <≤．（2）因为1x xx x x x a b f x a b c c c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢-⎥⎣⎦（），又1,1a b c c <<，所以对,1x ∀∈∞（-），1x x a b c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1110a b a b c c c c +-⎛⎫⎛⎫>+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以命题①正确；令1x =，1a b ==，2c =．则1x x a b ==，2x c =．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；若三角形为钝角三角形，则2220a b c -+<．2221020f a b c f a b c =+->-=+<（），（）．所以12x ∃∈（,），使0f x =（）．所以命题③正确．【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2013年湖南，理17，12分】已知函数()sin()cos()63f x x x ππ=-+-，2()2sin 2xg x =．（1）若α是第一象限角，且33()5f α=，求()g α的值； （2）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合．解：()sin()cos()63f x x x ππ=-+-3113sin cos cos sin 2222x x x x =-++3sin x =，2()2sin 1cos 2xg x x ==-．（1）由33()5f α=得3sin 5α=．又α是第一象限角，所以cos 0α>．从而241()1cos 11sin 155g ααα=-=--=-=．（2）()()f x g x ≥等价于3sin 1cos x x ≥-，即3sin cos 1x x +≥．于是1sin()62x π+≥．从而522,666k x k k πππππ+≤+≤+∈，即222,3k x k k πππ≤≤+∈， 故使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合为2{|22,}3x k x k k πππ≤≤+∈． 【点评】本题给出含有三角函数的两个函数()f x 、()g x ，求特殊函数值并讨论使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合．着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．（18）【2013年湖南，理18，12分】某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验， 一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的 “相近” 作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好 “相近” 的概率； （2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望． 解：（1）所种作物总株数1234515N =++++=，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有1131236C C =种，选取的两株作物恰好 “相近”的不同结果有3328++=种，故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为82369=．（2）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列，因为：(51)(1),(48)(2)P Y P X P Y P X ======；(45)(3),(42)(4)P Y P X P Y P X ======；所以只需求出()(1,2,3,4)P X k k ==即可，记k n 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数（1,2,3,4k =）则12342,4,6,3n n n n ====由()k n P X k N ==得：2(1)15P X ==；4(2)15P X ==；62(3)155P X ===； 31(4)155P X ===，故所求的分布列为 Y 51 48 45 42 P215 415 25 15所求的数学期望为： 2421()5148454246151555E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题． （19）【2013年湖南，理19，13分】如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，190,,1,3BAD AC BD BC AD AA ∠=⊥===．（1）证明：1AC B D ⊥；（2）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值．解：（1）如图，因为1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥，又因为AC BD ⊥，所以AC ⊥平面1BB D ，而1B D ⊂面1BB D ，所以1AC B D ⊥． （2）因为11//B C AD ，所以直线11B C 与平面1ACD 所成的角等于直线AD 与平面1ACD 所成的角（记为θ），如图，连接1A D ，因为棱柱1111ABCD A B C D -是直棱柱，且011190B A D BAD ∠=∠=， 所以11A B ⊥平面11ADD A ，从而111A B AD ⊥，又13AD AA ==，所以四边形11ADD A 是正方形，于是11A D AD ⊥，故1AD ⊥平面11A B D ，于是11AD B D ⊥，由（1）知，1AC B D ⊥，所以1B D ⊥平面1ACD ，故0190ADB θ∠=-，在直角梯形ABCD 中，因为AC BD ⊥，所以BAC ADB ∠=∠，从而Rt ABC Rt DAB ∆∆，故AB BCDA AB=，即3AB DA BC =⋅=，连接1AB ，易知1AB D ∆ 是直角三角形，且22222211121B D B B BD B B AB AD =+=++=，即121B D =， 在1Rt AB D ∆中，11321cos 721AD ADB B D ∠===，即021cos(90)7θ-=，从而21sin 7θ=， 即直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值为217． 解法二：（1）易知，1AB AD AA ，，两两垂直．如图，以A 为坐标原点，1AB AD AA ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB t =，则相关各点的坐标为：()000A ，，，111()()(00)()()031013030)033(B t B t C t C t D D ，，，，，，，，，，，，，，，，，．1(33)B D t =∴--，，，(1)0A t C =，，，(3)0D t B =-，，．因为AC BD ⊥，所以2300AC BD t =-++=⋅．解得3t =或3t =-(舍去)．于是()13,3,3B D =--，()3,1,0AC =．因为13300AC B D -++=⋅=，所以1AC B D ⊥，即1AC B D ⊥． （2）由（1）知，10()33AD =，，，()3,1,0AC =，11()010B C =，，．设()n x y z =，，是平面1ACD 的一个法向 量，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30330x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则()1,3,3n =-．设直线11B C 与平面1ACD 所成角为θ，则11111132177sin cos ,B C n B B C C θ⋅==⋅==n n ．即直线B 1C 1与平面1ACD 所成角的正弦值为217． 【点评】本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知知识，属于中档题．（20）【2013年湖南，理20，13分】在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”．如图所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处．现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心．（1）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（2）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．解：设点P 的坐标为()x y ，．（1）设点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为|3||20|,,[0,)x y x R y -+-∈∈+∞．（2）有题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和（记为d ）的最小值．①当1y ≥时，|10||14||3|2|||20|d x x x y y =++-+-++-，因为1()|10||14||3|d x x x x =++-+-|10||14|x x ≥++-（*）当且仅当3x =时，不等式（*）中的等号成立．又因为|10||14|24x x ++-≥（**）当且仅当[10,14]x ∈-时，不等式（**）中的等号成立．所以1()24d x ≥，当且仅当3x =时，等号成立．2()2|20|21d y y y =+-≥，当且仅当1y =时，等号成立．故点P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45．②当01y ≤≤时，由于“L 路径”不能进入保护区，所以|10||14||3|1|1||||20|d x x x y y y =++-+-++-++-，此时，1()|10||14||3|d x x x x =++-+-， 2()1|1||||20|2221d y y y y y =+-++-=-≥，由①知，1()24d x ≥，故12()()45d x d y +≥，当且仅当3,1x y ==时等号成立．综上所述，在点(3,1)P 出修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．（21）【2013年湖南，理21，13分】过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l E 与相交于点C ，D ．以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N（M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l ．（1）若120,0k k >>，证明：22FM FN p ⋅<； （2）若点M 到直线l，求抛物线E 的方程． 解：（1）由题意，抛物线E 的焦点为(0,)2p F ，直线1l 的方程为12p y k x =+由1222p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22120x pk x p --=设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12,x x 是上述方程的两个实数根，从而1212x x pk +=，212121()2y y k x x p pk p +=++=+，所以点M 的坐标为211(,)2ppk pk +，211(,)FM pk pk =，同理可得点N 的坐标为222(,)2p pk pk +，222(,)FN pk pk =，于是2221212()FM FN p k k k k ⋅=+由题设，122k k +=，12120,0,k k k k >>≠，所以21212012k k k k +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故222(11)2FM FN p p ⋅<+=． （2）由抛物线的定义得12p FA y =+，22pFB y =+，所以212122AB y y p pk p =++=+，从而圆M 的半径211r pk p =+，故圆M 的方程为22222111()()()2px pk y pk pk p -+--=+，化简得：22221132(21)04x y pk x p k y p +--+-=，同理可得圆N 方程为：22222232(21)04x y pk x p k y p +--+-=于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为222121()()0k k x k k y -+-=，又21210,2k k k k -≠+=，则l的方程为20x y +=，因为0p >，所以点M 到直线l的距离2117[2()]p k d ++=故当114k =-时，d=8p =，故所求的抛物线E 的方程为216x y =． 【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．（22）【2013年湖南，理22，13分】已知0a >，函数()2x af x x a-=+．（1）记()f x 在区间[0,4]上的最大值为()g a ，求()g a 的表达式；（2）是否存在a ，使函数()y f x =在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．解：（1）当0x a ≤≤时，()2a x f x x a -=+；当x a >时，()2x af x x a-=+，因此，当(0,)x a ∈时，23'()0(2)a f x x a -=<+，()f x 在(0,)a 上单调递减；当(,)x a ∈+∞时，23'()0(2)af x x a =>+，()f x 在(,)a +∞上单调递增；①若4a ≥，则()f x 在(0,4)上单调递减，1()(0)2g a f ==；②若04a <<，则()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,4)a 上单调递增．所以()max{(0),(4)}g a f f =，而141(0)(4)2422a a f f a a ---=-=++，当01a <≤时，4()(4)42ag a f a-==+；当14a <<时，1()(0)2g a f ==． 综上所述，4,0142()1,12aa a g a a -⎧<≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩．（2）由（1）知，当4a ≥时，()f x 在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当04a <<时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,4)a 上单调递增，若存在1212,(0,4)()x x x x ∈<，使曲线()y f x =在1122(,()),(,())x f x x f x 两点处的切线互相垂直，则12(0,),(,4)x a x a ∈∈，且12'()'()1f x f x ⋅=-，即2212331(2)(2)a ax a x a -⋅=-++， 亦即12322a x a x a +=+ （*）由12(0,),(,4)x a x a ∈∈得12(2,3)x a a a +∈，233(,1)242a a x a a∈++，故（*）成立等价于集合{|23}A x a x a =<<与集合3{|1}42aB x x a =<<+的交集非空．因为3342aa a<+，所以当且仅当021a <<，即102a <<时，A B ≠∅．综上所述，存在a 使函数()f x 在区间(0,4)内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是1(0,)2．【点评】本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．。
2013年湖南卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学本试卷共22题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（原创）已知集合{}2|20A x x x =−−<，集合{}|0B x x =≥，则AB =（ ）A ．()1,2−B ．[)0,2C ．()0,2D ．[]1,2− 2．（原创）复数i i−12的虚部为（ ） A ．iB ．i −C ．1D ．1−3．（原创）已知命题p ：函数()f x 在0x x =处有极值，命题q ：可导函数()f x 在0x x =处导数为0，则p 是q 的（ ）条件。
