中考函数综合题专题
中考数学模拟题汇总《二次函数的综合》专项练习(附答案解析)
中考数学模拟题汇总《二次函数的综合》专项练习(附答案解析)一、综合题1．某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x=20时，y=1000，当x=25时，y=950.（1）求出y与x的函数关系式；（2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润；（3）如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不超过20000元，那么销售单价应控制在什么范围内？，0)，在第一象限内与直线y＝x 2．如（图1），已知经过原点的抛物线y＝ax2+bx与x轴交于另一点A( 32交于点B(2，t)（1）求抛物线的解析式；（2）在直线OB下方的抛物线上有一点C，点C到直线OB的距离为√2，求点C的坐标；（3）如（图2），若点M在抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC ∽△MOB？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数y=ax2-6ax+4a+3的图像与y轴交于点A，点B是x轴上一点，其坐标为(1，0)，连接AB，tan∠ABO=2.（1）则点A的坐标为，a= ；（2）过点A作AB的垂线与该二次函数的图象交于另一点C，求点C的坐标；（3）连接BC，过点A作直线l交线段BC于点P，设点B、点C到l的距离分别为d1、d2，求d1+d2的最大值.4．如图正方形ABCD，点P,Q,R,S分别在AB，BC,CD,DA上，且BQ=2AP,CR=3AP,DS=4AP（1）若正方形边长为4，则当AP为何值时，四边形PQRS的面积为正方形面积的一半（2）若正方形边长为a（a为常数），则当AP为何值时，四边形PQRS的面积最小，并求出最小面积. 5．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点经过A，B，D的O交AC于E 点．（1）求AE的长．（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y．①求y关于x的表达式．②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF 的面积．6．如图，抛物线y ＝﹣13x 2+13x ＋4交x 轴于A ，B 两点（点B 在A 的右边），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC.点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q.（1）求A 、B 两点坐标；（2）过点P 作PN 上BC ，垂足为点N ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.7．如图，已知二次函数L 1：y=ax 2-2ax+a+3（a ＞0）和二次函数L 2：y=-a （x+1）2+1（a ＞0）图象的顶点分别为M ，N ，与y 轴分别交于点E ，F ．（1）函数y=ax 2-2ax+a+3（a ＞0）的最小值为 ，当二次函数L 1，L 2的y 值同时随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是（2）当EF=MN 时，求a 的值，并判断四边形ENFM 的形状（直接写出，不必证明）．（3）若二次函数L 2的图象与x 轴的右交点为A （m ，0），当△AMN 为等腰三角形时，求方程-a （x+1）2+1=0的解．8．在平面直角坐标系中，抛物线y =−x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象与x 轴交于点A(1，0)，B 两点，与y轴交于点C，当x=−3时，函数有最大值．2（1）抛物线的解析式；（2）点M在y轴上，使得∠MBC=15°，求点M的坐标；（3）若点P(x1，m)与点Q(x2，m)在抛物线上，且x1<x2，PQ=n，求证：x22−2x2=x12−4n+3．9．如图，已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．（1）求m的值．（2）求A、B两点的坐标．（3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．10．若y是x的函数，h为常数（ℎ>0），若对于该函数图象上的任意两点（x1，y1）、（x2，y2），当a≤x1≤b，a≤x2≤b（其中a、b为常数，a<b）时，总有|y1−y2|≤ℎ，就称此函数在a≤x≤b时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在a≤x≤b时的界高．（1）函数：①y=2x，②y=1，③y=x2在−1≤x≤1时为有界函数的是：（填序号）；x（2）若一次函数y=kx+2（k≠0），当a≤x≤b时为有界函数，且在此范围内的界高为b−a，请求出此一次函数解析式；（3）已知函数y=x2−2ax+5（a>1），当1≤x≤a+1时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实数a的取值范围．11．已知函数y=(n+1)x m+mx+1−n（m，n为实数）．（1）当m，n取何值时，函数是二次函数．（2）若它是一个二次函数，假设n>−1，那么：①它一定经过哪个点？请说明理由．②若取该函数上横坐标满足x=2k（k为整数）的所有点，组成新函数y1．当x≥12时，y1随x的增大而增大，且x=12时是函数最小值，求n满足的取值范围．12．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2-2x+c(c>0）的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C.抛物线的顶点为E，若点B的坐标是（1,0），点D是该抛物线在第二象限图象上的一个动点。
中考数学专题五函数应用问题综合题(解析版全国适用)
函数实际问题综合题一、一次函数+二次函数应用问题例题（2020·湖北随州·中考真题）2020年新冠肺炎疫情期间.部分药店趁机将口罩涨价.经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表：第x 天1 2 3 4 5 销售价格p （元/只）2 3 4 5 6 销量q （只）7075808590店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计.该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为2280200q x x =-+-（630x ≤≤.且x 为整数）.已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式. （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式.并判断第几天的利润最大.（3）物价部门为了进一步加强市场整顿.对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款.若罚款金额不低于2000元.则m 的取值范围为______．【答案】（1）1p x =+.15x ≤≤且x 为整数.565q x =+.15x ≤≤且x 为整数.（2）22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数.第5天时利润最大.（3）85m ． 【解析】 【分析】（1）根据表格数据.p 是x 的一次函数.q 是x 的一次函数.分别求出解析式即可. （2）根据题意.求出利润w 与x 的关系式.再结合二次函数的性质.即可求出利润的最大值．（3）先求出前5天多赚的利润.然后列出不等式.即可求出m 的取值范围． 【详解】（1）观察表格发现p 是x 的一次函数.q 是x 的一次函数. 设p=k 1x+b 1.将x=1.p=2.x=2.p=3分别代入得：1111232k b k b =+⎧⎨=+⎩. 解得：1111k b =⎧⎨=⎩. 所以1p x =+.经验证p=x+1符合题意. 所以1p x =+.15x ≤≤且x 为整数. 设q=k 2x+b 2.将x=1.q=70.x=2.q=75分别代入得：222270752k b k b =+⎧⎨=+⎩. 解得：22565k b =⎧⎨=⎩. 所以565q x =+.经验证565q x =+符合题意. 所以565q x =+.15x ≤≤且x 为整数. （2）当15x ≤≤且x 为整数时.(10.5)(565)W x x =+-+213565522x x =++. 当630x ≤≤且x 为整数时.()2(10.5)280200W x x =--+-240100x x =-+-.即有22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数. 当15x ≤≤且x 为整数时.售价.销量均随x 的增大而增大. 故当5x =时.495W =最大（元）当630x ≤≤且x 为整数时.2240100(20)300W x x x =-+-=--+ 故当20x时.300W =最大（元）.由495300>.可知第5天时利润最大． （3）根据题意.前5天的销售数量为：7075808590400q =++++=（只）. ∴前5天多赚的利润为：(270375480585690)140016504001250W =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯=-=（元）.∴12502000m ≥. ∴85m. ∴m 的取值范围为85m ． 【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用.一次函数的应用.不等式的应用.也考查了二次函数的基本性质.另外将实际问题转化为求函数最值问题.从而来解决实际问题． 练习题1．（2021·山东青岛·中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能.利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升.此时.在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力）.在1秒时.它们距离地面都是35米.在6秒时.它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度1y （米）与小钢球运动时间x （秒）之间的函数关系如图所示.小钢球离地面高度2y （米）与它的运动时间x （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出1y 与x 之间的函数关系式. （2）求出2y 与x 之间的函数关系式.（3）小钢球弹射1秒后直至落地时.小钢球和无人机的高度差最大是多少米？【答案】（1）1530y x =+.（2）22540y x x =-+.（3）70米【解析】 【分析】（1）先设出一次函数的解析式.再用待定系数法求函数解析式即可. （2）用待定系数法求函数解析式即可.（3）当1＜x ≤6时小钢球在无人机上方.因此求y 2-y 1.当6＜x ≤8时.无人机在小钢球的上方.因此求y 1-y 2.然后进行比较判断即可． 【详解】解：（1）设y 1与x 之间的函数关系式为y 1=kx +b'. ∵函数图象过点（0.30）和（1.35）.则'35'30k b b +=⎧⎨=⎩. 解得5'30k b =⎧⎨=⎩. ∴y 1与x 之间的函数关系式为1530y x =+． （2）∵6x =时.1563060y =⨯+=. ∵2y 的图象是过原点的抛物线.∴设22y ax bx =+.∴点()1,35.()6,60在抛物线22y ax bx =+上．∴3536660a b a b +=⎧⎨+=⎩.即35610a b a b +=⎧⎨+=⎩. 解得540a b =-⎧⎨=⎩. ∴22540y x x =-+．答：2y 与x 的函数关系式为22540y x x =-+．（3）设小钢球和无人机的高度差为y 米. 由25400x x -+=得10x =或28x =. ①16x <≤时.21y y y =-2540530x x x =-+-- 253530x x =-+-27125524x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭. ∵50a =-<.∴抛物线开口向下. 又∵16x <≤. ∴当72x =时.y 的最大值为1254. ②68x <≤时.12y y y =-2530540x x x =++- 253530x x =-+27125524x ⎛⎫=--⎪⎝⎭. ∵50a =>.∴拋物线开口向上. 又∵对称轴是直线72x =. ∴当72x >时.y 随x 的增大而增大. ∵68x <≤.∴当8x =时.y 的最大值为70． ∵125704<. ∴高度差的最大值为70米． 答：高度差的最大值为70米． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用.关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．2．（2021·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A .B 两种型号车床共14台.生产并销售1台A 型车床可以获利10万元.如果生产并销售不超过4台B 型车床.则每台B 型车床可以获利17万元.如果超出4台B 型车床.则每超出1台.每台B 型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B 型车床x 台． （1）当4x >时.完成以下两个问题： ①请补全下面的表格：A 型B 型车床数量/台 ________ x每台车床获利/万元10________70万元.问：生产并销售B 型车床多少台？（2）当0＜x ≤14时.设生产并销售A .B 两种型号车床获得的总利润为W 万元.如何分配生产并销售A .B 两种车床的数量.使获得的总利润W 最大？并求出最大利润． 【答案】（1）①14x -.21x -.②10台.（2）分配产销A 型车床9台、B 型车床5台.或产销A 型车床8台、B 型车床6台.此时可获得总利润最大值170万元 【解析】 【分析】（1）①由题意可知.生产并销售B 型车床x 台时.生产A 型车床（14-x ）台.当4x >时.每台就要比17万元少（4x -）万元.所以每台获利17(4)x --.也就是（21x -）万元. ②根据题意可得根据题意：(21)10(14)70x x x ---=然后解方程即可. （2）当0≤x ≤4时.W ＝10(14)x -＋17x ＝7140x +.当4＜x ≤14时. W ＝2( 5.5)170.25x --+.分别求出两个范围内的最大值即可得到答案. 【详解】解：（1）当4x >时.每台就要比17万元少（4x -）万元 所以每台获利17(4)x --.也就是（21x -）万元 ①补全表格如下面：A 型B 型车床数量/台 14x -x每台车床获利/万元1021x -由B 型可获得利润为(21)x x -万元.根据题意：(21)10(14)70x x x ---=. 2312100x x -+=.(21)(10)0x x --=.∵0≤x ≤14. ∴10x =.即应产销B 型车床10台. （2）当0≤x ≤4时. 当0≤x ≤4 A 型 B 型车床数量/台 14x -x每台车床获利/万元 1017 利润10(14)x -17x该函数值随着x 的增大而增大.当x 取最大值4时.W 最大1＝168（万元）. 当4＜x ≤14时. 当4＜x ≤14 A 型 B 型车床数量/台 14x -x每台车床获利/万元1021x -利润10(14)x - (21)x x -则＝＋＝211140x x -++＝( 5.5)170.25x --+.当5x =或6x =时（均满足条件4＜x ≤14）.W 达最大值W 最大2＝170（万元）. ∵W 最大2＞ W 最大1.∴应分配产销A 型车床9台、B 型车床5台.或产销A 型车床8台、B 型车床6台.此时可获得总利润最大值170万元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用.一次函数和二次函数的实际应用.解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解.3．（2021·辽宁锦州·中考真题）某公司计划购进一批原料加工销售.已知该原料的进价为6.2万元/t .加工过程中原料的质量有20%的损耗.加工费m （万元）与原料的质量x （t ）之间的关系为m ＝50＋0.2x .销售价y （万元/t ）与原料的质量x （t ）之间的关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式.（2）设销售收入为P （万元）.求P 与x 之间的函数关系式.（3）原料的质量x 为多少吨时.所获销售利润最大.最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．【答案】（1）1y 204x =-+.（2）21165P x x =-+.（3）原料的质量为24吨时.所获销售利润最大.最大销售利润是3265万元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式.（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式.（3）设销售总利润为W .根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式.然后根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b +＝. 将（20.15）.（30.12.5）代入. 可得：20153012.5k b k b +=⎧⎨+=⎩. 解得：1420k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩. ∴y 与x 之间的函数关系式为1y 204x =-+.（2）设销售收入为P （万元）.∴()2411120%2016545P xy x x x x ⎛⎫=-=⨯-+=-+ ⎪⎝⎭.∴P 与x 之间的函数关系式为21165P x x =-+.（3）设销售总利润为W .∴()216.216 6.2500.25W P x m x x x x =--=-+--+.整理.可得：()22148132650245555W x x x =-+-=--+. ∵﹣15＜0.∴当24x ＝时.W 有最大值为3265. ∴原料的质量为24吨时.所获销售利润最大.最大销售利润是3265万元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用.涉及了数形结合的数学思想.熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．4．（2021·湖北荆门·中考真题）某公司电商平台.在2021年五一长假期间.举行了商品打折促销活动.经市场调查发现.某种商品的周销售量y （件）是关于售价x （元/件）的一次函数.下表仅列出了该商品的售价x .周销售量y .周销售利润W （元）的三组对应值数据． x 40 70 90 y1809030W 3600 4500 2100.（2）若该商品进价a （元/件）.售价x 为多少时.周销售利润W 最大？并求出此时的最大利润.（3）因疫情期间.该商品进价提高了m （元/件）（0m >）.公司为回馈消费者.规定该商品售价x 不得超过55（元/件）.且该商品在今后的销售中.周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系.若周销售最大利润是4050元.求m 的值．【答案】（1）3300y x =-+.（2）售价60元时.周销售利润最大为4800元.（3）5m = 【解析】 【分析】（1）①依题意设y=kx+b.解方程组即可得到结论.（2）根据题意得(3300)()W x x a =-+-.再由表格数据求出20a =.得到2(3300)(20)3(60)4800W x x x =-+-=--+.根据二次函数的顶点式.求出最值即可.（3）根据题意得3(100)(20)(55)W x x m x =----.由于对称轴是直线60602mx =+>.根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）设y kx b =+.由题意有401807090k b k b +=⎧⎨+=⎩.解得3300k b =-⎧⎨=⎩. 所以y 关于x 的函数解析式为3300y x =-+. （2）由（1）(3300)()W x x a =-+-.又由表可得： 3600(340300)(40)a =-⨯+-.20a ∴=.22(3300)(20)336060003(60)4800W x x x x x ∴=-+-=-+-=--+．所以售价60x =时.周销售利润W 最大.最大利润为4800. （3）由题意3(100)(20)(55)W x x m x =----. 其对称轴60602mx =+>.055x ∴<时上述函数单调递增. 所以只有55x =时周销售利润最大.40503(55100)(5520)m ∴=----． 5m ∴=．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用.重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践.用于实践.在当今社会市场经济的环境下.应掌握一些有关商品价格和利润的知识.总利润等于总收入减去总成本.然后再利用二次函数求最值．5．（2021·辽宁营口·中考真题）某商家正在热销一种商品.其成本为30元/件.在销售过程中发现随着售价增加.销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时.改变销售策略.此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y （件）与售价x （元/件）满足如图所示的函数关系.（其中4070x ≤≤.且x 为整数）（1）直接写出y 与x 的函数关系式.（2）当售价为多少时.商家所获利润最大.最大利润是多少？【答案】（1）10700406052006070x x y x x -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩.（2）当售价为70元时.商家所获利润最大.最大利润是4500元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可.（2）分别求出当4060x ≤≤时与当6070x <≤时的销售利润解析式.利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）当4060x ≤≤时.设11y k x b =+. 将()40,300和()60,100代入.可得11113004010060k b k b =+⎧⎨=+⎩.解得1110700k b =-⎧⎨=⎩.即10700y x =-+. 当6070x <≤时.设22y k x b =+. 将()70,150和()60,100代入.可得22221507010060k b k b =+⎧⎨=+⎩.解得225200k b =⎧⎨=-⎩.即5200y x =-. ∴10700406052006070x x y x x -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩. （2）当4060x ≤≤时.销售利润()()22301010002100010504000w y x x x x =⋅-=-+-=--+.当50x =时.销售利润有最大值.为4000元. 当6070x <≤时.销售利润()()()2230150605500150005502500w y x x x x x =⋅---=-+=-+.该二次函数开口向上.对称轴为50x =.当6070x <≤时位于对称轴右侧. 当70x =时.销售利润有最大值.为4500元. ∵45004000>.∴当售价为70元时.商家所获利润最大.最大利润是4500元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的性质.根据图象列出解析式是解题的关键． 6．（2021·湖南郴州·中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品.在市场试销中发现.此商品的月销售量y （单位：万件）与销售单价x （单位：元）之间有如下表所示关系：x… 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 … y…8.06.05.03.01.0…（1）根据表中的数据.在图中描出实数对(,)x y 所对应的点.并画出y 关于x 的函数图象. （2）根据画出的函数图象.求出y 关于x 的函数表达式. （3）设经营此商品的月销售利润为P （单位：万元）． ①写出P 关于x 的函数表达式.②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本）.若物价局限定商品的销售单价不得超过．．．．进价的200%.则此时的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）图象见详解.（2）216y x =-+.（3）①222032P x x =-+-.②销售单价应定为3元． 【解析】 【分析】（1）由题意可直接进行作图.（2）由图象可得y 与x 满足一次函数的关系.所以设其关系式为y kx b =+.然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可.（3）①由题意易得()2P x y =-.然后由（2）可进行求解.②由①及题意可得22203210x x -+-=.然后求解.进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解．