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商是多少？ ❖源自文库我们应该用“和、差、积、商”来读括号
里的数。
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❖ 三、数与运算领域中的知识拓展
❖ （一）、0为什么是自然数？
❖ 因为，自然数有三大功能，一是基数，二是序数，三 是运算。这三个功能中缺少了0就不完善了。
❖ 1）、在基数上， 0表示没有，是“空集”这个有限集合 的元素个数；
❖ 2）、在序数上，有时当着起点，如尺子的0厘米；更重要 的是书写的需要。十的记数写法是10.没有0，就写不出10、 20、100等数字。所以0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、 这十个数字是最基本的。
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3、0是任何自然数的倍数吗? ❖ 《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，
第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除，所 以0也是偶数”。以此类推，0能被所有非零自然数 整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零自然数 的倍数，任何非零自然数都是0的约数。但考虑到 研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，一 般限于非零自然数范围内，如讲最小公倍数时，是 把0排除在外的。为此，《九年义务教育六年制小 学数学》第十册50页明确指出：“为了方便，以后 在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”。 这样就避免了一些不必要的麻烦。但过去的一些说 法就必须加以纠正了。例如：“一个自然数的最小 倍数是它本身”、“自然数的约数的个数是有限的” 等，这样的结论必须纠正。要在“自然数” 的后面 加上“零除外”。
❖ 1、最小的一位数是1、还是0？ ❖ 经常有老师问，最小的一位数究竟是几？因为一些教辅资料上有关于最小的一位数是几的判断题或填空
题，有的资料上的答案是1，有的则是0。要判断这两种答案究竟哪一种正确，先要搞清楚“一位数” 和“几位数”这两个概念。关于“一位数”和“几位数”的定义，我从有关资料中找到以下两种： ❖ 用一个数字记出的数（不是0），叫做一位数。（《数学（算术理论部分）》，上海教育出版社，1979 年6月1版，第10页） ❖ 用一个不是0的数字写出的数叫做一位数。例如：1、3、9……。在一个数中,数字的个数是几,（其中最 左端的数字不是0），这个数就叫做几位数。（刘梦湘、黄文选主编.《小学数学问答手册》，北京师范 大学出版社，93年3月1版，第13页） ❖ 从上面的定义中可知，最小的一位数是1而不是0。为什么会出现最小的一位数是0的说法呢？一是持有 这些认识的人对一位数的概念不清楚；二是受将“0”划规为自然数的影响。我认为，判断最小的一位数 是几，只能用一位数的定义来判断，与0是否划规为自然数无关。进一步研究，为什么要在几位数的定 义中加上“最左端的数字不是0”这个限制条件？为便于说明，先假设没有这个条件，将会产生什么后果。 由于0＜1，且也是一个数字，那么最小的一位数 就应该是0；然而，由此也可以得出最小的两位数就不 是10，而是00，同样最小的三位数是000，……而 0＝00＝000……就会得出最小的任意位数都是相等 的，它们都等于0这样一个错误的结论。不仅如此，我们说5是一位数，05当然是两位数，005则是三位 数，等等，同一个数我们说它是任意几位数都可以。这里的所谓一位数、两位数、三位数，等等，实际 上都没有本质的区别，因而几位数这个概念就没有存在的必要了。由此可见，在定义几位数时，“其中 最左端的数字不是0”这个条件是决不可少的。这样，最小的一位数只能是1而不是0。
❖ 3）、在运算上，如果没有0的自然数，就不能运算。如在 自然数中5-5=0，如果0不是自然数，那么5-5岂不是不能 减了。
❖ 所以说，0的出现可以保证自然数集合的完整性。0是自然 数的说法，既有生活经验，又符合数学规则，还有文化背 景和科学依据，是合乎情理的。
❖
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（二） 将0定义为自然数后，给我们小学数学教学带来些“麻烦”：
小学数学知识拓展学习
讲
座
仙阳中心小学 聂崇富
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一、数的大、小写
❖ （1）0.1.2.3.4.5.6.7.8.9这些是阿拉伯数字是全世 界通用的，全世界的人都认识，但读法不一样。 是因为各国有各国的语言。