A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 4.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是5.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg6. 已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =17 . 设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论： ①c a ＞c b；② c a ＜cb ； ③ log ()log ()b a ac b c −>−， 其中所有的正确结论的序号是__.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③8 . 在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于A．2B.2C.2D.49. 设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'−>，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为A .2B .4 C.5 D. 8二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题，（请考生在第10，,1两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分） 10.在极坐标系中，曲线1C：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =_______. 11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______. (二)必做题（12~16题）12.不等式x 2-5x+6≤0的解集为______.13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.08910352图(注：方差2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=−+−++−⎣⎦，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)14.如果执行如图3所示的程序框图，输入 4.5x =,则输出的数i = .15.如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC = . 16.对于N n *∈，将n 表示为1101102222kk k k n a a a a −−=⨯+⨯++⨯+⨯,当i k =时1i a =，当01i k ≤≤−时i a 为0或1，定义n b 如下：在n 的上述表示中，当01,a a ，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n =1；否则b n =0. （1）b 2+b 4+b 6+b 8=__；（2）记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m +1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是___. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，（Ⅰ）确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； （Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.（将频率视为概率）18.（本小题满分12分）已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=−−+的单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD. （Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.20.（本小题满分13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元. （Ⅰ）用d 表示a 1，a 2，并写出1n a +与a n 的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示）.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标.22.（本小题满分13分）已知函数f(x)=e x -ax ，其中a ＞0.（1）若对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立，求a 的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A （x 1, f(x 1)）,B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2)，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在x 0∈（x 1,x 2）,使0()f x k '=恒成立.2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学(参考答案)二、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 4.【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型. 5. 【答案】D【解析】由回归方程为y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()y bx a bx y bx a y bx =+=+−=−，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错. 6.【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又C 的渐近线为by x a=±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12b a ∴=，即2a b =.又222c a b =+，25,5a b ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 7 . 【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知11a b <，又0c <，所以c a ＞cb，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，0c <知11a c b c c −>−>−>，由对数函数的图像与性质知③正确.【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点. 8 .【答案】B【解析】设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+−⋅⋅，即27422cos60c c =+−⨯⨯⨯，2230,(-3)(1)c c c c −−=+即=0.又0, 3.c c >∴= 设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABCSAB BC B BC h ==，知 1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯，解得2h =. 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容. 9. 【答案】Ｂ【解析】由当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'−>，知0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈> ⎥⎝⎦，时,为增函数又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下，由图知y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题，（请考生在第10，,1两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分） 10.【答案】2【解析】曲线1C 1y +=，曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，所以1C 与x轴交点横坐标与a 值相等，由0,2y x ==，知a ＝2. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得.11.xyo2π2π−11−sin y x=()y f x =【答案】７【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7.【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力. (二)必做题（12~16题） 12.【答案】{}23x x ≤≤【解析】由x 2-5x+6≤0，得(3)(2)0x x −−≤，从而的不等式x 2-5x+6≤0的解集为{}23x x ≤≤. 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力. 13【答案】6.8 【解析】1(89101315)115x =++++=， 2222221(811)(911)(1011)(1311)(1511)5s ⎡⎤=−+−+−+−+−⎣⎦ 6.8=. 【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力. 14.【答案】4【解析】算法的功能是赋值，通过四次赋值得0.5x =，输出4i =.【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题的能力，平时学习时注意对分析问题能力的培养. 15.【答案】18 【解析】设ACBD O =，则2()AC AB BO =+，AP AC = 2()AP AB BO +=22AP AB AP BO +222()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法. 16.【答案】（1）3；（2）2. 【解析】（1）观察知000112,1,1a a b =⨯==；1010221202,1,0,1a a b =⨯+⨯===； 一次类推1331212,0b =⨯+⨯=；21044120202,1b =⨯+⨯+⨯=；21055120212,0b =⨯+⨯+⨯=；2106121202=⨯+⨯+⨯，60b =，781,1b b ==，b 2+b 4+b 6+b 8=３；（2）由（1）知c m 的最大值为２.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）由已知得251055,35,15,20y x y x y ++=+=∴==，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:115 1.530225 2.5203101.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分钟).（Ⅱ）记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，123,,A A A 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得123153303251(),(),()10020100101004P A P A P A ======. 123123,,,A A A A A A A =且是互斥事件， 123123()()()()()P A P A A A P A P A P A ∴==++33172010410=++=. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率. 18.【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(),21212T Tππππω=−=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即. 又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而，即=6πϕ.又点0,1（）在函数图像上，所以sin 1,26A A π==，故函数f （x ）的解析式为()2sin(2).6f x x π=+（Ⅱ）()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−+−++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=−+12sin 22(sin 2cos 2)22x x x =−+sin 22x x =2sin(2),3x π=− 由222,232k x k πππππ−≤−≤+得5,.1212k x k k z ππππ−≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=−=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ，从而求出f （x ）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+的单调性求得. 19.【解析】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以 又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ， 而PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥.（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ， 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=. 由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥. 在Rt POD 中，由DPO ∠30=，得PD=2OD. 因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 1(42)39.2S =⨯+⨯=在等腰三角形ＡＯＤ中，,2OD AD ==所以2 4.PD OD PA ====故四棱锥P ABCD −的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积. 20.【解析】（Ⅰ）由题意得12000(150%)3000a d d =+−=−，2113(150%)2a a d a d =+−=−，13(150%)2n n n a a d a d +=+−=−.（Ⅱ）由（Ⅰ）得132n n a a d −=−2233()22n a d d −=−− 233()22n a d d −=−−=12213333()1()()2222n n a d −−⎡⎤=−++++⎢⎥⎣⎦. 整理得 1133()(3000)2()122n n n a d d −−⎡⎤=−−−⎢⎥⎣⎦13()(30003)22n d d −=−+. 由题意，134000,()(30003)24000,2n n a d d −=∴−+=解得13()210001000(32)2332()12n n n n nn d +⎡⎤−⨯⎢⎥−⎣⎦==−−. 故该企业每年上缴资金d 的值为缴11000(32)32n n n n+−−时，经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为４０００元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出1n a +与a n 的关系式132n n a a d +=−，第二问，只要把第一问中的132n n a a d +=−迭代，即可以解决. 21.【解析】（Ⅰ）由22420x y x +−+=，得22(2)2x y −+=.故圆Ｃ的圆心为点(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为22221(0),x y a b a b+=>>其焦距为2c ，由题设知22212,,24,12.2c c e a c b a c a ===∴===−=故椭圆Ｅ的方程为： 221.1612x y += （Ⅱ）设点p 的坐标为00(,)x y ，12,l l 的斜分率分别为12,.k k 则12,l l 的方程分别为10102020:(),:(),l y y k x x l y y k x x −=−−=−且121.2k k =由1l 与圆22:(2)2c x y −+=相切，得=即 222010020(2)22(2)20.x k x y k y ⎡⎤−−+−+−=⎣⎦同理可得 222020020(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤−−+−+−=⎣⎦.从而12,k k 是方程0220000(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤−−+−+−=⎣⎦的两个实根，于是 202200(2)20,8(2)20,x x y ⎧−−≠⎪⎨⎡⎤∆=−+−>⎪⎣⎦⎩① 且2012222 2.(2)2y k k x −==−− 由220020201,161221(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨−⎪=⎪−−⎩得20058360.x x −−=解得02,x =或010.5x = 由02x =−得03;y =±由0185x =得0,5y =±它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 (2,3)−，或(2,3)−−，或18(55，或18(,55−.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出,,c a b 即得椭圆E 的方程，第二问设出点P 坐标，利用过P 点的两条直线斜率之积为12，得出关于点P 坐标的一个方程，利用点P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P 坐标.22.【解析】解：(),x f x e a '=−令()0ln f x x a '==得.当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减；当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增，故当ln x a =时，()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =−于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当ln 1a a a −≥. ①令()ln ,g t t t t =−则()ln .g t t '=−当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当1a =时，①式成立.综上所述，a 的取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21212121()().x x f x f x e e k a x x x x −−==−−− 令2121()(),x x xe e xf x k e x x ϕ−'=−=−−则 12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ−⎡⎤=−−−−⎣⎦− 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ−⎡⎤=−−−⎣⎦− 令()1t F t e t =−−，则()1t F t e '=−.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t −−>从而2121()10x x e x x −−−−>，1212()10,x x e x x −−−−>又1210,x e x x >−2210,x e x x >− 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =−对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题 (理科) word解析版