【详解】解：（1）y 关于x 的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+.则由表格可把()()4,8,5,6代入得：4856k b k b +=⎧⎨+=⎩.解得：216k b =-⎧⎨=⎩. ∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+. （3）①由（2）及题意可得：()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-.∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-. ②由题意得：2200x ≤⨯％.即4x ≤. ∴22203210x x -+-=. 解得：123,7x x ==.∴3x=.答：此时的销售单价应定为3元．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用.熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．7．（2021·四川南充·中考真题）超市购进某种苹果.如果进价增加2元/千克要用300元.如果进价减少2元/千克.同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克.就按原价购进.如果购进苹果超过100千克.超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克.且购进苹果当天全部销售完．据统计.销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为112100z x=-+．在（2）的条件下.要使超市销售苹果利润w（元）最大.求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）【答案】（1）苹果的进价为10元/千克.（2）10(100)8200(100)x xyx x≤⎧=⎨+>⎩.（3）要使超市销售苹果利润w最大.一天购进苹果数量为200千克．【解析】【分析】（1）设苹果的进价为x元/千克.根据等量关系.列出分式方程.即可求解.（2）分两种情况：当x≤100时. 当x＞100时.分别列出函数解析式.即可.（3）分两种情况：若x≤100时.若x＞100时.分别求出w关于x的函数解析式.根据二次函数的性质.即可求解．【详解】解：（1）设苹果的进价为x元/千克.由题意得：30020022x x=+-.解得：x=10.经检验：x=10是方程的解.且符合题意.答：苹果的进价为10元/千克.（2）当x≤100时.y=10x.当x＞100时.y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200.∴10(100)8200(100)x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩. （3）若x ≤100时.w =zx -y =21112102100100x x x x x ⎛⎫-+-=-+ ⎪⎝⎭=()21100100100x --+. ∴当x =100时.w 最大=100. 若x ＞100时.w =zx -y =()2111282004200100100x x x x x ⎛⎫-+-+=-+- ⎪⎝⎭=()21200200100x --+. ∴当x =200时.w 最大=200.综上所述：当x =200时.超市销售苹果利润w 最大.答：要使超市销售苹果利润w 最大.一天购进苹果数量为200千克． 【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用.根据数量关系.列出函数解析式和分式方程.是解题的关键．8．（2021·湖北十堰·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg .经过市场调研发现.这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数.且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系.如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …（1）m 与x 的函数关系为___________.（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中.公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院.后发现：在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大.求n 的取值范围．【答案】（1）2144m x =-+.（2）第16天销售利润最大.最大为1568元.（3）1.75＜n ＜4 【解析】 【分析】（1）设m kx b =+.将()1142,.()3138,代入.利用待定系数法即可求解. （2）分别写出当120x ≤≤时与当2040x <≤时的销售利润表达式.利用二次函数和一次函数的性质即可求解.（3）写出在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润表达式.根据二次函数的性质可得对称轴16220n +≤.求解即可． 【详解】解：（1）设m kx b =+.将()1142,.()3138,代入可得： 1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩.解得2144k b =-⎧⎨=⎩. ∴2144m x =-+. （2）当120x ≤≤时.销售利润()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+. 当16x =时.销售利润最大为1568元. 当2040x <≤时.销售利润20302160W my m x =-=-+. 当21x =时.销售利润最大为1530元.综上所述.第16天销售利润最大.最大为1568元. （3）在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润为：()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-.对称轴为直线x ═16+2n .∵在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大.且x 只能取整数.故只要第20天的利润高于第19天. 即对称轴要大于19.5 ∴16+2n ＞19.5. 求得n ＞1.75.又∵n ＜4. ∴n 的取值范围是：1.75＜n ＜4. 答：n 的取值范围是1.75＜n ＜4． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用.掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．9．（2021·江苏扬州·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租.下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元.那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元.那么将少租出1辆汽车．另外.公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元.无论是否租出汽车.公司均需一次性支付月维护费共计1850元． ．．②月利润=月租车费-月维护费.③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润． 在两公司租出的汽车数量相等的条件下.根据上述信息.解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时.甲公司的月利润是_______元.当每个公司租出的汽车为_______辆时.两公司的月利润相等. （2）求两公司月利润差的最大值.（3）甲公司热心公益事业.每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构.如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润.且当两公司租出的汽车均为17辆时.甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大.求a 的取值范围． 【答案】（1）48000.37.（2）33150元.（3）50150a << 【解析】 【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金.再乘以10.减去维护费用可得甲公司的月利润.设每个公司租出的汽车为x 辆.根据月利润相等得到方程.解之即可得到结果. （2）设两公司的月利润分别为y 甲.y 乙.月利润差为y .同（1）可得y 甲和y 乙的表达式.再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况.列出y 关于x 的表达式.根据二次函数的性质.结合x 的范围求出最值.再比较即可.（3）根据题意得到利润差为()25018001850y x a x =-+-+.得到对称轴.再根据两公司租出的汽车均为17辆.结合x 为整数可得关于a 的不等式180016.517.5100a-<<.即可求出a 的范围． 【详解】解：（1）()50105030001020010-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦=48000元.当每个公司租出的汽车为10辆时.甲公司的月利润是48000元. 设每个公司租出的汽车为x 辆.由题意可得：()5050300020035001850x x x x -⨯+-=-⎡⎤⎣⎦. 解得：x =37或x =-1（舍）.∴当每个公司租出的汽车为37辆时.两公司的月利润相等.（2）设两公司的月利润分别为y 甲.y 乙.月利润差为y . 则y 甲=()50503000200x x x -⨯+-⎡⎤⎣⎦. y 乙=35001850x -.当甲公司的利润大于乙公司时.0＜x ＜37. y =y 甲-y 乙=()()5050300020035001850x x x x -⨯+---⎡⎤⎣⎦ =25018001850x x -++. 当x =1800502--⨯=18时.利润差最大.且为18050元. 当乙公司的利润大于甲公司时.37＜x ≤50. y =y 乙-y 甲=()3500185050503000200x x x x ---⨯++⎡⎤⎣⎦ =25018001850x x --. ∵对称轴为直线x =1800502--⨯=18. 当x =50时.利润差最大.且为33150元. 综上：两公司月利润差的最大值为33150元.（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润.则利润差为25018001850y x x ax =-++-=()25018001850x a x -+-+.对称轴为直线x =1800100a-. ∵x 只能取整数.且当两公司租出的汽车均为17辆时.月利润之差最大. ∴180016.517.5100a-<<. 解得：50150a <<． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用.二次函数的图像和性质.解题时要读懂题意.列出二次函数关系式.尤其（3）中要根据x 为整数得到a 的不等式．10．（2018·湖北荆门·中考真题）随着龙虾节的火热举办.某龙虾养殖大户为了发挥技术优势.一次性收购了10000kg 小龙虾.计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同.放养10天的总成本为166000.放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t 天后的质量为akg.销售单价为y 元/kg.根据往年的行情预测.a 与t 的函数关系为a=()()1000002010080002050t t t ⎧≤≤⎪⎨+<≤⎪⎩.y 与t 的函数关系如图所示． （1）设每天的养殖成本为m 元.收购成本为n 元.求m 与n 的值. （2）求y 与t 的函数关系式.（3）如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ （总成本=放养总费用+收购成本.利润=销售总额﹣总成本）【答案】（1）m=600.n=160000.（2）()()316020513220505t t y t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩.（3）该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大.最大利润是108500元. 【解析】 【详解】【分析】（1）根据题意列出方程组.求出方程组的解得到m 与n 的值即可. （2）根据图象.分类讨论利用待定系数法求出y 与P 的解析式即可.（3）根据W=ya ﹣mt ﹣n.表示出W 与t 的函数解析式.利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．【详解】（1）依题意得1016600030178000m n m n +=⎧⎨+=⎩ . 解得：600160000m n =⎧⎨=⎩. （2）当0≤t≤20时.设y=k 1t+b 1.由图象得：111162028b k b =⎧⎨+=⎩. 解得：113516k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴y=35t+16.当20＜t≤50时.设y=k 2t+b 2.由图象得：222220285022k b k b +=⎧⎨+=⎩.解得：221532k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩. ∴y=﹣15t+32.综上.()()3160t 205y 13220t 505t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩. （3）W=ya ﹣mt ﹣n.当0≤t≤20时.W=10000（35t+16）﹣600t ﹣160000=5400t.∵5400＞0.∴当t=20时.W 最大=5400×20=108000.当20＜t≤50时.W=（﹣15t+32）（100t+8000）﹣600t ﹣160000=﹣20t 2+1000t+96000=﹣20（t ﹣25）2+108500. ∵﹣20＜0.抛物线开口向下. ∴当t=25.W 最大=108500. ∵108500＞108000.∴当t=25时.W 取得最大值.该最大值为108500元．【点睛】本题考查了二次函数的应用.具体考查了待定系数法确定函数解析式.利用二次函数的性质确定最值.熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．二、一次函数+反比例函数应用问题例题（2021·广东深圳·中考真题）探究：是否存在一个新矩形.使其周长和面积为原矩形的2倍、12倍、k 倍．（1）若该矩形为正方形.是否存在一个正方形.使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）继续探究.是否存在一个矩形.使其周长和面积都为长为3.宽为2的矩形的2倍？ 同学们有以下思路：设新矩形长和宽为x 、y .则依题意10x y +=.12xy =.联立1012x y xy +=⎧⎨=⎩得210120x x -+=.再探究根的情况：根据此方法.请你探究是否存在一个矩形.使其周长和面积都为原矩形的12倍.如图也可用反比例函数与一次函数证明1l ：10y x =-+.2l ：12y x=.那么.①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______． ②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的12.若存在.用图像表达. ③请直接写出当结论成立时k 的取值范围：．【答案】（1）不存在.（2）①存在.②不存在.见解析.③2425k 【解析】 【分析】（1）直接求出边长为2的正方形周长与面积.再求出周长扩大2倍即边长扩大2倍时正方形的面积.比较是否也为2倍即可.（2）①依题意根据一元二次方程根的情况判断即可.②设新矩形长和宽为x 、y .则依题意52x y +=.3xy =.联立.求出关于x 、y 的一元二次方程.判断根的情况.③设新矩形长和宽为x 和y .则由题意5x y k +=.6xy k =.同样列出一元二次方程.利用根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）边长为2的正方形.周长为8.面积为4.当周长为其2倍时.边长即为4.面积为16.即为原来的4倍.故不存在. （2）①存在.∵210120x x -+=的判别式0∆>.方程有两组正数解.故存在. 从图像来看.1l ：10y x =-+.2l ：12y x=在第一象限有两个交点.故存在. ②设新矩形长和宽为x 、y .则依题意52x y +=.3xy =.联立523x y xy ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得25302x x -+=. 因为∆<0.此方程无解.故这样的新矩形不存在.从图像来看.1l ：52y x =-+.2l ：3y x =在第一象限无交点.故不存在.③2425k. 设新矩形长和宽为x 和y .则由题意5x y k +=.6xy k =. 联立56x y k xy k +=⎧⎨=⎩得2560x kx k -+=.225240k k ∆=-.故2425k ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用.根的判别式．需要认真阅读理解题意.根据题干过程模仿解题． 练习题1．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带.为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R 1. R 1与踏板上人的质量m 之间的函数关系式为R 1＝km ＋b （其中k .b 为常数.0≤m ≤120）.其图象如图1所示.图2的电路中.电源电压恒为8伏.定值电阻R 0的阻值为30欧.接通开关.人站上踏板.电压表显示的读数为U 0 .该读数可以换算为人的质量m . 温馨提示：①导体两端的电压U .导体的电阻R .通过导体的电流I .满足关系式I ＝UR. ②串联电路中电流处处相等.各电阻两端的电压之和等于总电压．（1）求k .b 的值.（2）求R 1关于U 0的函数解析式. （3）用含U 0的代数式表示m .（4）若电压表量程为0~6伏.为保护电压表.请确定该电子体重秤可称的最大质量．【答案】（1）2402b k =⎧⎨=-⎩.（2）1024030R U =-.I （3）0120135m U =-.（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法.即可求解.（2）根据“串联电路中电流处处相等.各电阻两端的电压之和等于总电压”.列出等式.进而即可求解.（3）由R 1＝12-m ＋240.1024030R U =-.即可得到答案. （4）把06U =时.代入0480540m U =-.进而即可得到答案． 【详解】解：（1）把（0.240）.（120.0）代入R 1＝km ＋b .得2400120bk b =⎧⎨=+⎩.解得：2402b k =⎧⎨=-⎩. （2）∵001830U U R -=. ∴1024030R U =-. （3）由（1）可知：2402b k =⎧⎨=-⎩. ∴R 1＝2-m ＋240. 又∵1024030R U =-. ∴024030U -=2-m ＋240.即：0120135m U =-. （4）∵电压表量程为0~6伏. ∴当06U =时.1201351156m =-= 答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用.熟练掌握待定系数法.是解题的关键． 2．（2021·安徽·中考真题）已知正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （m .2）． （1）求k .m 的值.（2）在图中画出正比例函数y kx =的图象.并根据图象.写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．【答案】（1）,k m 的值分别是23和3.（2）30x -<<或3x > 【解析】 【分析】（1）把点A （m .2）代入6y x=求得m 的值.从而得点A 的坐标.再代入(0)y kx k =≠求得k 值即可.（2）在坐标系中画出y kx =的图象.根据正比例函数(0)y kx k =≠的图象与反比例函数6y x=图象的两个交点坐标关于原点对称.求得另一个交点的坐标.观察图象即可解答． 【详解】（1）将(,2)A m 代入6y x=得62m =.3m ∴=.(3,2)A ∴.将(3,2)A 代入y kx =得23k =.23k ∴=. ,k m ∴的值分别是23和3．（2）正比例函数23y x =的图象如图所示.∵正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （3.2）. ∴正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象的另一个交点坐标为（-3.-2）. 由图可知：正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围为30x -<<或3x >． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合题.利用数形结合思想是解决问题的关键． 3．（2020·广西柳州·中考真题）如图.平行于y 轴的直尺（部分）与反比例函数my x=（x ＞0）的图象交于A 、C 两点.与x 轴交于B 、D 两点.连接AC .点A 、B 对应直尺上的刻度分别为5、2.直尺的宽度BD ＝2.OB ＝2．设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ． （1）请结合图象.直接写出： ①点A 的坐标是 . ②不等式mkx b x+>的解集是 . （2）求直线AC 的解析式．。
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合1．如图，二次函数y＝- 34x2+94x+3的图象与x轴交于点A、B（B在A右侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ABC的面积．2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A （1，0），C（0，3）两点，与x轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．3．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△P AB=6，并求出此时P点的坐标．4．如图，抛物线y1=a(x-1)2+4与x轴交于A(-1，0)。
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）一次函数y2=x+1的图象与抛物线相交于A，C两点，过点C作CB垂直于x 轴于点B，求△ABC的面积。
5．如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线I：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B。
（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标。
（3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B、C、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M 的坐标；若不能，请说明理由。
6．如图，直线y=-x+2与抛物线y=ax 2交于A ，B 两点，点A 坐标为(1，1)。
（1）水抛物线的函数表达式：（2）连结OA ，OB ，求△AOB 的面积。
7．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点P(1，-1)，且过Q(5，3)。
初三中考数学函数综合题含答案