❖ （2）我们中国是用中文读的，中文有大、小写 ❖ 小写：〇.一.二.三.四.五.六.七.八.九.十 ❖ 大写：零.壹.贰.叁.肆.伍.陆.柒.捌.玖.拾 ❖ 我们读数是读出中文的小写，写数是写出阿拉
伯数字。不能说成读数是写大写的数，写数就是 写出小写的数。
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在使用汉字数字时，“零”和“〇”常被弄混。 阿拉伯数字“0”有“零”和“〇”两种汉字书写形式。
那么，“二〇一二年”和“二零一二年”哪个写得 对了？
❖ 在读数时50320要读作：五万零三百二十。 为什么写这个“零”，不写这个“〇”？
❖ 2011年开始正式实施的《出版物上数字用 法》规定：一个数字用作计量时，其中“0” 的汉字书写形式为“零”；用作编号时，“0” 的汉字书写形式为“〇”。
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二、数学语言的严密性
❖ 怎么读下面这些题？ ❖ 1、（45+55）×99 ❖ 有些老师把它读成：四十五加五十五括号乘
以九十九 ❖ 正确的读法：四十五加五十五的和乘以九十
九，积是多少？ ❖ 2、长方形的周长=(a+b) ×2 ❖ 3、（285 × 3）÷（25÷5）
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❖ 第2题读作：a加b的和乘以2 ❖ 第3题读作：285乘以3的积除以25与5的商，
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2、最小的偶数是几？0是偶数吗？
❖
在《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，关于“数 的整除”的教材第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除， 所以0也是偶数”。 如果从数轴上看，0是不是偶数的答案就 更明确了。在数轴上，表示奇数的点和表示偶数的点是间隔出 现的，也可以说成是交替出现的。表示0的点在1的左边，是处 在偶数的位置。这也说明了0是偶数。0的左边还有许许多多的 数，数学上叫负数，它们也是奇、偶相间。因此，“0是不是 最小偶数”的答案就不是用“是”或“不是”能够说得清的。 要回答这个问题，首先要看所考查的数的范围是什么，从上面 的数轴上可以看出，如果是在非零的自然数范围内，最小的偶 数就是2；如果向左扩大到0，即自然数范围内，那最小的偶数 就是0；再向左扩大到负数范围内，即在整数范围内，0是最小 偶数显然是不正确的。
里的数。
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❖ 三、数与运算领域中的知识拓展
❖ （一）、0为什么是自然数？
❖ 因为，自然数有三大功能，一是基数，二是序数，三 是运算。这三个功能中缺少了0就不完善了。
❖ 1）、在基数上， 0表示没有，是“空集”这个有限集合 的元素个数；
❖ 2）、在序数上，有时当着起点，如尺子的0厘米；更重要 的是书写的需要。十的记数写法是10.没有0，就写不出10、 20、100等数字。所以0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、 这十个数字是最基本的。
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3、0是任何自然数的倍数吗? ❖ 《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，
第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除，所 以0也是偶数”。以此类推，0能被所有非零自然数 整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零自然数 的倍数，任何非零自然数都是0的约数。但考虑到 研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，一 般限于非零自然数范围内，如讲最小公倍数时，是 把0排除在外的。为此，《九年义务教育六年制小 学数学》第十册50页明确指出：“为了方便，以后 在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”。 这样就避免了一些不必要的麻烦。但过去的一些说 法就必须加以纠正了。例如：“一个自然数的最小 倍数是它本身”、“自然数的约数的个数是有限的” 等，这样的结论必须纠正。要在“自然数” 的后面 加上“零除外”。
❖ 1、最小的一位数是1、还是0？ ❖ 经常有老师问，最小的一位数究竟是几？因为一些教辅资料上有关于最小的一位数是几的判断题或填空