⎨ ⎩绝 密 ★ 启 用 前 2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页，时量 120 分钟，满分 150 分。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 z = i (1+ i )(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】 B【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选 B2.某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显 著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法【答案】 D【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。
选 D3.在锐角中∆ABC ，角 A , B 所对的边长分别为a , b .若2a sin B = 3b ,则角A 等于A ． πB ． πC ． πD ． π12 6 4 3【答案】 Dπ π 【解析】 由2asinB = 3b 得 : 2sinA ⋅ sinB = ⋅ sinB ⇒ sinA =，A < 2 ⇒ A = 2 。
选 D 3⎧ y ≤ 2x4.若变量 x , y 满足约束条件⎪x + y ≤ 1， 则x + 2 y 的最大值是⎪ y ≥ -1 A ． - 5 2 【答案】 C B ． 0 C ． 5 3 D ． 521 2 5【解析】 区域为三角形，直线 u = x + 2y 经过三角形顶点( , 3 )时，u = 3 最大。
选 C35.函数 f (x ) = 2 ln x 的图像与函数 g (x ) = x 2 - 4x + 5的图像的交点个数为 A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】 B【解析】 二次函数 g (x ) = x 2- 4x + 5的图像开口向上，在 x 轴上方，对称轴为 x=2，g(2) = 1；f(2) =2ln2=ln4>1.所以 g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为 2 。
2013年高考真题——理科数学(湖南卷)解析
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+ 为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 B【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 【答案】 D 【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。
选D3.在锐角中A B C ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π【答案】 D【解析】 3=A 223=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由ππ⇒<⇒⋅⋅A ，选D4.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】 C【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(=u选C5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】 B【解析】 二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2 选B6. 已知,a b 是单位向量，0a b = .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．⎤⎦B ．2⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．12⎡⎤⎣⎦【答案】 A【解析】向量之差的向量与即一个模为单位c 2.1|c -)b a (||b a -c |,2|b a |向量，是b ,a =+=-=+∴ 的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2+≤≤c 。
2013年湖南高考理科数学试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()i 1i z =+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【测量目标】复数乘法的运算法则,复数集与复平面上的点对应关系. 【考查方式】利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】i (1i)1i z =+=-+∴复数z 对应复平面上的点是(1,1),-该点位于第二象限.2.某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 （ ） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出实际案例，判断其解决问题的方法属于四种抽样方法的哪一种. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法. 3.在锐角中ABC △，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b =则角A 等于（ ）A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出三角形中的边角关系，运用正弦定理求解未知角. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】在ABC △中，2sin ,2sin a R A b R B ==(R 为ABC △的外接圆半径).（步骤1）2sin 3,2sin sin 3.a B b A B B =∴=3sin A ∴=（步骤2）又ABC △为锐角三角形，π3A ∴=.（步骤3）4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．52-B ．0C ．53D ．52【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】利用线性规划知识求目标函数的最值问题. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】根据不等式组作出其平面区域，令2,z x y =+结合2z x y =+的特征求解.不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，（步骤1）平行移动11,22y x z =-+可知该直线经过2y x =与1x y +=的交点12(,)33A 时，z 有最大值为145=333+.（步骤2）第4题图5.函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】先作出常见函数图象再确定其图象交点个数. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】22()45(2)1,g x x x x =-+=-+又当2x =时，()2ln 2ln 41,f x ==>（步骤1）在同一直角坐标系内画出函数()2ln f x x =与2()45g x x x =-+的图象，如图所示，可知()f x 与()g x 有2个不同的交点.（步骤2）第5题图6. 已知,a b 是单位向量，0=a b .若向量c 满足1,--=c a b 则c 的取值范围是（ ）A ．22+1⎡⎤⎣⎦B ．22+2⎡⎤⎣⎦C ．2+1⎡⎤⎣⎦D ．2+2⎡⎤⎣⎦【测量目标】向量数量积的运算及定义、向量加法的几何意义.【考查方式】将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律以及向量数量积定义的求解. 【难易程度】较难 【参考答案】A3 / 13【试题解析】由题意，不妨令(0,1),(1,0),(,)x y ===a b c ，由1--=c a b 得22(1)(1)1x y -+-=，（步骤1）22x y =+c 可看做(,)x y 到原点的距离，而点(,)x y 在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．（步骤2）如图所示，当点(,)x y 在位置P 时到原点的距离最近，在位置P '时最远，而21PO =-,21P O '=+，故选A ．（步骤3）第6题图 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B ．2 C ．212- D ．2+12【测量目标】空间几何体三视图.【考查方式】根据正方体的正视图的形状来求解其面积值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为2cos θ，如图所示．故正视图的面积为π2cos (0)4S θθ=，∴12S ，而21<12-，故面积不可能等于212-.第7题图8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到点P （如图）.若光线QR 经过ABC △的重心，则AP 等于（ ）第8题图A ．2B ．1C ．83D ．43【测量目标】直线的斜率，直线的方程.【考查方式】已知一个三角形的边长关系，建立平面直角坐标系求解未知边的值. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．（步骤1）设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭.设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，（步骤2）因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴12P D P D k k =，即4443344433mm -+=+-，（步骤3）解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去．∴43m =.（步骤4）第8题图二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xOy 中，若:x t l y t a =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，过椭圆C 3cos :2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为 .【测量目标】参数方程的转化，椭圆的简单几何性质.【考查方式】先将参数方程化为普通方程后求解，再运用椭圆的简单几何性质求出未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，（步骤1）所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3. （步骤2） 10.已知,,,236,a b c a b c ∈++=R 则22249a b c ++的最小值为 . 【测量目标】柯西不等式，最值问题.【考查方式】使用柯西不等式化简式子求其最值. 【难易程度】中等 【参考答案】12【试题解析】由柯西不等式得2222222(111)(49)(23)a b c a b c ++++++，即22241912a b c++，（步骤1）当232a b c ===时等号成立，所以222419a b c ++的最小值为12. （步骤2） 11.7的O 中,弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为 .5 /13第11题图【测量目标】圆的相交弦定理及圆的弦的性质，解三角形.【考查方式】由相交弦定理求出圆内线段的长再根据弦的性质求解三角形中未知数. 【难易程度】中等【参考答案】32【试题解析】如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD PC PA PB =，（步骤1）所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝52，OC ＝7.（步骤2）所以O 到CD 距离为2253722OE ⎛⎫=()-= ⎪⎝⎭.（步骤3）第11题图必做题（12-16题）12.若20d 9,Tx x =⎰则常数T 的值为 .【测量目标】微积分基本定理.【考查方式】利用微积分基本定理建立方程求解. 【难易程度】中等 【参考答案】3 【试题解析】∵321=3x 'x ⎛⎫⎪⎝⎭，∴2330011d 0933T T x x x T ==-=⎰，∴3T =. 13.执行如图所示的程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 .第13题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读程序框图，运行程序得出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】9【试题解析】输入1,2,a b ==不满足8,a >故a ＝3；a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5；a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9.14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126,PF PF a +=且12PF F △的最小内角为30，则C 的离心率为___.【测量目标】双曲线的定义，余弦定理.【考查方式】根据双曲线的定义及已知条件，利用余弦定理建立关于,a c 的方程求解. 【难易程度】较难 【参考答案】3【试题解析】不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩（步骤1）∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴222242cos30224c a a c a︒()+()-()=⨯⨯，（步骤2）整理得，223230c a ac +-=，即22330,3e e e -+=∴=.（步骤3）15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n *=--∈N 则（1）3a =_____； （2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【测量目标】已知递推关系求通项，数列的前n 项和. 【考查方式】根据1(2)n n n a S S n -=-建立关于n a 的关系式，根据n a 的关系式归纳寻找其规律后求解.【难易程度】中等 【参考答案】116- 10011(1)32- 【试题解析】111111(1)(1),22n n n n n n n n n a S S a a ----=-=----+111(1)(1)2n n n n n na a a --∴=---+（步骤1）当n 为偶数时，11,2n n a -=-当n 为奇数时，1122n n n a a -+=,（步骤2）∴当4n =时3411216a =-=-.（步骤3）根据以上{}n a 的关系式及递推式可求：135724681111,,,,2222a a a a =-=-=-=-246824681111,,,.2222a a a a ====（步骤4）21436535111,,,,222a a a a a a ∴-=-=-= (12100214310099231001111)()()()()2222S S S a a a a a a ∴+++=-+-++--++++ (399210010011111111)()()(1)22222232=+++-+++=-……（步骤6） 16．设函数(),0,0.xxxf x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合M ={(,,),,a b c a b c 不能构成一个三角形的三条边长，且a b =}，则(,,)a b c M ∈所对应7 / 13的()f x 的零点的取值集合为____.（2）若,,a b c 是ABC △的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②,x ∃∈R 使,,xxxa b c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC △为钝角三角形，则()1,2,x ∃∈，使()0.f x =【测量目标】对数的运算，对数、指数函数的性质，余弦定理，函数零点存在性定理.【考查方式】由三角形的构成条件与函数的零点存在性求解未知参数的范围，以及举反例验证. 【难易程度】较难 【参考答案】{}01x x < ①②③【试题解析】(1)0,0,c a c b a b >>>>=且,,a b c 不能构成三角形三边，02, 2.c ac a∴<∴（步骤1）令()0f x =得2xxa c =，即2xc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（步骤2）21log 2log 1c ac x x a ∴=∴=01x∴<（步骤3）（2）①,,a b c 是三角形的三条边长，0,0,01,01a ba b c c a c b c c∴+>>>>>∴<<<<∴当(,1)x ∈-∞时， ()()()1(1)0x x x x x x x xa b a b a b c f x a b c c c c c c c c c +-⎡⎤=+-=+->+-=>⎢⎥⎣⎦（步骤4）(,1),()0x f x ∴∀∈-∞>故①正确（步骤5）；②令2,3,4,a b c ===，则,,a b c 可以构成三角形.