初三中考数学函数综合题含答案一、单选题1．函数32x y x +=-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x >-B ．3x ≥-且2x ≠C ．2x ≠D ．3x >-且2x ≠2．如图，函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组0ax y b kx y -+=⎧⎨-=⎩的解是（ ）A ．42x y =-⎧⎨=-⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．24x y =-⎧⎨=-⎩D ．24x y =⎧⎨=⎩3．若反比例函数1k y x-=，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（） A ．1k >B ．1k <C ．1k >-D ．1k <-4．将抛物线()2321y x =-+先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得的抛物线解析式是（） A ．()2341y x =-- B ．()2343y x =-+ C ．233y x =+D ．231y x =-5．抛物线213y x =的开口方向、对称轴分别是（ ）A ．向上，x 轴B ．向上，y 轴C ．向下，x 轴D ．向下，y 轴 6．二次函数y ＝x 2＋6x ＋4的对称轴是（ ） A ．x ＝6B ．x ＝﹣6C ．x ＝﹣3D ．x ＝47．下列y 关于x 的函数中，一次函数为（ ） A ．()2y a x b =-+B ．()211y k x =++C ．2y x=D ．221y x =+8．一次函数y kx b =+的图象与直线23y x =+平行，且与y 轴的交点为(0,2)，则一次函数的表达式为（ ） A ．23y x =+B ．22y x =+C ．23y x =-+D ．22y x =-+9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（2，4），有以下结论：①当a >0时，b 2－4ac >0；②当a >0时，ax 2＋bx ＋c≥4；③若点（-2，m ）,（3，n ）在抛物线上，则m <n ；④若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一根为－1，则另一根为5．其中正确的是（ ） A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④10．已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）都在反比例函数y kx=（k ＜0）的图象上，且x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 2＞y 1＞y 3 B ．y 3＞y 2＞y 1 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 3＞y 1＞y 211．已知y =kx +b ，当x =2时，y =-2；当x =3时，y =0．则（ ）A ．k =2，b =-6B ．k =-6，b =2C ．k =-2，b =6D ．k =-2，b =-612．抛物线y ＝﹣2（x ﹣3）2﹣4的顶点坐标是（ ）A ．（﹣3，4）B ．（﹣3，﹣4）C ．（3，﹣4）D ．（3，4）13．将一次函数23y x =-的图象沿y 轴向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（ ） A ．2y x = B ．26y x =- C ．53y x =- D ．3y x =-- 14．二次函数22(3)1y x =-+-的顶点坐标是（ ）A ．(31)， B ．(13)-， C ．(3,1)-D ．(3,1)--15．已知A （﹣11,3y ），B （﹣21,2y ），C （1，y 3）是一次函数y ＝b ﹣3x 的图象上三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 2＜y 1＜y 3二、填空题16．一次函数(27)2y k x =-+中，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是___________． 17．将直线213y x =-+向上平移3个单位后所得直线解析式为_______．18．已知点(2,)A m 在一次函数53y x =+的图象上，则m 的值是__．19．已知一次函数(1)2y m x m =-+-的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么m 的取值范围是______．20．若函数y ＝（m ﹣2）x +|m |﹣2是正比例函数，则m ＝_____．三、解答题21．如图，抛物线y ＝ax 2+3x +c 经过A (﹣1，0)，B (4，0)两点，并且与y 轴交于点C ．(1)求此抛物线的解析式； (2)直线BC 的解析式为 ；(3)若点M 是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t ，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N ，设MN 的长为h ，求h 与t 之间的函数关系式及h 的最大值；(4)在x 轴的负半轴上是否存在点P ，使以B ，C ，P 三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在；如果不存在，说明理由．22．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0）两点，抛物线的对称轴l 与x 轴交于M 点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求PA +PC 长；(3)已知点N （0，﹣1），在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N 、Q 为顶点的三角形与△BCM 相似？若存在；若不存在，请说明理由．23．已知二次函数222y x x m =-+-的图象与x 轴有交点，求非负整数m 的值． 24．已知抛物线y ＝12x 2﹣x ﹣32与x 轴交于点A ，点B （点A 在点B 左侧）． (1)求点A ，点B 的坐标；(2)用配方法求该抛物线的顶点C 的坐标，判断△ABC 的形状，并说明理由；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使以点O 、点C 、点P 为顶点的三角形构成等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．已知抛物线222y x mx m =--．(1)求证：对任意实数m ，抛物线与x 轴总有交点． (2)若该抛物线与x 轴交于1,0A ，求m 的值．【参考答案】一、单选题 1．B 2．A3．A 4．A 5．B 6．C 7．B 8．B 9．D 10．A 11．A 12．C 13．A 14．D 15．A 二、填空题16．72k < 17．243y x =-+18．1319．2m >20．-2三、解答题21．(1)234y x x =-++ (2)4y x =-+(3)h 与t 之间的函数关系式为：()2404h t t t =-+<<，h 的最大值为4(4)在x 轴的负半轴上存在点()4,0P -或()4P -，使以B ，C ，P 三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）把A (﹣1，0)，B (4，0) 代入抛物线解析式，即可求解；（2）根据抛物线解析式求出点C 的坐标，再利用待定系数法，即可求解；（3）根据题意可得点()2,34M t t t -++，点(),4N t t -+，从而得到24MN t t =-+，再根据二次函数的性质，即可求解；（4）分三种情况：当PC =BC 时，当PB =BC 时，当PC =PB 时，即可求解． (1)解：∵抛物线y ＝ax 2+3x +c 经过A (﹣1，0)，B (4，0)两点，∴3016340a c a c -+=⎧⎨+⨯+=⎩， 解得：14a c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为234y x x =-++； (2)解：当0x =时，4y =， ∴点()0,4C ，设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠， 把点B (4，0)，()0,4C 代入得：404k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为4y x =-+； (3) 解：如图，∵点M 是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t ，∴点()2,34M t t t -++，∵MN ⊥x 轴， ∴点(),4N t t -+，∴()()223444MN t t t t t =-++--+=-+，∴()()2242404h t t t t =-+=--+<<， ∴当2t =时，h 的值最大，最大值为4； (4)解：在x 轴的负半轴上存在点P ，使以B ，C ，P 三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下： 当PC =BC 时， ∵OC ⊥BP ， ∴OP =OB ，∵点B (4，0)，点P 在x 轴的负半轴上， ∴点()4,0P -； 当PB =BC 时， ∵B (4，0)，()0,4C ， ∴OC =4，OB =4，∴BP BC ==∴4OP BP OB =-=， ∵点P 在x 轴的负半轴上，∴点()4P -；当PC =PB 时，点P 位于BC 的垂直平分线上， ∵OB =OC =4，∴点O 位于BC 的垂直平分线上， ∴此时点P 与点O 重合，不合题意，舍去；综上所述，在x 轴的负半轴上存在点()4,0P -或()4P -，使以B ，C ，P 三点为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 22．(1)y ＝﹣x 2+2x +3(2)PA +PC 的长为(3)存在，点Q 的坐标为()0,2或10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，理由见解析【解析】 【分析】（1）当x ＝0时，y ＝3，可得C （0，3）．再设设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3）（a ≠0），利用待定系数法，即可求解；（2）连接PA 、PB 、PC ，根据轴对称性可得PA ＝PB ．从而得到PA +PC ＝PC +PB ．进而得到当点P 在线段BC 上时，PC +AP 有最小值．即可求解；（3）先求出抛物线的对称轴，可得点()1,0M ，再由点N （0，﹣1），B （3，0），C （0，3）．可得2,45,45MN BC BM CBM MNO ===∠=︒∠=︒，可得∠CBM =∠MNO ，然后分三种情况讨论，即可求解． (1)解：把x ＝0代入得：y ＝3， ∴C （0，3）．设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3）（a ≠0）， 将点C 的坐标代入上式得：3＝﹣3a ，解得：a ＝﹣1．∴抛物线的解析式为y ＝-（x +1）（x -3）=﹣x 2+2x +3． (2)解：如图，连接PA 、PB 、PC ，∵点A 与点B 关于直线l 对称，点P 在直线l 上， ∴PA ＝PB ． ∴PA +PC ＝PC +PB ． ∵两点之间线段最短，∴当点P 在线段BC 上时，PC +AP 有最小值． ∵OC ＝3，OB ＝3， ∴BC ＝32∴PA +PC 的最小值＝32 (3)解：存在，理由： 抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2ba＝1． ∵抛物线的对称轴l 与x 轴交于M 点． ∴点()1,0M ，∵点N （0，﹣1），B （3，0），C （0，3）． ∴OM =ON =1，OB =OC =3，∴2,32,2,45,45MN BC BM CBM MNO ===∠=︒∠=︒， ∴∠CBM =∠MNO ，当点Q 在点N 下方时，∠MNQ =135°，不符合题意， ∴点Q 在点N 上方，设点Q 的坐标为（0，n ）．则QN =n +1， ∵以M 、N 、Q 为顶点的三角形与△BCM 相似， ∴∠QMN =∠CMB 或∠MQN =∠CMB ， 当1Q MN CMB ∠=∠时，1Q MNCMB ，如图（2），∴1Q N MNBC BM=， ∴12232n +=，解得：2n =， ∴点()10,2Q ；当2MQ N CMB ∠=∠时，2MQ NCMB ，如图（3），∴2Q N MN MB BC=， ∴12232n +=13n =-，∴点210,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上所述，点Q 的坐标为()0,2或10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，待定系数法求二次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 23．0或1或2或3 【解析】【分析】根据二次函数y =x 2-2x +m -2的图象与x 轴有交点，根据Δ≥0列出m 的不等式，求出m 的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数y =x 2-2x +m -2的图象与x 轴有交点， ∴Δ=4-4（m -2）≥0， ∴m ≤3， ∵m 为非负整数， ∴m =0或1或2或3． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴交点的知识，解答本题的关键是根据二次函数y =x 2-2x +m -2的图象与x 轴有交点列出m 的不等式，此题难度不大． 24．(1)A （-1，0），B （3，0）(2)点C 的坐标为（1，-2），ABC 为等腰直角三角形，理由见解析(3)点P 的坐标为（1，2），2)，(1,2)或3(1,)4-【解析】 【分析】（1）把0y =代入到21322y x x =--得，213022x x --=，解得13x =，21x =-，又因为点A 在点B 的左侧，即可得； （2）21322y x x =--配方得21(1)22y x =--，即可得点C 的坐标为（1，-2），根据点A ，B ，C 的坐标得4AB =，AC ，BC =AC =BC ，又因为2224+=，所以222AC BC AB +=，即可得90ACB ∠=︒，从而得出ACB △是等腰直角三角形；（3）当点P 与点C 关于x 轴对称时，OC =OP ，OCP △为等腰三角形，即可得点P 的坐标（1，2），当CO CP =时，CP =，即可得点P 的坐标为2)或(1,2)，当OP CP =时，点P 在OC 的垂直平分线上，设点(1,)P a ，点P 交x 轴于点D ，在Rt ODP 中，根据勾股定理得，222(2)1a a +=+，解得34a =-，即可得点P 的坐标为3(1,)4-，综上，即可得． (1)解：把0y =代入到21322y x x =--得， 213022x x --= 2230x x --= (3)(1)0x x -+=解得13x =，21x =-， ∵点A 在点B 的左侧，∴A （-1，0），B （3，0）． (2) 解：21322y x x =-- =21(3)2x x -- =21(1)22x x -+- =21(1)22x --∴点C 的坐标为（1，-2），ABC 为等腰直角三角形，理由如下：∵A （-1，0），B （3，0），C （1，-2）， ∴3(1)4AB =--=，22(11)(02)8AC =----=， 22(31)(02)8BC =---=，∴AC =BC ， ∵222(8)(8)4+=， ∴222AC BC AB +=， ∴90ACB ∠=︒，∴ACB △是等腰直角三角形． (3)解：当点P 与点C 关于x 轴对称时，OC =OP ，OCP △为等腰三角形， ∴点P 的坐标为（1，2）；当CO CP =时，22(10)(20)5CP =-+-=， ∴点P 的坐标为(1,52)-或(1,52)--；当OP CP =时，点P 在OC 的垂直平分线上，设点(1,)P a ， 如图所示，点P 交x 轴于点D ，在Rt ODP 中，根据勾股定理得，222(2)1a a +=+，22441a a a ++=+34a =- ∴点P 的坐标为3(1,)4-；综上，点P 的坐标为（1，2），2)，(1,2)或3(1,)4-． 【点睛】本题考查了二次函数与三角形的综合，解题的关键是掌握二次函数的性质，等腰三角形的判定与性质．25．(1)见解析(2)122,1m m =-=【解析】【分析】（1）令0y =，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）令1x =，0y =，解一元二次方程即可求得m 的值(1)令0y =，则有2220x mx m --=222890m m m ∆=+=≥即，对于任意实数方程2220x mx m --=总有两个实数根，∴对任意实数m ，抛物线与x 轴总有交点．(2)解：∵抛物线222y x mx m =--与x 轴交于1,0A ，∴202m m =--解得122,1m m =-=【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，掌握一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程是解题的关键．。
中考数学函数实际应用综合题(解析版)
专题03 函数实际应用综合题1.（2019•常德中考）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．【解析】（1）设y甲=k1x，根据题意得5k1=100，解得k1=20，∴y甲=20x；设y乙=k2x+100，根据题意得：20k2+100=300，解得k2=10，∴y乙=10x+100．（2）①y甲<y乙，即20x<10x+100，解得x<10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y甲=y乙，即20x=10x+100，解得x=10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y甲>y乙，即20x>10x+100，解得x>10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．2.（2019•山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式．方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．【解析】（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1=30x+200，方式二的费用为：y2=40x．（2）由y1<y2得：30x+200<40x，解得x>20时，当x>20时，选择方式一比方式二省钱．3．（2019•台州中考）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）之间具有函数关系3610h x =-+，乙离一楼地面的高度y （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）的函数关系如图2所示． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．【解析】（1）设y 关于x 的函数解析式是y kx b =+，6153b k b =⎧⎨+=⎩，解得，156k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 即y 关于x 的函数解析式是165y x =-+． （2）当0h =时，30610x =-+，得20x ，当0y =时，1065x =-+，得30x =， ∵2030<， ∴甲先到达地面．4．（2019•天门中考）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x 千克，付款金额为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？ 【解析】（1）根据题意，得①当0≤x ≤5时，y =20x ； ②当x >5，y =20×0.8（x -5）+20×5=16x +20． （2）把x =30代入y =16x +20，∴y =16×30+20=500； ∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元．5.（2019•天津中考）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超出50 kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg x (0)x >．（1）根据题意填表：（2）设在甲批发店花费1y 元，在乙批发店花费2y 元，分别求1y ，2y 关于x 的函数解析式； （3）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为__________kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg ，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买数量多．【解析】（1）当x =30时，1306180y =⨯=，2307210y =⨯=，当x =150时，11506900y =⨯=，2507515050850y =⨯+-=（）， 故答案为：180，900，210，850． （2）16y x =(0)x >． 当050x <≤时，27y x =；当50x >时，27505(50)y x =⨯+-，即25100y x =+． （3）①∵0x >∴6x 7x ≠， ∴当21y y =时，即6x =5x +100，∴x =100， 故答案为：100． ②∵x =12050>，∴16120720y =⨯=；25120100=700y =⨯+， ∴乙批发店购买花费少， 故答案为：乙．③∵当x =50时乙批发店的花费是：350360<， ∵一次购买苹果花费了360元，∴x >50， ∴当1360y =时，6x =360，∴x =60， ∴当2360y =时，5x +100=360,∴x =52， ∴甲批发店购买数量多． 故答案为：甲．6.（2019•湖州中考）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为x （分），图1中线段OA 和折线B C D --分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当2530x ≤≤时s 关于x 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）【解析】（1）由题意，得：甲步行的速度是24003080÷=（米/分）， ∴乙出发时甲离开小区的路程是8010800⨯=（米）．（2）设直线OA 的解析式为:(0)y kx k =≠， ∵直线OA 过点()30,2400A ， ∴302400k =， 解得80k =，∴直线OA 的解析式为:80y x =， ∴当18x =时，80181440y =⨯=，∴乙骑自行车的速度是()14401810180÷-=（米/分）． ∵乙骑自行车的时间为251015-=（分）， ∴乙骑自行车的路程为180152700⨯=（米）．当25x =时，甲走过的路程是8080252000y x ==⨯=（米），∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是27002000700-=（米）． （3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分）， 当25≤x ≤30时s 关于x 的函数的大致图象如图所示．7.2019•河南中考）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元． （1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解析】（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴3015x y =⎧⎨=⎩，∴A 的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为（30-z ）个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，z ≥13（30-z ）， ∴z ≥152， W =30z +15（30-z ）=450+15z ， ∵15＞0，W 随z 的减小而减小 ∴当z =8时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少．8.（2019•宿迁中考）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x 元，每天售出y 件．（1）请写出y 与x 之间的函数表达式；（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？ 【解析】（1）根据题意得，1502y x =-+． （2）根据题意得，()140(50)22502x x +-+=， 解得：150x =，210x =， ∵每件利润不能超过60元， ∴10x =，答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元． （3）根据题意得，()21140(50)30200022w x x x x =+-+=-++()213024502x =--+， ∵102a =-<， ∴当30x <时，w 随x 的增大而增大，∴当20x时，2400w =增大，答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元．9．（2019•潍坊中考）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）【解析】（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为()1x +元， 今年的批发销售总额为()10120%12-=万元， ∴12000010000010001x x -=+， 整理得2191200x x --=，解得24x =或5x =-（不合题意，舍去）， 故这种水果今年每千克的平均批发价是24元． （2）设每千克的平均售价为m 元，依题意 由（1）知平均批发价为24元，则有()4124(180300)3mw m -=-⨯+260420066240m m =-+-， 整理得()260357260w m =--+， ∵600a =-<， ∴抛物线开口向下，∴当35m =元时，w 取最大值，即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元．10．（2019•南充中考）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元． （1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？ 