2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)8.6抛物线课件 新人教A版

x2＝－ 2py(p>0)
p的几何wenku.baidu.com义：焦点F到准线l的距离
图像
顶点 O(0,0)
对称轴
焦点 离心率
p F2，0
x轴
p F－2，0 p 0， F 2
y轴
p 0，－ F 2
e＝ 1
y2＝ 标准方程 2px(p＞0)
y2＝ －2px(p＞0)
[答案] (1)D
(2)B
1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求
p但要注意判断标准方程的形式．
2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化 应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的 应用．
2．(2011· 湖北高考)将两个顶点在抛物线 y2＝2px(p＞0)上， 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n，则 (
(5)以AB为直径的圆与准线相切．
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(7)∠CFD＝90°.
3．(2011· 江西高考)已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率 为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点， 且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)由 p＝4,4x2－5px＋p2＝0 可简化为 x2－5x＋4＝0， 从而 x1＝1，x2＝4，y1＝－2 2，y2＝4 2， 从而 A(1，－2 2)，B(4,4 2)； 设 OC ＝(x3，y3)＝(1，－2 2)＋λ(4,4 2) ＝(4λ＋1,4 2λ－2 2)． 又 y2＝8x3，即[2 2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 3 即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得 λ＝0 或 λ＝2.
(2)O 为坐标原点， 为抛物线上一点， OC ＝ OA ＋λOB ， C 若
求 λ 的值．
解：(1)直线 AB 的方程是 y＝2 与 y2＝2px 联立，
p 2x－2，
5p 从而有 4x －5px＋p ＝0，所以 x1＋x2＝ . 4
2 2
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 所以 p＝4，从而抛物线方程是 y2＝8x.
a2＋b2 c 的离心率为2，∴a＝ a ＝2，∴b＝ 3a，
∴双曲线的渐近线方程为 3 x± y＝0，∴抛物线C2： x ＝2py(p＞0)的焦点

2
p 0， 2
到双曲线的渐近线的距离为
p 3×0± 2 ＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y. 2
(2)依题意，设抛物线方程是y2＝2px(p>0)，则有2 p ＋ ＝3，得p＝2，故抛物线方程是y2＝4x，点M的坐标 2 是(2，± 2)，|OM|＝ 22＋8＝2 3. 2
2 x0－4 所以Q为 ，－1. 2x0
1 2 MQ 设M(0，y1)，令 MP · ＝0对满足y0＝ x 0 (x0≠0)的 4
x0，y0恒成立．
x2－4 0 由于 MP ＝(x0，y0－y1)， MQ ＝ ，－1－y1， 2x0
解析：其准线方程为 x＝－2，又由点 P 到 y 轴的距离 p 为 4，则 P 点横坐标 xP＝4，由定义知|PF|＝xP＋ ＝6. 2
答案：6
5．(教材习题改编)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0 上，则抛物线的标准方程是____________________．
解析：由 x＝0，y＝－2，由 y＝0，x＝4 即(0，－2)或 (4,0)为抛物线的焦点 ∴抛物线方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
[小题能否全取] 1．(教材习题改编)抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的 值是
1 A. 8 C．8 1 B．－ 8 D．－8
2
(
)
1 解析：抛物线的标准方程为 x ＝ay. 1 1 则 a＜0 且 2＝－ ，得 a＝－ . 4a 8
答案：B
2．(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．
1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝ 0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程 my2＋ny＋q＝0.
(1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；
当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；
当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．
y 3 x 1, 消去 x 得 y2－14y＋1＝0，y1＋y2＝14，|AB| 2 x 4 y,
＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝(y1＋y2)＋2＝16. 答案：D
4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到 该抛物线焦点的距离是________．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－
1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．
[自主解答]
(1)依题意，|OB|＝8 3，∠BOy＝30° .
设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30° ＝4 3，y＝|OB|cos 30° ＝12. 因为点B(4 3，12)在x2＝2py上，所以(4 3)2＝2p×12，解 得p＝2. 故抛物线E的方程为x2＝4y.