但2224,9,16a b c ===却不能构成三角形，故②正确；（步骤6）③,c a c b >>且ABC △为钝角三角形，2220a b c ∴+-<又222(1)0,(2)0f a b c f a b c =+->=+-<∴（步骤7）函数()f x 在()1,2上存在零点，故③正确. （步骤8）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数2ππ()sin()cos(),()2sin632x f x x x g x =-+-=. （I ）若α是第一象限角，且33()f α=.求()g α的值； （II ）求使()()f x g x 成立的x 的取值集合.【测量目标】两角和与差的正、余弦公式，二倍角的余弦公式以及三角函数不等式的解法. 【考查方式】运用三角恒等变换公式化简函数求解. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f .（步骤1）23π41sin ,(0,)cos ,()2sin 1cos 52525g αααααα⇒=∈⇒===-=且（步骤2） （II ）31π1()()3sin 1cos sin cos sin()2262f xg x x x x x x ⇒-⇒+=+（步骤3） ππ5π2π[2π,2π][2π,2π],6663x k k x k k k ⇒+∈++⇒∈+∈Z （步骤4）18．（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（I ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； （II ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.第18题图【测量目标】古典概型，分布列数学期望.【考查方式】利用古典概型求概率，根据所求概率列出分布列，结合期望公式求解. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(1,2),8对格点恰好“相近”.所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率821239P ==⨯.（步骤1） （Ⅱ）三角形共有15个格点.与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4).所以2(51)15P Y ==（步骤2），与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).所以4(48)15P Y ==（步骤3），与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1) ,(0，2),(0，3).所以6(45)15P Y ==（步骤4）与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1).所以3(42)15P Y ==（步骤5）如下表所示：X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 频数 2463概率P152 154 156 1539 / 132463102192270126690()5148454246151515151515E Y +++=⨯+⨯+⨯+⨯===46)(=∴Y E . （步骤6）19．（本小题满分12分）如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=，13AD AA ==.（I ）证明：1AC B D ⊥； （II ）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.第19题图【测量目标】线面垂直的判定与性质，线面角.【考查方式】利用空间线面垂直的性质证明线线垂直，建立空间直角坐标系用向量法证明，再求直线与平面所成角的正弦值 【难易程度】中等 【试题解析】(Ⅰ)1111ABCD A B C D -是直棱柱1AC ∴⊥面ABCD ，且面BD ⊂面1ABCD BB AC⇒⊥（步骤1）又AC BD ⊥，且1BDBB B =，AC ∴⊥面1BDB ，1B D ⊂面1BDB ，1AC B D ∴⊥.（步骤2） （Ⅱ）11////,B C BC AD ∴直线11B C 与平面1ACD 的夹角即直线AD 与平面1ACD 的夹角θ.（步骤3）建立直角坐标系，用向量解题.设原点在A 点，AB 为y 轴正半轴，AD 为x 轴正半轴，1AA 为z 的正半轴. 设()10,00,(3,0,0),(3,0,3),(0,,0),(1,,0)A D D B y C y ，，11(0,,3),(1,,3)B y C y 则(1,,0),(3,,0),AC y BD y AC BD ==-⊥210300,0 3.(1,3,0),(3,0,3).AC BD y y y AC AD =⇒-+=>⇒=∴==（步骤4）设平面1ACD 的法向量为(,,)x y z n ，则10AC AD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩n n 平面1ACD 的一个法向量11313,100BC ==（-，，）（，，）n （步骤5） 所以平面1ACD 的一个法向量1111321313,100sin |cos ,|77B C B C θ==⇒=<>==（-，，）（，，）n n所以11B C 与平面1ACD 夹角的正弦值为217.（步骤6）第19题（Ⅱ）图20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径123MM M M N 与路径1MN N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心.（I ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II ）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.第20题图【测量目标】绝对值函数最值.【考查方式】将实际案例中的关系先列出式子再将其转化为含绝对值的和的形式，进行分类讨论求解. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）设点(,)P x y ，且0.y点P 到点A （3，20）的“L 路径”的最短距离d 等于水平距离加上垂直距离，即320d x y =-+-，其中0,.yx ∈R （步骤1）（Ⅱ）点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v （且h 和v 互不影响）.显然当y =1时，v = 20+1=21；显然当[10,14]x ∈-时，水平距离之和(10)14324h x x x =--+-+-,且当x =3时，h =24.因此,当P (3,1)时，d =21+24=45. （步骤2）所以，当点(,)P x y 满足P (3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45. （步骤3） 21．（本小题满分13分）过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l 与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l .11 / 13（I ）若120,0k k >>，证明；22FM FN p <；（II ）若点M 到直线l的距离的最小值为，求抛物线E 的方程. 【测量目标】抛物线的定义，向量数量积的定义，圆的方程，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】先将直线方程带入抛物线的方程，利用向量数量积的坐标运算求解，再求出圆的相交弦方程利用点到直线的距离公式及函数思想求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)已知抛物线的焦点为(0,).2p F 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 4412123434(,),(,),(,)D x y M x y N x y ，（步骤1）直线1l 方程：1,2p y k x =+与抛物线E 方程联立，化简整理得22120x pk x p -++=：（步骤2） 2221212112121121112,,(,)22x x px x k p x x p x k p y k p FM k p k p +⇒+==-⇒===+⇒=（步骤3）同理221234234222,(,)22x x px k p y k p FN k p k p +⇒===+⇒=.（步骤4）2222212121212(1)FM FN k k p k k p p k k k k ⇒=+=+（步骤5）222121212*********,0,,221,(1)1(11)2k k k k k k k k k k FM FN p k k k k p p >>≠=+>⇒<∴=+<⨯⨯+=所以，22FM FN p <成立. （步骤6） （Ⅱ）设圆M N 、的半径分别为22121121111,[()()][2()],22222p p pr r r y y p k p k p p ⇒=+++=++=+ 211,r k p p ⇒=+（步骤7）同理2222,r k p p =+则M N 、的方程分别为22212121()()x x y y r -+-=， 22234342()()x x y y r -+-=，（步骤7）直线l 的方程为：2222223412341212341234122()2()0x x x y y y x x y y r r -+-+-+--+=.222121123412341234123421212()2()()()()()()()0p k k x p k k y x x x x y y y y r r r r ⇒-+-++-++-+-+= 222222222222222212112121221122()2()()()()()(2)0p k k x p k k y p k k p k k k k p k k k k ⇒-+-+-+-++-++=0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒yx k k p k k p p y x （步骤8）点1212(,)M x y 到直线l 的距离为：2211112()()144||||55d p p -+-+====8p ⇒=⇒抛物线的方程为216x y =（步骤9）22．（本小题满分13分）已知0a >，函数()2x af x x a-=+.（I ）记()f x 在区间[]0,4上的最大值为g a (),求g a ()的表达式；（II ）是否存在a ，使函数()y f x =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【测量目标】利用导数求分段函数的最值，导数的几何意义.【考查方式】根据已知条件转化函数为分段函数再求导，判断极值点所在区间进行分类讨论，依题意将问题转化为函数单调性不一致区间上的两个点处的导数之积等于1-建立方程求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)当0,a >○13()1,22x a af x x a x a-==-++ 当2x a <-或x a 时，是单调递增的；（步骤1）○23()122x a af x x a x a-+==-+++,当2a x a -<<时，是单调递减的.由上知，（步骤2）当4a >时()f x 在[0,4]x ∈上单调递减，其最大值为31(0)122a f a =-+=,（步骤3）当4a 时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,4]a 上单调递增. （步骤4）令31(4)1(0)422a f f a =-<=+，解得：(1,4]a ∈，即当(1,4]a ∈时，()g a 的最大值为(0)f ，（步骤5）当(0,1]a ∈时，()g a 的最大值为(4)f ，综上，(]()31,0,142()=1,1,2a a ag a a ⎧-∈⎪⎪+⎨⎪∈+∞⎪⎩.（步骤6）（II ）由前知，()y f x =的图象是由两段反比例函数的图象组成的.因此，若在图象上存在两点),(),,(2211y x Q y x P 满足题目要求，则P ,Q 分别在两个图象上，且12()()1f x f x ''=-.（步骤7）223,2,(2)()3,2;(2)ax a x ax a f x a a x a x a ⎧<-⎪+⎪'=⎨-⎪-<<⎪+⎩或(04a <<)（步骤8）不妨设12122212331,(0,),(,4]3(2)(2)(2)(2)a ax a x a a x a x a x a x a -=-∈∈⇒=++++2222212121222324032402()43224a ax a a a ax a x x a x x a a x x a x a a x ⎧--<<--⎪⇒=+++-⇒=⇒+⎨+⎪<<⎩22222203242342434111224223404(0,)222484228x a x a a ax a a x a a a a a a a x a x <--<--<-⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒<+⇒-<⇒<-⇒<<<⇒∈⎨⎨⎨⎪⎪⎪-<<<<<⎩⎩⎩，且（步骤9）13 / 13所以，当)21,0(∈a 时，函数()y f x =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直. （步骤10）。
2013年 湖南学考真题及答案
2013年湖南省普通高中学业水平考试试卷生物本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共7页。
时量90分钟，满分100分。
第Ⅰ卷（1～40题，共40分）本卷共40小题，每小题1分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．某水域生态系统中，一只龟属于生命系统的哪个结构层次A．细胞 B．个体 C．种群 D．群落2．水稻叶肉细胞与大肠杆菌细胞最明显的区别是有无A．细胞膜 B．细胞壁 C．细胞质 D．核膜3. 在生物体的活细胞中，含量最多的化合物是A．无机盐 B．水 C．磷脂 D．糖类4. 两个氨基酸分子脱水缩合形成二肽化合物的过程中，脱去的水分子数为A. 1个B. 2个C．3个D．0个5. 豌豆叶肉细胞的DNA分子中，含有的碱基种类是A. 1种B. 4种C．5种D．8种6. 生物体进行生命活动的主要能源物质是A．水B．蛋白质C．核酸 D．糖类7. 夏季酷暑时分，在室外作业的人们应多饮用A．果汁B．牛奶 C．淡盐水 D．纯净水8．高等植物细胞发生的质壁分离是指A．原生质层与细胞壁的分离 B．原生质层与细胞核的分离C．原生质层与细胞膜的分离D．原生质层与液泡膜的分离9．构成细胞生物膜的基本骨架是A．蛋白质分子B．多糖C．磷脂双分子层D．胆固醇10．右图所示物质跨膜运输的方式是A．自由扩散B．协助扩散C．被动运输D．主动运输11．右图表示植物细胞有丝分裂某时期，该时期是A．前期 B．中期C．后期 D．末期12．细胞的全能性是指A．细胞具有分裂的能力B．已经分化的细胞，仍然具有发育成完整个体的潜能C．细胞具有分化的能力D．细胞具有生长的能力13. 下列哪项不是细胞衰老的特征A．细胞内的水分减少 B．细胞内的呼吸速率减慢C．细胞能无限增殖 D．细胞内的色素积累较多14．下列各项中属于化学致癌因子的是A．X射线B．紫外线C．亚硝胺D．电离辐射15.下列性状中，不属于相对性状的是A．兔的长毛和短毛B．猫的黑毛和白毛C．豌豆的圆粒和皱粒 D．人的身高和体重16．一对正常夫妇生了一个患白化病的女孩，这对夫妇可能的基因型组合是A．aa×aa B．AA×AA C．Aa×Aa D．Aa×aa 17．精子形成过程中，减数第一次分裂中期的染色体数和DNA分子数之比是A．1∶2 B．2∶1 C．1∶1 D．4∶1 18．右图是某动物卵细胞形成过程中四分体时期，图中四分体的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个19．下列哪项不是萨顿推论“基因和染色体行为存在着明显的平行关系”的理由A．两者在体细胞中成对存在B．染色体就是由基因组成C．成对基因和同源染色体都是一个来自父方，一个来自母方D．减数第一次分裂后期，非等位基因随着非同源染色体的自由组合而组合20．一个红绿色盲女性（X b X b）和一个正常男性（X B Y）结婚，所生子女的表现型是A．儿子全正常 B．儿子全为红绿色盲C．女儿全为红绿色盲 D．女儿有的为红绿色盲，有的正常21．人类抗维生素D佝偻病基因（D）位于X染色体上，下列哪项是正常男性的基因型A．X D X D B．X D X d C．X D Y D．X d Y22．肺炎双球菌的转化实验中，能使R型细菌转化为S型细菌的物质是S型细菌的A．蛋白质 B．多糖C．DNA D．脂肪23．某双链DNA分子中，腺嘌呤（A）占全部碱基的20%，则胞嘧啶（C）占全部碱基的A．20% B．30% C．40% D．50%24．下列哪项不是DNA分子复制时所需的条件A．DNA解旋酶 B．模板和原料C．RNA聚合酶D．能量25．下列关于基因的叙述中，正确的是A．基因是有遗传效应的DNA片段 B．基因的基本组成单位是氨基酸C．基因的基本组成单位是葡萄糖 D．基因有催化作用26．下列哪项不是基因突变的特点A．普遍存在B．频率很高C．随机发生 D．不定向27．秋水仙素能诱导多倍体形成的原因是A．抑制细胞分裂时纺锤体的形成 B．促进DNA多次复制C．促进细胞多次分裂 D．抑制染色体着丝点的分裂28．人的猫叫综合征是第5号染色体部分缺失引起的遗传病，这种遗传病的类型是A．染色体结构异常遗传病 B．染色体数目异常遗传病C．单基因遗传病 D．多基因遗传病29．利用高产不抗病小麦和低产抗病小麦，经过杂交、多次自交、选择培育出高产抗病小麦新品种，这种育种方法的原理是A．基因重组B．基因突变C．染色体变异 D．基因工程30．下列生物群体中属于种群的是A．一个池塘中的全部生物 B．一个池塘中的全部鲤鱼C．一个池塘中的全部鱼 D．一个池塘中的全部水生植物31．现代生物进化理论认为，生物进化的实质是A．种群基因频率的定向改变 B．生物发生定向的基因突变C．生物发生定向的基因重组D．生物发生定向的染色体变异32．下图表示反射弧的基本结构，兴奋传递过程中，在突触①处发生的信号转变是A．电信号→化学信号→化学信号B．化学信号→电信号→化学信号C．电信号→化学信号→电信号D．化学信号→电信号→电信号33．下列内分泌腺或内分泌细胞与其分泌的激素的搭配中，错误的是A．性腺——性激素 B．垂体——促甲状腺激素C．胰岛B细胞——胰高血糖素 D．甲状腺——甲状腺激素34．目前普遍认为，机体维持内环境稳态的主要调节机制是A．神经调节 B．体液调节C．免疫调节 D．神经—体液—免疫调节35．下列哪项是植物在单侧光照射下，表现出向光性的原因A．植物背光一侧生长素含量少于向光一侧B．植物背光一侧生长素含量多于向光一侧C．植物背光一侧生长素含量等于向光一侧D．植物背光一侧生长比向光一侧慢36．下列植物激素及其对应的主要作用中，错误的是A．赤霉素——促进细胞伸长、种子萌发和果实发育B．细胞分裂素——促进细胞分裂C．乙烯——抑制果实成熟D．脱落酸——抑制细胞分裂37．在对某种鼠的调查中，调查范围为1公顷，第一次捕获并标记39只鼠，第二次捕获34只鼠，其中有标记的鼠17只。