【解析】（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意可得23384570x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：106x y =⎧⎨=⎩． 答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元．（2）设钢笔单价为a 元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本总金额为W 元， ①当30≤b ≤50时，100.1(30)0.113a b b =--=-+，w =b （-0.1b +13）+6（100-b ）20.17600b b =-++20.1(35)722.5b =--+， ∵当30b =时，W =720，当b =50时，W =700， ∴当30≤b ≤50时，700≤W ≤722.5． ②当50＜b ≤60时， a =8，86(100)2600W b b b =+-=+，∵700720W <≤，∴当30≤b ≤60时，W 的最小值为700元，∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元．11．（2019•梧州中考）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（x ≥6，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【解析】（1）由题意，y =（x -5）（100-60.5x -×5）=-10x 2+210x -800，故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800．（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，解得，x1=8，x2=13，∵-10<0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．（3）∵每件文具利润不超过80%，∴50.8xx-≤，得x≤9，∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，∵对称轴为x=10.5，∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，∴当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280，即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．12．（2019•云南中考）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．【解析】（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得1000620010k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得2002200kb=-⎧⎨=⎩，∴y=-200x+1200，当10<x≤12时，y=200，故y 与x 的函数解析式为：y =2002200(610)200(1012)x x x -+≤≤⎧⎨<≤⎩．（2）由已知得：W =（x -6）y ， 当6≤x ≤10时，W =（x -6）（-200x +1200）=-200（x -172）2+1250， ∵-200<0，抛物线的开口向下， ∴x =172时，取最大值， ∴W =1250，当10<x ≤12时，W =（x -6）•200=200x -1200， ∵y 随x 的增大而增大，∴x =12时取得最大值，W =200×12-1200=1200， 综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．13．（2019•成都中考）随着5G 技术的发展，人们对各类5G 产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x （x 为正整数）个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y 与x 之间的关系式；（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可以用p =12x +12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？【解析】（1）设函数的解析式为：y =kx +b （k ≠0），由图象可得，700055000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5007500kb=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的关系式：y=-500x+7500．（2）设销售收入为w万元，根据题意得，w=yp=（-500x+7500）（12x+12），即w=-250（x-7）2+16000，∴当x=7时，w有最大值为16000，此时y=-500×7+7500=4000（元）．答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．14．（2019•武汉中考）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）50 60 80周销售量y（件）100 80 40周销售利润w（元）1000 1600 1600 注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是__________元/件；当售价是__________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．【解析】（1）①依题意设y=kx+b，则有50100 6080k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2200 kb=-⎧⎨=⎩，所以y关于x的函数解析式为y=-2x+200．②该商品进价是50-1000÷100=40，设每周获得利润w=ax2+bx+c，则有2500501000 3600601600 6400801600a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得22808000 abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴w=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；故答案为：40，70，1800；（2）根据题意得，w=（x-40-m）（-2x+200）=-2x2+（280+2m）x-8000-200m，∵对称轴x=1402m+，∴①当1402m+<65时（舍），②当1402m+≥65时，x=65时，w求最大值1400，解得：m=5．。
初三中考数学函数综合题含答案
初三中考数学函数综合题含答案一、单选题1．已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y =（x +1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）． A ．122y y >> B ．212y y >> C ．122y y >>D ．212y y >>2．抛物线y ＝14（x ﹣6）2+3的顶点坐标是（ ）A ．（6，﹣3）B ．（6，3）C ．（﹣6，3）D ．（﹣6，﹣3） 3．抛物线y =2（x -1）2-3的顶点坐标是（ ） A ．()1,3-- B ．()1,3- C ．()1,3- D ．()1,3 4．一次函数y ＝－2x ＋5的图像不经过的象限是（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四 5．将函数y ＝2x 的图象向上平移4个单位后，下列各点在平移后的图象上的是（ ） A ．()1,5 B ．()0,4 C ．()1,3- D ．()2,3- 6．在直角坐标系的x 轴的负半轴上，则点P 坐标为（ ）A ．()4,0-B ．()0,4C ．()0,3-D ．()1,0 7．直线7y x =--一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．下列各点中，在反比例函数2y x=-图象上的是-（ ）A ．(21)，B ．233⎛⎫⎪⎝⎭， C ．(21)--， D ．(12)-，9．已知点()11,A x y ，()22,B x y 在直线()0y kx b k =+≠上，当12x x <时，12y y >，且0kb <，则直线()0y kx b k =+≠在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列一次函数中，y 随x 的增大而减小的是（ ） A ．y ＝x ﹣3 B ．y ＝1﹣x C ．y ＝2x D ．y ＝3x +2 11．下列二次函数中，对称轴是直线1x =的是（ ）A ．21y x =+B ．()221y x =+C ．()21y x =-+D ．()231y x =--12．反比例函数y ＝2x的图象位于（ ）A ．第一、三象限B ．第二、三象限C ．第一、二象限D ．第二、四象限13．如图，△ABC 中，点B ，C 是x 轴上的点，且A （3，2），以原点O 为位似中心，作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′，且△ABC 与A ′B ′C ′的相似比是1：2，则点A ′的坐标是（ ）A ．（﹣6，﹣4）B ．（﹣1.5，﹣1）C ．（1.5，1）或（﹣1.5，﹣1）D ．（6，4）或（﹣6，﹣4）14．已知点P （a ，a ﹣1）在平面直角坐标系的第四象限，则a 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A ．B ．C ．D ．15．要得到抛物线()2321y x =-++可以将抛物线232y x =-+（ ） A ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位二、填空题16．已知点(),P m n 在一次函数1y x =+的图象上，则n m -=______．17．已知某函数图像过点（－1，1），写出一个符合条件的函数表达式：______．18．将一次函数123=+y x 向上平移5个单位长度后得到直线AB ，则平移后直线AB 对应的函数表达式为______．19．将抛物线22(3)y x m =-+向右平移3个单位，再向上平移1个单位后恰好经过点(2,3)，则m 值是 __．20．若抛物线y =x 2+bx +经过点A （0，5），B （4，5），则其对称轴是直线______三、解答题21．已知抛物线y ＝－（x －m ）2＋1与x 轴的交点为A ，B （B 在A 的右边），与y 轴的交点为C ．(1)写出m ＝1时与抛物线有关的三个正确结论．(2)当点B 在原点的右边，点C 在原点的下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． (3)请你提出两个对任意的m 值都能成立的正确命题．22．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线()2210y ax ax a =-+>上，其中12x x < (1)求抛物线的对称轴；(2)若122x x a +=-，比较1y 与2y 的大小关系，并说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数243y ax x =+-图象的顶点是A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点D ．点B 的坐标是()1,0．(1)求A ，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当0y >时x 的取值范围；(2)将图象向上平移m 个单位后，二次函数图象与x 轴交于E ，F 两点，若6EF =，求m 的值．24．一抛物线以()1,9-为顶点，且经过x 轴上一点()4,0-，求该抛物线解析式及抛物线与y 轴交点坐标．25．已知抛物线y ＝（x ﹣1）2+k 与y 轴相交于点A (0，﹣3)，点P 为抛物线上的一点． (1)求此抛物线的解析式；(2)若点P 的横坐标为2，则点P 到x 轴的距离为 ．【参考答案】一、单选题 1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．C 10．B 11．D 12．A 13．D 14．C 15．D 二、填空题 16．117．y ＝-x （答案不唯一） 18．y =13x +719．-3020．2x = 三、解答题21．(1)抛物线的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴的两个交点为（0，0），（2，0），抛物线开口向下 (2)存在，2(3)无论m 为何值，函数的始终有最大值1；无论m 为何值，函数始终与x 轴有两个不同的交点 【解析】 【分析】（1）当m =1时，y =-（x -1）2+1，根据()2y a x h k =-+的性质写出三个结论即可； （2）求得C （0，1-m 2），根据点B 在原点的右边，点C 在原点的下方，可得m ＞1，根据等腰三角形的性质可得1+m =m 2-1，解方程求解即可；（3）根据()2y a x h k =-+的性质，可知无论m 为何值，函数的始终有最大值1；无论m为何值，函数始终与x 轴有两个不同的交点． (1)解：当m =1时，y =-（x -1）2+1， ∴抛物线的对称轴为直线x =1， 令0y =，-（x -1）2+1=0， 解得120,2x x ==，抛物线与x 轴的两个交点为（0，0），（2，0）， 抛物线开口向下； (2)存在，理由如下： 令x =0，则y =1-m 2， ∴C （0，1-m 2），令y =0，则x =1+m 或x =m -1， ∴B （1+m ，0），∵点B 在原点的右边，点C 在原点的下方， ∴1+m ＞0，1-m 2＜0， ∴m ＞1，∵△BOC 为等腰三角形， ∴1+m =m 2-1，解得m =2或m =-1（舍）， ∴m =2； (3)无论m 为何值，函数始终有最大值1；无论m 为何值，函数始终与x 轴有两个不同的交点． 【点睛】本题考查了()2y a x h k =-+的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，二次函数与坐标轴交点问题，掌握()2y a x h k =-+的性质是解题的关键． 22．(1)直线1x = (2)12y y >，见解析 【解析】 【分析】（1）将解析式整理成顶点式，直接写出对称轴；（2）方法一：利用作差法，将12y y -表示出来，再进行判断正负，据此判断大小即可；方法二：判断12,y y 距离对称轴的大小，根据函数增减性判断． (1)解：∵()222111y ax ax a x a =-+=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x = (2)方法一：()()221211222121y y ax ax ax ax -=-+--+，()()22122122ax ax ax ax =-+-，()()12122a x x x x =-+-， ()212a x x =--，∵0a >，12x x <， ∴120y y ->， 即12y y >，方法二：∵0a >，122x x a +=-， ∴122x x +<， ∴1212x x +<， 又∵抛物线对称轴是直线1x =，开口向上，且12x x <， ∴1211x x ->-， ∴12y y >． 【点睛】本题主要考查二次函数中系数的运用，以及比较函数值的大小，熟练掌握二次函数的基础运算是解题的关键．23．(1)(2,1)A ，(3,0)C ，当0y >时，13x <<． (2)8m = 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出a ，再求出点C 的坐标即可解决问题．（2）由题意得抛物线的解析式为243y x x m =-+-+，设二次函数图象与x 轴交于1(E x ，0)，2(F x ，0)两点，则124x x +=，123x x m =-，由12|6|x x -=可得出答案．(1)解：把(1,0)B 代入243y ax x =+-，得043a =+-，解得1a =-，2243(2)1y x x x ∴=-+-=--+，)1(2,A ∴，对称轴为直线2x =，B ，C 关于2x =对称，(3,0)C ∴，∴当0y >时，13x <<．(2)解：抛物线向上平移m 个单位，可得抛物线的解析式为243y x x m =-+-+，设二次函数图象与x 轴交于1(E x ，0)，2(F x ，0)两点，则124x x +=，123x x m =-，12||6x x ∴-=，212()36x x ∴-=，21212()436x x x x ∴+-=，164(3)36m ∴-⨯-=，8m ∴=．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是能够把二次函数的一般形式化为顶点式． 24．y =﹣x 2-2x ＋8；抛物线与y 轴交点为()0,8 【解析】 【分析】知道顶点和抛物线上一点，可以用抛物线的顶点式求答； 【详解】解：设抛物线解析式为()2y a x h k =-+，依题意1h =-，9k =，将()4,0-代入()219y a x =++中，得099a =+，解得1a =-，∴抛物线解析式为()219y x =-++，即y =﹣x 2-2x ＋8； 令0x =，则8y =，∴抛物线与y 轴交点为()0,8． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式；在知道顶点坐标的时候，利用顶点式求二次函数解析式十分方便． 25．(1)223y x x =-- (2)3 【解析】 【分析】（1）把点A (0，﹣3)，代入抛物线解析式，即可求解；（2）根据抛物线()214y x =--的对称轴为直线1x =，可得点P 和点A (0，﹣3)关于直线1x =对称，从而得到点的纵坐标为-3，即可求解．(1)解：∵抛物线y ＝（x ﹣1）2+k 与y 轴相交于点A (0，﹣3)， ∴()2301k -=-+， 解得：4k =-，∴此抛物线的解析式为()221423y x x x =--=--； (2)解：∵抛物线()214y x =--的对称轴为直线1x =， ∴点P 和点A (0，﹣3)关于直线1x =对称， ∴点的纵坐标为-3， ∴点P 到x 轴的距离为3． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，利用抛物线的对称性求函数值，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．。
2022年九年级中考复习数学函数综合 试题
中考试题之函数综合题1. 如图，已知点A （tan α，0），B （tan β，0）在x 轴正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β 是以线段AB 为 斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角．（1）若二次函数y ＝－x 2－25kx ＋（2＋2k －k 2）的图象经过A 、B 两点，求它的解析式；（2）点C 在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由．2．已知抛物线2y x kx b =++经过点(23)(10)P Q --，，，． （1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线顶点为N ，与y 轴交点为A ．求sin AON ∠的值． （3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M ，求四边形OANM 的面积．yxN3．如图9，抛物线y=ax 2+8ax+12a 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC. (1) 求线段OC 的长.(2) 求该抛物线的函数关系式．(3) 在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？ 若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由.4．已知函数y=x2和y=kx+l(k≠O)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a 和k 的值；(2)当k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点?5．已知如图，矩形OABC 的长OA=3，宽OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。
（1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（ ， ）；（2）若P ，A 两点在抛物线y=－34 x 2+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由.6.如图，二资助函数c bx x y ++=2的图象经过点M （1，—2）、N （—1，6）. （1）求二次函数c bx x y ++=2的关系式.（2）把Rt △ABC 放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5。
【中考压轴之满分集训】专题02 函数图像与性质综合题(四大类)(解析版)
冲刺中考数学压轴之满分集训专题02函数图像与性质综合题（四大类）【类型一：分析函数图像】【典例1】（锦州）已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A 地出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y（千米）与甲所用的时间x（分）之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为．【答案】9：20【解答】解：因为甲30分走完全程10千米，所以甲的速度是千米/分，由图中看出两人在走了5千米时相遇，那么甲此时用了15分钟，则乙用了（15﹣10）分钟，所以乙的速度为：5÷5＝1千米/分，所以乙走完全程需要时间为：10÷1＝10分，因为9：10乙才出发，所以乙到达A地的时间为9：20；故答案为9：20．【变式1-1】（2022•潍坊）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点F作FH⊥AB于H，当0≤x≤1时，如图1，在Rt△FAH中，AF＝x，∠A＝60°，则FH＝AF•sin A＝x，∴线段EF扫过区域的面积y＝x•x＝x2，图象是开口向上的抛物线，当1＜x≤2时，如图2，过点D作DP⊥AB于P，则DP＝AD•sin A＝，∴线段EF扫过区域的面积y＝×（x﹣1+x）×＝x﹣，图象是y 随x的增大而增大的线段，当2＜x≤3时，如图3，过点E作EG⊥CD于G，则CE＝CF＝3﹣x，∴EG＝（3﹣x），∴线段EF扫过区域的面积y＝2×﹣×（3﹣x）×（3﹣x）＝﹣（3﹣x）2，图象是开口向下的抛物线，故选：A．【变式1-2】（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（）A．AF＝5B．AB＝4C．DE＝3D．EF＝8【答案】B【解答】解：由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∴AB＝4．∵×AF•AB＝12，∴AF＝6，∴A选项不正确，B选项正确；由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，∴BC＝2，由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，∴CD＝6，由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，∴DE＝4．∴C选项不正确；∵图①中各角均为直角，∴EF＝AB+CD＝4+6＝10，∴D选项的结论不正确，故选：B．【变式1-3】（2022•宜昌）如图是小强散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：min）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（）A．50m/min B．40m/min C．m/min D．20m/min【答案】D【解答】解：由函数图象知，从30﹣70分钟时间段小强匀速步行，∴这一时间段小强的步行速度为＝20（m/min），故选：D．【变式1-4】（2022•辽宁）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF 中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，＝BC•AM＝4，∴S△ABC①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DG＝x∴S＝CD•DG＝x2；②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），∴S＝S△ABC∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣x在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），∴S＝（x﹣8）2，综上，选项A的图像符合题意，故选：A．