高考数学复习 第二章 第九节 导数概念及其运算

课时作业 A 组——基础对点练

1．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．1

解析：y ＝x e

x －1

＝x e x e ＝1e x e x ，y ′＝1e (e x ＋x e x

)＝e x e (1＋x )，

∴k ＝y ′|x ＝1＝2，故选C. 答案：C

2．(2018·济南模拟)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1

D ．e

解析：∵f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，

∴f ′(x )＝[2xf ′(1)]′＋(ln x )′＝2f ′(1)＋1x ， ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，即f ′(1)＝－1. 答案：B

3．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B ．π3 C.π4

D.π6 解析：因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1.所以在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π

4，故选C. 答案：C

4．曲线y ＝a x 在x ＝0处的切线方程是x ln 2＋y －1＝0，则a ＝( ) A.12 B ．2 C ．ln 2

D ．ln 1

2

解析：由题知，y ′＝a x ln a ，y ′|x ＝0＝ln a ，又切点为(0,1)，故切线方程为x ln a

－y ＋1＝0，∴a ＝1

2，故选A. 答案：A

5．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝1

2f (x )，则tan 2x 的值是( ) A ．－23 B ．－43 C.43

D ．34

解析：因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －1

2cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D.

答案：D

6．已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( ) A ．4 B ．5 C.254

D.13

2

解析：∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6， ∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，

故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－5

4， ∴所求面积S ＝12×54×10＝25

4. 答案：C

7．(2018·巴蜀中学模拟)已知曲线y ＝2x

x －1

在点P (2,4)处的切线与直线l 平行且距离为25，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0

B ．2x ＋y ＋2＝0或2x ＋y －18＝0

C ．2x －y －18＝0

D ．2x －y ＋2＝0或2x －y －18＝0

解析：y ′＝

2(x －1)－2x (x －1)2＝－2(x －1)2，y ′|x ＝2

＝－2

(2－1)2

＝－2，因此k l ＝－2，设直线l 方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，由题意得

|2×2＋4－b |

5

＝25，解得b ＝18或b ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －18＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选B. 答案：B

8．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x C ．y ＝3x －2

D ．y ＝－2x ＋3

解析：法一：令x ＝1得f (1)＝1，令2－x ＝t ，可得x ＝2－t ，代入f (2－x )＝2x 2－7x ＋6得f (t )＝2(2－t )2－7(2－t )＋6，化简整理得f (t )＝2t 2－t ，即f (x )＝2x 2－x ，∴f ′(x )＝4x －1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2. 法二：令x ＝1得f (1)＝1，由f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，两边求导可得f ′(2－x )·(2－x )′＝4x －7，令x ＝1可得－f ′(1)＝－3，即f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2. 答案：C

9.(2018·潍坊模拟)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．2

D ．4

解析：由题意知直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，由图可得f (3)＝1.又点(3,1)在直线l 上，∴3k ＋2＝1，∴k ＝－13，∴f ′(3)＝k ＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，则g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫

－13＝0，故选B.

答案：B

10．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1

2，＋∞)

B ．[－1

2，＋∞)