2013高考数学年湖南卷(理)
2013湖南卷(理)一、选择题1．复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵z ＝i ＋i 2＝－1＋i ， ∴z 对应的点在第二象限．2．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( ) A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法答案 D解析 总体(100名学生)中的个体(男、女学生)有明显差异，应采用分层抽样．3．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.4．若变量x ，y 满足约束条件{ y ≤2x ， x ＋y ≤1， y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( ) A ．－52B ．0C.53D.52答案 C解析 画出可行域如图．设z ＝x ＋2y ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点M ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53.5．函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．0答案 B解析 画出两个函数f (x )，g (x )的图象，由图知f (x )，g (x )的图象的交点个数为2.6．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案 A解析 由已知得|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝2， |a ＋b |－1≤|c |≤|a ＋b |＋1， ∴2－1≤|c |≤2＋1.7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A ．1B. 2C.2－12D.2＋12答案 C解析 由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.8．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 发射后又回到原点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( ) A ．2 B ．1 C.83D.43答案 D解析 建立如图所示的坐标系， 则重心G ⎝⎛⎭⎫43，43， 设直线RQ 方程为 y －43＝k ⎝⎛⎭⎫x －43， 则R ⎝⎛⎭⎫0，43(1－k )，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋83k ＋3，8k ＋43k ＋3. ∴直线PR ：y －43(1－k )＝－kx 可得P ⎝⎛⎭⎫4－4k 3k ，0. 设n ＝(－1，－1)，则〈QR →，n 〉＝〈QP →，n 〉， 可得k ＝12，故P ⎝⎛⎭⎫43，0. 二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，若l ：{ x ＝t ， y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：{ x ＝3cos φ， y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．答案 3解析 椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则0＝3－a ，∴a ＝3. 10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 答案 12解析 ∵(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2yz ＋2zx ≤3(x 2＋y 2＋z 2)，∴a 2＋4b 2＋9c 2≥13(a ＋2b ＋3c )2＝363＝12.∴a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.11．如图，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________．答案32解析 在⊙O 中，P A ·PB ＝PC ·PD ， ∴2×2＝PC ×1，∴PC ＝4，∴CD ＝5. ∴圆心O 到CD 的距离为(7)2－⎝⎛⎭⎫522＝34＝32. 12．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ʃT 0x 2d x ＝13x 3| T 0＝13×T 3＝9. ∴T 3＝27，∴T ＝3.13．执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出a 的值为________．答案 9解析 输入a ＝1，b ＝2，执行第一次循环a ＝3；第二次循环a ＝5；第三次循环a ＝7；第四次循环a ＝9.循环终止，输出a ＝9.14．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________． 答案3解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°， ∴∠PF 2F 1＝90°，∴|F 1F 2|＝23a ， ∴双曲线C 的离心率e ＝23a 2a＝ 3.15．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则：(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________. 答案 (1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 解析 (1)∵S n ＝(－1)n a n －12n .n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18①n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，∴a 1＋a 2＋a 3＝－116.②由①②知a 3＝－116.(2)n >1时，S n －1＝(－1)n －1a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴a n ＝(－1)n a n ＋(－1)n a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n . 当n 为奇数时，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12a n －1； 当n 为偶数时，a n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n .故a n ＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫12n ＋1，n 为奇数， ⎝⎛⎭⎫12n ，n 为偶数. ∴S n ＝⎩⎨⎧－12n 1，n 为奇数， 0，n 为偶数.∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝－⎝⎛⎭⎫122＋124＋126＋…＋12100 ＝－14⎝⎛⎭⎫1－121001－14＝－13⎝⎛⎭⎫1－12100＝13⎝⎛⎭⎫12100－1. 16．设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________．(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是____________．(写出所有正确结论的序号) ①∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0；②∃x ∈R ，使xa x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0.答案 (1){x |0<x ≤1} (2)①②③解析 (1)令f (x )＝0得2a x ＝c x ，∴⎝⎛⎭⎫a c x ＝12， ∵y ＝⎝⎛⎭⎫a c x 为减函数，且c ≥2a ，即a c ≤12， ∴0<x ≤1.(2)由已知φ(x )＝⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x 为减函数， 若f (x )≤0，即a x ＋b x ≤c x 时，⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x ≤1. 又φ(1)＝a c ＋bc >1，∴x >1.这就证明了①的逆否命题成立， ∴①成立，②③举出一特例即可． 三、解答题17．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335.求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合． 解 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ， 即3sin x ＋cos x ≥1.于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }． 18．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．解 (1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种)．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29.(2)先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量Y 的分布列． 因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)， P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)， 所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)， 则n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝n kN得P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝615＝25，P (X ＝4)＝315＝15.故所求的分布列为所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝46.19．如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．方法一 (1)证明 如图，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BB 1.又AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BB 1D ， 而B 1D ⊂平面BB 1D ，所以AC ⊥B 1D .(2)解 因为B 1C 1∥AD ，所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)．如图，连结A 1D ，因为棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°， 所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1，从而A 1B 1⊥AD 1. 又AD ＝AA 1＝3，所以四边形ADD 1A 1是正方形． 于是A 1D ⊥AD 1，故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D . 由(1)知，AC ⊥B 1D ，所以B 1D ⊥平面ACD 1. 故∠ADB 1＝90°－θ， 在直角梯形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以∠BAC ＝∠ADB .从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ，故AB DA ＝BCAB ，即AB ＝DA ·BC ＝ 3.连结AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 21＋BD 2＝BB 21＋AB 2＋AD 2＝21，即B 1D ＝21.在Rt △AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝AD B 1D ＝321＝217， 即cos(90°－θ)＝217.从而sin θ＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217.方法二 (1)证明 易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →＝(－t,3,0)． 因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0， 解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1,0)， 因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0， 所以AC →⊥B 1D →，即AC ⊥B 1D .(2)解 由(1)知，AD 1→＝(0,3,3)，AC →＝(3，1,0)， B 1C 1→＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则{n ·AC →＝0， n ·AD 1→＝0，即{ 3x ＋y ＝0， 3y ＋3z ＝0， 令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→|＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217.20．在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”．如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A (3,20)，B (－10,0)，C (14,0)处．现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心． (1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小． 解 设点P 的坐标为(x ，y )．(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为|x －3|＋|y －20|，x ∈R ，y ∈[0，＋∞)． (2)由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d )的最小值． ①当y ≥1时，d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋2|y |＋|y －20|. 因为d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|≥|x ＋10|＋|x －14|，(*) 当且仅当x ＝3时，不等式(*)中的等号成立． 又因为|x ＋10|＋|x －14|≥24，(**)当且仅当x ∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立． 所以d 1(x )≥24，当且仅当x ＝3时，等号成立． d 2(y )＝2|y |＋|y －20|≥21，当且仅当y ＝1时，等号成立．故点P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45. ②当0≤y ≤1时，由于“L 路径”不能进入保护区，所以 d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|. 此时，d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|. d 2(y )＝1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|＝22－y ≥21.由①知，d 1(x )≥24，故d 1(x )＋d 2(y )≥45，当且仅当x ＝3，y ＝1时等号成立．综上所述，在点P (3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．21．过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同的直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D .以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM →·FN →<2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程． (1)证明 由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p 2. 由⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋p 2， x 2＝2py 得x 2－2pk 1x －p 2＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1、x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为(pk 1，pk 21＋p 2)，FM →＝(pk 1，pk 21)． 