【类型二：判断函数图像】【典例2】（2020•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意当0≤x≤4时，y＝×AD×AB＝×3×4＝6，当4＜x＜7时，y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故选：D．【变式2-1】（2022•湖北）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意得：当0≤t＜1时，S＝4﹣t，当1≤t≤2时，S＝3，当2＜＜t≤3时，S＝t+1，故选：A．【变式2-2】（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象顶点在x轴下方，开口向上，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，∴一次函数y＝ax+b2﹣4ac的图象位于第一，二，三象限，由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象可知，点（2，4a+2b+c）在x轴上方，∴4a+2b+c＞0，∴y＝的图象位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B，故选：B．【变式2-3】（2022•广西）已知反比例函数y＝（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵反比例函数y＝（b≠0）的图象位于一、三象限，∴b＞0；∵A、B的抛物线都是开口向下，∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，故A、B都是错误的．∵C、D的抛物线都是开口向上，∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0由a＞0，c＜0，排除C．故选：D．【类型三：反比例函数综合】【典例3】（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B【变式3-1】（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为．【答案】8【解答】解：连接OA、OB，∵AC⊥x轴，∴AC∥y轴，＝S△APB，∴S△AOB＝2，∵S△APB＝2，∴S△AOB由反比例函数系数k的几何意义可得：S△AOC＝6，S△BOC＝，∴6﹣＝2，解得：k＝8，故答案为8．【变式3-2】（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为．【答案】S1＝4S4【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S 是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案为：S1＝4S4．【变式3-3】（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点C，E．若点A（3，0），则k的值是．【答案】4【解答】解：设C（m，），∵四边形ABCD是正方形，∴点E为AC的中点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝上，∴，∴m＝1，作CH⊥y轴于H，∴CH＝1，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OBA＝∠HCB，∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA＝3，OB＝CH＝1，∴C（1，4），∴k＝4，故答案为：4．【变式3-4】（2022•雁塔区校级模拟）如图，正方形ACBE的边长是，点B，C分别在x轴和y轴正半轴上，BO＝2，ED⊥x轴于点D，ED的中点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k＝．【答案】3【解答】解：∵正方形ACBE的边长是，BO＝2，∴BC＝BE＝，∴OC＝＝＝1，∵∠ABC＝90°，∴∠OBC+∠EBD＝90°，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBD，在△OBC和△DEB中，，∴△OBC≌△DEB（AAS），∴BD＝OC＝1，DE＝OB＝2，∴OD＝3，∴E（3，2），∵点F是ED的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3，故答案为3．【变式3-5】（2021•广元）如图，点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM＝ON＝5．点P（x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，＜S△OPE时，x的取值范围是．连接OA、OP．当S△OAD【答案】1＜x＜4【解答】解：过点B作BF⊥ON于F，连接OB，过点C作CG⊥OM于点G，连接OC，如图，∵点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣4．∴y＝．∵点A（﹣2，2），∴AD＝OD＝2．∴．设B（a，b），则ab＝﹣4，OF＝﹣b，BF＝a．∴＝＝2．＝2．同理：S△OCG＞S△OBF，从图中可以看出当点P在线段BC上时，S△OPE＜S△OPE．即当点P在线段BC上时，满足S△OAD∵OM＝ON＝5，∴N（0，﹣5），M（5，0）．设直线MN的解析式为y＝mx+n，则：，解得：．∴直线MN的解析式为y＝x﹣5．∴，解得：，．∴B（1，﹣4），C（4，﹣1）．∴x的取值范围为1＜x＜4．【变式3-6】（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为．【答案】（，1）【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，∵∠AOB＝30°，∴OE＝AE＝，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝1×＝，∴y＝，∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，∴∠DOM＝60°，∴∠MOF＝30°，∴OF＝MF，设MF＝n，则OF＝n，∴M（n，n），∵点M在函数y＝的图象上，∴n＝，∴n＝1（负数舍去），∴M（，1），故答案为（，1）．【变式3-7】（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝．【答案】﹣12【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FN＝MN＝1又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，设OA＝a，则OB＝a+1，∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），又∵反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），解得，a＝3，∴k＝﹣4a＝﹣12，故答案为：﹣12．【类型4：二次函数综合】【典例4】（2021•广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣1，即，∴b＝2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x轴的另一个交点在﹣2和﹣3之间，∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，∴a﹣b≥ax2+bx，即a﹣b≥x（ax+b），故③正确；∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，b＝2a，∴a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确；故选：C．【变式4-1】（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，b＜0．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴①的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴9a﹣3×2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函数y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①④，故选：A．【变式4-2】（2022•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．②③【答案】D【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝﹣，∴b＝a，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合题意．④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D．【变式4-3】（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x ＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（）A．b2＞﹣8aB．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bmC．3a﹣2＞0D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0【答案】C【解答】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b2＞0，﹣8a＜0，∴b2＞﹣8a．故A正确，不符合题意；∵函数的最小值在x＝﹣1处取到，∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故B正确，不符合题意；∵l∥x轴，∴y1＝y2，令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），∴当y1＝y2＞﹣2时，x1＜0，x2＞0．∴当y1＝y2＞﹣2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意；∵a＞0，∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故C错误，符合题意；故选：C．【变式4-4】（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：①2a+b＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），∴a+b+c＝0，∵a＜c，∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，∴b＜0，∴对称轴x＝﹣＞1，∴当1＜x＜﹣时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；③∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；故选：C．【变式4-5】（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0【答案】C【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，如图1中，则y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，如图2中，则y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，如图3中，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，如图4中，则y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．【变式4-6】（2021•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故结论①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，∴x＝，∴b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：ax2+2ax+c＝c，∴x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，故结论③正确；④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，∴b＝，∵b＝2a，∴a＝，∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝，∴b+c＝，故选：B．。
2023年中考数学专题——反比例函数与三角形的综合
2023年中考数学专题——反比例函数与三角形的综合一、综合题1．如图，正比例函数 y x = 的图象与反比例函数 ky x=（ 0x > ）的图象交于点 ()1A a ， ，在 ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， CA CB = ，点C 坐标为 ()20-，．（1）求 k 的值；（2）求 AB 所在直线的解析式．2．如图所示，直线 1y k x b =+ 与双曲线 2k y x=交于A 、B 两点，已知点B 的纵坐标为 3- ，直线AB 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点 ()02D -，， 5OA =， 1tan 2AOC ∠= ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若点P 是第二象限内反比例函数图象上的一点， OCP 的面积是 ODB 的面积的2倍，求点P的坐标；（3）直接写出不等式 21k k x b x+≤的解集． 3．反比例函数 2m y x-=的图象的一支位于第一象限.（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求 m 的取值范围；（2）如图，若直线 AB 与该函数图象交于 ()61A ， 、 B 两点，求此反比例函数的解析式；（3）在（2）的条件下， AOB 的面积为8，动点 P 在 y 轴上运动，当线段 PA 与 PB 之差最大时，求点 P 坐标.4．如图， Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， AC BC = ，点 ()20C ，，点 ()04B ， ，反比例函数 ()0kyxx=>的图象经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线 OA 向上平移m 个单位后经过反比例函数，图象上的点 ()1n ， ，求m ，n 的值． 5．如图，直线y=2x 与反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象交于点A(m ，8)，AB⊥x 轴，垂足为B 。
（1）求k 的值；（2）点C 在AB 上，若OC=AC ，求AC 的长；（3）点D 为x 轴正半轴上一点，在(2)的条件下，若S ⊥OCD =S ⊥ACD ，求点D 的坐标。
2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题(含答案)
2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P 抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题（答案）一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．【答案】（1）（m，﹣m2﹣3）；（2）抛物线顶点到x轴的最小距离为4；（3）直线AB过定点（0，﹣）．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．【答案】（1）y＝x2﹣2x+1；（2）①k1k2＝﹣4；②证明见解答过程．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．【答案】（1）m＝1；（2）点G的坐标为；（3）见解析．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．【答案】（1）解析式为：y＝x2﹣2x；（2）E1（0，0），E2（6，6）；（3）证明见解答过程．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣1；（2）；（3）定值1．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）D（4，5）；（3）m、n之间的数量关系为n+3m＝2．理由间接性．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣1；（2）①F′G＝为定值；②PH•QH的最大值为：．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）3或；（3）见解析．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．【答案】（1）3a+c＝1；（2）①4；②见解答．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）S1﹣S2的最大值为，点P的坐标为：（，）；（3）m＝．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）（﹣1，0），，；（3）P（6，0）．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为（﹣1，4）；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为﹣2≤m≤﹣1 ．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．【答案】（1）①（﹣1，4）；②﹣2≤m≤﹣1；（2）①证明见解析过程；②△DOQ的形状不会随着n的变化而变化，理由见解析过程．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．【答案】（1）E（m，﹣m2﹣m﹣1）；（2）①m＝3﹣1；②6﹣6．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．【答案】（1）y＝x2+x；点B在抛物线上，理由见解答过程；（2）2；（3）≤n≤﹣或≤n≤或≤n≤．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①△BCD面积的最大值为；②D（，﹣）．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）；（3）存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN；N的坐标是或．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）．。
专题三 函数综合问题(一次函数+反比例函数)-中考二轮专题复习(原卷版)(全国适用)
专题三函数的综合问题专题三函数综合问题（一次函数+反比例函数）一、以一次函数为背景的综合问题例题（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣34x+3分别交x轴，y轴于点A，B．∠OBA的外角平分线交x轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P是线段BD上的一点（不与B，D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C．设点P 的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，BC的延长线交DE于点F，连AP，若sin∠BAP 10OF的长．练习题1．（2021·吉林双阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，两条直线分别为y＝2x，y＝kx，且点A在直线y＝2x上，点B在直线y＝kx上，AB∥x轴，AD⊥x轴，BC⊥x轴垂足分别为D 和C，若四边形ABCD为正方形时，则k＝（）A ．14B ．12C ．23D ．22．（2021·山东槐荫·二模）如图，点B ，C 分别在直线y ＝2x 和直线y ＝kx 上，A 、D 是x 轴上两点，若四边形ABCD 是长方形，且AB ：AD ＝1：3，则k 的值是（ ）A ．23B ．25C ．27D ．293．（2021·山东广饶·二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 满足点O 在原点，点A 坐标为（2，0），∠AOC ＝60°，直线y ＝﹣3x ＋b 与菱形OABC 有交点，则b 的取值范围是___．4．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +b 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为（3，0），过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ，且31OB OC =：：，在x 轴上方存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则点D 的坐标为_____．5．（2021·广东深圳·三模）定义：如图1，已知锐角∠AOB 内有定点P ，过点P 任意作一条直线MN ，分别交射线OA ，OB 于点M ，N ．若P 是线段MN 的中点时，则称直线MN 是∠AOB 的中点直线．如图2，射线OQ 的表达式为y ＝2x （x ＞0），射线OQ 与x 轴正半轴的夹角为∠α，P （3，1），若MN 为∠α的中点直线，则直线MN 的表达式为__________________．6．（2021·山东·济宁学院附属中学一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABCO Y 的顶点A ，B 的坐标分别是(6,0)A ，(0,4)B ．直线l 经过坐标原点，并与AB 相交于点D ．(1)直接写出C 点的坐标______．(2)若DOA BOC ∠=∠，试确定点D 的坐标及直线l 的解析式．(3)在（2）的条件下，动点P 在直线l 上运动，以点P 为圆心，PB 的长为半径的P e 随点P 运动，当P e 与ABCO Y 的边相切时，求出P e 的半径．7．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图，已知直线l 1：y ＝2833x +与直线l 2：y ＝﹣2x +16相交于点C ，l 1、l 2分别交x 轴于A 、B 两点．矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线l 1、l 2上，顶点F 、G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合．(1)求△ABC 的面积；(2)求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；(3)若矩形DEFG 从原地出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t （0≤t ≤12）秒，矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，直接写出S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．8．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学一模）如图，直线483y x =−+分别与x 轴，y 轴相交于点A ，点B ，作矩形ABCD ，其中点C ，点D 在第一象限，且满足AB ∶BC ＝2∶1．连接BD ． （1）求点A ，点B 的坐标．（2）若点E 是线段AB （与端点A 不重合）上的一个动点，过E 作EF ∥AD ，交BD 于点F ，作直线AF ．①过点B 作BG ⊥AF ，垂足为G ，当BE ＝BG 时，求线段AE 的长度．②若点P 是线段AD 上的一个动点，连结PF ，将△DFP 沿PF 所在直线翻折，使得点D 的对应点D ¢落在线段BD 或线段AB 上．直接写出线段AE 长的取值范围．9．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，直线15(0)y kx k =+≠经过点()3,6C ，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段CD 平行于x 轴，交直线34y x =于点D ，连接OC ，AD ．（1）填空：k = __________．点A 的坐标是（__________，__________）； （2）求证：四边形OADC 是平行四边形；（3）动点P 从点O 出发，沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点D 运动，直到点D 为止；动点Q 同时从点D 出发，沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点O 运动，直到点O 为止．设两个点的运动时间均为t 秒． ①当1t =时，CPQ V 的面积是__________．②当点P ，Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时，请直接写出此时t 的值．