A．n＝0 C．n＝2 B．n＝1 D．n≥3
)
3 3 解析：结合图形可知，过焦点斜率为 和－ 的直线与 3 3 抛物线各有两个交点，所以能够构成两个正三角形．
答案：C
直线与抛物线的位置关系
[例 3]
(2012· 福建高考)如图，等
边三角形 OAB 的边长为 8 3，且其三 个顶点均在抛物线 E：x2＝2py(p>0)上．
[知识能否忆起]
1．抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 相等的点 的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点， 直线l叫做抛物线的 准线 ．
[动漫演示更形象，见配套课件] 2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方 程
y2＝2px(p ＞0)
y2＝－2px(p ＞0)
x 2＝ 2py(p>0)
距离之和最小，则点P的坐标是
A．(－2,1) C．(2,1)
[自主解答]
(
B．(1,2) D．(－1,2)
)
(1)如图，由抛物线的定
义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，|CD| 3 3 1 5 ＝ ，所以中点C的横坐标为 － ＝ . 2 2 4 4
(2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问 题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物 线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物 线的交点，故所求P点的坐标是(1,2)． [答案] (1)C (2)B
2
)
C．x2＝8y
D．x2＝16y
(2)(2012· 四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶
点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物
线焦点的距离为3，则|OM|＝
A．2 2 C．4
[自主解答]
(
B．2 3 D．2 5
)
x2 y2 (1)∵双曲线C1： 2－ 2＝1(a＞0，b＞0) a b
则抛物线的标准方程是
A．x2＝－12y C．y2＝－12x B．x2＝12y D．y2＝12x
(
)
p 解析：∵ ＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y. 2
答案：A
3．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且
与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为
A．4 C．10 B．6 D．16
(
)
解析：设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则依题意得焦点 F(0， 1) ， 准 线 方 程 是 y ＝ － 1 ， 直 线 l ： y ＝ 3 x ＋ 1 ， 由
x2－4 0 由 MP · ＝0，得 －y0－y0y1＋y1＋y2＝0， MQ 1 2
即(y2＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*) 1 1 2 由于(*)式对满足y0＝ x0(x0≠0)的y0恒成立， 4
1 y1 0， 所以 2 解得y1＝1. y1 y1 2 0,
1 y 2 2( x - 1), x 2, x , 2 又 2 解得 或 y 4 x, y 2, y 2 2.
由图知，点 B
1 的坐标为2，－
2 ，
1 3 ∴|BF|＝ －(－1)＝ . 2 2 3 答案： 2
＝0，解得 x＝1 或 x＝4.因此可令点 A(1，－2)，B(4,4)， F(1,0)， ∴|AB|＝3 5，|FA|＝2，|FB|＝5. 4 ∴在△FAB 中，由余弦定理知，cos∠AFB＝－ . 5
答案：y2＝16x 或 x2＝－8y
1.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点 p F到准线的距离， 等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢 2 对解题非常有帮助．
2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想
的应用．
3．由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时， 只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可．
抛物线的定义及应用
[例1]
(1)(2011· 辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的
焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则
线段AB的中点到y轴的距离为
3 A. 4 5 C. 4 B．1 7 D. 4
(
)
(2)(2013· 曲阜师大附中质检)在抛物线C：y＝2x2上有 一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的
[典例]
(2011· 大纲全国卷)已知抛物线C：y2＝4x的
焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB ＝
4 A. 5 3 C．－ 5 3 B. 5 4 D．－ 5
(
)
[解析] 法一：设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y2 4 x 由题意得点 F(1,0)， 由 消去 y 得 x2－5x＋4 y 2x 4
涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先 考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题 求解．
1．(2012· 安徽高考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛 物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
解析：由题意知，抛物线的焦点 F 的 坐标为(1,0)，又∵|AF|＝3，由抛物 线定义知，点 A 到准线 x＝－1 的距离 为 3，∴点 A 的横坐标为 2. 将 x＝2 代入 y2＝4x 得 y2＝8，由图知， y＝2 2， ∴A(2,2 2)，∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)．
(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线 与抛物线的对称轴平行．
2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图 为依据)
p2 (1)y1y2＝－p2，x1x2＝ . 4 2p (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2 (θ为AB的倾斜角)． sin θ p2 (3)S△AOB＝ (θ为AB的倾斜角)． 2sinθ 1 1 2 (4) ＋ 为定值p. |AF| |BF|
抛物线的标准方程及几何性质
x2 y2 (1)(2012· 山东高考)已知双曲线 C1： 2－ 2＝ a b
[例 2]
1(a>0，b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x2＝2py (p>0)的 焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方 程为
8 3 A．x ＝ y 3
2
(
16 3 B．x ＝ y 3
x2＝ 2py(p>0)
x2＝－ 2py(p>0)
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 准线方程 范围 开口方向 焦半径(其 中 P(x0，0) y |PF|＝x0＋
p x＝－ 2
p x＝ 2
p y＝－ 2
p y＝ 2
x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0， x∈R 向右 p 2 向左 |PF|＝－x0＋ p 2 |PF|＝y0＋ 向上 p 2 向下 |PF|＝－y0 ＋ p 2
1 2 1 (2)证明：由(1)知y＝ x ，y′＝ x. 4 2 1 2 设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝ x0，且l的方程为 4 1 1 1 2 y－y0＝ x0(x－x0)，即y＝ x0x－ x0. 2 2 4
2 x0 4 1 1 2 , y x0 x x 0 , x 由 得 2 x0 2 4 y 1, y 1.