同理可得点N 的坐标为(pk 2，pk 22＋p 2)，FN →＝(pk 2，pk 22)． 于是FM →·FN →＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．由题设，有k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<⎝⎛⎭⎫k 1＋k 222＝1.故FM →·FN →<p 2(1＋12)＝2p 2.(2)解 由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p 2， 所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p .故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋(y －pk 21－p 2)2＝(pk 21＋p )2. 化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0. 同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0.又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0.因为p >0，所以点M 到直线l 的距离d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝p |2k 21＋k 1＋1|5＝p [2(k 1＋14)2＋78]5. 故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 85. 由题设，得7p 85＝755，解得p ＝8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .22．已知a >0，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a x ＋2a . (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝a －x x ＋2a； 当x >a 时，f (x )＝x －a x ＋2a.因此， 当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝－3a (x ＋2a )2<0，f (x )在(0，a )上单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝3a (x ＋2a )2>0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增． ①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0<a <4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝12－4－a 4＋2a ＝a －12＋a， 故当0<a ≤1时，g (a )＝f (4)＝4－a 4＋2a ； 当1<a <4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝⎩⎨⎧4－a 4＋2a ，0<a ≤1， 12，a >1. (2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0<a <4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1<x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直． 则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.即－3a (x 1＋2a )2·3a (x 2＋2a )2＝－1. 亦即x 1＋2a ＝3a x 2＋2a .(*) 由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，3a x 2＋2a ∈⎝⎛⎭⎫3a 4＋2a ，1. 故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a <x <3a }与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3a 4＋2a <x <1的交集非空． 因为3a 4＋2a<3a ，所以当且仅当0<2a <1，即0<a <12时，A ∩B ≠∅. 综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.。
2013年普通高中学业水平考试数学试题(样卷)
2013年普通高中学业水平考试数学试题(样卷)一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2,4,6,8,10,5,6,7,8,9A B ==则A B = （ ）A.φB.{}6,8C.{}4,6,8D.{}9,2,4,5,6,8,102.已知α是第一象限角,3tan 4α=,则sin α等于 （ ） A.45 B.45- C.35 D.35-3.函数cos4,y x x R =∈ 的最小正周期是（ ） A.2πB.4πC.πD.2π4.已知幂函数()y f x =的图像经过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭则(2)f 等于 （ ）A.14 C.4 5.设向量,a b 满足3,4a b == ,且,a b 的夹角为60°,则a b ⋅ 等于 （ ）A.-B.6-C.6D.6.设球的半径为,则此球的体积为 （ ）A.332m πB.3mC.3mD.364m π7.椭圆2212516x y +=的离心率等于 （ ） A.35 B.34 C.45 D.538.双曲线221916x y -=的渐近线方程为 （ ） A.916y x =± B.34y x =± C.43y x =± D.169y x =±9.设等比数列{}n a 中,141,42a a ==,则公比q 的值为 （ ）A.12 C.2 D.410.计算(2)i i +等于 （ ）A.2iB.1-C.12i +D.12i -+11.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体为（ ）A.球B.圆锥C.圆台D.圆柱12.要得到函数sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2,y x x R =∈的图像上所有的点（）A.向右平行移动6π个单位长度 B.向左平行移动6π个单位长度 C.向右平行移动3π个单位长度 D.向左平行移动3π个单位长度 13.执行右面的框图,若输出结果为3,则可输入的实数x 值的个数为( )A.1B.2C.3D.414.直线11:2l y x =与直线2:5l y kx =-互相垂直的充要条件是( ) A.12k = B.12k =- C.2k = D.2k =- 15.下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )A.ln y x =B.2y x =C.cos y x =D.2x y -=16.设变量,x y 满足约束条件021y x x y -≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是( )A.6B.3C.3-D.6-17.从甲乙丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率是( ) A.12B.13C.23D.1 18.在正方体1111ABCD A B C D -中,下列线段所在的直线与1BC 所在的直线垂直是( )A.11A DB.1A AC.1A BD.11A B19.设,,a b c 是空间三条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,下列命题:①若,//a b a α⊥则b α⊥;②若,αγβγ⊥⊥则//αβ;③若,a b γγ⊥⊥,则//a b ;④若,//αγβγ⊥则//αβ;其中真命题的个数是( )A.4B.3C.2D.120.设0.232log ,0.3,log 0.8a b c π===则,,a b c 三者的大小关系是( )A.c a b <<B.b c a <<C.a b c <<D.c b a <<二.填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.21.抛物线24y x =-的焦点坐标为_________.22.商场共有某品牌的奶粉240件,全部为A,B,C 三个批次的产品,并且三个批次的产品数量成等差数列,现用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本,则应从B 批次产品中抽取_________件.23.在△ABC 中,若01,120c b C ===,则a 的值为_________.24.已知3x >-,那么13x x ++的最小值是_________. 25.函数2()23x f x x -=+-的零点个数是_________.三.解答题:本大题共4小题,共40分.解答应写出文字说明,证明经过或演算步骤.26. (本小题满分8分)已知等差数列{}n a中,3245,7a a a+==.(I)求数列{}n a的通项公式;(II)求该数列前15项的和15S的值.27. (本小题满分10分)已知2cos,,52πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.⑴求cos2α的值;⑵求sin6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.28. (本小题满分10分)已知动圆22:44210C x y y++-=.⑴求圆C的圆心坐标和半径长;⑵求直线:23l y x=+被圆C截得的弦AB的长.29. (本小题满分12分)已知函数3()1(0)f x ax bx a =++≠,当1x =时有极值. ⑴求,a b 的关系式;⑵若当1x =时,函数()f x 有极大值3,,且经过点P(0,17)作曲线()y f x =的切线l ,求切线l 的方程;⑶设函数2()()2(0)g x f x x a =->在区间[2,3]上单调递减,求a 的取值范围.。
2013年湖南省高考真题数学试卷及答案(理科)word版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+ 为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．525.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．06. 已知,a b 是单位向量，0a b = .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A．⎤⎦B．⎤⎦C．1⎡⎤⎣⎦D．1⎡⎤⎣⎦7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1 BCD8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等A ．2B ．1C ．83 D ．43二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 .10.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 12 .11.如图2O 中,弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为 .必做题（12-16题） 12.若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 .13.执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 9 .14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的离心率为___。
2009-2013学业考试真题(老师)
科目：数学（试题卷）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。
2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3.本试题卷共7页。
如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
姓名________熊紫鹏____________________准考证号____________________________祝你考试顺利！2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷12（第3题图）俯视图侧视图正视图（第14题图）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N =，则x 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．设1,(1)()2,(1)x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（ ）A ．8B ．2C ．-2D ．-86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15,5,25B ．15,15,15C ．10,5,30D ．15,10,207．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（ ） A ．15B ．14C ．49 D ．598．已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+的最大值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．59．已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（ ） A ．22(2)(1)5x y +++= B ．22(2)(1)10x y -+-= C ．22(2)(1)5x y -+-=D ．22(2)(1)10x y +++=10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点,A B 到点C 的距离1AC BC ==km ，且0120ACB ∠=，则,A B A BC ．1.5kmD ．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20311．计算：22log 1log 4+= .．12．已知1,,9x 成等比数列，则实数x = ．13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是 ． 14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 值为 . 15．已知向量a 与b 的夹角为4π，2a =，且4a b =，则b = .三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分） 已知1cos ,(0,)22παα=∈（1）求tan α的值； （2）求sin()6πα+的值.4 某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.(1) 试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．（本小题满分8分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为045，点,E F 分别是,AC AD 的中点. （1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.a （第17题图）FEDBA（第18题图）5已知数列{}n a 满足：313a =-，14n n a a -=+(1,)n n N >∈. （1）求12,a a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值. 20．（本小题满分10分）已知函数()22x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点； （2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值; （3）若不等式12≤()f x ≤4在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.62013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=； 14； 15、 4 三、解答题：16、（1）(0,),cos 02παα∈∴>，从而cos α=（2）2sin 2cos 22sin cos 12sin ααααα+=+-=17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人） （2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人）18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩（2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n ===，(1)1232n n n S n +∴=++++=20、（1）22:(1)(2)5C x y k ++-=-，(1,2)C ∴-（2）由505k k ->⇒<（3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k -+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒< 112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+=即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足72012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{n a }的前3项分别为2、4、6，则数列{n a }的第4项为A ．