10．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）直线y kx k =+与x 轴交于A ，与y 轴交于C 点，直线BC 的解析式为1y x k k=−+，与x 轴交于B ．（1）如图1，求点A 的横坐标；（2）如图2，D 为BC 延长线上一点，过D 作x 轴垂线于点E ，连接CE ，若CD CA =，设ACE V 的面积为S ，求S 与k 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD 交AC 于点F ，将CDF V 沿CF 翻折得到△FCG ，直线FG 交CE 于点K ，若345ACE CDO ∠−∠=︒，求点K 的坐标．二、反比例函数的综合问题例题（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，线段AB 在x 轴的正半轴上移动，且AB =1，过点A 、B 作y 轴的平行线分别交函数y 1＝1x （x ＞0）与y 2＝3x（x ＞0）的图象于C 、E 和D 、F ，设点A 的横坐标为m （m ＞0）．(1)D 点坐标 ；F 点坐标 ；连接OD 、OF ，则△ODF 面积为 ；（用含m 的代数式表示）(2)连接CD 、EF ，判断四边形CDFE 能否是平行四边形，并说明理由；(3)如图2，经过点B 和点G （0，6）的直线交直线AC 于点H ，若点H 的纵坐标为正整数，请求出整数m 的值． 练习题1．（2021·河北·高阳县教育局教研室模拟预测）如图是反比例函数3y x =和7y x=−在x 轴上方的图象，x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A ，B ，点P 在x 轴上．则点P 从左到右的运动过程中，△APB 的面积是（ ）A ．10B ．4C ．5D ．从小变大再变小2．（2021·山东滨州·一模）如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB ＝45，反比例函数y ＝48x在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则点F 的坐标为（ ）A ．611，6120）B ．61+1，6120）C ．6146120− D ．61﹣946120− 3．（2021·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的对称中心恰好是原点O ，已知点B 坐标是32,2⎛⎫− ⎪⎝⎭，双曲线y =6x经过点A ，则菱形ABCD 的面积是( )A ．2B ．18C 252D ．254．（2021·广东深圳·三模）如图，在反比例函数y ＝4x （x ＞0）的图象上有动点A ，连接OA ，y ＝k x （x ＞0）的图象经过OA 的中点B ，过点B 作BC ∥x 轴交函数y ＝4x 的图象于点C ，过点C 作CE ∥y 轴交函数y ＝kx的图象于点D ，交x 轴点E ，连接AC ，OC ，BD ，OC 与BD 交于点F ．下列结论：①k ＝1；②S △BOC ＝32；③S △CDF ＝316S △AOC ；④若BD ＝AO ，则∠AOC ＝2∠COE ．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③④5．（2021·江苏扬州·一模）如图，正方形的顶点A ，C 分别在y 轴和x 轴上，边BC 的中点F 在y 轴上，若反比例函数12y x=的图象恰好经过CD 的中点E ，则OA 的长为______．6．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y kx=（k ＞0）的图象与半径为5的⊙O 交于M 、N 两点，△MON 的面积为3.5，若动点P 在x 轴上，则PM +PN 的最小值是______．7．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数y ＝kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝2．(1)点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由； (2)若该反比例函数图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标． 8．（2021·山东菏泽·三模）如图，反比例函数()0ky k x=≠的图像过等边BOC V 的顶点B ，2OC =，点A 在反比例函数的图象上，连接AC ，AO ．(1)求反比例函数()0ky k x=≠的表达式； (2)若四边形ACBO 的面积是33A 的坐标．9．（2021·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（4，2），双曲线ky x=（x ＞0）的图象交BC 于点D ，若BD ＝32．求反比例函数的解析式及点F 的坐标．10．（2022·广东江门·一模）反比例函数y 1＝1k x（k 1＞0）和y 2＝22(0)k k x >在第一象限的图象如图所示，过原点的两条射线分别交两个反比例图象于A ，D 和B ，C(1)求证：AB ∥CD ；(2)若k 1＝2，S △OAB ＝2，S 四边形ABCD ＝3，求反比例函数y 2＝2k x（k 2＞0）的解析式． 11．（2021·湖北恩施·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A ，D 分别是x 轴、y 轴上的一动点，以AD 为边向外作矩形ABCD ，对角线BD ∥x 轴，反比例函数(0)ky k x=>图象经过矩形对角线交点E ．(1)如图1，若点A 、D 坐标分别是(6,0)，(0,2)，求BD 的长；(2)如图2，保持点D 坐标(0,2)不变，点A 向右移移动，当点C 刚好在反比函数图象上时，求点A 坐标及k 的值．12．（2021·广东·汕头市潮南实验学校一模）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标系原点，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，其中4cos 5OBC ∠=，3OC =．已知反比例函数(0)ky x x=>的图象经过BC 边上的中点D ，交AB 于点E ．(1)求k 的值；(2)猜想OCD ∆的面积与OBE ∆的面积之间的关系，请说明理由．(3)若点(,)P x y 在该反比例函数的图象上运动（不与点D 重合），过点P 作PR y ⊥轴于点R ，作PQ BC ⊥所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的解析式并写出x 的取值范围．13．（2021·重庆北碚·模拟预测）有这样一个问题：探究函数y ＝bx ax ++2的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行例研究，已知当x ＝2时，y ＝7，0x =时，y ＝﹣3．下面是小童探究的过程，请补充完整：(1)该函数的解析式为，m＝，n＝．根据图中描出的点，画出函数图象．x…﹣4﹣3﹣20234…y…m 3413﹣37n113…；①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点．②该函数既无最大值也无最小值．③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小．(3)请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式2220x axx b+−−≥+的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2）14．（2021·广东·二模）如图1，点P是反比例函数y＝kx（k＞0）在第一象限的点，P A⊥y轴于点A，PB⊥x轴于点B，反比例函数y＝6x的图象分别交线段AP、BP于C、D，连接CD，点G是线段CD上一点．(1)若点P （6，3），求△PCD 的面积；(2)在（1）的条件下，当PG 平分∠CPD 时，求点G 的坐标；(3)如图2，若点G 是OP 与CD 的交点，点M 是线段OP 上的点，连接MC 、MD ．当∠CMD ＝90°时，求证：MG ＝12CD ．15．（2021·广东珠海·一模）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点B 在x 轴正半轴上，四边形OACB 为平行四边形，3cos AOB?(0)k y k x=>的图象在第一象限内过点A ，且经过BC 边的中点F ，连接AF ，OF ．(1)当3OA = (2)在（1）的条件下，求点F 的坐标； (3)证明：ΔΔOAF AFC ∽．三、一次函数与反比例函数的综合问题例题（2021·江苏·苏州市吴中区碧波中学一模）如图，过直线12y kx =+上一点P 作PD x ⊥轴于点D ，线段PD 交函数(0)my x x=>的图象于点C ，点C 为线段PD 的中点，点C 关于直线y x =的对称点C '的坐标为()1,3．（1）直接写出点C 的坐标（____，______），求k 、m 的值：（2）求直线12y kx =+函数(0)m y x x =>图象的交点坐标；（3）直接写出不等式1(0)2m kx x x >+>的解集． 练习题1．（2021·四川成都·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝kx ﹣k （k 为常数，且k ≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·湖北荆门·中考真题）在同一直角坐标系中，函数y kx k =−与(0)||ky k x =≠的大致图象是（ ）A．①②B．②③C．②④D．③④3．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，直线y＝x+8分别交x、y轴于A、B两点，交双曲线kyx =，若CD＝3（AC+BD），则k的值为（）A．﹣6B．﹣7C．﹣8D．﹣94．（2021·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学二模）将反比例函数y＝4x的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3，B 332，32）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（）A ．3B ．8C ．3D 3325．（2018·山东青岛·中考模拟）如图，反比例函数y ＝kx （x ＜0）与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A 、B 两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x 的不等式kx ＜x ＋4（x ＜0）的解集为（ ）A ．x ＜－3B ．－3＜x ＜－1C ．－1＜x ＜0D ．x ＜－3或－1＜x ＜06．（2021·山东临沂·一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数0y ax b a +≠＝（）与反比例函数ky x=的图象交于点1A m （，）和()2,1B −−，点A 关于x 轴的对称点为点C ．(1)求这两个函数的表达式． (2)直接写出关于x 的不等式kax b x+≤的解．(3)过点B 作y 轴的垂线与直线AC 交于点D ，经过点C 的直线与直线BD 交于点E ，且3045CED ︒≤∠≤︒，直接写出点E 的横坐标t 的取值范围．7．（2021·山东青岛·一模）如图，直线y 1＝k 1x +b 与双曲线y 2＝2k x在第一象限内交于A 、B 两点，已知A （1，m ），B （2，1）．(1)分别求出直线和双曲线的解析式；(2)设点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，E 是y 轴上一点，当△PED 的面积最大时，请直接写出此时P 点的坐标为 ． 8．（2021·广东清远·二模）如图，一次函数y 1＝k 1x +4与反比例函数22k y x=的图象交于点A (2,m )和B (-6,-2)，与y 轴交于点C ．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP 与线段AD 交于点E ，当S 四边形ODAC :S △ODE ＝4:1时，求点P 的坐标；(3)点M 是y 轴上的一个动点，当△MBC 为直角三角形时，直接写出点M 的坐标．9．（2021·湖南·株洲市芦淞区教育教学研究指导中心模拟预测）如图1，点(08)(2)A B a ，、，在直线2y x b =−+上，反比例函数(ky x x=＞0）的图象经过点B ．(1)求反比例函数解析式；(2)将线段AB 向右平移m 个单位长度（m ＞0），得到对应线段CD ，连接AC 、BD ． ①如图2，当m ＝3时，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求E 点坐标； ②在线段AB 运动过程中，连接BC ，若△BCD 是以BC 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m 的值．10．（2021·四川·叙州区双龙镇初级中学校模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝kx +b （k ≠0）与双曲线()0my m x=≠交于点A （a ，4a ）（a ＞0）和点B （﹣4，n ），连接OA ，OB ，其中17OA =(1)求双曲线和直线l 1的表达式； (2)求△AOB 的面积；(3)如图2，将直线l 1：y ＝kx +b 沿着y 轴向下平移得到直线l 2，且直线l 2与双曲线在第三象限内的交点为C ，若△ABC 的面积为20，求直线l 2与y 轴的交点坐标．11．（2021·山东潍坊·二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)ky x x=>的图象与直线2y x =−交于点(4,)A m ．(1)求k ，m 的值；(2)已知点(P n ，)(0)n n >，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线2y x =−于点M ，过点P 作平行于y 轴的直线，交函数ky x=(0)x >的图象于点N ． ①当2n =时，判断线段PM 与PN 的数量关系，并说明理由； ②若PN PM …，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围． 12．（2021·四川南充·一模）如图，直线y ＝kx +b 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与双曲线y ＝ax（x ＜0）交于C （﹣8，1），D （﹣m ，m 2）两点．(1)求直线和双曲线的解析式；(2)比较AC 和BD 的大小，直接填空：AC BD ；(3)写出直线对应函数值大于双曲线对应函数值自变量x 的取值范围，直接填空： ． 13．（2021·山东临沂·一模）如图，反比例函数ky x=(0k ≠，x ＞0)的图象与直线y =3x 相交于点C ，过直线上点A (1，3)作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB =3BD ．(1)求k 的值； (2)求点C 的坐标；(3)在y 轴上确定一点M ，使点M 到C ，D 两点距离之和d =MC +MD 最小，求点M 的坐标． 14．（2021·广东·东莞市南开实验学校一模）如图，一次函数y=k 1x +1的图象与反比例函数22(0)k y k x=> 点的图象相交于A 、B 两点，点C 在x 轴正半轴上，点D （1，-2 ），连接OA 、OD 、DC 、AC ，四边形OACD 为菱形．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时，x 的取值范围； (3)设点P 是直线AB 上一动点，且S △OAP =12S 菱形OACD ，求点P 的坐标．15．（2021·山东济南·三模）已知点A （0，4），将点A 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，对应点B 恰好落在反比例函数(0)ky k x=>的图象上．过点B 的直线l 的表达式为y ＝mx +n ，与反比例函数图象的另一个交点为点C ，分别交x 轴、y 轴于点D 、点E ．(1)求反比例函数表达式；(2)若线段BC ＝2CD ，求△BOD 的面积；(3)在（2）的条件下，点P 为反比例函数图象上B 、C 之间的一点（不与B 、C 重合），PM⊥x 轴交直线l 于点M ，PN ⊥y 轴交直线l 于点N ，请分析EM •DN 是否为定值，并说明理由．16．（2021·广东阳江·一模）如图，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）与反比例函数(0,0)m y m x x=≠>交于A （4，12），B （1，2），AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ．(1)根据图象直接回答：在第一象限内，当x 取何值时，一次函数值大于反比例函数值；(2)求一次函数的解析式及m 的值；(3)P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若△BDP ∽△ACP ，求点P 的坐标．17．（2021·广东佛山·二模）如图，一次函数y ＝k 1x +b 与反比例函数y ＝2k x图象交于点B （﹣1，6）、点A ，且点A 的纵坐标为3．(1)填空：k 1＝ ，b ＝ ；k 2＝ ；(2)结合图形，直接写出k 1x +b ＞2k x时x 的取值范围； (3)在梯形ODCA 中，AC ∥OD ，且下底DO 在x 轴上，CD ⊥x 轴于点D ，CD 和反比例函数的图象交于点M ，当梯形ODCA 的面积为12时，求此时点M 坐标．18．（2021·广东梅州·一模）已知一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝m x的图象交于A （﹣3，2）、B （1，n ）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）△AOB 的面积为 ；（3）直接写出不等式kx ＋b ＞m x的解 ； （4）点P 在x 的负半轴上，当△P AO 为等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．19．（2021·江苏南通·中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数1122y x =+的图象的“等值点”． （1）分别判断函数22,y x y x x =+=−的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数3(0),y x y x b x=>=−+的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ．当ABC V 的面积为3时，求b 的值；（3）若函数22()y x x m =−≥的图象记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图象记为2W ．当12,W W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m 的取值范围．。
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附带答案
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图是二次函数 y 1=ax 2+bx +c(a ≠0) 和一次函数 y 2=mx +n(m ≠0) 的图象.则下列结论正确的是（ ）A ．若点 M(−2，d 1)，N(12，d 2)，P(2，d 3) 在二次函数图象上，则 d 1<d 2<d 3B ．当 x <−12或 x >3 时C ．2a −b =0D ．当 x =k 2+2 （ k 为实数）时2．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图象如图所示，当y 1≠y 2时，则取y 1，y 2中的较大值记为N ；当y 1=y 2时，则N=y 1=y 2．则下列说法：①当0＜x ＜2时，则N=y 1；②N 随x 的增大而增大的取值范围是x ＜0；③取y 1，y 2中的较小值记为M ，则使得M 大于4的x 值不存在；④若N=2，则x=2﹣√2或x=1．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知抛物线y 1= 14（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）交x 轴于A （x 1，0）B （x 2，0）两点，且点A 在点B 的左边，直线y 2=2x+t 经过点A ．若函数y=y 1+y 2的图象与x 轴只有一个公共点时，则则线段AB 的长为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．无法确定4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 和直线y ＝kx +b 都经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴为x ＝1，那么下列说法正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．k ＝2a +cD ．x ＝4是ax 2+（b ﹣k ）x +c ＜b 的解5．直线y=ax ﹣6与抛物线y=x 2﹣4x+3只有一个交点，则a 的值为（ ）A ．a=2B ．a=10C ．a=2或a=﹣10D ．a=2或a=106．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，则x 2+（b ﹣1）x+c ＜0.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，直线y=x+2和抛物线y=x 2-x+1的若干组函数值如下表所示：x … 1 1.5 2 2.5 3 … y=x+2 … 3 3.5 4 4.5 6 … y=x 2-x+1…11.7534.7513…A ．1<x<1.5B ．1.5<Xx2C ．2<x<2.5D ．2.5<x<38．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数 y=14(x −4)2的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）A ．5B ．225C ．4D ．17﹣4π9．如图，“心”形是由抛物线 y =−x 2+6和它绕着原点O ，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C 的对应点为D ，点A ，B 是两条抛物线的两个交点，直线AB 为“心”形对称轴，点E ，F ，G 是抛物线与坐标轴的交点，则AB=（ ）A ．6√3B ．8C ．10D ．10√310．已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，抛物线y ＝﹣x 2+4x ﹣3与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于B 、D 两点．若直线y ＝kx ﹣k 与C 1、C 2共有3个不同的交点，则k 的最大值是（ ）A ．12B ．2 √5 ﹣6C ．6+4 √2D ．6﹣4 √212．在平面直角坐标系中，已知点 A(−1,4) ， B(2,1) 直线 AB 与 x 轴和 y 轴分别交于点 M ，N 若抛物线 y =x 2−bx +2 与直线 AB 有两个不同的交点，其中一个交点在线段 AN 上（包含 A ， N 两个端点），另一个交点在线段 BM 上（包含 B ， M 两个端点），则 b 的取值范围是（ ）A．1≤b≤52B．b≤1或b≥52C．52≤b≤113D．b≤52或b≥113二、填空题(共6题；共6分)13．如图，抛物线y=ax2﹣2与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=﹣12 x2于点B，C，则S△BOC= ．14．在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为（写出一个即可）．15．如图，抛物线y=ax2+bx+1的顶点在直线y=kx+1上，对称轴为直线x=1，以下四个结论：①ab<0；②b<13；③a=−k；④当0<x<1其中正确的是．（填序号）16．如图，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y=x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为．17．已知抛物线p ：y=ax 2+bx+c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x轴的对称点为C ′，我们称以A 为顶点且过点C ′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC ′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x 2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 ．18．如图，抛物线y=13x 2﹣4√33x+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点M 的坐标为（2√3，1）．以M 为圆心，2为半径作⊙M ．