题，有的资料上的答案是1，有的则是0。要判断这两种答案究竟哪一种正确，先要搞清楚“一位数” 和“几位数”这两个概念。关于“一位数”和“几位数”的定义，我从有关资料中找到以下两种： ❖ 用一个数字记出的数（不是0），叫做一位数。（《数学（算术理论部分）》，上海教育出版社，1979 年6月1版，第10页） ❖ 用一个不是0的数字写出的数叫做一位数。例如：1、3、9……。在一个数中,数字的个数是几,（其中最 左端的数字不是0），这个数就叫做几位数。（刘梦湘、黄文选主编.《小学数学问答手册》，北京师范 大学出版社，93年3月1版，第13页） ❖ 从上面的定义中可知，最小的一位数是1而不是0。为什么会出现最小的一位数是0的说法呢？一是持有 这些认识的人对一位数的概念不清楚；二是受将“0”划规为自然数的影响。我认为，判断最小的一位数 是几，只能用一位数的定义来判断，与0是否划规为自然数无关。进一步研究，为什么要在几位数的定 义中加上“最左端的数字不是0”这个限制条件？为便于说明，先假设没有这个条件，将会产生什么后果。 由于0＜1，且也是一个数字，那么最小的一位数 就应该是0；然而，由此也可以得出最小的两位数就不 是10，而是00，同样最小的三位数是000，……而 0＝00＝000……就会得出最小的任意位数都是相等 的，它们都等于0这样一个错误的结论。不仅如此，我们说5是一位数，05当然是两位数，005则是三位 数，等等，同一个数我们说它是任意几位数都可以。这里的所谓一位数、两位数、三位数，等等，实际 上都没有本质的区别，因而几位数这个概念就没有存在的必要了。由此可见，在定义几位数时，“其中 最左端的数字不是0”这个条件是决不可少的。这样，最小的一位数只能是1而不是0。
❖ 3）、在运算上，如果没有0的自然数，就不能运算。如在 自然数中5-5=0，如果0不是自然数，那么5-5岂不是不能 减了。
❖ 所以说，0的出现可以保证自然数集合的完整性。0是自然 数的说法，既有生活经验，又符合数学规则，还有文化背 景和科学依据，是合乎情理的。
❖
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（二） 将0定义为自然数后，给我们小学数学教学带来些“麻烦”：
小学数学知识拓展学习
讲
座
仙阳中心小学 聂崇富
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一、数的大、小写
❖ （1）0.1.2.3.4.5.6.7.8.9这些是阿拉伯数字是全世 界通用的，全世界的人都认识，但读法不一样。 是因为各国有各国的语言。
❖ （2）我们中国是用中文读的，中文有大、小写 ❖ 小写：〇.一.二.三.四.五.六.七.八.九.十 ❖ 大写：零.壹.贰.叁.肆.伍.陆.柒.捌.玖.拾 ❖ 我们读数是读出中文的小写，写数是写出阿拉
伯数字。不能说成读数是写大写的数，写数就是 写出小写的数。
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在使用汉字数字时，“零”和“〇”常被弄混。 阿拉伯数字“0”有“零”和“〇”两种汉字书写形式。
那么，“二〇一二年”和“二零一二年”哪个写得 对了？
❖ 在读数时50320要读作：五万零三百二十。 为什么写这个“零”，不写这个“〇”？
❖ 2011年开始正式实施的《出版物上数字用 法》规定：一个数字用作计量时，其中“0” 的汉字书写形式为“零”；用作编号时，“0” 的汉字书写形式为“〇”。
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二、数学语言的严密性
❖ 怎么读下面这些题？ ❖ 1、（45+55）×99 ❖ 有些老师把它读成：四十五加五十五括号乘
以九十九 ❖ 正确的读法：四十五加五十五的和乘以九十
九，积是多少？ ❖ 2、长方形的周长=(a+b) ×2 ❖ 3、（285 × 3）÷（25÷5）
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❖ 第2题读作：a加b的和乘以2 ❖ 第3题读作：285乘以3的积除以25与5的商，
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2、最小的偶数是几？0是偶数吗？
❖
在《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，关于“数 的整除”的教材第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除， 所以0也是偶数”。 如果从数轴上看，0是不是偶数的答案就 更明确了。在数轴上，表示奇数的点和表示偶数的点是间隔出 现的，也可以说成是交替出现的。表示0的点在1的左边，是处 在偶数的位置。这也说明了0是偶数。0的左边还有许许多多的 数，数学上叫负数，它们也是奇、偶相间。因此，“0是不是 最小偶数”的答案就不是用“是”或“不是”能够说得清的。 要回答这个问题，首先要看所考查的数的范围是什么，从上面 的数轴上可以看出，如果是在非零的自然数范围内，最小的偶 数就是2；如果向左扩大到0，即自然数范围内，那最小的偶数 就是0；再向左扩大到负数范围内，即在整数范围内，0是最小 偶数显然是不正确的。