7B ．8C ．10D ．122．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A ．球B ．圆柱C ．圆台D ．圆锥 3．函数)2)(1()(+-=x x x f 的零点个数是A ．0B ．1C ．2D ．34．已知集合}2,0,1{-=A ，}3,{x =B ，若}2{=B A ，则x 的值为 A ．3 B ．2 C ．0 D ．-15．已知直线1l ：12+=x y ，2l ：52+=x y ，则直线1l 与2l 的位置关系是 A ．重合 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．平行6．下列坐标对应的点中，落在不等式01<-+y x 表示的平面区域内的是A ．（0，0）B ．（2，4）C ．（-1，4）D ．（1，8）7．某班有50名同学，将其编为1、2、3、…、50号，并按编号从小到大平均分成5组．现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为3，第2组抽取的学生编号为13，则第4组抽取的学生编号为A ．14B ．23C ．33D ．43 8．如图，D 为等腰三角形ABC 底边AB 的中点，则下列等式恒成立的是A ．0=⋅CB CA B ．0=⋅AB CDC ．0=⋅CD CA D ．0=⋅CB CD 9．将函数x y sin =的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为A ．)3sin(π+=x yB ．)3sin(π-=x yC ．)32sin(π+=x yD ．)32sin(π-=x y 10．如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为（第2题图）俯视图 （第10题图）（第8题图） C ABD8 A ．32 B ．54C ．56D ．34二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．比较大小：5log 2 3l o g 2 （填“＞”或“＜”）． 12．已知圆4)(22=+-y a x 的圆心坐标为)0,3(，则实数=a ．13．某程序框图如图所示，若输入的c b a ,,值分别为3，4，5，则输出的y 值为 ．14．已知角α的终边与单位圆的交点坐标为（23,21），则αcos = ． 15．如图，A ，B 两点在河的两岸，为了测量A 、B 之间的距离，测量者在A 的同侧选定一点C ，测出A 、C 之间的距离是100米，∠BAC=105º，∠ACB=45º，则A 、B 两点之间的距离为米．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知函数)(x f y =（]6,2[-∈x ）的图象如图．根据图象写出： （1）函数)(x f y =的最大值；（2）使1)(=x f 的x 值． 17．（本小题满分8分）50g ，为了一批食品，每袋的标准重量是了解这批食品的实际重量情况，从中随机抽取10袋食品，称出各袋的重量（单位：g ），并得到其茎叶图（如图）．（1）求这10袋食品重量的众数，并估计这批食品实际重量的平均数；（第13题图） （第15题图） （第16题图）9（2）若某袋食品的实际重量小于或等于47g ，则视为不合格产品，试估计这批食品重量的合格率．18．（本小题满分8分）如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且AB=1，D 1D=2．（1）求直线D 1B 与平面ABCD 所成角的大小； （2）求证：AC ⊥平面BB 1D 1D ．19．（本小题满分8分）已知向量a =（x sin ，1），b =（x cos ，1），∈x R ．（1）当4π=x 时，求向量a + b 的坐标；（2）若函数=)(x f |a + b |2m +为奇函数，求实数m 的值．4 5 6 6 95 0 0 0 1 1 2（第17题图） （第18题图）A B CD A 1 B 1C 1D 110 20．（本小题满分10分）已知数列{n a }的前n 项和为a S n n +=2(a 为常数，∈n N *)． （1）求1a ，2a ，3a ；（2）若数列{n a }为等比数列，求常数a 的值及n a ；（3）对于（2）中的n a ，记34)(112-⋅-⋅=++n n a a n f λλ，若0)(<n f 对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案二、填空题（每小题4分，满分20分） 11．＞； 12． 3； 13．4； 14．21； 15． 2100．三、解答题（满分40分）16．解：（1）由图象可知，函数)(x f y =的最大值为2； …………………3分（2）由图象可知，使1)(=x f 的x 值为-1或5． ……………6分 17．解：（1）这10袋食品重量的众数为50（g ）， ………………2分 因为这10袋食品重量的平均数为491052515150505049464645=+++++++++（g ），所以可以估计这批食品实际重量的平均数为49（g ）； ……………4分（2）因为这10袋食品中实际重量小于或等于47g 的有3袋，所以可以估计这批食品重量的不合格率为103，故可以估计这批食品重量的合格率为107． 8分 18．（1）解：因为D 1D ⊥面ABCD ，所以BD 为直线B D 1在平面ABCD 内的射影，所以∠D 1BD 为直线D 1B 与平面ABCD 所成的角， …………………2分又因为AB=1，所以BD=2，在Rt △D 1DB 中，1tan 11==∠BDDD BD D ， 所以∠D 1BD=45º，所以直线D 1B 与平面ABCD 所成的角为45º； 4分 （2）证明：因为D 1D ⊥面ABCD ，AC 在平面ABCD 内，所以D 1D ⊥AC ， 又底面ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ， …………………6分 因为BD 与D 1D 是平面BB 1D 1D 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面BB 1D 1D ． …………………………8分19．解：（1）因为a =（x sin ，1），b =（x cos ，1），4π=x ，所以a + b )2,2()2,cos (sin =+=x x ； …………………4分 （2）因为a + b )2,cos (sin x x +=，所以m x m x x x f ++=+++=52sin 4)cos (sin )(2， ……………6分 因为)(x f 为奇函数，所以)()(x f x f -=-，即m x m x ---=++-52sin 5)2sin(，解得5-=m ． ……………8分 注：由)(x f 为奇函数，得0)0(=f ，解得5-=m 同样给分．20．解：（1）211+==a S a ， ……………………1分 由212a a S +=，得22=a ， ……………………2分 由3213a a a S ++=，得43=a ； …………………3分 （2）因为21+=a a ，当2≥n 时，112--=-=n n n n S S a ，又{n a }为等比数列，所以11=a ，即12=+a ，得1-=a ， …………5分 故12-=n n a ； …………………………………6分 （3）因为12-=n n a ，所以3242)(2-⋅-⋅=n n n f λλ， ………………7分 令n t 2=，则2≥t ，34)2(34)(22---=-⋅-⋅=λλλλt t t n f ， 设34)2()(2---=λλt t g ，当0=λ时，03)(<-=n f 恒成立， …………………8分当0>λ时，34)2()(2---=λλt t g 对应的点在开口向上的抛物线上，所以0)(<n f 不可能恒成立， ……………9分当0<λ时，34)2()(2---=λλt t g 在2≥t 时有最大值34--λ，所以要使0)(<n f 对任意的正整数n 恒成立，只需034<--λ，即43->λ，此时043<<-λ，综上实数λ的取值范围为043≤<-λ． …………………………10分说明：解答题如有其它解法，酌情给分．2011年湖南省普通高中学业水平考试数学试题二、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 1．已知集合{,}M a b =，{,}N b c =，则M N 等于（ ）A ．{,}a bB ．{,}b cC ．{,}a cD ．{}b2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱C.球D.四棱柱下列函数中， 3．函数()sin ,f x x x R =∈的最小正周期是（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．2π4．已知向量(2,1),(1,).x ==a b 若⊥a b ，则实数x 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1 5．在区间(0,]+∞为增函数的是（ ） A ．()f x x =-B ．1()f x x=C ．()lg f x x =D ．1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭6．某检测箱中有10袋食品，其中由8袋符合国际卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符正视图 侧视图俯视图合国家卫生标准的概率为（ ） A ．18B ．15C ．110D ．167．在平面直角坐标系中，O 为原点，点P 是线段AB 的中点，向量(3,3),(1,5),OA OB ==- 则向量OP =（ ） A ．(1,2)B ．(2,4)C ．(1,4)D ．(2,8)8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线11B D 与平面1BC D 的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．直线11B D 在平面1BC D 内9．函数()23x f x =-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60,45,A B ==b =，则a =（ ） AB ．2C ．3D ．6二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．样本数据3,9,5,2,6的中位数是 .．12．已知某程序框图如图所示，若输入的x 的值为3，则输出的值为 .13．已知0,x >则函数1y x x=+的最小值是 ． 14．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 是平行四边形，PA AD =，则异面直线PD 与BC 所成角的大小是 .．15．已知点(,)x y 在如图所示的阴影部分内运动，且3Z x y m =-+的最大值为2，则实数m = ．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1sin ,(0,)22παα=∈第12题图第15题图 ACD1A 1B 1C 1D（1）求cos α的值；（2）求sin 2cos 2αα+的值.17．（本小题满分8分）某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图. (1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数；(2)根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.18．（本小题满分8分）已知二次函数2()f x x ax b =++，满足(0)6f =，(1)5f =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当[2,2]x ∈-，求函数()y f x =的最小值与最大值.0.00519．（本小题满分8分）在数列{}n a 中，已知*112,2(2,)n n a a a n n N -==≥∈. （1）试写出23,a a ，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20． 已知关于,x y 的二元二次方程22240()x y x y k k R ++-+=∈表示圆.C（1）求圆心C 的坐标； （2）求实数k 的取值范围（3）是否存在实数k 使直线:240l x y -+=与圆C 相交于,M N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点）？若存在，请求出k 的值；若不存在，说明理由.2011年参考答案二、填空题11、 5 ； 12、 3 ； 13、 2 ； 14、45 ； 15、 2三、解答题：16、（1）(0,),cos 02παα∈∴>，从而cos α=（2）2sin 2cos 22sin cos 12sin ααααα+=+-=17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人） （2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人）18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩（2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n ===，(1)1232n n n S n +∴=++++=20、（1）22:(1)(2)5C x y k ++-=-，(1,2)C ∴-（2）由505k k ->⇒<（3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k -+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒< 112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+=即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足2010年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.1．已知集合M ={1,2}，N ={2,3}， 则 MUN =（ ） A {1,2} B {2,3} C {1,3} D {1,2,3} 2．已知a>b ，c R ∈，则（ ）A a+c>b+cB a c b c +<+C a c b c +≥+D a+c b c ≤+ 3．下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是( ) A 圆柱 B 圆锥 C 球 D 三菱柱4．已知圆C 的方程为：2(1)x -+2(2)y -=4，则圆心坐标与半径分别为（ ） A （1，2），r=2 B （-1，-2），r=2 C （1，2），r=4 D （-1，-2），r=4 5．下列函数中，是偶函数的是（ ） A f(x)=x B f(x)=1xC f(x)=x 2D f(x)=sinx 6．如图所示的圆盘由八个全等的扇形构成，指针绕中心旋转，可能随机停止，则指针停止在阴影部分内的概率是（ ）A12 B 14 C 16 D 187．化简(sin α+cos α)2=（ ）A 1+sin2αB 1-sin αC 1-sin2αD 1+sin α 8．在△ABC 中，若0CA CB =，则△ABC 是（ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形9．已知函数() (01)x f x a a a =>≠且，f(1)=2，则函数f(x)的解析式是（ ） A f(x)=4x B f(x)= 1()4x C f(x)=2x D f(x)=1()2x10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若A=60，b=1，c=2，则a =（ ）A 1BC 2 D二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11 直线y=2x+2的斜率是________ 12 已知如图所示的程序框图，若输入 的x 值为1，则输出和y 值是_____ 13 已知点(x ，y)在如图所示的阴影 部分内运动，则z=2x+y 的最大值是______14 已知向量a =(4，2)，b =（x ，3），（13题）若a||b ，则实数x 的值为______15 张山同学的家里开了一个小卖部， （12题）为了研究气温对某种冷饮销售量的影响，他收集了这一段时间内这种冷饮每天的销售量y （杯）与当天最高气温x(0C)的有关数据，通过描绘散点图，发现y 和x 呈现线性相关关系，并求得回归方程为y =2x+60,如果气象预报某天的最高气温为340C ，则可以预测该天这种饮料的销售量为____杯。
2013-2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案.pdf
(2) 已知该公司有 1000 名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于 8 元？
频率 组距 a
0.10
0.05
0
2
4
6
8 10 12 早餐日平均费用（元）
sin B ＝
.
13. 已知 a 是函数 f ( x) = 2 − log2 x 的零点, 则实数 a 的值为
.
14.已知函数 y = sinx( 0) 在一个周期内的图像如图所示，则
的值为
.
15. 如图 1，矩形 ABCD 中，AB = 2BC, E, F 分别是 AB,CD 的中
点，现在沿 EF 把这个矩形折成一个二面角 A − EF − C （如图 2）则在图 2 中直线 AF 与
）
2, (x 1)
A．0
B．1
C．2
D．-1
3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）.
A.圆柱
B. 三棱柱
正视图 侧视图
C.球
D.四棱柱
4．函数 y = 2cos x, x R 的最小值是（ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3
俯视图 （第3题图）
5．已知向量 a = (1, 2),b = (x, 4) ，若 a ∥ b ，则实数 x 的值为（ ）
（第17题图）
18．（本小题满分 8 分）
如图，在三棱锥 A − BCD 中，AB ⊥平面 BCD ，BC ⊥ BD ，BC = 3，BD = 4，直线 AD
与平面 BCD 所成的角为 450 ，点 E, F 分别是 AC, AD 的中点.