则下列说法正确的是 （填序号）． ①tan ∠OAC=√3； ②直线AC 是⊙M 的切线； ③⊙M 过抛物线的顶点； ④点C 到⊙M 的最远距离为6；⑤连接MC ，MA ，则△AOC 与△AMC 关于直线AC 对称．三、综合题(共6题；共73分)19．在平面直角坐标系中，已知A ，B 是抛物线y=ax 2（a ＞0）上两个不同的点，其中A 在第二象限，B 在第一象限．（1）如图1所示，当直线AB 与x 轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，则求此抛物线的解析式和A ，B 两点的横坐标的乘积；（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB 与x 轴不平行，∠AOB 仍为90°时，则求证：A、B两点横坐标的乘积是一个定值；（3）在（2）的条件下，如果直线AB与x轴、y轴分别交于点P、D，且点B的横坐标为1 2．那么在x轴上是否存在一点Q，使△QDP为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．某公司成功开发出一种产品，正式投产后，生产成本为5元/件.公司按订单生产该产品（销售量=产量），年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足如图1所示的函数关系，公司规定产品售价不超过15元/件，受产能限制，年销售量不超过30万件；为了提高该产品竞争力，投入研发费用P 万元（P万元计入成本），P与x之间的函数关系式如图2所示，当10≤x≤15时可看成抛物线P= 14x2−4x+m.（1）求y与x之间的函数关系式.（2）求这种产品年利润W（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式.（3）当售价x为多少元时，则年利润W最大，并求出这个最大值.21．如图，抛物线y＝ax2＋32 x＋c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，其中A(－1，0)，与y轴交于点C(0，2)．（1）求抛物线的表达式及点B坐标；（2）点E是线段BC上的任意一点（点E与B、C不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G．①设点E的横坐标为m，用含有m的代数式表示线段EF的长；②线段EF长的最大值是．22．已经二次函数y=ax2+bx+1 .（1）如图，其图象与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1 .①求二次函数解析式；②F为线段BC上一点，过F分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为E、F，当四边形OEFG为正方形时，则求点F坐标；（2）其图象上仅有一个点的横坐标、纵坐标互为相反数，且二次函数y=ax2+bx+1函数值存在负数，求b的取值范围.23．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，则min{a，b}=b；当a＜b时，则min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．（1）求min{x2﹣1，﹣2}；（2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围；（3）已知当﹣2≤x≤3时，则min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接写出实数m的取值范围．24．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）与售价x（元/件）的函数关系式为y={−2x+140，(40≤x<60)−x+80.(60≤x≤70)（1）当售价为60元/件时，则年销售量为万件；（2）当售价为多少时，则销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？（3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出x的取值范围.参考答案1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】C 13．【答案】414．【答案】1（答案不唯一） 15．【答案】①③④16．【答案】（1，﹣4）和（﹣2，5） 17．【答案】y=x 2﹣2x ﹣3 18．【答案】①②③④ 19．【答案】（1）解：如图1作BE ⊥x 轴∴△AOB 是等腰直角三角形 ∴BE=OE= 12AB=1∴A （﹣1，1），B （1，1）∴A ，B 两点的横坐标的乘积为﹣1×1=﹣1∵抛物线y=ax 2（a ＞0）过A ，B ∴a=1 ∴抛物线y=x 2 （2）解：如图2作BN ⊥x 轴，作AM ⊥x 轴 ∴∠AOB=AMO=∠BNO=90° ∴∠MAO=∠BON ∴△AMO ∽△ONB ∴AM ON =OM BN ∴AM ×BN=OM ×ON设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线上 ∴AM=y 1=x 12，BN=y 2=x 22，OM=﹣x 1，ON=x 2 ∴x 12×x 22=﹣x 1×x 2 ∴x 1×x 2=﹣1∴A ，B 两点横坐标的乘积是一个定值；（3）解：由（2）得，A ，B 两点横坐标的乘积是一个定值为﹣1，∵点B 的横坐标为 12，∴点A 的横坐标为﹣2，∵A ，B 在抛物线上，∴A （﹣2，4），B （ 12 ， 14 ），∴直线AB 解析式为y=﹣ 32x+1，∴P （ 23 ，0），D （0，1）设Q （n ，0），∴DP 2= 139 ，PQ 2=（n ﹣ 23）2，DQ 2=n 2+1∵△QDP 为等腰三角形∴①DP=PQ ，∴DP 2=PQ 2，∴139 =（n ﹣ 23 ）2，∴n= 2±√133 ，∴Q 1（ 2+√133 ，0），Q 2（ 2−√133 ，0）②DP=DQ ，∴DP 2=DQ 2，∴139 =n 2+1，∴n= 23 （舍）或n=﹣ 23 ，Q 3（﹣ 23 ，0）③PQ=DQ ，∴PQ 2=DQ 2，∴（n ﹣ 23 ）2=n 2+1∴n=﹣ 512 ，∴Q4（﹣ 512 ，0），∴存在点Q 坐标为Q 1（ 2+√133 ，0），Q 2（2−√133 ，0），Q 3（﹣ 23 ，0），Q4（﹣ 512 ，0）20．【答案】（1）解：设y 与x 的函数关系式为：y=kx+b将点（5，30），（15，10）代入可得：{30=5k +b 10=15k +b解得：{b =40k =−2∴y 与x 的函数关系式为：y=-2x+40（5≤x ≤15）； （2）解：当5≤x ≤10时，则根据图像可得：P=60 ∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-60=-2x 2+50x-260；当10≤x ≤15时，则P =14x 2−4x +m由图可得经过点（10，60），将其代入可得：60=14×102−4×10+m 解得：m=75∴P =14x 2−4x +75；∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-(14x 2−4x +75)=−94x 2+54x −275；综上：W ={−2x 2+50x −260(5≤x ≤10)−94x 2+54x −275(10≤x ≤15)；（3）解：由（2）可得：当5≤x ≤10时W=-2x 2+50x-260=-2(x −252)2+1052∴x =252不在5≤x <10，由于开口向下在5≤x <10内随x 增大而增大 在x=10时，则取得最大值为W=40； 当10≤x ≤15时W=−94x 2+54x −275对称轴为x=−b2a=12 由于函数开口向下 ∴当x=12时，则W=49∴当x=12时，则W 取得最大值为49；综上可得：当售价为12元时，则年利润最大，最大为49万元.21．【答案】（1）解：将A(－1，0)、 C(0，2)代入y ＝ax 2＋ 32x ＋c （a ≠0）得：a ＝－ 12， c ＝2y ＝－ 12 x 2＋ 32x ＋2 当y ＝0时，则x 1＝－1，x 2＝4，故B(4，0)（2）解：设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将B(4，0)、 C(0，2)代入 得：y ＝－ x ＋2，EF ＝FG －GE ＝－ m 2＋ m ＋2－(－ m ＋2) ＝－ m 2＋2m ；2 22．【答案】（1）解：①由题： {a −b +1=0−b 2a =1 解得 {a =−13b =23∴ 二次函数解析式为： y =−13x 2+23x +1 ； ②设BC 解析式为： y =kx +b 对称轴为直线 x =1 .∵ 图象与x 轴交于点 A(−1,0) 和点B ，对称轴为直线 x =1 .∴ 点 B(3,0)将 B(3,0) ， C(0,1) 代入得： {3k +b =0b =1解得： {a =−13b =1∴BC 解析式为： y =−13x +1 设点 F(m,−13m +1) ∵ 四边形 OEFG 是正方形∴EF =GF∴m =−13m +1解得 m =34∴F(34,34) （2）解：二次函数的图象其有且只有一个点横、纵坐标之和互为相反数∴−x =ax 2+bx +1 有两相等实根，即 ax 2+(b +1)x +1=0 有两相等实根 ∴{a ≠0(b +1)2−4a =0解得： a =(b+1)24>0 ，且 b ≠−1 ∵y =ax 2+bx +1 存在负值∴b 2−4a =b 2−(b +1)2>0 ，解得 b <−12综上： b <−12且 b ≠−123．【答案】（1）解：∵x2≥0∴x2﹣1≥﹣1∴x2﹣1＞﹣2．∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2（2）解：∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1．∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3∴k﹣1≥﹣3．∴k≥﹣2（3）解：对于y=x2﹣2x﹣15，当x=﹣2时，则y=﹣7当x=3时，则y=﹣12由题意可知抛物线y=x2﹣2x﹣15与直线y=m（x+1）的交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，﹣12）所以m的范围是：﹣3≤m≤7．24．【答案】（1）20（2）解：设销售该产品的年利润为W万元当40≤x<60时W=(x−30)(−2x+140)=−2(x−50)2+800 .∵－2<0∴当x=50时W最大=800当60≤x≤70时W=(x−30)(−x+80)=−(x−55)2+625∵−1<0∴当x=60时W最大=600∵800>600∴当x=50时W最大=800∴当售价为50元/件时，则年销售利润最大，最大为800万元.（3）解：45≤x≤55理由如下：由题意得(x−30)(−2x+140)≥750解得45≤x≤55。
一次函数与反比例函数综合题中考专题
一次函数与反比例函数综合题中考专题1、在图中，点D位于双曲线上，AD垂直于x轴，垂足为A。
点C位于AD上，CB平行于x轴并与曲线相交于点B。
直线AB与y轴相交于点F。
已知AC：AD=1：3，点C的坐标为（2，2）。
1）求该双曲线的解析式；2）求△OFA的面积。
1）由于点D位于双曲线上，且AD垂直于x轴，垂足为A，因此双曲线的中心点为O（0，0）。
又因为AC：AD=1：3，所以点A的坐标为（0，6）。
设双曲线的方程为y=a/x，由于点B位于双曲线上，且CB平行于x轴，因此点B的坐标为（2，2a/2）。
由于直线AB与y轴相交于点F，因此直线AB的方程为x=2/F。
将点A和B代入直线AB的方程，得到F=3.因此，直线AB的方程为x=2/3.将点A和B的坐标代入双曲线的方程，得到2a=18，因此双曲线的方程为y=9/x。
2）由于△OFA为直角三角形，因此△OFA的面积为（1/2）×OF×OA=（1/2）×3×6=9.2、在图中，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B连接AB，BC。
1）求k的值；2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由。
1）由于点D位于双曲线上，因此6k=1，解得k=1/6.2）由于点C位于双曲线第三象限上，且过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B连接AB，BC，因此点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，1/6）。
设直线CD的方程为y=ax+b，由于点C的坐标为（x，0），点D的坐标为（0，y），因此直线CD的方程为y=-x/6+2.3）因为直线AB的斜率为-1/6，直线CD的斜率为-1/6，所以AB与CD平行。
又因为点B在直线CD的上方，点A在直线CD的下方，所以AB与CD相交。
3、在图中，已知反比例函数y=k/x的图像经过第二象限内的点A（-1，m），AB⊥x轴于点B，x=k的图像上另一点C（n，1/2）。
九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．如图，已知抛物线经过点A (-1，0)，B (4，0)，C (0，2)三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到111A O C △，点A 、O 、C 的对应点分别是点1A 、1O 、1C 、若111A O C △的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点1A 的横坐标．2．如图，已知A （﹣2，0）、B （3，0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一动点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．(1)直接写出抛物线的函数关系式 ；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长 ；(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得⊥BCO ＋2⊥PCN ＝90°？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ ，若△ACQ 为等腰三角形，请直接写出m 的值 ．3．如图，抛物线2y ax bx =+过()4,0A ，()1,3B 两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH x ⊥轴，交x 轴于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)求ABC 的面积；(3)若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当CMN △为等腰直角三角形时，点N 的坐标为______．4．如图，已知二次函数的图象经过点()3,3A 、()4,0B 和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为(),0D m ，并与直线OA 交于点C ．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；(3)当0m >时，探索是否存在点P ，使得PCO △为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得⊥ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得⊥P AB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -和点()6,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC 交抛物线的对称轴l 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接CD 、BD ，点P 是射线DE 上的一点，如果PDB CDB S S =△△，求点P 的坐标；(3)点M 是线段BE 上的一点，点N 是对称轴l 右侧抛物线上的一点，如果EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点M 的坐标．7．已知抛物线经过A （－1，0）、B （0、3）、 C （3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：⊥BOF ＝⊥BDF ：(3)是否存在点M 使⊥MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长8．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．9．已知二次函数214y x bx c =-++图像的对称轴与x 轴交于点A （1，0），图像与y 轴交于点B （0，3），C 、D 为该二次函数图像上的两个动点（点C 在点D 的左侧），且90CAD ∠=．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan⊥CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan⊥CDA 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，D 是抛物线上的动点，已知A 的坐标为（-3，0），C 的坐标为（0，3）．(1)求该抛物线的函数表达式以及B 点的坐标；(2)在第二象限内是否存在点D 使得⊥ACD 是直角三角形且⊥ADC=90°，若存在请求出D 点的坐标，若不存在请说明理由；(3)如图2，连接AC ，BC ，当⊥ACD=⊥BCO ，求D 点的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ﹣1经过点A (﹣1,﹣2)和点B (﹣2,1)，抛物线C 2：y ＝3x 2＋3x ＋1，动直线x ＝t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．(1)求抛物线C 1的表达式；(2)求线段MN 的长（用含t 的代数式表达）；(3)当⊥BMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值．12．如图，二次函数23y ax bx =++的图象经过点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数23y ax bx =++图象上有一动点P ，x 轴正半轴上有一点D ，且OD =2，当S △PCD =3时，求出点P 的坐标；(3)若点M 在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD 为直角边的Rt MCD ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()4,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为()0m m ≥，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．PM 与直线l 交于点N ，当点N 是线段PM 的三等分点时，求点P 的坐标；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()30A -,，()1,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段AC 上一动点，过点E 的直线EF 平行于y 轴并交抛物线于点F ，当线段EF 取得最大值时，在x 轴上是否存在这样的点P ，使得以点E 、B 、P 为顶点的三角形是以EB 为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，M 是抛物线的顶点，直线1x =是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若,PD m PCD =△的面积为S ．⊥求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；⊥当S 取得最大值时，求点P 的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段MB 上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0，1)和点B (3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点，连接AC ，BC ，以AC ，BC 为邻边作平行四边形ACBP ，求四边形ACBP 面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出．．．．点E 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．18．如图，已知抛物线212y x bx c =++经过点B （4，0）和点C （0，－2），与x 轴的另一个交点为点A ，其对称轴l 与x 轴交于点E ，过点C 且平行x 轴的直线交抛物线于点D ，连接AD ．(1)求该抛物线的解析式；(2)判断⊥ABD 的形状，并说明理由；(3)P 为线段AD 上一点，连接PE ，若△APE 是直角三角形，求点P 的坐标；(4)抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△APD 是直角三角形，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线22y ax x c =-+与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点A 在点B 的左侧，()1,0A -，()0,3C -，点E 是抛物线的顶点，P 是抛物线对称轴上的点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点P 关于直线BC 的对称点Q 落在抛物线上时，求点Q 的横坐标；(3)若点D 是抛物线上的动点，是否存在以点B ，C ，P ，D 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点D 的坐标__________；若不存在，请说明理由；(4)直线CE 交x 轴于点F ，若点G 是线段EF 上的一个动点，是否存在以点O ，F ，G 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点G 的坐标__________；若不存在，请说明理由．20．如图1，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点P 为x 轴上方抛物线上的动点，点F 为y 轴上的动点，连接PA ，PF ，AF ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图1，当点F 的坐标为()0,4-，求出此时AFP 面积的最大值；(3)如图2，是否存在点F ，使得AFP 是以AP 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)213222y x x =-++ (2)存在，Q (3，2)或Q (-1，0)(3)两个“和谐点”，1A 的横坐标是1或122．(1)222433y x x =-++ (2)22655PN m m =-+ (3)存在，741253．(1)24y x x =-+(2)3(3)（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．4．(1)y =-x 2+4x (2)94(3)存在，点P 的坐标为(3+或(3-或（5，-5）或（4，0）5．(1)2142y x x =+- (2)（-2，-4）(3)P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--+，，(12--， 6．(1)21262y x x =-++ (2)()2,2(3)()4,2或(27．(1)2y x 2x 3=-++(2)见解析(3)存在，2或28．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)()3,4-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭9．(1)211342y x x =-++(2)1(3)()2,1-，()32，(12--10．(1)y ＝-x 2-2x ＋3，B (1，0)(2)存在，D (－2，3) (3)D (－52，74)或(－4，－5)11．(1)y ＝2x 2+3x ﹣1(2)t 2+2(3)t ＝012．(1)2+23y x x =-+(2)P 1（32，154），P 2（2，3）(3)存在点M 其坐标为1M 43539（，）或2M13．(1)y ＝14x 2−x −3 (2)（3，−154）或（0，−3） (3)（0，−133）或（0，9）14．(1)223y x x =+-(2)()4,-0，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭15．(1)2y x 2x 3=-++ (2)⊥213(04)42S m m m =-+<≤；⊥S 有最大值为94，此时3,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在，(6-+-或(42-+16．(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在，E （4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．17．(2)()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎝⎭18．(1)213222y x x =-- (2)直角三角形，见解析(3)(1，－1)或(32，－54)(4)存在，( 32，－1＋2 )，( 32，－1－ 2，( 32，5)，( 32，－5) 19．(1)223y x x =-- (2)11(3)存在，()2,3-或()4,5或()2,5-(4)存在，39,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()1,2--20．(1)2y x 2x 3=-++ (2)323(3)存在，12(0,3),(0,1)F F --，32)F。
2023年中考数学专题《二次函数综合问题》必刷真题考点分类专练含答案解析
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题13二次函数综合问题一．解答题（共40小题）1．（2022•孝感）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．（1）直接写出点B和点D的坐标；（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．【分析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，求出x的值即可得出点B的坐标，将函数y＝x2﹣4x化作顶点式可得出点D的坐标；（2）过点D作DE⊥y轴于点E，易得tan∠ODE＝，作∠ODG＝∠ODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OG⊥DP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，易证△ODE≌△ODG，△GDF∽△OGH，则DG＝DE＝2，OG ＝OE＝4，DG：OG＝DF：HG＝GF：OH，设DF＝t，则HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，又OH＝EF，则8﹣4t＝2+t，解得t的值可得出点G的坐标，进而可得直线DG的解析式，令y＝0即可得出点P的坐标；（3）分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，则S1＝QK（x B﹣x E），S2＝MN（x B﹣x E），由点Q的横坐标为m，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．【解析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，解得x＝0或x＝5，∴B（5，5）；∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点D（2，﹣4）．（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，∴DE＝2，OE＝4，∴tan∠ODE＝，作∠ODG＝∠ODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OG⊥DP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，∴△ODE≌△ODG（AAS），∴DG＝DE＝2，OG＝OE＝4，∵∠OHG＝∠F＝90°，∠OGH+∠DGF＝90°，∠OGH+∠GOH＝90°，∴∠DGF＝∠GOH，∴△GDF∽△OGH，∴DG：OG＝DF：HG＝GF：OH＝1：2，设DF＝t，则HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，∵∠DEO＝∠F＝∠OHG＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OH＝EF，∴8﹣4t＝2+t，解得t＝，∴GH＝，OH＝2+t＝，∴G（，﹣）．∴直线DG的解析式为y＝x﹣，令y＝0，解得x＝5，∴P（5，0）．（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，∴M（﹣1，5）．如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，∵点Q横坐标为m，∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．∵S1＝QK（x B﹣x E），S2＝MN（x B﹣x E），∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，的最大值为．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和三角形相似的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．2．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）直接写出A，B两点的坐标；（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．【分析】（1）令y＝0，解方程可得结论；（2）分两种情形：①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．构建方程组分别求解即可；（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，推出x A•x C＝x B•x E＝﹣3﹣b可得n＝﹣1﹣，设直线CE的解析式为y＝px+q，同法可得mn＝﹣3﹣q推出q＝﹣mn﹣3，推出q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，推出OF＝b2+b，可得结论．【解析】（1）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵OP＝OA＝1，∴P（0，1），∴直线AC的解析式为y＝x+1．①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．∵B（3，0），BD1∥AC，∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3，由，解得或，∴D1（0，﹣3），∴D1的横坐标为0．②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．直线l的解析式为y＝x+5，由，可得x2﹣3x﹣8＝0，解得x＝或，∴D2，D3的横坐标为，，综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，．（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，∴x A•x C＝x B•x E＝﹣3﹣b∵x A＝﹣1，∴x C＝3+b，∴m＝3+b，∵x B＝3，∴x E＝﹣1﹣，∴n＝﹣1﹣，设直线CE的解析式为y＝px+q，同法可得mn＝﹣3﹣q∴q＝﹣mn﹣3，∴q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，∴OF＝b2+b，∴＝b+1＝（m﹣3）+1＝m．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的格线等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．3．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；（2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；（3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），∴S△POC＝x P＝＝3m，S△BOP＝|y P|＝+2m+6），∵S△BOC＝＝18，∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S△PBC最大＝；方法二：如图2，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，∵B（6，0），C（0，﹣6），∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，∴D（m，m﹣6），∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S△PBC最大＝；（3）如图3，当▱ACFE时，AE∥CF，∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，∴F1点的坐标：（4，﹣6），如图4，当▱ACEF时，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，平行四边形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，转化条件．4．（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【分析】（1）在直线y＝﹣x﹣2中，令x＝0和y＝0可得点A和B的坐标，代入抛物线y ＝ax2+bx+c（a＞0）中可解答；（2）连接BC交直线x＝1于点P，利用两点之间线段最短可得出此时△PAB的周长最小，从而可以解答；（3）根据a＝1时，可得抛物线的解析式y＝x2+x﹣2，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），表示QE的长，配方后可解答．【解析】（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，∴B（0，﹣2），当y＝0时，﹣x﹣2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，，∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；（2）如图1，当a＝时，2×﹣b＝1，∴b＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线的对称轴是：x＝1，由对称性可得C（4，0），要使△ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可，如图1，连接BC交直线x＝1于点P，因为点A与点B关于直线x＝1对称，由对称性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，此时△ABP的周长最小，所以△ABP的周长为AB+BC，Rt△AOB中，AB＝＝＝2，Rt△BOC中，BC＝＝＝2，∴△ABP周长的最小值为2+2；（3）当a＝1时，2×1﹣b＝1，∴b＝1，∴y＝x2+x﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），∴OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，当m＝﹣1时，QD有最大值是，当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣1＝﹣2，综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是．【点评】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．【分析】（1）利用交点式可得二次函数的解析式；（2）①根据两角相等可证明两三角形相似；②根据△OCD∽△A′BD，得＝，则＝，即的最小值就是的最小值，OC为定值，所以当CD最小为2时，有最小值是；（3）根据面积的关系可得：△OCD∽△A′BD时，相似比为2：1，可得A'B＝AB＝1，作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得A'G和BG的长，最后再证明△A'GB ∽△QOB，可得OQ的长，利用待定系数法可得A'B的解析式，最后联立方程可得结论．【解析】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣0）（x﹣4）＝x2﹣2x；（2）①证明：如图1，由翻折得：∠OAC＝∠A'，由对称得：OC＝AC，∴∠AOC＝∠OAC，∴∠COA＝∠A'，∵∠A'DB＝∠ODC，∴△OCD∽△A′BD；②解：∵△OCD∽△A′BD，∴＝，∵AB＝A'B，∴＝，∴的最小值就是的最小值，y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，∴C（2，﹣2），∴OC＝2，∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小，当CD＝2时，的最小值为＝；（3）解：∵S△OCD＝8S△A'BD，∴S△OCD：S△A'BD＝8，∵△OCD∽△A′BD，∴＝（）2＝8，∴＝2，∵OC＝2，∴A'B＝AB＝1，∴BD＝2﹣1＝1，如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H，由翻折得：AA'⊥CH，∵∠AHB＝∠BDC＝90°，∠ABH＝∠CBD，∴∠BCD＝∠BAH，tan∠BCD＝tan∠GAA'，∴＝＝，设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1，在RtA'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2，∴a2+（2a﹣1）2＝12，∴a1＝0（舍），a2＝，∴BG＝2a﹣1＝﹣1＝，∵A'G∥OQ，∴△A'GB∽△QOB，∴＝，即＝，∴OQ＝4，∴Q（0，4），设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，∴，解得：，∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝x2﹣2x，3x2﹣4x﹣24＝0，解得：x＝，∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．【点评】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解本题的关键．6．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB 交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．（Ⅱ）求出AB的解析式，设出点P坐标，表示出M点坐标，从而表示出PH和HM的长，分别列出PH＝3HM和PH＝时的方程，从而求得m的值，进而求得P点坐标；（2）分为b＞0和b＜0两种情形．当b＜0时，抛物线对称轴在y轴左侧，此时求得抛物线与y轴交点，只需交点在点C的上方，就满足抛物线与线段CE没有交点，进一步求得结果，当b＜0时，类似的方法求得这种情形b的范围．【解析】（1）解：（Ⅰ）由题意得，，∴，∴y＝x2﹣2x﹣3；（Ⅱ）存在点P，使得点M是线段PH的三等分点，理由如下：∵B（0，﹣3），A（3，0），∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3，设点P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），∴PH＝﹣m2+2m+3，HM＝3﹣m，当PH＝3HM时，﹣m2+2m+3＝3（3﹣m），化简得，m2﹣5m+6＝0，∴m1＝2，m2＝3，当m＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴P（2，﹣3），当m＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，此时P（3，0）（舍去），当PH＝HM时，﹣m2+2m+3＝（3﹣m），化简得，2m2﹣7m+3＝0，∴m3＝3（舍去），m2＝，当m＝时，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，∴P（，﹣），综上所述：P（2，﹣3）或（，﹣）；（2）如图1，∵抛物线y＝x2+bx+c过点D（﹣3，0），∴（﹣3）2﹣3b+c＝0，∴c＝3b﹣9，∴y＝x2+bx+（3b﹣9），把x＝﹣3，y＝0代入y＝+n得，0＝+n，∴n＝4，∴OC＝4，∵∠COD＝90°，OD＝3，OC＝4，∴CD＝5，∵四边形CDFE是菱形，∴CE＝CD＝5，∴E（5，4），当﹣＜0时，即b＞0时，当x＝0时，y＝3b﹣9，∴G（0，3b﹣9），∵该抛物线与线段CE没有交点，∴3b﹣9＞4，∴b＞，当b＜0时，当x＝5时，y＝25+5b+3b﹣9＝8b+16，∴H（5，8b+16），∵抛物线与CE没有交点，∴8b+16＜4，∴b＜﹣，综上所述：b＞或b＜﹣．【点评】本题考查了求二次函数的解析式，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键一是正确分类，二是数形结合．7．（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A 在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．【分析】（1）先分别求得点A，点B的坐标，从而利用待定系数法求函数解析式；（2）分△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD两种情况，结合全等三角形的性质分析求解；（3）根据点D′的运动轨迹，求得当点P，D′，C三点共线时求得CD′的最小值．【解析】在直线y＝2x+2中，当x＝2时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP，又∵四边形OPDE为正方形，∴DP＝OP＝AO＝1，此时点P的坐标为（1，0），②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP，又∵四边形OPDE为正方形，∴DP＝OP＝OB＝2，此时点P的坐标为（2，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；（3）如图，点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），∴CD′′的最小值为1．【点评】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想和分类讨论思想解题是关键．8．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．【分析】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；③根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），则有﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，从而得出答案．【解析】（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，设y＝a（x﹣2）2+2，又∵抛物线过点（0，1.5），∴1.5＝4a+2，∴a＝﹣，∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴喷出水的最大射程OC为6cm；②∵对称轴为直线x＝2，∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，∴点B的坐标为（2，0）；③∵EF＝0.5，∴点F的纵坐标为0.5，∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，解得x＝2±2，∵x＞0，∴x＝2+2，当x＞2时，y随x的增大而减小，∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2+2，∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，∴d的最小值为2，综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]），则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，解得m＝2.5，∴点D的纵坐标为h﹣，∴h﹣＝0，∴h的最小值为．【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．9．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．（1）求点C的坐标；（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A的坐标代入y＝﹣x2﹣4x+c，求出c的值即可；（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；（3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可．【解析】（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，∴0＝﹣52﹣4×5+c∴c＝5，∴点C的坐标为（0，5）；（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：∵A（﹣5，0），C（0，5）∴OA＝OC，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO＝45°，∵PF⊥x轴，∴∠AHF＝45°＝∠PHE，∴△PHE是等腰直角三角形，∴，∴当PH最大时，PE最大，设直线AC解析式为y＝kx+5，将A（﹣5，0）代入得0＝5k+5，∴k＝1，∴直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），∴，∵a＝﹣1＜0，∴当时，PH最大为，∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；（3）存在，理由如下：∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，，解得，∴点M的坐标为（﹣3，8）；②当AM为平行四边形对角线时，，解得，∴点M的坐标为（3，﹣16）；③当AN为平行四边形对角线时，，解得，∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．10．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y 轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．【分析】（Ⅰ）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；②求出直线BP的解析式，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），表示出MG的长，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；（Ⅱ）由3b＝2c得b＝﹣2a，c＝﹣3a，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．可得顶点P 的坐标为（1，﹣4a），点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N 关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．由勾股定理可得P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a1＝，a2＝﹣（舍）．可得点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．利用待定系数法得直线P'N′的解析式为y＝x﹣．即可得点E，F的坐标．【解析】（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），设直线BP的解析式为y＝kx+n，∴，解得，∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6，∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，∴当m＝2时，MG取得最大值1，此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；（Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，又3b＝2c，b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．∴y＝ax2﹣2a﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点P的坐标为（1，﹣4a），∵直线x＝2与抛物线相交于点N，∴点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5．延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．∴P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a1＝，a2＝﹣（舍）．∴点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．∴直线P'N′的解析式为y＝x﹣．∴点E（，0），点F（0，﹣）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出直线解析式是解本题的关键．。