2013年湖南高考理科数学试题及答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3B．2C．1D．06．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1B．C．D．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2B．1C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为_________．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为_________．11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为_________．12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为_________．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为_________．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C 上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为_________．15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，，n∈N*，则（1）a3=_________；（2）S1+S2+…+S100=_________．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M 所对应的f（x）的零点的取值集合为_________．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L 路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（I）若k1＞0，k2＞0，证明：；（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】 B【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法【答案】 D【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。
2013年湖南高考理科数学卷及答案
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数i (1i)z =+(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 ( ) A .抽签法B .随机数法C .系统抽样法D .分层抽样法3.在锐角中ABC △,角A ,B 所对的边长分别为a ,b .若2sin a B =,则角A 等于( )A .π12B .π6C .π4D .π34.若变量x ,y 满足约束条件2,1,1,y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥,则2x y +的最大值是( )A .52-B .0C .53D .525.函数()2ln f x x =的图象与函数2()45g x x x =-+的图象的交点个数为( )A .3B .2C .1D .06.已知a ,b 是单位向量,0=a b .若向量c 满足||1--=c a b ,则||c 的取值范围是( ) A.1] B.2] C.1]D.2]+7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不．可能．．等于( )A .1BCD8.在等腰直角三角形ABC 中,=4AB AC =,点P 是边AB 上异于A ,B 的一点,光线从点P 出发,经BC ,CA 发射后又回到原点P （如图）.若光线QR 经过ABC △的中心,则AP 等于( ) A .2 B .1 C .83D .43二、填空题：本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）9.在平面直角坐标系xOy 中,若l ：,x t y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆C ：3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点,则常数a 的值为 . 10.已知,,a b c ∈R ,236a b c ++=,则22249a b c ++的最小值为 .11.如图,的O 中,弦AB ,CD 相交于点P ,2PA PB ==,1PD =,则圆心O 到弦CD 的距离为 .（二）必做题（12～16题）12.若20d 9Tx x =⎰,则常数T 的值为 .13.执行如图所示的程序框图,如果输入1a =,2b =,则输出的a 的值为 .14.设1F ,2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点.若126PF PF a +=,且12PF F △的最小内角为30,则C 的离心率为 . 15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1(1)2n n n n S a =--,*n ∈N ,则 （1）3a = . （2）12100S S S +++= .16.设函数()xxxf x a b c =+-,其中0c a >>,0c b >>.（1）记集合{(,,),,}M a b c a b c a b =不能构成一个三角形的三条边长,且=,则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为 .（2）若a ,b ,c 是ABC △的三条边长,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)①(,1)x ∀∈-∞,()0f x >；②x ∃∈R ,使x a ,x b ,x c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC △为钝角三角形,则(1,2)x ∃∈,使()0f x =.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数ππ()sin()cos()6f x x x =-+-,2()2sin 2xg x =.（Ⅰ）若α是第一象限角,且()f α,求()g α的值；（Ⅱ）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.18.（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（Ⅰ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率； （Ⅱ）从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________如图,在直棱柱1111ABCD A B C D -中,AD BC ∥,90BAD ∠=,AC BD ⊥,1BC =,13AD AA ==.（Ⅰ）证明：1AC B D ⊥；（Ⅱ）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.20.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径123MM M M N 与路径1MN N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20)A ,(10,0)B -,(14,0)C 处.现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心.（Ⅰ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； （Ⅱ）若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区.请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.21.（本小题满分13分） 过抛物线E :22(0)x py p =>的焦点F 作斜率分别为1k ,2k 的两条不同的直线1l ,2l ,且122k k +=.1l 与E 相交于点A ,B ,2l 与E 相交于点C ,D .以AB ,CD 为直径的圆M ,圆N （M ,N 为圆心）的公共弦所在直线记为l .（Ⅰ）若10k >,20k >,证明：22FM FN P <；（Ⅱ）若点M 到直线l,求抛物线E 的方程.21.（本小题满分13分）已知0a >,函数()||2x af x x a-=+. （Ⅰ）记()f x 在区间[0,4]上的最大值为()g a ,求()g a 的表达式；（Ⅱ）是否存在a ,使函数()y f x =在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直？若存在,求a 的取值范围；若不存在,请说明理由.2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析【解析】i(1i)1z=+=-【提示】利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解【考点】复数乘法的运算法则，复数集与复平面上的点对应关系2sina B【提示】给出三角形中的边角关系，运用正弦定理求解未知角【考点】正弦定理33⎝⎭333【解析】2()g x x=一直角坐标系内画出函数()f x与()g x有2个不同的交点在位置P'时最远，而21PO=-，21P O'=+，故选A．【提示】令OA a=，OB b=，OD a b=+，OC c=，作出图象，根据图象可求出||c的最2)2(11213)2(121212)(24292)3(a b c a b c a =⨯+⨯+⨯≤++++=，化简得212c ≥，由此可得当且仅当2a =，1b =，2c =时，224a b +PD PC PA PB =，22⎝⎭a22a c <，【解析】n n a S =-n 为偶数时11210021431009923100()()()2222S S S a a a a a a ⎛⎫∴+++=-+-++--++++ ⎪⎝⎭399210010011111111122222232⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【提示】（1）把给出的数列递推式先分1n =和2n ≥讨论，由此求出首项和2n ≥时的关系式11(1)(1)2n n n n n n a a a -=-+--．对此关系式再分n 为偶数和奇数分别得到当n 为偶数和a 【解析】0c a >>①a ，b ，c ，0c a >>0ac∴<<,1)-∞110x ab c c +->∞则a ，b ，c ③c a >，c上存在零点，故③正确【提示】（1）由集合M 中的元素满足的条件，得到2c a b a ≥+=，求得a的范围，解出函数的零点，利用()xxxf x a b c +-=不等式可得零点x 的取值集合；（2）对于①，把函数式()xxxf x a b c +-=变形为()1xxx x x xa b f x a b c c c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；解出3sin 5α=，利用同角三角函数的基本关系算出4cos 5α=．由二倍角的余弦公式进行降次，可得()1cos g x x =-，即可算出1()1cos g αα=-=； 【提示】（Ⅰ）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，)ABCD -ABCD ，且面又AC BD ⊥，且1BD BB B =，AC ⊥面BDB ，1B D ⊂面BDB 1AC B D ⊥（Ⅱ）11B C BC AD ∥∥∴直线．建立直角坐标系，用向量解题．设原点在正半轴，AA 设(0,0,0)A ，(3,0,0)，D ，(0,,0)B y ，(1C 则(1,,0)AC y =，(3,BD =-，AC BD ⊥00AC BD y =⇒-+=0y >⇒=，(1,AC ∴=，(3,0,3)AD =设平面A C D ,,)x y z ，则100n A Cn A D ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩平1C D 的一，(1,0,0)B C =1法向3(1,0,0)sin |cos ,|B C n B C θ=⇒=<>==71BD B=，AD与平面【考点】绝对值函数最值（Ⅰ）22FM FN p<已知抛物线的焦点为212(x x p FM k p=-⇒⇒=同理23422x k p⇒==，(FN k p⇒=121)FM FN k k⇒=1k>，2k2122k k k+>⇒21FM FN p k∴=所以，22FM FN p<（Ⅱ）径分1⎡⎛222)0+=211214455k kp p⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭≥抛物线的方程为216x y=求出向量FM和FN2)()f x'=-232)3axx aa+-，2223(2)ax a -+12)4x x a ++【提示】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得()g a 的表达式；（Ⅱ）利用曲线()y f x =在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论【考点】导数求分段函数的最值，导数的几何意义。
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2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案
（第3题图）
俯视图侧视图正视图2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.
1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}
M N =，则x 的
值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 2．设
1
,(1)()2,(1)
x f x x
x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．-1 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）.
A.圆柱
B. 三棱柱
C.球
D.四棱柱 4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（ ）
A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
5．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（ ）
A ．8
B ．2
C ．-2
D ．-8
开输
0?
x > 21y x =- 输
y x
=结
是 否 （第14
到点C 的距离1AC BC ==km ，且0
120ACB ∠=，则,A B 两点
间的距离为（ ）
A 3
B 2km
C ．1.5km
D ．2km
二、填空题：本大题共5小题，每小题4
分，满分20分． 11．计算：2
2
log 1log
4+=
.．
12．已知1,,9x 成等比数列，则实数
x =
．
13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是 ． 14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，
则输出的y 值为 .
15．已知向量a 与b 的夹角为4
π，2a =，且4a b =，则b = .
三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知1cos ,(0,)22π
αα=∈ （1）求tan α的值； （2）求sin()6πα+的值.
某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清.
(1) 试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；
(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？
频率
组距
a
0.10
（第17题图）
18．（本小题满分8分）
如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，
3
BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为0
45，点
,E F
分别是,AC AD 的中点.
（1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.
F
E
D
B
A
（第18题图）
19．（本小题满分8分） 已知数列{}n
a 满足：3
13
a
=-，14n
n a
a -=+(1,)
n n N >∈.
（1）求1
2
,a a 及通项n
a ；
（2）设n
S 是数列{}n
a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2
S ，
3
S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值.
20．（本小题满分10分） 已知函数()2
2x
x f x λ-=+⋅()
R λ∈
（1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点；
（2）若函数()f x为偶函数，求实数λ的值;
（3）若不等式1
2≤()
f x≤4在[0,1]
x∈上恒成立，求实
数λ的取值范围.
2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A B C A B D C D C A
二、填空题 11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=；
14、2
； 15、 4
三、解答题： 16、（1）(0,),cos 02
παα∈∴>，从而23cos 1sin αα=
-=
（2）2
31
sin 2cos22sin cos 12sin ααααα++=+-=
17、（1）高一有：200
1200120
2000⨯=（人）；高二有20012080-=（人）
（2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=
∴
人数为0.7520001500⨯=（人）
18、（1）2(0)62
()26(1)156
f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨
=++==⎩⎩
（2）
22()26(1)5,[2,2]
f x x x x x =-+=-+∈-
1
x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大
值为14. 19、(1)
11232,2,4,8
n n a a a a a -==∴==
*1
2(2,)n
n a n n N a -=≥∈，{}n
a ∴为首项为2，公比为2的等比
数列，1
222n n
n
a -∴=⋅= (2)22log log
2
n n n
b a n ===，(1)1232
n
n n S
n +∴=++++=
20、（1）
22:(1)(2)5C x y k
++-=-，(1,2)C ∴-
（2）由505k k ->⇒<
（3）由22
2
24051680
(1)(2)
5x y y y k x y k
-+=⎧⇒-++=⎨
++-=-⎩
设1
1
2
2
(,),(,),M x y N x y 则1
2
12168,55
k y y
y y ++=
=，2
2416
20(8)05
k k ∆=-+>⇒<
112212*********
24,24,(24)(24)4[2()4]5
k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++=
1212,0,
OM ON x x y y ⊥∴+=即4168824
0()5555
k k k k -++=⇒=<满足。